投影方向极值原理的三维滑动面应力合矢量极限平衡抗滑稳定计算理论模型

孙建生

doi:10.11779/CJGE20230949

投影方向极值原理的三维滑动面应力合矢量极限平衡抗滑稳定计算理论模型 English Version

孙建生

太原理工大学水利科学与工程学院, 山西太原 030024

详细信息

作者简介:
孙建生(1958—)，男，硕士，副教授，主要从事水工结构及其抗振方面的研究。E-mail: SJSD1053@163.com

中图分类号: TU432
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出版历程
- 收稿日期: 2023-09-24
- 网络出版日期: 2023-11-09
- 刊出日期: 2024-11-30

Theoretical model for limit equilibrium anti-sliding stability of stress vectors on three-dimensional sliding surface based on projection direction extreme principle

SUN Jiansheng

Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China

摘要

摘要: 根据投影方向极值原理揭示的复杂滑动面切向应力合矢量非共线不平衡特征，且其滑动势能比在平衡研究投影方向具有极大、耗散方向势能极小，针对三维滑动面节点应力状态差异使微面内的切向滑动力与抗滑力作用方向存在微小差异，构建三维复杂滑动面切向应力合成矢量在投影-耗散正交极值方向的塑性极限平衡抗滑稳定计算理论模型。完成理论模型的三维拓展，并给出理论模型具体计算方法步骤。通过典型稳定算题的微面切向滑动力与抗滑力势能比极值特性曲线和计算极值点的吻合程度证明理论模型的合理可靠性。并且依典型算例探讨了有限元应力场影响因素的变化对理论模型解的敏感性。矢量理论模型是抗滑稳定力学基础理论创新性的研究成果，具有重大理论发展推进作用和工程实际使用经济价值。
- 三维边坡 /
- 抗滑稳定 /
- 滑动势能 /
- 耗散势能 /
- 安全度
Abstract: According to the projection direction extreme principle, in which the unbalance characteristics of non-collinear forces formed by tangential stress vectors on the complex sliding surface are revealed and the sliding potential energy ratio of the unbalance stress vectors in the equilibrium direction has the maximum, and minimum potential energies in the dissipation direction, in view that the difference of the stress state of the joints on the three-dimensional sliding surface leads to slight difference between direction of the tangential sliding force and that of the anti-sliding force in the micro-element plane, a theoretical model for calculating the stability of a three-dimensional complex sliding surface against sliding in the plastic limit equilibrium is proposed in the direction of the projection-dissipation orthogonal extreme. The three-dimensional expansion for the theoretical model is completed, and the concrete calculation steps of the theoretical model are given. The reasonable reliability of the model is proved by the curve of the extreme value of potential energy ratio between tangential sliding force and anti-sliding force on the sliding surface of typical stability problems and the degree of agreement between the calculated extreme point and the model. The sensitivity of the change of the factors affecting the finite element stress field to the solution of the theoretical model is also discussed. The vector theoretical model is an innovative research on the basic mechanics theory of anti-slide stability, which is of important theoretical development and practical economic value.
- three-dimensional slope /
- stability against sliding /
- sliding potential energy /
- dissipated potential energy /
- safety degree

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0. 引言

长期交通荷载作用下软黏土层发生过大变形，严重影响交通设施的安全运行。因此，有必要对交通荷载作用下软黏土地层中的隧道或基坑工程进行动力响应分析。阻尼比作为一个重要的动力分析参数，可以通过室内试验的方式获取。然而，以往研究中，主要采用恒定围压动三轴试验来获取黏土或砂土的阻尼比。例如，Ishibashi等^[1]考虑有效固结应力的影响，建立了一个阻尼比计算模型；Lee等^[2]提出了一个适用于台北黏土的阻尼比计算模型；Ling等^[3]针对冻土开展了恒定围压动三轴试验，研究了阻尼比随振次的变化规律，并发现了阻尼比随振次的增大呈减小趋势。

另一方面，以往研究中通常采用轴向循环荷载来模拟交通荷载，这一简化与交通荷载引起的真实应力场不相符。实际上，交通荷载引起的真实应力场既包含循环变化的正应力，也包含循环变化的水平应力^[4-5]。当前，许多学者已经开展了大量的变围压循环三轴试验来研究循环围压对土体动力特性的影响。Gu等^[4]对比分析了有、无循环围压作用下土体的剪切模量变化规律。

从上述的研究成果来看，循环围压对土体动力特性的影响不能忽视。同时，以往研究大多针对正常固结土，对超固结土在变围压循环荷载作用下的动力特性研究较少，对其阻尼比的变化规律更是鲜有研究。因此，本文主要包含了两部分内容：①通过开展变围压动三轴试验，分析循环围压和超固结比对软黏土阻尼比的影响；②基于试验结果，建立一个能描述变围压循环荷载作用下超固结软黏土阻尼比变化规律的经验模型。

1. 试验土样及方案

1.1 试验土样

试验所用土样取自宁波地区，取土深度大约为28.0~30.0 m。按照《土工试验规程：GB/T 50123—2019》可获取天然土样重度为17.6 kN/m³，天然含水率、液限和塑限分别为43.9%，51.5%，23.3%。

1.2 试验方案

按照《土工试验规程：GB/T 50123—2019》制备重塑试样（直径38 mm，高76 mm），并采用真空和反压联合方式对试样进行饱和。当B值达到0.95以上时，认为达到饱和，此时施加在试样上的反压和围压分别为300，320 kPa。为得到不同超固结比的试样，首先，对饱和后的试样施加不同固结应力进行固结，当固结完成时施加在试样上的有效固结应力分别为100，200，400 kPa；随后，降低固结围压对试样进行卸载，当卸载完成时，施加在所有试样上的有效固结围压均为50 kPa。通过上述方法，最终可以得到超固结比OCR分别为2，4，8的试样。另一方面，为了得到正常固结土（OCR=1），将饱和后的试样在一定压力下进行固结，固结完成时施加在试样上的有效固结应力为50 kPa。随后，关闭排水阀门，开展动力加载试验，振动频率1 Hz，振动10000次。

本试验采用GDS变围压动三轴试验系统，该系统可独立控制循环轴向偏应力和循环围压。为模拟交通荷载，试验中循环偏应力和循环围压的加载波形均为半正弦波，且加载波形相位差为0。另一方面，采用应力路径斜率η和循环应力比CSR表征循环围压^[5]和循环偏应力^[6]，表达式如下：

${\text{CSR}} = {q^{{\text{ampl}}}}/2{p'_{\text{o}}} = {q^{{\text{ampl}}}}/2{\sigma '_3} \text{，}$

(1)

$\begin{gathered} \eta = \frac{{{p^{{\text{ampl}}}}}}{{{q^{{\text{ampl}}}}}} = \frac{{(\sigma _1^{{\text{ampl}}} + 2\sigma _{\text{3}}^{{\text{ampl}}})/3}}{{{q^{{\text{ampl}}}}}} = 1/3 + \frac{{\sigma _{\text{3}}^{{\text{ampl}}}}}{{{q^{{\text{ampl}}}}}} \hfill \\ {\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \text{，}$

(2)

式中，p^ampl，q^ampl， $\sigma _{\text{3}}^{{\text{ampl}}}$ 分别表征循环平均主应力幅值、循环偏应力幅值及侧向应力幅值， ${\sigma '_3}$ ， ${p'_{\text{o}}}$ 分别表示固结完成之后的有效固结围压、平均有效正应力。不同试样加载参数见表 1所示。

表 1 循环三轴试验方案

Table 1. Programs of cyclic triaxial tests

编号	OCR	CSR	q^ampl/kPa	$\sigma _3^{{\text{ampl}}}$ /kPa	η
C01	1	0.35	35	24	1.00
C02	2	0.35	35	24	1.00
C03	4	0.35	35	25	1.00
C04	8	0.35	35	24	1.00
C05	4	0.35	35	0	0.33
C06	4	0.35	35	41	1.50
Y01	8	0.35	35	0	0.33
Y02	2	0.35	35	41	1.50
Y03	8	0.35	35	41	1.50
Y04	2	0.35	35	0	0.33

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2. 试验结果

2.1 循环围压的影响

为便于研究，利用第一次振次对应的阻尼比 ${D_1}$ 对不同振次对应的阻尼比 ${D_N}$ 进行归一化处理。为不同应力路径斜率η条件下归一化阻尼比随累积塑性应变 ${\varepsilon _{\text{p}}}$ 的变化曲线。表明，不同应力路径斜率下的 ${D_N}$ / ${D_1}$ – ${\varepsilon _{\text{p}}}$ 曲线趋势一致，即 ${D_N}$ / ${D_1}$ 随 ${\varepsilon _{\text{p}}}$ 的增长而逐渐减小，同时在变围压应力路径（η=1.00，1.50）条件下试样阻尼比均小于恒围压应力路径（η=0.33）下对应阻尼比，例如当振动次数N=10000，应力路径斜率η为0.33，1.0，1.5时，对应的归一化阻尼比分别为0.17，0.18，0.26。

图 1 不同循环围压下归一化阻尼比随累积塑性应变变化曲线

Figure 1. Relationship between normalized damping ratio and cumulative axial strain under different cyclic confining pressures

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2.2 超固结比的影响

当CSR=0.35，应力路径斜率η=1.0时，不同超固结比土样在变围压动三轴试验中阻尼比随累积塑性应变的关系曲线与图 1类似。不同超固结比土样对应的归一化阻尼比均随累积塑性应变的增加逐渐减小，且衰减速率呈减小趋势。一定累积塑性应变条件下，归一化阻尼比的衰减量随超固结比的增大而增大，意味着正常固结土的归一化阻尼比较超固结土的归一化阻尼比大。例如，当试验完成时，正常固结土的归一化阻尼比为0.34，而超固结比OCR=2，4，8时对应的归一化阻尼比分别为0.27，0.19，0.18，归一化阻尼比随超固结比OCR由1增大至8时，分别减少了20.6%，44.1%，47.1%。

2.3 阻尼比模型

基于上述试验结果，本文提出了一个可以考虑阻尼比随累积塑性应变的变化规律的表达式：

$\frac{{{D_N}}}{{{D_1}}} = \frac{1}{{1 + {{(a{\varepsilon _{\text{p}}})}^b}}} \text{，}$

(3)

式中，参数a，b为拟合参数，受循环围压和超固结比影响， ${D_N}$ ， ${D_1}$ 分别为第N次和第1次循环对应的阻尼比。

利用式（3）对试验结果进行拟合，得到不同试验条件下对应的拟合参数取值。在此基础上，为进一步研究参数a， ${D_1}$ 与应力路径斜率η、超固结比OCR的关系，假设超固结比和循环围压对上述两个参数的影响独立，则有：

$a = {a_1}({\text{OCR}}){a_2}(\eta ) \text{，}$

(4)

${D_1} = {D_{11}}({\text{OCR}}){D_{12}}(\eta ) \text{，}$

(5)

式中，a₁，D₁₁表征超固结比的影响，a₂，D₁₂表征循环围压的影响。

进一步的，对相同应力路径斜率，不同超固结比试验条件下得到的拟合参数 ${a_1}$ ， ${D_{11}}$ 进行分析，建立上述两个拟合参数分别和超固结比的相关关系，如所示。从中可以看出，参数 ${a_1}$ ， ${D_{11}}$ 分别与OCR满足对数和幂函数关系：

${a_1} = 22.834\ln {\text{OCR}} + 2.162 \text{，}$

(6)

${D_{11}} = 0.232{\text{OC}}{{\text{R}}^{ - 0.321}} 。$

(7)

图 2 拟合参数随超固结比变化曲线

Figure 2. Relationship between fitting parameters and OCR

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然后，为了考虑循环围压的影响，需要先将超固结比的影响从式（4），（5）中去除。当应力路径斜率η=1.00，超固结比OCR=4时，通过式（6），（7）可以得到对应的 ${a_1}$ ， ${D_{11}}$ 值分别为33.817和0.149，则超固结比OCR=4，应力路径斜率η=0.33，1.00，1.50时对应的拟合参数a， ${D_1}$ 分别利用33.817和0.149进行归一化，即为a₂，D₁₂的取值。最后，即可得到归一化参数a₂， ${D_{12}}$ 分别随归一化应力路径斜率（η/ ${\eta _0}$ ， ${\eta _0}$ =1.00）的关系曲线，见图 3所示，从图中可以看出，参数a₂， ${D_{12}}$ 与η/ ${\eta _0}$ 满足线性关系：

${a_2} = 0.555{\eta \mathord{\left/ {\vphantom {\eta {{\eta _0}}}} \right. } {{\eta _0}}} + 0.602 \text{，}$

(8)

${D_{12}} = - 0.177{\eta \mathord{\left/ {\vphantom {\eta {{\eta _0}}}} \right. } {{\eta _0}}} + 1.131 。$

(9)

图 3 拟合参数随应力路径斜率变化曲线

Figure 3. Relationship between fitting parameters and η/η₀

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由于参数b随超固结比OCR的变化没有一致性规律，且其变化量较小。因此，为方便模型的使用，式（3）中参数b取一定值，即 $\bar b$ =0.677。

最后将式（6），（7），（8），（9）和 $\bar b$ 代入式（3）中即可得到不同超固结土在变围压循环荷载作用下阻尼比与累积塑性应变的关系表达式：

${D}_{N}=\frac{0.232{\text{OCR}}^{-0.321}\cdot (-0.177\eta /{\eta }_{0}+1.131)}{1+{\left[(22.834\mathrm{ln}\text{OCR}+2.162)\cdot (0.555\eta /{\eta }_{0}+0.602)\cdot {\epsilon }_{\text{p}}\right]}^{0.677}}。$

(10)

将不同试验条件对应的OCR和η代入式（10）中，即可得到不同试验条件下阻尼比的计算值随累积塑性应变的变化曲线，见图 4所示。从图 4可以看出，由式（10）得到的阻尼比计算值与试验值较为接近，表明式（10）能够较好地描述阻尼比随累积塑性应变的变化规律。

图 4 拟合和实测的

${D_N}$ –

${\varepsilon _{\text{p}}}$ 曲线对比

Figure 4. Comparison between measured and predicted curves of

${D_N}$ –

${\varepsilon _{\text{p}}}$

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3. 结论

（1）不论试验条件如何，归一化阻尼比均随累积塑性应变的增大而减小。循环围压和超固结比对归一化阻尼比的变化规律有一定影响，且归一化阻尼比随循环围压和超固结比的增大而减小。

（2）不同超固结土在变围压循环荷载作用下，其归一化阻尼比和累积塑性应变满足关系表达式 ${D_N}/{D_1} = 1/[1 + {(a{\varepsilon _{\text{p}}})^b}]$ 。

（3）超固结比和循环围压对阻尼比的影响由拟合参数a，D₁体现，其中表征超固结比影响的参数a₁，D₁₁与超固结比OCR分别满足对数和幂函数关系，而表征应力路径斜率影响的参数a₂，D₁₂则随应力路径斜率η的变化分别呈线性增长和线性减小关系。

图 1 滑动面任意点的真实应力状况与极限平衡受力计算简图

Figure 1. Real stress states of any point on slip surface and calculation of limit equilibrium forces

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图 2 滑面通过单元三角形微面矢量极限平衡计算简图

Figure 2. Calculation of vector limit equilibrium on triangle micro-plane of sliding surface over element

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图 3 三角形微面矢量力在合矢量平面的投影示意图

Figure 3. Projection sketch of vector forces of triangular micro-plane in resultant vector plane

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图 4 计算程序主框图

Figure 4. Block diagram calculation procedure

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图 5 有限元网格及水平位移云图

Figure 5. Finite element meshes and nephogram of horizontal displacement

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图 6 椭球滑动面对称面处无软夹层情况、有软夹层情况等效塑性应变云图

Figure 6. Equivalent plastic strain nephogram of ellipsoidal sliding surface without and with soft strata on symmetric plane

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图 7 有软夹层情况合矢量平面内的矢量图

Figure 7. Vectors in resultant vector plane with a soft stratum

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图 8 随投影方向角变化的安全系数、势能、势能比曲线

Figure 8. Curves of factor of safety, potential energy and potential energy ratio with respect to projection direction

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图 9 楔体算例1与算例2有限元剖分网格图

Figure 9. Finite element meshes of wedges (example 1 and example 2)

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图 10 楔体1对称材料、楔体1非对称材料、楔体2结构面单元的等效塑性应变云俯视图

Figure 10. Top views of equivalent plastic strain nephogram for wedge 1 (symmetric material), wedge 1 (asymmetric material) and wedge 2 in soft rock elements

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图 11 楔体算例2合矢量平面内的矢量平衡图

Figure 11. Vector equilibrium of wedge 2 in resultant vector plane

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图 12 楔体算例2随投影方向变化的安全系数、势能曲线

Figure 12. Variation of curves of factor of safety and potential energy of wedge 2 with projection direction

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表 1 椭球滑动面土层力学参数

Table 1 Mechanical parameters of soil on ellipsoidal surface

参数	内摩擦角φ/(°)	黏聚力c/(kN·m^-2)	重度/(kN·m^-3)	弹性模量E/kPa	泊松比μ	剪胀角/(°)
土层	20	28.74	18.84	5.0×10⁴	0.30	4
软层	10	0.	18.84	2.0×10³	0.25	2

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表 2 椭球滑动面两种情况抗滑稳定计算结果

Table 2 Calculated results of stability of ellipsoidal sliding surface in two cases

计算方法	情况1无软夹层		情况2有软夹层
计算方法	安全系数	与本文K_λ相比/%	安全系数	与本文K_λ相比/%
Zhang-X极限平衡法^[6]	2.122	-2.08	1.553	-14.13
Hungr简化Bishop法^[6]	2.167	+0.04	1.620	-9.41
陈祖煜极限平衡法^[2-3]	2.187	+0.96	1.640	-8.08
郑宏滑面极限平衡法^[7-8]	2.140	-1.22	1.706	-3.89
Lam通用极限平衡法^[9]	—		1.603	-10.57
Huang极限平衡法^[10]	—		1.665	-6.46
Jiang主滑向极限平衡法^[11]	2.127	-1.84	1.766	-0.37
极限分析上限法^{[3, 12]}	2.262	+4.24	1.717	-3.23
应力数值解代数和法^[13]	—		1.607	-10.30
有限元应力主滑向极限平衡法^[14]	2.226	+2.69	1.730	-2.46

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表 3 矢量理论模型计算结果

Table 3 Calculation results of vector theoretical model

参数	本文矢量理论解	滑动力合矢量倾角和合矢量夹角δ	投影极值方向倾角和投影极值方向角θ	应力代数和法安全系数	滑面通过单元数和三角形微面数
情况1无软夹层	K_λ=2.1661，K=2.0546，λ=0.9485	倾角24.5607°，夹角δ=2.8630°	倾角32.8839°，θ=-8.3232°	代数和法K=2.1006，与本文K_λ相比为-3.12%	单元1606个，微面6420个
情况2有软夹层	K_λ=1.7725，K=1.7363，λ=0.9796	倾角25.8634°，夹角δ=1.1573°	倾角20.8109°，θ=-5.0528°	代数和法K=1.7404，与本文K_λ相比为-1.84%	单元1684个，微面6776个

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表 4 楔体几何形体特征

Table 4 Geometric features of wedges

部位	楔体算例1		楔体算例2
部位	倾向/(°)	倾角/(°)	倾向/(°)	倾角/(°)
左结构面	115	45	120	40
右结构面	245	45	240	60
顶面	180	10	180	0
坡面	180	60	180	60
楔体坡高/m	64.89		98.4

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表 5 模型物理力学参数

Table 5 Physical and mechanical parameters of models

算例工况	内摩擦角φ/(°)	黏聚力c/(kN·m^-2)	重度/(kN·m^-3)	弹性模量E/kPa	泊松比 $\nu$	剪胀角/(°)
楔体1对称工况左右结构面	20	50	25.48	1.0×10⁵	0.25	4
弹性岩体			25.48	5.0×10⁶	0.20
楔体1非对称工况左结构面	20	50	25.48	1.0×10⁵	0.25	4
右结构面	10	30	25.48	1.0×10⁵	0.25	3
楔体2左右结构面相同	30	50	26.0	1.0×10⁵	0.25	4
弹性岩体			26.0	5.0×10⁶	0.20

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表 6 楔体抗滑稳定算例计算结果

Table 6 Calculated results of anti-sliding stability of wedges

计算方法	楔体1材料对称			楔体1材料非对称			楔体2交线倾向11.3380°
计算方法	安全系数	投影倾角/(°)	与本文比较/%	安全系数	投影倾角/(°)	与本文比较/%	安全系数	投影倾角/(°)	与本文比较/%
楔体极限平衡^{[15, 16]}	1.5578	22.9098	+10.17	1.1815	22.9098	-7.91	1.6400	28.9964	+4.30
陈祖煜简化极限平衡法^[2]	1.556	22.9098	+10.06	1.167	22.9098	-9.25	—
郑宏滑面严格平衡法^[8]	—						1.636		+4.07
极限平衡法^[11]	—						1.629		+3.66
主滑向应力代数和^[14]	—						1.497		-4.84

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表 7 矢量理论模型计算结果

Table 7 Calculation results of vector theoretical model

参数	楔体1材料对称		楔体1材料非对称		楔体2交线倾向11.3380°
参数	安全系数	投影倾角	安全系数	投影倾角	安全系数	投影倾角
本文矢量理论模型解	K_λ=1.3994	40.2520°	K_λ=1.2750	28.7662°	K_λ=1.5694	42.2410°
安全系数K和程度系数λ	K=1.3365	λ=0.9551	K=1.2384	λ=0.9713	K=1.5034	λ=0.9580
合矢量夹角δ和投影倾向	δ=2.5649°	倾向0°	δ=1.6438°	倾向1.6267°	δ=2.3986°	倾向16.7218°
滑动力矢量倾角和倾向	倾角39.7084°	倾向0°	倾角29.1022°	倾向3.1532°	倾角44.0963°	倾向10.4716°
代数和法安全系数K	K=1.3392	-4.50%	K=1.2375	-3.03%	K=1.4978	-4.78%
滑面通过单元和微面数	单元11616个	微面46493个			单元6936个	微面28014个

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表 8 单元剖分尺寸对理论模型解的影响

Table 8 Influences of element size on solution of theoretical model

单元类型及尺寸	3 m四面体	3 m六面体	4 m六面体	5 m六面体
安全度系数K_λ	1.5711（+0.108%）	1.5694（0.0%）	1.5703（+0.057%）	1.5712（+0.115%）
安全系数K	1.5055	1.5034	1.5045	1.5054
程度系数λ	0.9582	0.9580	0.9581	0.9581
三角形微面数		28014	16417	10742
结构面单元数	13673	6936	4056	2646
单元总数	135732	342623	190545	127207
注：括号内数字为相对于3 m六面体单元的安全度系数K_λ变化率。

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表 9 弹性模量变化对理论模型解的影响

Table 9 Influences of change of elastic modulus on solution of theoretical model

变化部位	弹性模量乘数	0.50	0.75	1.00	1.25	1.50
仅结构面	安全度系数K_λ	1.6042（+2.06%）	1.5858（+0.92%）	1.5712	1.5592（-0.77%）	1.5497（-1.39%）
仅结构面	程度系数λ	0.9623	0.9599	0.9581	0.9566	0.9553
仅岩体	安全度系数K_λ	1.5330（-2.49%）	1.5555（-1.01%）	1.5712	1.5825（+0.71%）	1.5920（+1.31%）
仅岩体	程度系数λ	0.9535	0.9562	0.9581	0.9595	0.9608
结构面及岩体	安全度系数K_λ	1.5711	1.5711	1.5712	1.5711	1.5712
结构面及岩体	程度系数λ	0.9581	0.9581	0.9581	0.9581	0.9584
注：括号内数字为相对于弹性模量乘数1.00的安全度系数K_λ变化率。

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表 10 泊松比变化对理论模型的影响

Table 10 Influences of Poisson's change on solution of theoretical model

部位	泊松比μ	μ=0.15	0.20	0.25	0.30	0.350
结构面	安全度系数K_λ	1.5849（+0.86%）	1.5787（+0.75%）	1.5712（0.0%）	1.5619（-0.60%）	1.4827（-1.29%）
结构面	程度系数λ	0.9601	0.9593	0.9581	0.9571	0.9559
岩体	安全度系数K_λ	1.5577（-0.87%）	1.5712（0.0%）	1.5856（+0.91%）	1.6016（+1.90%）	1.6171（+2.84%）
岩体	程度系数λ	0.9570	0.9581	0.9593	0.9609	0.9622
两者同比例	泊松比乘数	0.75μ	0.8μ	1.0μ	1.2μ	1.4μ
	安全度系数K_λ	1.5685（-0.17%）	1.5689（-0.15%）	1.5712（0.0%）	1.5750（+0.24%）	1.5805（+0.59%）
	程度系数λ	0.9584	0.9584	0.9581	0.9581	0.9583
注：括号内数字为相对于结构面泊松比μ=0.25、岩体泊松比μ=0.20的安全度系数K_λ变化率。

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表 11 剪胀角变化对理论模型解影响

Table 11 Influences of change of dilatancy angle on theoretical model

剪胀角	0°	2°	4°	6°	8°
安全度系数K_λ	1.5800（+0.56%）	1.5753（+0.26%）	1.5712（0.0%）	1.5681（-0.20%）	1.5646（-0.42%）
安全系数K	1.5207	1.5126	1.5054	1.4997	1.4935
程度系数λ	0.9625	0.9602	0.9581	0.9564	0.9546
注：括号内数字为相对于剪胀角4°的安全度系数K_λ变化率。

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表 12 不同塑性准则对理论模型解的影响

Table 12 Influences of different plastic criteria on solution of theoretical model

塑性准则	等底面积D-P	外接圆D-P	弹性
安全度系数K_λ	1.5712	1.4200（-10.64%）	1.2960（-21.23%）
安全系数K	1.5054	1.3315	1.1801
程度系数λ	0.9581	0.9397	0.9106
滑动力合矢量/(10⁴ kN)	292.525	306.053（+4.42%）	321.222（+8.93%）
滑动力合矢量倾角/(°)	44.1091	48.5751	51.6391
抗滑力合矢量/(10⁴ kN)	439.202	405.907（-8.20%）	379.014（-10.63%）
合矢量夹角/(°)	2.3900	3.5533	5.1188
极值方向倾角/(°) 极值方向倾向/(°)	42.3137 16.5601	46.8366 20.8545	51.4313 19.4447
注：括号内数字为相对于等底面积D-P准则的变化率。

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施引文献(11)

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