Research and development of guarantee technologies and equipments for dangerous situation disposal and utilization of barrier dams
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摘要: 为保障人民生命财产安全和国家社会经济安全可持续发展,应对自然灾害时趋利避害,在减少灾害损失的同时最大程度地利用自然界的无穷力量为人民造福,是国家和行业发展要求的重大趋势。“十三五”国家重点研发计划项目“堰塞坝险情处置与开发利用保障技术与装备研发”针对重大科技问题挑战,从机理揭示和基础理论及应用基础研究、应用技术与装备研发、技术集成与应用示范多层次开展研究工作,在堰塞坝险情演化过程、长期工作性态演变机理、开发利用理论与综合整治技术等方面形成了具有新时期行业特色的创新成果,能够为堰塞坝险情处置、开发利用工程建设和长期安全运行提供重要理论依据和先进技术保障,确保堰塞坝开发利用工程充分发挥消除洪水灾害隐患、改善当地供水与灌溉条件、除害兴利等作用功效,社会经济效益显著。Abstract: In order to ensure the safety of people's lives and properties and the sustainable development of the national social and economic security in China, it is a major trend required by the development of the country and industry to seek advantages and avoid disadvantages when dealing with natural disasters, and to maximize the use of the infinite power of nature to benefit the people while reducing disaster losses. The National Key R & D Program of China "Research and development of guarantee technologies and equipments for dangerous situation disposal and utilization of barrier dams" aims at the challenges of the major scientific and technological problems, and multiple levels of work are carried out in this research program, such as mechanism disclosure, basic theory, equipment development, technology integration, application studies and application demonstration. The innovative achievements with industrial characteristics in the new era have been made in terms of the evolution process of dangerous situations of barrier dams, the evolution mechanism of long-term working behaviors, the development and utilization theory and the comprehensive treatment technologies. The important theoretical basis and advanced technical support can be provided for the disposal of barrier dam hazards, the construction of development and utilization projects and the long-term safe operation. The research achievements ensure that the development and utilization of the barrier dams can fully play the role of eliminating dangers of flood control disasters in the upstream and downstream of the barrier lakes, improving the local water supply and irrigation conditions, eliminating harm and promoting profits, with significant social and economic benefits.
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0. 引言
经典塑性力学中的下限定理由Drucker等[1]于1951提出,下限定理认为,对理想刚塑性材料,任意一个静力许可应力场都构成极限荷载的一个下限解。陈惠发[2]在其1969年出版的专著《极限分析与土体塑性》中,阐述了极限分析方法在土工问题中的应用。1970年,Lysmer[3]基于有限单元法的基本思想和Mohr-Coulomb屈服准则的线性化,建立了利用下限定理求解稳定性问题的线性规划模型。Sloan[4]于1988年基于最速下降主动集法,对地基承载力问题进行了求解,获得了稳定性问题的解答。
下限定理为岩土工程中的稳定性问题提供了一种特别有用的分析方法,它避开了复杂的弹塑性分析过程,同样获得了问题的解,吸引了众多研究人员的兴趣[5-8],在边坡[9-11]、地下洞室[12-14]、基础[15-17]等各类岩土问题中得到了广泛应用。
在工程实践中,通常首先需要知道岩土工程的稳定性,当岩土工程的稳定性不满足要求时,需要对其进行加固处理,此时还需要知道临界滑动面的形状与位置,因此,临界滑动面的确定对岩土工程有着重要意义。目前对于临界滑动面的研究多采用上限法,基于下限定理或下限模型的临界滑动面理论与数值方法目前尚未见到。
本文在下限模型的基础上,提出了基于下限模型的临界滑动面理论,给出了基于下限模型的临界滑动面数值解法;并以黏性土体直立边坡的临界高度问题为例,验证了基于下限模型的临界滑动面数值解法的适用性。
1. 下限定理与下限模型
1.1 应力场、平衡方程、应力边界条件与屈服准则
(1)应力场
在研究对象所在区域内,应力场可表示为
σx=σx(x,y,z),σy=σy(x,y,z),σz=σz(x,y,z),τyz=τyz(x,y,z),τzx=τzx(x,y,z),τxy=τxy(x,y,z)。} (1) 将应力场(σx,σy,σz,τyz,τzx,τxy)简记为σ。
(2)平衡方程
静力平衡微分方程为
∂σx∂x+∂τyx∂y+∂τzx∂z=Fx,∂τxy∂x+∂σy∂y+∂τzy∂z=Fy,∂τxz∂x+∂τyz∂y+∂σz∂z=Fz。} (2) 将静力平衡微分方程简记为
E(σ)=F 。 (3) (3)应力边界条件
在应力边界Sσ上,设边界法方向为(l,m,n),在每一点给定了分布的表面力ˉTx, ˉTy 与 ˉTz,应力边界条件可写为
σxl+τyxm+τzxn=ˉTx,τxyl+σym+τzyn=ˉTy,τxzl+τyzm+σzn=ˉTz。} (4) 将应力边界条件简记为
S(σ)=T 。 (5) (4)屈服准则
屈服准则以应力形式表达,一般地可写为
M(σ)⩽0。 (6) 1.2 下限定理
下限定理可表述为:任何一个静力许可应力场都构成极限荷载的一个下限解。
静力许可应力场是指同时满足如下条件的应力场:①平衡方程;②应力边界条件;③屈服准则约束。
1.3 下限模型
与下限定理相应的数学模型简称为下限模型。下限模型可写为
max (7) 式中: \sigma 为应力场,自变量; Q(\sigma ) 为目标函数; E(\sigma ) = F 为平衡方程; S(\sigma ) = T 为应力边界条件; M(\sigma ) \leqslant 0 为屈服准则。
下限模型是以应力场为变量,以下限荷载为目标函数,以平衡方程、应力边界条件和屈服准则为约束的最优化模型。
1.4 下限模型特性
下限模型是一个最优化模型,具有最优化模型的一般特性。
满足最优化模型全部约束条件的解称为可行解。目标函数的最大值称为最优值;使得目标函数取得最优值的可行解,称为最优解。对某一确定的最优化模型,可行解可能存在,也可能不存在。如果可行解不存在,则最优值也就不存在;如果可行解存在,最优值可能存在(为有限值),也可能不存在(为无限大)。如果最优值存在,则最优解必然存在。最优值只有一个,最优解可能为有限个,也可能为无限多个。
2. 基于下限模型的临界滑动面理论
下限模型的每一个可行解,都对应着一个静力许可应力场。下限模型目标函数的最优值即为极限荷载。下限模型的每一个最优解,都对应着极限荷载作用下的一个静力许可应力场。为论述方便,称极限荷载作用下的静力许可应力场为极限许可应力场。也即下限模型的每一个最优解,都对应着一个极限许可应力场。
对某一确定的下限模型,静力许可应力场可能存在,也可能不存在。如果静力许可应力场不存在,则下限模型所描述的岩土问题是不稳定的,此时极限荷载也就不存在;如果静力许可应力场存在,则下限模型所描述的岩土问题是稳定的,此时极限荷载可能存在(为有限值),也可能不存在(为无限大)。如果极限荷载存在,则极限许可应力场必然存在。极限荷载只有一个,极限许可应力场可能为有限个,也可能为无限多个。
在某一给定的极限许可应力场中,对某一点的应力而言,该点应力要么处于屈服状态,要么处于非屈服状态,二者必居其一。如果某一点的应力在任一极限许可应力场中均处于屈服状态,则称该点为下限塑性点。全部的下限塑性点的集合称为下限塑性区。下限塑性区即为下限模型的临界滑动面。
下限塑性点的直观物理意义就是在极限荷载作用下不得不屈服的点;下限塑性区的直观物理意义就是在极限荷载作用下不得不屈服的区域。对二维平面问题,临界滑动面可能是一条二维曲线,也可能是一个二维区域;对三维问题,临界滑动面可能是一个三维曲面,也可能是一个三维区域。由于屈服准则的外凸性,下限塑性区内的应力分布具有唯一性,非下限塑性区内的应力分布不具有唯一性。
3. 基于下限模型的临界滑动面数值解法
由于实际问题的复杂性,一般很难获得下限模型的解析解,工程中可考虑采用数值解法。以平面应变问题例,采用四边形单元进行网格划分,以全部的节点应力为自变量,并对目标函数、平衡方程、应力边界条件和屈服准则进行线性化处理,可得到一个线性化的下限模型(称之为下限线性规划模型),通过对下限线性规划模型的求解,可获得相应问题的极限荷载及临界滑动面,具体如下。
3.1 网格划分
对平面应变问题,采用四边形单元进行网格划分。设网格共有N个节点,M个单元。
3.2 自变量
以全部节点的应力分量为自变量,记为{\sigma _n}。因网格共有N个节点,故{\sigma _n}为一个3N维列向量。
3.3 目标函数
采用线性化的目标函数,可一般地记为
C{\sigma _n}。 (8) 式中:C为目标向量。
3.4 平衡方程
单元在体力与周边应力作用下,在x方向和y方向上应分别保持平衡。设单元周边应力为直线分布,单元边界上x方向的应力分布如图 1所示,单元边界上y方向的应力分布如图 2所示,则单元在x方向与y方向上的平衡方程可写为
[{A^{\text{e}}}][{\sigma ^{\text{e}}}] = [{b^{\text{e}}}] 。 (9) 式中:
[{A}^{\text{e}}]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}{\eta }_{1}& 0& {\zeta }_{1}\end{array}& \begin{array}{ccc}{\eta }_{2}& 0& {\zeta }_{2}\end{array}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}{\eta }_{3}& 0& {\zeta }_{3}\end{array}& \begin{array}{ccc}{\eta }_{4}& 0& {\zeta }_{4}\end{array}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}0& {\zeta }_{1}& {\eta }_{1}\end{array}& \begin{array}{ccc}0& {\zeta }_{2}& {\eta }_{2}\end{array}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}0& {\zeta }_{3}& {\eta }_{3}\end{array}& \begin{array}{ccc}0& {\zeta }_{4}& {\eta }_{4}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\right]\text{;} \\ \left[{\sigma }^{\text{e}}\right]={\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}{\sigma }_{x1}& {\sigma }_{y1}& {\tau }_{xy1}\end{array}& \begin{array}{ccc}{\sigma }_{x2}& {\sigma }_{y2}& {\tau }_{xy2}\end{array}\end{array}& \begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}{\sigma }_{x3}& {\sigma }_{y3}& {\tau }_{xy3}\end{array}& \begin{array}{ccc}{\sigma }_{x4}& {\sigma }_{y4}& {\tau }_{xy4}\end{array}\end{array}\end{array}\right]}^{\text{T}}\text{;} \\ [{b^{\text{e}}}] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{g_x}}&{A{g_y}} \end{array}} \right]^{\text{T}}}\text{;} {\eta }_{1}=\frac{1}{2}({y}_{2}-{y}_{4})\text{;}{\eta }_{2}=\frac{1}{2}({y}_{3}-{y}_{1}) \text{;}\\ {\eta }_{3}=\frac{1}{2}({y}_{4}-{y}_{2})\text{;}{\eta }_{4}=\frac{1}{2}({y}_{1}-{y}_{3}) \text{;} {\zeta _1} = \frac{1}{2}({x_4} - {x_2});{\zeta _2} = \frac{1}{2}({x_1} - {x_3})\text{;}\\{\zeta _3} = \frac{1}{2}({x_2} - {x_4});{\zeta _4} = \frac{1}{2}({x_3} - {x_1})。 式中:A为单元面积;{g_x}与{g_y}分别为x方向与y方向的重力加速度;({x_1},{y_1})…({x_4},{y_4})为单元4个节点的坐标;({\sigma _{x1}},{\sigma _{y1}},{\tau _{xy1}})… ({\sigma _{x4}},{\sigma _{y4}},{\tau _{xy4}}) 元为单元4个节点的应力分量。
对全部单元平衡方程集成,可得到如下形式的总平衡方程:
{A_1}{\sigma _n} = {b_1}。 (10) 3.5 应力边界条件
应力边界条件实质上为施加在应力上的等式约束。采用线性化的应力边界条件,可一般地记为
{A_2}{\sigma _n} = {b_2}。 (11) 3.6 屈服准则
对Mohr-Coulomb屈服准则,采用线性化近似,式(6)可写为[4]
{A}_{k}{\sigma }_{x}+{B}_{k}{\sigma }_{y}+{C}_{k}{\tau }_{xy}\le D\text{ }。 (12) 式中: {A}_{k}=\mathrm{cos}(2\text{π}k\text{/}p)+\mathrm{sin}φ \mathrm{cos}(\text{π/}p);{B}_{k}=\mathrm{sin}φ \mathrm{cos}(\text{π/}p)- \mathrm{cos}(2\text{π}k\text{/}p);{C}_{k}=2\mathrm{sin}(2\text{π}k\text{/}p);D=2c\mathrm{cos}φ \mathrm{cos}(\text{π/}p);k= 1,2,…,p,p为内接多边形的边数;c为黏聚力;φ为内摩擦角。
所有的节点应力均应满足屈服准则。将所有的线性化后的节点应力屈服准则约束集成,即可得到线性化的屈服准则约束,可一般地记为
{A_3}{\sigma _n} \leqslant {b_3}。 (13) 3.7 下限线性规划模型
综合目标函数式(8)、平衡方程式(10)、应力边界条件式(11)及屈服准则式(13),下限线性规划模型可一般地写为
\left.\begin{array}{ccc} \max & C^{\mathrm{T}} \sigma_n, \\ \text { st. } & A_1 \sigma_n=b_1 & , \\ & A_2 \sigma_n=b_2 & , \\ & A_3 \sigma_n \leqslant b_3 & 0 \end{array}\right\} (14) 式中:{\sigma _n}为节点应力;C为目标向量;{A_1}{\sigma _n} = {b_1}为离散后的线性化平衡方程;{A_2}{\sigma _n} = {b_2}为离散后的线性化应力边界条件;{A_3}{\sigma _n} \leqslant {b_3}为离散后的线性化节点屈服准则约束。
3.8 数值求解方法
模型式(14)为带有等式与不等式约束的线性规划模型,其目标函数的最大值即为极限荷载。对下限线性规划模型的任一最优解,如果某一不等式约束均处于等式状态,称该约束为主动约束,称该约束所在的节点为下限塑性节点。全部下限塑性节点的集合构成下限模型的临界滑动面。据此,求解下限模型的临界滑动面问题就转化为求解线性规划模型的主动约束问题。关于线性规划模型最优值及主动约束的求解,可参见相关线性规划相关内容[18-19],本文不再做详细论述。
4. 临界滑动面算例
以黏性土体直立边坡的临界高度问题为例,对本文所提出的临界滑动面理论与数值解法进行简单验证。
设土体重度\gamma = 18 kN/m3,黏聚力c=20 kPa,内摩擦角\varphi = 15°。设土体竖直方向高度为h,水平方向宽度b=h;竖直方向与水平方向均划分为15个单元,如图 3所示,共计有256个节点,225个单元。其中左侧边界AD上节点的切应力与x向正应力为零,上侧边界AB上节点的切应力与y向正应力为零;采用Mohr-Coulomb屈服准则。
目标向量给定为零,也即只要下限模型存在可行解,边坡就是稳定的,否则是不稳定的。根据本文中所述方法,建立黏性土体直立边坡临界高度问题的线性规划下限模型。
数值求解时,先通过试算法求解直立边坡的临界高度。即先假定一个竖直高度,如果求解发现下限模型的可行解不存在,则减小假定的竖直高度;如果求解发现下限模型的可行解存在,则增加假定的竖直高度,直至高度范围小于给定的精度为止,这样就获得了黏性直立边坡的临界高度。在获得临界高度后,进一步求解下限模型的全部下限塑性节点。
根据卡尔曼公式[2],其临界高度hcr1为5.79 m。采用本文所述方法,黏性土体直立边坡的临界高度hcr2为5.36 m,全部下限塑性节点(Plastic node)分布如图 3所示。卡尔曼公式假定临界滑动面为直线(Linear sliding)。根据本文提出的临界滑动面理论,全部塑性节点构成临界滑动面。由图 3中的塑性节点分布可以看出,其临界滑动面总体上呈曲线分布。
5. 结语
在理论研究与工程实践中,下限定理通常用来求解极限荷载,临界滑动面通常通过上限法来求解。本文的研究表明,基于下限模型不但可以求解极限荷载,也可以求解临界滑动面。
在建立起线性规划下限模型后,极限荷载的求解可借助成熟的商业软件进行。与临界滑动面求解相对应的是线性规划模型主动约束的求解,目前的商业软件并不直接提供主动约束求解这一功能,需要编程完成。主动约束求解的标准化与模块化应是下一步需要解决的问题。
本文只是初步提出了基于下限模型求解临界滑动面理论和数值解法,更多的理论研究需要进一步的深入,更多的实践验证还有待开展。
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表 1 课题设置情况表
Table 1 Arrangement of tasks
序号 名称 承担单位 负责人 1 堰塞坝病险情辨别与探测技术 河海大学 王环玲 2 堰塞坝空间结构识别及材料参数空间变异特性与试验技术 中国水利水电科学研究院 赵春 3 堰塞坝长期工作性态演变机理与一体化分析方法 清华大学 张嘎 4 堰塞坝改良加固专用技术与装备研发 中国水电基础局有限公司 肖恩尚 5 堰塞坝开发利用理论与安全评价体系 南京水利科学研究院 何宁 6 堰塞坝综合整治技术及工程应用示范 中国电建集团昆明勘测设计研究院有限公司 张宗亮 -
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