1.   地基设计理论的现状与局限性

地基设计是土力学的经典问题,其涉及到两个问题,即地基的承载力和地基的变形问题。现代土力学虽然发展了现代土的本构模型和数值计算方法,解决了复杂计算的难题,但要严格准确地计算地基的承载力与变形还是困难的,目前全世界的工程设计还都是采用半理论半经验的方法,这似乎与现代的精确科学很不相称。

1.1   地基承载力的问题

土力学中的地基承载力通常是把土体看作理想刚塑性材料,利用极限分析方法,建立了地基的极限承载力公式,通用公式为^[1]

式中 $N_{\gamma }$,$N_q$,$N_c$为由土的内摩擦角$\phi$确定的函数；$\gamma$为土的重度；$B$为基础宽度；$q$为基础埋深在两侧的土压力；$c$为土的黏聚力。

式（1）是一个理想刚塑性材料的极限承载力公式。实际的现场压板载荷试验中,地基的荷载沉降曲线是非线性的渐变曲线,如图1所示,实际试验中甚至都较难准确确定地基的极限承载力。一般如果用室内试验所得到土的强度指标$c$,$\phi$值计算地基极限承载力与现场压板载荷试验比较,两者估计还是较难相同。如在工程设计中,按照地基极限承载力设计时,允许承载力的安全系数$K$一般为2～3,尚有较大的安全储备,极限承载力的误差,尚不致影响到地基失稳。地基设计中,工程师主要关心的是地基允许承载力取值。通常地基允许承载力取为极限承载力的$\frac{1}{2}$～$\frac{1}{3}$,这样,即使极限承载力不准确,也有足够的安全储备。

图  1  实际基础载荷沉降曲线与理想弹塑性曲线

Figure  1.  Actual foundation load settlement curve and ideal elastoplastic curve

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中国规范中确定地基允许承载力有较为详细的方案^[2],通常有两种方法：一是$P_{1/4}$法；二是通过特征值进行深度和宽度修正得到。

（1）$P_{1/4}$法

$P_{1/4}$法是通过$c$,$\phi$值计算,允许基础下地基的塑性区深度达到基础宽度的1/4。但由于是采用弹性应力,对不同的土$P_{1/4}$法的安全系数是不同的,当土质较好,$\phi$值较大时,$P_{1/4}$法的安全系数较大,陆培炎等^[3]从弹塑性应力解的角度出发,认为$P_{1/4}$还是比较保守的。王红升等^[4]曾经对基础宽度$b=2\text{ m}$,埋深$h=1\text{ m}$的条件,地基土重度$\gamma =18{\text{ kN/m}}^{\text{3}}$,用太沙基公式计算极限承载力,与$P_{1/4}$法比较,得到$P_{1/4}$法对应的安全系数变化如表1所示。

表  1  P_1/4法的安全系数

Table  1.  Values of safety factor of P_1/4 method

c/kPa	$\phi$/(°)
	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
0	—	—	1.86	2.13	2.80	4.18	5.62	7.84	15.6	21.7
10	1.52	1.78	2.09	2.38	2.94	4.01	5.28	7.25	13.1	19.1
20	1.65	1.87	2.16	2.47	2.99	3.94	5.12	6.95	11.9	17.6
30	1.70	1.90	2.20	2.52	3.02	3.90	5.03	6.77	11.2	—
40	1.73	1.93	2.22	2.55	3.04	3.88	4.97	6.64	—	—
50	1.75	1.95	2.23	2.57	3.05	3.86	4.93	—	—	—
中值	1.67	1.89	2.12	2.44	2.97	3.96	5.16	7.09	13.0	19.5

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由表1可见,$P_{1/4}$法对不同的土,其安全系数是不同的,对于内摩擦角大于20°的硬土,安全系数会大于3,是偏安全的。对软土,当内摩擦角小于10°时,安全系数小于2。因而对硬土还有更大的潜力,对软土不仅安全系数偏小,沉降也偏大。其实地基的塑性区是不可测的,表观可测的唯有变形,$P_{1/4}$法也是一种概念下的经验值,可能还不如安全系数更直观。

（2）深宽修正法

中国建筑地基规范提供一种广泛应用的地基承载力计算方法,或称为修正承载力特征值：

式中 $b$为基础宽度,当小于3 m时按3 m考虑,当大于6 m时按6 m考虑；$d$为基础埋深；${\eta }_{\text{b}}$,${\eta }_{\text{a}}$为考虑基础宽度和埋深影响的地基承载力修正系数,按土的类别取值；$f_{\text{ak}}$为地基承载力特征值的经验值,可根据土的物理力学指标、其他试验方法以及载荷试验等方法综合确定。

该方法关键是$f_{\text{ak}}$的确定,除了压板载荷试验方法外,其他方法也都是经验性为主,而即使最可靠的现场压板试验也难以准确确定。按规范试验方法确定$f_{\text{ak}}$的方法为：①当p-s曲线有明显的比例界限时,取该比例界限对应的荷载值；②当极限荷载能确定,且该值小于对应比例界限的荷载值的2倍时,取极限荷载的一半；③不能按上述两种方法确定时,如压板面积为0.25～0.5${\text{m}}^2$,可取沉降比$s/b=$0.01～0.015所对应的荷载,但其值不大于最大加载量的一半,s为压板沉降,b为压板直径或宽度。

而广东省建筑地基设计规范^[5]的沉降比取值为$s/b=$0.015～0.02。通常$f_{\text{ak}}$按沉降比确定的较多,而按这个沉降比取定的承载力就合适吗?宰金珉等^[6]还认为,对于中低压缩性土可以取更大的沉降比,如可取$s/b=$0.03～0.04。

以下为某实际工程的地基承载力特征值取值案例：

图2为一个工程的压板试验曲线,工程要求地基承载力特征值为300 kPa,试验进行到900 kPa,压板试验边长为0.5 m。试验后检测单位提供的地基承载力特征值为247 kPa,达不到设计要求的300 kPa,似乎要进行地基处理。而仔细思考,247 kPa是如何得到的,是否合理?最大试验荷载已经达到要求的地基承载力的3倍了,怎么还不够呢?从地基强度角度来说,安全储备完全充裕,而检测单位之所以取247 kPa,是依据规范的沉降比$s/b=0.01$所对应的压力值。但如果取沉降比$s/b=0.015$对应的压力值,则承载力可达310 kPa,则承载力满足要求,无需进行地基处理。如果按广东规范,最大可取$s/b=0.02$对应的压力,为400 kPa,与最大加载压力900 kPa比,安全系数尚大于2,显然地基强度也是安全的,甚至承载力还可以更大。那么地基承载力如何取值才合理呢?显然,现场压板载荷试验结果是确定地基承载力的最可靠方法了,但如何从试验结果中合理确定地基的承载力,这个问题还没有解决好。仅从沉降比$s/b$考虑,不同的人取沉降比不同,可能会得到不同的承载力。本项研究将提出一种依据压板试验结果确定地基承载力的新方法,但不是直接依据压板载荷试验曲线,而是利用压板载荷试验曲线建立模型,计算实际基础的荷载沉降p-s曲线,由实际基础的荷载沉降p-s曲线根据强度和变形双控原则确定合理的地基承载力,保证地基的强度安全和变形安全。

图  2  压板载荷试验曲线

Figure  2.  Curves of plate loading tests

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1.2   地基沉降问题

地基承载力的合理确定其实是与地基沉降有关的。前文利用压板载荷试验,用沉降比取定地基的承载力,目的就是控制实际基础的沉降不致过大,但这样取定的承载力并不一定就能保证实际基础的沉降是安全的,且在沉降比范围内取值也有一定的人为性,难以合理取定。所以,要体现地基承载力问题,就必须要体现沉降的问题。但目前地基沉降计算同样也是一个算不准的问题。虽然目前提出了多种地基沉降计算方法^[7-8],工程实际中,工程设计的沉降计算仍还是半理论半经验方法,工程应用主要还是半经验半理论的公式。国内最具代表性且应用最广泛的当属国标建筑地基设计规范的沉降计算公式^[2]：

式中 $s^{\prime }$为按分层总和法计算出的地基变形量；${\psi }_{\text{s}}$为沉降计算经验系数,通常按表2取值；$E_{\text{s}i}$为基础底面下第i层土的压缩模量,应取土的自重压力至土的自重压力与附加压力之和的压力段计算；${\overline{E}}_{\text{s}}$为变形计算深度范围内压缩模量的当量值；$A_i$为第i层土附加应力系数沿土层厚度的积分值,如图3所示。

表  2  沉降计算经验系数

Table  2.  Empirical coefficients of settlement calculation

基地附加应力	${\overline{E}}_s$/MPa
	2.5	4.0	7.0	15.0	20.0
p0≥fak	1.4	1.3	1.0	0.4	0.2
p0≤0.75fak	1.1	1.0	0.7	0.4	0.2

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图  3  地基沉降计算的分层土

Figure  3.  Layered soils calculated for foundation settlement

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表2中的经验系数是通过实测与计算结果对比而获得,是反映实际的,但也反映了理论计算与实际的差距。

分析表2中的经验系数,可为改进地基沉降方法获得启示：软土压缩模量小于4.0 MPa时,修正系数大于1.0,最大为1.4；硬土时,修正系数小于1.0,最小为0.2。

式（3）中,理论计算是采用室内压缩试验的e-p曲线计算土体的压缩量作为地基的沉降量,然后乘以经验修正系数${\psi }_{\text{s}}$进行修正。

土的压缩曲线e-p曲线通过侧限压缩试验获得,也即是在土体无侧限变形条件下获得,如图4所示,其反映的是无侧向变形的压缩量,e-p曲线随着荷载的p的增大越压越密实,p越大,孔隙比e越小,最终趋向于稳定,而变形增量也趋向为零。

图  4  侧限压缩试验及其e-p曲线

Figure  4.  Confined compression tests and e-p curve

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但这种变形趋势与实际基础的沉降变形是相反的,如图5所示,一般的地基压板载荷试验的沉降s随荷载p的增大而增大,当荷载p达到地基的极限承载力$p_{\text{u}}$时,沉降无限大。这是因为实际基础是有限宽的,基础作用下的地基是有侧向变形的,侧向变形会引起竖向沉降,而e-p曲线不能反映侧向变形引起的沉降。因此,理论上用e-p曲线计算的沉降是偏小的,应该要乘上大于1的修正系数才合理,且土越软,修正系数越大才合理,这就是软土修正系数大于1的原理。

图  5  压板载荷试验的p-s曲线

Figure  5.  p-s curves of plate loading tests

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理论上不论是软土还是硬土,从变形机理的角度,用e-p曲线计算的沉降都应该是偏小的,应该要乘以大于1的系数进行修正。但规范中为何对硬土的修正系数小于1,甚至最小达到0.2,这显然不是变形机理的原因,这主要是硬土取样后易产生扰动和应力释放等,使土的结构性受损,变得松软,室内土样与原位土相比已发生改变,因此室内土样所得的变形指标偏小,计算沉降偏大,从而要采用小于1.0的系数修正沉降计算值,如广东的残积土,通常压缩模量为5～8 $\text{MPa}$,而原位压板试验的变形模量为30～40 MPa,甚至更大,这不是理论的问题。不能用理论去解释的方法是很难有发展前景的。因此,对于硬土地基的沉降计算,应该摒弃这种算法,对于饱和软土地基,应该采用能考虑侧向变形的改进算法。对于硬土地基或砂土地基,改进土的变形参数的获取方法,提高变形参数的可靠性是改进硬土地基沉降计算准确性的途径。

国外对于砂土地基等主要偏向于原位测试基础上的半经验半理论方法就是一个发展方向^[9]。例如用标准贯入、触探等建立变形参数的经验公式,或用原位压板试验直接获取不同土层的变形参数是更直观可靠的方法。软土地基的沉降采用改进本构模型的方法会有较好的效果。

2.   改进地基沉降计算的新方法

2.1   硬土地基沉降计算方法概述

由以上的分析可见,硬土地基沉降计算的准确性受土的变形参数的不准确性影响最大。因此,改进硬土地基沉降计算方法应该是改进土的变形参数的获取方法。由于硬土的结构性强,目前较好的测试方法是进行原位测试,原位测试中现场压板载荷试验是最接近基础受力状态的试验。如何用原位压板试验进行地基的沉降计算已有较多的研究：Terzaghi-Peck较早提出基础尺寸$B\times B$的沉降$S_{\text{e}}$与压板尺寸为$B_1\times B_1$的沉降$S_{\text{e}(1)}$的经验公式^[9]：

当对应于一般地基在25 mm沉降时作为允许承载力下的沉降,对于压板尺寸$B_1=$0.3～1 m的试验,也可以采用标准贯入击数$N_{60}$的方法计算允许承载力下的沉降（mm）^[9]：

后来有很多的修正研究^[10]。国内利用压板试验进行地基沉降计算研究比较突出的是张在明和焦五一。张在明所提出的方法^[11]还被列入了北京地基规范中^[12]；焦五一提出的弦线模量法也有一定的影响^[13]。广东和深圳的地基规范通过压板载荷试验推求土的变形模量用于结构性较强的花岗岩残积土地基的沉降计算^{[5, 14]},并与标准贯入击数统计建立关系,早期采用标准贯入击数确定残积土的变形模量（MPa）^[15]：

用这个模量取代分层总和法的压缩模量计算残积土地基的沉降,不再进行修正,其准确性要高于规范用压缩模量的方法。国家筏板基础规范的沉降计算也提供了用变形模量计算筏板基础沉降的方法^[16]。

对于硬土地基的沉降计算,目前的算法采用压缩试验的e-p曲线是不合适的。改进方法是采用原位试验确定变形参数,但通常的原位测试如标准贯入、触探等方法是不能直接获得土的变形参数,也是采用经验间接获得的变形参数,最直接的应当是原位现场的压板载荷试验。但利用压板试验进行沉降计算除广东规范的变形模量法获得一定的应用外,其他方法并没有获得广泛的应用。

2.2   依据原位压板载荷试验的双曲线切线模量法

（1）双曲线模型法

原位压板载荷试验最接近实际基础下地基的受力状态,压板试验还可以进行破坏试验,了解地基受力到破坏的全过程沉降。是否可以利用小尺寸的压板载荷试验曲线（图6）来预测实际基础的荷载沉降（图7）的过程呢?这是一个具有重要意义的工作,杨光华较早采用双曲线方程拟合表述压板载荷试验曲线^[17],并于2006年提出了切线模量法^[18]。

图  6  小尺寸压板荷载沉降过程

Figure  6.  Load settlement process of plate with small sizes

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图  7  实际基础荷载沉降过程

Figure  7.  Load settlement process of actual foundation

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首先假设压板载荷试验曲线近似为一双曲线方程^[17]：

式中,$p$为荷载,s为沉降,a,b为参数。

反之,方程也可表示为

这样可以得到^[17-18]

式中 $p_{\text{u}}$为对应的地基极限承载力；$D$为压板宽度或直径；$E_0$为土体的初始切线模量；$k_0$为压板试验曲线的初始斜率,如图6所示。

由于$p_{\text{u}}$可以由土体的内摩擦角$\phi$和黏聚力c及压板尺寸计算得到,这样双曲线方程参数的a,b其实可以由土的参数$E_0$,c,$\phi$和压板（或基础）尺寸而得到。

实践表明,很多土的载荷试验曲线可以较好地符合双曲线方程^[19]。关键是这样的双曲线方程,其参数除$E_0$是新的参数外,c,$\phi$为土的常规力学参数,较易获得。

当地基是均匀土体时,不同基础尺寸的荷载沉降线可以由双曲线方程表述,而基础的尺寸效应都已在参数a,b中反映,所以这是较好解决尺寸效应的理论方法。

当土体为多层土体时,则需要建立另一种计算模型——切线模量法^[18]。

（2）双曲线切线模量法：均质土的切线模量分层总和法

如图8所示,在某一增量荷载$\Delta p_i$作用下,基础下部某一分层土厚度为$\Delta h_j$,分层厚度中间A点处的应力分布系数为$\alpha$。

图  8  分层总和法

Figure  8.  Layer-wise summation method

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设该分层土的切线模量为$E_{\text{t}ij}$,则$\Delta p_i$引起该分层土的沉降变形为

该增量荷载$\Delta p_i$引起的总沉降为各分层土沉降总和,即

总荷载下基础的沉降为

计算的准确性关键在于变形模量$E_{tij}$和应力分布系数$\alpha$,应力分布系数一般用弹性解,当然在数值方法中也可考虑非线性的影响。国家地基规范中,$E_{tij}$取土样压缩试验的e-p曲线获得的压缩模量,实践表明硬土地基与实测差异大,故采用变化较大的经验系数进行修正。为克服e-p曲线方法的不足,这里采用现场原位压板试验曲线求取土体变形参数。

如图9所示,试验曲线主要代表基础底附近的土性。

图  9  压板载荷试验曲线

Figure  9.  Curves of plate loading tests

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在荷载p时增加一个增量荷载$\Delta p$,产生一个增量沉降$\Delta s$,增量荷载下的变形可看作为线性,按弹性力学的Bousinnesq解求得沉降增量：

假设土体的压板载荷试验曲线符合双曲线方程：

对其求导,得

设$\Delta s=\text{d}s$,$\Delta p=\text{d}p$,则可得到^[18]

式中 $E_{\text{t}}$为荷载由p到$p+\Delta p$这一增量过程土体的切线模量；p为基础底位置的荷载应力；$p_{\text{u}}$为基础在B点无埋深时的地基极限承载力。

当计算点位于基础下一定深度时,则假想基础位于这一个埋深,该深度的荷载压力为$\alpha p$,$\alpha$为应力分布系数,$\alpha p<p$,同时$p_{\text{u}}$也考虑相应埋深的影响,则其将大于无埋深的$p_{\text{u}}$。这样深度越大,$p$越小,$p_{\text{u}}$越大,由式（15）可见,则$E_{\text{t}}$越大,从而可以反映土体模量随深度变大土体变硬的效果。同时由式（15）可见,当$p$趋近于$p_{\text{u}}$时,$E_{\text{t}}$变小,最后接近于0,这时沉降无限大,即为地基破坏,从而可以较好地反映土体变形的非线性,把各深度位置的$E_{\text{t}}$取代前面分层总和法公式（10）中的$E_{\text{t}ij}$,则可以计算地基直到破坏时的非线性沉降过程。

（3）割线模量法^[20]

切线模量法是采用荷载增量分级计算,如果采用割线模量,则可以采用总荷载一次性计算。同样采用了分层总和法,如图10所示,对某一分层厚度为$\Delta h_i$,总荷载$p_0$下在该层中间A点的应力分布系数为$\alpha$,则作用于$\Delta h_i$土层的荷载为$\alpha p_0$。

图  10  土体分层

Figure  10.  Layered soils

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设该土层的割线模量为$E_A$,则该层土的沉降增量为

$p_0$作用下总沉降为各层土沉降之和：

关键是$E_A$的确定：由图11可见,当基础荷载为$P_A$时,以OA割线模量计算时,可以按线弹性体计算沉降,按弹性力学Boussinesq解：

图  11  割线模量法

Figure  11.  Secant modulus method

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如果按双曲线方程,则对应的沉降为

把式（9）的a,b代入式（18）和（19）,并由（18）和（19）两式的$s_A$相等,则可得

当用割线模量计算不同深度分层位置的沉降变形时,通过弹性理论计算分层中间位置处的分布荷载${\alpha }_i{p}_0$,把基础置于该位置处得到$p_{\text{u}i}$,则该分层土的割线模量为

把$E_{Ai}$代入以上分层总和法公式（16）则可以计算得到基础的沉降。广东地基规范的变形模量法的变形模量相当于用地基承载力的特征值对应的割线模量进行线性沉降计算,不能进行非线性沉降计算,割线模量法跟切线模量法一样可以进行地基非线性沉降直到破坏过程的计算。

（4）验证

无论是压板载荷试验还是工程案例,均已进行了验证和应用。详细的资料可参考文献[18,20～22]。这里以一个压板载荷试验进行分析和验证。

a）粉质黏土地基上压板载荷试验的分析

广州荔湾大厦的典型地质剖面如图12所示,原来考虑挖孔桩基础,由于挖孔桩进入中风化粉砂岩,深度太深,有风险,考虑做天然基础,楼房地上12层,地下2层,地质报告的基础底位置持力层参数如表3所示,但按表中土层的压缩模量为4.3～4.4 MPa,用规范的压缩模量分层总和法计算沉降是很大的,难以做成天然地基。为此,在挖到基坑底后进行了3个直径为80 cm的压板载荷试验,试验曲线如图13所示,以^#3试验点为例,研究新的计算方法的适应性。为方便计算,土的重度取20 kN/m³,假设载荷沉降曲线为双曲线,对双曲线用$\frac{s}{p}=a+b\cdot s$线性化拟合结果如图14所示,得到$p_{\text{u}}$=1/b=1000 kPa,设φ为25°,则可由$p_{\text{u}}$=1/2$\gamma$DN_r+qN_q+cN_c反算得c值,计算得：$c\approx$44 kPa。

图  12  工程地质剖面

Figure  12.  Engineering geological section

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表  3  地层参数

Table  3.  Parameters of strata

分层土号	岩性	湿密度${\rho }_{\text{s}}$/(g·cm-3)	天然含水率w/%	天然孔隙比e	塑性指数IP	液性指数IL	压缩系数$a_{1-2}$/MPa	压缩模量Es/MPa	抗剪强度		标准击数N63.5	推荐承载力fk/kPa
									c/kPa	$\phi$
1Qml	素填土	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	60~80
2Qal	细砂											60~70
3-①	粉质	1.83~2.12	16.3~29.5	0.475~0.943	8.8~14.1	0.50~0.53	0.265~0.653	2.61~5.77	26.09~91.87	2°10′~14°45′	5.3~13.6	160~180
Qel	黏土	(2.02)	(21.4)	(0.632)	(11.5)		(0.406)	(4.33)			(8.5)
3-②	粉土	1.84~21.0	15.9~22.5	0.540~0.776	6.3~11.4	0.26~0.76	0.245~0.754	2.10~6.65	14.7~75.49	7°8′~35°0′	16.0~32.4	240~260
Qel		(2.00)	(18.8)	(0.593)	(8.7)			(4.40)			(20.2)
注：（）内的值为平均值。

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图  13  3个压板载荷试验曲线

Figure  13.  Curves of three plate loading tests

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图  14  双曲线线性化拟合

Figure  14.  Fitting of hyperbola linearization

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E_t0表达式为

式中,k₀=1/a=1/0.0078≈128,D=0.8,μ=0.3,ω=0.79,则E_t0=73.6 MPa。

由此得到切线模量法的土性参数为：c=44 kPa,φ=25°,E_t0=73.6 MPa。

双曲线拟合的结果与试验曲线比较如图15所示,可见拟合效果较好。

图  15  拟合双曲线与试验曲线比较

Figure  15.  Comparison between fitted hyperbola and test curve

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图16为利用所求得的土性参数,用切线模量法、割线模量法计算的压板荷载沉降过程线与实际压板试验曲线的比较,计算时土层分层厚度取为0.5 m,计算深度10 m,由图16可见,计算曲线与试验曲线符合较好,说明方法是可行的。

图  16  计算曲线与试验曲线比较

Figure  16.  Comparison between calculated curves and test curve

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图17给出了压板试验p=300,500 kPa时切线模量E_t随深度的变化。由图17可见,大约在3 m以下,也即压板直径4倍以下时,切线模量就接近初始切线模量的恒定值,土的非线性变化主要是在3 m以内。

图  17  切线模量E_t随深度的变化

Figure  17.  Change of tangent modulus E_t with depth

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图18所示为切线模量法计算的压板沉降随深度的变化,由图可见沉降主要发生于深度4 m以内,也即压板宽度的5倍范围内。

图  18  切线模量法计算的沉降随深度的变化

Figure  18.  Change of calculated settlement by tangent modulus method with depth

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这个建筑物是否能做天然地基的关键是沉降问题,如果按照地质报告,用建筑地基规范的压缩模量法计算,则筏板基础沉降超过700 mm,即使考虑用土的卸荷模量为压缩模量的3倍计算,沉降也超过200 mm。因此,采用人工挖孔桩方案。经过现场压板试验后,采用切线模量法或割线模量法计算筏板基础的沉降为40～50 mm,最后采用筏板天然地基,各种方法计算的沉降与实测沉降比较如表4所示,切线模量法或割线模量法的计算结果与实测结果较一致。

表  4  荔湾大厦计算与实测沉降比较

Table  4.  Comparison between calculated and actual measured values of Liwan Building  (mm)

实测平均沉降	用Es计算	割线模量法		双曲线切线模量法
		用#3试验数据计算	用平均试验数据计算
40	774.4	39.7	51.3	46.6

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b）美国砂土地基上5个不同尺寸的压板试验分析

美国Briaud^[23]教授1994年在一个砂基场地上组织了不同尺寸的现场压板试验,压板为方形,边长分别为1.0,1.5,2.5,3.0 m,获得不同压板尺寸的荷载沉降p-s曲线,同时还系统地进行了其他原位测试和土工试验,包括土样的三轴试验,也邀请了其他一些国家学者对这试验结果进行预测和研究。采用了包括有限元和各国的主要规范和经验沉降计算方法,进行了预测,结果并不太理想。Poulos在2000年的Buchanan讲座上做的报告《地基沉降分析——实践与研究》中曾列举了一个试验在P=4 MN作用下的沉降比较,如表5所示,由表5可见,误差最大的是有限元法,预测值75 mm,而实测值为14 mm,最接近的是采用弹性模量E=2N（MPa）的弹性解方法,预测为18 mm,N为标准贯入击数。有限元法误差大应该主要是模型参数的影响。这些传统方法实际都是线性方法,很难反映载荷试验非线性沉降的全过程。用双曲线模型、切线模量法和割线模量法对各试验点进行预测,可以预测载荷沉降试验的全过程。

表  5  Poulos提供的各种方法计算沉降值与实测值比较

Table  5.  Comparison between calculated settlements and measured values provided by Poulos

方法	s/mm
Terzaghi&Peck	39
Schmertmann	28
Burland&Burbridge	21
Elastic Theory$(E_{\text{s}}=2N)$	18
Elastic Theory(PMT)	24
Elastic Theory(strain-dependent modulus)	32
Finite element	75
Measured	14

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首先通过双曲线模型拟合试验曲线,把双曲线方程线性化：$\frac{s}{p}=a+b\cdot s,$拟合试验数据,获得双曲线方程的a,b值；然后假设地基砂土$c=0$,反算$\phi$值,求得切线模量法的土性参数结果如表6所示。各试验点参数的平均值为$E_{\text{t0}}=86\text{ MPa}$,$c=0$,$\phi =$36°,以此参数用切线模量法、割线模量法计算各试验点的荷载沉降试验曲线,与各点拟合的双曲线方程及试验曲线比较如图19～23所示。由图19～23可见,这种方法对不同尺寸的试验结果都具有较好的一致性,说明这是一种具有较好精度,能预测载荷试验非线性全过程的方法^[24]。

表  6  基于双曲线模型计算的地基土参数

Table  6.  Parameters of foundation soils calculated based on hyperbolic model

压板试验编号	$E_{\text{t0}}$/MPa	$p_{\text{u}}$ /kPa	$c$/kPa	$\phi$/(°)
#5（1.0 m×1.0 m）	83.4	1399	0	39.5
#2（1.5 m×1.5 m）	84.4	1202	0	37.2
#4（2.5 m×2.5 m）	84.7	1340	0	35.8
#1（3.0 m×3.0 m）	90.9	1405	0	35.2
#3（3.0 m×3.0 m）	86.4	1128	0	33.8

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图  19  ^#5压板载荷沉降p-s曲线（1.0 m×1.0 m）

Figure  19.  p-s curves of No. 5 plate loading settlement (1.0 m×1.0 m)

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图  20  ^#2压板载荷沉降p-s曲线（1.5 m×1.5 m）

Figure  20.  p-s curves of No. 2 plate loading settlement (1.5 m×1.5 m)

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图  21  ^#4压板载荷沉降p-s曲线（2.5 m×2.5 m）

Figure  21.  p-s curves of No. 4 plate loading settlement (2.5 m×2.5 m)

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图  22  ^#1压板载荷沉降p-s曲线（3.0 m×3.0 m）

Figure  22.  p-s curves of No. 1 plate loading settlement (3.0 m×3.0 m)

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图  23  ^#3压板载荷沉降p-s曲线（3.0 m×3.0 m）

Figure  23.  p-s curves of No. 3 plate loading settlement (3.0m×3.0m)

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当压板载荷试验的p-s曲线不符合双曲线方程时,同样也有解决的方法,具体可参考文献[25]。

c）多层地基和影响深度的问题

切线模量法通过现场压板载荷试验建立计算模型,求取参数,克服了传统由室内土样试验由于土样扰动等造成的影响,使结果更可靠。但也有疑问,认为压板载荷试验时压板尺寸小,影响深度小,难以反映深部土体特性,同时更难以反映多层土的情况。其实这是对该方法的误解,切线模量法只是采用现场压板载荷试验建立计算模型的一种手段,是假设均匀土层上建立模型的方法。对于深部土体,如果是同一种土体,则用同一套土的参数代表,因切线模量法本身已通过理论和假设解除了尺寸效应的影响,最后反映的是尺寸效应无关的3个土体参数$E_{\text{t0}}$,$c$,$\phi$,同一种土自然只有一套参数,与深度无关。但若是不同的土层,只要用不同的3个参数$E_{\text{t0}}$,$c$,$\phi$即可代表。因切线模量法还是建立在分层总和法基础上,不同土层只要取得各层土的这3个力学特性参数即可。当然,深部土层的这3个力学特性参数直接用压板载荷试验确定可能困难较大,这时可以利用其他原位测试方法,如可以用标准贯入试验、触探试验等建立经验关系。在假设各向同性条件下,也可以用旁压试验^[26-27]测试土的变形参数,同样可以用于切线模量法。

为比较分层土的影响,文献[28]用切线模量法计算了图24所示的双层地基和单层地基的基础荷载沉降曲线,分为均匀硬土地基、均匀软土地基和上硬下软及上软下硬的情况,为方便比较,双层地基的两层地基厚度为3 m,按图24所示的参数,其中软土层的初始切线模量$E_{\text{t0}}=4.3\text{ MPa}$,硬土层的初始切线模量$E_{\text{t0}}=72.8\text{ MPa}$。用切线模量法计算了各种情况下基础的沉降过程如图25所示。由图可见,沉降最小的是均匀硬土层的情况,第二小的是上硬下软的情况,而上软下硬的情况则接近于全软土的情况,这是比较符合实际经验的。因此,切线模量法是完全可以计算分层地基的情况的,只要获得各分层地基土的3个力学特性参数$E_{\text{t0}}$,$c$,$\phi$即可。

图  24  切线模量法计算的分层地基

Figure  24.  Layered foundation calculated by tangent modulus method

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图  25  切线模量法计算的分层地基沉降比较

Figure  25.  Comparison of settlements of layered foundation calculated by tangent modulus method

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d）有限元方法的应用

有限元方法的应用关键是建立合适的单元体本构模型,前面的切线模量法是针对基础作用于地基的荷载的。对单元体也完全可以用切线模量法的3个参数,套用Duncan—Chang模型而建立一个基于原位土参数的实用沉降计算模型^[29]：

泊松比可针对具体土取为0.3～0.4的定值。这个模型采用的3个土力学参数$E_{\text{t0}}$,$c$,$\phi$,可用上面的压板载荷试验确定,也可以参考其他试验确定。这样,该模型简单,参数确定方便、可靠,相应就提高了模型的可靠性。对于一个压板载荷试验。文献[29]提供了计算与实测结果比较,如图26所示。可见,只要模型合适,参数可靠,计算结果就是可靠的,而应用有限元等数值方法,就可以解决更复杂的问题。

图  26  切线模量法有限元计算与试验结果的比较

Figure  26.  Comparison of finite element calculation between tangent modulus method and test results

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e）基底应力非线性特性

通常,一定刚度基础下的地基反力是马鞍形的,而沉降则是锅底型的。如果考虑了土的非线性,则实际上基础的受力和沉降都会更均匀和符合实际一点。文献[30]计算了一个地基梁的地基反力分布情况,如图27所示,可见,考虑了土的非线性,地基梁的实际受力会更合理,更能发挥结构与土的共同作用。

图  27  不同计算方法计算地基梁地基反力分布

Figure  27.  Different methods to calculate distribution of reaction force of foundation beam and foundation

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2.3   软土地基的沉降计算

（1）软土地基沉降计算的简化法

由前面的分析可知,当采用压缩试验的e-p曲线计算软土地基的沉降时,其反映的主要是压缩变形引起的沉降,未能考虑侧向变形引起的沉降。因而中国地基规范采用乘以1.1～1.4的经验系数进行修正,而有些地基规范,像水利、交通,修正系数则更大,如堤防规范${\psi }_{\text{s}}=$1.3～1.6,路桥规范为1.1～1.8。也许这些行业的路堤和堤防工程填筑在更软的软土地基上,侧向变形更大一些。

对于软土的修正系数,即使像建筑地基规范给定了1.1～1.4,但实际计算取值时,在区间内也会因人而异。为此,杨光华等^[31]提出一个双曲线插值法取值的简化计算方法：

式中,$r=P_0/f_{\text{ak}}$为压力相对值,$f_{\text{ak}}$为地基承载力特征值。

对于建筑规范,其经验值为：r=0.75时,${\psi }_{\text{s}}=1.1$,r=1.0时,${\psi }_{\text{s}}=1.4$,则可求得a=0.586,b=0.128,这样实际${\psi }_{\text{s}}$值则根据基础基底压力$P_0$与其地基承载力特征值$f_{\text{ak}}$的相对值按式（24）取定,可以避免人为取定。

还可以进一步研究确定不同经验下的a,b值,用这种简单有效的方法修正理论计算值,在工程实际中更简单有效。

（2）软土地基非线性沉降实用计算方法

软土地基的沉降主要是侧向变形引起的沉降,难以合理计算。理论上可以用本构模型来解决。但实际工程中,一般缺乏本构模型的参数,即使像Duncan- Chang模型或剑桥模型这样基础的模型,也难以获得合理的本构模型参数,甚至e-p曲线,同一场地的同一层土的不同土样,估计也差异不少。笔者早期曾研究过如何在Duncan-Chang模型基础上建立简化的计算模型^[32-33],但还是不便应用。因此,要能用于工程,就需要参数易于确定的本构模型。软土中土的e-p曲线中压力为100～200 kPa时的压缩模量$E_{\text{s1}-2}$还是比较稳定的,一般软土的$E_{\text{s}1-2}=2$～$4\text{ MPa}$。如果有一套算法,能用$E_{\text{s}1-2}$构建本构模型进行软土的非线性沉降计算,这将会很有实用价值。

为此,首先构建计算模型：把软土的沉降分为压缩沉降和侧向位移的沉降,由广义胡克定律变形得到^[34]

式中第一项相当于有侧限的压缩变形,记为$\Delta {\epsilon }_{\text{c}}$；第二项为侧向压力差产生的竖向变形,记为$\Delta {\epsilon }_{\text{d}}$,这样,总竖向应变为

当有侧限时,单元$\Delta {\sigma }_3=k_0\text{d}{\sigma }_1$,这样$\Delta {\epsilon }_{\text{c}}$可用e-p曲线计算,即

式中,$E_{\text{s}}$为由e-p曲线求得的压缩模量,则分层土$\Delta h_j$产生的沉降为

对于式（25）中第二项,考虑饱和软土,可近似取泊松比${\nu }_{\text{t}}=0.5$,$\Delta {\sigma }_2\approx \Delta {\sigma }_3$。

这样,

当有侧限时,则$k_0\text{d}{\sigma }_1=\text{d}{\sigma }_3$,则$\Delta {\epsilon }_{\text{d}}=0$,这样软土的沉降就只有压缩沉降。对分层厚$\Delta h_j$产生的侧向沉降为

此时,剩下的关键是切线模量$E_{\text{t}}$的确定。由Duncan-Chang模型可得

式中,$R_{\text{f}}$为破坏比,s为对应的应力水平,$c$,$\phi$为土的黏聚力和内摩擦角。

当为压缩试验时,设此时的应力水平为$S_0$,将压缩试验的压缩模量$E_{\text{s}}=E_{\text{t}}$代入式（31）可得

将式（33）代回式（31）,则得到用$E_{\text{s}}$表达的切线模量：

这样,可由软土的压缩模量求得切线模量,软土的总沉降则由压缩沉降$S_{\text{c}}$和侧向变形沉降$S_{\text{d}}$组成,即

式中,第一项为$S_{\text{c}}$,第二项为$S_{\text{d}}$。考虑固结时,只有压缩沉降产生固结效应。设不同时刻的固结度为$U_t$,则不同时刻的沉降为

这样,可由压缩试验的e-p曲线建立软土固结非线性沉降的计算方法。

通常饱和软土中p=100～200 kPa对应的压缩模量$E_{\text{s}1-2}$较稳定,一般在2～4 MPa,为更方便,可以建立由$E_{\text{s}1-2}$求e-p曲线,进而求不同压力下各点压缩模量$E_{\text{s}i}$的方法。这样,只要有$E_{\text{s}1-2}$就可以进行非线性计算,一般工程勘察报告都提供$E_{\text{s}1-2}$,且这个数值较稳定,可靠,可以判断其合理性,从而可以更方便应用。笔者和学生研究提出了两种确定方法：一是根据$e-\lg p$曲线的线性段关系,得到^[35]

式中,$p_{\text{c}}={\gamma }^{\prime }h$为前期固结压力。

当假设e-p曲线为双曲线时,也可推导得到^[36]：

式中,e₀为初始孔隙比。这样可以用$E_{\text{s}1-2}$求各压力点的压缩模量,从而可以较方便应用。为比较效果,采用3种不同方式求一个案例不同土层深度自重荷载下的$E_{\text{i}}$的比较,3种方法是：①直接由e-p曲线求$E_{\text{i}}$；②$E_{\text{s}1-2}$用$e-\lg p$曲线求$E_{\text{i}}$（式（37））；③假设e-p曲线符合双曲线求$E_{\text{i}}$（式（38））。

比较结果如图28所示,结果差异不大,说明基本可行。

图  28  不同方法计算的压缩模量比较

Figure  28.  Comparison of compressive modulus calculated by different methods

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此外,笔者和学生还发展了一种割线模量法^[35],即对侧向变形引起的沉降采用总荷载,但模量采用割线模量,割线模量为

这样,用割线模量就可以用荷载全量计算,而用切线模量式（34）则要用增量荷载计算。针对一个软土地基上的填筑堤的试验研究^[37],文献[35]用以上各种方法计算比较的结果如图29,30所示,可见取得了较好的结果。这是一个较简单的实用方法,特点是参数简单,只需用通常的压缩模量$E_{\text{s}1-2}$,对解决软土地基的沉降计算是一个很实用的计算方法,希望能有更多的工程验证并发展完善。

图  29  t=495 d时计算得到的堤基地表沉降断面图

Figure  29.  Cross-section of surface settlement of embankment foundation (t=495 d)

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图  30  堤基地表中心点沉降时间曲线

Figure  30.  Settling-time curves of surface at center of embankment foundation

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3.   依据压板载荷试验确定地基承载力的新方法

由以上分析可知,目前合理确定地基允许承载力还是缺乏有效的方法。虽然现场压板载荷试验是确定地基承载力最可靠的方法,但由于尺寸效应的存在,如何依据压板试验确定地基承载力的问题也尚未解决好。按压板试验的沉降比确定的所谓地基承载特征值或考虑深度宽度修正承载力特征值,也仅是保证了地基强度的安全,尚不保证基础的沉降是安全的。合理的地基承载力允许值应该是既保证地基强度安全,又保证地基变形的安全,同时还能最大限度地发挥地基的承载力,这就是合理确定地基承载力允许值的原则^[38-39]。显然,如果能对实际基础用以上的切线模量法或割线模量法计算出基础对应的荷载沉降曲线p-s曲线,则依据p-s曲线,在保证强度和变形双控的条件下可以方便科学地确定合理的地基承载力。

图31为计算所得的基础p-s曲线,则确定地基允许承载力的合理双控方法为

图  31  基础的p-s曲线

Figure  31.  p-s curves of foundation

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式中,$p_{\text{u}}$为极限承载力,K为安全系数,[s]为基础允许沉降,$f_{\text{a}}$为地基允许承载力,$s_{\text{a}}$为$f_{\text{a}}$对应的沉降。

满足双控条件式（40）,（41）的工况有多种,如果在满足双控条件下同时使$f_{\text{a}}$取最大值,则可以充分发挥地基承载力的合理值。

某工程进行了3个压板载荷试验,用双曲线方程拟合压板载荷试验曲线所得切线模量法中土的3个参数如表7所示。用^#1试点的切线模量法参数,用切线模量法计算^#1试点的压板荷载沉降曲线与试验曲线比较如图32所示,计算结果与试验结果较一致,说明方法和参数是可行的。

表  7  根据压板试验反算的地基土的强度和变形参数

Table  7.  Values of strength and deformation parameters of foundation soils back-calculated according to plate loading tests

压板试验编号	$E_{\text{t0}}$/MPa	$p_{\text{u}}$/kPa	假定的$\phi$/(°)	反算所得的c/kPa
#1试点	30.43	1505	20	70.2
#2试点	25.51	1468	20	68.4
#3试点	21.10	1527	20	71.2
平均值	25.68	1500	20	69.93

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图  32  切线模量法计算与试验曲线比较

Figure  32.  Comparison between tangent modulus method and test curves

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如何由压板试验确定地基的承载力,正如前文所述,如果用压板试验的沉降比法,则不同的沉降比会得到不同的地基承载力特征值,即使载荷试验已做到900 kPa,但若取沉降比s/b=0.01时,如图2所示,其特征值只有247 kPa,小于300 kPa,若地基承载力要求300 kPa,则会得出地基承载力不足的结论,显然是不够全面科学的。真正合理的方法就是用压板试验所获得的土的力学参数,用切线模量法去计算具体基础的p-s曲线。由p-s曲线,依据强度和变形双控原则确定合理的地基承载力^[38-39]。

以上面3个试验点所得到的结果为例进行说明。

由表7可见,切线模量法反算得出土体力学参数为：初始切线模量法参数平均值为$E_{\text{t0}}=25.68\text{ MPa},$ $\phi =$20°,$c=69.9\text{ kPa}$,地基的极限承载力$p_{\text{u}}=$1500 kPa。地质报告中室内试验提供的参数为$\phi =$19.2°,$c=73.5\text{ kPa}$,压板试验反算的参数指标与地质报告接近,但反算外延的地基极限承载力$p_{\text{u}}=1500\text{ kPa}$可能偏大,为安全起见,设定最大试验荷载900 kPa为极限承载力,由此反算的强度指标为$\phi =$20°,$c=$ $59\text{ kPa}$,用这个参数是偏安全的。这样,对于具体基础,采用的计算参数为$E_{\text{t0}}=25.68\text{ MPa},$$\phi =$20°,$c=59\text{ kPa}$。

为了比较,设定一方形基础,边长2 m,无埋深。用以上采用的参数和切线模量法计算该基础的p-s曲线,如图33所示,此时其极限承载力为$p_{\text{u}}=$982 kPa,当允许基础沉降为25 mm时,允许承载力$f_{\text{a}}=315\text{ kPa}$,安全系数k=3.11,显然是安全的。若允许基础沉降为40 mm时,由p-s曲线可得到$f_{\text{a}}=470\text{ kPa}$,安全系数k=2.1,也可满足k>2的要求。这样依据基础的p-s曲线确定承载力可以得到明确的安全系数和对应的沉降,承载力结果很明确。如果对压板载荷试验用双曲线拟合,以^#1试点为例,由拟合曲线得到a=0.013157,b= 0.0006644,由拟合曲线得到压板试验不同沉降比对应的地基承载力特征值为$p_{0.01}=230\text{ kPa}$,$p_{0.015}=$$310\text{ kPa}$,$p_{0.02}=$420 kPa,与上面2 m基础无埋深对比,由于基础宽小于3 m,按国家建筑地基规范,其承载力无深宽修正,2 m基础的承载力特征值与压板试验结果相同,但如按压板载荷试验由以上沉降比确定承载力特征值,则对应不同的沉降比有不同的承载力值,同时2 m基础的地基承载力其安全系数也不明确,更不明确其对应的基础沉降是多少,显然是不够理想的。但如按实际2 m基础的p-s曲线确定承载力,则可以确定具有明确安全系数和对应基础沉降的承载力值,安全系数和沉降都明确,这样确定的承载力更科学合理。

图  33  2 m宽基础下的荷载沉降曲线

Figure  33.  Load settlement curves of foundation of 2 m wide

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如果对于同一场地,设定基础宽度为6 m,无埋深,用切线模量法计算基础的p-s曲线如图34所示。如果按沉降25 mm控制,则允许承载力$f_{\text{a}}=130\mathrm{kPa}$；按沉降50 mm控制时,$f_{\text{a}}=245\mathrm{kPa}$。显然,这时的地基承载力是由变形控制确定,强度安全系数远大于2。但如果按照规范,用压板试验的沉降比确定地基承载力,即使按最小的沉降比0.01,其承载力也有p_0.01=230 kPa,如果按这个承载力,对应这个基础的沉降大于40 mm,如果按p_0.015=310 kPa,则基础沉降会达到67 mm,沉降不满足要求,这样,用压板载荷试验曲线确定的承载力并不能保证实际基础的沉降满足要求,因此,用实际基础的p-s曲线确定地基承载力,可以很直观方便地实现强度和变形双控,使地基承载力的确定更安全合理,其比直接用压板载荷试验曲线确定的承载力更科学合理^[40]。

图  34  6 m宽基础下的荷载沉降曲线

Figure  34.  Load settlement curves of foundation of 6 m wide

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4.   新理论的应用

新理论已在工程实践中得到应用和验证,更详细内容也可参考文献[41]。同时,新理论可以用于优化基础设计^[42],可以用于桩的非线性沉降分析^[43],可以用于桩土共同作用分析,改进刚性桩复合地基的设计计算方法^[44-47]。新理论可以比较可靠地进行基础的荷载沉降全过程计算,因而可以用于地基的变形控制设计,为地基设计的进步提供新的理论方法。

5.   结论

地基沉降算不准是土力学中的世纪难题,虽然现代土力学发展了本构模型和数值方法,但土的本构模型的参数主要是依靠室内试验而获得。由于现场原位土的结构性,经取样扰动制样再试验,由此过程获得的参数难于反映现场原位土特性,这样,即使精致的本构模型虽然可与室内试验曲线高度符合,但并不能有效预测实际工程的变形,难以用于实际工程设计,还是制约着现代工程设计的水平。同样,虽然现场压板载荷试验被认为是地基承载力最可靠的确定方法,但由于实际基础尺寸与压板尺寸的不同,用压板载荷试验的方法还是难以严格确定实际基础地基的允许承载力。所以,地基沉降与地基承载力虽然是土力学中的经典问题,但一直以来并没有得到很好的解决。本项研究认为：

（1）要更好发展和提高土力学理论计算预测的准确性,应发展基于现场原位试验的计算理论。发展基于原位试验的土力学理论是破解之道。

（2）结构性强的硬土或砂土地基,采用室内压缩试验确定的压缩模量进行计算沉降的方法是不合适的。

（3）依据原位压板载荷试验而建立的切线模量法,其参数可以直接通过载荷试验获得,而参数仅为土的初始切线模量$E_{\text{t0}}$和通常的黏聚力c和内摩擦角$\phi$,参数少而物理意义明确,模型简单,能反映土的原状性,非线性,可以对基础进行直到破坏的非线性全过程计算。由于参数来源于现场原位试验,避免了传统依靠室内土样试验的土样扰动的影响,使参数可靠,从而使计算精度大为提高,是破解地基沉降计算难题的一个新的突破。

（4）切线模量法可以进行分层地基的沉降计算,只需对各分层地基采用各自土层的切线模量参数和强度参数即可。深部土体的切线模量法参数可以采用其他能进行深部原位测试的方法测定或建立经验关系,从而可以进一步发展完善该方法,同时还可以建立数值分析的原位土切线模量法以适用更复杂的边值问题计算。

（5）发展了一种依据现代本构模型的软土非线性沉降实用计算方法,该方法依据较简单的压缩试验求取参数,提出了根据压缩模量$E_{\text{s}1-2}$建立非线性沉降计算的方法,方法参数确定容易,便于工程应用。进一步积累更多经验和验证完善,将会是一种有效的软土地基沉降计算方法。

（6）依据现场原位压板载荷试验,提出了更合理确定地基承载力的一种新方法,就是用切线模量法计算实际基础的荷载沉降过程p-s曲线,依据p-s曲线,由地基的强度和变形双控的方法,确定满足强度和变形安全的最大承载力作为地基允许承载力,由此确定的地基允许承载力是最科学合理的,避免了目前通过压板试验沉降比确定承载力的不足,同时可以实现变形控制设计,将极大的提高地基设计的水平。

6.   尚需探索研究的工作

（1）由于现场压板载荷试验的时间相比建筑物作用的时间较短,因此,尚需积累更多的工程实例,以考虑时间对沉降的影响。但这个不是饱和软土的固结问题。

（2）初始切线模量$E_{\text{t0}}$通常来源于无埋深的压板载荷试验,实际上,$E_{\text{t0}}$可能是随深度而增加的,可能还存在小应变的特性,尤其对宽度较大的筏板基础时,考虑$E_{\text{t0}}$随深度的变化可能是需要的。