0.   引言

水力压裂是指在水压驱动下微裂纹萌生、扩展、贯通,产生宏观裂纹并导致岩石破裂的过程。水力压裂技术在非常规油气资源开采、地热资源开发及地应力测量等领域应用广泛^[1-3]。其在煤矿井下岩层控制的也得到推广应用,如回采工作面坚硬顶板弱化、高应力巷道围岩卸压及冲击地压防治等^[4-7]。

正确认识水力裂缝三维扩展行为,可为优化压裂施工提供参考和依据。常规水力压裂采用封隔器密封钻孔两端,利用高压泵组施加水压^[8-9]。定向水力压裂指沿钻孔横向或轴向切槽定向压裂,裂缝在预制裂缝尖端处优先开裂并沿预制方向扩展一定距离^[10-11]。针对裂缝扩展问题,学者开展了大量的理论、试验及数值模拟研究。Hubbert等^[12]分析了水力裂缝钻孔起裂机理,建立的弹性水力压裂模型被应用于预测垂直井和水平井的纵向裂缝起裂。Hossain等^[13]提出预测任意方向钻孔起裂裂缝的通用模型,推导了从垂直钻孔和水平钻孔形成纵向、横向和多裂缝的解析解。冯彦军等^[14]采用最大拉应力准则研究了起裂压力随钻孔参数和地应力场的变化规律,并通过有限元计算裂缝扩展过程。Abass等^[15]通过水力压裂试验研究了近井筒裂缝的非平面扩展行为,发现井筒轴向与主应力方向不一致会形成复杂的非平面裂缝。程远方等^[16]采用真三轴压裂试验系统进行了煤样压裂试验,结果表明最小水平主应力与垂直应力差值增大时,水力裂缝有从垂直缝向水平缝转变的趋势。鞠杨等^[17]采用水力压裂物理试验结合离散元程序（CDEM）研究了水力裂缝在砂砾岩中的扩展特征。结果表明当水平应力比小于1.5时,裂缝呈空间分布,当水平应力比大于1.5时,形成了沿最大主应力方向的平面裂缝。李根等^[18]基于RFPA数值分析方法建立了三维渗流–应力–损伤耦合模型。结果表明当竖直方向为最大主应力方向时裂纹呈空间竖片分布,当三向主应力相等时,裂纹起裂位置和扩展方向具有竞争趋势,空间分布不具规律。严成增等^[19]采用考虑流固耦合的离散元–有限元耦合方法（FDEM-Flow）方法,研究了不同地应力对裂纹的走向和形态的影响,模拟结果表明不同侧压力系数下,裂隙的扩展方向与最大主应力的方向一致。离散元法（discrete element method）在岩土工程领域中得到广泛应用^[20-21]。传统离散元模型需要预先指定裂缝扩展路径,难以模拟裂缝在任意方向自由扩展^[22]。Itasca咨询公司开发了基于合成岩体方法（synthetic rock mass）和格点理论（lattice method）的数值模拟软件XSite,实现了对三维裂纹萌生和扩展过程的直观模拟,无需预制裂缝扩展路径^[23]。

本文采用基于合成岩体技术和离散格点理论研发的水力压裂软件XSite,模拟水力裂缝钻孔起裂的三维扩展形态,研究井筒方位和地应力对水力裂缝的三维扩展形态的影响,并对比分析裸眼起裂和预制切槽起裂两种情况下裂缝扩展形态的异同。

1.   数值模拟方法简介

XSite是基于离散格点理论和合成岩体技术开发的水力压裂软件,其模拟裂缝扩展的适用性引起了广泛讨论^[24-26]。文献[23]给出了币型（penny-shaped）裂缝扩展验证实例,文献[26]给出了水力裂缝与天然裂缝交互作用验证实例。本文对XSite基本原理作简要介绍,详细介绍参见文献[23,27]。合成岩体采用黏结颗粒模型（bonded particle model）模拟岩石变形和脆性破坏,利用平滑节理模型（smooth joint model）和离散裂隙网络（discrete fracture network）表征岩体中的节理。格点网络是对黏结颗粒模型的简化,格点法采用节点和弹簧代替了黏结颗粒模型中的颗粒和接触。节点由两个弹簧连接,一个代表法向接触刚度,另一个代表剪切接触刚度,弹簧可以表征岩体的弹性特征。在XSite中,弹簧刚度的校准因子是内置的,用户可以指定宏观弹性参数。弹簧的拉伸和剪切强度控制格点网络的宏观强度。如图1所示,格点网络包含若干拟随机分布的节点,节点由弹簧相互连接。天然节理能够以任意方位导入至格点网络中。

图  1  格点网络示意图^[28]

Figure  1.  Schematic of a lattice array

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采用线性动量平衡方程和位移速度关系来计算节点的平动自由度^[23]：

式中 ${\dot{u}}_i^{(t)}$和$u_i^{(t)}$分别为t时刻节点在i (i = 1,2,3)分量的速度和位移；${{\displaystyle \sum F}}_i^{(t)}$为t时刻作用在节点上的所有i (i = 1,2,3)的合力；$\Delta t$为时间步长；m为节点的质量。

分量i在t时刻的角速度${\omega }_i^{}$由中心差分方程计算：

式中,${\displaystyle \sum M_i^{\text{(}t\text{)}}}$为t时刻节点的所有i分量力矩之和,I为转动惯量。

通过节点的相对位移来计算弹簧的受力变化^[23]：

式中,N为法向,S为切向,k为弹簧刚度,F为弹簧力。当弹簧受力超过标定的弹簧强度时,弹簧就会断裂并形成微裂纹。

通过连接流体单元的管道网络来模拟流体流动。如图2所示,流体单元位于破裂弹簧或模拟节理的弹簧的中心。流体单元之间通过管道相互连接。新形成的微裂纹自动连接到管道网络,管道网络实现更新。

图  2  流体管道网络示意图^[25]

Figure  2.  Schematic of fluid pipe network

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采用润滑方程^[29]（lubrication equation）来描述流体在管道内的流动。流体节点A到节点B沿管道的流量为

式中 β为无量纲校准参数；a为裂缝开度；μ_f为液体黏度；p分别为A,B节点处的流体压力；z为节点的高程；${\rho }_{\text{w}}$为流体密度；g为重力加速度,k_r为相对渗透率,是饱和度s的函数：

每个流动时间步长$\Delta t_{\text{f}}$的水压增量$\Delta P$为^[23]

式中,K_f为表观流体体积模量,V为节点体积,$Q$为所有流量$q_i$的总和,$Q={\displaystyle \sum q_i}$。

XSite中实现了固体变形和流体流动的耦合。裂缝的渗透率取决于裂缝开度和固体变形。流体压力变化影响力学模型的变形及破坏。流体压力随固体变形而变化。当局部应力强度因子远小于局部断裂韧性时,弹簧的抗拉强度将作为裂纹扩展判据。如果局部应力强度因子与局部断裂韧性相接近,则以局部断裂韧性为裂纹扩展判据。

图3为基础模型示意图,模型尺寸为1 m×1 m×1 m,在模型中心布设水平钻孔,钻孔长度为0.4 m,半径为0.05 m。地应力场：${\sigma }_x$= 5 MPa,${\sigma }_y$= 10 MPa,${\sigma }_z$= 15 MPa。采用清水作为压裂液,排量为100 mL/s,模拟注水时间约为30 s。数值模拟中采用的参数见表1。

图  3  基础模型示意图

Figure  3.  Schematic of base model

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表  1  模型力学参数

Table  1.  Mechanical parameters used in XSite simulations

岩石基质					压裂液
密度ρr/(kg·m-3)	泊松比$\nu$	杨氏模量E/MPa	抗拉强度σt/MPa	断裂韧度KIC/(MPa·m1/2)	密度ρw/(kg·m-3)	黏度μf/(Pa·s)
1.926×103	0.221	1.174×104	7.5	1	1×103	1×10-3

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2.   数值模拟结果

2.1   井筒方位对水力裂缝三维扩展的影响

假设井筒由x轴转向至y轴,井筒轴向与x轴存在不同偏转角（0°,30°,60°,90°）条件下裂缝三维扩展形态如图4所示。由图4（a）主视图（xoz面）可见,孔身处裂缝沿着井筒轴向发育,形成的裂缝面近似垂直于y轴（中间主应力方向）。由侧视图（yoz面）可见,在孔口处,形成了以孔口为中心的圆形裂缝面。从俯视图（xoy面）可看出,孔口处裂缝面近似垂直于x轴（最小主应力方向）,整体上裂缝分布呈三维H型。

图  4  井筒不同偏角条件下裂缝扩展形态

Figure  4.  Propagation of hydraulic fracture with different deflection angles of borehole

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井筒偏角为30°时,两端孔口处分别形成了单侧发育的半圆状裂缝,孔口处裂缝倾向于沿着垂直于最小主应力的平面扩展。在孔身处裂缝起裂后与井筒轴线存在一定角度,并与孔口处裂缝相连接,裂缝面发生偏转和扭曲。从俯视图可见,整个裂缝分布呈三维S型。当井筒偏角增加到90°时,水力裂缝面近似沿着井筒轴向发育,由侧视图可见,裂缝空间形态为近似垂直于x轴的币型裂缝（椭圆型平面裂缝）。孔身处裂缝一般平行于井筒轴向扩展,孔口处裂缝则更容易偏转至垂直于最小主应力的平面。井筒偏角的变化导致裂缝三维扩展形态产生差异,但整体上裂缝倾向于沿着垂直于最小主应力的平面扩展。

假设井筒由x轴转向至z轴,不同井筒倾角（0°,30°,60°,90°）条件下裂缝扩展形态如图5所示。井筒倾角为0°时,两个孔口处分别形成了圆状裂缝,孔身处形成了垂直于中间主应力方向（y轴）的裂纹面。随着井筒倾角增加至30°,孔口处裂缝近似为半圆形,孔身下侧处裂缝仍沿着垂直于y轴的平面发育。裂缝表现为非对称非平面的空间扭转形态。井筒倾角增加至60°,井筒上存在较多分叉裂缝,细小分叉倾向于沿着垂直于中间主应力（y轴）的平面扩展,而主裂缝仍倾向于沿着垂直于最小主应力的平面扩展。井筒倾角增加至90°,仍存在垂直于y轴的细小分叉,但主裂缝已发育为垂直于x轴的币型裂缝。井筒倾角的变化致使裂缝三维扩展形态及分叉程度产生差异。总体而言,主裂缝倾向于沿着垂直于最小主应力的平面扩展,裂缝扩展方向主要由地应力场控制。

图  5  井筒不同倾角条件下裂缝扩展形态

Figure  5.  Propagation of hydraulic fracture with different inclination angles of borehole

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2.2   地应力对水力裂缝三维扩展的影响

保持${\sigma }_x$= 5 MPa,${\sigma }_z$= 15 MPa不变,改变中间主应力${\sigma }_y$（${\sigma }_y$=7.5,10,12.5,15 MPa）,其他参数与基础模型相同,研究σ_y对裂缝扩展形态的影响。图6展示了不同${\sigma }_y$条件下水力裂缝扩展形态。当${\sigma }_y$ = 7.5 MPa时,整体上裂缝分布呈三维H型,孔身处形成了垂直于y轴的裂缝面。当${\sigma }_y$增加至10 MPa,孔身处的裂缝面积减小。当${\sigma }_y$= 12.5,15 MPa,裂缝在孔身处的裂缝扩展受到严重抑制,仅有零星的微裂纹产生。对比侧视图可见,在孔口处的裂缝扩展并未受到显著影响,裂缝面倾向于垂直x轴。随着${\sigma }_y$增加,孔口处的裂缝面变得更加平直。${\sigma }_y$增加抑制了孔身处垂直于${\sigma }_y$的裂缝扩展,此时孔口处垂直于${\sigma }_x$的裂缝占主导。值得指出,压裂时高压流体作用在井筒上,二维理论分析表明裂缝将沿着垂直于最小压应力的方向扩展。图6中孔身处的裂缝扩展反映了这一情况。而在数值模型中,孔口处形成了近似垂直于井筒轴向的裂缝。三向应力状态下,在孔口处的应力分布模式与孔身段应有明显区别,若简化为二维平面状态分析可能产生较大偏差,钻孔参数（如长度、半径等）的影响不可忽略。正是由于孔身和孔口处应力分布不同,导致了裂缝三维扩展形态差异（孔身处裂缝垂直于${\sigma }_y$,而孔口处裂缝垂直于${\sigma }_x$）。整体上,孔身和孔口处的裂缝均为垂直缝（垂直方向为最大主应力方向）,裂缝最终扩展方向为最大主应力方向。

图  6  不同${\sigma }_y$条件下裂缝扩展形态

Figure  6.  Propagation of hydraulic fracture with different ${\sigma }_y$

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保持${\sigma }_y$= 5 MPa,${\sigma }_z$= 15 MPa不变,改变中间主应力${\sigma }_x$ (7.5,10,12.5,15 MPa）,其他参数与基础模型相同,研究${\sigma }_x$对裂缝扩展形态的影响。当${\sigma }_x$= 7.5 MPa,从图7主视图可见,裂缝主要在孔身处起裂并沿垂直方向发育,整体上裂缝面垂直于${\sigma }_y$。孔口处裂缝出现分叉,与孔身处裂缝相比裂缝面积较小。从侧视图可见,随着的${\sigma }_x$增加,孔口处裂缝扩展明显受到抑制,分叉逐渐减少。在${\sigma }_x$= 7.5,10 MPa模型中,孔口处出现两分叉。在${\sigma }_x$= 12.5,15 MPa模型中,孔口处并未出现分叉。从俯视图可见,随着的${\sigma }_x$增加,整个裂缝面更加平直,趋向于平行于x轴（或垂直于y轴）。对比图6,7可见,模拟中的裂缝均为垂直缝（垂直应力为最大主应力）。${\sigma }_y$或${\sigma }_x$的增加抑制了垂直于对应方向的裂缝扩展,而平行于该方向的裂缝变得更加平直,但中间主应力的变化并未改变裂缝的主要扩展方向（最大主应力方向）。

图  7  不同${\sigma }_x$条件下裂缝扩展形态

Figure  7.  Propagation of hydraulic fracture with different ${\sigma }_x$

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保持${\sigma }_x$=${\sigma }_y$= 5 MPa不变,改变最大主应力${\sigma }_z$（5,7.5,10,12.5 MPa）,模拟不同应力比（1∶1,1.5∶1,2∶1,2.5∶1）条件下水力裂缝扩展形态。应力比为1∶1条件下,由图8（a）全视图可见,裂缝在孔口处发育成碗状,孔身处出现多条分支裂缝,孔身处裂缝与孔口处裂缝相互连接,形成了复杂的多分支空间扩展裂缝。由右侧的截面图可见,孔身处形成了3条主分支裂缝,3条裂缝近似均匀分布,并无明显的优势扩展方向。应力比为1.5∶1时,孔身处形成了长短不一的多分支裂缝,此时裂缝的优势扩展方向已显现,多分支裂缝向垂直方向聚拢,裂缝倾向于沿着垂直方向（最大主应力方向）扩展,而水平方向的裂缝扩展受到抑制（截面图中最右侧的裂缝面积相对较小）。当应力比增加至2∶1和2.5∶1时,孔身处仅有两条裂缝产生,裂缝倾向于沿着垂直方向（最大主应力方向）扩展,孔身处裂缝面近似垂直于y轴。水平方向上裂缝受到严重抑制而未能扩展。总体而言,随着应力比增加,裂缝主分支逐渐减少,垂直于最大主应力方向的裂缝扩展受到抑制,裂缝倾向于沿着最大主应力方向扩展。

图  8  不同应力比条件下裂缝扩展形态

Figure  8.  Propagation of hydraulic fracture with different stress ratio

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传统二维模拟中通常忽略了中间主应力,不能全面反映裂缝的三维扩展形态,本研究考虑了中间主应力影响。由图6,7（模型中最大主应力与最小主应力比值为3∶1）可见,较大的中间主应力抑制了裂纹沿垂直于中间主应力的平面扩展,平行于中间主应力方向的裂纹面趋于平直。中间主应力变化没有改变裂缝的主要扩展方向。裂缝的主要扩展方向为最大主应力方向,裂缝优先破裂面仍为垂直于最小主应力的平面。由图8可见,最大主应力与最小主应力比值显著影响裂缝扩展方向和形态。高应力比下裂缝趋于沿着最大主应力方向扩展,且应力比增加明显抑制了裂缝分支发育。研究裂缝三维扩展形态需要考虑3个主应力的影响,若简化为二维平面问题分析可能产生较大偏差。

2.3   预制切槽对水力裂缝三维扩展的影响

在井筒中部预制垂直于井筒轴向的切槽,切槽为半径0.1 m的圆形裂缝。在切槽中注入液体,其他参数与基础模型相同。井筒从x轴转动至y轴过程中,切槽面也随之转动。当井筒偏角为0°,切槽面垂直于最小主应力。由图9（a）可见,形成了垂直于最小主应力的非对称币型裂缝,裂缝面较为平直,并无显著偏转。偏角为30°和60°时,流体注入切槽内,切槽压裂裂缝首先沿切槽方向起裂,在扩展的过程中逐渐偏转至${\sigma }_y$方向。裂缝形态较为简单,无复杂微裂隙产生,优先扩展面为垂直于最小主应力的平面。由俯视图可见,裂缝呈S型非对称形态。偏角为90°时,切槽面与最小主应力平行,裂缝从切槽内起裂后发生大角度偏转,裂缝偏转方向仍为σ_y方向,偏转角接近90°。对比4个模型,可见裂缝均为垂直缝（垂直方向为最大主应力方向）,当切槽面不垂直于最小主应力时裂缝会发生偏转,偏转方向为中间主应力方向。

图  9  预制切槽压裂不同井筒偏角条件下裂缝扩展形态

Figure  9.  Propagation of hydraulic fracture with different deflection angles of borehole with notch

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对比图4,9,在偏角为0°时,裸眼井筒起裂条件下,孔身处存在平行于井筒轴向的裂缝,而孔口处的圆形裂缝则倾向于垂直于最小主应力扩展。预制切槽条件下,裂缝扩展形态则相对简单,表现为平直的币型裂缝。对比裸眼井筒和切槽两种起裂方式,发现裂缝的优先破裂面均为垂直于最小主应力的平面。

图10给出了井筒从x轴转动至z轴过程中水力裂缝三维扩展形态。对比4张主视图,可以看出井筒倾角的改变并未引起裂缝扩展方向的显著变化,裂缝从切槽边缘起裂后逐渐发生转向,倾向于沿着垂直最小主应力的平面扩展。从侧视图来看,裂缝形态呈现为非对称币型裂缝。

图  10  预制切槽压裂不同井筒倾角条件下裂缝扩展形态

Figure  10.  Propagation of hydraulic fracture with different inclination angles of borehole with notch

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对比图5,10可见,不同井筒倾角条件下钻孔上产生了许多分叉或微裂缝,这些微裂缝扩展方向不尽相同,但整体而言井筒上主裂缝倾向于沿着直于最小主应力的平面扩展。而切槽条件下裂缝扩展形态较为简单,没有产生较多方向不一的微裂缝,裂缝主要沿着垂直于最小主应力的平面扩展。通过对比裸眼井筒起裂和切槽起裂两种情况,发现起裂方式对裂缝最终扩展方向无显著影响,应力场主导裂缝的主要扩展方向。裸眼井筒起裂条件下裂缝三维扩展形态较为复杂,主要归因于井筒处于三向地应力及水压多重作用下,井筒各个位置应力集中程度不同,局部应力场较为复杂,最终导致了复杂的裂缝形态。而预制切槽简化了局部应力场,因而裂缝扩展形态较为简单。

3.   水力压裂试验结果对比分析

文献[17]报道了裸眼起裂条件下砂砾岩水力压裂试验。试验中井筒轴线与垂直应力方向平行,研究剩余两个方向的应力之比对裂缝扩展的影响。图11展示了不同水平应力比条件下裂纹扩展形态。水平应力比为1∶1或1.5∶1时,裂缝的空间展布较复杂,出现较多分叉。水平应力比为1.9∶1时,裂缝基本沿垂直于${\sigma }_{\text{h}}$方向的平面扩展,形成了一条主裂缝,水平应力比增加抑制了裂缝分支发育。对比图8,11可见,试验结果与本文数值模型中的裂缝扩展形态相似,反映出的应力比的影响规律基本一致。

图  11  裸眼井筒起裂试验中不同应力比条件下裂缝扩展形态^[18]

Figure  11.  Propagation of hydraulic fracture from borehole with different stress ratios

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文献[30]报道了预制纵向切槽条件下紫砂岩水力压裂试验,并采用断裂力学理论对不同切槽角度下的裂纹偏转角度进行了计算,在此不再赘述。本文主要关注水力裂缝的三维扩展形态。图12给出了切槽压裂试验中不同切槽角度下裂纹扩展形态。当切槽平行于最大主应力时,裂缝沿切槽起裂并沿切槽方向扩展,扩展过程中未发生明显偏转。整个裂缝面较为平直,趋向垂直于最小主应力发育。切槽与最大主应力存在夹角时,裂缝沿切槽起裂后会逐渐偏转至最大主应力方向,预制切槽并未改变裂缝的最终扩展方向,裂缝优先破裂面仍为垂直于最小主应力的平面,裂缝最终形态呈现为S型。对比图9,12可见,试验结果与数值模拟中的裂缝扩展轨迹相似,反映出的切槽角度对裂缝扩展轨迹的影响规律基本一致。试验结果中仅观察到岩样完全压开后岩石表面的裂缝扩展轨迹,限于试验条件未能观察到完整的裂缝三维形态,数值模拟结果可作为补充和参照。

图  12  预制切槽压裂试验中不同切槽角度下裂缝扩展形态^[30]

Figure  12.  Propagation of hydraulic fracture from prefabricated notch with different inclination angles

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需指出,本文数值模型所用参数与上述两组试验中的参数并不相同,数值模拟与物理试验中的裂缝三维扩展形态并不完全一致。尽管具体参数不同,但是模拟中主要的参数和试验中的参数是相似的（主要是地应力）,且岩石力学参数和流体性质相关参数差距不大,模拟结果与试验结果所反映出的基本规律是一致的,此对照结果具有一定说服力。仍需继续开展水力压裂试验与数值试验对比研究,进一步验证数值方法的合理性。

4.   结论

采用基于合成岩体方法和离散格点理论的水力压裂软件XSite,模拟了水力裂缝钻孔起裂的三维扩展形态,研究了井筒方位和地应力对水力裂缝的三维扩展的影响,对比分析了裸眼起裂和预制切槽两种情况下裂缝扩展形态的异同。主要得到以下4点结论。

（1）裸眼井筒压裂条件下,孔身处裂缝趋向于沿井筒轴向扩展,孔口处裂缝则更易向垂直于最小主应力的平面偏转。钻孔方位改变导致裂缝三维扩展形态产生差异,但整体上裂缝趋向于沿垂直最小主应力的平面扩展。

（2）中间主应力的增加抑制了垂直于中间主应力方向的裂缝扩展,裂缝在中间主应力方向的扩展轨迹变得更加平直。中间主应力的变化并未改变裂缝的主要扩展方向（最大主应力方向）。

（3）低应力比（最大主应力与最小主应力之比）条件下,裸眼井壁上产生多条裂缝分支,裂缝扩展并无明显优势方向。随着应力比增加,主裂缝分支逐渐减少。高应力比条件下,裂缝分支趋向沿最大主应力方向扩展。

（4）预制切槽压裂条件下,裂缝沿切槽扩展后会逐渐偏转至垂直于最小主应力方向。裂缝最终扩展方向不受起裂方式的控制,而是由地应力主导。