0.   引言

随着城市化的发展，浅部土层资源日益紧张，城市深层地下空间成为了人们关注的焦点。深层地下空间的开发需要开展科学计算，合适的本构模型、精确的岩土参数是岩土力学分析的两大支撑。修正剑桥（modified cam-clay, MCC）模型参数简单、直观，能够较好地描述正常固结黏土和弱超固结黏土的弹塑性力学行为。对深层软土而言，在常规岩土工程勘察钻孔取样过程中，保持原状土的应力状态较为困难；且室内试验也存在无法避免的观测误差，难以准确获取科学计算所需要的岩土参数。孔压静力触探（piezocone penetration test, CPTU）数据能够直接评价土层的原位状态和力学性质，特别适合深层地下工程、海洋工程等特殊地质条件的岩土勘察活动^[1-2]。

国内外学者对静力触探贯入机理和原位测试数据应用进行了大量研究。孔扩理论力学原理清晰、求解相对简单；且可与多种本构模型耦合，分析旁压试验、静力触探等原位测试数据。Sedmak^[3]基于Mohr-Coulomb屈服准则，推导了柱（球）孔扩张理论解。李镜培等^[4]使用SMP准则改进的修正剑桥模型，推导了球孔扩张问题的半解析解。郑金辉等^[5]考虑了砂土的颗粒破碎效应，推导了柱孔扩张问题的半解析解。武孝天^[6]基于CSUH模型，在排水和不排水条件下，利用柱孔扩张理论，分析了管桩和搅拌桩施工的扰动作用。

在原位测试数据的应用方面，现有研究成果主要集中于划分土层^[7]、地基土液化判别^[8]、多场物理化学参数测试^[9]等，缺乏对测试数据的深层次解译。利用钻孔取样、室内试验的方法，仅能获得少量的岩土力学参数，均一的岩土参数也无法描述场地的力学特性。学者们利用原位测试结果、现场监测数据（如位移、变形和孔隙水压等），开展岩土参数反演分析，取得了丰硕成果。蒋水华等^[10]综合试验数据和监测资料，提出自适应贝叶斯更新方法，可直接推断岩土参数的概率分布。郑栋等^[11]基于贝叶斯理论，融合多源信息，预测了澳大利亚Balina地区的路堤沉降。Wang等^[12]考虑了静力触探试验和室内土工试验的差异，采用贝叶斯理论，解释了原位测试数据转化为常规岩土参数的误差传播规律。Ching等^[13]利用少量的场地勘察数据，结合贝叶斯理论，构建了多元岩土参数的概率密度函数。

综上所述，在原位测试的力学机理和数据应用方面，相关研究已十分丰富，但仍存在以下不足。首先，现有的参数反演方法大多从数据分析角度出发，对测试数据的力学机理认识不足。其次，在岩土参数概率反演研究中，较少涉及复杂的岩土参数，如超固结比比、压缩系数和回弹系数等。针对难以获取上海深层软土精确岩土力学参数的难题，以上海深隧云岭超深基坑工程为背景，校准该场地第⑧层（包括⑧₁层粉质黏土和⑧₂层夹砂粉质黏土）的关键岩土参数。将关键岩土参数视为随机变量，提出一种随机力学贝叶斯方法。首先，结合柱孔扩张理论，揭示CPTU贯入的力学机理。其次，融合CPTU测试数据和室内试验数据，采用贝叶斯理论，利用MCMC算法，获得关键岩土参数的后验样本。最后，开展超深基坑开挖的数值分析，验证随机力学-贝叶斯方法的有效性。

1.   CPTU力学模型

为了揭示CPTU测试数据的力学机理，基于柱孔扩张理论，建立CPTU测试数据与极限扩孔应力的转换关系。结合著名苏格兰Bothkennar岩土试验场地的相关数据，验证力学模型的适用性。

1.1   CPTU测试数据力学模型

Roscoe等^[14]建立的MCC模型，理论基础坚实、本构参数直观，被广泛应用于科研和工程领域。Chen等^[15-16]基于MCC模型，在排水和不排水条件下，推导了柱孔扩张的弹塑性半解析解。

在柱孔扩张过程中，排水和不排水情况对应不同的变形约束条件。在排水条件下，土体产生体积应变，不产生超孔隙水压；在不排水条件下，土体不产生体积应变，产生超孔隙水压。

在受力时，土体的约束条件大部分介于排水或不排水之间。为简化计算模型，针对渗透性较强的第⑧₂层土，将CPTU的贯入过程视为排水条件；在渗透性较弱的⑧₁层中，视为不排水条件。在无限土体中，假设CPTU的贯入过程满足静力平衡条件，建立计算模型如图 1所示。原位试验不涉及室内三轴试验中的“固结”过程。因此，在CPTU的贯入过程中，土体均视为“不固结”状态。

图  1  CPTU贯入计算模型

Figure  1.  Principle of CPTU model

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锥尖阻力${q_{\text{t}}}$由垂直于锥面的土压力、锥面摩擦力的竖向分量和孔隙水压力$u$组成。土体与CPTU侧壁之间的摩擦系数$\mu$，决定了侧摩阻力${f_{\text{s}}}$的大小。

在深层软土中，超孔隙水压力$\Delta u$是影响锥尖阻力${q_{\text{t}}}$等测试数据的重要因素，可建立${q_{\text{t}}}$、侧摩阻力${f_{\text{s}}}$和$\Delta u$与极限扩孔应力${p_{\text{a}}}$间的关系。

锥尖阻力${q_{\text{t}}}$为

式中，${u_0}$为静孔隙水压力，$\mu$为摩擦系数，结合侧摩阻力${f_{\text{s}}}$与极限扩孔应力${p_{\text{a}}}$可反算出此参数。

侧摩阻力${f_{\text{s}}}$：

Mo等^[17]根据Terzaghi固结理论，在部分排水条件下，推导了超孔隙水压力$\Delta u$的计算方法。但在不排水条件下，根据土体平衡原理计算$\Delta u$更为直观：

式中：${\sigma '_r}$，${\sigma '_\theta }$分别为有效径向、环向应力；${r_{\text{a}}}$，${r_{\text{p}}}$分别为孔壁处、弹塑性边界处半径。

锥尖阻力${q_{\text{c}}}$为CPTU的原始测试数据，孔压环会导致${q_{\text{c}}}$偏小。在实际使用时，参照《孔压静力触探技术规程：DB32/T 2977—2016》，修正了测试数据${q_{\text{c}}}$，修正后以${q_{\text{t}}}$表示，如式（4）所示^[18]。在理论计算中，不需要考虑孔压环的影响，可直接视为${q_{\text{t}}}$：

式中：${q_{\text{t}}}$为修正后的实测锥尖阻力；${q_{\text{c}}}$为锥尖阻力原始测试数据；$\alpha$为有效面积比，取0.8；$u$为孔隙水压力。

1.2   案例验证

以著名苏格兰Bothkennar试验场地的相关数据为案例，验证CPTU测试数据力学模型的可行性。根据文献[19]，在深度为2~18 m的范围内，静孔隙水压力${u_0}$=10~170 kPa，有效竖向应力${\sigma '_{{\text{v0}}}}$=30~130 kPa，$\lambda$=0.2，$\kappa$=0.025，$M$=1.38，${\text{OCR}}$=1.6。在不排水条件下，锥尖阻力${q_{\text{t}}}$、孔隙水压力u的预测数据略小于实测数据；在排水条件下，${q_{\text{t}}}$的预测数据略大于实测数据，但总体趋势一致，如图 2所示。因此，力学模型具有较好的实用价值。

图  2  Bothkennar地区CPTU测试数据实测值与预测值

Figure  2.  Predicted and measured CPTU profiles at Bothkennar site in Scotland

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2.   随机力学-贝叶斯方法

考虑岩土参数的随机性，提出随机力学-贝叶斯方法，校准深层软土的关键岩土参数。首先，介绍柱孔扩张随机力学方法的基本内容；随后，介绍校准岩土参数的贝叶斯理论；最后，叙述柱孔扩张随机力学-贝叶斯方法的算法框架。

2.1   随机力学方法

天然土层中的岩土参数具有较强的随机性，如仅采用均一的岩土参数，难以描述深层软土的力学特性。因此，将关键岩土参数视为连续型随机变量，结合CPTU测试数据，在柱孔扩张力学分析中，考虑岩土参数的随机性，并利用贝叶斯理论减少岩土参数的不确定性。

2.2   贝叶斯理论

室内试验受限于工期、成本及试验误差，仅能获取少量的岩土力学参数。贝叶斯理论利用条件概率论，融合岩土参数$\theta$的先验信息、直接数据${z_a}$（如室内试验数据）和间接数据${z_b}$（如CPTU测试数据、工程监测数据等），快速推断岩土参数的后验分布：

式中：$p(\theta )$为关键岩土参数$\theta$的先验概率密度函数（probability density function, PDF），反映对岩土参数的初始认知水平；$L({\boldsymbol{z}_b}\left| \theta \right., {\boldsymbol{z}_a})$为似然函数，反映关键岩土参数$\theta$与CPTU测试数据${\boldsymbol{z}_b}$的拟合程度；$p(\theta \left| {{\boldsymbol{z}_a}, {\boldsymbol{z}_b}} \right.)$为关键岩土参数$\theta$的后验PDF。

2.3   算法实现

贝叶斯理论的求解往往涉及高维随机变量积分，很难直接求得后验PDF的解析解。因此，采用随机抽样的数值算法，求得岩土参数的后验分布。首先，利用MCMC（Markov Chain Monte Carlo）方法随机产生大量服从先验分布的数据样本。随后，结合CPTU原位测试数据，例如${q_{\text{t}}}$，${f_{\text{s}}}$和$u$等构建似然函数，开展数值抽样计算，避免直接求解高维复杂的后验分布。最后，统计岩土参数的后验分布特征，如后验均值和方差。图 3给出了随机力学-贝叶斯方法的算法框架。算法框架的具体实现流程主要包括前处理、核心处理和后处理3个模块。

图  3  随机力学-贝叶斯理论计算框架

Figure  3.  Stochastic mechanics-based Bayesian theoretical framework

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（1）构建先验分布

先验概率密度函数$p(\theta )$描述了岩土参数的统计分布规律。如果掌握了大量试验数据，可直接得出$p(\theta )$的PDF。然而，受制于时间和经费等因素，工程勘察仅能获得少量的试验数据。因此，可采用均匀分布作为关键岩土参数的先验分布^[20]。假定岩土参数${\theta _i}$相互独立，多元联合先验分布$p(\theta )$为独立岩土参数先验PDF的乘积：

式中，$n$为关键岩土参数$\theta$的数量。

（2）计算似然函数

似然函数的计算依赖于MAD（method of anchored distributions）软件中的随机变量模块，通过控制文件，配置柱孔扩张的力学分析过程^[21]，建立MAD贝叶斯技术框架和数值计算软件间的联系。利用命令流，调用MATLAB力学计算程序，得到CPTU测试数据的理论预测值。

中心复合点CCD（central compound design）抽样方法具有数学意义简单、可考虑多变量问题等优点。因此，采用CCD法构建岩土参数的概率分布空间，建立二次非交叉响应面，代替真实的力学计算过程，提高柱孔扩张随机计算效率。建立近似函数$g(\theta )$与CPTU测试数据${z_b}$间的关系式为

式中：$\theta$为关键岩土参数；$\varepsilon$为误差项。

假定CPTU数据${q_{\text{t}}}$、${f_{\text{s}}}$和$u$之间彼此独立，测试误差也相互独立且服从正态分布，对应的似然函数为

式中：$k = {(2{\text{π }})^{ - N/2}}$为常数；${z^i}_{{b_j}}$为第$i$个柱孔扩张随机模拟的统计特征值，$j = 1, 2, \cdots , N$，$N$为CPTU数据的种类数；${z_{{b_j}}}$为CPTU数据的统计均值；${\sigma _{{\varepsilon _j}}}$为统计误差项${\varepsilon _j}$的标准差。

（3）统计后验分布

为避免直接求解复杂的高维积分，采用MCMC抽样方法获得岩土参数的后验样本。给定岩土参数的先验分布$p(\theta )$，计算似然函数$L({\boldsymbol{z}_b}\left| {\theta , {\boldsymbol{z}_a}} \right.)$。在第$i$次抽样时，抽样系数${\alpha _i}$定义为

从均匀分布$s\sim U(0, 1)$中抽样${s_i}$，如果${\alpha _i} \geqslant {s_i}$，接受${\theta _i}$作为后验样本，否则直接抽取下一个样本。及时调整先验概率函数$p(\theta )$的均值矢量$\boldsymbol{\mu}$和协方差$\boldsymbol{\sigma}$，重复以上过程直至总抽样次数$i = T$。最后，统计关键岩土参数的后验分布特征。

3.   工程应用

针对上海浅部土层的力学特性，学者们已开展大量研究^[22]。因此，以上海地区深部第⑧₁、⑧₂层土为研究对象，采用随机力学-贝叶斯方法，结合CPTU测试数据，校准深层软土的关键岩土参数。利用ABAQUS软件，结合关键岩土参数的后验分布，开展基坑开挖的数值分析。对比模拟结果和监测数据，验证了随机力学-贝叶斯方法的有效性。

3.1   工程概况

上海市苏州河深层排水调蓄管道系统工程全长约15 km，平均埋深50~60 m，包括云岭、苗圃两处综合设施，具体位置如图 4（a）所示。云岭综合设施入流竖井的深度为57.8 m，地下连续墙入土深度为105 m，基坑底板坐落于第⑧₂层土中，工程概况如图 4（b）所示。

图  4  苏州河深层排水调蓄管道系统及云岭综合设施工程概况

Figure  4.  Schematic diagram of surrounding environment of Yunling complex

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3.2   先验信息

刘丽斌^[23]制备了第⑧₁、⑧₂层土的原状土试样，开展高压固结试验、室内三轴压缩试验，研究了第⑧层土的基本物理力学特性。

利用原状土的室内试验数据，结合地质勘察资料，获得上海地区第⑧₁、⑧₂层土的先验信息，具体岩土参数范围如表 1所示。在先验信息较少的条件下，采用均匀分布作为岩土参数的先验分布。

表  1  第⑧层土主要岩土参数的先验数据

Table  1.  Key geotechnical parameters of silty clay layer ⑧

土层	临界状态应力比 $M$	压缩系数 $\lambda$	回弹系数 $\kappa$	超固结比${\text{OCR}}$	孔隙比 $e$	侧压力系数 ${K_0}$	泊松比 $\nu$
⑧1粉质黏土	1.14~1.36	0.10~0.18	0.008~0.022	1.01~2.40	0.90~1.10	0.47~0.49	0.31~0.33
⑧2夹砂粉质黏土	1.28~1.36	0.10~0.15	0.008~0.022	1.20~2.61	0.62~1.01	0.43~0.49	0.31~0.32

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由于贝叶斯方法的复杂性，校准过多的岩土参数会降低计算效率和精度。因此，利用CPTU测试数据的力学模型，选取对测试结果影响明显的岩土参数。

如式（1），（2）所示，侧摩阻力${f_{\text{s}}}$、锥尖阻力${q_{\text{t}}}$与极限扩孔应力${p_{\text{a}}}$相关；且${q_{\text{t}}}$考虑了孔隙水压$u$的影响。因此，利用锥尖阻力${q_{\text{t}}}$，作为参数敏感性的分析指标。根据正交试验法则^[24]，设计试验方案，开展CPTU数据的力学计算。利用极差分析法，比较岩土参数间的敏感性差异，极差的计算结果如图 5所示。在不排水条件下，如图 5（a）所示，敏感性排序依次为：${\text{OCR}}$$>$$\star$$>$$\lambda$$>$$M$$>$$e$$>$$\nu$$>$${K_0}$。在排水条件下，如图 5（b）所示，$e$和$\nu$的敏感性高于$\lambda$。通过室内固结试验，可获得$\lambda$，但试验周期较长、观测误差明显。而$e$为土的基本物理指标，获取比较便捷；在工程中，$\nu$的变化范围较小。综上，选取${\text{OCR}}$，$\lambda$，$\kappa$和$M$作为关键岩土参数$\theta$，开展深层软土的参数校准。

图  5  岩土参数的敏感性分析结果

Figure  5.  Results of sensitivity analysis for geotechnical parameters

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3.3   后验分布

采用MCMC抽样方法，在联合先验分布$p(\theta )$中，开展T=10000次的随机抽样和计算，保留满足抽样系数的样本，计算关键岩土参数$\theta$的后验样本统计特征。

（1）⑧₁层粉质黏土后验结果

经随机力学-贝叶斯方法校准后，关键岩土参数的先、后验分布和后验样本如图 6所示。根据后验样本，获得关键岩土参数的后验分布统计特征。以超固结比OCR为例，如图 6（a）所示，${\text{OCR}}$的先验信息服从均匀分布$U(1.01, 2.40)$，存在较大的不确定性。经校准后，OCR的后验服从对数正态分布LN(1.67, 0.31²)，大幅度降低了参数的不确定性。后验均值可作为岩土参数的建议值，方差体现了岩土参数的离散性。临界状态应力比$M$、压缩系数$\lambda$和回弹系数$\kappa$的后验对数正态分布如图 6（b），（c）和（d）所示，分别为LN(1.250，0.05²)，LN(0.139，0.023²)和LN(0.016，0.003²)。

图  6  第⑧₁层粉质黏土关键岩土参数的先验和后验分布

Figure  6.  Prior and posterior distributions of key geotechnical parameters in silty clay layer ⑧₁

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采用CPTU测试数据的力学模型，结合后验样本，开展柱孔扩张的力学计算，获得CPTU测试数据的“预测值”。图 7展示了预测数据与CPTU实测数据间的关系，虚线围成的黄色区域为后验样本的预测范围。

图  7  第⑧₁层土CPTU测试数据的预测包络图

Figure  7.  Predicted CPTU inversion envelopes of silty clay layer ⑧₁

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如图 7（a）所示，锥尖阻力${q_{\text{t}}}$的预测区间“包络”了大部分实测数据；且后验均值的预测结果与实测均值接近，证明了随机力学-贝叶斯方法的有效性。图 7（b），（c）分别为侧摩阻力${f_{\text{s}}}$、孔隙水压力$u$的预测和实测数据。图中的“YLC”、“MPC”和“JKL”分别代表不同孔位的CPTU测试曲线。

（2）⑧₂层夹砂粉质黏土后验结果

以超固结比OCR为例，如图 8（a）所示，OCR的先验信息服从均匀分布$U(1.20, 2.60)$。经校准后，OCR的后验服从对数正态分布LN(1.99，0.30²)，不确定性大幅度降低。图 8（b）~（d）展示了临界状态应力比$M$、压缩系数$\lambda$和回弹系数$\kappa$的后验对数正态分布，分别为LN(1.317，0.019²)，LN(0.125，0.014²)和LN(0.014, 0.039²)。

图  8  第⑧₂层夹砂粉质黏土关键岩土参数的先验和后验分布

Figure  8.  Prior and posterior distribution of key constitutive parameters of sandy silty clay layer ⑧₂

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上海第⑧₂层土为夹砂粉质黏土，渗透性较强。将CPTU在该层土中的贯入过程视为排水条件，不考虑孔隙水压力曲线。采用CPTU测试数据的力学模型，结合后验样本，重新开展力学计算，获得CPTU数据的预测结果，如图 9所示，虚线围成的黄色背景为CPTU数据的预测范围。锥尖阻力${q_{\text{t}}}$、侧摩阻力${f_{\text{s}}}$的预测区间包络了绝大部分真实数据，验证了随机力学-贝叶斯方法的适用性，如图 9（a），（b）所示。

图  9  第⑧₂层土CPTU测试数据的预测包络图

Figure  9.  Predicted CPTU inversion envelopes of sandy silty ⑧₂

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3.4   云岭超深竖井基坑工程数值分析

为了证明随机力学-贝叶斯方法的工程应用价值，利用ABAQUS数值软件，结合关键岩土参数的后验统计特征。针对上海深隧工程试验段——云岭综合设施超深基坑工程，开展基坑开挖的数值分析；并对比模拟结果与监测数据，验证后验结果的准确性。

（1）模型概况

云岭综合设施为苏州河排水工程试验段，根据基坑工程的施工情况^[25]，建立三维有限元模型如图 10所示。采用ABAQUS的生死单元功能模拟开挖过程。结合后验均值结果，第⑧₁、⑧₂层土采用MCC模型参数值；其余土层取Mohr-Coulomb模型参数值。

图  10  数值模型概况与有限元网格划分

Figure  10.  Overview of numerical model and finite element mesh

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（2）监测方案

根据基坑开挖的实际情况，选取坑底隆起和墙外土体侧移作为关键监测数据。坑底隆起的监测点位于基坑中心，T01~T04为墙外土体侧向位移监测点，具体位置如图 11所示。

图  11  基坑监测布置图

Figure  11.  Monitoring points for foundation pit

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（3）数值结果与监测数据对比分析

根据勘察资料，第⑧₁层粉质黏土平均埋深在44.5~53 m，第⑧₂层夹砂粉质黏土平均埋深为53~72 m。因此，选取开挖深度为47.6，53.6 m的工况，针对墙外土体侧移和基坑坑底隆起，对比分析监测数据和模拟结果。

a）竖井外土体侧移分析

当基坑开挖至47.6，53.6 m时，T03监测点的墙外土体侧移如图 12所示。由图 12（a），（b）可得，当开挖至47.6，53.6 m时，后验均值的模拟结果为8，10 mm。随着开挖深度的变化，墙外土体侧移呈现“鼓肚子”的特征。后验均值的模拟结果与监测数据较为接近。后验最大值、最小值的模拟结果构成了预测区间，包络了监测数据的上、下限，证明了随机力学-贝叶斯方法的适用性。

图  12  土体侧向位移图

Figure  12.  Lateral displacements of soil of diaphragm wall

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b）竖井坑底隆起特性

随着开挖深度变化，竖井坑底隆起监测曲线如图 13所示。由图 13（a）可得，当开挖至47.6 m时，在深度50 m处，后验均值的模拟结果为18.0 cm，接近于监测值17.9 cm。当开挖深度超过35 m后，该处土体隆起值上升较为明显。由图 13（b）可得，当开挖至53.6 m时，在55 m深度处，后验均值的模拟结果为13.4 cm。后验最大值、最小值的模拟结果构成了预测区间，包络了后验均值结果和监测数据，证明了随机力学-贝叶斯方法的适用性。

图  13  基坑中心处土体隆起值变化

Figure  13.  Uplift values of soil at center of foundation pit

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4.   结论

针对难以获取深层软土精确岩土参数的难题，将关键岩土参数视为随机变量，提出一种随机力学-贝叶斯方法。利用MCC模型的柱孔扩张理论，融合CPTU测试数据和室内试验数据，可快速地校准深层软土的关键岩土参数，得到以下3点结论。

（1）利用柱孔扩张理论，建立CPTU测试数据的力学模型，并结合著名苏格兰Bothkennar试验场地的相关数据，验证了力学模型的适用性。

（2）提出一种随机力学-贝叶斯方法，降低了岩土参数的不确定性。第⑧₁层土的临界状态应力比M、压缩系数$\lambda$、回弹系数$\kappa$和超固结比${\text{OCR}}$建议值分别为1.250，0.139，0.016，1.67。第⑧₂层土的参数值分别为1.317，0.125，0.014，1.99。

（3）利用ABAQUS数值软件，结合岩土参数后验分布，模拟云岭综合设施竖井基坑的开挖过程。结果表明，后验均值的模拟结果与监测数据较为接近，后验最大值、最小值的模拟结果包络了监测数据，证明了随机力学-贝叶斯方法的适用性。

随机力学-贝叶斯方法利用CPTU原位数据，可快速校准深层软土的关键岩土参数，但基于以下两点，可进一步完善该方法：①在揭示CPTU试验力学机理时，可进一步考虑结构性、各向异性、超固结性等土的力学特性。在不同条件下，精细描述CPTU数据的变化特征。②目前，在构建似然函数时，通常认为误差项$\varepsilon$服从均值为零的正态分布。可进一步考虑误差项的不同分布类型，提升校准结果的准确性。