季节冻土区非饱和膨胀土水–热–变形耦合冻胀模型

凌贤长; 罗军; 耿琳; 唐亮

doi:10.11779/CJGE202207006

季节冻土区非饱和膨胀土水–热–变形耦合冻胀模型 English Version

凌贤长^1,,
罗军^2, ,,
耿琳³,
唐亮¹

1.
哈尔滨工业大学, 黑龙江哈尔滨 150090
2.
中国科学院力学研究所, 北京 100190
3.
中国铁道科学研究院集团有限公司高速铁路轨道技术国家重点实验室, 北京 100081

基金项目:

国家自然科学基金重点项目 41430634

国家自然科学基金国家重大科研仪器研制项目 41627801

国家重点研发计划项目 2018YFC1505305

详细信息

作者简介:
凌贤长(1963—)，男，博士，哈尔滨工业大学教授、博士生导师，岩土与地下工程学科带头人，黑龙江省寒区轨道工程技术研究中心主任，青岛理工大学教授、博士生导师，青岛盘垚材料工程研究院、安徽省融工博大环保技术材料研究院首席专家，俄罗斯自然科学院外籍院士。从事高铁岩土工程、岩土地震工程、寒区特殊土与冻土工程、岩土与地质灾害防控、岩土工程新材料技术等方面研究，开辟了寒区轨道交通路基动力学、矿物基类胶凝材料技术两个新的研究方向。主持国家重点研发计划、国家重大科研仪器研制项目、国家自然科学基金重点项目、应急管理部防汛抢险急需技术装备揭榜攻关项目等研究工作。出版著作9部，发表论文273篇，获得国家发明专利83项、软件著作权15项与国际发明专利4项，主编技术标准5部（完成1部、在编4部）。获得国家技术发明二等奖1项、省部级科技进步奖一等奖5项，荣获“庆祝中华人民共和国成立70周年”纪念章。部分成果在工程中获得较多应用并已实施产业化。E-mail: xianzhang_ling@263.net

通讯作者:
罗军, E-mail: luojun@imech.ac.cn

中图分类号: TU445
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出版历程
- 收稿日期: 2022-03-04
- 网络出版日期: 2022-09-22
- 刊出日期: 2022-06-30

Coupled hydro-thermo-deformation frost heave model for unsaturated expansive soils in seasonally frozen soil regions

1.
Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China
2.
Institute of Mechanics, CAS, Beijing 100190, China
3.
State Key Laboratory for Track Technology of High-Speed Railway, China Academy of Railway Sciences Corporation Limited, Beijing 100081, China

摘要

摘要: 中国季节冻土区发育大面积深厚残坡积膨胀土，其特有的“冻胀融沉”“膨胀收缩”特性诱发诸多工程病害问题。针对季节冻土区非饱和膨胀土的冻胀变形机制问题，以延吉膨胀土为研究对象，开展了膨胀土冻胀特性试验研究，证明了膨胀土吸水膨胀特性对其冻胀特性有显著影响，据此提出了考虑相变动力区的非饱和膨胀土冻结－胀缩牵连机制。基于冻土多场耦合分析方法、结晶动力学理论，建立了非饱和膨胀土水－热－变形耦合冻胀模型FH_ex_Model，并予以验证。该模型能够反演出非饱和膨胀土冻胀过程中的冻胀变形分量和膨胀变形分量。此外，根据上述研究，建议在膨胀土工程场地中应当重视初冻期冻结作用诱发的高膨胀变形，同时稳定冻深以下区域的场地变形不容忽视。
- 季节冻土区 /
- 非饱和膨胀土 /
- 冻胀试验 /
- 冻结–胀缩机制 /
- 多场耦合 /
- 冻胀模型
Abstract: A large area of deep residual deluvial expansive soils is distributed in seasonally frozen soil regions in China. Its unique 'frost heave-thaw settlement' and 'expansion-shrinkage' characteristics induce many engineering diseases. Aiming at the problem of frost heave mechanism of unsaturated expansive soils in seasonally frozen soil regions, taking Yanji expansive soil as the object, the experimental studies on the frost heave characteristics of expansive soils are carried out, and it is proved that the expansion characteristics of the expansive soils due to water absorption have a significant influence on its frost heave characteristics. Then the freezing-swelling/shrinkage mechanism of unsaturated expansive soils considering the phase change kinetic area is put forward. Based on the multi-field coupling analysis method of frozen soils and the theory of crystallization kinetics, the coupled hydro-thermo-deformation frost heave model for unsaturated expansive soils, named FH_ ex_ Model, is established and verified. The proposed model can inverse the frost-heave deformation component and the expansion deformation component in the frost heave process of unsaturated expansive soils. In addition, according to the above researches, it is suggested that attention should be paid to the high freezing-induced expansion deformation in the initial freezing period in the expansive soil engineering site, and the deformation in the area below the stable freezing depth should not be ignored.
- seasonally frozen soil region /
- unsaturated expansive soil /
- frost heave test /
- freezing-induced swelling and shrinkage mechanism /
- multi-physical field coupling /
- frost heave model

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0. 引言

隧洞涌水问题一直是地下工程建设中突出挑战之一,大量的涌水会造成隧洞失稳、人员伤亡、地面沉降及生态环境恶化等一系列恶劣后果^[1-2]。因此,隧洞涌水量的预测计算对防排水设计、衬砌措施选择以及环境影响评价等方面具有十分重要的意义^[3-4]。

目前,隧洞涌水量计算方法主要分为经验公式法、解析公式法及数值计算法3类,其中解析公式法由于其计算快速简洁、论推导严谨的优点而得到广泛地应用。解析公式法可分为镜像法、竖井法、保角变换法及其他方法^[5-8],但这些方法都基于不考虑地下水位的变化,隧洞处于地下水无限补给这一初始假定条件推导而出的。对于大量的实际工程而言,隧洞周围地下水往往不存在无限补给源,隧洞的开挖将疏干其周围地下水,进一步导致地下水位的降落。因此,采用传统解析公式计算疏干隧洞涌水量会造成计算结果明显偏大。

针对疏干条件下隧洞涌水量变化与地下水位降落等问题,已有不少学者开展了研究。Moon等^[9]利用离散单元法研究出疏干条件下裂隙岩体中隧洞地下水位的变化规律,提出将降低地下水位 $\bar{h}$ 代替初始地下水位 $h$ ,在Goodman公式基础上计算隧洞涌水量；苏凯等^[10]提出了利用渗透水头替代初始地下水位,并给出渗透水头的经验公式,简化了涌水量公式的使用。EI Tani等^[11]基于数值积分表达式与格林函数法,推导出单侧补给条件下隧洞的地下水位降深与涌水量解析公式。上述学者虽然采用多种方法推导出了疏干条件下隧洞涌水量解析公式,但是这些解析公式的推导是在假设稳定地下水水位位于隧洞顶部上方的情况下进行的,主要适用于深埋隧洞的地下水疏干问题。对于浅埋隧洞而言,其顶部上方地下水被完全疏干,上述解析公式无法真实地刻画浅埋隧洞的渗流特征,而且也无法计算出隧洞孔隙水压力的分布规律；此外,当前疏干条件下隧洞涌水量的研究仍着力在未衬砌隧洞上,对于衬砌隧洞,涌水量与衬砌水压力的分布规律仍未得到很好的解决。

本文针对浅埋、深埋及衬砌隧洞进行解析分析,然后利用数值模拟方法计算出不同隧洞半径、初始地下水位高度及围岩与衬砌相对渗透性下隧洞涌水量及水压力分布规律,将数值计算结果与解析分析相结合,提出了计算隧洞涌水量和孔隙水压力的解析公式。

1. 解析分析

1.1 浅埋隧洞

疏干条件下浅埋隧洞地下水位线快速降落至隧洞中心线两侧,形成稳定的降落漏斗,隧洞顶部地下水被完全疏干,见图1。将其周围地下水运动视为满足水平一维流,其数学模型为

$\frac{d}{d x} (u \frac{d u}{d x}) = 0$ ,

(1)

其边界条件为

$\begin{array}{l} u |_{x = r} = u_{0}, \\ u |_{x = L} = u_{L}, \end{array}}$

(2)

图 1 浅埋隧洞渗流场示意图

Figure 1. Schematic representation of shallow tunnel

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式中, $u$ 为隧洞右侧 $x$ 处的含水层厚度, $u_{0}$ , $u_{L}$ 分别为隧洞右侧边界与距中心L处的含水层厚度；自变量x取值范围为 $r \leq x \leq L$ 。

方程（1）对应边界条件式（2）的解为

$u^{2} = \frac{u_{L}^{2} - u_{0}^{2}}{L - r} x + (u_{0}^{2} - \frac{u_{L}^{2} - u_{0}^{2}}{L - r} r)$ 。

(3)

根据Darcy定律可得任意断面潜水流的单宽流量为

$q_{x} = k_{m} u \frac{d u}{d x}$ ,

(4)

式中, $q_{x}$ 为距隧洞右侧 $x$ 处任意断面上的单宽流量, $k_{m}$ 为围岩渗透系数。因此,隧洞中心处单宽流量为

$q_{x = 0} = k_{m} u \frac{d u}{d x} = k_{m} \frac{u_{L}^{2} - u_{0}^{2}}{2 (L - r)}$ 。

(5)

考虑到隧洞渗流场的对称性,可得浅埋隧洞涌水量公式：

$Q = \frac{k_{m}}{L - r} (u_{L}^{2} - u_{0}^{2}) = \frac{k_{m}}{L - r} (2 h D + h^{2})$ 。

(6)

实际上,浅埋隧洞底部地下水为径向流运动,这造成了地下水水头的额外损失,并不符合水平流的假定,导致了计算结果明显偏大。Hooghoudt^[12]于1940年在解决降水条件下暗管排水量的计算问题时,引入影响距离d来消除径向流所带来的的误差。

因此,本文借鉴相关思路,同样利用影响距离d来替代隧洞至底板距离“D”,进一步推导出浅埋隧洞涌水量计算公式,可表达为

$Q = \frac{k_{m}}{L - r} (2 h d + h^{2})$ 。

(7)

1.2 深埋隧洞

对于深埋隧洞而言,其周围地下水为径向流运动,满足拉普拉斯方程。Harr^[3]于1962年利用镜像法推导出无限补给条件下隧洞渗流场内任一点涌水量、水头与孔隙水压力分布的解析公式：

$Q = 2 π k_{m} \frac{h}{\ln {[1 + {(2 h / r)}^{2}]}^{0.5}} \approx \frac{2 π k_{m} h}{\ln (2 h / r)}$ ,

(8)

$H = [1 - \frac{\ln (\cos^{2} θ + {(2 h / x - \sin θ)}^{2})}{\ln (1 + {(2 h / r)}^{2})}] \times h$ ,

(9)

$p = [1 - \frac{\ln (\cos^{2} θ + {(2 h / x - \sin θ)}^{2})}{\ln (1 + {(2 h / r)}^{2})} - \frac{x \sin θ}{h}] \times h \times γ_{w} 。$

(10)

式中 $θ$ 为流场内任一点与隧洞中心线之间的逆时针夹角；x为流场内任一点至隧洞中心的距离； $γ_{w}$ 为水的重度；其他参数见上式。

疏干条件下深埋隧洞地下水位出现一定的降落,地下水未被完全疏干,见图2,其中 $h$ 为初始地下水位, $\bar{h}$ 为降落地下水位,s为地下水位降深。相对比无限补给状况,疏干条件下深埋隧洞的地下水水头与涌水量发生显著变化,简单地采用渗透水头替代初始地下水位是不合适的,也不符合镜像法的方法原理,同时会造成隧洞孔隙水压力计算结果的偏小。

图 2 深埋隧洞渗流场示意图

Figure 2. Schematic representation of deep tunnel

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本文将降落地下水位等效转化为未降落的等效地下水位 $h^{'}$ ,然后利用镜像法进而推导出疏干条件下深埋隧洞涌水量解析公式：

$Q^{'} = 2 π k_{m} \frac{h^{'}}{ln(2 h^{'} / r)}$ ,

(11)

式中, $h^{'}$ 为深埋疏干隧洞等效地下水位高度。

易知,深埋隧洞中心水平向与垂向上孔隙水压力表达式分别为

$p_{水平} = [1 - \frac{\ln (1 + {(2 h^{'} / x)}^{2})}{\ln (1 + {(2 h^{'} / r)}^{2})}] \times h^{'} \times γ_{w}$ ,

(12)

$p_{垂直} = [1 - \frac{\ln ({(2 h^{'} / x - 1)}^{2})}{\ln (1 + {(2 h^{'} / r)}^{2})} - \frac{x}{h^{'}}] \times h^{'} \times γ_{w}$ 。

(13)

1.3 衬砌隧洞

对于衬砌隧洞而言,衬砌圈的存在改变了隧洞周围渗流场,造成孔隙水压力与地下水位的重新分布,地下水水头的损失造成经衬砌圈进入隧洞的涌水量显著减少,见图3。Fernandez等^[13-14]给出了无限补给条件下衬砌隧洞涌水量的解析公式：

$Q = 2 π k_{m} \frac{h - h_{l}}{\ln (2 h / r_{l})}$ ,

(14)

$Q_{l} = 2 π k_{l} \frac{h_{l}}{\ln (r_{l} / r)}$ 。

(15)

图 3 衬砌隧洞渗流场示意图

Figure 3. Schematic representation of lined tunnel

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式中 $Q_{l}$ 为衬砌隧洞涌水量； $Q$ 为衬砌圈外侧涌水量； $k_{l}$ 为衬砌圈渗透系数； $r$ , $r_{l}$ 分别为隧洞半径与衬砌圈半径； $h_{l}$ 为衬砌圈水头。

疏干条件下衬砌隧洞的稳定地下水位会小于其初始地下水位,地下水降深取决于围岩与衬砌相对渗透性^[15]。同理,运用等效转化思想,将衬砌隧洞的降落地下水位转化为衬砌等效地下水位 ${h^{'}}_{l}$ ,进一步地,疏干条件下衬砌隧洞涌水量计算公式可表达为

$Q = 2 π k_{m} \frac{{h^{'}}_{l} - h_{l}}{\ln (2 {h^{'}}_{l} / r_{l})}$ ,

(16)

式中, ${h^{'}}_{l}$ 为衬砌隧洞等效地下水位,其他参数见上述公式。

为简化运算,令

$A = \frac{\ln (2 {h^{'}}_{l} / r_{l})}{\ln (r_{l} / r)}$ ,

根据流量连续性原理,令 $Q = Q_{l}$ ,可得

$h_{l} = \frac{{h^{'}}_{l}}{1 + A \times k_{l} / k_{m}}$ 。

(17)

而衬砌状态下隧洞中心水平向与垂向上衬砌水压力表达式为

$p_{水平} = [1 - \frac{\ln (1 + {(2 {h^{'}}_{l} / x)}^{2})}{\ln (1 + {(2 {h^{'}}_{l} / r_{l})}^{2})} \times \frac{A (k_{l} / k_{m})}{1 + A (k_{l} / k_{m})}] \times {h^{'}}_{l} \times γ_{w}$ ,

(18)

$p_{垂直} = [1 - \frac{\ln ({(2 {h^{'}}_{l} / x - 1)}^{2})}{\ln (1 + {(2 {h^{'}}_{l} / r_{l})}^{2})} \times \frac{A (k_{l} / k_{m})}{1 + A (k_{l} / k_{m})} - \frac{x}{{h^{'}}_{l}}] \times {h^{'}}_{l} \times γ_{w} 。$

(19)

对于浅埋、深埋及衬砌隧洞涌水量和衬砌水压力的解析公式中的关键参数（影响距离d,等效地下水位 $h^{'}$ ,衬砌等效地下水位 ${h^{'}}_{l}$ ）,可以基于数值模拟方法确定。

2. 数值模拟研究

2.1 计算方法与数值模型

疏干条件下隧洞周围渗流场处于不断变化之中,渗流场求解的难点在于隧洞边界条件的表达与溢出点奇异性的确定^[16]。郑宏等^[17]提出了一个新的Signorini型变分不等式提法,将潜在溢出面边界提为Signorini型互补边界条件,从理论上解决了溢出点的奇异性,已广泛地应用到水利水电工程中。本文基于Signorini型变分不等式法开发出有限元程序,计算疏干条件下隧洞渗流场。

假定取不同的隧洞半径r（2.5,5.0,7.5,10.0 m）、初始地下水位高度h（25～300 m）与围岩与衬砌相对渗透性（ $k_{m} / k_{l}$ =1,100,1000,10000, $k_{m}$ =1 m/d）,建立有限元模型,其中模型范围为两侧外部边界及底部取100倍隧洞半径^{[10, 15]},初始地下水位埋深取50 m,衬砌厚度取1.5 m,见图4。根据Signorini型变分不等式原理,模型边界条件设定：①左右两侧边界 $EB \cup FD$ 取定水头边界；②底边界BD取隔水边界；③隧洞边界与边界取Signorini型边界。

图 4 有限元模型网格剖分示意图

Figure 4. Finite element mesh of models

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2.2 隧洞涌水量

图5为各种数值案例下隧洞涌水量的变化曲线。可以看出：当隧洞半径与初始地下水位高度一定时,以隧洞h=100 m为例,随着围岩与衬砌相对渗透性 $k_{m} / k_{l}$ 的增大,隧洞涌水量由98.44 m³/d（ $k_{m} / k_{l}$ =1）显著减少至0.24 m³/d（ $k_{m} / k_{l}$ =10000）；当 $k_{m} / k_{l}$ 一定时,随着隧洞初始地下水位高度逐渐增大,疏干隧洞涌水量由17.11 m³/d（h=25 m）逐渐增大至329.53 m³/d（h=300 m）,呈指数形式增长,而衬砌隧洞涌水量增幅较小,4.66 m³/d增至60.59 m³/d（ $k_{m} / k_{l}$ =100）,说明衬砌圈具有良好的阻水作用。

图 5 隧洞涌水量数值计算结果

Figure 5. Water inflows of tunnels in different cases

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2.3 孔隙水压力分布

为了探讨初始地下水位高度对隧洞孔隙水压力分布的影响,以隧洞r=5.0 m为例,绘制出不同初始地下水位高度下疏干隧洞水平向和垂向的孔隙水压力分布曲线,见图6。

图 6 不同初始地下水位高度下疏干隧洞水平向与垂向的孔隙水压力分布

Figure 6. Distribution of pore water pressure along horizontal and vertical directions of drained tunnel under various initial groundwater levels

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由图6可知：在疏干隧洞水平向上,随着隧洞边界右侧距离的增加,孔隙水压力值逐渐增大,且在距离隧洞100 m范围内,孔压变化幅度最为剧烈,之后增幅变缓；在垂向上,隧洞边界处孔隙水压力为0 MPa,随着距隧洞顶拱的距离逐渐增大,孔隙水压力值先迅速增大到最大值,然后缓慢减小,在渗流自由面处重新降低为0 MPa。

以隧洞r=5.0 m,h=200 m为例,绘制出4种围岩与衬砌相对渗透性下隧洞水平向和垂向的孔隙水压力分布,如图7所示。可以看出：不同衬砌方案下隧洞孔隙水压力分布基本相似,在水平向上,在隧洞边界至衬砌圈范围内,孔隙水压力值迅速增加,且随着围岩与衬砌相对渗透性的增大,孔压由1.623 MPa ( $k_{m} / k_{l}$ =100)增至1.984 MPa( $k_{m} / k_{l}$ =10000)；在垂直向上,孔隙水压力值在衬砌圈表面快速增加至最大值,之后呈线性递减至0 MPa,这说明了衬砌圈的存在显著改变了隧洞孔隙水压力分布规律。

图 7 不同围岩与衬砌相对渗透性下衬砌隧洞水平向与垂向的.孔隙水压力分布

Figure 7. Distribution of pore water pressure along horizontal and vertical directions of lined tunnel with different k_m/k_l

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3. 讨论与验证

3.1 涌水量解析公式

（1）影响距离

将浅埋隧洞（ $r / h \geq 0.1$ ）计算工况结果汇总,绘制出浅埋隧洞d/D关于r/h之间的散点图,见图8。可以看出：浅埋隧洞d/D值分布在0.1～0.4内,关于呈线性分布趋势；在隧洞半径r一定时,影响距离随初始地下水位高度的增加而逐渐增大,以r=5.0 m为例,d/D由初始地下水位高度25 m（r/h=0.2）时0.314增加至初始地下水位高度50 m（r/h=0.1）时0.382；在初始地下水位高度一定时,影响距离随隧洞半径的增大而增大。

图 8 d/D关于r/h的散点分布及拟合曲线

Figure 8. Scatter distribution and fitting curves of d/D with respect to r/h

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针对浅埋隧洞d/D与r/h之间的分布规律,将定义为关于d/D的线性函数,表达式如下：

$d = (a r / h + b) \cdot D$ ,

(20)

式中,a与b分别为待定系数。

进一步地,根据图8中散点数据进行曲线拟合,可得到系数：

$\begin{array}{l} a = 0.0193 r^{2} - 0.3223 r + 0.3654, \\ b = - 0.0017 r^{2} + 0.0311 r + 0.3538, \end{array}}$

(21)

可知,浅埋隧洞涌水量半解析公式为

$\begin{array}{l} Q = \frac{k_{m}}{L - r} (2 h d + h^{2}), \\ d = (a r / h + b) \cdot D, \end{array}}$

(22)

式中,a与b见式（21）。

图8中相关性系数R²均大于0.95,说明半解析解与数值解具有良好的拟合度,验证了表达式具有可行性。

（2）等效地下水位

将深埋隧洞（ $r / h < 0.1$ ）计算工况结果汇总,绘制出深埋隧洞等效地下水位与初始地下水位之比 $h^{'} / h$ 关于 $r / h$ 之间的散点图,见图9。可以看出：深埋隧洞 $h^{'} / h$ 值处于0.3～1.0之间,关于 $r / h$ 呈线性分布；在隧洞半径r一定时,随着隧洞初始地下水位高度逐渐增大,等效地下水位与初始地下水位比值 $h^{'} / h$ 逐渐增大；在隧洞初始地下水位h一致时,洞径越大, $h^{'} / h$ 逐渐减小,这说明地下水位降深随洞径的增大而逐渐增大,从而导致隧洞上方的等效地下水位逐渐减少。

图 9

$h^{'} / h$ 关于

$r / h$ 的散点分布及拟合曲线

Figure 9. Scatter distribution and fitting curves of

$h^{'} / h$ with respect to

$r / h$

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为了便于计算,同理,将 $h^{'} / h$ 定义为关于 $r / h$ 的线性函数,表达式如下：

$h^{'} = (c r / h + d) \cdot h$ ,

(23)

式中,a,b分别为待定系数。

根据图9中数据进行曲线拟合,可得到系数：

$\begin{array}{l} c = - 0.1371 r^{2} + 2.5061 r - 18.2290, \\ d = 0.0060 r^{2} - 0.1124 r + 1.3456, \end{array}}$

(24)

因此,深埋隧洞涌水量解析公式表达为

$\begin{array}{l} Q = 2 π k_{m} \frac{h^{'}}{\ln (2 h^{'} / r)}, \\ h^{'} = (c r / h + d) h, \end{array}}$

(25)

式中,c,d见式（24）。

图9中相关性系数R²均大于0.95,显示了解析解与数值解具有很高的拟合度,说明了解析公式的可行性。

（3）衬砌等效地下水位

根据衬砌隧洞涌水量数值计算结果,反算出衬砌隧洞等效地下水位,绘制出衬砌隧洞等效地下水位与初始地下水位之比 ${h^{'}}_{l} / h$ 关于 $r / h$ 之间的散点图,见图10。可以看出：总体来看,衬砌隧洞等效地下水位与初始地下水位之比 ${h^{'}}_{l} / h$ 处于0.7～1.0之间,且随 $r / h$ 的增大而逐渐减少；在隧洞相对埋深 ${h^{'}}_{l} / h$ 一定时,值随围岩与衬砌相对渗透性 $k_{m} / k_{l}$ 的增大而逐渐增大,并逐渐趋向于1,这说明了地下水位降深随的增大而逐渐减少,逐渐趋向于0,从而导致衬砌隧洞上方的等效地下水位逐渐抬升。

图 10

$h^{'} / h$ 关于

$r / h$ 的散点分布及拟合曲线

Figure 10. Scatter distribution and fitting curves of

$h^{'} / h$ with respect to

$r / h$

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针对衬砌隧洞 ${h^{'}}_{l} / h$ 值的分布规律,将定义为关于 $r / h$ 的幂函数,考虑到 $k_{m} / k_{l}$ 工况下, ${h^{'}}_{l} / h$ 趋向于1,本文分别给出 $k_{m} / k_{l}$ =100与 $k_{m} / k_{l}$ =1000两种工况下衬砌隧洞等效地下水位的表达式：

${h^{'}}_{l} = {\begin{cases} e {(r / h)}^{f} \cdot h (k_{m} / k_{l} = 100) \\ w {(r / h)}^{t} \cdot h (k_{m} / k_{l} = 1000) \end{cases}$ ,

(26)

式中, $e$ , $f$ , $w$ 与 $t$ 分别为待定系数。

根据图10中数据进行曲线拟合,可得到系数：

$\begin{array}{l} e = - 0.0295 r + 0.8944, f = - 0.0104 r - 0.0163, \\ w = - 0.0052 r + 0.9980, t = - 0.0015 r + 0.0009 。 \end{array}}$

(27)

综合上式,衬砌隧洞涌水量解析公式表达为

$\begin{array}{l} Q = Q_{l} = 2 π k_{l} \frac{h_{l}}{\ln (r_{l} / r)}, \\ h_{l} = \frac{{h^{'}}_{l}}{1 + A \times k_{l} / k_{m}}, \end{array}}$

(28)

式中, ${h^{'}}_{l}$ 见式（26）与（27）。

图10中相关性系数R²均大于0.95,显示了解析解与数值解具有很高的拟合度,说明了解析公式的可行性。

3.2 孔压分布

利用等效地下水位 $h^{'}$ 与衬砌等效地下水位 ${h^{'}}_{l}$ 的表达式,计算出隧洞中心右侧水平向与顶拱垂向的衬砌水压力分布曲线,以隧洞r=5 m,h=200 m为例,将解析解、数值解及Femandez公式三者对比,见图11。可以看出：Femandez公式计算结果最大,解析解与数值解次之,其中水平向上,在距隧洞边界100 m范围内,两者拟合程度较高,之后解析解则逐渐小于数值解；垂直向上,解析解位于数值解与Femandez公式之间,且随着相对渗透性 $k_{m} / k_{l}$ 的增大,解析解与数值解的拟合程度增加。这是由于Femandez公式适用于无限补给条件下衬砌水压力的求解,不考虑水头损失,故计算值最大；解析解中等效地下水位是隧洞整体渗流场的综合体现,其值位于降落地下水位与初始地下水位之间,处于合理取值区间。

图 11 不同计算方法下隧洞中心右侧水平向与顶拱垂向的水压力分布曲线

Figure 11. Distribution of pore water pressure along horizontal and vertical directions of tunnel by different methods

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为了研究疏干条件下衬砌外水压力 $p_{l}$ 与远端孔隙水压力 $p_{h}$ 之间的变化关系,绘制出衬砌外水压力的折减系数（ $β = p_{l} / p_{h}$ ）与相对渗透性的关系曲线,见图12。可以看出：围岩与衬砌相对渗透性越大,衬砌水压力的折减系数越大,其中隧洞r=5 m, $k_{m} / k_{l}$ 由1增加至10000时, $β$ 由0.05增加至0.998；当相对渗透性 $k_{m} / k_{l}$ 和衬砌厚度一定时,折减系数随隧洞半径的增大而减小,以 $k_{m} / k_{l}$ =100为例, $β$ 由0.915（r=2.5 m）递减至0.691（r=10.0 m）。

图 12 折减系数与相对渗透性之间的关系曲线

Figure 12. Relationship between discount coefficient and k_m/k_l

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3.3 结果验证

为验证半解析公式的正确性,将半解析公式、数值解与解析公式（Goodman公式、苏凯公式、EI Tani公式等）三者计算结果相互对比,以r=5 m为例,不同计算方法下隧洞涌水量结果对比见图13。

图 13 不同计算方法隧洞涌水量结果对比

Figure 13. Comparison of water inflows into tunnel by different methods

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可以看出：隧洞涌水量随初始地下水位h的增大均逐渐增大,图13（a）中疏干隧洞Goodman公式计算结果最大,苏凯公式次之,EI Tani公式最小,而数值解与解析解处于苏凯公式与EI Tani公式之间,且两者拟合程度较高。这是由于,Goodman公式不考虑地下水位下降,因此计算结果值最大；苏凯公式与EI Tani公式均考虑到地下水位的下降,但苏凯公式仅仅假定隧洞周围渗流场处于似稳定状态,且其隧洞边界条件设为零孔隙水压力边界,造成计算结果相比较实际稳定状态偏大；而EI Tani公式在推导过程中仅考虑到单侧定水头补给,造成其计算值相对偏小。图13（b）中衬砌隧洞Femandez公式计算结果相对较大,而解析解与数值解两者结果略小,且围岩与衬砌相对渗透性越大,三者越接近。因此,经过与传统解析公式和数值解的对比,提出的解析公式更加真实刻画了隧洞渗流场特征,计算结果也更合理与准确。

4. 结论

针对浅埋、深埋及衬砌隧洞分别进行解析分析,引入关键参数（影响距离d、等效地下水位 $h^{'}$ 及衬砌等效地下水位 ${h^{'}}_{l}$ ）来表征渗流场,利用数值计算确定关键参数,给出了更切合实际的隧洞涌水量计算的半解析公式,同时探究了孔隙水压力的分布规律,得出以下结论：

（1）疏干条件下隧洞涌水量取决于隧洞半径、初始地下水位高度及围岩与衬砌相对渗透性。未衬砌隧洞涌水量随隧洞半径与初始地下水位高度之比的增大而逐渐减少；衬砌圈的存在显著改变了隧洞涌水量和孔隙水压力的分布规律,围岩与衬砌相对渗透性是决定涌水量大小的主要因素。

（2）浅埋隧洞d/D值介于0.1～0.4之间,关于呈线性分布；深埋隧洞 ${h^{'}}_{l} / h^{'}$ 值介于0.3～1.0之间,关于r/h呈线性分布；衬砌隧洞 ${h^{'}}_{l} / h^{'}$ 值介于0.7～1.0之间,与围岩与衬砌相对渗透性成正比,隧洞半径成反比,且关于r/h呈幂函数分布。

（3）利用数值计算结果和回归拟合方法,确定关键参数（影响距离d,等效地下水位 $h^{'}$ 及衬砌等效地下水位 ${h^{'}}_{l}$ ）的计算公式,提出了计算浅埋、深埋及衬砌隧洞涌水量的半解析公式,计算结果与数值解吻合较好。

（4）等效地下水位是隧洞整体渗流场的综合体现,其值位于降落地下水位与初始地下水位之间,且随着围岩与衬砌相对渗透性增大,孔压解析解与数值解的拟合程度逐渐提高。最后,将提出的解析公式、数值解与传统解析公式三者相互对比,验证了解析公式的合理性与可行性。

图 1 膨胀土和粉质黏土级配曲线

Figure 1. Particle size distribution curves of expansive soil and silty clay soil

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图 2 膨胀土冻胀试验系统

Figure 2. Frost-heave test system of expansive soils

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图 3 膨胀土和粉质黏土试样冻胀量时程

Figure 3. Time histories of frost heave amount of expansive clay and silty clay samples

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图 4 不同初始含水率膨胀土试样冻胀量时程

Figure 4. Time histories of frost-heave amount of expansive clay samples with different initial mass water contents

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图 5 非饱和膨胀土(左)和粉质黏土(右)的冷生构造(Luo等，2018)^[6]

Figure 5. Cryostructures of unsaturated expansive clay (left) and silty clay (right) (Luo et al., 2018)^[6]

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图 6 膨胀土不同冻胀阶段的孔隙环境

Figure 6. Pore environment of expansive soils at different stages of frost heave

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图 7 开放系统非饱和膨胀土冻胀与膨胀收缩机制^[19]

Figure 7. Frost heave and swelling-shrinkage mechanism of unsaturated expansive clay in open system^[19]

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图 8 四相多孔介质的平均体积单元(AVE)与各相的体积分数

Average volume element (AVE) ${\text{d}}\mathit{\Omega}$ of a porous medium consisting of four constituents and their volume fraction

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图 9 一维有限差分计算模型的时空网格点

Figure 9. Spatial and temporal grid points of one-dimensional finite difference model

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图 10 延吉膨胀土试样断面总质量含水率

Figure 10. Total mass water contents of Yanji expansive soil sample profile

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图 11 延吉膨胀土冻胀和膨胀变形的解耦

Figure 11. Decoupled frost heave and swelling deformation of Yanji expansive soil

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表 1 土样物理性质指标

Table 1 Physical properties of test soils

指标	最大干密度 ${\rho _{{\text{d, max}}}}$ /(kg·m^-3)	相对质量密度 ${G_{\text{s}}}$	液限 ${w_{\text{L}}}$ /%	塑限 ${w_{\text{P}}}$ /%	自由膨胀率 ${F_{\text{S}}}$ /%
膨胀土	1660	2.63	53.4	38.4	60
粉质黏土	1910	2.75	29.8	18.2	0

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表 2 单向冻胀试验工况

Table 2 One-dimensional frost-heave test conditions of soils

工况	初始质量含水率/%	暖端温度/℃	冷端温度/℃
E1	21	1.8	-5
E2	27	1.8	-5
S1	21	1.8	-5

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表 3 水热控制方程系数和变量

Table 3 Coefficients and variables of hydraulic and thermal control equations

系数	U	D₁	D₂	D₃
水分场	h	$\frac{{\partial {\theta _{\text{u}}}}}{{\partial h}}$	$I \cdot {K_{\text{H}}}$	0
温度场	T	$C_{\text{m}}^{\text{v}}$	$\lambda$	$- {C^{{\text{vw}}}}{v^{\text{w}}}$

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表 4 膨胀土冻胀数值计算的物理参数

Table 4 Physical parameters of frost heave of expansive clay

ρ^s/(g·cm^-3)	ρ^w/(g·cm^-3)	ρⁱ/(g·cm^-3)	λ^s/(cal·cm·h·℃^-1)	λ^w/(cal·cm·h·℃^-1)	λⁱ/(cal·cm·h·℃^-1)	C^vs/(cal·cm·h·℃^-1)	C^vw/(cal·cm³·℃^-1)	C^vi/(cal·cm³·℃^-1)	L_f /(cal·g^-1)	a
2.63	1	0.917	13.26	4.82	19.26	0.1	1	0.55	80	7.598

m	n	θ_r	θ_s	K_s/(cm·h^-1)	n₀	T_f/℃	A	E/(kJ·mol^-1)	n	G/(m·s^-2)
3.016	0.2542	0.247	0.495	0.3	0.495	-0.8	1.21012	59.0	3.0	9.8

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参考文献(25)

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0. 引言
1. 解析分析
1.1 浅埋隧洞
1.2 深埋隧洞
1.3 衬砌隧洞
2. 数值模拟研究
2.1 计算方法与数值模型
2.2 隧洞涌水量
2.3 孔隙水压力分布
3. 讨论与验证
3.1 涌水量解析公式
3.2 孔压分布
3.3 结果验证
4. 结论

季节冻土区非饱和膨胀土水–热–变形耦合冻胀模型 English Version

通讯作者: 罗军, E-mail: luojun@imech.ac.cn

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出版历程

Coupled hydro-thermo-deformation frost heave model for unsaturated expansive soils in seasonally frozen soil regions

0. 引言

1. 解析分析

1.1 浅埋隧洞

1.2 深埋隧洞

1.3 衬砌隧洞

2. 数值模拟研究

2.1 计算方法与数值模型

2.2 隧洞涌水量

2.3 孔隙水压力分布

3. 讨论与验证

3.1 涌水量解析公式

3.2 孔压分布

3.3 结果验证

4. 结论

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出版历程

目录

0. 引言

1. 解析分析

1.1 浅埋隧洞

1.2 深埋隧洞

1.3 衬砌隧洞

2. 数值模拟研究

2.1 计算方法与数值模型

2.2 隧洞涌水量

2.3 孔隙水压力分布

3. 讨论与验证

3.1 涌水量解析公式

3.2 孔压分布

3.3 结果验证

4. 结论

通讯作者:
罗军, E-mail: luojun@imech.ac.cn