弱胶结砂岩地基承载力深度修正系数<i>k</i><sub>2</sub>试验研究

李忠伟; 龚维明; 胡尧; 刘军; 柳鸿博

doi:10.11779/CJGE20221402

弱胶结砂岩地基承载力深度修正系数k₂试验研究 English Version

李忠伟^1,,
龚维明^1, ,,
胡尧²,
刘军¹,
柳鸿博¹

1.
东南大学土木工程学院, 江苏南京 210096
2.
江苏省交通工程建设局, 江苏南京 210000

基金项目:

国家自然科学基金面上项目 52178317

国家自然科学基金面上项目 52078128

国家自然科学基金面上项目 51878160

详细信息

作者简介:
李忠伟(1992—)，男，博士研究生，主要从事软岩地基承载力研究工作。E-mail: lizw@seu.edu.cn

通讯作者:
龚维明, E-mail: wmgong@seu.edu.cn

中图分类号: TU43
计量
- 文章访问数: 297
- HTML全文浏览量: 49
- PDF下载量: 67
出版历程
- 收稿日期: 2022-11-11
- 网络出版日期: 2024-03-14
- 刊出日期: 2024-02-29

Experimental study on depth correction factor k₂ for characteristic value of bearing capacity of weakly cemented sandstone foundation

1.
School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China
2.
Jiangsu Traffic Engineering Construction Bureau, Nanjing 210000, China

摘要

摘要: 为探究弱胶结砂岩深度修正合理性及修正系数取值，依托南京龙潭长江大桥北锚碇大型块体基础，对25 m埋深的弱胶结砂岩持力层分别开展基岩深层和浅层平板载荷试验，得到持力层深度修正前后的地基承载力特征值，研究深度修正规律，研究结论：修正浅层载荷试验地基承载力的修正系数k_2t取3.3、修正规范法地基承载力的修正系数k_2c取8.0，保守考虑时可不区分未修正的承载力特征值获得途径，k₂统一取3.3；深度修正后地基承载力有较大提升，说明本工程中对弱胶结砂岩承载力进行深度修正是很有必要的；对比现有规范中土质地基k₂的取值规律，弱胶结砂岩的k_2t和k_2c取值较为保守，该值可为类似地质条件下的工程提供参考。
- 弱胶结砂岩 /
- 承载力特征值 /
- 深度修正 /
- 平板载荷试验
Abstract: To explore the rationality of depth correction value of the weakly cemented sandstone and the correction coefficient, relying on the north anchorage of large block foundation of the Yangtze River bridge in Longtan of Nanjing, the plate loading tests on deep and shallow rock of the bearing layer of weakly cemented sand stone 25 m in depth are carried out to obtain the characteristic values of bearing capacity of the foundation before and after depth correction. The depth correction rules are investigated. The results show that the correction coefficient k_2t for the shallow loading tests is 3.3, and the correction coefficient k_2c for the standard method is 8.0. Under conservative consideration, the method for obtaining the uncorrected characteristic values of bearing capacity is not distinguished, and k₂ is uniformly 3.3. After the depth correction, the bearing capacity of foundation is greatly improved, which indicates that it is necessary to revise the bearing capacity of weakly cemented sandstone in this project. Compared with the valuing rules of k₂ of soil foundation in the existing code, the values of k_2t and k_2c of weakly cemented sandstone in this study are conservative, so it may provide a reference for the projects under similar geological conditions.
- weakly cemented sandstone /
- bearing capacity characteristic value /
- depth correction /
- plate loading test

HTML全文

0. 引言

在波浪荷载作用下，海床内孔隙水压力增大以及垂直有效应力降低，进而导致海床土体失稳甚至液化^[1]。在人类探索海洋资源的近几十年内，海床的液化对人类在海洋中的作业安全产生了很大的影响^[2]。因此，针对波浪荷载对海床动力响应的研究具有重要的理论意义和工程价值。

自20世纪中叶起，学者们开始分别基于刚性非耦合模型^[3]、Biot流固耦合模型^[4]和多孔介质弹塑性模型^[5]对波浪荷载引起的海床动力响应问题进行了理论研究。其中基于可考虑饱和介质压缩性的Biot三维准静态固结理论^[6]和动力固结理论应用^[7]最为广泛。Yamamoto等^[8]基于Biot准静态固结理论得到了线性波作用下无限厚度海床内孔隙水压力、有效应力和土骨架位移的闭合形式解，为此后的研究奠定了基础。Madsen^[9]在此基础上，引入了Verruijt^[10]提出的考虑海床土体饱和度的储存方程，得到了线性波作用下无限厚度准饱和海床动力响应的解析解，发现海床的动力响应受到海床土体饱和度的影响显著。基于Madsen的研究，Okusa^[11]发现海床土体的参数对无限厚度海床动力响应的影响可以忽略不计。Mei等^[12]采用边界层近似法，即通过将海床分为上下两部分，求解无限厚度海床动力响应的方法求解上半区域海床，并得到下半区域海床的简化解，最终得到波浪荷载作用下有限厚度多孔弹性海床的动力响应的近似解。Hsu等^[13]则得到了波浪荷载作用下有限厚度海床动力响应的解析解，发现当海床厚度趋于无穷大时，有限厚度海床的动力响应与无限厚度海床的解析解结果基本一致。

Zienkiewicz等^[14]基于Biot准静态固结理论和Biot动力固结理论，整理总结得到了适应于饱和土体的准静态理论、部分动态理论和完整动态理论。Ulker等^[15]通过对准静态解、部分动态解和完整动态解的对比分析研究，发现在一定的海床和波浪条件下三者得到的结果基本一致。考虑到准静态理论的推导简单，便于用于实际工程分析，于是学者们在准静态理论的基础上进行了一系列深入的研究工作。海洋中波浪特性往往相当复杂^[16]，而且波浪非线性特性对海床动力响应的研究尚不够深入。Madsen^[9]虽然得到了无限厚度海床动力响应的解答，但是该研究没有考虑海床底部下卧基岩的情况以及波浪非线性的影响。王忠涛等^[17]则通过数值模拟的方法给出了波浪非线性对海床动力响应的影响。郭秀军等^[18]研究基于有限差分法研究了海床的分层对动力响应的影响。Zhou等^[19]和Zhang等^[20]考虑了海床分层的影响得到了二阶Stokes波作用下多层海床的半解析解。周晓智等^[21]研究了驻波作用下海床应力路径特性。但是前述学者的研究均没有考虑波浪参数对海床动力响应的影响，且没有得到二阶Stokes波作用下有限厚度海床动力响应的准静态解析解。

因此本文基于准静态理论求解均质各向同性海床在二阶Stokes波作用下动力响应的解析解，通过与既有解进行对比验证，并结合数值计算分析了波浪和海床土体的参数对海床动力响应的影响规律。

1. 控制方程和边界条件

如图 1所示，本文考虑了下卧刚性不透水基岩的多孔弹性海床在二阶Stokes波作用下动力响应问题。其中二阶Stokes波的传播方向为x轴的正方向。与Li等^[1]的研究一致，取海床和海洋的接触面为笛卡尔坐标系的零点，z轴垂直向上时为正值，负值在海床和海洋的接触面以下。此外，图中H和L分别为二阶Stokes波的波高和波长；d为水深；h为海床的厚度。

图 1 波浪和多孔弹性海床之间的动力相互作用

Figure 1. Dynamic interaction between ocean waves and poroelastic seabed

下载: 全尺寸图片幻灯片

1.1 控制方程

基于Biot三维准静态固结理论^[6]与Verruijt储能方程^[10]，多孔弹性海床的控制方程可以表示为

${\sigma _{ij,j}} = 0 \text{，}$

(1)

$- {p_{,i}} = {{{\rho _{\text{f}}}g{{\dot w}_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rho _{\text{f}}}g{{\dot w}_i}} K}} \right. } K} 。$

(2)

式中：下标i和j表示该场量沿x或z方向的分量；下标‘, i’和‘, j’表示该场量对x或z方向的一阶偏导；字母上的‘•’表示该场量对时间t的一阶导数； ${\sigma _{ij}}$ 为总应力张量；p为孔隙水压力； ${\rho _{\text{f}}}$ 为孔隙流体密度；g为重力加速度；K为渗透系数（水力传导系数）。

流体的质量守恒方程为

${\dot u_{i,i}} + {\dot w_{i,i}} = - n\beta \dot p = \partial {\rho _{\text{f}}}/\partial t 。$

(3)

式中：u为土骨架的位移；w为孔隙流体相对土骨架的位移；n为海床土体的孔隙率；β为孔隙流体压缩性系数。当海床土体中含有少量气体时，β可以通过下式计算：

$\beta = 1/{K_{\text{w}}} + (1 - {S_{\text{r}}})/{P_{{\text{w0}}}} 。$

(4)

式中： ${K_{\text{w}}}$ 为孔隙流体的实际体积弹性模量，一般取 ${K_{\text{w}}}$ =2×10⁹ Pa； ${S_{\text{r}}}$ 为海床土体的饱和度； ${P_{{\text{w0}}}}$ 为由水深d确定的绝对压力， ${P_{{\text{w0}}}}$ = ${\rho _{\text{f}}}$ gd。

将式（2）代入式（3），消去w项，可以将控制方程改写为

$K\left( {\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {z^2}}}} \right) - {\gamma _{\text{w}}}n\beta \frac{{\partial p}}{{\partial t}} = {\gamma _{\text{w}}}\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial z}}} \right) 。$

(5)

式中： ${\gamma _{\text{w}}}$ 为孔隙流体的重度。

根据式（1），采用 ${\sigma^{\prime}_{xx}}$ ， ${\sigma{zz}^{\prime}_}$ 和τ_xz分别表示沿x方向和z方向的有效应力以及剪切应力，那么多孔弹性海床的整体平衡方程可以表示为

$\frac{{\partial {{\sigma^{\prime}}_{xx}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} \text{，}$

(6)

$\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{\sigma^{\prime}}_{zz}}}}{{\partial z}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial z}} 。$

(7)

多孔弹性海床的本构关系可以表示为

$\left.\begin{array}{l}{{\sigma }^{\prime }}_{xx}=-\frac{2(1-\mu )G}{1-2\mu }\left(\frac{\partial {u}_{x}}{\partial x}+\frac{\mu }{1-\mu }\frac{\partial {u}_{z}}{\partial z}\right)\text{ }\text{，}\\ {{\sigma }^{\prime }}_{zz}=-\frac{2(1-\mu )G}{1-2\mu }\left(\frac{\mu }{(1-\mu )}\frac{\partial {u}_{x}}{\partial x}+\frac{\partial {u}_{z}}{\partial z}\right)\text{ }\text{，}\\ {\tau }_{xz}=-G\left(\frac{\partial {u}_{x}}{\partial z}+\frac{\partial {u}_{z}}{\partial x}\right)\text{ }。\end{array}\right\}$

(8)

式中：μ为泊松比；G为剪切模量。

1.2 边界条件

（1）海床表面的边界条件（z=0）

如图 1所示，海床表面的垂直有效应力和剪切应力趋于零，且海洋表面产生波浪运动引起的周期荷载：

${\sigma{zz}^{\prime}_} = {\tau _{xz}} = 0 \text{，} {p_{\text{f}}} = {p_{\text{b}}}(x,t) 。$

(9)

海床表面的波浪压力可以进一步表示为

${p_{\text{b}}}(x,t) = \sum\limits_{m = 1}^2 {{P_m}\cos } (mkx - m\omega t) \text{，}$

(10)

其中

${P_1} = \frac{{{\rho _{\text{f}}}gH}}{{2\cosh (kd)}} \text{，}$

(11)

${P_2} = \frac{3}{4}{\gamma _{\text{w}}}H\left( {\frac{{{\text{π }}H}}{L}} \right)\frac{1}{{\sinh (2kd)}}\left[ {\frac{1}{{{{\sinh }^2}(kd)}} - \frac{1}{3}} \right] 。$

(12)

式中： ${p_{\text{b}}}$ 为海床表面的周期荷载；m=1, 2，P₁和P₂分别为海床表面的一阶和二阶压力；k=2π/L为波数，由波长L确定；ω=2π/T为波的角频率，由周期T确定。

（2）海床底面的边界条件（z=-h）

如图 1所示，假定有限厚度海床的底面为刚性、不透水基岩，底部边界条件可以表示为

${u_x} = {u_z} = 0 \text{，} {{\partial p} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial p} {\partial z}}} \right. } {\partial z}} = 0 。$

(13)

2. 海床动力响应求解

由于作用在海床表面的波浪荷载呈现周期性变化，因此未知场量同样随着波数k与角频率ω的变化产生周期性变化，可以基于Madsen^[14]求解过程中使用的复变量对该问题进行求解。同时，考虑到二阶Stokes波由不同阶次的波浪组成，因此可以将所有场量改写成由不同阶次求和的复变量形式：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x}(x,z,t)} \\ {{u_z}(x,z,t)} \\ {p(x,z,t)} \end{array}} \right\} = \sum\limits_{m = 1}^2 {{Re} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {U_x^{\left( m \right)}(z)} \\ {U_z^{\left( m \right)}(z)} \\ {{P^{\left( m \right)}}(z)} \end{array}} \right\}} {{\text{e}}^{{\text{i}}m\left( {kx - \omega t} \right)}} 。$

(14)

式中：i=(-1)^1/2为虚数；Re代表对结果取实部； $U_x^{\left( m \right)}$ 、 $U_z^{\left( m \right)}$ 和 ${P^{\left( m \right)}}$ 为波浪荷载引起的海床动力响应的幅值。值得注意的是，由于将场量拓展到复数域进行求解，因此仅取最后得到结果的实部进行分析。

波浪作用在海床表面的荷载在复数域可以表示为

${p_{\text{b}}}(x,t) = \sum\limits_{m = 1}^2 {{P_m}{{\text{e}}^{{\text{i}}m\left( {kx - \omega t} \right)}}} 。$

(15)

通过将场量表示为复变量形式，式（5），（6）和（8）可以分别改写为

$\frac{{{\partial ^2}{P^{\left( m \right)}}}}{{\partial {z^2}}} - \left( {{m^2}{k^2} - \frac{{{\gamma _{\text{w}}}n\beta }}{K}{\text{i}}m\omega } \right){P^{\left( m \right)}}$

$\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = - \frac{{{\text{i}}m\omega {\gamma _{\text{w}}}}}{K}\left( {{\text{i}}mkU_x^{\left( m \right)} + \frac{{\partial U_z^{\left( m \right)}}}{{\partial z}}} \right) \text{，}$

(16)

${P^{\left( m \right)}} = - \left( {{{\sigma^{\prime}}_{xx}} + \frac{1}{{{\text{i}}mk}}\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}}} \right) \text{，}$

(17)

$\left.\begin{array}{l}{{\sigma }^{\prime }}_{xx}=-\frac{2(1-\mu )G}{1-2\mu }\left(\text{i}mk{U}_{x}^{\left(m\right)}+\frac{\mu }{1-\mu }\frac{\partial {U}_{z}^{\left(m\right)}}{\partial z}\right)\text{ }\text{，}\\ {{\sigma }^{\prime }}_{zz}=-\frac{2(1-\mu )G}{1-2\mu }\left(\frac{\mu }{1-\mu }\text{i}mk{U}_{x}^{\left(m\right)}+\frac{\partial {U}_{z}^{\left(m\right)}}{\partial z}\right)\text{ }\text{，}\\ {\tau }_{xz}=-G\left(\frac{\partial {U}_{x}^{\left(m\right)}}{\partial z}+\text{i}mk{U}_{z}^{\left(m\right)}\right)\text{ }。\end{array}\right\}$

(18)

将式（17）代入式（7）和式（16）可以分别得到

$\frac{{\partial {{\sigma^{\prime}}_{zz}}}}{{\partial z}} + {\text{i}}mk{\tau _{xz}} = \frac{{\partial {{\sigma^{\prime}}_{xx}}}}{{\partial z}} + \frac{1}{{{\text{i}}mk}}\frac{{{\partial ^2}{\tau _{xz}}}}{{\partial {z^2}}} \text{，}$

(19)

$\frac{{{\partial ^2}{{\sigma^{\prime}}_{xx}}}}{{\partial {z^2}}} + \frac{1}{{{\text{i}}mk}}\frac{{{\partial ^3}{\tau _{xz}}}}{{\partial {z^3}}} - \left( {{m^2}{k^2} - \frac{{{\gamma _{\text{w}}}n\beta }}{K}{\text{i}}m\omega } \right)\left( {{{\sigma^{\prime}}_{xx}} + \frac{1}{{{\text{i}}mk}}\frac{{\partial {\tau _{xz}}}}{{\partial z}}} \right) \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{\text{i}}m\omega {\gamma _{\text{w}}}}}{K}\left( {{\text{i}}mkU_x^{(m)} + \frac{{\partial U_z^{(m)}}}{{\partial z}}} \right) 。$

(20)

将多孔弹性介质本构关系式（18）代入式（19），可以得到

$\frac{{{\partial ^2}U_z^{(m)}}}{{\partial {z^2}}} - {m^2}{k^2}U_z^{(m)} = \frac{1}{{{\text{i}}mk}}\left( {\frac{{{\partial ^3}U_x^{(m)}}}{{\partial {z^3}}} - {m^2}{k^2}\frac{{\partial U_x^{(m)}}}{{\partial z}}} \right) 。$

(21)

将式（7）代入式（20），可以得到

$\begin{array}{l} \left\{ {\frac{{{\partial ^3}U_z^{\left( m \right)}}}{{\partial {z^3}}} - {m^2}{k^2}\frac{{\partial U_z^{\left( m \right)}}}{{\partial z}} + } \right. \\ \left. {\frac{{{\text{i}}m\omega {\gamma _{\text{w}}}\left[ {n\beta + (1 - 2\mu )/G} \right]}}{K}\frac{{\partial U_z^{\left( m \right)}}}{{\partial z}}} \right\} \\ = - \frac{1}{{{\text{i}}mk}}\left\{ {(1 - 2\mu )\frac{{{\partial ^4}U_x^{\left( m \right)}}}{{\partial {z^4}}} - \left[ {2(1 - \mu ){m^2}{k^2} + (1 - 2\mu ) \cdot } \right.} \right. \\ {\text{ }}\left. {\left( {{m^2}{k^2} - \frac{{{\text{i}}m\omega {\gamma _{\text{w}}}n\beta }}{K}} \right)} \right]\frac{{{\partial ^2}U_x^{\left( m \right)}}}{{\partial {z^2}}} + \\ {m^2}{k^2}\left[ {2(1 - \mu ){m^2}{k^2} - {\text{i}}m\omega {\gamma _{\text{w}}} \cdot } \right. \\ \end{array}$

$\left. {\left. {\frac{{2n\beta (1 - \mu ) + (1 - 2\mu )/G}}{K}} \right]U_x^{\left( m \right)}} \right\} 。$

(22)

将式（21）代入式（22），可以得到

$\begin{array}{l} \frac{{\partial U_z^{\left( m \right)}}}{{\partial z}} = \frac{{2(1 - \mu )K}}{{{m^2}\omega k{\gamma _{\text{w}}}\left[ {n\beta + (1 - 2\mu )/G} \right]}} \times \\ \;\;\;\;\;\;\;\left\{ {\frac{{{\partial ^4}U_x^{\left( m \right)}}}{{\partial {z^4}}} - \left[ {2{m^2}{k^2} - \frac{{{\text{i}}m\omega {\gamma _{\text{w}}}n\beta }}{K}\frac{{(1 - 2\mu )}}{{2(1 - \mu )}}} \right]\frac{{{\partial ^2}U_x^{\left( m \right)}}}{{\partial {z^2}}} + } \right. \end{array} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{m^2}{k^2}({m^2}{k^2} - {\kappa ^2})U_x^{\left( m \right)}\left. \begin{gathered} \\ \\ \end{gathered} \right\} 。$

(23)

式中：

${\kappa ^2} = \frac{{{\text{i}}m\omega {\gamma _{\text{w}}}\left( {n\beta + \frac{{(1 - 2\mu )}}{{2G(1 - \mu )}}} \right)}}{K} 。$

(24)

将式（23）代入式（22），可以得到

$\frac{{{\partial ^6}U_x^{\left( m \right)}}}{{\partial {z^6}}} - {m^2}{k^2}\left( {3 - \frac{{{\kappa ^2}}}{{{m^2}{k^2}}}} \right)\frac{{{\partial ^4}U_x^{\left( m \right)}}}{{\partial {z^4}}} +$

${m^4}{k^4}\left( {3 - 2\frac{{{\kappa ^2}}}{{{m^2}{k^2}}}} \right)\frac{{{\partial ^2}U_x^{\left( m \right)}}}{{\partial {z^2}}} - {m^6}{k^6}\left( {1 - \frac{{{\kappa ^2}}}{{{m^2}{k^2}}}} \right)U_x^{\left( m \right)} = 0 。$

(25)

式（25）为六阶偏微分方程，该方程的解可以假设为

$U_x^{\left( m \right)} = A{{\text{e}}^{\gamma mkz}} 。$

(26)

将所假设的解式（26）代入式（25）中，可以得到

$({\gamma ^2} - 1)({\gamma ^2} - 1)\left( {{\gamma ^2} - 1 + \frac{{{\kappa ^2}}}{{{m^2}{k^2}}}} \right) = 0 。$

(27)

由式（27），可以得到 $U_x^{\left( m \right)}$ 的解析解为

${U}_{x}^{\left(m\right)}=({A}_{1}+{A}_{2}z){\text{e}}^{mkz}+({A}_{3}+{A}_{4}z){\text{e}}^{-mkz}+{A}_{5}{\text{e}}^{{k}_{*}mkz}+{A}_{6}{\text{e}}^{-{k}_{*}mkz}。$

(28)

式中： ${k_*}$ =[1-κ²/(mk)²]。

考虑到后续计算中矩阵求逆的正指数溢出问题，通过将式（28）重构为

$U_x^{\left( m \right)} = ({A_1} + {A_2}z){{\text{e}}^{mkz}} + {A_5}{{\text{e}}^{{k_*}mkz}} + ({A_3} + {A_4}z){{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} +$

${A_6}{{\text{e}}^{ - {k_*}mk\left( {z + h} \right)}} 。$

(29)

将式（29）代入式（23），并对z求积分，可以得到 $U_z^{\left( m \right)}$ 的解析解为

$U_z^{\left( m \right)} = - {\text{i}}\left\{ {\left( {{A_1} + {A_2}z - \frac{{1 + 2\delta }}{{mk}}{A_2}} \right){{\text{e}}^{mkz}}{\text{ + }}{k_*}{A_5}{{\text{e}}^{{k_*}mkz}} - } \right.$

$\left. {\left( {{A_3} + {A_4}z + \frac{{1 + 2\delta }}{{mk}}{A_4}} \right){{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} - {k_*}{A_6}{{\text{e}}^{ - {k_*}mk\left( {z + h} \right)}}} \right\} 。$

(30)

式中：

$\delta = \frac{{(1 - 2\mu )n\beta }}{{n\beta + {{(1 - 2\mu )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 - 2\mu )} G}} \right. } G}}} 。$

(31)

同理可得孔隙水压力和有效应力的解析解为

${P^{\left( m \right)}} = 2G{\text{i}}\left\{ {\frac{{(\delta + 2\mu - 1)}}{{1 - 2\mu }}{A_2}{{\text{e}}^{mkz}} + \left[ {\frac{{(1 - \mu )(1 - k_*^2)}}{{1 - 2\mu }}} \right]mk{A_5}{{\text{e}}^{{k_*}mkz}} + } \right. \\ \left. {\frac{{1 - 2\mu - \delta }}{{1 - 2\mu }}{A_4}{{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} + \frac{{(1 - \mu )(1 - k_*^2)}}{{1 - 2\mu }}mk{A_6}{{\text{e}}^{ - {k_*}mk\left( {z + h} \right)}}} \right\} \text{，}$

(32)

$\sigma_{x x}^{\prime(m)} = - 2G{\text{i}}\left\{ {mk{A_1}{{\text{e}}^{mkz}} + \frac{{(1 - 2\mu )mkz + 2\mu \delta }}{{1 - 2\mu }}{A_2}{{\text{e}}^{mkz}} + } \right.$

${\text{ }}\frac{{1 - \mu - \mu k_*^2}}{{1 - 2\mu }}mk{A_5}{{\text{e}}^{{k_*}mkz}} + mk{A_3}{{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} +$

${\text{ }}\frac{{(1 - 2\mu )mkz - 2\mu \delta }}{{1 - 2\mu }}{A_4}{{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} +$

$\left. {\frac{{1 - \mu - \mu k_*^2}}{{1 - 2\mu }}mk{A_6}{{\text{e}}^{ - {k_*}mk\left( {z + h} \right)}}} \right\} \text{，}$

(33)

$\begin{gathered} \sigma_{z z}^{\prime(m)} = 2G{\text{i}}\left\{ {mk{A_1}{{\text{e}}^{mkz}} - \left[ { - mkz + \frac{{2(1 - \mu )}}{{1 - 2\mu }}\delta } \right]{A_2}{{\text{e}}^{mkz}} - } \right. \\ {\text{ }}\frac{{\mu - (1 - \mu )k_*^2}}{{1 - 2\mu }}mk{A_5}{{\text{e}}^{{k_*}mkz}} + mk{A_3}{{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} + \\ {\text{ }}\left[ {mkz + \frac{{2\delta (1 - \mu )}}{{1 - 2\mu }}} \right]{A_4}{{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} - \\ \end{gathered}$

$\left. {\frac{{\mu - (1 - \mu )k_*^2}}{{1 - 2\mu }}mk{A_6}{{\text{e}}^{ - {k_*}mk\left( {z + h} \right)}}} \right\} \text{，}$

(34)

$\begin{gathered} \tau _{xz}^{\left( m \right)} = 2G\left\{ { - mk{A_1}{{\text{e}}^{mkz}} - (mkz - \delta ){A_2}{{\text{e}}^{mkz}} - {k_*}mk{A_5}{{\text{e}}^{{k_*}mkz}}} \right. + \\ {\text{ }}mk{A_3}{{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} + (mkz + \delta ){A_4}{{\text{e}}^{ - mk\left( {z + h} \right)}} + \end{gathered} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left. {{k_*}mk{A_6}{{\text{e}}^{ - {k_*}mk\left( {z + h} \right)}}} \right\} 。$

(35)

式中：未知参数A₁~A₆可以代入边界条件（式（9），（13））确定，如下式所示：

$\left[\begin{array}{c}{A}_{1}\\ {A}_{2}\\ {A}_{3}\\ {A}_{4}\\ {A}_{5}\\ {A}_{6}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cccccc}{B}_{1}& -{B}_{2}& {B}_{1}{B}_{5}& {B}_{2}{B}_{5}& -{B}_{3}{B}_{1}& -{B}_{3}{B}_{1}{B}_{10}\\ -{B}_{1}& \delta & {B}_{1}{B}_{5}& \delta {B}_{5}& -{B}_{4}& {B}_{4}{B}_{10}\\ {B}_{5}& -{B}_{5}h& 1& -h& {B}_{10}& 1\\ {B}_{5}& -{B}_{5}h-{B}_{7}{B}_{5}& -1& h-{B}_{7}& {k}_{*}{B}_{10}& -{k}_{*}\\ 0& {B}_{8}{B}_{5}& 0& {B}_{8}& {B}_{9}{B}_{4}{B}_{10}& -{B}_{9}{B}_{4}\\ 0& 2G\text{i}{B}_{8}& 0& -2G\text{i}{B}_{8}{B}_{5}& 2G\text{i}{B}_{9}{B}_{1}& 2G\text{i}{B}_{9}{B}_{1}{B}_{10}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ {p}_{b}\end{array}\right]。$

(36)

式中：

$\begin{array}{l} {B_1} = mk;{B_2} = \frac{{2\delta (1 - \mu )}}{{1 - 2\mu }};{B_3} = \frac{{\mu - (1 - \mu )k_*^2}}{{1 - 2\mu }};{B_4} = {k_*}mk; \\ {B_5} = {{\text{e}}^{ - mkh}};{B_6} = {{\text{e}}^{mkh}};{B_7} = \frac{{1 + 2\delta }}{{mk}};{B_8} = \frac{{\delta + 2\mu - 1}}{{1 - 2\mu }}; \end{array} \\ \;\;\;\; {B_9} = \frac{{(1 - \mu )(1 - k_*^2)}}{{1 - 2\mu }};{B_{10}} = {{\text{e}}^{ - {k_*}mkh}};{B_{11}} = {{\text{e}}^{{k_*}mkh}} 。$

(37)

3. 二阶Stokes波作用下海床动力响应分析

3.1 与既有解的对比

为了对比验证本文得到的二阶Stokes波作用下海床动力响应的解析解，本文分别给出了线性波和二阶Stokes波作用下的对比结果，对比结果中实线代表本文解析解，点代表既有解。首先通过选取与Hsu等^[13]一致的参数：T=15 s，d=70 m，L=324 m，h=25 m，G=10⁷ Pa，n=0.3，μ=1/3以及K=10^-2 m/s，将本文解析解与Hsu等^[13]得到的线性波作用下的解进行对比。由图 2可知本文解析解得到的孔隙水压力和有效应力曲线与Hsu等的曲线完全一致，从而可以证明本文解析解的正确与可靠。

图 2 线性波作用下本文解析解与Hsu等的解之间的对比

Figure 2. Comparison of seabed response between present solution and solution by Hsu et al. under linear waves

下载: 全尺寸图片幻灯片

进一步地，将本文解析解与Zhang等^[20]二阶Stokes波作用下的解进行对比如图 3所示。对比中选用的参数与Zhang等一致：T=12 s，H=8 m，d=0.125L，h=24 m，S_r=0.975，n=0.35，μ=0.4，K=10^-4 m/s以及G=5×10⁶ Pa。对比结果表明本文解析解与Zhang等^[20]的解有良好的匹配性，进一步表明了本文解的正确性和可靠性。

图 3 二阶斯托克斯波作用下本文解析解与Zhang等的解之间的对比

Figure 3. Comparison of seabed response between present solution and solution by Zhang et al. under second-order Stokes waves

下载: 全尺寸图片幻灯片

3.2 波浪和海床参数对动力响应的影响

由二阶Stokes波作用在海床表面周期压力的表达式（10）~（12）可知，波浪的周期T、波高H以及水深d对二阶Stokes波的影响较大；而在对海床动力响应的求解过程中可知，海床土体的剪切模量G和渗透系数K同样会对海床的动力响应产生影响。为了探究波浪参数和海床土体参数对海床动力响应的影响，给出了如表 1所示的波浪和海床土体参数并进行算例计算和分析。在下列算例计算和分析中，没有提及的参数的取值均来源于表 1。

表 1 多孔弹性海床和波浪的基本参数

Table 1. Basic poroelastic properties and wave conditions

波浪和海床土参数	数值
波的周期T	10 s
波高H	5 m
水深d	0.125L^*
海床厚度h	20 m
孔隙流体的实际体积弹性模量K_w	2×10⁹ Pa
孔隙流体密度ρ_f	1000 kg/m³
孔隙率n	0.35
泊松比μ	0.33
渗透系数K	10^-4 m/s
剪切模量G	1×10⁷ Pa
海床土饱和度S_r	0.975
^*表中L代表波长。

下载: 导出CSV

| 显示表格

（1）波浪参数的影响

首先对波浪参数对海床动力响应的影响进行研究。图 4是二阶Stokes波作用下波浪周期T对海床动力响应的影响。其中波浪周期T的取值分别为8，9，10，11，12 s。从图 4中可以发现不同的波浪周期T对海床动力响应随深度方向z/h的变化趋势是一致的，还可以从图中发现：在海床相同深度z/h时，最大孔隙水压力|p|随着波浪周期T的增加而增加；最大水平有效应力|σ′_xx|在较浅区域随着波浪周期T的增加而减小，在较深区域则呈现相反的趋势；最大垂直有效应力|σ′_zz|和最大剪切应力|τ_xz|在较浅区域随着波浪周期T的增加而减小，在较深区域则存在转折点。同时还可以看出在相对水深d/L不变的情况下，波浪周期T越小，海床的动力响应受到二阶Stokes波的二阶项的影响越明显。

图 4 二阶Stokes波作用下波浪周期T对海床动力响应的影响

Figure 4. Influences of wave period on dynamic response of seabed under second-order Stokes waves

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5是二阶Stokes波作用下水深d对海床动力响应的影响。Le Méhauté^[22]认为当水深d小于0.1L时，Stokes波不能严格满足自由水面的边界条件，故水深d的取值分别为：0.1L，0.12L，0.125L，0.13L，0.14L。从图 5可以得知水深d对海床的动力响应有明显的影响，同时水深d还对二阶Stokes波的二阶项引起的海床动力响应的大小有相当显著的影响。与波浪周期T的影响类似，海床动力响应随深度方向z/h的变化趋势是一致的。最大孔隙水压力|p|、最大水平有效应力|σ′_xx|、最大垂直有效应力|σ′_zz|和最大剪切应力|τ_xz|随着水深d的增加与波浪周期T增加时均表现出相似的规律。当波浪周期T不变时，随着相对水深d/L较小时（例如d/L=0.1），海床的动力响应受二阶Stokes波二阶项的影响有显著的影响。

图 5 二阶Stokes波作用下水深d对海床动力响应的影响

Figure 5. Influences of water depth on dynamic response of seabed under second-order Stokes waves

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6是二阶Stokes波作用下波高H对海床动力响应的影响。其中波高H的取值分别为3，4，5，6，7 m。由图 6可以得知波高H对海床动力响应的影响较小。在海床的相同深度z/h处，最大孔隙水压力|p|、最大垂直有效应|σ′_zz|和最大剪切应力|τ_xz|均随着波高H的增大而增大。同时，波高H对二阶Stokes波二阶项引起的海床动力响应基本没有影响。

图 6 二阶Stokes波作用下波高H对海床动力响应的影响

Figure 6. Influences of seabed thickness on dynamic response of seabed under second-order Stokes waves

下载: 全尺寸图片幻灯片

（2）海床土体参数对海床动力响应的影响

图 7是二阶Stokes波作用下渗透系数K对海床动力响应的影响。其中渗透系数K的取值分别为10^-2，10^-3，10^-4，10^-5，10^-6 m/s。由图 7可得：渗透系数K对海床的动力响应有显著的影响。渗透系数K对海床动力响应的影响体现在沿深度方向z/h的变化率上，随着渗透系数K的减小在深度较浅处的最大孔隙水压力|p|减小速率越快，最大垂直有效应力|σ′_zz|增大速率越快，而在较深区域这些场量的变化速率与渗透系数K的相关性减小。当渗透系数K较大时，最大水平有效应力|σ′_xx|和最大剪切应力|τ_xz|受到的影响较大，渗透系数K较小时对最大剪切应力|τ_xz|基本没有影响，且对最大水平有效应力|σ′_xx|的影响较小。

图 7 二阶Stokes波作用下渗透系数K对海床动力响应的影响

Figure 7. Influences of permeability on dynamic response of seabed under second-order Stokes waves

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8是二阶Stokes波作用下剪切模量G对海床动力响应的影响。其中剪切模量G的取值分别为1×10⁶，5×10⁶，1×10⁷，5×10⁷，1×10⁸ Pa。从图 8中可以得出：剪切模量G对海床的动力响应有显著的影响。在海床的相同深度z/h处，最大孔隙水压力|p|和最大垂直有效应力|σ′_zz|随着剪切模量G的增大而分别减小和增大。而最大剪切应力|τ_xz|在深度z/h大约为0.5处存在一个转折点，在转折点以上的相同深度z/h处随着剪切模量G的增大而增大，在转折点以下则呈现相反的变化趋势，此现象可能是由于竖向和水平向有效应力状态改变引起的，即在z/h=0.5以下部分，水平有效应力出现了快速的增大而竖直有效应力出现了减小，在竖向偏应力状态改变的情况下，剪切应力状态呈现了相反的变化趋势。

图 8 二阶Stokes波作用下剪切模量G对海床动力响应的影响

Figure 8. Influences of shear modulus on dynamic response of seabed under second-order Stokes waves

下载: 全尺寸图片幻灯片

4. 结论

本文研究引入了二阶Stokes波理论模拟波浪荷载，考虑了波浪非线性的影响，最终建立了二阶Stokes波作用下有限厚度海床动力响应的解析解。并将本文得到的解析解与线性波既有解进行了对比，验证了本文解的正确性和可靠性。最后分析了波浪和海床土体参数对海床动力响应的影响。通过本文的研究主要得出以下3点结论。

（1）在相对水深d/L确定，波浪周期T较小时，以及波浪周期T确定，相对水深较小时，海床的动力响应受到二阶Stokes波的二阶项影响均增加。

（2）波浪周期T、水深d和波高H均会对海床的动力响应产生影响，但波高H对二阶Stokes波的二阶项引起的海床动力响应基本没有影响。

（3）海床土体的渗透系数K和剪切模量G均会对海床的动力响应有显著的影响。渗透系数K对海床动力响应的影响表现为沿深度方向的变化速率，而剪切模量G对海床动力响应体现为幅值大小的影响。

图 1 软质岩承载力深度修正系数计算方法示意图

Figure 1. Method for depth correction factor of bearing capacity of.soft rock

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 现场地质地层分布

Figure 2. Distribution of geological strata

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 试验点布置图

Figure 3. Layout of test sites

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 载荷试验示意图

Figure 4. Field loading tests

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 深层平板载荷试验

Figure 5. Deep plate loading tests

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 浅层平板载荷试验

Figure 6. Shallow plate loading tests

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 深层载荷试验荷载沉降修正

Figure 7. Settlement correction factor of deep plate loading tests

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 浅层平板载荷试验原始数据图

Figure 8. Origin data of shallow plate loading tests

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 图解法修正后载荷试验q-s曲线

Figure 9. q-s curves of loading tests corrected by graphic method

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 主要土层基本物理力学参数

Table 1 Parameters of main soil layers

土层	天然重度 γ/(kN·m^-3)	直剪固快		压缩模量 E_s1-2/MPa	饱和单轴抗压强度标准值 f_rk/MPa	原位纵波波速 V_p/(m·s^-1)
土层	天然重度 γ/(kN·m^-3)	黏聚力 c_c/kPa	内摩擦角ϕ_c/(°)	压缩模量 E_s1-2/MPa	饱和单轴抗压强度标准值 f_rk/MPa	原位纵波波速 V_p/(m·s^-1)
素填土	19.4	27.7	16.4	4.52	—	—
粉质黏土	18.2	16.7	16.8	3.65	—	—
中粗砂	19.6	4.0	32.9	14.01	—	—
残积土	19.5	—	—	3.13	—	—
弱胶结砂岩	20.7	—	—	—	0.18	1010
中风化砂岩	24.0	—	—	—	3.63	1531

下载: 导出CSV

表 2 试验结果组合下k_2t计算结果

Table 2 Calculated results of k_2t under combinations of tests

	[f_a]	[f_a]		[f_a0]	[f_a0]	k_2t	k_2t
沉降限值	8 mm	12 mm		8 mm	12 mm	8 mm	12 mm
深层1测点	3864.73	5797.1	浅层后趾测点1	2572.35	3858.52	2.97	4.45
深层1测点	3864.73	5797.1	浅层后趾测点2	2373.89	3560.83	3.42	5.13
深层1测点	3864.73	5797.1	浅层后趾测点3	2298.85	3448.28	3.59	5.39
深层2测点	5554	6436	浅层后趾测点1	2572.35	3858.52	6.84	5.92
深层2测点	5554	6436	浅层后趾测点2	2373.89	3560.83	7.30	6.60
深层2测点	5554	6436	浅层后趾测点3	2298.85	3448.28	7.47	6.86

下载: 导出CSV

表 3 公路桥涵规范岩石地基承载力特征值[f_a0]推荐值(kPa)^[31]

Table 3 Recommended bearing capacities without depth correction [f_a0] in Highway Bridge and Culvert Code of China (kPa)

坚硬程度	节理发育程度
坚硬程度	节理很发育	节理发育	节理不发育
坚硬岩、较硬岩	1500~2000	2000~3000	> 3000
较软岩	800~1000	1000~1500	1500~3000
软岩	500~800	800~1000	1000~1200
极软岩	200~300	300~400	400~500

下载: 导出CSV

参考文献(31)

[1]	郑立宁, 陈继彬, 周其健, 等. 成都地区中等风化泥岩地基承载力取值试验研究[J]. 岩土工程学报, 2021, 43(5): 926-932. doi: 10.11779/CJGE202105017 ZHENG Lining, CHEN Jibin, ZHOU Qijian, et al. Experimental study on bearing capacity of moderately weathered mudstone in Chengdu area[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2021, 43(5): 926-932. (in Chinese) doi: 10.11779/CJGE202105017
[2]	MA Z Y, DANG F N, LIAO H J. Effect of intermediate principal stress on the bearing capacity of footings in soft rock[J]. Coatings, 2021, 11(9): 1019. doi: 10.3390/coatings11091019
[3]	WANG Q K, MA J L, HU Z B, et al. Field tests on bearing behaviors of uplift piles in soft rock with shallow overburden[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 40(4): 1498-506.
[4]	NG K, SULLIVAN T. Challenges and recommendations for steel H-piles driven in soft rock[J]. Geotechnical Engineering, 2017, 48(3): 1-11.
[5]	建筑地基基础设计规范: GB 50007—2011[S]. 北京: 中国计划出版社, 2012. Code for Design of Building Foundation: GB 50007—2011[S]. Beijing: China Planning Press, 2012. (in Chinese)
[6]	公路桥涵地基与基础设计规范: JTG 3363—2019[S]. 北京: 人民交通出版社, 2019. Specifications for Design of Foundation of Highway Bridges and Culverts: JTG 3363—2019[S]. Beijing: China Communications Press, 2019. (in Chinese)
[7]	王吉盈, 崔文鉴. 岩石地基承载力的合理确定[J]. 铁道工程学报, 1994, 11(1): 62-68. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TDGC401.011.htm WANG Jiying, CUI Wenjian. Reasonable determination of bearing capacity of rock foundation[J]. Journal of Railway Engineering Society, 1994, 11(1): 62-68. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TDGC401.011.htm
[8]	刘连喜, 唐传政, 陈浩. 风化岩石地基承载力确定探讨[J]. 城市勘测, 1998(2): 33-37. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CSKC199802010.htm LIU Lianxi, TANG Chuanzheng, CHEN Hao. Discussion on determination of bearing capacity of weathered rock foundation[J]. Urban Geotechnical Investigation & Surveying, 1998(2): 33-37. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CSKC199802010.htm
[9]	顾宝和. 岩石地基承载力的几个认识问题[J]. 工程勘察, 2012, 40(8): 1-6. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCKC201208002.htm GU Baohe. A few understanding on bearing capacity of rock foundation[J]. Geotechnical Investigation & Surveying, 2012, 40(8): 1-6. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCKC201208002.htm
[10]	CHANG J C, LIAO J J, PAN Y W. Failure mechanism and bearing capacity of shallow foundation on poorly cemented sandstone[J]. Journal of Mechanics, 2008, 24(3): 285-96. doi: 10.1017/S1727719100002331
[11]	TANG J, LIU Y B. Bearing Capacity Calculation of Rock Foundation based on Nonlinear Failure Criterion[C]// Proceedings of the 2nd International Conference on Mechanical, Industrial, and Manufacturing Engineering (MIME). Singapore, 2012: 27-28.
[12]	张恩祥, 何腊平, 张森安. 兰州市区第三系风化砂岩地基承载力试验研究[J]. 工程勘察, 2015, 43(6): 11-14. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCKC201506003.htm ZHANG Enxiang, HE Laping, ZHANG Sen'an. Study on tests for subgrade bearing capacity of weathered sandstone in the Tertiary in Lanzhou[J]. Geotechnical Investigation & Surveying, 2015, 43(6): 11-14. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCKC201506003.htm
[13]	高大钊. 实用土力学-上: 岩土工程疑难问题答疑整理之三[M]. 北京: 人民交通出版社, 2014: 45-52. GAO Dazhao. Practical Soil Mechanics-Part I: Answering and Sorting Out Difficult Problems in Geotechnical Engineering (III)[M]. Beijing: China Communications Press, 2014: 45-52. (in Chinese)
[14]	MERIFIELD R S, LYAMIN A V, SLOAN S W. Limit analysis solutions for the bearing capacity of rock masses using the generalised Hoek-Brown criterion[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2006, 43(6): 920-937. doi: 10.1016/j.ijrmms.2006.02.001
[15]	高文华, 朱建群, 张志敏, 等. 软质岩石地基承载力试验研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2008, 27(5): 953-959. doi: 10.3321/j.issn:1000-6915.2008.05.011 GAO Wenhua, ZHU Jianqun, ZHANG Zhimin, et al. Experiment study on bearing capacity of soft rock foundation[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(5): 953-959. (in Chinese) doi: 10.3321/j.issn:1000-6915.2008.05.011
[16]	何沛田, 黄志鹏, 邬爱清. 确定软岩岩体承载能力方法研究[J]. 地下空间, 2004, 24(1): 89-93. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-BASE200401022.htm HE Peitian, HUANG Zhipeng, WU Aiqing. Study on estimation of bearing capacity of soft rock body[J]. Underground Space, 2004, 24(1): 89-93. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-BASE200401022.htm
[17]	王旭宏, 耿学勇, 吴春勇, 等. 吉阳核电厂古近系砂岩地基承载力特征值深度修正规律研究[J]. 工程勘察, 2015, 43(7): 18-22. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCKC201507003.htm WANG Xuhong, GENG Xueyong, WU Chunyong, et al. Study on depth modified laws of bearing capacity characteristic values of Paleogene sandstone foundation in Jiyang Nuclear Power Plant[J]. Geotechnical Investigation & Surveying, 2015, 43(7): 18-22. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCKC201507003.htm
[18]	沈莉. 软岩工程特性及其承载力修正规律的研究[D]. 兰州: 兰州大学, 2017: 56-68. SHEN Li. Study on Engineering Characteristics of Soft Rock and Its Bearing Capacity Modification Law[D]. Lanzhou: Lanzhou University, 2017: 56-68. (in Chinese)
[19]	LIAO J J, CHANG J C, PAN Y W, et al. Loading behavior of shallow foundation on poorly cemented sandstone[C]// Proceedings of the ISRM International Symposium/3rd Asian Rock Mechanics Symposium (ARMS). Kyoto, 2004: 1187-1196.
[20]	YANG Q R, CHENG S M, ZHOU B. Monitoring study on vertical bearing capacity of pile foundation in soft rock of lhasa human settlements[J]. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2020, 38(6): 7639-7650.
[21]	土工试验方法标准: GB/T 50123—2019[S]. 北京: 中国计划出版社, 2019. Standard for Geotechnical Testing Method: GB/T 50123—2019[S]. Beijing: China Planning Press, 2019. (in Chinese)
[22]	张升, 徐硕, 熊勇林, 等. 软岩热-弹-黏塑性本构模型[J]. 岩土工程学报, 2016, 38(12): 2278-2286. doi: 10.11779/CJGE201612017 ZHANG Sheng, XU Shuo, XIONG Yonglin, et al. Thermo-elasto-viscoplastic model for soft rock[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2016, 38(12): 2278-2286. (in Chinese) doi: 10.11779/CJGE201612017
[23]	CUI K, HU B, CUI A N, et al. An extended super/subloading surface model for soft rock considering structure degradation[J]. PLoS One, 2021, 16(10): e0258813.
[24]	KANG X S, LIAO H J, LENG X L. An enhanced bounding surface plasticity model for soft rock subjected to drained and undrained condition[J]. Comput Geotech, 2020, 127: 103742.
[25]	ZHANG S, LENG W M, ZHANG F, et al. A simple thermo-elastoplastic model for geomaterials[J]. Int J Plast, 2012, 34: 93-113.
[26]	彭柏兴, 金飞, 王星华. 长沙国际金融中心软岩载荷试验及其成果分析[J]. 岩土工程学报, 2017, 39(增刊1): 156-160. doi: 10.11779/CJGE2017S1031 PENG Baixing, JIN Fei, WANG Xinghua. Experimental study on bearing capacity of soft rock of Changsha International Finance Centre[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2017, 39(S1): 156-160. (in Chinese) doi: 10.11779/CJGE2017S1031
[27]	李晓龙, 王学文, 张森安. 天水地区基于浅层平板载荷试验的软岩桩端阻力研究[C]//2022年全国工程建设行业施工技术交流会. 杭州, 2022: 341-343. LI Xiaolong, WANG Xuewen, ZHANG Senan. Study on the resistance of soft rock pile end based on shallow plate load test in Tianshui area [C]// Proceedings of the 2022 National Engineering Construction Industry Construction Technology Exchange Conference. Hangzhou, 2022: 341-343. (in Chinese)
[28]	张志敏, 高文华, 丁佑良. 深层平板载荷试验确定人工控孔桩软端承载力的研究[J]. 建筑科学, 2007, 23(7): 75-77. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZKX200707019.htm ZHANG Zhimin, GAO Wenhua, DING Youliang. Research on determining bearing capacity of man-made hole pile tip with the deep plate loading test[J]. Building Science, 2007, 23(7): 75-77. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZKX200707019.htm
[29]	凌潇. 基于改进岩基载荷试验及位移反分析的泥岩承载力研究[D]. 成都: 成都理工大学, 2016: 18-21. LING Xiao. Research on Bearing Capacity of Mudstone Based on Improved Bedrock Load Test and Displacement Inverse Analysis[D]. Chengdu: Chengdu University of Technology, 2016: 18-21. (in Chinese)
[30]	杨骐莱, 熊勇林, 张升, 等. 考虑温度影响的软岩弹塑性本构模型[J]. 岩土力学, 2019, 40(5): 1898-1906. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201905032.htm YANG Qilai, XIONG Yonglin, ZHANG Sheng, et al. Elastoplastic constitutive model for soft rock considering temperature effect[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 40(5): 1898-1906. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201905032.htm
[31]	公路桥涵地基与基础设计规范: JTJ 024—1985[S]. 北京: 人民交通出版社, 1985. Specifications for Design of Ground Base and Foundation of Highway Bridges and Culverts: JTJ 024—1985[S]. Beijing: China Communications Press, 1985. (in Chinese)