Propagation of hydraulic fractures in bedded shale based on phase-field method
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摘要: 准确预测层理页岩水力裂缝扩展路径对于页岩压裂方案优化与压裂效果评价至关重要。基于多孔弹性理论和能量最小化原理建立水力耦合的相场模型,采用交错策略的分离式耦合方法进行求解。通过压裂试验数据对比验证模型的可靠性,同时基于页岩三维水力压裂模拟分析,验证该方法对于模拟不同地应力条件下的水力裂纹扩展问题的适用性。基于该模型,利用插值函数表征页岩层理与基质的力学和渗流参数,研究不同层理角度与地应力差工况下,水力裂缝、天然裂隙以及层理面三者之间的交互作用。研究表明:页岩的层理面改变了水力裂缝预期的扩展路径,该作用效果取决于层理角度。随着地应力差的增大,水力裂缝的扩展路径以及与天然裂隙、层理面交互模式逐渐由地应力差所控制。相场法模拟多场耦合环境下的复杂裂纹扩展与交互等现象相对于其它数值方法具有显著优势。Abstract: Accurate prediction of the propagation path of hydraulic fractures in shale plays an important role in optimizing fracturing schemes and evaluating fracturing effects. Based on the theory of poroelasticity and the energy minimization principle, a hydro-mechanical coupling phase-field model is established. The segregated coupling method based on the staggered scheme is adopted to solve it numerically. The reliability of the model is verified by the existing experimental results. The simulation analysis of 3D hydraulic fracturing confirms the feasibility of the proposed method in capturing the propagation path of hydraulic fractures under different in-situ stress configurations. Based on the model, the mechanical and seepage parameters of bedding planes and matrix are characterized by the interpolation function. The interactions among hydraulic fractures, natural fractures and bedding planes are investigated under different bedding angles and in-situ stress configurations. The results show that the bedding planes of shale alter the expected propagation path of hydraulic fractures, which depends on the bedding angle. With the increase of in-situ stress difference, the propagation path of hydraulic fractures and the interaction mode are gradually controlled by the in-situ stress difference. Compared with other numerical methods, the phase-field method has a significant advantage in simulating complex crack propagation and interaction in coupled multiphysics environment.
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Keywords:
- phase-field method /
- bedded shale /
- hydraulic fracture /
- natural fracture /
- in-situ stress
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0. 引言
非常规油气开采、增强型地热系统等都需要采用水力压裂技术来有效增加地下能源的开采效率[1]。然而,由于岩石结构及其所处工程地质环境的复杂性,有关水力裂缝扩展规律的研究一直是一项极具挑战的课题[2]。此外,水力压裂过程中压裂液的泄露极易造成地下水污染。因此,需要采用数值模拟或试验研究准确预测水力裂缝的扩展路径,以便为压裂方案优化与压裂效果评估等提供必要的理论指导。
当前对于岩石裂纹扩展问题的数值模拟方法,特别是岩石水力压裂裂缝扩展研究方面,主要分为两类:一类是离散法,如离散单元法(DEM)、位移不连续法(DDM)等;另一类则为连续方法,如连续损伤模型(CDM)、相场法(PFM)等。前者一般以显式或隐式的方式在建模中设置裂纹面位移不连续,而后者位移场皆为连续的。因此,连续方法在模拟裂纹扩展时节省了处理复杂裂纹面位移跳跃的工作,更易于数值实现。
相场法起源于Francfort等[3]基于经典的Griffith能量理论提出的断裂变分模型。Bourdin等[4]通过引入区分材料完整和断裂的标量相场,将尖锐的裂纹拓扑通过扩散损伤带正则化,给出了断裂变分模型的数值实现。随后针对相场断裂方法的研究应运而生。其中,Miehe等[5]提出了脆性断裂热力学一致的相场模型,该模型被视为可替代Francfort-Marigo[3]和Bourdin等[4]的理论框架[6]。基于总弹性能驱动的相场模型,可能导致不符合实际的裂纹扩展模式。为了避免这种情况,Amor等[7]和Miehe等[5]分别提出了不同的应变张量分解方法,从而驱动更加符合实际的裂纹扩展。
由于相场法采用标量场表征离散裂纹几何,并未将裂纹描述为物理不连续,只是将完整的材料平滑地过渡到完全断裂区域。裂纹的起裂和扩展取决于相场演化方程(即光滑相场扩散方程)。因此,相场法的实现并不需要额外地追踪复杂裂纹表面[8-9]。该优点使得相场法可以处理任意脆性岩石中二维或三维几何的多裂纹扩展、交汇、分叉与合并。与此同时,由于相场法本身属于多场问题,可进一步将相场扩散方程与描述其它物理场的偏微分方程耦合,即可实现对多物理场耦合条件下的裂纹扩展问题的求解[10]。对于能源的深部地下开采而言,将相场模型扩展应用到涉及高温、高压以及高地应力的深部多场耦合环境下岩石断裂领域,对于准确预测裂纹扩展路径及有效控制深部资源的安全与高效开采,有着至关重要的作用。
近几年,国内外学者将相场法发展应用于各个领域中材料的断裂问题,如岩土工程材料的断裂[11-12]、层状结构的交界面断裂[13]、纤维增强型复合材料断裂等[14]。其中Miehe等[15]通过三篇文章系统介绍了利用相场法模拟多场耦合条件下材料的断裂问题,其中包括了相场法在多孔介质水力压裂中的应用。Santillán等[16]发展了水力耦合的相场模型,假设流体在多孔介质中满足达西渗流定律,而裂缝区渗流采用雷诺润滑方程描述。易良平等[17]利用相场方法模拟分析了煤砂互层中水力裂缝纵向延伸的影响因素。张飞[18]采用了移动网格方法动态跟踪裂缝的扩展,实现了复杂水力裂缝延伸的相场法模拟。Yi等[19]考虑了比奥参数(比奥系数、比奥模量和孔隙度)随损伤场的演化、基质各向异性渗透率以及新的相场驱动力,建立了一致的相场模型。
对于页岩而言,弱层理结构使得其力学、渗流性质具有显著各向异性特征[20-21]。而横观各向同性假设在一定程度上弱化了层状结构在岩石断裂过程中扮演的角色。此外,天然裂隙也是影响水力裂缝扩展路径的主要因素[22]。因此,准确预测页岩水力裂缝、天然裂隙以及层理面三者之间的交互作用需要建立单独考虑页岩层理结构的水力压裂模型。而相场法提供了一种非常有效且易于实施的数值模拟手段。
1. 控制方程
1.1 断裂的相场近似
相场法通过引入标量场ϕ来表征裂纹形态。如图 1所示,当ϕ=0时,表示材料未破坏,而当ϕ=1时,此处材料发生断裂。显然,这种方法与连续损伤理论相似,其中标量相场ϕ在均匀宏观意义上描述了裂纹的扩展。基于此观点,采用指数函数来近似一维断裂问题的标量相场(图 1(a))[23],即
ϕ(x)=e−|x|/|x|l0l0, (1) 式中,l0为长度尺度参数,表征裂纹的宽度。当l0趋向于零,则裂纹趋向于真实的尖锐状态。
如图 1(b)所示,从一维相场近似扩展到二维或三维,得到单位体积的裂纹表面密度函数[23]:
γ(ϕ, ∇ϕ)=ϕ22l0+l02|∇ϕ|2。 (2) 根据式(2),裂纹扩展所需要的能量,即断裂耗散能可表示为[23]
∫ΓGcdS≈∫ΩGc(ϕ22l0+l02|∇ϕ|2)dΩ, (3) 式中,Gc是临界能量释放率。
1.2 水力耦合的相场模型
考虑流体饱和的多孔弹性体,构造总的拉格朗日能量泛函,可表示为
Π=Ek−Ee−Ef+Ep+Eext。 (4) 式中Ek为弹性体的动能,由于本文是准静态加载,所以动能项为零;Ee为弹性势能;Ef为断裂能;Ep为与多孔介质流体压力相关的势能项;Eext为外力所做功。
为了表征拉伸导致的材料断裂,上式中弹性能可分为拉、压两部分,弹性能的分解从弹性应变的分解开始,即应变张量分解为拉、压两部分[23]:
ε±=d∑a=1⟨εa⟩±na⊗nb, (5) 式中,εa为主应变,na和nb表示主应变的方向,其中⟨εa⟩±=(εa±|εa|)/2。
因此,拉、压弹性应变能密度可表示为[23]
φ±ε(ε)=λ2⟨tr(ε)⟩2±+μtr(ε2±), (6) 式中,λ和μ为拉梅常数。
考虑刚度弱化,弹性体在断裂过程中总的弹性能密度可表示为
φε(ε)=g(ϕ)φ+ε(ε)+φ−ε(ε), (7) 式中,g(ϕ)=(1−δ)(1−ϕ)2+δ为刚度退化函数,表示当材料发生断裂时,即ϕ趋向于1,此时拉伸弹性能逐渐消失,δ是为了避免数值奇异的模型参数。
将式(7)和(3)代入式(4),同时考虑外力、初始地应力场σ0和多孔介质孔隙压力p的作用,可构造拉格朗日能量泛函为
Π=−∫Ω[g(ϕ)φ+ε(ε) + φ−ε(ε)]dΩ+∫Ωαp∇udΩ+∫Ωg(ϕ)σ0:εdΩ−∫ΩGc(ϕ22l0+l02|∇ϕ|2)dΩ+∫Ωb⋅udΩ+∫∂Ωf⋅udS。 (8) 令式(8)的一阶变分等于零,即可得到下面的控制方程,即水力耦合的相场模型:
∇[D:(∇u+∇Tu2)]−αI∇p+b=0 ,[2l0(1−δ)(ϕ+ε+σ0:ε)Gc+1]φ−l20∇2φ=2l0(1−δ)(ϕ+ε+σ0:ε)Gc 。} (9) 式中α为比奥系数;I为单位矩阵;b为体力项;f为面力项;u为位移矢量;D为弹性矩阵。
1.3 渗流控制方程
为表征整个模拟区域Ω的渗流方程,定义3个子区域Ωm,Ωf和Ωt[24-25]。如图 2(a)所示,Ωm表示基质区域,Ωf为裂隙区域,Ωt为基质和裂隙过渡区域。通过引入线性插值函数(图 2(b)),3个流动区域被两个阈值c1和c2所定义,这里Ωf对应于ϕ≥c2,Ωm对应ϕ≤c1,而当c1 < ϕ < c2表示过渡区域Ωt。
流体在多孔介质的渗流采用达西定律来描述。因此,基质中流体的质量守恒方程表示如下:
ρmSm∂p∂t−∇(ρmKmμm∇p)=qm−ρmαm∂εv∂t, (10) 裂缝中流体的质量守恒方程为
ρfSf∂p∂t−∇(ρfKfμf∇p)=qf。 (11) 式中下标m表示基质;f表示裂缝;ρ为流体的密度;εv为体积应变;K为渗透率;μ为流体的动力黏度;S为储存系数。
结合上述方程,考虑基质和裂隙区域,在整个域Ω上流体的质量守恒方程可表示为
ρS∂p∂t−∇(ρKμ∇p)=q−ραχm∂εv∂t。 (12) 式中储存系数S=θc+(α−θ)(1−α)/Kv,其中Kv为体积模量;θ为孔隙度;c为流体压缩系数;比奥系数α=χmαm+χfαf;渗透率K=χmKm+χfKf,其中χm和χf分别为
χm={1 ϕ≤c1c2−ϕc2−c1 c1<ϕ≤c20 ϕ>c2 ,χf={0 ϕ≤c1ϕ−c1c2−c1 c1<ϕ≤c21 ϕ>c2 。 (13) 1.4 局部历史应变能
裂纹的扩展是不可逆的,即相场是单调递增的。然而,当循环加载、压缩或卸载发生时,相场ϕ可能会减小。因此,为了保证材料断裂的不可逆性,需要建立局部历史应变能场[8, 23]:
H(x,t)=max (14) 将式(14)代入式(9)可得
\left\{ \begin{gathered} \nabla \left[ {\boldsymbol{D}:\left( {\frac{{\nabla \boldsymbol{u} + {\nabla ^T}\boldsymbol{u}}}{2}} \right)} \right] - {\alpha _B}\boldsymbol{I}\nabla p + \boldsymbol{b} = 0{\text{ }} \hfill \\ \left[ {\frac{{2{l_0}(1 - \delta )H}}{{{G_c}}} + 1} \right]\phi - l_0^2{\nabla ^2}\phi = \frac{{2{l_0}(1 - \delta )H}}{{{G_c}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. 。 (15) 2. 模型实施与验证
2.1 模型实施
采用基于COMSOL Multiphsics的有限元方法求解水力耦合的相场模型。岩石变形方程、流体渗流方程、历史应变方程以及相场扩散方程的求解分别采用4个指定模块。在每个时间步之后,对材料的弹性矩阵D(式(15))进行刚度退化修正,修正公式如下[8]:
\boldsymbol{D}(\boldsymbol{\varepsilon} ) = \frac{{{\partial ^2}{\psi _\varepsilon }}}{{\partial {\varepsilon ^2}}} = [(1 - \delta ){(1 - \phi )^2} + \delta ]\frac{{{\partial ^2}\psi _\varepsilon ^ + }}{{\partial {\boldsymbol{\varepsilon} ^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\psi _\varepsilon ^ - }}{{\partial {\boldsymbol{\varepsilon} ^2}}}\\ = \lambda \{ [(1 - \delta ){(1 - \phi )^2} + \delta ]{H_\varepsilon }[tr(\boldsymbol{\varepsilon} )] + {H_\varepsilon }[ - tr(\boldsymbol{\varepsilon} )]\} \boldsymbol{J} + \\ 2\mu \{ [(1 - \delta ){(1 - \phi )^2} + \delta ]{\boldsymbol{P}^ + } + {\boldsymbol{P}^ - } \text{,} (16) 式中,Hε(x)为Heaviside函数,J为四阶张量,P+和P-为应变相关的非线性项[8]。
历史应变场(Eq.(14))可以通过下式求解:
\left\{ \begin{gathered} H = \varphi _\varepsilon ^ + , \;\;{\rm{if}}\;\varphi _\varepsilon ^ + > H \hfill \\ H = H, \;\;\;{\rm{if}}\;\varphi _\varepsilon ^ + \leqslant H \hfill \\ \end{gathered} \right. 。 (17) 历史应变场的初始值通常为H0(x)=0,而当存在预制裂隙时,可以通过指定下列初始条件来表征[26]:
{H_0}(x) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{B{G_{\text{c}}}}}{{2{l_0}}}\left[ {1 - \frac{{2d(x, l)}}{{{l_0}}}} \right]{\text{ }}~~~~d(\boldsymbol{x}, l) \leqslant \frac{{{l_0}}}{2} \hfill \\ 0{\text{ }}~~~~d(\boldsymbol{x}, l) > \frac{{{l_0}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \text{,} (18) 式中,B为一标量参数;d(x, l)为模型任一点到离散裂隙的最短距离。
综上所述,首先通过求解岩石变形方程得到应变张量,由式(6)计算拉伸弹性能量密度;用岩石变形方程的解来求解渗流方程;求解历史应变能方程,用拉伸弹性能密度来更新H;最后,相场方程需要借助不断更新的H来驱动相场ϕ的演化。在每个时间步长中,基于更新的弹性应变和相场对弹性矩阵D进行修正。这样各个耦合场变量可以通过交错策略的分离式耦合方法依次求解。隐式广义α方法被采用以确保求解的稳定性。
2.2 模型验证
为了验证相场法模拟水力裂缝扩展的可靠性,本文首先采用试验结果进行对比验证。根据含圆孔和两条预制裂隙的石膏试件水力压裂试验,通过相场法建立相同的压裂模型模拟水力裂缝的扩展路径,并与试验结果进行比较。两种模型如图 3所示,模型Ⅰ预制裂缝水平设置,模型Ⅱ中预制裂隙与水平方向夹角为60°。两条预制裂隙的初始长度均为20 mm,圆孔的直径也为20 mm。预制裂隙的开度为1 mm。相关输入参数可见文献[27,28]。采用自由三角形网格对模型进行离散,沿预期裂缝扩展路径区域对网格进行细化,最大单元尺寸为1 mm。此外,在钻孔与预制裂隙中施加10 kPa/s的内压。如图 3所示,通过相场模拟得到的水力裂缝形态与试验结果一致,从而验证了相场模型模拟水力裂纹扩展的可靠性。
此外还测试了该方法模拟三维水力裂缝扩展的适用性。计算域为200 mm×200 mm×200 mm的立方体。如图 4(a)所示,平板裂隙位于x-y平面内,长和宽均为30 mm,开度为5 mm。给定中间预制平板裂隙的流体源为100 kg/(m3·s),长度尺度参数l0=5 mm,其余计算参数见表 1。采用八节点六面体单元对三维域进行离散,将单元的最大尺寸设为5 mm,以降低计算成本。另外,时间步长设置为0.05 s。在这个三维例子中,给定两个方向的最小地应力为3 MPa,x,y和z方向依次设置最大地应力13 MPa。三维各向同性介质中的水力裂缝扩展规律如图 4(b)~(d)所示。由图 4可以看出,当 {\sigma _{\text{H}}} =13 MPa和 {\sigma _{\text{h}}} =13 MPa时,裂缝仅在x-y平面内萌生和扩展。裂缝面形状为椭圆形,椭圆长轴垂直于最大主应力方向。图 4(d)表明,当 {\sigma _{\text{v}}} =13 MPa时,裂缝开始沿着z轴方向扩展。图 5为三维水力裂缝损伤面积和流体压力演化特征。裂缝萌生后流体压力呈下降趋势,当 {\sigma _{\text{v}}} =13 MPa时,起裂速度显著低于 {\sigma _{\text{H}}} =13 MPa和 {\sigma _{\text{h}}} =13 MPa的工况。其最大流体压力明显高于其它两个模型,这与水力裂缝的扩展速率相关。总而言之,该模拟表明相场法可有效捕捉不同地应力作用下的三维页岩水力裂纹扩展路径。
表 1 相关模拟参数Table 1. Parameters used in simulations参数 E ν {\alpha _{{\text{Bm}}}} {\alpha _{{\text{Bf}}}} Gc l0 值 30 0.3 0.1 1 200 2 单位 GPa — — — N/m mm 参数 c1 c2 ϕsm ϕsf cmf Km 值 0.4 1 0.04 1 10-8 10-19 单位 — — — 1/Pa m2 参数 {\rho _{{\text{m/f}}}} {\mu _{{\text{m/f}}}} Kf δ B 值 1000 0.001 10-8 10-9 1000 单位 kg/m3 Pa·s m2 — — 3. 数值模拟与分析
本文为简化计算,在二维假设下仅对试验尺度下页岩试样进行数值模拟研究。如图 6所示,模型尺寸为200 mm×200 mm,模型包含3条预制裂隙,其中位于模型中心处的裂隙为流体注入区,流体注入速率为50 kg/(m3·s),其余两条为与水力裂缝交汇的预制天然裂隙,在相场法中为模拟预制裂隙,对于局部历史应变场方程(式(17))的变量H初始值采用了公式(18)设置,即预先给定较大的拉应变能,使得该预制裂隙区域在初始时刻相场ϕ=1,表明天然裂隙一开始即处于完全损伤状态(无胶结)。采用自由三角形网格离散求解域,最大单元尺寸不超过1 mm。模型外边界为零压力,水平和竖直方向分别施加最大和最小水平应力,同时施加对应的初始应力场。模拟相关参数见表 1。为了模拟层理面,采用了插值函数,赋于层理和基质各自的力学和渗流参数。基质弹性模量、临界能量释放率以及渗透率均服从韦伯分布,对应参数分布的均值见表 1,均质度系数为6;层理的杨氏模量和临界能量释放率均弱化为基质的1/5,层理渗透率强化为基质渗透率的10倍。以层理角度等于60°为例,得到的具体参数分布见图 7。
3.1 水力裂缝与天然裂隙交互
这里首先研究了不含层理的页岩水力裂缝扩展特征。水平地应力的设置如表 2所示,与文献[29]一致,地应力差逐渐增加,同时最大和最小水平应力依次变化。图 8为注射流体10 s后,不同地应力条件下水力裂缝的形态。模拟结果显示,随着地应力差的增加,裂纹形态和起裂速度差异显著。当地应力差最小,即Δσ=3 MPa时,水力裂缝在与天然裂隙交汇后,沿着两条天然裂隙尖端开始扩展,随后由于应力屏蔽与放大效应,裂纹仅延其中两对角尖端扩展。随着地应力差逐渐增大,当Δσ=5 MPa时,扩展后的水力裂缝倾角稍微减小,即水力裂缝转向最大水平地应力方向。当Δσ=7 MPa时,水力裂缝转向显著,同时沿着最大水平应力方向扩展更为迅速,次生裂纹明显缩短。当Δσ=10 MPa,水力裂缝遭遇天然裂隙时,扩展路径发生小角度偏转,此后直接横穿天然裂隙,此时,裂缝的扩展速度却低于Δσ=7 MPa时的情况。图 9给出了Δσ=3 MPa时,不同时间下页岩试样的第一主应力分布。可以看出即将发生扩展的裂缝尖端区域的第一主应力最大。
表 2 数值模拟方案Table 2. Schemes of numerical simulation模拟方案 σmax/MPa σmin/MPa Δσ/MPa 1 8 5 3 2 10 5 5 3 10 3 7 4 13 3 10 3.2 水力裂缝与天然裂隙、层理交互
页岩作为一种沉积岩,具有层状弱交界面,分布于整个岩体中。试验研究发现页岩的层状结构(即层理面)对页岩的力学特性、裂纹萌生、扩展和破坏形态有显著影响[30]。本节考虑了页岩的层理面,研究了层理面、天然裂隙和水力裂缝的交互。设置包含不同层理角度的页岩(0°,30°,60°和90°)。为了清晰的显示裂纹的形态,通过逻辑变量,将相场ϕ > 0.95的裂缝区域统一设置为如图 10所示的红色区域,与蓝色区域的基质部分(未开裂部分)加以区别。
从图 10可看出,最终裂缝随着层理角度和地应力差的不同呈现出不同的形态。当层理角度等于0°,60°和90°时,随着地应力差逐渐增大,水力裂缝与天然裂隙合并后的裂缝起裂角度逐渐减小,直至当地应力差增加到10 MPa,水力裂缝可直接横穿天然裂隙。而当层理角度为30°时,随着地应力差的增大,水力裂缝与天然裂隙交汇点发生微小改变,交汇后裂缝整体扩展方向发生扭转,只沿层理面方向扩展,而不能横穿层理面。
图 11绘制了损伤面积随时间的演化曲线。这里同样选择ϕ > 0.95的区域积分得到。可以清晰地看到损伤面积近似呈指数形式增长。在水力裂缝、层理面以及天然裂隙交互的同时发生部分抖动,这是由于水力裂缝、天然裂隙与层理面交互前存在能量的积聚。
图 12为注射裂隙内的平均流体压力演化规律。几乎都呈现出给出类似“驼峰”的特征。在水力加载初始阶段,压力曲线近乎直线增加。随着水力裂缝扩展,压力缓慢下降,当水力裂缝与天然裂隙汇合时,压力迅速下降到最小。此后,页岩逐渐开始积聚能量,因此压力曲线又逐渐呈现上升的趋势。当水力裂缝横穿天然裂隙或者裂隙沿着天然裂隙一端扩展后,压力又开始下降,直至降到零为止。
图 13给出了不同时间下层理角度为30°,Δσ=7 MPa的层理页岩总的位移分布图。可以看出裂纹两侧位移的强间断特征。在计算迭代过程中可通过垂直于裂纹面两侧的位移分量实时计算更新裂纹的真实开度,根据修正的立方定律可进一步计算裂隙的渗透性。然而,在本文中并未按照此方法进行水力耦合,而是采用基质与模糊的损伤区线性插值得到的渗透率演化模型。这样无形中高估或低估了裂纹的渗透能力,可能会影响裂纹的起裂压力和扩展路径,这将是后期研究的重点。
4. 结语
建立了水力耦合的相场模型,该模型在模拟应力边界下复杂水力裂缝扩展、交互与合并过程中呈现出显著的优势。在三维模型中同样适用,且不需要裂纹面追踪和额外的数值操作。
层理角度改变了水力裂缝的扩展路径。随着地应力差的增大,水力裂缝可沿着最大水平应力方向横穿天然裂隙和层理面,而当层理角度为30°,地应力差增大后,水力裂缝在与天然裂隙交互后沿着层理面扩展。
对相同层理角度而言,地应力差越大,裂缝起裂越快,裂缝形态越单一,损伤面积越小。注射裂缝的流体压力随注射时间和裂缝扩展情况演化。裂缝交互前,存在能量聚集阶段,而在裂纹交互后,流体压力迅速减小,直至最终达到边界压力。
在层理角度相同的情况下,层理对水力裂缝扩展路径的改变主要取决于层理面的力学参数,层理面的渗流参数必然会影响水力裂缝的起裂速度,而本文尚未细致考察这一情况。此外,由于其变分结构,该模型更容易被扩展用于研究多场耦合环境下岩石裂纹的扩展问题。
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表 1 相关模拟参数
Table 1 Parameters used in simulations
参数 E ν Gc l0 值 30 0.3 0.1 1 200 2 单位 GPa — — — N/m mm 参数 c1 c2 ϕsm ϕsf cmf Km 值 0.4 1 0.04 1 10-8 10-19 单位 — — — 1/Pa m2 参数 Kf δ B 值 1000 0.001 10-8 10-9 1000 单位 kg/m3 Pa·s m2 — — 表 2 数值模拟方案
Table 2 Schemes of numerical simulation
模拟方案 σmax/MPa σmin/MPa Δσ/MPa 1 8 5 3 2 10 5 5 3 10 3 7 4 13 3 10 -
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