Mechanism of pore pressure time lag for saturated clays
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摘要: 采用一维固结仪进行饱和黏性土固结试验时，测量的试样底部孔压普遍存在“时间滞后”现象，荷载施加后，孔压随固结时间先增大至最大值，然后开始消散。以往研究发现，测压管式孔压计的刚度不足，导致孔压计腔体体积在施加荷载后发生变化，从而得出孔压滞后可以归结于孔压测量系统刚度的结论。基于已有理论，分析了不同孔压测试系统刚度对孔压滞后性状的影响，发现隔膜式孔压测量系统刚度足够大，固结试验中施加荷载所引起的孔压计腔体体积变形可以忽略不计，测量系统刚度不是隔膜式测量系统孔压滞后的主要影响因素。对比分析三轴固结试验和一维固结试验不同边界排水条件诱发不同的孔压滞后性状，发现一维固结试验中施加荷载时，试样顶部处于自由排水条件，外加荷载引起的水力梯度均匀地分布于试样之前试样顶部便产生排水固结是诱发底部孔压时间滞后的关键因素。基于一维固结试验数据，分析了孔压滞后时间与土体试样固结参数的关系，可以得出：底部孔压峰值滞后时间随着试样渗透系数的减小和压缩指数的增大而增大；渗透系数的影响比压缩指数更为显著。Abstract: Time lag of pore pressure often occurs during oedometer consolidation of saturated clays. After applying loading, the pore pressure measured at the base of specimens increases up to the maximum and then decreases with the increase in consolidation time. The previous studies have concluded that the stiffness of the standpipe piezometers is not enough to resist the applied loading, resulting in a non-negligible deformation of pore pressure gauge chamber. Accordingly, the time lag of pore pressure is attributed to the effects of stiffness on the pore pressure measurement system. In this study, the role of stiffness of pore pressure measurement system in pore pressure time lag behaviour is investigated, based on the existing theories. It is found that the diaphragm piezometer currently used for measuring pore pressure has a large stiffness enough to resist the applied loading. Consequently, the deformation of pore pressure gauge chamber induced by the applied loading can be negligible. The test results available on the pore pressure behaviour under undrained conditions using the triaxial testing apparatus indicate that the pore pressure reaches the order of the applied loading within a very short consolidation time of a few minutes. Such a result is consistent with that from the theoretical analysis. On the other hand, when the oedometer consolidation apparatus is adopted, the top boundary condition of the specimen is freely drained during applying loadings. That is, consolidation occurs at the top layer of the specimen before the hydraulic gradient induced by the applied loadings is uniformly distributed on the specimen. The difference in the measurements of pore pressure between the triaxial and the oedometer consolidation tests is most probably attributed to the difference in the boundary drainage conditions when applying loadings. The time lag of pore pressure at the base of the specimen during oedometer consolidation is caused by the dissipation of pore pressure from the top boundary. The consolidation time responsible for the maximum pore pressure distributes within a wide spectrum of about dozens of minutes to several hundreds of minutes. The key factors of influencing the behaviour of pore pressure time lag are found to be permeability coefficient and compression index. The consolidation time responsible for the maximum pore pressure increases with the decrease in the permeability coefficient, and increases with the increase in the compression index. The permeability coefficient has a more significant effect on the time lag of pore pressure than the compression index.
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0. 引言
堆石料是土石坝的主要筑坝材料，一般占坝体工程70%~90%[1]。堆石料的力学性质将直接影响坝体的安全运行，随着筑坝技术的提高以及调节性大水库建设的需求，中国已建和在建的高坝数量日益增多，例如双江口、两河口、如美、古水等水利工程，最大坝高可达300 m。坝高的提升首先引起堆石料所受应力的增大，导致长期变形中颗粒破碎现象明显并影响堆石料的强度、渗透、变形等性质[2-5]。
针对堆石料的颗粒破碎现象，国内外学者进行了大量研究[6-8]。颗粒破碎指标的选择是研究堆石料颗粒破碎规律的基础，Marsal[6]将各个粒组试验前后的质量百分数的差值，取绝对值求和定义了破碎指标Bg。Hardin[7]根据初始级配与理想状态下颗粒完全破碎时级配所围成的面积作为破碎潜能，定义了破碎指标Br。Einav[8]认为颗粒破碎存在极限级配，将极限级配与初始级配所围成的面积作为破碎潜能，定义了破碎指标BE。郭万里[9]考虑到颗粒破碎的极限级配不易获取，将初始级配的级配面积作为破碎潜能，定义了破碎指标Bw。
对于堆石料在三轴剪切过程中颗粒破碎演化规律的研究，现存的研究方法主要有两种：①构建考虑颗粒破碎的本构模型。此类模型大部分是用孔隙比e的变化来反映颗粒破碎情况[10-11]，并构建包含孔隙比e的状态参数，将新的状态参数与弹塑性模型中的参数进行关联。此类模型虽然在建模过程中考虑了颗粒破碎的影响，但是对于破碎演化仅仅体现在孔隙比e的变化，不能实现堆石料级配的演化。②建立反映颗粒破碎率随应力和应变变化的数学模型。基于不同的颗粒破碎指标，众多学者研究了颗粒破碎率在不同力学状态下的变化规律[12-14]。蔡正银等[15]研究了不同级配、不同密度、不同围压条件下堆石料的颗粒破碎现象，发现破碎颗粒主要集中粒径在20 mm以上的颗粒。刘汉龙等[16]发现颗粒破碎率随围压的增大而增大，二者近似满足双曲线关系。高玉峰等[17]对不同岩性的堆石料展开大型三轴剪切试验，发现颗粒破碎率与围压呈线性增长关系。Salim等[18]基于三轴试验，建立了破碎指标Bg与剪应变和平均正应力的关系。Jia等[19]认为颗粒破碎不仅发生在三轴剪切过程中，试样振动压实放入三轴仪同样会产生明显的颗粒破碎，并基于塑性功建立了三轴剪切作用下破碎指标Br的变化规律。
以上的研究主要针对不同力学状态下破碎指标的变化，而就堆石料本身而言，颗粒破碎引起级配分布的变化。很少有涉及级配与剪应变、平均正应力的变化规律。朱俊高等[20]、郭万里等[21]基于一个双参数的级配方程，提出了实现“应力应变—破碎指标—级配分布（SBG）”转换的模型。其模型理论清晰，但是在实现“破碎指标—级配分布”转换时，双级配参数造成计算量大不易求解。本文在其基础上改进，将分形分布用于堆石料颗粒破碎的研究，建立一个便于运算的“应力应变—破碎指标—级配分布（SBG）”模型。
1. 破碎指标与级配分布的关系
1.1 级配的定量表示方法
关于堆石料颗粒破碎的研究已经取得众多成果，但大多数研究是针对“应力应变—破碎指标”的关系，通过引入适当的破碎指标来定量表示不同力学状态下颗粒破碎的程度。而对于堆石料整体而言，其最直观的物理变化就是级配的改变。如果可以建立“应力应变—级配分布”的转换模型，就可以从本质上反映颗粒破碎作用下堆石料性能的变化。
模型的建立首先需要解决级配分布的定量表示，大量学者根据级配的分布特性建立了众多的级配方程，其中以Talbot等[22]提出的分形级配方程和朱俊高等[20]提出的双参数级配方程应用最为广泛。相比之下，双参数级配方程由于受两个级配参数共同控制，在进行级配拟合时，其精度略高于分形级配方程。
郭万里通过引入双参数级配方程，构建了一个“应力应变—破碎指标—级配分布”的转换模型，其模型在理论上是可以应用的。然而，该模型在进行“破碎指标—级配分布”转化时，需要构建两个破碎指标从而建立两个方程来求解级配参数。无论是破碎指标Bw还是Bg，与级配参数的转换公式都是十分复杂的，方程组不便求解，而造成求解问题出现的主要原因是级配方程形式复杂且存在两个参数。
考虑到分形级配方程形式简单、参数单一，且在研究土体级配分布中得到广泛应用。本文将基于分形级配方程，并结合已有三轴剪切下堆石料的颗粒破碎成果，构建一个便于应用的“应力应变—破碎指标—级配分布”模型。
基于分形理论，Talbot等提出的分形级配方程[22]：
P=(ddmax)3−D×100%, (1) 式中D为分形维数，P为小于某粒径d的累计含量，dmax为最大粒径。
为了说明用分形级配方程定量表示堆石料级配时，具有充足的准确性，本文对古水、马吉、如美、茨哈峡堆石料分别进行了拟合，如图 1所示。4种堆石料的级配分布与拟合曲线吻合良好，仅仅是茨哈峡堆石料出现略微偏差，拟合参数见表 1。茨哈峡堆石料的相关系数的平方R2为0.98，其他堆石料为0.99。
表 1 不同堆石料的拟合参数Table 1. Fitting parameters of different rockfills土体类型 dmax/mm D R2 古水堆石料 800 2.46 0.99 马吉堆石料 700 2.59 0.99 如美堆石料 600 2.60 0.99 茨哈峡堆石料 300 2.67 0.98 虽然以上的拟合效果良好，但有学者发现分形级配方程仅仅适合拟合双曲线型级配分布，对反S型级配分布不适用[14, 20]。基于此，本文对两种形状的级配分布进行拟合，如图 2所示。分形级配方程对反S型级配分布的拟合效果较差。然而，笔者对实际工程中的堆石料级配进行筛查后，发现并没有反S型级配分布。主要原因是该形状的级配存在明显的粒组缺失，而实际工程中的堆石料为了获得高密实度，设计时不会出现粒组缺失现象。反S型级配分布仅仅出现在反滤料、砂土、黏土的设计中，故本文无需考虑拟合出现偏差的问题。
1.2 破碎指标的选择
颗粒破碎指标的选择是研究堆石料颗粒破碎的基础，意义明确的破碎指标可以很清晰地反映颗粒的破碎程度。本节对常用的破碎指标进行对比总结，并确定新模型所涉及的破碎指标。
常见的破碎指标基本可以分成2类：第1类为特定粒径（d10，d15等）和组合系数（Cu，Cc），该类指标形式简单、便于计算，但所反映的破碎程度过于片面，难免以偏概全。第2类用各个粒组质量分数的总体变化衡量破碎程度。Marsal[6]将各个粒组颗粒破碎前后质量分数的差值（ΔWk）取绝对值求和，定义了破碎指标Bg：
Bg = ∑|ΔWk|。 (2) Hardin[7]根据颗粒破碎后级配的变化，认为所有颗粒均具有破碎成微小颗粒的潜能，即级配曲线与P=100%完全重合，将初始级配与P=100%所围成的面积作为破碎潜能Sp，用试验后级配与初始级配所围成的面积作为颗粒破碎量S1，如图 3所示，将S1与Sp的比值作为破碎指标Br。Einav[8]认为颗粒破碎存在极限级配，将极限级配与初始级配所围成的面积作为破碎潜能，如图 4所示，定义了破碎指标BE：
BE=S1/Sp。 (3) 理论上，破碎指标Br与BE的范围为0~1，然而Br不可能取到1甚至远小于1，其反映的破碎程度仅仅在一个较小的区间内。相比之下，破碎指标BE可以取到0和1，指标值为0时表示颗粒未发生破碎，指标值为1时表示颗粒破碎达到最大程度。对于极限级配的确定，已有研究表明[23-24]，就实际工程中常规堆石料的级配范围而言，极限级配的分形维数趋近于2.7。
1.3 BE与分形维数的关系
根据破碎指标BE的定义，只要可以计算不同状态下级配在P–lgd坐标下的面积，就可以实现直接求解。由于粒径d取不到0 mm，故对P在区间[k, 1]进行积分，然后将k趋近于0得到极限值，如图 5所示。
级配曲线在P–lgd坐标下的面积：
S=limk→0SA=∫1k(lgdmax−lgdk)dP, (4) 式中，dk为P=k时所对应的粒径。
对分形级配方程进行变形，可得
lgdmax−lgdk=−13−DlgP。 (5) 将式（5）代入式（4），可得
S=1ln10⋅13−D。 (6) 将式（6）代入式（3），可得
BE=(Dc−D0)(3−Du)(Du−D0)(3−Dc)。 (7) 式中Dc为当前级配的分形维数，D0为初始级配的分形维数，Du为极限级配的分形维数，其中D0，Du为已知。故，破碎指标BE与当前级配的分形维数Dc之间一一对应的转换关系建立。
2. 破碎指标与应力应变的关系
Jia等[19]通过对古水堆石料进行三轴固结排水剪切试验，研究了堆石料在剪切过程中的颗粒破碎规律，发现颗粒破碎率同时受剪应变εs和平均正应力p控制，但没有提出相应的预测模型。本节基于文献[19]的试验数据，构建一个用于预测不同力学状态下破碎指标的模型。试验数据见表 2（此处的破碎指标BE与文献[14]有所差别，是采用不同级配方程求取级配面积造成的结果，总体而言趋势相同）。
围压/kPa 剪应变εs/% 平均正应力p/kPa D BE/% 0 0 0 2.2742 0 500 1.87 1242 2.2777 0.34 500 4.56 1422 2.3070 3.34 500 8.44 1494 2.3416 7.21 500 12.49 1469 2.3378 6.77 500 16.01 1420 2.3418 7.24 1000 1.75 2046 2.2891 1.48 1000 4.60 2343 2.3294 5.80 1000 7.20 2552 2.3657 10.16 1000 10.66 2534 2.3490 8.09 1000 15.19 2621 2.4026 15.14 1500 1.90 2760 2.3000 2.60 1500 7.34 3504 2.3913 13.55 1500 9.31 3596 2.3929 13.78 1500 12.47 3543 2.4180 17.40 1500 14.35 3602 2.4325 19.66 2000 1.85 3336 2.3009 2.70 2000 4.55 4064 2.3549 8.81 2000 7.26 4484 2.3901 13.39 2000 10.75 4653 2.4235 18.25 2000 13.76 4619 2.4386 20.63 通过分析剪应变和平均正应力与BE的关系，得到一个可以定量表示BE随剪应变和平均正应力变化的公式：
BE=a[1−exp(−bεs)]arctan(cp/pa)。 (8) 式中，3个参数可以直接通过拟合获得。另外，在剪应力–剪应变试验曲线完整的情况下，参数b可以通过临界状态直接确定。当土体受剪达到临界状态时，平均正应力p保持不变而剪应变εs持续增大，颗粒破碎量将趋近于恒定值。根据式（8）可知，要想破碎指标BE趋近于恒定值，[1-exp(-bεs)]需要无限接近于1。此处假设[1-exp(-bεs)]≥0.99时，土体达到临界状态。此时需满足bεs≥4.6，换句话说，用εcs表示临界剪应变：
b=4.6/εsc。 (9) 受试验仪器的限制，三轴剪切下的剪应变常常达不到临界值。根据已有研究[25-26]，可以按下式计算临界状态的应力比MC及相应的临界剪应变：
η=ACε2s+εsε2s+1,Mc=AC。} (10) 式中，A，C为拟合参数。
本文提取了Jia等[19]的三轴固结排水剪切试验的剪应力–剪应变曲线，将应力比η和剪应变ε绘制成散点；并根据式（10）进行拟合，如图 6所示。剪应变为18%时，不同围压下的应力比η趋近于水平线，且临界应力比MC较为接近，说明式（10）的正确性。临界剪应变εcs=18%，根据式（9），参数b=25.6。
将b=25.6代入式（8），并对表 2中的数据进行拟合，如图 7所示。图 7中，a=0.3257，c=0.0149，相关系数的平方R2达到了0.90，表明模型具有较高的预测精度。
以上是对Jia等[19]的数据进行建模和验证，仅仅是对1组数据进行拟合不代表模型广泛的适用性，此处又引用了郭万里[27]的试验数据，见表 3。利用式（8）对三轴剪切试验的数据直接进行拟合，如图 8所示。拟合参数a=0.3284，b=24.6，c=0.0727，相关系数的平方R2为0.95，进一步论证了模型的适用性。
围压/kPa 剪应变εs/% 平均正应力p/kPa BE/% 0 0 0 0 200 4.41 570 10.6 200 9.95 580 14.4 200 13.40 560 15.6 500 3.37 1140 11.6 500 7.53 1300 18.7 500 14.30 1320 23.1 1000 2.60 1800 12.2 1000 8.56 2370 26.0 1000 15.20 2480 32.1 1500 1.63 2160 13.2 1500 5.34 3010 30.2 1500 16.30 3570 41.4 3. SBG模型的验证
以上分别研究了“破碎指标—级配分布”、“应力应变–破碎指标”的关系，本节将对以上转换关系联立，对“应力应变—破碎指标—级配分布”模型进行验证。将表 2中的数据通过式（8）进行拟合，得到不同力学状态下预测的破碎率BE，再根据式（7）计算相应的分形维数。对围压为2000 kPa，剪应变为7.26%，13.76%的级配进行拟合，结果如图 9所示，预测级配与试验后级配拟合良好。为了说明模型对所有数据的总体预测精度良好，将所有20组实测级配的分形维数和模型预测得到的分形维数绘制于图 10，可以看出实测值与拟合值的最大误差仅仅在0.02左右。故，本文建立的“应力应变—破碎指标—级配分布”模型拥有良好的适用性。
4. 结论
本文基于分形级配方程，研究了三轴剪切过程中颗粒破碎率和级配变化的一般规律，建立了相应的“应力应变—破碎指标—级配分布（SBG）”转换模型，模型成功预测了不同力学状态下级配的变化。
（1）用分形级配方程定量表示堆石料级配分布具有较高的准确性。虽然分形级配方程对反S型级配分布不适用，但反S型级配分布存在明显的粒组缺失，实际堆石料设计时不存在该形状的级配分布。
（2）对比了常见的破碎指标，认为Einav提出的破碎指标BE最适合表示颗粒破碎率，BE的取值范围为0~1，指标值取0时表示未发生颗粒破碎，指标值取1时表示颗粒破碎达到最大程度。
（3）建立了一个可以定量表示破碎指标随剪应变和平均正应力变化的模型，模型共有3个参数a，b，c，其中参数b与土体的临界状态有关，由临界剪应变可以直接求得。对2组不同的三轴剪切试验数据进行拟合，相关系数的平方均在0.9以上。
（4）本文建立的SBG模型成功预测了不同力学状态下堆石料级配的变化。其使用方法简洁：首先通过式（8）对试验数据进行拟合，获得“应力应变—破碎指标”的转换；然而按式（7）实现“破碎指标—级配分布”的转变。
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图 2 不同荷载等级下底部超静孔压随固结时间的变化曲线
Figure 2. Variation of excess pore water pressure with time under different loading increments
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图 3 相同荷载等级下典型底部超静孔压与时间的变化关系
Figure 3. Typical variation of excess pore water pressure with time under same loading level
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图 4 不同刚度比下三轴不固结不排水试验的孔压计算结果
Figure 4. Results of calculated pore pressure in triaxial unconsolidated and undrained tests with different stiffness ratios
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图 5 典型孔压测量值到达峰值时间随渗透系数的变化规律
Figure 5. Typical relationship between time reaching maximum pore water pressure and hydraulic coefficient
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图 6 典型孔压测量值到达峰值时间随压缩指数的变化规律
Figure 6. Typical relationship between time reaching maximum pore water pressure and compression index
表 1 重塑土试样的基本物理指标
Table 1 Basic physical properties of reconstituted clays
土样 相对质量密度
Gs液限
wL/%塑限
wP/%初始含水率
w0/%试验
组数数据来源 南京土 2.71 37.0 21.0 38.3~68.6 3 本研究 蚌埠土A 2.71 42.0 22.0 43.4~75.3 3 蚌埠土B 2.69 48.0 24.0 50.8~71.7 2 蚌埠土C 2.71 57.0 30.0 54.6~103.3 3 连云港土 2.72 63.0 31.0 65.4~114.3 3 五河土 2.75 56.3 28.0 45.3~93.3 3 Huaian clay A 2.70 100.1 38.8 80.6~179.6 6 Zeng等[8] Huaian clay B 2.70 70.8 33.5 85.0~114.2 3 Lianyungang clay 2.70 55.6 28.8 44.5~88.8 4 
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表 2 不同η值对应的αn值
Table 2 Corresponding values of αn at different values of η
η 2 40 4×106 α1 2.2889 3.0651 3.1416 α2 5.0870 6.1311 6.2823 α3 8.0962 9.1987 9.4248 α4 11.1727 12.2688 12.5664
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