基于分数阶黏弹性地基模型的群桩时效行为研究

艾智勇; 叶梓坤; 刘文杰

doi:10.11779/CJGE202204018

基于分数阶黏弹性地基模型的群桩时效行为研究 English Version

艾智勇^{1, 2,},
叶梓坤^{1, 2},
刘文杰^{1, 2}

1.
同济大学地下建筑与工程系, 上海 200092
2.
岩土及地下工程教育部重点实验室, 上海 200092

基金项目:

国家自然科学基金项目 41672275

国家自然科学基金项目 50578121

详细信息

作者简介:
艾智勇(1966—)，男，博士，教授，博士生导师，主要从事岩土及地下工程方面的教学与研究工作。E-mail：zhiyongai@tongji.edu.cn

中图分类号: TU431
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出版历程
- 收稿日期: 2021-01-05
- 网络出版日期: 2022-09-22
- 刊出日期: 2022-03-31

Time-behavior of pile groups based on fractional derivative soil model

AI Zhi-yong^{1, 2,},
YE Zi-kun^{1, 2},
LIU Wen-jie^{1, 2}

1.
Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China
2.
Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering, Ministry of Education, Shanghai 200092, China

摘要

摘要: 基于有限单元法，将群桩划分为有限个2节点单元，从而构建了竖向受荷群桩的有限元求解方程；为了模拟饱和软黏土的流变特性，通过Laplace变换，推导了分数阶导数Merchant模型中的应力–应变关系；引入弹性-黏弹性对应原理，得到横观各向同性分数阶黏弹性饱和软土地基的边界元解答；考虑桩-土界面处的位移协调，将群桩有限元求解方程和地基边界元解答进行耦合，推导出群桩-土相互作用方程；再根据群桩承台的位移协调条件，求解得到群桩基础状态量的时变解答；基于以上理论，设计了数值算例，以验证方法的正确性，并分析了分数阶次对群桩时效行为的影响。
- 分数阶导数 /
- 黏弹性 /
- 横观各向同性 /
- 多层饱和软土地基 /
- 轴向受荷群桩 /
- 边界元-有限元耦合法
Abstract: Based on the finite element method, the finite element equations for the vertically loaded pile groups are established by dividing the pile groups into a number of 2-node elements. To simulate the rheologic properties of saturated soft soils, the stress-strain relationship of the fractional Merchant model is derived by the Laplace transform. The elastic-viscoelastic correspondence principle is introduced to obtain the boundary element solutions for the fractional transversely isotropic viscoelastic saturated soft soils. In light of the displacement continuity of pile-soil interfaces, the governing equation for the interaction between the pile groups and the soils is derived by coupling the finite element equations for the pile groups and the boundary element ones for the soils. Later, the time behaviors of each state variable for the pile groups can be solved by introducing the displacement conditions of the pile cap. Based on the foregoing theory, numerical examples are griven to verify the rationality of the proposed method, and then the influences of fractional numbers on the time-dependent behaviors of the pile groups are discussed.
- fractional derivative /
- viscoelasticity /
- transverse isotropy /
- layered saturated soft soils /
- axially loaded piles /
- boundary element-finite element coupling method

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0. 引言

受1995年日本阪神大地震中大开地下结构遭到严重破坏的冲击，地下结构的抗震问题引起了广泛关注^[1-4]。地下结构在地震时遭受严重破坏的同时，也会导致电线断开等造成火灾等次生灾害。地下结构发生火灾时会造成巨大的破坏，因为其具有空间封闭、蔓延快、灭火难的特点，会造成大量人员伤亡，如2003年韩国大邱发生的地铁纵火事件造成198人死亡，146人受伤。

在国内外破坏性地震造成的次生火灾报道中，美国、日本等国家因为多以木造房屋作为民宅形式，极易受到地震次生火灾影响。如1906年美国旧金山8.3级地震中，80%的人员伤亡和建筑物损毁源自震后持续3 d的火灾^[5]；1923年日本东京7.9级地震造成了14万人丧生，约45万间房屋毁坏，其中由次生火灾造成的损失约占总损失的77%^[6]。通过大量的地上结构震害的报道和学者们的研究表明，地震次生火灾会加剧建筑结构的破坏，甚至导致建筑结构的倒塌^[7]，给人民群众带来财产和经济损失。

国内外对于地震次生火灾的研究多针对地表结构，Bursi等^[8]和Wen等^[9]分别评估了几何损伤和地震荷载结束时，剥落对钢-混凝土组合梁柱节点、混凝土柱对地震次生火灾的抵抗能力；Arablouei等^[10]通过数值模拟研究了地震期间防火层对结构构件防火性能的影响，发现在柱附近的梁中形成的铰链区域会导致严重的防火层分层现象；苗吉军等^[11]研究震后火灾环境下混凝土结构的反应，认为框架结构的高温变形恢复能力变差，梁截面承载力下降幅度比柱截面大。对于地下结构，李文婷等^[12]通过数值模拟，研究了地下结构结构在地震及次生火灾中的变形、损伤及内力变化，讨论了地下结构地震损伤对车站抗火性的影响；陈阳等^[13]研究了火灾后CFRP材料加固下地下结构结构的抗震性能，发现CFRP加固材料可有效提升结构的刚度，降低侧墙的水平向位移峰值，提升整体抗震性能。

随着中国对于地下空间的开发利用，国内各大城市正加快地铁等地下设施的建设，然而，目前国内外多以结构在地震或火灾单一灾害下的性能研究为主，但对于地震及震后火灾等序列灾害下的研究较少。因此，为了弥补现有研究的不足，本文以两层三跨地下结构结构为对象，采用数值分析的方法初步探讨地下结构结构在地震及震后火灾序列灾害作用下的动力响应规律，为地下结构在序列灾害作用下的设计方法和计算理论提供支撑。。

1. 数值分析方法

1.1 地铁地下车站及场地参数

采用常见的两层三跨钢筋混凝土地铁地下车站为研究对象，其横断面尺寸及主要配筋情况如图 1所示。该地铁地下车站宽度为21.2 m，高度为12.5 m，顶板厚度为0.7 m，中板厚度为0.35 m，底板厚度为0.8 m，侧墙厚度为0.8 m，中柱采用直径为0.8 m的圆柱，其纵向间距为9.12 m。中柱与顶、底及中板的连接处都设置了不同尺寸的纵梁，楼板与侧墙连接处进行了加掖处理。车站所在场地共计9层土，总厚度为80 m，各土层分布及详细参数见表 1，地下结构结构顶板上表面距地面3 m。

图 1 地铁地下车站结构横截面主要尺寸和配筋图

Figure 1. Main dimensions and distributed steels of cross section

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表 1 场地土层参数

Table 1. Site parameters

土层编号	土性	重度/(kN·cm^-3)	弹模/MPa	厚度/m	剪切波速/(m·s^-1)	动泊松比
1	素填土	19.4	15.3	3.0	200	0.49
2	黏土	19.4	15.3	4.0	200	0.49

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1.2 有限元分析模型

（1）地下结构地震模型建立

土体采用基于Davidenkov骨架曲线的等价线性化本构模型^[14]，混凝土采用塑性损伤本构模型^[15]描述其在受拉和受压破坏时混凝土的刚度衰减规律，车站结构混凝土强度为C30，其本构模型参数如表 2以及图 2所示。土体和车站结构采用四结点平面应变积分单元，混凝土中的钢筋采用植入杆单元进行模拟，不考虑钢筋与混凝土之间的滑移与分离现象，钢筋材料采用理想弹塑性模型，其初始弹性模量为210 GPa，密度为7800 kg/m³，泊松比为0.3。

表 2 C30混凝土材料参数

Table 2. Material parameters for concrete No. C30

材料参数	参数值	材料参数	参数值
弹性模量	E₀ =3.0×10⁴ MPa	极限受压屈服应力	σ_cu =20.1 MPa
泊松比	ν = 0.2	初始受拉屈服应力	σ_t0 =2.4 MPa
密度	ρ =2450 kg/m³	受压刚度恢复系数	ω_c =1.0
膨胀角	Ψ=36.31°	受拉刚度恢复系数	ω_c =0.0
初始受压屈服应力	σ_c0 =13 MPa	损伤因子	d_c，d_t（图 2）

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图 2 C30混凝土本构曲线

Figure 2. Constitutive curves of concrete No. 30

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在把三维地下结构结构等效为二维平面应变问题时，对车站中柱采用同刚度等效的方法确定弹性模量，即将圆形中柱等效为具有相同侧向抗弯刚度、厚度为0.8 m的连续墙，其等效侧向抗弯刚度E_eqI_eq可用下式表示：

${E}_{\text{eq}}{I}_{\text{eq}}={E}_{\text{c}}{I}_{\text{c}}/L\text{ }\text{，}$

(1)

式中， ${E_{\text{c}}}{I_{\text{c}}}$ 为中柱侧向抗弯刚度，L为地下结构中柱纵向间距。等效后中柱混凝土弹性模量为1.55×10³ MPa，中柱钢筋弹性模量为1.2×10⁶ MPa。

场地模型尺寸的深度取80 m，宽度取200 m（约为车站结构宽度的10倍），以尽可能消除边界效应对动力响应结果的影响。动力分析时，模型基岩面采用竖向约束，水平方向为地震动激励，模型两侧边界设置等高度节点捆绑约束实现土体的剪切运动^[16]。土体与车站结构之间的动力接触虑动力过程中的滑移与分离，法向接触采用“硬接触”，切向接触服从摩擦定律，本文摩擦系数取0.4。利用ABAQUS软件建立地铁地下车站二维有限元模型，其网格划分如图 3所示。

图 3 土−地铁车站相互作用体系有限单元划分

Figure 3. Finite elements of soil-underground structure

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（2）地下结构火灾模型建立

基于地震分析的结果对其进行重启动分析，以地震作用最后时刻的状态作为重启动分析的起始状态，采用热-力耦合分析模型，即先进行地下结构火灾温度场计算，再将节点温度计算结果带入有限元模型中分析其力学行为。在进行火灾温度场模拟时，在受火面的热量通过热对流和热辐射从外界吸收，再通过热传导将热量传递至混凝土结构内部。

在进行温度场计算时，钢筋和混凝土的导热系数、比热容和热膨胀等热工参数参考欧洲规范EC4^[17]，计算结果见表 3；钢筋和混凝土密度设为常数保持不变。在进行力学分析时，采用与温度相关的材料弹性模量、热膨胀系数和本构关系等参数，高温下的混凝土材料参数参考EC4的公式取值，热膨胀系数参考李国强等^[17]的公式取值，其中混凝土本构参数仍采用ABAQUS塑性损伤模型CDP，钢筋本构参数仍为理想弹塑性模型。混凝土在温度T时的抗压强度由下式计算：

${{f}^{\prime }}_{\text{c}}\approx 0.84{f}_{\mathrm{cu}}\text{ }\text{，}$

(2)

$\frac{{{f}^{\prime }}_{\text{c,T}}}{{{f}^{\prime }}_{\text{c}}}=\left\{ \begin{align} & 1.0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(20℃ \le T <\text{450℃)} \\ & 2.011-2.353\left( \frac{T-20}{1000} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;(450℃\le T\le \text{874℃)} \\ & 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (T>\text{874℃)} \\ \end{align} \right.$

(3)

表 3 混凝土及钢筋的热工参数

Table 3. Thermal parameters of concrete and steel bars

温度/℃	混凝土热工参数			钢筋热工参数
温度/℃	导热系数	比热容	热膨胀系数	导热系数	比热容	热膨胀系数
20	1.96	913	6.16×10^-6	53.3	440	1.2×10^-5
100	1.81	964	6.8×10^-6	50.7	489	1.22×10^-5
200	1.63	1022	7.6×10^-6	47.3	530	1.25×10^-5
300	1.47	1075	8.4×10^-6	44.0	565	1.27×10^-5
400	1.33	1122	9.2×10^-6	40.6	606	1.30×10^-5
500	1.21	1164	1.0×10^-5	37.3	667	1.32×10^-5
600	1.10	1200	1.08×10^-5	34.0	760	1.35×10^-5
700	1.01	1231	1.16×10^-5	30.7	991	1.37×10^-5
800	0.93	1256	1.24×10^-5	27.4	795	1.40×10^-5
900	0.87	1275	1.32×10^-5	27.3	650	1.42×10^-5
1000	0.83	1289	1.40×10^-5	27.3	650	1.45×10^-5

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式中 ${f'_{{\text{c,T}}}}$ ， ${f'_{\text{c}}}$ ， ${f_{\rm{cu} }}$ 分别为混凝土在高温下圆柱体抗压强度，常温下圆柱体抗压强度和轴心抗压强度。

1.3 荷载工况

在数值分析计算过程中，首先施加地震荷载，在地震动激励结束后使结构自由振动，直至恢复静止状态；以震后结构的受力状态、变形情况及材料损伤状态，对结构施加温度场，进行结构热力分析，模拟震后地铁车站在火灾中的灾变行为。

选取EL-Centro波作为基岩输入地震动，EL-Centro波为1940年美国Imperial山谷地震时记录的强震地震波，具有明显的中远场地震波特征，该地震波原始峰值加速度为0.349g，强震部分持续时间约为26 s。在基岩面水平方向输入上述地震动时，将其峰值加速度调整为0.4g，持续时间为30 s，地震动加速度时程如图 4（a）所示。火灾分析中，采用HC升温曲线，如图 4（b）所示，模拟地下结构底部3个空间同时着火场景。火灾发生前的环境温度为20℃，火灾持续时间1 h，最高温度为1079℃。

图 4 输入荷载曲线

Figure 4. Curves of input loads

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2. 计算结果分析

本文首先阐述了地下结构地震作用下的灾变行为，然后通过与只经历火灾的地铁车站进行对比，研究地震损伤对地铁车站抗火性能的影响。

2.1 结构地震响应分析

考虑到地铁地下车站结构一层的地震变形响应及损伤程度大于二层^[18]，因此本文选取侧墙、中柱、楼板等构件重点分析结构一层的变形情况。在地震作用下车站结构各构件的层间变形响应具有相同的变化趋势，且相同构件的变形响应时程基本一致，仅有微小差异，其峰值变形及震后残余变形列于表 4。侧墙、中柱、楼板的层间位移峰值分别约为34.8，40.1，37.6 mm，残余变形也均小于5.5 mm。需要注意的是，在整个地震响应过程中，结构左侧墙和右侧墙的变形响应出现明显波动，如图 5所示，且地震动结束后的残余变形相差近4倍。上述结果的主要原因是地下结构结构受到周围土体的约束作用，土体在地震作用下产生非线性变形，结构左右侧墙在与土体挤压、摩擦、分离过程中出现非一致变形。本文一层层间变形与文献[18]结果基本一致，验证了本文数值方法的合理性。

表 4 构件变形

Table 4. Deformations of components

构件	峰值变形/mm	残余变形/mm
左侧墙	33.77	5.44
右侧墙	35.85	1.14
楼板	39.92	3.75
左柱	37.93	4.03
右柱	37.30	5.35

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图 5 地震作用下地下结构侧墙层间变形响应时程

Figure 5. Time histories of inter-story drift of station wall under earthquake

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2.2 地震基础上的火灾计算

（1）地震次生火灾对于地铁车站整体影响

火灾发生后15，30，60 min时，地铁车站的整体变形及温度分布如图 6所示。可见，在火灾升温过程中，热量由车厢内表面向混凝土内部扩散，沿着混凝土构件的厚度方向温度成层装分布。在火灾作用下，结构左柱和右柱不再呈剪切变形，而是受温度影响膨胀凸起；一层结构侧墙仍为剪切变形，变形随温度升高而逐渐增大；一层中板挠度增大；一层底板由于柱子的约束导致不均匀变形，出现局部凸起现象。随着火灾温度的升高，结构柱、侧墙和中板受火面的温度变化曲线如图 7所示。由图 7可知，在火灾中各个构件升温速度先逐渐增大，在25 min后逐渐减缓，中板受火面升温最快，与侧墙受火面升温曲线较为接近，而柱的升温速度就相对较慢。

图 6 火灾中地下结构变形情况及温度变化云图（15, 30, 60min）

Figure 6. Structural deformations and heat distribution of station in fire (15, 30, 60 min)

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图 7 火灾中地下结构温度变化各部位最高温度变化曲线

Figure 7. Temperature curves of components in fire

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通过比较经历地震影响的结构与不经历地震影响的结构在火灾下的1楼层间位移反应时程，研究地震及其次生火灾对结构整体变形的影响，图 8给出考虑地震损伤与不考虑地震损伤时，火灾中结构层间位移反应时程。由图 8可知，在火灾发生之前，结构存在3.75 mm的地震残余位移；随着火灾的发生，结构层间位移经历了先减小后迅速增大的情况，火灾发生2 min后，经历过地震的结构层间位移为2.72 mm，而未经历过地震的结构层间位移为0.13 mm；13 min后，层间位移快速增大，至39 min后层间位移逐渐减小，火灾发生1 h后，考虑地震影响的结构层间位移为5.06 mm，不考虑地震影响的结构层间位移为4.41 mm。

图 8 火灾中结构层间位移时程

Figure 8. Time histories of structural inter-story drift in fire

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通过上述位移时程图可以发现，只考虑火灾影响的地铁车站与既有地震破坏又有火灾影响的地铁车站相比，地震次生火灾对地铁车站的层间位移增大了约0.65 mm，地震对于地铁车站的破坏加剧了火灾对于地铁车站的影响。

（2）地震次生火灾对于地铁车站中柱影响

柱子作为地下结构的主要支撑结构，是可能导致地铁车站倒塌的重要构件，在地震中会受到严重的破坏，因此需要对其经历地震后火灾的灾变行为进行分析研究，所以拿出一层左柱，比较其在火灾单独作用和经历地震影响后火灾作用的灾变行为。图 8给出了结构一层左柱在地震与次生火灾作用下，以及火灾单独作用下的柱顶与柱底相对位移时程。由图可知，在单独火灾影响下，结构左柱变形迅速增大，在590 s达到1.11 mm，随后，左柱变形保持平缓，在936 s时达到最大值1.2 mm，在到达最大值后，左柱变形反向增大，柱顶与柱底相对位移保持着一个缓慢下降的态势，在1772 s后反向变形迅速增大，且随时间线性变化1 h后残余变形为0.96 mm。当考虑结构经历地震影响后的火灾灾变行为时，可以发现，在火灾发生时一层左柱存在4.03 mm的地震残余变形；随着震后火灾的发生，左柱经历变形先增大后减小，再增大再减小的变化，与只经历火灾影响的地铁车站变形过程相似，其变形最大值在1784 s时达到4.4 mm。

通过上述数据的比较可以发现，地下结构在经历过地震损伤后，在火灾作用下其左柱的变形更大，震后火灾中地下结构左柱的柱顶与柱底相对位移较不考虑地震影响时明显增大。

3. 结论

本文通过对一个三跨两层地下结构的二维非线性数值模拟，讨论了地铁车站在地震以及地震次生火灾作用下的变形情况，阐述了地震与地震次生火灾对地铁车站的影响，得到以下3点结论。

（1）地震作用下地铁地下车站一层各构件的变形响应具有相同趋势，相同构件的变形响应具有一致性，而左右侧墙变形出现差异，其原因为车站结构变形周围土体的影响，土体在地震作用下产生的非线性变形导致结构左右侧墙的非一致变形。

（2）与地震破坏相比，地震及其次生火灾破坏会放大结构变形，车站中柱结构在火灾破坏下表现为两侧凸起的破坏形式。

（3）与仅受火灾时相比，地震及震后火灾作用下车站结构的增减位移被放大了14.8%，表明初始震损放大了火灾的破坏效应。

图 1 黏弹性本构模型

Figure 1. Viscoelastic constitutive model

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图 2 层状地基与群桩模型示意图

Figure 2. Diagram of layered soils and pile groups

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图 3 群桩承台受力变形示意图

Figure 3. Stresses and deformations of cap for pile group

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图 4 不同时刻下黏弹性地基中桩身轴力

Figure 4. Axial forces of each pile in viscoelastic soils

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图 5 承台竖向位移随时间的变化

Figure 5. Variation of vertical displacement of the pile cap with time

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图 6 群桩桩顶轴力分配随时间的变化

Figure 6. Variation of distribution of axial force at pile top with time

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图 7 超孔隙水压力沿中心桩轴线变化情况

Figure 7. Distribution of pore water pressure along axis of central pile

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表 1 不同时刻下刚性承台无量纲位移

Table 1 Non-dimensional displacements at different time

文献	${\tau _1} = 5.1 \times {10^{ - 3}}$	${\tau _2} = 5.1 \times {10^4}$
陆建飞等^[6]	0.0384	0.1737
本文	0.0402	0.1749

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表 2 多层黏弹性地基参数

Table 2 Parameters of layered viscoelastic soils

土层	${\zeta _E}$	${\zeta _G}$	${E_{{\text{0v}}i}}/{\text{MPa}}$	${E_{{\text{1v}}i}}/{\text{MPa}}$	${\eta _{1i}}/({\text{MPa}} \cdot {{\text{s}}^{ - 1}})$
1	2.0	0.40	10	8	2×10⁷
2	1.5	0.36	20	5	5×10⁷
3	1.7	0.38	25	5	1×10⁸

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