0.   引言

由于地下水的迁移、海水的浸湿淋滤等一系列的自然活动导致土体中含有大量的${\text{Cl}}^{-}$、${\text{SO}}_{\text{4}}^{\text{2}-}$、${\text{CO}}_{\text{3}}^{\text{2}-}$、${\text{Na}}^{\text{+}}$、${\text{K}}^{\text{+}}$和${\text{Mg}}^{\text{2+}}$等电解质离子,从而形成了典型的内陆盐渍土和滨海盐渍土。此外,由于温度、含水率等条件的变化,导致孔隙离子的形态发生变换,使土体表现出不同的力学变形特性。对大深基坑、海底隧道、跨海、跨河工程及堤坝工程的安全性和耐久性造成了一系列的影响^[1]。

在盐渍土处于饱和状态时,土体内部的化学离子会与带负电的土颗粒相互吸引,导致离子迁移缔合现象。在离子迁移缔合的过程中,逐渐形成了渗透压,从而产生了较大的渗透吸力,对土体的固结特性、力学性能及抗剪强度产生了明显的影响^[2-7]。因此,学者们对渗透吸力的计算进行了一系列的研究,提出了基于孔隙溶液电导率^[8-10]及采用van't Hoff方程^[11-14]计算渗透吸力的数值模型,并应用所提出的模型描述了相应条件下的土体行为。值得注意的是,现有计算渗透吸力的模型都只是考虑了孔隙溶液的特性,而没有考虑土体内部中孔隙通道弯曲闭合程度的影响。即在离子迁移过程中,使迁移离子与孔壁、粒子发生摩擦、碰撞,对离子迁移速度产生影响导致渗透吸力的改变。除此之外,现有模型在计算不同盐类饱和后土体的渗透吸力时也存在些许问题。比如土体电导率测量过程中挤土压力或土体种类与测量结果的相关性,及van't Hoff方程中高含盐情况的不一致性。

因此,本文首先对估算渗透吸力的试验方法和理论模型进行了回顾分析。此外,根据氯化钠和硫酸钠溶液的电导率试验结果,对采用氯化钠和硫酸钠溶液饱和后土体的渗透吸力与浓度的相互关系进行了讨论。然后基于上述分析结果,提出了采用分形理论和溶质电离度分别改进原有EC（electrical comductivity）模型和van't Hoff方程的建模思路,并对原有模型进行了相应的改进。再者,基于电导率试验结果对改进后的EC模型和van't Hoff方程进行了详细的数值分析。

1.   研究进展

有关土体渗透吸力的研究始于20世纪50年代,即对电解质与黏土孔隙水接触效应的研究^[15-16]。此后,针对孔隙溶液化学效应引起的土体固结、渗透等现象,以及对剪切强度的影响机理展开了系列研究^[3,5,17-21]。例如结合孔隙溶液的浓度或质量分数提出的一系列化学–力学耦合模型^{[4,6-7,22-25]}。随着技术要求的不断提高,理论模型的不断完善,对土中水化学作用的合理描述愈加迫切。在尝试采用双电层理论来反映孔隙比与层间斥力的相互关系后,发展了采用渗透吸力这一宏观变量来反映孔隙溶液的土水化学特性。

土中的吸力由渗透吸力（溶质吸力）和基质吸力组成^[26]。渗透吸力是孔隙水自由能的溶质部分,表征了孔隙水化学特性及土–水体系中化学效应对土体力学特性的影响。因此,渗透吸力的大小主要由孔隙溶液浓度和含盐种类决定。然而Arifin^[10]发现在高塑性黏土中渗透吸力小于总吸力与基质吸力的差值,并将多出的部分吸力命名为水化力。显然,Arifin的观点对传统的吸力组成和渗透吸力的试验方法、理论计算造成了一定的影响。下面对于有关渗透吸力试验方法和理论计算的相关研究成果进行简单的综述。

1.1   试验研究进展

渗透吸力的试验原理是在上述理论的基础上,通过孔隙溶液的化学特性及相应状态下的相对蒸汽压来反映化学离子在土体中的活动机理,从而实现了借助渗透吸力这一宏观变量来描述孔隙溶液的离子类型和浓度。测试渗透吸力的试验方法主要有滤纸法和挤压法^[26]。滤纸法是基于渗透吸力等于总吸力减去基质吸力的理念,为测试非饱和土中的渗透吸力提供了帮助,并且试验的原理简单、成本低。挤压法是以挤压技术^[27-28]为前提,通过从土体中排出的溶液电导率并结合经验公式完成估算。

Witteveen等^[4]采用滤纸法、湿度计^[29-30]分别测量了氯化钠溶液和黏土–氯化钠溶液混合物的渗透吸力。以渗透吸力为媒介讨论了饱和盐渍黏土的固结特性,建立了在盐溶液饱和后黏土的化学–力学耦合模型。根据试验结果,Witteveen等指出氯化钠溶液的渗透吸力与黏土–溶液混合物的渗透吸力较为接近,即可以忽略黏土颗粒对渗透吸力的影响。此外还拟合出了渗透吸力$\pi$（MPa）与浓度c（mol/L）的关系式：

根据Fredlund^[26]给出25℃时氯化钠溶液的渗透吸力,拟合给出了渗透吸力$\pi$（MPa）与浓度c（mol/L）的关系式（c=0时,$\pi =0$）：

Mata等^[8]根据USDA^[31]拟合给出了土体孔隙溶液电导率与渗透吸力的数学表达式,促进了采用电导率来描述土体渗透吸力的研究。Rao等^[32,9,33]讨论了氯化钠溶液和氯化钙溶液的电导率与浓度呈幂函数关系,并采用滤纸法和孔隙溶液电导率估算渗透吸力,从而分析了van't Hoff方程的适用性和盐溶液饱和后黏土的体变机理。Arifin等^[10]结合滤纸法和挤压技术的试验结果,讨论了高塑性黏土的渗透吸力,并根据电导率测试结果与USDA^[34]数据拟合出了电导率EC（ms/cm）与渗透吸力（kPa）的相互关系：

颜荣涛等^[6]在Rao等^[9]的基础上通过挤压技术测得孔隙溶液的电导率,以此来描述了土体的化学–力学耦合作用。

采用孔隙溶液提取物的电导率来衡量渗透吸力已经是被认可了的。土体孔隙溶液提取物的获取一般都采用挤压技术。但是,试验者们在同一挤压试验中都采用了相同的压力,似乎都不约而同地忽略了不同压力对提取物电导率的影响^[19,35-36]。Manheim等^[37]和Engelhardt等^[38]发现提取液浓度与土体颗粒种类（蒙脱土含量）、挤土压力有关。Mariano等^[39]测量了挤土压力分别为2,5,23.5 MPa时提取液的电导率,并发现提取物的电导率随着挤土压力的增大呈现出减小的趋势。Krahn等^[40]发现采用挤压法得到的提取物电导率与孔隙流体电导率存在明显的差异,而且两者的差异会随着饱和度的降低逐渐趋于明显。此外,Ridley等^[41]指出吸力的复杂性导致了采用试验方法测量吸力时存在一定的误差。

现有测量渗透吸力的试验方法都是通过某一媒介来间接衡量渗透吸力的大小。图1为采用滤纸法和挤压法估算含氯化钠土体的渗透吸力情况。图1中的电导率数据为25℃时氯化钠溶液的电导率,详见文中试验部分。根据图1发现,采用滤纸法（式（1）,（2））得到的渗透吸力大于挤土法（式（3））测量提取物电导率的结果,且式（1）,（2）的计算结果随浓度增大的量级明显大于式（3）。Fredlund^[26]和Witteveen等^[4]采用滤纸法测量的结果也存在局部差异,且认为该差异不是人为操作引起的试验误差。而Mata等^[8]、Rao等^[9]和Arifin等^[10]采用挤压试验结果和USDA（1950,1954）结果拟合给出π–EC关系式的变化率基本相等,只是在整体上存在少许差异。

图  1  采用试验结果估算土体渗透吸力的情况

Figure  1.  Estimation of osmotic suction of soil using test results

下载: 全尺寸图片 幻灯片

因此,不论是滤纸法还是挤土法都能够实现渗透吸力的测量,但是在高要求、高精度的案例中,上述方法都存在着少许局限性。如Arifin等^[10]提出在高塑性黏土中的水化力归属问题；Mariano等^[39]发现挤压压力对提取物电导率的影响；Krahn等^[40]指出提取物与实际孔隙溶液电导率的差异性。再者,土体孔隙结构、大小及弯曲程度对提出物的电导率是否有影响也值得进一步研究。

1.2   理论研究进展

渗透吸力的理论研究一般是基于渗透压概念或热力学框架下进行的。主要的研究开始于1887年,van't Hoff^[42]第一次提出了计算液体渗透压的数学公式。即认为通过半透膜的压力是由溶质引起的附加压力。然而,在此之后Meyer^[43]和Larr van ^[44]几乎同时反驳了van't Hoff的结论。其中,Larr van^[44]认为有关渗透压的问题只能从热力学的角度来解决。虽然van Larr错误地反驳了van't Hoff的观点,但是van Larr也从热力学方面展开了对渗透压的讨论,为后续通过热力学框架研究渗透吸力提供了良好的基础。

Dao等^[45]在热力学理论的基础上推导了总吸力、渗透吸力与基质吸力的数学表达式。由Dao等提出的渗透吸力公式结合《osmotic pressure or osmotic suction?》^[46]一文中的讨论,可以明确渗透吸力$\pi$与渗透压$\Delta p$的相互关系,即

Grasley等^[47]在混合物理论的基础上结合热力学定律推导了非饱和地质材料的总吸力、渗透吸力和基质吸力。证明了van't Hoff和van Larr分别提出从线性动量守恒定律和热力学角度来推导渗透吸力都有效。Wei^[25]在Donnan渗透压力的基础上根据热力学理论给出了非饱和多孔介质的渗透压公式,为构造非饱和多孔介质的电化学模型奠定了基础。

此外,Glasstone^[11]发现还可以采用van't Hoff方程计算渗透吸力$\pi$（kPa）,即

式中 c为孔隙溶液的浓度（mol/L）；R为气体常数,$R=8.3145\text{ J/(mol}\cdot \text{K)}$；T为绝对温度（K）；i为van't Hoff因子,反映溶质溶解后离子成分对渗透吸力的贡献率,即$i=1+d(v-1)$,d为溶质的电离程度,v为溶质溶解后的阴、阳离子总数。当溶质充分电离时（$d=1$）,van't Hoff因子i等于阴阳离子的总数v。在Dao等^[45]采用van't Hoff方程进行对比分析的过程中出现了明显的误差,这是因为没有考虑van't Hoff因子i对渗透吸力的影响而造成的。根据Rao等^[9]的研究结果,发现van't Hoff方程能够计算稀溶液的渗透吸力。但是在较高浓度时计算误差明显,适用性受到了极大的限制。因此,对van't Hoff方程进行了如下修正^[48-49]：

式中,$\varphi$为渗透系数。Xu等^[12]根据Lang^[50]提出的渗透系数,完善了方程（6）。从而基于分形理论讨论了盐溶液浓度对黏土体积应变的影响机理。周凤玺等^[13-14]在式（6）中引入Pitzer电解质渗透系数^[51-52]估算渗透吸力,并在Fredlund等^[26,53]的基础上建立了饱和盐渍土的蠕变模型。其中,渗透吸力$\pi$（kPa）的表达式为

式中 $z^{+}$和$z^{-}$分别为阳、阴离子的电荷数；$v^{+}$和$v^{-}$分别为阳、阴离子总数；$f_{\varphi }$,$B_{\varphi }$和$C_{\varphi }$为相互作用系数,其中$f_{\varphi }$,$B_{\varphi }$和$C_{\varphi }$的单位分别为1,$\text{kg/mol}$和${\text{kg}}^{\text{2}}{\text{/mol}}^2$,且在25℃时参数的具体值取自Kim等^[54]的试验结果。

在两种理论的基础上推导提出的渗透吸力公式中,基于热力学角度的公式在形式上与Dao等^[45]的结果基本相似,几乎都是通过相对蒸汽压来计算的。基于van't Hoff方程提出的表达式中,Xu等^[12]的推导结果能够回归于Dao等^[45]的结果。由于在热力学框架内提出的理论公式都较为复杂,且在测量特定条件下的蒸汽压有一定的困难。所以主要对滤纸法（式（1）和式（2））、挤压法（式（3））和van't Hoff方程（式（5）～（7））提出的渗透吸力公式进行了分析。详细如图2所示。其中van't Hoff方程同时不考虑van't Hoff因子和渗透系数时,其计算误差较为明显,且小于式（3）的计算结果。van't Hoff方程只考虑van't Hoff因子时（式（5））的计算结果基本上能够符合Fredlund^[26]和Witteveen等^[4]的试验结果。当同时考虑van't Hoff因子和渗透系数时（式（7））,计算结果略小于式（5）的计算结果,但与Fredlund试验结果的一致性较高。值的注意的是,式（7）在式（5）基础上考虑了离子相互作用对渗透吸力的影响,明显地优化了van't Hoff方程。

图  2  基于不同方法计算土体渗透吸力的情况

Figure  2.  Calculation of osmotic suction of soil based on different methods

下载: 全尺寸图片 幻灯片

总体上讲,现有渗透吸力的计算方法都能够完成一般状态下土体的渗透吸力计算。但是都忽略了空间中土体粒子、孔隙通道的弯曲程度及分布情况对渗透吸力的影响。因此,在构建渗透吸力的模型时,需要综合考虑宏微观因素对渗透吸力的贡献,从宏微观土力学^[55]方面来开展有关土体渗透吸力的研究。从而形成宏微观一体化的研究理念,开发解决复杂条件下满足高要求、高精度的渗透吸力方法。

2.   溶液的电导率试验

2.1   试验方案

根据溶液的化学组成主要将孔隙溶液分为3类,即氯化钠溶液、硫酸钠溶液及氯化钠和硫酸钠的混合溶液。硫酸钠溶液浓度的最大值是根据硫酸钠在设定温度下的溶解度来确定的。具体温度下的浓度设置如表1,2所示。溶液浓度以质量摩尔浓度m为基准,其单位为mol/kg。电导率采用HQ14d电导率仪测量,测量时保证电极完全被溶液浸没且温度恒定。测量装置如图3所示。

表  1  单一盐溶液的浓度配置

Table  1.  Concentration configuration of single salt solution

10℃	15℃	20℃	25℃	30℃
0.2	0.2	0.2	0.2	0.2
0.4	0.4	0.4	0.4	0.4
0.6	0.6	0.6	0.6	0.6
0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
—	1.0	1.0	1.0	1.0
—	—	1.2	1.2	1.2
—	—	1.5	1.5	1.5
—	—	—	1.8	1.8

下载: 导出CSV 

| 显示表格

表  2  混合盐溶液的浓度配置

Table  2.  Concentration configuration of mixed salt solutions

$y_1=0.8$		$y_1=y_2=0.5$		$y_2=0.8$
$m_{\text{NaCl}}$	$m_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}}$	$m_{\text{NaCl}}$	$m_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}}$	$m_{\text{NaCl}}$	$m_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}}$
0.6	0.15	0.1	0.1	0.05	0.2
0.8	0.20	0.2	0.2	0.075	0.4
1.0	0.25	0.6	0.6	0.20	0.8
1.2	0.30	0.8	0.8	0.25	1.0
注：$y_1=m_{\text{NaCl}}/(m_{\text{NaCl}}+m_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}})$,$y_2=m_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}}/(m_{\text{NaCl}}+m_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}})$。

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图  3  试验装置

Figure  3.  Test devices

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.2   试验结果与分析

根据Rao等^[9]提供的电导率与浓度的表达式,可以发现氯化钠溶液的电导率与浓度的关系式为幂次函数关系。图4是不同温度时氯化钠溶液、硫酸钠溶液及两者混合溶液电导率随浓度的变化情况。其中,图4（a）给出了不同温度下氯化钠溶液电导率的分布情况。发现不同温度下的电导率随浓度的变化遵循幂次函数关系,与Rao等^[9]的结果相符。在浓度较低时电导率随温度的变化不甚明显,如m=0.2或0.4 mol/kg。图4（b）为硫酸钠溶液电导率随浓度的演化情况。明显地,硫酸钠溶液的电导率与浓度可以用指数函数来描述,而且指数关系的系数也与温度保持着某种关系。图4（c）为氯化钠和硫酸钠混合溶液的电导率分布情况。从图中发现混合溶液电导率的大小取决于占比较大的电解质,且高于相同浓度时单一纯溶液的。如相同浓度下y₁=0.5时的电导率大于y₁=0.8和y₂=0.8时。与此同时混合溶液的电导率也符合单一纯溶液的电导率演化规律。

图  4  不同含盐状态下溶液电导率随温度的分布情况

Figure  4.  Distribution of electrical conductivity of solution with temperature in different salt states

下载: 全尺寸图片 幻灯片

根据Arifin等^[10]的研究结果,采用上述试验结果和式（3）计算了采用氯化钠和硫酸钠溶液饱和后土体的渗透吸力。详细如图5所示。其中图5（a）～（d）分别是温度在15℃（288.15 K）、20℃（293.15 K）、25℃（298.15 K）和30℃（303.15 K）下,氯化钠和硫酸钠溶液饱和后土体渗透吸力随浓度的变化情况。

图  5  基于电导率试验结果的渗透吸力分析

Figure  5.  Analysis of osmotic suction based on test results of electrical conductivity

下载: 全尺寸图片 幻灯片

明显地,氯化钠溶液饱和后土体的渗透吸力随浓度的增大呈现出幂函数增长趋势（$\pi =a_{\pi }{m}^{0.907}$）,而硫酸钠溶液饱和后土体的渗透吸力与浓度表现为指数增长关系。因此,在同时分析氯化钠和硫酸钠溶液饱和后土体渗透吸力时,两曲线存在一个交点A：即在$m<m_A$时,${\pi }_{\text{NaCl}}<{\pi }_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}}$；而$m>m_A$时,${\pi }_{\text{NaCl}}>$${\pi }_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}}$。产生这种现象的原因是硫酸钠的电离程度与浓度的相关性所导致的。在稀溶液中硫酸钠充分电离,且随着浓度的增大体积单元内的带电离子数增多,渗透吸力随浓度近似符合线性增长。但随着浓度的继续增加,体积单元内的离子总数迅速增加,减缓了离子迁移速度,导致渗透吸力缓慢增长。如果浓度继续增加,渗透吸力甚至会出现减小的趋势。相比硫酸钠的电离效应,氯化钠的电离度与浓度的相关性较低,且在高浓度时也能够保持较为充分的电离程度。因此,在低浓度时硫酸盐渍土的渗透吸力大于氯盐渍土的,但在浓度大于$m_A$后,氯盐渍土的渗透吸力会大于硫酸盐渍土的。

图5（e）是系数$a_{\pi }$和横坐标m_A与温度T（℃）的关系图。根据图5（a）～（d）的分析结果,发现系数$a_{\pi }$和横坐标m_A都随着温度的增大而增大。系数$a_{\pi }$和横坐标m_A与温度T的相互关系都可以采用线性关系描述,详细的拟合公式和相关系数如图5（e）所示。

3.   渗透吸力的估算

3.1   EC模型的改进

Wyllie等^[56]基于Archie^[57]的研究结果继续深化了多孔介质与孔隙溶液的电阻率模型,分析了孔隙率n（$n=V_{\text{V}}/V$）和孔隙管道的弯曲度$\tau$对多孔介质电阻率的影响机理。根据其研究结果得到土体电导率与孔隙溶液电导率的关系式为

式中,${\text{EC}}_{\text{soil}}$和${\text{EC}}_{\text{s}}$分别为土体和孔隙溶液的电导率,弯曲度$\tau$为孔隙管道的弯曲长度L与直线长度之比L₀,$\tau =L/L_0$。此外,弯曲度的定义与所处的环境状态也有关。比如几何弯曲度（geometric tortuosity）${\tau }_{\text{GT}}$、电–弯曲度（electrical tortuosity）${\tau }_{\text{ET}}$、分散弯曲度（diffusive tortuosity）${\tau }_{\text{DT}}$和水力弯曲度（hydraulic tortuosity）${\tau }_{\text{HT}}$^[58]。其中Coleman等^[59]给出了饱和介质中电–弯曲度与孔隙率的分形关系式：

式中 $D_{\text{w}}$为随机游动维数,$D_{\text{w}}>2$；$D_{\text{f}}$为土体的孔隙分形维数,且在二维和三维空间中$D_{\text{f}}$的取值范围分别为$1<D_{\text{f}}<2$和$2<D_{\text{f}}<3$；$D_{\text{E}}$为Eudidean维数,且在二维和三维空间中$D_{\text{E}}$分别取2和3。

因此,在考虑盐溶液与孔隙结构时,需要引入电–弯曲度来完善电化学机理的描述。即将式（9）代入式（8）得到

Wei等^[60]根据有效弯曲度对式（10）进行了修正,将其进行了推广。但由于采用近似条件,导致修正结果丧失了一般性,在理论上不能进行合理的退化。Meng等^[61]通过引入临界孔隙率,给出了考虑微观参数的电导率模型,也暗示了介质渗透性的宏微观描述。但由于引入参数的不确定性,所以本文仍采用式（10）进行讨论。

根据Rao等^[9]和Arifin等^[10]给出电导率与渗透吸力的关系式,将式（3）中的电导率变换为土体的电导率公式,得到考虑粒子在空间中分形特征的渗透吸力公式：

式中,$\alpha$和$\beta$为拟合系数。

3.2   考虑电离度的van't Hoff方程

根据图4,5所示的试验结果,发现浓度在$0<m<$$m_A$和$m_A<m<m_{\max }$时,硫酸钠和氯化钠溶液饱和后土体的渗透吸力表现出相反的结果。因此,基于上述试验结果对van't Hoff方程展开了讨论。

结合现有的研究结果发现,对于渗透吸力的研究多数都只考虑了含氯盐的情况,没有详细考虑含不同盐类土体的渗透吸力。周凤玺等^[13-14]在van't Hoff方程的基础上,考虑了溶质电离后的离子作用,优化了van't Hoff方程对不同类盐渍土渗透吸力的描述能力。图6是在选用浓度和质量摩尔浓度作为控制参量时,方程（7）计算的氯盐渍土和硫酸盐渍土在25℃时的渗透吸力。如图6所示,采用浓度c与质量摩尔浓度m做控制参量的结果在形态上基本保持一致。但是在数量级上存在着局部差异,比如交点A的渗透吸力分别为7.0,14.67 MPa。此外,采用质量摩尔浓度m计算的交点A明显超出了硫酸钠的有效溶解度范围,与实际情况不相符。产生这种现象的原因是由于在式（7）中同时需要孔隙溶液的浓度c和质量摩尔浓度m而造成的。在选择其中之一作为控制量时,需要该状态下溶液的密度作为系数进行参数的相互转换,而两者的差异正是由于所考虑密度不同而导致的。再者,图7中的$m_A$值都大于图5。显然,式（7）虽然能够合理地计算饱和盐渍土的渗透吸力,但是在计算硫酸钠等盐类的渗透吸力时还存在一定的局限性。

图  6  不同控制参量下渗透吸力的计算结果（T = 25℃）

Figure  6.  Calculated results of osmotic suction under control parameters (T = 25℃)

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  7  改进后EC模型的拟合结果

Figure  7.  Fitting results of improved EC model

下载: 全尺寸图片 幻灯片

Glasstone^[11]给出了van't Hoff因子的表达式,并在其中考虑了溶质的电离程度,反映了电离离子与未电离离子对渗透吸力的影响。但是在之后的研究中,学者们都假设了一个理想命题——容许范围内的溶质都完全电离,即d = 1。因此,导致在使用van't Hoff方程计算渗透吸力时出现了部分误差。Bates^[62]详细讨论了浓度与电离程度的关系,并基于不同的假设条件计算了相应状态下的电离度。此外,还在原有的基础上提出了3个新的假设：①电离度由电导黏度比决定；②离子遵循van't Hoff方程；③van't Hoff方程适用于未电离的离子。

根据Bates^[62]的基本假设,认为硫酸钠溶液的电离度d与浓度的表达式可以依据电导率随浓度的变化机理来确定。根据图4的结果发现硫酸钠溶液的电导率与浓度的作用机理可以采用指数函数来描述,详细如图4（b）所示。

基于对硫酸钠溶液的电导率分析,认为电离度d与质量摩尔浓度m的关系式可以表示为

式中,$\lambda$为拟合参数,与溶质的类型、所处的温度环境有关。

在van't Hoff因子中考虑电离度式（12）,得到van't Hoff因子i的表达式：

将完善后的van't Hoff因子式（13）代入式（7）得到改进后的van't Hoff方程：

4.   数值分析

结合已有的研究结果,针对上述改进后的EC模型和van't Hoff方程（式（11）,（14））进行了分析,讨论了这两种计算方法的适用性和可行性。

4.1   基于EC理论的分析结果

根据式（11）计算渗透吸力时,需要考虑土体的孔隙率n与孔隙分形维数D_f。通过孔隙率和孔隙分形维数可以反映孔隙溶液离子在空间中的迁移缔合路径和范围。因此,可以减小采用挤压法测量提取物电导率时由于挤压压力、土体孔隙等干扰因素引起的误差。

结合Mata等、Rao等和Arifin等对电导率与渗透吸力相互关系的研究结果及van't Hoff方程,对式（11）的可行性进行了分析讨论。即采用式（11）对上述结果进行了拟合分析,拟合参数如表3所示。

表  3  拟合参数值（$\pi$, MPa）

Table  3.  Values of fitting parameters ($\pi$, MPa)

被拟合项		$\alpha$	$\beta$	n	Df
EC–π关系	Mata	0.1976	1.0489	0.34	2.61
	Rao			0.34	2.588
	Arifin			0.34	2.55
van't Hoff	式(5)	0.1239	1.2986	0.34	2.51
	式(7)			0.34	2.55

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图7是采用式（11）对已有计算渗透吸力方法的拟合情况。从图7中发现式（11）能够较好地拟合传统EC模型和van't Hoff方程的计算结果,并能够保持很好的一致性。再者,结合表3可以发现,拟合得到的参数都较为统一且符合一般压实土体的孔隙规律。因此,认为改进后的EC模型不仅能够反映空间中介质粒子对渗透吸力的影响,还能够很好地计算特定条件下的渗透吸力。

图8给出了温度为25℃时,改进后EC模型的分析结果。其中,图8（a）,（b）为$D_{\text{f}}$和$D_{\text{w}}$分别作为控制变量时渗透吸力随孔隙率的变化情况,从图中可以发现渗透吸力随着孔隙率的增加而增加,且在孔隙率为0或1时渗透吸力值都分别回归于一点。该现象正好释义了饱和土体孔隙率分别为0和1时的极限介质和完全溶液性。此外,$D_{\text{f}}$和$D_{\text{w}}$的变化,只改变了曲线的曲率,并没有改变其影响机理。值得注意的是,上述结论与Meng等^[61]研究结果相一致。图8（c）表示孔隙率分别为0.25,0.35,0.45且$D_{\text{w}}=2.2$时,分形维数对三维空间中土体渗透吸力的影响机理,从图中可以发现渗透吸力随着分形维数的增大而减小,且在分形维数接近3时渗透吸力值趋向于0。因此,认为采用分形理论改进传统EC模型在理论上是合理的。

图  8  改进后EC模型的数值分析（T = 25℃）

Figure  8.  Numerical analysis of improved EC model (T = 25℃)

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图8（d）,（e）分别是在不同的孔隙率和分形维数情形下,氯化钠溶液饱和后土体渗透吸力的分布情况。根据图示结果发现孔隙率与分形维数对渗透吸力的贡献是可描述的,即曲线的变化趋势是相同的,不存在突变等不可预料的现象。其次,相对渗透吸力而言,分形维数的灵敏度明显低于孔隙率的。而压实土体的孔隙率基本都是一个稳定值,且随着土体结构的变化不会出现较大的突变。因此,认为采用式（11）计算不同孔隙条件下饱和盐渍土的渗透吸力是可行的。

图8（f）是采用式（11）计算的氯化钠和硫酸钠溶液饱和后土体的渗透吸力。其中选用的参数为表3中拟合Arifin的研究结果得到的参数。将图8（f）与图5（c）进行对比分析,发现式（11）的计算结果与式（3）的结果基本一致。该现象的产生恰好证明了式（11）只是对EC模型进行了理论改进,并没有脱离原有的理论基础。

根据上述分析结果,发现采用分形理论改进的EC模型不仅完善了传统模型在理论方面的缺陷,而且还反映了空间介质粒子对溶液离子迁移缔合的影响。除此之外,该模型可直接采用特定温度条件下溶液的电导率来计算不同土体的渗透吸力。避免了采用挤压法测量土体渗透吸力时由于挤压压力、土体孔隙等因素引起的误差。

4.2   考虑电离度后van't Hoff方程的数值分析

通过van't Hoff因子将溶质的电离度引入了van't Hoff方程。试图通过不同溶质的电离程度与浓度的相互关系,以修正van't Hoff方程在计算不同电解质饱和后土体渗透吸力时出现的误差。图9是改进后van't Hoff方程的数值计算结果。其中依托25℃下氯化钠和硫酸钠溶液饱和后土体的渗透吸力,对改进后的van't Hoff方程进行了讨论。图9（a）是式（14）的计算结果,即在原有基础上考虑了渗透系数对渗透吸力的影响。计算时采用的参数$\lambda$分别为${\lambda }_{\text{NaCl}}=0.16$,${\lambda }_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}}=$$0.22$。从图9（a）发现式（14）能够实现对不同溶液饱和后土体的渗透吸力计算,并且能够真实地反映溶质特性。

图  9  改进后van't Hoff方程的数值分析（T = 25℃）

Figure  9.  Numerical analysis of improved van't Hoff equation　(T = 25℃)

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图9（b）为式（5）的计算结果,也就是Glasstone（1974）的研究结果。在拟合参数${\lambda }_{\text{NaCl}}=0.22$,${\lambda }_{{\text{Na}}_{\text{2}}{\text{SO}}_{\text{4}}}=$$0.89$时,计算了与图9（a）具有相同条件的土体渗透吸力。发现采用考虑溶质电离度修正后的式（5）也能够计算不同电解质溶液饱和后土体的渗透吸力。对比图9（a）,（b）发现采用式（5）,（14）计算的渗透吸力在数量级上存在少许差异,详细如图中交点A的渗透吸力值。

除此之外,需要注意的是参数$\lambda$的取值方法。此处只是为了满足特定条件（对A点横坐标的描述）时近似取值的。因此,对参数$\lambda$的具体取值情况还需要结合特定条件下的试验结果来标定。

图9（c）在图9（a）,（b）的基础上研究了电离度在不同参数$\lambda$的控制下随浓度的分布情况。结合图9（c）的分析结果,发现在van't Hoff方程中不考虑渗透系数时,为使计算结果满足硫酸钠的特殊要求,需要较低的电离度来补偿。而在计算氯化钠饱和后土体的渗透吸力时,渗透系数的影响不是特别明显。即不考虑渗透系数时,需要的电离度补偿值较小。结合上述分析结果,认为在van't Hoff方程中同时考虑电离度和渗透系数能够较好地实现不同盐渍土的渗透吸力计算。

5.   结论

针对土体渗透吸力的试验成果和理论成果进行了总结分析。其次依托氯化钠和硫酸钠溶液的电导率试验,探究了氯化钠和硫酸钠溶液饱和后土体渗透吸力与浓度、温度的相互关系。然后采用分形理论和电离度分别改进了EC模型和van't Hoff方程,并进行了详细的数值分析。得到以下3点结论。

（1）氯化钠溶液饱和后土体的渗透吸力与含盐浓度呈幂函数分布,而硫酸钠溶液饱和后土体的渗透吸力与浓度呈指数关系。此外,随着浓度的增大,硫酸钠溶液饱和后的土体渗透吸力先大于氯化钠溶液饱和后的,而在浓度大于$m_A$后硫酸钠溶液饱和后的土体渗透吸力小于氯化钠溶液饱和的。再者,$m_A$随温度的增大呈线性增长关系。

（2）改进的EC模型不仅能够反映孔隙溶液的化学特性,而且还反映了空间中介质粒子对溶质离子迁移速度的影响。此外,还可在溶液电导率的基础上形成统一的计算模型,避免了由于挤压法测量提取物电导率时由于挤压压力和土体孔隙等因素引起的误差。

（3）改进的van't Hoff方程能够反映不同溶质离子引起的渗透吸力差异,完善了van't Hoff方程在描述含不同盐渍土渗透吸力时所表现出的局部缺陷。