Influences of gradation on particle breakage and deformation characteristics of coral sand
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摘要: 珊瑚砂具有典型的颗粒破碎特征，而破碎导致的粒径变化对珊瑚砂力学特性有显著的影响。为探究初始级配和围压对珊瑚砂颗粒破碎及变形特性的影响，选择4种不同初始颗粒级配的试样在4种不同围压下进行了三轴固结排水剪切试验。研究结果表明：在小围压下，剪切过程中不同级配的珊瑚砂试样的应力应变关系均表现出应变软化现象，体变曲线呈现出非常明显的剪胀，而且粒组的颗粒粒径越细，峰值强度越大，体积应变也越大。随着围压的增加，粗颗粒级配砂样表现为应变硬化。研究发现对于某一级配，随着围压的增加加剧了珊瑚砂颗粒破碎的发生，两者之间存在显著的幂函数关系。通过引入级配参数β，建立了颗粒破碎率Br与级配和围压之间的关系表达式。研究还发现在e-(p'/pa)ξ平面内，不同级配的珊瑚砂试样临界状态线为相互平行的直线，其截距eГ与初始孔隙比eic、级配参数β之间存在显著的线性关系，并据此建立了考虑级配影响的珊瑚砂临界状态方程。Abstract: The mechanical properties of coral sand are significantly affected by the change of gradation due to the particle breakage. A series of triaxial consolidated drained shear tests are carried out to investigate the influences of the initial gradation and confining pressure on the particle breakage and deformation properties of the coral sand. The tests result show that the stress-strain curves exhibit a strain-softening behavior for the coral sand with different gradations under low confining pressures. The volumetric strain curves show very obvious dilatancy, while greater peak strength and volumetric strain are obtained for finer particles. With the increase of confining pressure, the stress-strain curves of samples with coarse grain gradation present a strain-hardening behavior. For a particular gradation, the particle breakage of the coral sand is apparent with the increase of confining pressure, and there is a pronounced power function relationship between them. By introducing a gradation parameter β, an expression representing the relationship among the relative breakage Br, the gradation and the confining pressure is established. Furthermore, the critical state lines for the coral sand with different gradations are parallel on the e-(p '/pa)ξ plane, and there is a predominant linear relationship among the intercept of the critical state lines eГ, the initial void ratio eic, and the gradation parameter β. Based on this study, a critical state equation for the coral sand considering the effects of the gradation is established.
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Keywords:
- coral sand /
- particle gradation /
- critical state /
- particle breakage /
- constitutive model
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0. 引言
作为一种以碳酸钙（CaCO3）为主要化学成分的特殊类砂土，珊瑚砂因其形状不规则、棱角度高和大量内孔隙等原因，相比于常规石英砂很容易发生破碎，对其强度和变形造成很大的影响。影响珊瑚砂颗粒破碎的因素大致可分为两类：一是内部因素，包括珊瑚砂的组成成分、碳酸钙含量、粒径大小、颗粒级配、颗粒结构[1-2]（如内/外孔隙）、相对密度[3]和颗粒形状等[4-6]。另一个是外部因素，包括固结状态[7]、应力水平[8]、加载方式[9]、应力路径[10]、剪切速率、排水条件、含水率、温度[11]等。然而，迄今为止针对颗粒级配影响的珊瑚砂力学特性研究相对较小，颗粒破碎会引起珊瑚砂级配改变，而初始级配对珊瑚砂颗粒破碎的影响同样不容忽视。一些珊瑚工程现场调查结果显示，不同沉积的珊瑚砂级配差异明显，因此对此问题必须高度重视。
目前，关于珊瑚砂级配对其强度和变形特性影响的研究主要集中在粒径、细颗粒含量和粒组含量方面，如王新志等[12]、闫超萍等[13]开展了不同粒径和围压下的三轴固结排水剪切试验，提出了珊瑚砂剪切特性的粒径效应。张晨阳等[14]通过不同细粒含量的粉细珊瑚砂三轴固结排水试验，研究了细颗粒含量对珊瑚砂抗剪强度的影响，但其未分析细粒含量与颗粒破碎之间的关系。沈扬等[15]通过一维压缩试验分析了不同粒组含量对珊瑚砂压缩特性的影响规律。胡波[16]和Shahnazari等 [17]通过三轴排水试验，研究了珊瑚砂级配对颗粒破碎的影响，发现级配不良的珊瑚砂颗粒破碎现象更加显著，Altuhafi等[18]通过侧限压缩试验得出了同样的结论。显然，上述研究主要从单一颗粒粒径角度出发对均质珊瑚砂力学特性进行分析，对于连续级配珊瑚砂的研究仍采用常规的定性描述。
在考虑颗粒破碎影响的珊瑚砂本构模型研究方面，孙吉主等[19]通过引入两个参数来描述珊瑚砂由于颗粒破碎产生的附加孔隙比，并基于临界状态的框架建立了考虑颗粒破碎影响的珊瑚砂弹塑性本构模型。蔡正银等[20]建立了考虑颗粒破碎影响的珊瑚砂临界状态和状态相关剪胀方程。Liu等[21]引入统一硬化参数和考虑颗粒破碎的状态参量，通过构建形状参数以反映颗粒破碎和密实度对珊瑚砂屈服面的影响。侯贺营等[22]将考虑颗粒破碎的内摩擦角计算公式引入南水模型。但上述研究均未考虑珊瑚砂颗粒级配对其强度和变形特性的影响。
为了研究颗粒级配对珊瑚砂颗粒破碎规律和变形特性的影响，基于大量珊瑚砂工程配曲线统计结果，从细到粗设计了4种颗粒级配的珊瑚砂试样，开展了不同围压作用下的三轴固结排水剪切试验，旨在阐明初始级配对珊瑚砂变形特性、颗粒破碎特性以及临界状态的影响，从而建立考虑颗粒破碎影响的珊瑚砂状态相关本构模型。
1. 试验材料与方法
1.1 试验材料
试验用的珊瑚砂土样取自我国南海。通过X射线荧光光谱分析（XRF）获得该砂样的矿物成分含量如表 1所示，其中CaCO3含量高达93.12%，属于典型的钙质土。
表 1 珊瑚砂主要成分Table 1. Table1 Main components of coral sand单位: % 名称 百分含量/% CaCO3（CaO + CO2） 93.123 SrO 2.774 MgO 1.906 SiO2 0.743 其他 1.454 参考南海各区域典型珊瑚砂级配曲线统计结果，设计了本次试验中所用的4种珊瑚砂初始级配曲线，按颗粒大小由粗到细编号分别为#1，#2，#3和#4，其中每种级配2~5 mm颗粒的含量依次为50%，35%，20%和5%。该珊瑚砂各粒组的颗粒形态及粒径分布曲线分别如图 1，2所示。
该珊瑚砂土样主要物理性质指标如表 2所示，其中#1砂样级配良好（Cu > 5且1 < Cc < 3），#2，#3和#4砂样级配不良。
表 2 土样物理性质指标Table 2. Physical properties of samples级配 ρdmax/(g·cm-3) ρdmin/(g·cm-3) d50/mm Cu Cc #1 1.380 1.034 2.00 5.26 1.16 #2 1.456 1.132 1.43 4.99 0.95 #3 1.512 1.154 0.83 3.19 0.89 #4 1.540 1.250 0.64 2.67 0.87 1.2 试验方案
为了探讨颗粒级配和围压对珊瑚砂变形特性、颗粒破碎以及临界状态的影响，通过控制初始相对密实度Dr为0.85，围压分别为100，200，400和600 kPa，选取#1，#2，#3和#4共4种不同级配珊瑚砂进行三轴排水剪切试验。本文采用落砂法制样，根据试样的相对密实度以及体积称取所需的干珊瑚砂，之后采用水头饱和和反压饱和相结合的方式进行试样的饱和。试验采用应变控制方式，剪切速率为0.1 mm/min，以轴向应变达到20%作为试验终止标准。具体试验方案如表 3所示。
表 3 三轴排水试验方案Table 3. Schemes of drained triaxial compression tests级配 Dr e0 围压/kPa #1 0.85 1.131 100/200/400/600 #2 1.006 100/200/400/600 #3 0.938 100/200/400/600 #4 0.881 100/200/400/600 为了对试验过程中产生的颗粒破碎及其对级配曲线的影响进行量化，每个试验结束后都采用筛析法对土样进行颗粒分析，得到试验后各粒组的含量及新的级配曲线。
2. 固结过程中的珊瑚砂颗粒破碎规律
对于三轴排水试验，试样首先在某一围压下等向固结，然后进行剪切。为了探究固结过程中珊瑚砂的颗粒破碎情况，对初始相对密实度为0.85的#1，#2，#3和#4级配珊瑚砂试样分别在100，200，400和600 kPa围压作用下进行等向固结试验，试验后进行颗粒分析，以比较试验前后级配的变化。本文选取破碎较明显的#1级配试样结果进行分析，试验前后的颗粒级配曲线如图 3所示。
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图 3 珊瑚砂固结前后的颗粒粒径分布曲线Figure 3. Grain-size distribution curves of coral sands before and after consolidation由图 3可知，珊瑚砂颗粒破碎率随围压的增加而变大。为了对其进行量化，采用Hardin[23]提出的相对破碎率（Br）对试验过程中产生的颗粒破碎进行计算，得到100，200，400和600 kPa 4种围压下固结过程中的相对破碎结果分别为0.013，0.014，0.017和0.02。三轴排水试验发现，#1级配在600 kPa围压作用下产生的相对破碎率（包括固结与剪切过程）为0.12，固结过程占比为16.7%，这说明等向固结过程中也会产生显著的颗粒破碎。
3. 三轴排水条件下的珊瑚砂变形及颗粒破碎特性
3.1 珊瑚砂的变形特性
图 4为试验得到的珊瑚砂试样在不同级配和围压条件下偏应力-轴向应变和体积应变-轴向应变关系曲线。由图 4（a）可知，在围压为100 kPa时，对于具有相同初始相对密实度的4种不同颗粒级配的珊瑚砂应力应变曲线均表现为应变软化，随着应力水平的增加，偏应力刚开始不断增加，达到峰值后不断减小最后趋于稳定。此外，粒组颗粒粒径越细，峰值强度越大。在体积应变-轴向应变关系曲线中，4种级配珊瑚砂试样均表现出先剪缩后剪胀的特性，随着轴向应变的增加，#4级配砂样最先达到相变状态，然后依次是#3，#2和#1级配砂样，而#1砂样在达到相变状态时的最大体积应变相较于其他3种级配砂样最大。此外，粒组颗粒粒径越细，体积应变越大。
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图 4 偏应力及体积应变与轴向应变的关系曲线Figure 4. Relationship between deviatoric stress, volumetric strain and axial strain图 4（b）~（d）依次为围压200，400，600 kPa下的珊瑚砂变形曲线，可以看出，在偏应力-轴向应变关系曲线中，4种级配下珊瑚砂的峰值强度变化规律与100 kPa情况类似，但随着围压的增加，4种级配对应的峰值强度差异性逐渐凸显，且#1级配砂样表现出应变硬化现象。在体积应变-轴向应变关系曲线中，当围压大于400 kPa时，#1和#2级配砂样未表现出明显的剪胀现象，达到相变时的体积应变与100 kPa时所得结论一致。综上，对于同样的围压，平均粒径越小，应变软化越明显，剪胀也越明显。
3.2 颗粒破碎对珊瑚砂级配曲线的影响
图 5为不同围压下4种初始颗粒级配珊瑚砂试样剪切试验前后的粒径分布曲线，图中的初始级配为试样剪切前的级配（已考虑固结过程中的颗粒破碎）。由图 5可知，对于4种不同级配的试样，剪切过程中都会发生颗粒破碎，其破碎程度随围压的增大而增大。相对而言，对于粒组较大的#1级配试样，颗粒破碎最为明显，说明珊瑚砂的颗粒粒径越大越容易产生颗粒破碎。
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图 5 试验前后珊瑚砂颗粒粒径分布曲线Figure 5. Grain-size distribution curve of coral sands before and after tests3.3 三轴剪切过程中的珊瑚砂颗粒破碎规律
为了进一步分析围压和初始级配对珊瑚砂颗粒破碎的影响，同样采用Hardin提出的相对破碎率（Br）对剪切过程中的颗粒破碎进行量化。通过计算得到4种级配珊瑚砂试样在不同围压作用下的Br，Br与归一化的围压（σc /pa，pa=101 kPa）之间的关系曲线如图 6所示，其中，相关系数R2 > 0.97。
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图 6 相对破碎率与围压之间的关系Figure 6. Relationship between relative breakage and confining pressure由图 6可知，对于每一种颗粒级配，随着围压的增加剪切过程中相对破碎率逐渐增大，但两者之间并非线性关系，而是呈现出显著的幂函数关系。
为了定量表征上述4种珊瑚砂的颗粒级配曲线，采用Wu等[24]在分形维数的基础上提出的单级配方程，如下式所示：
P=1(1−β)(dmax/d)√β+β×100%。 (1) 式中：d为颗粒粒径；P为粒径小于d的颗粒所占的百分含量（%）；dmax为最大粒径；β为级配参数，取值范围为0 < β < 1。通过计算得到#1，#2，#3和#4这4种珊瑚砂初始级配曲线对应的级配参数β分别为0.48，0.51，0.68和0.82。
图 7为剪切过程中的相对破碎率与级配参数的关系曲线。由图 7可知，对于每一种围压，相对破碎率都随着级配参数β的增加而减小，两者之间存在良好的线性关系，R2 > 0.99。
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图 7 相对破碎率与级配参数之间的关系Figure 7. Relationship between relative breakage and gradation parameters前述图 6中发现相对破碎率与围压之间呈现出幂函数关系，可用下式表示：
Br=Br0(σcpa)χ。 (2) 式中：Br0，χ为材料参数。通过进一步分析，发现不同初始级配下当χ取值为0.7时，系数Br0与级配参数β之间存在良好的线性关系，R2=0.996，如图 8所示，可用如下公式表示：
Br0=A−Eβ。 (3) 式中：A和E为材料常数。对于本文，参数A =0.067，E =0.062和χ=0.7。
4. 考虑颗粒破碎的珊瑚砂临界状态
4.1 珊瑚砂的临界应力比
试验得到的4种不同级配砂样在4种围压作用下的临界状态点（本试验过程中轴向应变控制为20%，将该点作为临界状态点）绘制在q-p'平面内，如图 9所示。图 9可以发现，所有试验点基本落在一条通过坐标原点的直线上，该线一般称为临界应力比线，其临界应力比Mc=1.709。
4.2 珊瑚砂的临界状态线
将4种不同级配珊瑚砂试样在临界状态时所得到的孔隙比ec和平均正应力p'绘制在e -lgp'平面内，如图 10所示。从图 10可以发现每种级配下的临界状态线都呈现非线性关系，这与黏土的临界状态线是完全不同的。
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图 10 不同级配下e-lg p '平面上临界状态Figure 10. Critical state lines in e-lg p 'plane under different gradations由于常规石英砂在e-lg p'平面内临界状态线为一条曲线，本文采用Li等[26]的建议，用如下公式来拟合珊瑚砂临界状态线：
ec=eΓ−λc(p′pa)ξ。 (4) 式中：eГ为当p′=0时对应的孔隙比；λc为临界状态线的斜率；ξ为材料参数，对于颗粒材料一般取0.6~0.8，结合前人研究，本文取0.7。
根据式（4），将本文试验得到的不同级配下临界状态孔隙比ec和平均正应力p′点绘在e-(p'/pa)ξ平面内，如图 11所示，R2 > 0.96。从图 11可以发现，不同级配下的珊瑚砂临界状态线为相互平行的直线，其斜λc约为0.49，截距eГ随级配的变化而变化。在考虑颗粒破碎的情况下，王刚等[25]通过离散元对不同级配的珊瑚砂试样进行三轴剪切试验模拟，得到考虑级配影响的临界状态规律，结果表明不同级配下珊瑚砂样所得临界线亦为相互平行的直线，与本文所得结论一致。
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图 11 不同级配下e-(p '/pa)ξ平面内的临界状态Figure 11. Critical state lines in e-(p '/pa)ξ plane under different gradations蔡正银等[20]在研究不同相对密度条件下珊瑚砂临界状态线时，发现因为颗粒破碎导致珊瑚砂的临界状态线在e-(p'/pa)ξ平面内并不唯一，而是相互平行的直线，本文在考虑不同初始级配条件下所得临界状态线出现类似的规律。
通过对上文的分析可知珊瑚砂临界状态线的截距受围压、初始级配、孔隙比和颗粒破碎共同作用的影响，而相对破碎率Br可通过围压和级配参数β进行表达，因此可通过公式ec+λc(p′/pa)ξ计算珊瑚砂各临界状态点的截距，并将其分别与相对破碎率Br和初始孔隙比eic（固结后的孔隙比）进行拟合，以探讨初始状态和颗粒破碎对临界孔隙比的影响。当λc取值为0.49时，绘制ec+λc(p′/pa)ξ−Br的关系，如图 12所示。同理，绘制ec+λc(p′/pa)ξ−eic的关系，如图 13所示，R2 > 0.90。
由图 12，13可知，截距eГ与相对破碎率和初始孔隙比之间均存在显著的线性关系，说明截距受到两者共同作用的影响。将其绘制在同一曲面内，如图 14所示，R2=0.97。
通过上述拟合可知，截距eГ与相对破碎率Br、初始孔隙比eic之间可以用下式进行表达：
eΓ=l0+l1eic+l2Br， (5) Br=(A−Eβ)(σcpa)χ。 (6) 式中：l0，l1和l2为拟合参数，对于本文的珊瑚砂可取值为0.902，0.288和0.179。
5. 珊瑚砂状态相关本构模型验证
5.1 珊瑚砂状态相关本构模型参数
通过对砂土剪胀特性的研究，Li等[26]提出了状态相关剪胀方程和塑形模量，基于此，在三轴空间推导了一个适用于三轴压缩试验的砂土状态相关本构模型。
{dqdp′}=[(3G00K)−h(L)3G−ηKd+Kp(9G2−3ηKG3KGd−ηK2d)]⋅{dϵqdϵv}。 (7) 式中：h(L)为Heaviside方程；G和K分别为弹性剪切模量和弹性体积模量；η为应力比；Kp为塑形模量；d为剪胀比。
d=d0(emψ−ηM)， (8) ψ=e−ec， (9) Kp=hG(Mη−enψ)， (10) h=h1−h2e。 (11) 式中：d0，m，h1，h2和n为模型常数，均为正值；ψ为状态参数。
本文在此基础上，将颗粒破碎因子（Br）引入临界状态方程，并对试验结果进行模拟。其中，模型主要包括4组参数：弹性参数、颗粒破碎参数、临界状态参数和状态相关参数，总共16个参数。所有模型参数都是根据三轴试验和颗粒分析试验结果进行计算和率定，如表 4所示。
表 4 珊瑚砂本构模型相关参数Table 4. Model parameters of coral sand弹性参数 颗粒破碎参数 临界状态参数 状态相关参数 Mc=1.709 A=0.067 l0=0.902 d0=2.2 G0=75 E=0.062 l1=0.288 m=0.14 v=0.3 χ=0.7 l2=0.179 n=3 λc=0.049 h1=1.71 ξ=0.7 h2=0.96 5.2 本构模型验证
模拟结果与试验结果对比如图 15所示。由图 15可知，本文考虑级配和颗粒破碎影响的本构模型能够较好地描述珊瑚砂的变形特性。该模型采用一套参数，能反映珊瑚砂在不同级配、不同围压下的应力应变特性，也能反映珊瑚砂的应变硬化和应变软化现象。
6. 结论
为了探究颗粒级配对珊瑚砂颗粒破碎与变形特性的影响，针对4种不同颗粒级配、不同围压条件下的珊瑚砂开展了三轴固结排水剪切试验研究，主要得到以下3点结论。
（1）在低围压作用下，不同级配的珊瑚砂试样应力-应变关系曲线均表现出应变软化现象，体变-应变关系表现为先剪缩后剪胀，随着围压的增加，应力应变曲线表现出硬化现象，而体变曲线表现为完全减缩。相同的围压下，平均粒径越小，应变软化越明显，剪胀也越明显。
（2）对于相同的级配，珊瑚砂颗粒破碎随围压的增大而增大，两者之间可以用幂函数进行表达，通过引入级配参数β，建立了颗粒破碎率Br与级配和围压之间的关系表达式。
（3）在q-p'平面内，不同级配下珊瑚砂存在唯一的临界状态应力比。在e-(p'/pa)ξ平面内，不同级配的珊瑚砂试样临界状态线为相互平行的直线，其截距eГ与初始孔隙比eic、级配参数β之间存在显著的线性关系，并据此建立了考虑级配影响的珊瑚砂临界状态方程。
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图 3 珊瑚砂固结前后的颗粒粒径分布曲线
Figure 3. Grain-size distribution curves of coral sands before and after consolidation
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图 4 偏应力及体积应变与轴向应变的关系曲线
Figure 4. Relationship between deviatoric stress, volumetric strain and axial strain
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图 5 试验前后珊瑚砂颗粒粒径分布曲线
Figure 5. Grain-size distribution curve of coral sands before and after tests
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图 6 相对破碎率与围压之间的关系
Figure 6. Relationship between relative breakage and confining pressure
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图 7 相对破碎率与级配参数之间的关系
Figure 7. Relationship between relative breakage and gradation parameters
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图 10 不同级配下e-lg p '平面上临界状态
Figure 10. Critical state lines in e-lg p 'plane under different gradations
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图 11 不同级配下e-(p '/pa)ξ平面内的临界状态
Figure 11. Critical state lines in e-(p '/pa)ξ plane under different gradations
表 1 珊瑚砂主要成分
Table 1 Table1 Main components of coral sand
单位: % 名称 百分含量/% CaCO3（CaO + CO2） 93.123 SrO 2.774 MgO 1.906 SiO2 0.743 其他 1.454 
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表 2 土样物理性质指标
Table 2 Physical properties of samples
级配 ρdmax/(g·cm-3) ρdmin/(g·cm-3) d50/mm Cu Cc #1 1.380 1.034 2.00 5.26 1.16 #2 1.456 1.132 1.43 4.99 0.95 #3 1.512 1.154 0.83 3.19 0.89 #4 1.540 1.250 0.64 2.67 0.87
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表 3 三轴排水试验方案
Table 3 Schemes of drained triaxial compression tests
级配 Dr e0 围压/kPa #1 0.85 1.131 100/200/400/600 #2 1.006 100/200/400/600 #3 0.938 100/200/400/600 #4 0.881 100/200/400/600
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表 4 珊瑚砂本构模型相关参数
Table 4 Model parameters of coral sand
弹性参数 颗粒破碎参数 临界状态参数 状态相关参数 Mc=1.709 A=0.067 l0=0.902 d0=2.2 G0=75 E=0.062 l1=0.288 m=0.14 v=0.3 χ=0.7 l2=0.179 n=3 λc=0.049 h1=1.71 ξ=0.7 h2=0.96
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