Analytical solutions of steady-state temperature field for large-section freezing with rectangular layout of single-ring holes
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摘要: 温度场是人工冻结理论的重要研究方向,也是评估冻结壁力学状态和封水性能的基础。对于周圈封闭布管形式的温度场,目前仅有规则环形条件下的解析解,包括单圈布置和双圈布置。但实际冻结工程中冻结管矩形布置也十分常见,特别是地铁车站冻结暗挖工程,其温度场尚无解答。根据冻结管矩形和环形布置的几何一致性,基于4根冻结管模型首先提出了矩形布管问题的“以圆代方”求解方法。进而结合稳态导热控制方程的边界可分离特性和势函数叠加原理,求解了8根管矩形布置和多根管广义矩形布置的温度场解析解。通过对比瞬态数值计算结果和模型试验结果,验证了解析求解方法的正确性和解析解的适用性。结果表明,矩形布管的温度场等值线在靠近冻结管圈径处显示出高度的矩形分布特征,随着计算点远离冻结圈,等温线逐渐向圆形转化。矩形冻结壁内侧发展速度大于外侧,内外0℃线内温度场受矩形布管影响显著,在冻结设计时应合理考虑冻结管布置形状对冻结壁几何特征的影响。Abstract: The temperature field is the basis for assessing the mechanical state and water-sealing performance of the frozen wall, which is an important research direction of the artificial freezing theory. For the freezing pipes in the form of a closed circumferential arrangement, there are only analytical solutions under regular annular conditions, including single-circle and double-circle models. However, the rectangular arrangement of freezing pipes is also very common in practical projects, especially for the subway station projects that use frozen concealed excavation, and the temperature field has not yet been answered. According to the geometric consistency of rectangular and annular layouts, based on the four-pipe model, a method of "replacing squares with circles" is firstly proposed for the rectangular problem. Furthermore, considering the boundary separable properties of the steady-state heat conduction control equation and the superposition principle of potential functions, the analytical solutions of the temperature field for rectangular arrangement with eight pipes and the generalized rectangular arrangement with multiple pipes are solved. By comparing with the transient numerical results the model test ones, the correctness and the applicability of the analytical solutions are verified. The results show that the temperature field exhibits a highly rectangular distribution characteristic near the pipe layout line, and the isotherm gradually transforms to a circular shape as it moves away from the freezing pipes. The inner side of the rectangular freezing wall develops faster than the outer side, and the temperature field inside and outside the 0℃ line is significantly affected. The influences of the freezing pipe arrangement on the geometric characteristics of the freezing wall should be reasonably considered in the design of freezing scheme.
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0. 引言
矿山生产中煤岩体常常受到如爆破震动或顶板断裂而产生的高加载率动载荷[1-4],并且受采场巷道尺寸和冲击来压强度影响,煤体力学性质可能会发生改变,引起煤、岩层发生以剪切破坏为主的失稳破坏[5],而这种破坏往往存在较强的率相关性。众多学者通过室内试验研究表明[6-7],煤岩动态力学性质与试验时施加的冲击速率及试样尺寸密切相关。因此,从冲击气压和试样尺寸角度研究煤体动态剪切力学性能对工程动力灾害防控具有一定的理论参考价值和指导意义。
国内外学者对煤岩动力学特性进行了相关研究,发现煤岩动力学特性存在明显的加载率效应:杨仁树等[8]利用分离式霍普金森压杆(SHPB)试验系统分别对3种岩石巴西圆盘试件进行不同冲击速度下的动态劈裂拉伸试验,3种岩石动态拉伸强度均与加载率呈线性增大的关系;赵毅鑫等[9]利用SHPB系统对煤样进行巴西圆盘劈裂试验,探讨了冲击速度对煤样动态抗拉强度、破坏应变及加载率的影响;夏开文等[10]研究了岩石在不同预拉伸应力下的动态拉伸强度,结果显示岩石动态拉伸强度随加载率增加而增加,表现出明显的率相关性;Huang等[11]通过SHPB系统对岩石进行动态剪切试验,得出其动态剪切强度具有显著的加载率依赖性。Xu等[12-13]使用倾斜圆柱体砂岩试件进行动态剪切试验,试件剪切强度以及破坏表面的破坏特征均存在加载率依赖性。并通过使用改进后的动态冲切试验装置,对岩石开展动态剪切试验,发现内聚力也表现出显著的率依赖性。
冲击荷载及加载率会显著影响煤岩动态强度,但煤岩体内部微观结构复杂,其力学特性具有典型的尺寸效应[14]。在以往研究中,众多学者对准静载条件下煤岩长径比效应开展了大量工作,主流观点是岩石强度存在负长径比效应[15-16],并讨论了其原因[17-18]。但在冲击荷载作用下煤岩表现出的长径比效应存在较大差异,洪亮等[19]对尺寸不同的岩石进行SHPB动态冲击试验,研究表明在相同的应变率加载条件下,岩石动态强度随试件尺寸的增大而增加,与静载条件下岩石强度的尺寸效应相反;赵光明等[20]通过对不同长径比花岗岩进行动态冲击,发现同一冲击速度下,花岗岩试样强度无明显长径比效应。目前对于煤岩长径比效应的研究在学术界还未达成共识,研究者对煤岩长径比效应的研究主要集中于静载和动态压缩条件下,而对动态剪切力学特性长径比效应的研究仍需进一步丰富。
利用SHPB装置对直径为75 mm,长径比为0.20,0.27,0.33,0.40和0.47的煤样进行4组冲击气压下的动态剪切试验,明确了不同长径比煤样在冲击荷载作用下剪应力时程曲线的基本特征,分析了冲击气压对煤样动态剪切强度的影响,研究了动态剪切强度和加载率的长径比效应。研究结果为爆破工程参数选取和冲击地压灾害机理研究提供一定的参考依据。
1. 动态剪切试验
1.1 试验系统
试验采用安徽理工大学深部煤矿采动响应与灾害防控国家重点实验室的SHPB系统,如图 1所示,入射杆、透射杆和吸收杆直径均为50 mm,长度分别为2000,1500,500 mm。材料均为合金钢,密度为7796 kg/m3,弹性模量为210 GPa,纵波波速为5190 m/s。通过入射杆与透射杆上的应变片采集波形信号,并由超动态应变仪、示波器及数据处理系统进行波形数据的采集及计算。
图 1中虚线部分为直剪装置,该装置由支架和垫块组成,支架内径为50 mm,垫块直径为75 mm,内部存在凹槽,凹槽直径与杆径一致。由于试样与压杆及直剪装置接触界面并非绝对光滑,在撞击过程中会在界面处产生端面摩擦效应,使试样受力状态变得复杂,本试验在试样两端与杆接触界面涂抹凡士林,以减弱端面摩擦效应对试验结果影响。
1.2 试验方案
试件取材于大块无夹矸无明显裂隙的原煤[21],根据中国爆破行业协会团体标准要求[22],试样直径不小于杆径的1.5倍,因此试样直径设计为75 mm,长径比为0.20,0.27,0.33,0.40和0.47。按照国际岩石力学学会推荐标准[23]要求垂直层理加工试验试件,确保试样两端面的不平整度小于0.05 mm,两端面不平行度小于0.02 mm,制备完成的煤试件如图 2所示。基于SHPB系统,分别对5组长径比(l/d)煤样开展冲击气压为0.25,0.35,0.45,0.55 MPa的动态剪切试验,每组试验重复3次,并对试样进行编号。
1.3 应力平衡验证及数据处理
基于入射杆上应变片所测得的入射应变εi(t)和反射应变εr(t)及透射杆上应变片测得的透射应变εt(t),结合图 3中试样受力分析可知,试样两端受力为
F1=A0E0(εi+εr), (1) F2=A0E0εt。 (2) 式中:F1和F2分别为试样靠近入射杆端面和透射杆端面的受力(kN);A0和E0分别为试验杆的横截面积(mm2)、弹性模量(GPa)。
根据式(1),(2)可以计算得到试样两端受力,由于篇幅受限,仅列出不同长径比试样在冲击气压为0.35 MPa时两端受力时平衡曲线,如图 4所示。动态加载过程中,在达到峰值荷载之前试件两端受力历史基本重合,表明在试验过程中试样左右两端受力相等,达到动态应力平衡条件。
基于一维应力波理论和应力均匀性假定,动态试验中的惯性效应可以忽略,因此,试样的动态剪切应力为[24]
τ=F2As=A0E0εtπRl。 (3) 式中:As为试样剪切面面积(mm2);R为试验杆直径(mm);l为试样长度(mm)。
2. 试验结果与分析
2.1 动态剪应力时程曲线
根据式(3)得到煤样动态剪切应力随时间变化关系,曲线如图 5所示,可以看出,煤样长径比对动态剪应力时程曲线变化过程无明显影响,均呈现先上升后下降趋势,大致可划分为4个阶段:
第Ⅰ阶段:应力初始上升阶段(dτ/dt > 0,d2τ/dt2 > 0),该阶段剪应力随时间增加而缓慢增加,增速逐渐提高。这是由于煤试样受载初期,主要以压应力为主,而煤体内部存在大量的原生微裂隙,在试样受到冲击荷载时,内部微裂纹逐渐闭合,微孔隙等缺陷逐渐收缩,应力逐渐趋向均匀化。
第Ⅱ阶段:应力线性增长阶段(dτ/dt>0,d2τ/dt2≈0),该阶段剪应力随时间的增加基本呈直线上升趋势。应力波在试样中经过多次反射达到应力均匀,同时轴向加载力在逐渐增大,剪切面上受到的剪切力随之增大,试样的剪应力得到了提高,该阶段的斜率基本保持不变,可以作为煤的加载率[11]。
第Ⅲ阶段:应力缓慢上升阶段(dτ/dt≥0,d2τ/dt2<0),该阶段剪应力随时间增长而增加,曲线呈上凸特征,增速逐渐降低。由于作用在试样上的荷载持续增加,能量不断积聚,试样内部裂纹扩展与主裂纹贯通并逐渐贯穿,到达阶段末期,试样剪应力达到最大值,曲线斜率趋近于0,此时的峰值应力即为煤样动态剪切强度。
第Ⅳ阶段:应力下降阶段(dτ/dt<0),达到峰值应力之后,该阶段剪应力随时间的增长快速下降,煤样发生剪切破坏。作用在试样两端的应力下降,相互作用逐渐消失,剪切面受力也随之下降。
2.2 破坏形态
不同长径比试样在冲击气压为0.25 MPa下的破坏形态如图 6所示,不同长径比试样均已破坏,随长径比增大,其大体积碎块逐渐增多,且煤样主要发生剪切和劈裂破坏。主要是由于原煤存在较为明显的层理,垂直层理加工试样后,试样内部含有较多的微裂隙,在试样受到冲击荷载时,导致其内部裂隙扩展、贯通,从而形成平行于煤样轴向的宏观裂纹。特别地,l/d=0.47的试样较完整,可能是由于冲击荷载一定,试样长径比增大,原有的裂纹滑移发生破坏,新生的细观裂纹来不及充分地扩展贯通,造成煤样主要发生碎块体积较大,发生剪切和劈裂共存的破坏形态。
2.3 动态剪切强度的长径比效应
试件长径比的大小和加载率的高低影响着材料的力学性质,即长径比效应和加载率效应[20, 25]。然而在SHPB试验中,长径比效应和加载率效应是耦合在一起的[19]。为将长径比效应与加载率效应解耦,首先分析动态剪切强度与冲击气压的关系,图 7给出了不同长径比煤样动态剪切强度随冲击气压变化规律。各长径比煤样动态剪切强度均随冲击气压升高而线性增加,但直线斜率k随长径比l/d增加呈下降趋势,表明动态剪切强度对冲击气压的敏感性随长径比增加而降低。具体表现为试样长径比越小,相同冲击气压间隔对应的动态剪切强度增幅越大。分析其原因:①煤内部结构原因,小尺寸煤微观裂隙较少,黏聚力大、内摩擦角小[26],导致小尺寸煤动态剪切强度对冲击气压变化依赖性更高;②煤内部应力分布不均匀,试件越长,冲击过程中试件内部应力分布越复杂,冲击气压升高,煤样可能会提前发生破坏,降低其动态剪切强度。
分析图 7可知,存在一个临界冲击气压使得煤样长径比对动态剪切强度的影响最小。假设该临界冲击气压为p0,将其代入动态剪切强度与冲击气压的拟合直线方程中,得到不同长径比煤样在临界冲击气压p0下的动态剪切强度τi:
τi=gi(p0)。 (4) 式中,gi(p0)为关于p0的函数关系式(i=1, 2, 3, …, 5分别对应5个试件长径比)。
根据式(4)求出不同长径比煤样动态剪切强度,得到煤样平均剪切强度:
¯τ=5∑i=1gi(p0)5。 (5) 煤样动态剪切强度的方差S2:
S2=n∑i=1(τi−¯τ)n。 (6) 联立式(4)~(6),计算得到方差与临界冲击气压的关系:
S2=139.08p02−104.72p0+19.85。 (7) 方差S2与临界冲击气压p0为二次函数关系,曲线形态为开口向上的抛物线,通过求解可得,当临界冲击气压p0为0.376时,方差最小,即误差范围最小,结果较为可靠。将临界冲击气压p0代入式(5),得到不同长径比煤样平均动态剪切强度为9.32 MPa。说明在冲击气压为0.376 MPa时,煤样动态剪切强度受长径比影响最小。
图 8给出了不同冲击气压下动态剪切强度随长径比的变化规律。可以看出,煤样动态剪切强度随长径比变化趋势在不同冲击气压下存在显著差异,随着冲击气压的升高,煤样动态剪切强度随长径比变化分为2个阶段:①在冲击气压为0.25,0.35 MPa下,煤样动态剪切强度与长径比呈现正相关关系,分别增长了3.23,2.19 MPa;②在冲击气压为0.45,0.55 MPa下,煤样动态剪切强度随长径比增加而逐渐降低,分别降低了3.63,6.13 MPa,表明煤样动态剪切强度存在正、负长径比效应。
关于长径比效应模型的研究大多集中在静力学方面,刘宝琛等[15]提出一种指数型公式:
σ0=γ0+α0exp(−β0D)。 (8) 式中:σ0为岩样单轴抗压强度;D为圆柱形岩样的直径或立方体的边长;α0,β0和γ0为材料参数。
杨圣奇等[18]提出煤岩长径比效应理论模型为
X0=X2ea+b(l/d)。 (9) 式中:X0为单轴压缩下任意长径比岩样力学参数;X2为标准岩样的力学参数;a和b均为材料常数。
综合式(8),(9),建立煤样动态剪切强度的长径比效应理论模型:
τ=τ0ea+b(l/d)。 (10) 式中:τ为煤样动态剪切强度(MPa);τ0为临界冲击气压下煤样的动态剪切强度(MPa);a和b均为材料常数,通过回归分析得到。
不同冲击气压下煤样动态剪切强度和长径比拟合曲线如图 8所示,二者之间函数关系在冲击气压为0.25,0.35,0.45和0.55 MPa时分别为
τ=9.32e−1.41+2.37(l/d)(R2=0.992), (11) τ=9.32e−0.55+1.00(l/d)(R2=0.939), (12) τ=9.32e0.58−1.08(l/d)(R2=0.906), (13) τ=9.32e1.01−1.45(l/d)(R2=0.926)。 (14) 对拟合模型中材料参数a和b的含义进行讨论,设τ为y,l/d为x,式(10)形式变为
y=9.32ea+bx。 (15) 将式(15)两边对x求导可得
dydx=9.32bea+bx。 (16) 由式(16)可知,当b > 0时,dy/dx > 0,此时y随着x的增大而递增,即煤样动态剪切强度随长径比增大而增大;当b < 0时,dy/dx < 0,即参数b反映了煤样动态剪切强度随长径比变化的相关性。图 9为参数b固定而参数a变化条件下的煤样动态剪切强度随试样长径比的变化关系,b=1时,动态剪切强度均与长径比呈正相关关系,且随参数a增加,动态剪切强度增幅越大;b=-1时,动态剪切强度均与长径比呈负相关关系,且随参数a增加,动态剪切强度降幅越大,表明参数a反映了煤样动态剪切强度对长径比变化的敏感程度。
煤岩体的动态强度存在加载率效应[13, 28],图 10给出了煤样动态剪切强度随加载率˙τ的变化规律。随着加载率74.78 GPa/s升高到369.52 GPa/s,煤样动态剪切强度由3.54 MPa增长到21.51 MPa,呈现出显著加载率效应。对其进行拟合,得到煤样动态剪切强度与加载率之间的函数关系如下:
τ=−0.184+0.052˙τ(R2 = 0.958)。 (17) 式(17)表明,随着加载率的升高,煤的动态剪切强度以直线形式增加。出现该现象的原因主要是裂纹在煤样中的扩展速度受瑞利波速度的限制,其黏性系数随加载率增加而减小,激活了煤样内部自由度和微观粒子的相关运动,多种尺寸的裂纹同时在煤样中萌生,热活化机制和宏观黏性共同作用[28],导致煤样动态剪切强度增加。
图 11给出了煤样加载率随长径比变化关系,煤样加载率也存在正、负长径比效应。联立式(15),(17),推导加载率的长径比效应理论模型为
˙τ=179.23ea+b(l/d)−3.54。 (18) 将不同冲击气压下a,b值代入式(18),得到不同冲击气压下加载率的长径比模型,通过计算得到加载率理论数值并与剪切试验数据作对比,如图 11所示。理论曲线和试验值吻合程度较高,表明该拟合模型可以合理地表征加载率在不同冲击气压下的长径比效应。
为进一步验证该模型的正确性,表 1列出长径比为0.30煤样在不同冲击气压下的加载率试验数据及理论值,对比可知,试验数据与理论值相差较小。
表 1 不同冲击气压下l/d=0.30煤样加载率Table 1. Loading rates of coal samples at l/d=0.30 under different impact air pressuresp/MPa ˙τ/(GPa·s-1) 加载率/(GPa·s-1) 平均值 理论值 0.25 91.81 90.90 89.09 95.14 85.75 0.35 138.91 137.68 139.58 143.50 130.64 0.45 232.41 229.61 231.52 225.60 230.82 0.55 335.75 322.44 318.52 321.34 310.23 3. 讨论
在试验范围内,煤样动态剪切强度和加载率长径比效应类似,在冲击气压为0.25,0.35 MPa时,煤样动态剪切强度和加载率均呈现正长径比效应;在冲击气压0.45,0.55 MPa下,煤样动态剪切强度和加载率均呈现负长径比效应。
煤样动态剪切强度和加载率在不同冲击气压下呈现正、负长径比效应的原因有两方面:首先,图 12煤样为CT扫描二维切片,其中,白色为矿物,黑色为裂隙,灰色为煤基质。煤样不同层位的矿物、裂隙以及煤基质分布均不同,而煤微观结构存在固有速率依赖性和其成分的结构性速率依赖性[29],造成冲击气压对加载率的增强效应占主导地位,从而导致加载率呈正长径比效应,而煤动态剪切强度具有显著的加载率效应,造成煤样动态剪切强度也随着长径比的增加而增加。
其次,煤是非均质材料,由于受到地质因素的影响,煤内部存在大量不同尺度的微缺陷,煤的长径比越大其内部所含微缺陷的概率也愈大,微裂纹连接贯通也越多。由不同长径比煤样内部裂隙分布(如表 2所示)也可以看出,煤样内部裂隙分布随长径比增加而逐渐复杂,裂隙体积也随之逐渐增大。
表 2 煤样CT扫描结果Table 2. CT scan results of coal samplesl/d 0.4 0.6 0.8 内部三维裂隙 裂隙体积/mm3 21.70 26.20 50.00 随着冲击气压升高,煤样受到冲击荷载越大,这些微裂纹扩展形成宏观裂纹越多,此时煤样微观结构的率依赖性减弱,造成煤体更容易破坏,表现为煤动态剪切强度和加载率均显著降低。因此,煤样低冲击气压下动态剪切强度和加载率均呈正长径比效应;在高冲击气压下,煤样动态剪切强度和加载率均呈负长径比效应。
4. 结论
本文借助SHPB试验系统对不同长径比(0.20~0.47)煤进行不同冲击气压下(0.25~0.55 MPa)的动态剪切试验,得到如下4点结论。
(1)5组长径比煤样在不同冲击气压下动态剪应力时程曲线变化趋势均表现为先上升后下降,可以分为应力初始上升、应力线性增长、应力缓慢上升和应力下降4个阶段。
(2)不同长径比煤样动态剪切强度随冲击气压增高呈线性增加,表现出较强的冲击气压依赖性,但对冲击气压变化的敏感性存在差异,小长径比试样的动态剪切强度对冲击气压的敏感性较大长径比试样更显著。
(3)煤样动态剪切强度和加载率均存在长径比效应,冲击气压对二者长径比效应影响显著。动态剪切强度和加载率在冲击气压为0.25,0.35 MPa时均呈现正长径比效应,在冲击气压0.45,0.55 MPa下均呈现负长径比效应。通过方差分析,确定冲击气压为0.376 MPa时对应煤样动态剪切强度的长径比效应最弱。
(4)建立煤样动态剪切强度的长径比效应理论模型,结合动态剪切强度与加载率的函数关系式,推导出加载率的长径比效应理论模型,并对比模型计算得到的理论数值与试验数据,吻合程度较高,验证了模型的合理性与正确性。模型中材料参数a,b分别反映了煤样动态剪切强度和加载率对长径比变化的敏感性以及相关性。
本文虽然对长径比为0.20~0.47的煤样进行了动态剪切试验,得到了一些结论,但关于不同长径比煤岩的动态剪切试验仍需要继续探索,笔者将在下一步研究中增大煤样长径比范围,以取得更为完整的结论,丰富煤岩动力学理论。
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表 1 冻结管坐标
Table 1 Coordinates of freezing pipes
编号 R/m θ Tf1/℃ P1 2 0 −30 P2 2.83 π/4 −30 P3 2 π/2 −30 P4 2.83 3π/4 −30 P5 2 π −30 P6 2.83 5π/4 −30 P7 2 3π/2 −30 P8 2.83 7π/4 −30 表 2 瞬态模拟土体热物理性质参数
Table 2 Thermal properties of soil adopted in transient simulation
参数 温度/
℃导热系数/
(W·m-1·K-1)密度/ (kg·m-3) 比热/ (J·kg-1·K-1) 焓值/
(kJ·m-3)冻土 -28 1.74 1870 1650 0 -10 55714.4 -4 115302.2 冰点 -2.1 1.74 1870 1650 199526.7 融土 18.0 1.42 1870 1650 247954.0 表 3 C1界面5个测点坐标及温度对比
Table 3 Comparison of coordinates and temperatures of 5 measuring points on interface C1
测点 坐标/
(cm, cm)实测值/
℃解析解/
℃绝对
误差/℃相对
误差/℃C1-1 (-1.4, 0) -9.9 -9.92 0.02 0.20 C1-2 (-7.2, 0) -10.0 -11.32 1.32 13.20 C1-3 (-13, 0) -12.2 -10.78 1.42 11.64 C1-4 (-18.8, 0) -5.8 -6.86 1.06 18.27 C1-5 (-24.6, 0) -2.0 -1.99 0.01 0.50 表 4 C2主面5个测点坐标及温度对比
Table 4 Comparison of coordinates and temperatures of 5 measuring points on main surface C2
测点 坐标/
(cm, cm)实测值/
℃解析解/
℃绝对
误差/℃相对
误差/%C2-1 (-1.4, 6.5) -11.6 -11.62 0.02 0.17 C2-2 (-7.2, 6.5) -11.4 -11.99 0.59 5.17 C2-3 (-13, 6.5) -13.5 — — — C2-4 (-18.8, 6.5) -6.2 -7.14 0.94 15.16 C2-5 (-24.6, 6.5) -2.1 -2.08 0.02 0.95 -
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