Semi-analytical solution to dynamic response of transversely isotropic layered foundation-thin plate structure under moving loads
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摘要: 为研究各向异性和动载参数对层状地基–薄板结构动力响应的影响规律,在已有各向异性弹性动力学理论的基础上,利用积分变换及矩阵分析理论,获得移动矩形简谐荷载作用下横观各向同性层状地基–薄板（无限大）结构的稳态动力响应半解析解答。通过对比既有算例所得结果,验证半解析解的准确性,进而对板体位移动力响应进行参数分析。结果表明：各向同性、横观各向同性假设下的计算结果存在较大差异。移动荷载较静载使板体位移幅值不对称分布,且存在临界速度使荷载作用区域幅值最大。荷载激振频率增大会减小板体竖向位移的响应范围。第一层地基的各向异性水平相较其余层对板体位移影响较大,增大其n值（水平、竖直弹性模量比）可改善板体在动力作用下的位移响应分布特征。Abstract: To study the influences of anisotropy and dynamic parameters on the response of a layered foundation-thin plate structure, from the basis of the anisotropic elastodynamics, a semi-analytical solution to the dynamic response of TI layered foundation-thin plate (infinite) model under moving rectangular harmonic loads is established by using the integral transformation and the matrix theory. The accuracy of the semi-analytical solution is verified by comparing the results of the existing examples, and then the parametric analysis of the displacement dynamic response of the plate is carried out. The results show that there is a large difference between the calculated results under the assumption of isotropy and transverse isotropy. Compared with that of the static loads, the displacement amplitude of the moving loads is asymmetric, and there is a critical velocity which makes the maximum amplitude of the loading area. The affected range of the displacement reduces with the increase of the frequency. The anisotropy of the first layer has a greater impact on the displacement than other layers. Adjusting its n value can optimize the displacement characteristics of the plate under dynamic loads.
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0. 引言
金沙江上游地区以板块缝合带、地壳拼接带等深大断裂为构造格架,呈现强烈侵蚀切割的褶皱断块高山与河谷深切的高山峡谷地貌,缝合带内发育结构复杂的蛇绿混杂岩套,造成流域性特大高位地质灾害链风险极高[1]。受此复杂地质条件影响,近年来该区域高位堵江滑坡灾害频繁发生。例如,2018年10月10日和11月3日,金沙江白格滑坡连续发生两次高位堵江灾害,总方量达到3050万方,导致金沙江断流,造成10.2万人受灾,仅云南省直接经济损失达74.3亿元[2-3]。1969年9月26日支斯山滑坡堵江,造成金沙江堵断14 h,残留长1 km,高700 m的陡崖[4]。
高位滑坡一般指从高陡斜坡上部位置剪出并形成凌空加速坠落的滑坡,它具有撞击粉碎效应和动力侵蚀效应,并铲刮下部岩土体,使体积明显增加,往往造成重大的地质灾害[5]。从早期识别来看,高位滑坡高差大,剪出口位置高,具有超视距隐蔽性,如重庆武隆鸡尾山滑坡[6-8]、贵州水城滑坡[9],用常规调查排查方法难以提前发现；从动力学来看,具有高速运动、远程成灾的特点,如西藏易贡滑坡[10]、四川三溪村滑坡[11],滑坡发生后巨大冲击作用会带来动力侵蚀效应和堆载效应,从而转化为高速远程的碎屑流或泥石流；从成灾模式来看,高位滑坡具有复杂链式灾害特点,如四川茂县新磨滑坡[5, 12],湖北秭归千将坪滑坡[13],贵州毕节纳雍崩塌[14],灾害发生后多形成崩塌、滑坡、碎屑流、堰塞坝、涌浪等链生灾害。
色拉滑坡位于西藏自治区贡觉县敏都乡,金沙江干流右岸,前后缘高差近700 m,属于典型特大高位滑坡,目前正处于蠕滑变形阶段。本文采用现场调查测绘、多期遥感数据分析、InSAR动态观测、无人机航测、物探、地表位移监测等手段,分析了色拉滑坡的变形过程特征、形成机理及发展趋势,并结合金沙江水电开发及特殊地质条件探讨了高位堵江滑坡早期识别与灾害风险管理问题,为此类流域性灾害链防灾减灾提供科学依据。
1. 滑坡基本特征
1.1 地质环境条件
色拉滑坡地处藏东横断山脉、金沙江流域河谷地带,主要由河流侵蚀地貌、构造地貌和冰蚀地貌组成,河谷深切,呈“V”型,冲沟发育,风化剥蚀严重。滑坡后缘为一走向N76°E的条形山脊,山顶高程3775 m,前缘为金沙江,江面高程2649 m,滑坡南侧为一走向N102°E冲沟。滑坡体地形高陡,坡度一般在30°～35°。在构造上,色拉滑坡位于近南北向的金沙江缝合带内,受青藏高原向东侧挤压作用,断裂带内剪应力集中,近EW向的色协龙断裂和近SN向的洛冷登—巴巴断裂在滑坡东北方向交汇,区域内岩体结构破碎疏松,岩性多样,主要出露地层有二叠系、三叠系岗托岩组（PT1g）钠长绿帘阳起–透闪石片岩、玄武岩、绿泥片岩等,产状一般为254°∠20°,岩体糜棱岩化和蚀变作用严重。该区域属高山高原气候,雨量较丰沛,年均降水量约470～760 mm,最大年降水量1067 mm。现场调查未见滑坡体上存在地下水出露现象。根据遥感解译与现场调查,受此复杂地质条件影响,金沙江上游流域白玉—巴塘段堵江滑坡灾害较发育。
1.2 滑坡形态特征
色拉滑坡平面形态特征明显,根据多期卫星遥感影像、高分辨率无人机摄影数据和现场调查,滑坡后缘高程3342 m,前缘临江面高程2649 m,相对高差693 m。平面形态近似舌状,纵长约1280～1551 m,横宽约986～1046 m,平面面积约163×104 m2,估算平均厚度约40 m,体积约6520×104 m3。滑坡主滑方向约127°,斜坡上陡下缓,整体坡度30°～35°,上部最陡处约40°～45°（图1）。
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图 1 色拉滑坡形态特征无人机影像图（2019年7月1日）Figure 1. Morphological characteristics of Sela landslide滑坡体分为两级平台,一级平台位于坡体中部,高程3088 m,宽约120 m,坡度15°,平台上拉张裂缝发育,二级平台位于滑坡体后缘,高程3342 m,宽约260 m,坡度12°,为坡体下错形成（图2）。受降水冲蚀和坡体上部崩塌滚石运动影响,坡面形成多条冲沟。滑坡体后部形成多级下错陡坎,高度10～53 m。滑坡前部发育两个次级滑坡,坡体表面已解体。前缘坡脚受金沙江流水冲刷,局部滑塌形成高约30～150 m的高陡临空面。
1.3 滑坡变形分区特征
根据2019年7月1日的卫星遥感数据,滑坡体发育的两级平台地貌,以及下错、拉裂和滑塌等变形特征,将滑坡体分为后部下错变形区（Ⅰ）、中部拉裂变形区（Ⅱ）和前部滑塌应力集中区（Ⅲ）等3个区域,其中Ⅲ可分为前部滑塌变形区（Ⅲ-1）和前部应力集中区（Ⅲ-2）（图3）,各分区特征如下。
后部下错变形区（Ⅰ）：主要包括滑坡后部二级平台以上至滑坡后缘边界线区域,高程在3180～3420 m范围内,坡度15°,纵向长177～466 m,横向宽986～1033 m,面积为30.6×104 m2,估算体积约1224×104 m3。发育七级下错形成的弧形阶梯状陡坎,断续发育,未完全贯通。单级陡坎横向长156～272 m,垂向位错24～102 m,厚度10～53 m,总位错量达到200～230 m。沿坡向发育数条冲沟,宽度5～10 m,深度2～3 m（图4）。
中部拉裂变形区（Ⅱ）：主要包括中部一级平台以上至二级平台以下区域,高程在2700～3200 m范围内,坡度30°,纵向长528 m,横向宽1046 m,面积为56.2×104 m2,估算体积约2248×104 m3。发育5条大型拉张裂缝,裂缝长约120～500 m,宽度0.2～1.0 m。沿坡向发育4条冲沟,宽度5～12 m,深度2～4 m（图5）。
前部滑塌变形区（Ⅲ-1）：主要包括南侧一级平台以下至前缘边界的两个次级滑坡区域,高程在2600～3220 m范围内,坡度35°,纵向长752 m,横向宽1046 m,面积为48.6×104 m2,估算体积约1944×104 m3。发育两个次级滑坡,滑坡L1斜长745 m,宽度512 m,后缘局部形成高度1.2～25.3 m滑动陡壁。滑坡L2斜长652 m,横向宽434 m,后缘局部陡壁高约1.8～28.2 m。前缘受上游白格滑坡堰塞体泄流冲刷影响,发生塌岸,滑塌高度最大约240 m（图6）。
前部应力集中区（Ⅲ-2）：主要包括东侧一级平台以下至前缘边界区域,高程在2600～2900 m范围内,坡度35°,纵向长752 m,横向宽1046 m,面积为27.6×104 m2,估算体积约1104×104 m3。受后部滑体挤压推动作用,局部发生溜滑现象,前缘受冲刷影响塌岸高度最大约125 m。
1.4 滑坡空间结构特征
采用高密度电阻率法对滑坡A—
剖面进行物探剖面测量,测线自滑坡后缘至前缘金沙江边,纵长2000 m,探测最大深度150 m,测线方向S53°E。物探结果显示,色拉滑坡表层为第四系堆积碎石土,层厚约10～20 m,下部为基岩。滑坡体结构复杂,垂向裂缝发育。在一级平台以下（高程2750～3088 m）和二级平台以下（高程3088～3300 m）发育有两个高电阻率带,该区域岩层为全风化—强风化,结构较破碎,强度较低,厚度在60～150 m,下部低电阻率带为强风化—中风化基岩。在金沙江边高程为2670～2750 m之间低电阻率区域地下水富集,高程2550～2670 m之间为高电阻率区域。通过分析判断,该低电阻率和高电阻率的结合处即为滑动面,滑坡从金沙江边地下水富集带剪出（图7）。 根据滑坡基本变形特征与物探测量结果,将该滑坡分为前部一级滑坡与后部二级滑坡,一级滑坡包括前部滑塌变形区（Ⅲ-1）和应力集中区（Ⅲ-2）,平均厚度约40 m,体积约3048×104 m3；二级滑坡包括后部下错变形区（Ⅰ）和中部拉裂变形区（Ⅱ）,平均厚度40 m,体积约3472×104 m3（图8）。
2. 滑坡变形过程分析
为了追溯色拉滑坡变形历史,分别采用差分合成孔径雷达干涉测量技术（InSAR）和偏移量跟踪技术（offset tracking）分析滑坡时序形变过程。
2.1 InSAR技术形变分析
InSAR技术测量选取了欧空局的Sentinel数据,时间自2014年10月31日—2018年12月2日,合计82景,空间分辨率5 m×20 m。由于InSAR测量的是LOS方向的形变,升降轨LOS方向上的投影结果存在明显差异,所以对滑坡区升降轨处理结果进行叠加联合分析,获取了沿滑坡坡向水平方向和竖直方向的时序形变速率（图9）。图11结果显示,2014年10月31日—2018年12月2日之间滑坡变形区范围明显,形变较大区域主要集中在中前部,沿坡向水平方向最大形变速率达到55 mm/a（图9（a））,竖直向下最大形变速率达到48 mm/a（图9（b））,而前缘一级滑坡崩滑区并未形成干涉条纹,出现了失相干现象。
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图 10 色拉滑坡Offset Tracking技术形变量图Figure 10. Offset-tracking deformation quantity of Sela landslide![]()
图 11 色拉滑坡空间累积形变矢量图Figure 11. Spatial cumulative deformation vectors of Sela landslide2.2 Offset Tracking技术形变分析
InSAR技术能够获取大面积区域的形变信息,但在滑坡体短期内发生较大形变时,会出现失相干现象或无法正确反演的问题。Offset Tracking技术利用SAR图像相关特征获取地面的形变信息,对短期内大形变有较好的反演效果,能够较好地弥补InSAR技术的局限性。因此又采用了Offset Tracking技术对滑坡体变形历史进行了分析,选取了意大利航天局COSMO- SkyMed高分辨率升轨数据,时间自2018年11月7日—2019年10月7日,合计14景,空间分辨率1 m×1.7 m。分析结果显示,监测时间范围内变形主要集中在前部一级滑坡滑塌变形区,距离向最大形变量达到310 mm（图10（a））,方位向最大形变量达到了293 mm,运动方向与箭头相反,沿坡向向下（图10（b））。
为了准确分析滑坡的空间变形情况,将距离向和方位向的结果做合成处理,得到滑坡空间累积变形矢量图11。可以看出,监测时间范围内滑坡形变主要集中在前缘,形变方向以主滑方向为主,最大形变量达到330 mm。
自滑坡后缘到前缘根据滑坡分区选择3个关键特征点P1～P3（图10）分析滑坡的二维形变演化过程,经过计算得到了各点的形变量与形变速率曲线（图12,13）。可以看出,各点距离向和方位向的变形量均随时间逐渐增大,从后缘P1到前缘P3累积形变量逐渐增大。从形变速率来看,滑坡中前部P2和P3点在2018年11月7日—11月20日之间,距离向和方位向都出现加速趋势,然后减速并逐渐变为匀速变形,分析原因可能是由于白格滑坡堰塞湖第二次（2018年11月13日）泄流,水位上涨流量增加并冲刷前缘所致。
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图 12 特征点的二维时间序列累积形变量曲线（P1~P3）Figure 12. Cumulative deformation quantity in 2D time series of characteristic points (P1~P3)![]()
图 13 特征点的二维时间序列累积形变速率曲线（P1~P3）Figure 13. Deformation rate of 2D time series of characteristic points对比InSAR和Offset Tracking技术的分析结果,2014年10月31日—2018年12月2日滑坡体前部滑塌变形区最大形变速率为48～55 mm/a,2018年11月7日—2019年10月7日滑坡最大形变速率为319～338 mm/a,明显看出,自2018年以来滑坡前部变形速率增大并有加剧变形趋势。综合滑坡的地形条件、地质结构、多期影像信息以及空间形变等特征,可以推断色拉滑坡为多级滑坡。目前处于蠕滑变形阶段,失稳模式为渐进式滑动,前部一级滑坡主要受河流冲刷逐渐崩解,造成后部二级滑坡失去阻挡支撑,临空面增大,牵引整体发生滑动失稳。
3. 滑坡形成机理分析
活动构造带内发育的大型滑坡,其成因机制一般具有地质构造—岩体结构（软弱岩体）—斜坡应力状态—水—地形地貌—风化卸荷等多场耦合作用特征[15]。活动断裂经过多期运动及河谷下切表生改造,在岩体结构方面,不仅结构面类型多样,而且密集发育；在岩性条件方面,除了普遍分布构造破碎带以外,还广泛发育不同类型软弱岩体[16]。
3.1 地质构造
色拉滑坡所处的金沙江缝合带岩体受到强大的构造应力挤压,构造面的方向总体上沿金沙江走向分布,局部地段的岸坡结构受到岩层和金沙江河道的改变发生变化,从而导致滑坡结构出现差异[17-18]。金沙江区域内发育多期交汇断层,色拉滑坡位于近SN向的洛冷登—巴巴断裂和近EW向的色协龙断裂的交汇处。本次采用了多期高分遥感解译、InSAR变形观测、无人机航测以及现场调查等多种技术手段,在金沙江干流白玉—巴塘段共调查出百万方以上的大型高位滑坡20余处,均发育在金沙江缝合带内,其中丁巴滑坡、通错滑坡、拍若滑坡、通中拉卡滑坡、下松洼滑坡、毕英滑坡、特米滑坡等7处滑坡体均有活动断裂穿越横切（图14）。
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图 14 金沙江白玉—巴塘段堵江滑坡分布与构造纲要图Figure 14. Landslide distribution and tectonic outline in Baiyu-Batang section of Jinsha River3.2 地层岩性与易滑结构
色拉滑坡岩性主要为钠长阳起片岩,产状254°∠20°,受到强烈构造作用影响,岩体完整性差,节理裂隙发育,风化破碎严重,多分割成块度小于0.5 m的碎裂状,由断层泥、构造角砾岩组成断层破碎软弱带,经过长期蠕变演化[19-21],加上冰川雪域的高寒冻融作用,致使岩体完整性与强度较差,岩体与岩块的强度差异较大。通过对滑坡附近区域不同深度岩体与岩块的声波波速测试（图15）,岩性为片麻岩和板岩,结果显示,深度在0～80 m之间,岩体在2140～2270 m/s,岩块波速在3760～4230 m/s,但是不同深度岩体的波速均小于岩块波速,岩体的完整性系数在0.29～0.47（图16）,完整程度属于破碎—较破碎[22],表明组成滑坡的岩体结构完整程度较差,强度远低于岩块强度。
3.3 降雨
根据贡觉县降雨资料,全县境内多年平均降水量在480 mm,降雨量各月分配不均,主要集中在6—9月,累积降水量351 mm,占全年降水量的73%,是降水高峰期。从2019年色拉滑坡附近日降雨量曲线可以看出,7—9月份降雨最密集,累积雨量最大,最大日降水量36 mm,具有短时降雨强度大的特点（图17）。滑坡体发育5条大型暴雨型冲沟,暴雨时会形成短时山洪,降水在坡体表面汇集,据初步统计,滑坡体汇水面积约3.5 km²,为滑坡体暴雨冲沟提供了充足的汇水条件,降水沿坡面及一级平台裂缝渗入,一方面使滑体含水而重量增加,另一方面地表水入渗后在相对隔水层赋存,不仅软化隔水层顶面,使其抗剪强度降低而形成滑动面,而且易形成一定静水压力,从而增大滑坡的下滑力,致使其破坏失稳[23]。
3.4 河流冲刷侵蚀
高山峡谷区高陡斜坡受到河流的强烈快速下切及侧蚀作用,造成斜坡岩体强烈卸荷,河谷两侧滑坡、崩塌不断发生,常形成大规模的滑坡堵江灾害[24]。色拉滑坡位于金沙江右岸,河谷发育宽度100～250 m,河道纵坡降约50‰,年平均流量4750 m3/s。调查期间（枯水季节）金沙江江水流量200～300 m³/s,江水最大流速约3～4 m/s。白格滑坡位于色拉滑坡上游约80 km处,2018年10月10日和11月3日发生了两次大规模滑坡并堵塞金沙江,形成了堰塞湖,又分别溃决泄流,造成下游沿江约400 km范围受灾[2]。根据统计,白格滑坡第一次泄流峰值流量达到1.0×104 m3/s（图18）,第二次堰塞湖最大蓄水量达到了5.97×108 m3,泄流峰值流量达到了3.1×104 m3/s（图19）。泄流对下游河道岸坡形成了剧烈的冲刷侵蚀作用,在色拉滑坡前缘形成水头高度约50～60 m,使其前缘岸坡发生大规模滑塌,并诱发滑坡体产生新的变形裂缝。泄流前塌岸面积为3.0×104 m2,泄流后形成陡峻塌岸高度约60 m,面积为22.0×104 m2,扩大了19×104 m2,从而影响了色拉滑坡的整体稳定性（图20）。
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图 18 白格滑坡堰塞湖第一次泄流流量Figure 18. Discharge of first slip of Baige landslide-barrier lake![]()
图 19 白格滑坡堰塞湖第二次泄流流量与蓄水量Figure 19. Discharge and storage of second slip of Baige landslide-barrier lake4. 讨论
4.1 堵江滑坡的早期识别
金沙江上游位于青藏高原东缘板块结合带,岩体结构复杂破碎,地形陡峭,滑坡崩塌非常发育,流域性地质灾害链风险极高。2018年10月10日和11月3日,西藏自治区江达县波罗乡白格村先后二次发生特大山体滑坡,体积达3500×104 m3,导致了金沙江断流。虽通过人工干预,堰塞体溃口最大洪峰流量仍达3.4×104 m³/s,对下游700 km河段西藏、四川和云南三省（区）的村庄、道路造成了严重危害,特别是下游在建的叶巴滩、巴塘、苏洼龙等水电站损失巨大,此次灾害共计造成10.2万人受灾,经济损失达120亿。白格滑坡发生后,通过运用空间遥感（高分2号卫星和WorldView-2卫星数据）和地面调查,在金沙江上游白玉—巴塘河段,识别出20处体积大于100万m³的高位滑坡,其中,规模为大型12处,特大型8处。从稳定性上初步分析,不稳定的滑坡灾害6处,稳定性差的滑坡10处。采用高精度光学遥感、InSAR、地表位移监测等技术方法,可以及时识别并提取这些大型高位滑坡的变形区域及变形量等信息,对滑坡的成灾模式和变形趋势分析具有重要意义。因此,需要加强先进技术手段应用,提升金沙江流域地质灾害早期识别能力。
4.2 特大滑坡灾害链的风险管理
金沙江流域地质构造极其复杂,地质工作基础薄弱,流域性的滑坡-堰塞湖等地质灾害链对沿江城镇、乡村、道路和水电开发构成严重危害。金沙江上游目前建成和规划建设的梯级电站达13座,总装机容量超过1000万kw,蓄水运行后,滑坡的成灾模式将由堰塞湖溃决形成流域性灾害发生转变,在库首地段,主要为滑坡入江涌浪灾害,在库尾仍存在特大滑坡堰塞湖灾害风险,对金沙江沿江的村镇和土地、道路构成新的威胁。据初步估算,色拉滑坡规模可达6000多万方,目前处于蠕滑变形阶段,后期一旦遭遇极端降雨或地震情况,很有可能发生一次或多次滑动堵塞金沙江形成堰塞湖。因此,加强金沙江流域性高位滑坡灾害链风险管理是水电站、沿岸城镇、道路等安全运行的重要前提。
5. 结论
本文以金沙江色拉滑坡为例讨论了高山峡谷区高位滑坡变形特征、发展趋势及灾害风险管理等问题。通过现场调查测绘、多期遥感影像分析、InSAR技术动态观测、物探、地表位移监测等方法,得到了以下认识：
（1）色拉滑坡在地貌上属高山峡谷区,所在山体斜坡地形上陡下缓,后缘高程3342 m,前缘高程2649 m,高差693 m,面积约163×104 m2,估算体积约6520×104 m3,属特大型高位滑坡。坡体表面已发生解体,发育大型拉张裂缝5条,形成多条汇水冲沟,前缘大规模滑塌,并形成两个次级滑坡。整体可分为3个变形区：后部下错变形区（Ⅰ）、中部拉裂变形区（Ⅱ）和前部应力集中区（Ⅲ）,其中Ⅲ分为前部滑塌变形区（Ⅲ-1）和前部应力集中区（Ⅲ-2）。
（2）色拉滑坡处于金沙江板块缝合带内,洛冷登—巴巴断裂和色协龙断裂交汇处,断裂带内剪应力集中,母岩为二叠系、三叠系岗托岩组片岩,岩体结构破碎疏松,发育由断层泥、构造角砾岩组成断层破碎软弱带,完整性差。受地质构造、地层岩性、降雨与河流冲刷侵蚀等作用影响,整体目前处于蠕滑变形阶段。
（3）色拉滑坡为多级渐进式滑动模式,InSAR和Offset Tracking技术分析2014—2019年间的形变结果显示,自2018年11月以来滑坡前部变形速率剧增,滑坡前缘岸坡发生大规模滑塌解体,并诱发滑坡体中后部产生大量新的裂缝。从地表位移监测曲线来看,滑坡变形持续增大,未来前部滑塌变形区发生破坏失稳的可能性较大,前部一级滑坡滑动后临空面增大,造成后部二级滑坡失去支撑,导致滑坡整体失稳破坏。
（4）流域性的滑坡—堰塞湖等灾害链对沿江城镇、乡村、道路和水电开发等构成严重危害,应结合梯级水电工程开发和金沙江流域保护规划,加强空天地一体化等先进技术手段运用,开展金沙江流域地质灾害早期识别与监控工作,提高特大型地质灾害链防治水平与风险管控能力。
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图 2 移动恒点载作用TI半空间顶面竖向位移计算结果
Figure 2. Calculated results of top vertical displacement of TI half space under moving dead point loads
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图 3 移动矩形荷载作用下TI半空间-薄板结构板体位移时程曲线计算结果
Figure 3. Calculated results of time-history curve of displacement of TI half-space-thin plate structure under moving rectangular loads
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图 4 不同地基水平、竖直弹性模量比n下板体位移幅值在x方向的波形（y=0）
Figure 4. Waveshapes of position displacement amplitude of plate under different foundation levels and vertical elastic modulus ratios in x direction (y=0)
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图 5 不同荷载移动速率下板体位移幅值在x方向的波形（y=0）
Figure 5. Waveshapes of plate position displacement amplitude in x direction at different load movement rates (y=0)
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图 6 不同荷载加载频率下板体位移幅值在x方向的波形（y=0）
Figure 6. Waveshapes of plate position displacement amplitude in x direction under different loading frequencies (y=0)
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图 7 某层地基水平、竖向弹性模量比改变时板体位移幅值在x方向的波形（y=0）
Figure 7. Waveshapes of plate position displacement amplitude in x direction when the horizontal and vertical elastic modulus ratio of a certain layer of foundation is changed (y=0)
表 1 层状地基各部分基本材料参数
Table 1 Basic material parameters of each part of layered foundation
参数/位置 第一层 半无限空间 Ev/(109 Pa) 10 20 Eh/(109 Pa) 5 10 Gv/(109 Pa) 3 3 μh 0.25 0.25 μvh 0.25 0.25 z/m 10 ∞ ρ/(kg·m-3) 2000 2000 
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表 2 各计算工况下单层地基弹性模量比
Table 2 Elastic modulus ratios of single-layer foundation under various calculation conditions
层数/工况参数 水平、竖直弹性模量之比n 层厚/m 情形一 情形二 情形三 情形四 第一层 0.5 0.75 0.5 0.5 5 第二层 0.5 0.5 0.75 0.5 5 半无限空间 0.5 0.5 0.5 0.75 ∞
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