基于Pasternak地基模型的断层错动下管线结构纵向响应的解析解

陶连金; 王志岗; 石城; 安韶; 贾志波

doi:10.11779/CJGE202209002

基于Pasternak地基模型的断层错动下管线结构纵向响应的解析解 English Version

北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室, 北京 100124

基金项目:

国家重点研发计划项目 2019YFC1509704

国家自然科学基金项目 41877218

国家自然科学基金项目 42072308

详细信息

作者简介:
陶连金(1964—)，教授，博士生导师，主要从事地下工程与隧道设计施工及地下结构抗震的研究。E-mail: ljtao@bjut.edu.cn

中图分类号: U451
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出版历程
- 收稿日期: 2021-08-26
- 网络出版日期: 2022-09-22
- 刊出日期: 2022-08-31

Analytical solution for longitudinal response of pipeline structure under fault dislocation based on Pasternak foundation model

Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering of Ministry of Education, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China

摘要

摘要: 断层错动引起场地上覆土体破裂对跨断层上覆土层的地下管线结构造成巨大破坏。针对断层错动作用下跨断层上覆土层管线结构的纵向响应开展研究，考虑到管线–地基间的非线性相互作用引入了双参数Pasternak地基模型，并结合补余误差函数推导了断层错动下地下管线结构纵向响应解析解。解析解计算结果和模型试验与数值模拟结果基本吻合，证明了解析解的正确性。通过参数敏感性分析讨论了地基剪切刚度、地基反力系数和断层倾角对地下管线结构纵向响应的影响。研究结果表明：基于双参数Pasternak地基模型的断层错动下管线结构纵向响应解析解比传统Winkler地基模型更精确。地基剪切刚度和地基反力系数会改变地下管线结构的弯矩和剪力最大值，而地基反力系数和断层倾角会改变弯矩和剪力的影响区域和最大值的出现位置。在影响区域内管线结构弯矩和剪力值数倍于其它区域，结构易出现剪切破坏，为主要灾害发生区域。
- 断层错动 /
- 解析解 /
- Pasternak地基模型 /
- 补余误差函数 /
- 纵向响应
Abstract: The fault dislocation causes the rupture of the overlying soil on the site, resulting in enormous damage to the underground pipeline structures across the overlying soil. Through the researches on the longitudinal response of the pipeline structures of the overlying soil layer under the fault dislocation, the Pasternak double-parameter model is introduced so as to take the nonlinear interaction between the pipeline and the foundation into consideration, and an analytical solution for the longitudinal response of the pipeline structures is derived using the complementary error function. The calculated results of analytical solution are consistent with those of the model tests and numerical simulations, which proves the correctness of the analytical solution. Through the parameter sensitivity analysis, the influences of the shear stiffness of the elastic layer, the coefficient of subgrade reaction and the fault dip on the longitudinal response of the underground pipeline structures are discussed. The research results show that the longitudinal response of the pipeline structures under fault dislocation based on the two-parameter Pasternak foundation model is more accurate than that of the Winkler foundation model. The shear stiffness and reaction coefficient of the subgrade will change the maximum bending moment and shear force of the underground pipeline structures. In contrast, the coefficient of subgrade reaction and fault dip will change the influence area and the maximum value of the bending moment and shear force. In the influence area, the bending moment and shear force of the pipeline structures are several times higher than those in other locations, and the structures are prone to shear failure, which is the main disaster occurrence area.
- fault dislocation /
- analytical solution /
- Pasternak foundation model /
- complementary error function /
- longitudinal response

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0. 引言

随着城市化进程的不断推进，地下管线的出现极大改善和缓解了城市用地紧张的窘迫境遇。作为生命线工程重要组成部分的隧道工程，具有明显线性特征，当不可避免的跨越活跃断裂带及影响区域时将给隧道结构带来直接或潜在的多种有害影响。近年来，活跃断裂带给穿越或邻近隧道带来的灾难性破坏屡见不鲜。如2008年汶川地震后发现穿越映秀大断裂与龙溪断裂的龙溪隧道路面出现严重错位和隆起^[1]，见图 1。1999年台湾集集地震后发现新建三义铁路隧道多处衬砌结构遭受破坏^[2]，见图 2。可见，断层错动对服役期管线结构的不利影响是值得特别注意的，如何避免和降低断层错动给对役期管线结构安全性带来的有害影响具有研究意义。

图 1 龙溪隧道

Figure 1. Longxi tunnel

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图 2 新建三义铁路隧道

Figure 2. New Sanyi railway tunnel

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国内外诸多学者分别采用现场调研、理论分析、模型试验和数值模拟等手段开展对跨活动断裂带及影响区域隧道结构响应规律的研究。现场调研可获取断层错动时隧道结构最真实的响应规律和破损情况。在对地震后52条隧道进行全面调查的基础上，Shen等^[1]采用一种新的损伤评价标准对隧道损伤等级进行了系统分类。汶川震害调查资料表明隧道洞口结构是仅次于断层破碎带段隧道结构震害的严重区段^[3-4]。也有学者分析发现穿越活跃断裂带及场地上覆土层的隧道破坏极其严重^[5-6]。理论分析在研究管道结构力学特性问题得到了广泛应用^[7-9]。杨步云等^[10]建立了一种考虑衬砌与围岩非连续变形的动接触力算法，分析了断层厚度、倾角、接触作用及断层对隧道衬砌地震响应及损伤破坏特性的影响。Yu等^[11]推导了一种用于研究非均质地基中长隧道承受正弦剪切运动下的地震反应的解析解。林存刚等^[12]引入Pasternak地基模型，采用有限差分方法推导了盾构隧道开挖地层损失下带接头管线的挠曲解答。徐日庆等^[13]推导了考虑隧道剪切效应及埋深效应的基坑开挖下卧隧道形变响应的半解析解。刘国钊等^[14]推导了错动作用下穿越活动性断裂带隧道的纵向响应的解析解并进行了验证。上述研究尚未涉及到埋置于断层上覆土层中管线结构纵向响应规律的研究，即关于断层错动下跨断层上覆土层管线结构纵向响应解析研究鲜有报道。

模型试验和数值模拟可为理论分析提供数据支撑，可较好地还原断层错动下管线结构的响应规律。刘学增等^[15-17]通过模型试验研究了不同断层倾角、错动方式作用下隧道的受力变形机制。王道远等^[18]通过开展抗错断模型试验以研究逆断层黏滑错动条件下隧道抗错断力学机制。孙飞等^[19]揭示了60°正断层黏滑错动下的地铁隧道分段式衬砌结构响应规律。Kiani等^[20]对正断层作用下分段隧道进行了一系列离心模型试验。Demirci等^[21]介绍了一系列连续埋地管道在逆断层运动下的试验结果。不少学者通过数值模拟研究了正断层^[22]、逆断层^[23-24]和走滑断层^[25-26]错动下隧道响应规律和变形特征，及场脉冲型地震作用下跨断层隧道结构地震响应特性^[27]。Yang等^[9]确定了断层表面附近的变形模式和断层尖端扩展的演化规律。Fadaee等^[28]采用三维有限元（FE）模型，研究了地下管道与逆断层破裂的相互作用。可见，管线结构与地基间的相互作用是研究管线结构纵向响应规律的关键因素。

鉴于此，本文考虑管线结构–地基的非线性相互作用，引入双参数Pasternak地基模型，结合补余误差函数，推导了断层错动下埋置于断层上覆土层中地下管线结构纵向响应解析解，以进一步揭示断层错动下地下管线结构纵向响应规律。借助模型试验和数值模拟结果验证了解析解的正确性。最后对地基剪切刚度、地基反力系数和断层倾角3个参数的敏感性进行了算例分析，总结了断层错动下管线结构的纵向响应规律，以期为跨断层地下管线结构的抗错断设计和施工提供具有参考价值的结论。

1. 断层错动下地下管线纵向响应解析解

相比于传统Winkler地基模型而言，双参数Pasternak地基模型假设地基弹簧与结构之间存在一层只可产生竖向剪切变形且不可产生压缩变形的剪切层^[29]，考虑了土体中剪切层的存在可较真实地反应结构与地基之间的相互作用。底部基岩错动引起场地上覆土层发生破裂，导致埋地管线结构和地面产生不均匀变形，直接威胁到结构整体的安全性。图 3分别展示了断层错动诱发理想地表和地下管线的变形分布特征和双参数Pasternak弹性地基梁模型。依托已有研究内容和结论，论文建立了基于双参数Pasternak地基模型的断层错动下地下管线纵向响应解析解。

图 3 断层诱发理想地表变形机制和双参数Pasternak地基梁

Figure 3. Idealized ground deformation mechanism induced by fault and double-parameter Pasternak foundation beam

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在建立力学模型时，作如下假定和简化处理：①基岩上盘刚域内且距断层迹线较远的围岩体的垂直位移与水平位移之比为tanα（α为断层倾角）^[30]；②基岩下盘固定区域内距断层迹线较远的围岩体在断层错动过程中保持静止^[30]；③将地下管线视为无限长的Euler-Bernoulli梁；④将地基土视为考虑土体剪切刚度的Pasternak地基模型；⑤断层错动过程中地下管线与地基紧密接触；⑥将地下管线承受附加荷载位置处的地基视为均质各向同性半无限弹性体；⑦仅考虑地下管线在垂直方向上的受力和变形；⑧管线与地基变形增量满足线性关系。

1.1 地表位移拟合函数——补余误差函数（erfc）

学者研究分析发现地面变形具有非对称特征^[31]，可采用剖面函数或拟合函数来模拟由于地下开采、结构开挖等多种人为活动造成的自由场地面变形。结合大量实测数据，Roboski等^[32]提出采用补余误差函数来拟合平行于开挖支护墙方向的地表变形形状。

补余误差函数提供了一个从一端的最小值到另一端的最大值的逐渐倾斜的剖面，可用来逼近断层错动下自由场地表变形分布规律，选择补余误差函数来拟合断层错动引起地面变形规律具有研究意义。补余误差函数为

${\text{erfc}}(x) = 1 - {\text{erf}}(x) = \frac{2}{{\sqrt {\text{π }} }}{\rm \int}_x^\infty {\exp ( - {u^2})} {\text{d}}u \text{，}$

(1)

式中， ${\text{erf}}(x)$ 为误差函数，定义为 ${\text{erf}}(x) =$ $\frac{2}{{\sqrt {\text{π }} }}\int_0^x {\exp ( - {u^2})} {\text{d}}u$ ， $u$ 为归一化高斯函数变量。

Cai等^[30]介绍了一种新的半经验方法，用于计算不排水黏土断层作用引起的地表和地下结构变形。据此，提出位移拟合函数表达式：

$\Delta h\frac{h}{2} = \left\{ {{\text{erf}}[{B_Z}(\cot \alpha + x/H) - 2]} \right\} 。$

(2)

式中 $\Delta h$ 为地表或管线结构垂向位移（m）；h为断层错动位移（m）； ${B_Z}$ 为不依赖土体深度的形状参数，取2.2^[33]；H为土层厚度（m）。

1.2 解析解推导

在竖向荷载 $f(x)$ 作用下，Pasternak弹性地基的挠度微分方程为

$EI\frac{{{{\text{d}}^4}y}}{{{\text{d}}{x^4}}} - Gb\frac{{{{\text{d}}^2}y}}{{{\text{d}}{x^2}}} + kby = bf(x) 。$

(3)

式中y为管线的变形；EI为管线结构的等效弯曲刚度（N·m²）；G为围岩垂直剪切模量，计算公式为 $G = {E_{\text{s}}}{H_1}/6(1 + {\nu _{\text{s}}})$ ^[34]， ${E_{\text{s}}}$ 为地基弹性模量（N/m²），H₁为管线埋深（m）， ${\nu _{\text{s}}}$ 为围岩泊松比；b为管线有效宽度（m）；k为地基反力系数（N/m³），计算公式为 $k=k_{\infty} / \eta=3.08 E_{\mathrm{s}} \sqrt[8]{16 E_{\mathrm{s}} b^4 / E I} / \eta\left(1-v_{\mathrm{s}}^2\right),$ ${k_\infty }$ 为无限远处的地基反力系数， $\eta$ 为考虑管线埋深影响系数^[35]； $f(x)$ 为断层错动传递到管线上的附加荷载，计算公式为 $f(x) = k\Delta h$ 。

定义以下参数：Winkler地基模型上Bernoulli-Euler梁的特征值 $\beta=\sqrt[4]{k b / E I}$ ，Pasternak地基模型特征值 $\gamma = \sqrt {{k \mathord{\left/ {\vphantom {k G}} \right. } G}}$ ^[34]。

$\rho = {(\beta /\lambda )^2} = G/2\sqrt[{}]{{kEI/b}} 。$

(4)

将式（2），（4）代入非齐次微分方程（3）整理得

$\frac{{\text{d}}^{4}y}{\text{d}{x}^{4}}-4{\beta }^{2}\rho \frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^{2}}+4{\beta }^{4}y=\frac{bhk}{2EI}\left\{\text{erfc}[2.2(\mathrm{cot}\alpha +x/{H}_{2})-2]\right\}。$

(5)

解得非齐次方程（5）的通解为

$y = {{\text{e}}^{\lambda x}}({c_1}\cos \omega x + {c_2}\sin \omega x) + {{\text{e}}^{ - \lambda x}}({c_3}\cos \omega x + {c_4}\sin \omega x) + \\ \frac{bhk}{\sqrt{\text{π}}({\lambda }^{4}-4{\beta }^{2}\rho {\lambda }^{2}+4{\beta }^{4}\lambda )EI}{\displaystyle {\int }_{2.2\left(\mathrm{cot}\alpha +\frac{x}{{H}_{2}}\right)-2}^{\infty }\mathrm{exp}(-{u}^{2})\text{d}u}\text{，}$

(6)

式中， $\lambda = \beta \sqrt {1 + {\beta ^2}/{\gamma ^2}}$ ， $\omega = \beta \sqrt {1 - {\beta ^2}/{\gamma ^2}}$ ， ${c}_{1}，{c}_{2}，$ ${c}_{3}，{c}_{4}$ 为待定系数。

（1）AB：

${y_1} = {{\text{e}}^{\lambda x}}({A_1}\cos \omega x + {A_2}\sin \omega x) + {\kern 1pt} {{\text{e}}^{ - \lambda x}}({A_3}\cos \omega x + {A_4}\sin \omega x) + \\ \frac{bhk}{\sqrt{\text{π}}({\lambda }^{4}-4{\beta }^{2}\rho {\lambda }^{2}+4{\beta }^{4}\lambda )EI}{\displaystyle {\int }_{2.2\left(\mathrm{cot}\alpha +\frac{x}{{H}_{2}}\right)-2}^{\infty }\mathrm{exp}(-{u}^{2})\text{d}u}。$

(7)

代入边界条件，当x→+∞时管线垂直位移为 $\Delta h$ ，代入式（7）计算得到 ${A_3} = {A_4} = 0$ 。

${y_1} = {{\text{e}}^{\lambda x}}({A_1}\cos \omega x + {A_2}\sin \omega x) + \\ \frac{{bhk}}{{\sqrt {\text{π }} ({\lambda ^4} - 4{\beta ^2}\rho {\lambda ^2} + 4{\beta ^4}\lambda )EI}}\int_{2.2\left( {\cot \alpha + \frac{x}{{{H_2}}}} \right) - 2}^\infty {\exp ( - {u^2}){\text{d}}u} 。$

(8)

（2）BC：

${y_2} = {{\text{e}}^{\lambda x}}{\text{(}}{B_1}\cos \omega x + {B_2}\sin \omega x{\text{)}} + {{\text{e}}^{ - \lambda x}}({B_3}\cos \omega x + {B_4}\sin \omega x) + \\ \frac{{bhk}}{{\sqrt {\text{π }} ({\lambda ^4} - 4{\beta ^2}\rho {\lambda ^2} + 4{\beta ^4}\lambda )EI}}\int_{2.2\left( {\cot \alpha + \frac{x}{{{H_2}}}} \right) - 2}^\infty {\exp ( - {u^2}){\text{d}}u} 。$

(9)

（3）CD:

${y_3} = {{\text{e}}^{\lambda x}}({C_1}\cos \omega x + {C_2}\sin \omega x) + {{\text{e}}^{ - \lambda x}}({C_3}\cos \omega x + {C_4}\sin \omega x) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{bhk}}{{\sqrt {\text{π }} ({\lambda ^4} - 4{\beta ^2}\rho {\lambda ^2} + 4{\beta ^4}\lambda )EI}}\int_{2.2\left( {\cot \alpha + \frac{x}{{{H_2}}}} \right) - 2}^\infty {\exp ( - {u^2}){\text{d}}u} 。$

(10)

代入边界条件，当x→-∞时管线垂直位移为零，代入式（10）计算得到 ${C_1} = {C_2} = 0$ 。

${y_3} = {{\text{e}}^{ - \lambda x}}{\text{(}}{C_3}\cos \omega x + {C_4}\sin \omega x{\text{)}} + \\ \frac{{bhk}}{{\sqrt {\text{π }} ({\lambda ^4} - 4{\beta ^2}\rho {\lambda ^2} + 4{\beta ^4}\lambda )EI}}\int_{2.2\left( {\cot \alpha + \frac{x}{{{H_2}}}} \right) - 2}^\infty {\exp ( - {u^2}){\text{d}}u} 。$

(11)

整理可得管线位移方程为

$\{\begin{array}{l}{y}_{1}={\text{e}}^{\lambda x}\text{(}{A}_{1}\mathrm{cos}\omega x+{A}_{2}\mathrm{sin}\omega x\text{)}+\frac{bhk}{\sqrt{\text{π}}({\lambda }^{4}-4{\beta }^{2}\rho {\lambda }^{2}+4{\beta }^{4}\lambda )EI}\cdot \\ {\displaystyle {\int }_{2.2\left(\mathrm{cot}\alpha +\frac{x}{{H}_{2}}\right)-2}^{\infty }\mathrm{exp}\text{(}-{u}^{2}\text{)d}u}\text{ (}x＜-{l}_{1})\text{ }\text{，}\\ {y}_{2}={\text{e}}^{\lambda x}\left({B}_{1}\mathrm{cos}\omega x+{B}_{2}\mathrm{sin}\omega x\right)+{\text{e}}^{-\lambda x}\text{(}{B}_{3}\mathrm{cos}\omega x+{B}_{4}\mathrm{sin}\omega x\text{)}+\\ \frac{bhk}{\sqrt{\text{π}}({\lambda }^{4}-4{\beta }^{2}\rho {\lambda }^{2}+4{\beta }^{4}\lambda )EI}{\displaystyle {\int }_{2.2\left(\mathrm{cot}\alpha +\frac{x}{{H}_{2}}\right)-2}^{\infty }\mathrm{exp}(-{u}^{2})\text{d}u}\text{ (}-{l}_{1}\le x\le {l}_{2})\text{，}\\ {y}_{3}={\text{e}}^{-\lambda x}({C}_{3}\mathrm{cos}\omega x+{C}_{4}\mathrm{sin}\omega x)+\frac{bhk}{\sqrt{\text{π}}({\lambda }^{4}-4{\beta }^{2}\rho {\lambda }^{2}+4{\beta }^{4}\lambda )EI}\cdot \\ {\displaystyle {\int }_{2.2\left(\mathrm{cot}\alpha +\frac{x}{{H}_{2}}\right)-2}^{\infty }\mathrm{exp}(-{u}^{2})\text{d}u}\text{ (}{l}_{2}＜x)\text{ }。\end{array}$

(12)

式中， ${A}_{1}，{A}_{2}，{B}_{1}，{B}_{2}，{B}_{3}，{B}_{4}，{C}_{3}，{C}_{4}$ 为待定系数。管线在B和C点处满足连续性条件，挠度、转角、弯矩和剪力满足以下条件：

$\left\{\begin{array}{l}\left|\begin{array}{l}\left.y_1\right|_{x=-l_1^{-}}=y_2\end{array}\right|_{x=-l_1^{+}} \\ \left|\begin{array}{l}y_1^{\prime}\end{array}\right|_{x=-l_1^{-}}=\left.y_2^{\prime}\right|_{x=-l_1^{+}} \\ \left|-E I y_1^{\prime \prime}\right|_{x=-l_1^{-}}=-\left.E I y_2^{\prime \prime}\right|_{x=-l_1^{+}} \\ \left|-E I y_1^{\prime \prime \prime}\right|_{x=-l_1^{-}}=-\left.E I y_2^{\prime \prime}\right|_{x=-l_1^{+}}\end{array}\right.\text{，}$

(13)

$\left\{\begin{array}{l}\left.y_2\right|_{x=l_2^{-}}=\left.y_3\right|_{x=l_2^{+}} \\ \left|y_2^{\prime}\right|_{x=l_2^{-}}=\left.y_3^{\prime}\right|_{x=l_2^{+}} \\ \left|-E I y_2^{\prime \prime}\right|_{x=l_2^{-}}=-\left.E I y_3^{\prime \prime}\right|_{x=l_2^{+}} \\ -\left.E I y_2^{\prime \prime \prime}\right|_{x=l_2^{-}}=-\left.E I y_3^{\prime \prime \prime}\right|_{x=l_2^{+}}\end{array}\right.。$

(14)

由式（12）进一步求导可得到管线结构的弯矩M和剪力Q：

$\left\{\begin{array}{l}{M}_{1}=-EI{y}_{1}^{\text{'}\text{'}}\text{ (}x＜-{l}_{1})\\ {M}_{2}=-EI{y}_{2}^{\text{'}\text{'}}\text{ (}-{l}_{1}\le x\le {l}_{2}）\\ {M}_{3}=-EI{y}_{3}^{\text{'}\text{'}}\text{ (}{l}_{2}＜x)\end{array} \text{，}\right.$

(15)

$\left\{\begin{array}{Q}_{1}=-EI{y}_{1}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\text{ (}x＜-{l}_{1})\\ {Q}_{2}=-EI{y}_{2}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\text{ (}-{l}_{1}\le x\le {l}_{2})\\ {Q}_{3}=-EI{y}_{3}^{\text{'}\text{'}\text{'}}\text{ (}{l}_{2}＜x)\end{array} 。\right.$

(16)

2. 模型试验和数值模拟验证

2.1 模型试验

图 4为自行设计的1∶30相似模型试验装置，主要包括模型箱、加载装置和数据采集装置。模型箱尺寸为长2.2 m、宽1.2 m和高1.0 m。衬砌结构埋设位置距离上下边界分别为0.35 m和0.4 m，均大于两倍洞跨（0.16 m），距离左右边界为0.52 m，大于3倍洞跨，满足试验对于边界条件的要求。根据相似第三定律，选取几何相似比C_l和密度相似比C_γ量纲为基本量纲，由量纲矩阵和量纲和谐原理确定相似准则及相似指数，得到各物理参数相似比为C_l=C_σ=C_E=C_c=30，C_δ=1，C_γ=C_ε=C_μ=C_φ=1。通过控制加载装置在水平方向和垂直方向等位移加载以实现45°逆断层错动作用，加载速率控制为1 mm/min。

图 4 模型试验装置

Figure 4. Model test devices

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以重力和弹性模量为控制指标，通过一系列室内配合比试验，确定了衬砌结构相似材料的配比为25（高强石膏粉）∶5（低强度石膏粉）∶33（石英砂）∶48（重晶石）∶29（水）。原型和模型材料的物理力学参数如表 1所示。采用均匀性良好的黄砂来模拟围岩，采用分层夯实进行铺设，达到设计高度时埋设衬砌结构和布设传感器。

表 1 原型和模型材料的物理力学参数

Table 1. Physical and mechanical parameters of prototype and model materials

参数	原型	模型	测量值	相似比
密度/(kg·m^-3)	2400~2500	2400	2300~2400	1
杨氏模量/MPa	33500	111.67	900~980	34.8
泊松比	0.20	0.20	0.20~0.25	1
抗压强度/MPa	20.1	0.67	0.762	26.4
摩擦角/(°)	50	50	50~54	1

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2.2 数值模拟

采用ABAQUS有限元软件建立三维有限元分析模型，如图 5所示，模型长×宽×高为200 m×36 m×27 m，其中上覆土层和距基岩厚度分别为10.5 m和12 m。围岩和衬砌结构等相关计算参数见表 2。围岩采用理想Mohr-Coulomb弹塑性模型，衬砌结构采用ABAQUS软件中混凝土塑性损伤模型，根据我国混凝土结构设计规范（GB50010—2010）的规定，定义衬砌混凝土弹塑性应力应变关系。实际工程中，隧道二次衬砌采用C45混凝土，损伤参数见表 3，将衬砌结构视为连续均质结构。将隧道与围岩体之间的接触面设为罚摩擦，摩擦因数取值为0.4。断层错动模拟过程分为两个阶段：①初始地应力平衡。在三维模型底部和侧边界施加法向约束，顶部为自由边界；②断层错动。释放上盘底部和侧边界的法向约束，并对上盘整体施加位移荷载以模拟产生的45°逆断层错动。

图 5 三维有限元分析模型

Figure 5. Three-dimensional finite element analytic model

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表 2 围岩和衬砌结构计算参数

Table 2. Physical and mechanical parameters

隧道结构			围岩		断层位移/m	断层倾角/(°)
杨氏模量/MPa	洞跨/m	厚度/m	杨氏模量/MPa	泊松比	断层位移/m	断层倾角/(°)
33500	4.8	0.6	18	0.4	0.8	45

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表 3 混凝土损伤参数（C45）

Table 3. Damage parameters of concrete (C45)

压缩应力/MPa	非弹性应变/10^-3	压缩损伤因子	拉伸应力/MPa	开裂应变/10^-3	拉伸损伤因子
5.82	0.0000	0.0000	1.26	0.0000	0.0000
20.10	0.8018	0.3577	2.01	0.0282	0.2256
17.91	1.6030	0.5194	1.18	0.1608	0.5462
14.41	2.5196	0.6460	0.81	0.2729	0.7246
11.66	3.4112	0.7315	0.63	0.3789	0.8150
10.11	4.0630	0.7773	0.53	0.4824	0.8661
8.21	5.1264	0.8313	0.46	0.5848	0.8979
6.65	6.3782	0.8735	0.40	0.6866	0.9192
5.29	8.0237	0.9087	0.36	0.7879	0.9341
4.58	9.2474	0.9260	0.33	0.8889	0.9451
4.29	9.8571	0.9329	0.31	0.9897	0.9534

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2.3 结果分析

图 6，7展示了管线变形和弯矩的解析解结果和模型试验与数值模拟结果。通过分析发现，断层错动时-25~20 m范围内管线结构发生显著受迫响应，位移发生剧烈变化，沿纵向呈Z型分布，管线结构弯矩沿纵向呈现倒S型分布特征，管线结构从左侧和右侧分别靠近断层迹线时将承受最大正弯矩和最大负弯矩。影响区内管线结构的弯矩表现为数值模拟结果＞解析解结果＞模型试验结果，这可能是因为解析解假定管线结构与地基紧密接触，而数值模拟中可能会在管线结构底板出现脱空区，扩大影响区域，别外，围岩和衬砌结构参数取值也是原因之一。但位移和弯矩的解析解计算结果在影响区域的变化趋势和模型试验与数值模拟结果基本吻合，证明了解析解的可行性和合理性。综上，本文建立的断层错动下管线结构纵向响应解析解是可行的，可深入开展断层错动下管线结构纵向响应规律分析。

图 6 管道位移沿纵向分布规律对比

Figure 6. Comparison of displacement distribution of pipelines along longitudinal direction

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图 7 管道弯矩沿纵向分布规律对比

Figure 7. Comparison of bending moment distribution of pipelines along longitudinal direction

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3. 参数敏感性分析

地基剪切刚度和地基反力系数作为双参数Pasternak地基模型的两个关键参数，两参数的取值对地下管线结构的响应规律有主要影响，断层倾角变化产生的影响也不可忽略。以2.2节中选定的模型参数为标准，对地基剪切刚度G、地基反力系数k和断层倾角α三参数进行敏感性分析。

3.1 地基剪切刚度G

为研究地基剪切刚度G变化对管道结构纵向响应规律的影响，选取0，0.1G，0.5G，1.0G和10G 5种不同地基剪切刚度带入解析解开展计算分析，计算时保证其他物理力学参数不变。

由图 8~10分析可知，地基剪切刚度的增加不改变管线结构位移影响区域（-11~9 m）。当地基剪切刚度由0.1G增加至10G时，管道结构的位移、弯矩和剪力逐渐减小，其中位移、弯矩和剪力最大值分别减小了7.86%，12.31%和13.36%，如0.1G，0.5G，1.0G和10G时位移值分别为0.7996，0.7934，0.7862和0.7413 m。在y=-4.5 m和y=2.5 m位置处管线结构承受最大正弯矩和最大负弯矩，说明该处管线结构将处于最不利的受拉和受压状态。在y=-1 m位置处管线结构将承受最大剪力，结构在该区域遭受最强的剪切作用易发生错台等破坏。在设计和施工时应加强对以上三处最不利管线断面的保护。

图 8 管线结构位移沿纵向分布规律

Figure 8. Displacements of pipelines along longitudinal direction

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图 9 管线结构弯矩沿纵向分布规律

Figure 9. Bending moments of pipelines along longitudinal direction

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图 10 管线结构剪力沿纵向分布规律

Figure 10. Shear forces of pipelines along longitudinal direction

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由图 9和图 10对比可得，当剪切刚度G为0时，Pasternak地基模型将退化为传统Winkler地基模型，结构承受的弯矩和剪力达到最大，而当地基剪切刚度为1.0G时解析解计算结果更接近数值模拟计算结果。可见忽略地基剪切刚度时管线结构的受力偏大，与真实受力存在较大差异，地基剪切刚度的引入可以更好考虑管线结构和地基之间的联系，反映出地基应力扩散性质对管线结构纵向响应规律的影响。

3.2 地基反力系数k

由1~2节中地基反力系数k的计算公式可知，地基反力系数k与地基弹性模量之间存在正相关关系。为研究地基系数k变化对管道结构纵向响应规律的影响，选取0.1k，0.5k，1.0k和10k 4种不同地基反力系数带入解析解开展计算分析，计算时保证其他物理力学参数不变。

由图 11~13分析可知，随着地基系数的增加，管道–地基非线性相互作用逐渐加强，使得管线结构的位移响应影响范围逐渐减小，最终位移达到了0.7862 m。如0.1k，0.5k，1.0k和10k时位移影响范围分别为-13~12 m，-11.5~10 m，-11~9 m和-5~3.5 m。当地基系数由0.1k增加至10k时，管道结构的弯矩值和剪力值迅速增大，较前者分别增长了14.7倍和54.7倍，影响范围与位移影响范围一致。以1.0k为例分析，管线结构的弯矩沿纵向呈倒S性状分布，最大正弯矩和负弯矩出现在y=-4.5 m和y=2.5 m断面处，管线结构处于最不利的受拉和受压状态。在影响范围内靠近断层迹线区域弯矩出现反弯点，在该区域管线结构会承受最大剪力，易发生剪切破坏，可参考影响范围划定重点抗错断设防区域。权衡地基反力系数对影响范围和结构受力两者的影响，可适当提高地基反力系数以提高埋地管线结构的抗错断能力。

图 11 管线结构位移沿纵向分布规律

Figure 11. Displacements of pipelines along longitudinal direction

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图 12 管线结构弯矩沿纵向分布规律

Figure 12. Bending moments of pipelines along longitudinal direction

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图 13 管道结构剪力沿纵向分布规律

Figure 13. Shear forces of pipelines along longitudinal direction

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3.3 断层倾角α

为研究断层倾角变化对管道结构纵向响应规律的影响，选取15°，30°，45°，60°和75°5个不同断层倾角带入解析解开展计算分析，计算时保证其他物理力学参数不变。

由图 14~16分析可知，随着断层倾角的增大，管线结构位移、弯矩和剪力影响区域逐渐减小，但最大值保持不变，当倾角为15°，45°和75°时主要影响范围分别为-20~18 m、-11~9 m和-5~4 m。在影响区域内管线结构弯矩和剪力值较大，出现了明显的应力集中现象，这对管线结构构成了严重威胁，应重点关注。基岩错动必然带动上盘（活动盘）和断层迹线附近土体产生空间上的运动，传播途径包裹的土体大致呈倒三角形状，即剪切带，穿越剪切带的管线结构受力较大。断层倾角越小，剪切带的区域也就越大，这与Liu等^[36]得到的结论一致。

图 14 管线结构位移沿纵向分布规律

Figure 14. Displacements of pipelines along longitudinal direction

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图 15 管线结构弯矩沿纵向分布规律

Figure 15. Bending moments of pipelines along longitudinal direction

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图 16 管道结构剪力沿纵向分布规律

Figure 16. Shear forces of pipelines along longitudinal direction

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4. 结论

基于双参数Pasternak地基模型，结合补余误差函数，推导出断层错动下埋地管线结构纵向响应解析解，然后与模型试验和数值模拟结果进行对比以验证解析解正确性，并对地基剪切刚度、地基反力系数和断层倾角开展参数敏感性分析，得到主要结论如下：

（1）考虑到管道–地基间非线性相互作用，引入了双参数Pasternak地基模型，建立了断层错动下埋地管线结构纵向响应解析解。解析解计算结果在影响区域的变化趋势和模型试验与数值模拟结果基本吻合，证明了解析解的合理性和适用性。

（2）地基剪切刚度是Pasternak模型的关键参数。随地基剪切刚度的增加，管线结构的位移、弯矩和剪力值均出现不同程度的减小，但影响范围没有改变。相比于传统的Winkler地基模型，考虑了地基剪切刚度的Pasternak地基模型计算得到的管线结构的受力更加合理。

（3）随地基系数的增加，管线结构位移、弯矩和剪力的影响区域逐渐减小，但影响区域内结构的弯矩和剪力值数倍于其他区域，结构出现明显应力集中现象，易出现损坏。可适当提高地基反力系数来提高管线结构的抗错断能力。

（4）管线结构沿纵向位移、弯矩和剪力的影响区域随断层倾角的增大而减小。这主要由于基岩错动时在上覆围岩体中形成倒三角形状的剪切带，跨越剪切带的管线结构出现明显应力集中现象，该区域为主要的灾害发生区域。

图 1 龙溪隧道

Figure 1. Longxi tunnel

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图 2 新建三义铁路隧道

Figure 2. New Sanyi railway tunnel

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图 3 断层诱发理想地表变形机制和双参数Pasternak地基梁

Figure 3. Idealized ground deformation mechanism induced by fault and double-parameter Pasternak foundation beam

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图 4 模型试验装置

Figure 4. Model test devices

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图 5 三维有限元分析模型

Figure 5. Three-dimensional finite element analytic model

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图 6 管道位移沿纵向分布规律对比

Figure 6. Comparison of displacement distribution of pipelines along longitudinal direction

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图 7 管道弯矩沿纵向分布规律对比

Figure 7. Comparison of bending moment distribution of pipelines along longitudinal direction

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图 8 管线结构位移沿纵向分布规律

Figure 8. Displacements of pipelines along longitudinal direction

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图 9 管线结构弯矩沿纵向分布规律

Figure 9. Bending moments of pipelines along longitudinal direction

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图 10 管线结构剪力沿纵向分布规律

Figure 10. Shear forces of pipelines along longitudinal direction

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图 11 管线结构位移沿纵向分布规律

Figure 11. Displacements of pipelines along longitudinal direction

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图 12 管线结构弯矩沿纵向分布规律

Figure 12. Bending moments of pipelines along longitudinal direction

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图 13 管道结构剪力沿纵向分布规律

Figure 13. Shear forces of pipelines along longitudinal direction

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图 14 管线结构位移沿纵向分布规律

Figure 14. Displacements of pipelines along longitudinal direction

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图 15 管线结构弯矩沿纵向分布规律

Figure 15. Bending moments of pipelines along longitudinal direction

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图 16 管道结构剪力沿纵向分布规律

Figure 16. Shear forces of pipelines along longitudinal direction

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表 1 原型和模型材料的物理力学参数

Table 1 Physical and mechanical parameters of prototype and model materials

参数	原型	模型	测量值	相似比
密度/(kg·m^-3)	2400~2500	2400	2300~2400	1
杨氏模量/MPa	33500	111.67	900~980	34.8
泊松比	0.20	0.20	0.20~0.25	1
抗压强度/MPa	20.1	0.67	0.762	26.4
摩擦角/(°)	50	50	50~54	1

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表 2 围岩和衬砌结构计算参数

Table 2 Physical and mechanical parameters

隧道结构			围岩		断层位移/m	断层倾角/(°)
杨氏模量/MPa	洞跨/m	厚度/m	杨氏模量/MPa	泊松比	断层位移/m	断层倾角/(°)
33500	4.8	0.6	18	0.4	0.8	45

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表 3 混凝土损伤参数（C45）

Table 3 Damage parameters of concrete (C45)

压缩应力/MPa	非弹性应变/10^-3	压缩损伤因子	拉伸应力/MPa	开裂应变/10^-3	拉伸损伤因子
5.82	0.0000	0.0000	1.26	0.0000	0.0000
20.10	0.8018	0.3577	2.01	0.0282	0.2256
17.91	1.6030	0.5194	1.18	0.1608	0.5462
14.41	2.5196	0.6460	0.81	0.2729	0.7246
11.66	3.4112	0.7315	0.63	0.3789	0.8150
10.11	4.0630	0.7773	0.53	0.4824	0.8661
8.21	5.1264	0.8313	0.46	0.5848	0.8979
6.65	6.3782	0.8735	0.40	0.6866	0.9192
5.29	8.0237	0.9087	0.36	0.7879	0.9341
4.58	9.2474	0.9260	0.33	0.8889	0.9451
4.29	9.8571	0.9329	0.31	0.9897	0.9534

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