Characteristics and influencing factors for propagation of primary and secondary cracks in sandstone based on CT scan
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摘要: 为了研究岩石在压应力条件下主次裂纹的萌生及扩展规律，对砂岩在单轴压缩条件下的破裂过程进行CT扫描试验，分析了砂岩中主次裂纹的形貌特征；同时，定量探讨了砂岩在不同变形阶段主裂纹的表面积和体积以及次生裂纹的分形维数，并运用Image pro plus 6.0和Image J软件计算了砂岩在不同高度位置主次裂纹的长度和数量，研究了主次裂纹的扩展及其影响因素。研究结果表明，主导砂岩破裂的是萌生于砂岩表面两种不同方向的主裂纹，主裂纹表面积和体积的增长速率随着荷载水平的增加而不同。在主裂纹的周围产生了许多次生裂纹，次生裂纹的分形维数随着荷载水平的增加而非线性增加。不同荷载水平下，砂岩在不同高度位置的主次裂纹长度和数量变化各不相同。在砂岩破坏前，影响砂岩主次裂纹扩展的主要因素是主裂纹的长度，在砂岩破坏后，影响砂岩主次裂纹扩展的主要因素是次生裂纹的长度。该结论对未来岩石破坏失稳的预测分析奠定了理论基础。Abstract: In order to study the initiation and propagation of the primary and secondary cracks under compressive stress conditions, the CT tests are conducted on the fracture process of sandstone under uniaxial compression, and the morphological characteristics of the primary and secondary cracks in sandstone are analyzed. Meanwhile, the surface area and volume of the primary cracks and the fractal dimension of the secondary cracks are quantitatively discussed at different deformation stages of sandstone. The length and number of the primary and secondary cracks are calculated at different heights of sandstone using the software Image pro plus 6.0 and Image J to study the propagation and influencing factors of the primary and secondary cracks. The results show that the primary cracks initiate on the sandstone surface in two different directions, and the growth rates of the surface area and the volume of the primary cracks vary with the increase of the load level. Many secondary cracks are produced around the primary cracks. The fractal dimension of the secondary cracks increases nonlinearly with the increase of the load level. Under different load levels, the length and number of the primary and secondary cracks at different heights of sandstone vary. Before the failure of sandstone, the main factor affecting the propagation of the primary and secondary cracks is the length of the primary cracks. After the failure of sandstone, the main factor affecting the propagation of the primary and secondary cracks is the length of the secondary cracks. The conclusion lays a theoretical foundation for the prediction and analysis of rock failure and instability in the future.
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Keywords:
- CT scanning test /
- primary cracks /
- secondary crack /
- load level
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0. 引言
洞室开挖后根据围岩的应力与变形可以将其分为弹性区、塑性软化区、塑性残余区[1-2]，弹性区内围岩的应力值没有超过岩体极限承载力，计算时各参数可以取峰值；塑性软化区内的应力值超过岩体极限承载力，岩体参数发生劣化且承载能力与弹性区相比有所下降；塑性残余区内的围岩处于“流动状态”，计算其应力与变形时需采用参数残余值[3-4]。
文献[5~9]在考虑围岩应变软化及其它影响因素后推导了洞室围岩应力场及塑性区半径，发现洞室围岩应力分布、塑性区半径均与围岩应变软化密切相关，围岩的应变软化现象会使塑性区半径增大，同时维持洞室稳定所需要的支护阻力pi比不考虑应变软化时更大。
目前基于弹塑性理论与应变软化模型对洞室围岩稳定性及变形等方面的研究较为充足，但采用传统应变软化模型时只考虑了黏聚力与内摩擦角等强度参数的折减，忽略了弹性模量等刚度参数的折减[10-12]，这会导致计算得到的围岩变形量偏小，不符合实际。此外洞室开挖后多采用系统锚杆对围岩进行加固，系统锚杆可以控制围岩变形，提高围岩强度参数，增加洞室自身稳定性[13-15]，但即使锚固后的洞室围岩（以下简称“锚固围岩”）在重分布应力较大时也会进入塑性状态，当应变值较大时同样会进入塑性残余状态。目前考虑刚度与强度参数同时劣化的洞室锚固围岩弹塑性分析还鲜有涉及，因此本文基于D-P屈服准则，考虑刚度劣化、强度劣化、中间主应力等因素后建立了洞室锚固围岩的弹塑性解，并对相关影响因素进行具体分析，为指导工程设计施工提供依据。
1. 理论分析模型
1.1 深埋圆形洞室力学模型
洞室开挖时的假定条件如下：①围岩为各向同性均质围岩；②洞室埋深足够深，开挖断面为圆形，开挖半径为R0；③原岩应力场为P0；④锚杆长度L大于塑性区范围。力学模型如图 1所示，在锚杆支护状态下围岩分为4个区域，分别为普通弹性区（区域Ⅰ）、锚固弹性区（区域Ⅱ，半径为RL）、塑性软化区（区域Ⅲ，半径为Rp）、塑性残余区（区域Ⅳ，半径为Rb），存在如下关系：RL-R0=L，L为锚杆长度。
1.2 锚固围岩力学参数
在研究锚杆对围岩的加固作用时经常将锚杆加固后的岩体看成是等效复合岩体，借助参数等效原则通过引入锚杆密度因子[13]得到复合岩体刚度与强度参数[14-15]：
{E_{\text{s}}} = \frac{{{E_{\text{a}}}{\rm{ \mathsf{ π} }}r_{\text{b}}^{\text{2}} + {E_0}({s_{\text{l}}}{s_{\text{r}}} - {\rm{ \mathsf{ π} }}r_{\text{b}}^{\text{2}})}}{{{s_{\text{l}}}{s_{\text{r}}}}} \text{, } (1a) {\varphi _{\text{s}}} = \arcsin \left[ {\frac{{(1 + \sin {\varphi _0})\alpha + 2\sin {\varphi _0}}}{{(1 + \sin {\varphi _0})\alpha + 2}}} \right] \text{, } (1b) {c_{\text{s}}} = \frac{{c(1 + \alpha )(1 - \sin {\varphi _0})\cos {\varphi _{\text{a}}}}}{{(1 - \sin {\varphi _{\text{a}}})\cos {\varphi _0}}} 。 (1c) 式中：Es，Ea，E0分别为复合岩体、锚杆、围岩弹性模量；sl，sr分别为锚杆纵向、环向间距；rb为锚杆半径； \alpha 为锚杆密度因子，且 \alpha =[2πrbtan(φ/2)]/(slsr)；c，φ为围岩自身的黏聚力和内摩擦角。
1.3 D-P屈服准则与围岩劣化模型
Drucker-Prager屈服准则既考虑了中间主应力对屈服与破坏的影响，又考虑了静水压力的影响，已广泛应用于岩石力学中，其屈服函数为[16]
f\left({{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{1}\text{, }\sqrt{{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}_{2}}\right)=\sqrt{{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}_{2}}-\alpha {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{1}-k=0 。 (2) 式中： {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_1} 与 {{\mathit{\boldsymbol{J}}}_2} 分别为应力张量第一不变量和应力偏张量第二不变量（压应力为正、拉应力为负）， {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_1} = {\sigma _\theta } + {\sigma _z} + {\sigma _r} ； {{\mathit{\boldsymbol{J}}}_2} =[( {\sigma _\theta } - {\sigma _z} )2+( {\sigma _\theta } - {\sigma _r} )2+( {\sigma _z} - {\sigma _r} )2]/6。 \alpha 和k为D-P准则材料常数，与强度参数c，φ之间存在如下关系： \alpha =2sinφ/[30.5(3-sinφ)]；k=6ccosφ/[30.5(3-sinφ)]。引入中间主应力系数n来反映 {\sigma _2} 与最小主应力 {\sigma _3} 和最大主应力 {\sigma _1} 之间的关系，并令n=( {\sigma _2} - {\sigma _3} )/( {\sigma _1} - {\sigma _3} )，将n代入 {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_1} 与 {{\mathit{\boldsymbol{J}}}_2} 后，再代入式（2），可得到
f={\sigma }_{\theta }-\frac{N}{M}{\sigma }_{r}-\frac{k}{M}=0\text{ }。 (3) 式中：M=m- n\alpha - \alpha ；N=m-n \alpha + 2\alpha ；m=[(n2-n+1)/3]0.5。
如图 2所示，当围岩处于弹性阶段时，黏聚力c、内摩擦角φ、弹性模量E均可以取峰值，将c，φ代入D-P准则，得到材料常数 \alpha 和k后便可以得到弹性阶段的屈服准则表达式；当等效应变的累积值达到产生塑性变形时的临界值时围岩开始进入塑性软化阶段，此时黏聚力、内摩擦角、弹性模量均取软化值c'、φ'、E'，通过c'，φ'求得 \alpha ' ，k'后代入式（3）便可得到塑性软化阶段的屈服准则表达式；当围岩进入塑性残余阶段时，黏聚力、内摩擦角、弹性模量均取残余值c"、φ"、E"，通过c"、φ"求得 \alpha '' 、k"后代入式（3）便可得到塑性残余阶段的屈服准则表达式。
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图 2 岩体刚度和强度参数随塑性应变的变化规律Figure 2. Variation of stiffness and strength parameters of rock mass with plastic strain1.4 塑性围岩扩容规律
当塑性区内的锚固围岩等效应变小于 \varepsilon _{\text{b}}^{} εb时流动法则如式（4）所示，式中η1为扩容系数。假设岩石塑性变形服从非关联流动法则，令塑性势函数g等于屈服函数f，将f中的内摩擦角φ替换成剪胀角ψ即可得到g的表达式[16]：
\varepsilon _r^{\text{p}} + {\eta _1}\varepsilon _\theta ^{\text{p}} = 0 。 (4) 由塑性位势理论可知
\text{d}{\varepsilon }_{ij}^{\text{p}}=\text{d}\lambda \frac{\partial g}{\partial {{\boldsymbol{\sigma}} }_{ij}}\text{ }。 (5) 式中：g为塑性势函数； {\text{d}}\varepsilon _{ij}^{\text{p}} 为塑性应变增量； {\sigma _{ij}} 为应力张量； {\text{d}}\lambda 为与塑性势函数相关联的比例系数，0≤ {\text{d}}\lambda 。
根据式（5）有
\left. \begin{array}{l}\text{d}{\varepsilon }_{\theta }^{\text{p}}=\text{d}\lambda \frac{\partial {g}_{\text{p}}}{\partial {\sigma }_{\theta }}=\text{d}\lambda \text{ }\text{, }\\ \text{d}{\varepsilon }_{r}^{\text{p}}=\text{d}\lambda \frac{\partial {g}_{\text{p}}}{\partial {\sigma }_{r}}=-\text{d}\lambda \frac{{n}_{\psi }}{{m}_{\psi }}\text{ }。\end{array} \right\} (6) 式中： {m_\psi } =(9+3 \mu _\sigma ^{\text{2}} )0.5-3 {\alpha _\psi }\mu _\sigma ^{} -9 {\alpha _\psi } ； {n_\psi } =(9+3 \mu _\sigma ^{\text{2}} )0.5-3 {\alpha _\psi }\mu _\sigma ^{} +9 {\alpha _\psi } ； {\alpha _\psi } =sinΨ/[(9+sin2Ψ)0.5]。
定义扩容系数 {\eta _1} 为最小塑性主应变与最大塑性主应变之比，根据上面推导可以得到 {\eta _1} = {n_\psi } / {m_\psi } 。当塑性区内的部分锚固围岩等效应变大于 \varepsilon _{\text{b}}^{} 时，这部分锚固围岩便进入塑性残余状态，此时考虑扩容的流动法则为
\varepsilon _r^{\text{b}} + {\eta _2}\varepsilon _\theta ^{\text{b}} = 0 \text{, } (7) 式中， {\eta _2} 为塑性残余区的扩容系数，可令 {\eta _2} =1+μ，μ多介于0.3~0.5，因此 {\eta _2} 取1.3~1.5。
2. 洞室围岩弹塑性分析
2.1 基本方程
平衡微分方程（不计体力）为
\frac{\text{d}{\sigma }_{r}}{\text{d}r}+\frac{{\sigma }_{r}-{\sigma }_{\theta }}{r}=0\text{ }。 (8) 几何方程为
{\varepsilon _r} = \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}r}};{\varepsilon _\theta } = \frac{u}{r} 。 (9) 本构方程（平面应变）：
\left. \begin{array}{c}{\varepsilon }_{r}=\frac{1-{\nu }^{2}}{E}\left({\sigma }_{r}-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_{\theta }\right)\text{ }\text{, }\\ {\varepsilon }_{\theta }=\frac{1-{\nu }^{2}}{E}\left({\sigma }_{\theta }-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_{r}\right)\text{ }。\end{array} \right\} (10) 式中：u为径向位移；r为极径；E为弹性模量； \nu 为泊松比。
2.2 弹性区分析
根据拉梅应力计算公式以及弹性区边界条件：r→∞时， \sigma _r^{\text{e}} =P0；r=Rp时令 \sigma _r^{\text{e}} =σR，满足 \sigma _\theta ^{} + \sigma _r^{} =2P0，可得非锚固弹性区应力为
\left. \begin{array}{c}{\sigma }_{r}^{\text{e}}={P}_{0}+\frac{{P}_{0}\text{(}M-N\text{)}-k}{M+N}{\left(\frac{{R}_{\text{p}}}{r}\right)}^{2}\text{ }\text{, }\\ {\sigma }_{\theta }^{\text{e}}={P}_{0}-\frac{{P}_{0}(M-N)-k}{M+N}{\left(\frac{{R}_{\text{p}}}{r}\right)}^{2}\text{ }。\end{array} \right\} (11) 由式（11）可得非锚固区与锚固区（r=RL）处的应力表达式为
\left. \begin{array}{c}{\sigma }_{r}^{\text{e}}|{}_{r={R}_{\text{L}}}={P}_{0}+\frac{{P}_{0}(M-N)-k}{M+N}{\left(\frac{{R}_{\text{p}}}{{R}_{\text{L}}}\right)}^{2}\text{ }\text{, }\\ {\sigma }_{\theta }^{\text{e}}|{}_{r={R}_{\text{L}}}={P}_{0}-\frac{{P}_{0}(M-N)-k}{M+N}{\left(\frac{{R}_{p}}{{R}_{\text{L}}}\right)}^{2}\text{ }。\end{array} \right\} (12) 锚固弹性区围岩可以看成内外受径向应力的圆环，如图 3所示，p2为锚固区与非锚固区交界处（r=RL）的径向应力，p1为弹塑性交界面处（r=Rp）的径向应力，因此锚固围岩应力表达式可以写成[17]
\left. \begin{array}{c}{\sigma }_{r}^{\text{e}}=-\frac{A}{{r}^{2}}+C\text{ }\text{, }\\ {\sigma }_{\theta }^{\text{e}}=\frac{A}{{r}^{2}}+C\text{ }。\end{array} \right\} (13) 式中： A=\frac{\text{(}{\sigma }_{{R}_{\text{L}}}-{\sigma }_{{R}_{\text{p}}}\text{)}{R}_{\text{L}}^{2}\cdot {R}_{\text{p}}^{2}}{{R}_{\text{L}}^{2}-{R}_{\text{p}}^{2}}，C=\frac{{\sigma }_{{R}_{\text{L}}}{R}_{\text{L}}^{\text{2}}-{\sigma }_{{R}_{\text{p}}}{R}_{\text{p}}^{2}}{2\text{(}{R}_{\text{L}}^{2}-{R}_{\text{p}}^{2}\text{)}} 。
此处，求 {\sigma _{{R_{\text{L}}}}} 时采用的强度参数为非锚固围岩的强度参数，求 {\sigma _{{R_{\text{p}}}}} 时采用的强度参数为锚固围岩的强度参数。
根据本构方程，减去应力分量中的原岩应力成分后，由式（10），（13）可得锚固围岩弹性区应变分布为
\left. \begin{array}{l}{\varepsilon }_{r}^{\text{e}}=\frac{1+\nu }{E}\left[-\frac{A}{{r}^{2}}+(2C-{P}_{0})\cdot (1-2\nu )\right]\text{ }\text{, }\\ {\varepsilon }_{\theta }^{\text{e}}=\frac{1+\nu }{E}\left[\frac{A}{{r}^{2}}+(2C-{P}_{0})\cdot (1-2\nu )\right]\text{ }。\text{ }\end{array} \right\} (14) 根据几何方程及式（14）可以得到锚固弹性区内围岩的位移量为
u_r^{\text{e}} = \frac{{1 + \nu }}{E}\left[ {\frac{A}{r} + (2C - {P_0}) \cdot (1 - 2\nu )r} \right] 。 (15) 2.3 塑性区分析
（1）塑性软化区
当等效应变大于 \varepsilon _{}^{\text{p}} 且小于 \varepsilon _{}^{\text{b}} 时锚固围岩进入塑性软化阶段，此时塑性软化区内总应变为 \varepsilon _r^{} = {(\varepsilon _r^{\text{e}})_{r{\text{ = }}{R_{\text{p}}}}} + \varepsilon _r^{\text{p}} ； \varepsilon _\theta ^{} = {(\varepsilon _\theta ^{\text{e}})_{r{\text{ = }}{R_{\text{p}}}}} + \varepsilon _\theta ^{\text{p}} 。根据式（4），（14）可以得到塑性软化区的位移协调方程为
\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}r}} + {\eta _1}\frac{u}{r} = \varepsilon _r^{\text{e}}\left| {_{r = {R_{\text{p}}}}} \right. + {\eta _1}\varepsilon _\theta ^{\text{e}}\left| {_{r = {R_{\text{p}}}}} \right. 。 (16) 解式（16）微分方程，并利用边界条件r=Rp时u=[(1+ \nu )/E][(A/Rp)+(2C-P0)(1-2 \nu )Rp]可以得到锚固围岩塑性软化区位移为
\begin{array}{l} u_r^{\text{p}} = \frac{{1 + \nu }}{E} \cdot \frac{2}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^2}} \cdot r \times {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{{\eta _1} + 1}} + \\ \ \ \ \ \ \frac{{1 + \nu }}{E}\left( {\frac{{{\eta _1} - 1}}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} + (2C - {P_0})(1 - 2\nu )} \right) \cdot r 。 \end{array} (17) 根据式（17），（9）可以得到塑性软化区应变为
\begin{array}{l} \varepsilon _r^{\text{p}} = - {\eta _1}\frac{{1 + \nu }}{E} \cdot \frac{2}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{{\eta _1} + 1}} +\\ \ \ \ \ \ \frac{{1 + \nu }}{E}\left( {\frac{{{\eta _1} - 1}}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} + (2C - {P_0})(1 - 2\nu )} \right) \text{, } \end{array} (18a) \begin{array}{l} \varepsilon _\theta ^{p} = \frac{{1 + \nu }}{E} \cdot \frac{2}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{{\eta _1} + 1}} + \\ \ \ \ \ \ \frac{{1 + \nu }}{E}\left( {\frac{{{\eta _1} - 1}}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} + (2C - {P_0})(1 - 2\nu )} \right) 。 \end{array} (18b) 软化区内围岩应力满足式（8）及式（3），联立两式及边界条件r=Rp时 \sigma _R^{p} = \sigma _R^{\text{e}} ，可得软化区应力计算公式为
\sigma _r^{\text{p}} = \left( {\frac{{2M'{P_0} - k}}{{M' + N'}} - \frac{{k'}}{{M' - N'}}} \right) \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{\frac{{M' - N'}}{{M'}}}} + \frac{{k'}}{{M' - N'}} \text{, } (19a) \sigma _\theta ^{\text{p}} = \frac{{N'}}{{M'}}\left[ {\frac{{2M'{P_0} - k}}{{M' + N'}} - \frac{{k'}}{{M' - N'}}} \right] \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{\frac{{M' - N'}}{{M'}}}} + \frac{{k'}}{{M' - N'}} 。 (19b) （2）塑性残余区
当等效应变大于 \varepsilon _{\text{b}}^{} 时锚固围岩进入塑性残余阶段，此时的锚固围岩满足式（8）及式（3），联立两式及边界条件r=R0时 \sigma _r^{\text{b}} = {p_i} 可以得到破碎区应力为
\sigma _r^{\text{b}} = \left( {{p_i} - \frac{{k''}}{{M'' - N''}}} \right) \cdot {\left( {\frac{{{R_0}}}{r}} \right)^{\frac{{M'' - N''}}{{M''}}}} + \frac{{k''}}{{M'' - N''}} \text{, } (20a) \sigma _r^{\text{b}} = \frac{{N''}}{{M''}}\left( {{p_i} - \frac{{k''}}{{M'' - N''}}} \right) \cdot {\left( {\frac{{{R_0}}}{r}} \right)^{\frac{{M'' - N''}}{{M''}}}} + \frac{{k''}}{{M'' - N''}} 。 (20b) 锚固围岩塑性残余区总应变为 \varepsilon _r^{\text{b}} = {(\varepsilon _r^{\text{p}})_{r{\text{ = }}{R_{\text{b}}}}} + \varepsilon _r^{\text{b}} ， \varepsilon _\theta ^{\text{b}} = {(\varepsilon _\theta ^{\text{p}})_{r{\text{ = }}{R_{\text{b}}}}} + \varepsilon _\theta ^{\text{b}} 。根据式（7），（18）有
\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}r}} + {\eta _2}\frac{u}{r} = \varepsilon _r^{\text{p}}\left| {_{r = {R_{\text{b}}}}} \right. + {\eta _2}\varepsilon _\theta ^{\text{p}}\left| {_{r = {R_{\text{b}}}}} \right. 。 (21) 解式（21）微分方程，并且利用r=Rb时的边界条件可以得到软化区位移为
u_r^{\text{b}} = \frac{{{\eta _1} + 1}}{{{\eta _2} + 1}}{S_1} \cdot r{\left( {\frac{{{R_{\text{b}}}}}{r}} \right)^{{\eta _2} + 1}} + \left( {\frac{{{\eta _2} - {\eta _1}}}{{{\eta _2} + 1}}{S_1} + {S_2}} \right) \cdot r 。 (22) 式中，
{S_1} = \frac{{1 + \nu }}{{E''}} \cdot \frac{2}{{{\eta _1} + 1}} \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{{{R_{\text{b}}}}}} \right)^{{\eta _1} + 1}} \text{, } {S_2} = \frac{{1 + \nu }}{{E''}}\left[ {\frac{{{\eta _1} - 1}}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} + (2C - {P_0})(1 - 2\nu )} \right] 。 2.4 软化区和残余区半径
当r= {R_{\text{b}}} 时， \sigma _r^{p} = \sigma _r^b ，联立软化区与残余区的径向应力公式可得
{R}_{\text{p}}={R}_{0}\cdot {\left\{\frac{\left[{p}_{i}-{k}^{″}/({M}^{″}-{N}^{″})\right]}{(2{M}^{″}{P}_{0}-{k}^{″})/({M}^{″}+{N}^{″})-{k}^{″}/({M}^{″}-{N}^{″})}\right\}}^{\frac{{M}^{″}}{{M}^{″}-{N}^{″}}}。 (23) 根据式（18），（23）可以求得塑性区内的塑性应变量，联立塑性软化区c'的求解公式可以得到塑性软化区内强度参数的软化值。当r=Rb时，软化区的锚固围岩强度参数软化至残余强度参数，此时可以得到
c' = {c_0} - {M_{\text{c}}}\left( {\varepsilon _\theta ^{\text{p}}\left| {_{{R_{\text{p}}} \leqslant r \leqslant {R_{\text{b}}}}} \right. - \varepsilon _\theta ^{\text{e}}\left| {_{r = {R_{\text{p}}}}} \right.} \right) \text{, } (24a) \varphi ' = {\varphi _0} - {M_\varphi }\left( {\varepsilon _\theta ^{\text{p}}\left| {_{{R_{\text{p}}} \leqslant r \leqslant {R_{\text{b}}}}} \right. - \varepsilon _\theta ^{\text{e}}\left| {_{r = {R_{\text{p}}}}} \right.} \right) 。 (24b) 根据式（24）便可以求出塑性残余区半径：
{R_{\text{b}}} = {R_{\text{p}}}/{\left\{ {\frac{{({c_0} - {{c''}_{s} })({\eta _1} + 1)E'' \cdot R_{\text{p}}^2}}{{2A{M_{\text{c}}} \cdot (1 + \nu )}} + 1} \right\}^{\frac{1}{{{\eta _1} + 1}}}} 。 (25) 3. 算例验证与参数分析
3.1 算例验证
采用FLAC3D有限差分软件对理论公式进行验证，数值计算模型如图 4所示，模型尺寸为90 m×90 m×5 m，计算过程中围岩采用应变软化模型，参数如表 1所示。锚杆长度为5 m，纵向、环向间距均为1.2 m，计算过程中将锚杆对围岩的加固作用看作是对围岩刚度及强度参数的提高，按式（1）进行计算。
表 1 围岩计算参数Table 1. Parameters for surrounding rock状态 弹性模量E/MPa 黏聚力c/MPa 内摩擦角φ/(°) 泊松比 \nu 黏聚力软化模量Mc/MPa 内摩擦角软化模量Mc/(°) 支护反力pi/MPa 原岩应力P0/MPa 初始值 2000 4 35 残余值 1000 1.6 20 0.2 400 1800 0.8 15 根据围岩残余强度参数的不同取值分为4种工况，计算结果如表 2，图 5所示。由表 2中的数据可知当残余强度取值越小时得到的塑性区半径及洞壁位移均越大。4种工况下理论计算结果均略大于数值模拟计算结果，但基本吻合，其中工况一时通过理论计算、数值计算得到的洞壁位移均在0.05 m左右，工况四时通过理论计算、数值计算得到的洞壁位移均在0.22 m左右。
表 2 理论解与数值解计算结果对比Table 2. Comparison between theoretical and numerical solutions工况 工况一 工况二 工况三 工况四 围岩残余强度参数 c"/MPa φ"/(°) c"/MPa φ"/(°) c"/MPa φ"/(°) c"/MPa φ"/(°) 4 35 3.2 30 2.4 25 1.6 20 Rp/R0 本文解 1.164 1.264 1.540 1.855 FLAC-3D 1.163 1.261 1.538 1.850 洞壁位移u/m 本文解 0.052 0.091 0.159 0.223 FLAC-3D 0.050 0.088 0.157 0.214 3.2 中间主应力对Rp，Rb，及u的影响
图 6为中间主应力系数n对Rp/R0、Rb/R0的影响分析，由图中曲线可知中间主应力系数n为0时Rp/R0，Rb/R0的值最大，此时Rp/R0等于2.16，Rb/R0=1.81。随着n的逐渐增大Rp/R0，Rb/R0均产生一定程度的降低，当n达到0.7~0.8时Rp/R0，Rb/R0均达到最低值，此时Rp/R0=1.38，Rb/R0=1.11。此后n从0.8增大到1.0时Rp/R0与Rb/R0均有一定程度的增长，但增长幅值较小，图 6中数据显示n等于1.0时Rp/R0与Rb/R0分别为1.43，1.15。此外从图 6中数据可以看出n从0增大到1的过程中，残余区范围占塑性区范围的比重变化不大，均在15%左右。
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图 6 中间主应力系数n对Rp/R0、Rb/R0的影响Figure 6. Influences of intermediate principal stress coefficient n on Rp/R0 and Rb/R0图 7为中间主应力系数n对洞壁（r=R0）位移u的影响分析。由图 7中曲线可知中间主应力系数n为0时洞壁位移值u最大，达到0.223 m，此后随着中间主应力系数n的逐渐增大u快速下降，当n达到0.7~0.8时洞壁位移值u达到最小值，此时u等于0.07 m。此后n从0.8增大到1.0的过程中洞壁位移值有一定程度的增长，图 7中数据显示n=1.0时，u=0.075 m。
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图 7 中间主应力系数n对洞壁位移u的影响Figure 7. Influences of intermediate principal stress coefficient n on wall displacement u3.3 残余黏聚力c"、残余内摩擦角φ"对Rp，Rb及u的影响
图 8为残余黏聚力c"取不同值时对Rp/R0、Rb/R0的影响分析。由图 8中曲线可知残余黏聚力c"取值越小时得到的塑性软化区范围、塑性残余区范围越大，当c"取值较小时曲线c"-Rp/R0与曲线c"-Rb/R0的斜率越大，即c"取值较小时相同增量的Δc得到的ΔRp/R0，ΔRb/R0会更大。黏聚力软化模量Mc的取值对Rp/R0无影响，但会对Rb/R0产生较大影响，同一c"对应的Mc值越大时得到的Rb/R0越大，以图 8中数据为例，黏聚力软化模量每增大100 MPa时塑性残余区半径便会增加0.5 m左右。
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图 8 残余黏聚力c"对Rp/R0、Rb/R0的影响Figure 8. Influences of residual cohesion c on Rp/R0 and Rb/R0图 9为残余黏聚力c"取不同值时对洞壁位移u的影响分析。由图 9中数据可以看出Mc取值大小对洞壁位移u无影响，但黏聚力残余值的大小对洞壁位移u的影响较大，c"取1.6 MPa时，洞壁位移u为0.075 m，此后随着c"的逐渐增大，洞壁位移逐渐减小。
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图 9 残余黏聚力c"对洞壁位移u的影响Figure 9. Influences of residual cohesion c on tunnel wall displacement u图 10为残余内摩擦角φ"取不同值时对Rp/R0、Rb/R0的影响分析。由图 10中曲线可知残余内摩擦角φ"取值越小时得到的塑性软化区范围、塑性残余区范围越大，当φ"取值较小时曲线c"-Rp/R0与曲线c"-Rb/R0的斜率越大，即当φ"取值越小时相同增量的Δφ得到的ΔRp/R0，ΔRb/R0会更大。此外，内摩擦角软化模量Mφ的取值对Rp/R0无影响，对Rb/R0影响较大，当Mφ取值越大时得到的Rb/R0越大。
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图 10 残余内摩擦角φ"对Rp/R0、Rb/R0的影响Figure 10. Influences of residual internal friction angle φ on Rp/R0 and Rb/R0图 11为残余内摩擦角φ"取不同值时对洞壁位移u的影响分析。由图 11中曲线可知，Mφ的取值大小对洞壁位移u无影响，残余内摩擦角φ"越小时洞壁位移u的值越大，残余内摩擦角φ"从30°降低至25°时洞壁位移u增大了0.009 m，残余内摩擦角φ"从25°降低至20°时洞壁位移u增大了0.029 m。由此可以看出残余内摩擦角的取值对围岩变形至关重要。
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图 11 残余内摩擦角 \varphi '' 对洞壁位移u的影响Figure 11. Influences of residual internal friction Angle \varphi '' on wall displacement u3.4 残余弹性模量E"对Rp，Rb，及u的影响
图 12为复合岩体残余弹性模量E"对Rp/R0，Rb/R0的影响分析。由图 12中曲线可知E"的取值对Rp/R0没有影响，但E"的取值对Rb/R0会产生较大影响。由图中数据可以看出当E"取2000 MPa时Rp/R0等于1.025，当E"取1200 MPa时Rp/R0等于1.161，两者相比锚固塑性残余区增大了12%；当E"等于600 MPa时的Rp/R0与E"等于1200 MPa时相比，弹性模量降低了60%，锚固塑性残余区增大了25%。
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图 12 残余弹性模量E"对Rp/R0，Rb/R0的影响Figure 12. Influences of residual elastic modulus E on Rp/R0 and Rb/R0图 13为复合岩体残余弹性模量E"对洞壁位移u的影响，由式（22）计算可知，当E"取2000 MPa时u等于0.076 m，当E"等于1000 MPa时u等于0.155 m，可以看出考虑弹性模量的劣化得到的洞壁位移u比没有考虑弹性模量的劣化得到的洞壁位移u要大，此外此外E"从1000 MPa降低到600 MPa时，洞壁位移u又有一定程度的下降，当E"等于400 MPa时u达到0.251 m。
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图 13 残余弹性模量E"对洞壁位移u的影响Figure 13. Influences of residual elastic modulus E" on wall displacement u3.5 锚杆与pi协调作用对围岩Rp，Rb，u的控制效果
图 14，15为锚杆与支护抗力 {p_{\text{i}}} 协调作用下对围岩塑性区的控制效果，本小节分析时锚杆纵向间距取1.2 m，对横向间距取不同值时的工况进行对比。由图 14，15中曲线可知同一支护阻力条件下锚杆横向间距从2.0 m下降到1.2 m时锚固塑性软化区半径、锚固塑性残余区半径分别下降了0.38，0.47 m；锚杆间距从1.2 m下降到0.8 m时锚固塑性软化区半径、锚固塑性残余区半径分别下降了0.57，0.63 m左右，因此在对围岩锚固时建议将锚杆间距控制在1.2 m以内，可以使得锚固效果更明显。同一锚杆间距时适当增大支护阻力有利于控制锚固软化区、锚固残余区范围的扩大。以锚杆纵、横向间距为1.2 m为例，支护抗力从0.6 MPa增大到1.4 MPa时锚固塑性软化区半径、锚固残余区半径分别下降了0.60，0.50 m左右。此外，从图 14，15中还可以看出增大相同的支护抗力Δpi时，锚杆间距越小时对锚固塑性软化区、锚固塑性残余区的控制效果越好。
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图 14 锚杆与支护阻力 {p_{\text{i}}} 协调作用对Rp/R0的影响Figure 14. Influences of coordination between bolt and support resistance {p_{\text{i}}} on Rp/R0![]()
图 15 锚杆与支护阻力 {p_{\text{i}}} 协调作用对Rb/R0的影响Figure 15. Influences of coordination between bolt and support resistance {p_{\text{i}}} on Rb/R0图 16为锚杆与支护阻力 {p_{\text{i}}} 协调作用下的洞壁围岩位移u，分析时锚杆纵向间距取1.2 m，对横向间距取不同值时的工况进行对比。由图中数据可知当锚杆间距一定时支护阻力 {p_{\text{i}}} 越大，洞壁位移u越小；支护阻力 {p_{\text{i}}} 一定时锚杆间距越小对洞壁位移的控制效果越好。当锚杆间距较大时，增大一定程度的支护阻力会有效控制围岩变形，以锚杆间距2 m为例，支护阻力从0.6 MPa增大到1.2 MPa后，洞壁围岩变形下降了20%，以锚杆横向间距取0.8 m为例，支护阻力从0.6 MPa增大到1.2 MPa后，洞壁围岩变形只下降了11%。因此在控制围岩变形时，需要协调锚杆间距与支护抗力的作用，以此来达到控制变形的效果。
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图 16 锚杆与支护阻力 {p_{\text{i}}} 协调作用下的洞壁位移uFigure 16. Wall displacements u under coordinated action of bolt and supporting resistance {p_{\text{i}}}4. 结论
本文基于D-P屈服准则得到了考虑刚度与强度同时劣化的深埋圆形洞室锚固围岩弹塑性解，借助FLAC3D有限差分软件验证了该方法的可靠性，并对相关影响因素进行具体分析，得出以下4点结论。
（1）对洞室锚固围岩进行弹塑性分析时适当考虑刚度参数的劣化后，得到的塑性区残余区分布范围与围岩变形量更符合实际。
（2）适当考虑围岩中间主应力的作用后得到的塑性软化区半径Rp、塑性残余区半径Rb、洞壁位移u均有较明显的下降。
（3）残余黏聚力c"、残余内摩擦角φ"、残余弹性模量E"、黏聚力软化模量Mc、内摩擦角软化模量Mφ的取值对塑性软化区半径Rp无影响，对塑性残余区半径Rb、洞壁位移u的影响较大，当c"、φ"、E"取值越小时得到的Rb、u越大，当Mc、Mφ取值越大时得到的Rb、u越大。
（4）系统锚杆与支护阻力 {p_{\text{i}}} 协调作用下可以有效控制塑性残余区范围及围岩变形，建议将锚杆间距控制在1.2 m以内，当支护阻力一定时适当缩小锚杆间距可有效降低围岩变形量。
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图 6 不同方位的三维重构CT图像
Figure 6. Different directions of three-dimensional reconstruction CT images
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图 7 主裂纹表面积和体积随荷载水平变化的曲线
Figure 7. Curves of surface area and volume of primary crack changing with load level
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图 9 主裂纹长度与砂岩不同高度的关系
Figure 9. Relationship between length of primary cracks and different heights of sandstone
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图 10 比值与砂岩高度的关系
Figure 10. Relationship between scaling coefficient and sandstone height
表 1 不同变形阶段的荷载水平和加载应力
Table 1 Load levels and loading stresses at different deformation stages
变形阶段 荷载水平P/% 加载应力/MPa 加载前 0 0 压密阶段 30 12.58 线弹性阶段 70 29.35 破裂发展阶段 90 37.74 软化阶段 试件破坏后 33.54 
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表 2 主裂纹表面和体积的变化
Table 2 Variation of surface area and volume of primary cracks
荷载
水平P/%A区域主裂纹表面积
/(104 mm2)A区域主
裂纹体积/(103 mm3)C区域主裂纹表面积/(104 mm2) C区域主裂纹体积
/(104 mm3)0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 70 0.28 0.80 0.11 0.40 90 5.43 8.60 2.63 5.70 破坏后 21.32 28.17 11.24 15.85
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表 3 X-Y切面中不同高度的CT切片
Table 3 CT slices of different heights in X-Y section
高度/mm P=70% P=90% 试件破
坏后10 
30 
50 
70 
90 
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表 4 不同荷载水平下，砂岩不同高度位置次生裂纹数量
Table 4 Number of secondary cracks at different heights of sandstone under different load levels
砂岩不同高度/mm P=70% P=90% 试件破坏后 次生裂纹数量/个 10 0 3 12 30 0 1 9 50 0 1 10 70 1 3 8 90 0 2 7
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表 5 不同荷载水平下，砂岩不同高度位置主裂纹长度的变化
Table 5 Change in length of the primary crack at different heights of sandstone under different load levels
高度/mm 长度/mm P=70% P=90% 破坏后 主裂纹A 主裂纹C 主裂纹A 主裂纹C 主裂纹A 主裂纹C 10 11.4 6.3 12.7 51.6 82.8 82.3 30 13.1 9.2 19.4 24.3 89.0 82.8 50 14.5 18.9 51.8 27.1 85.1 68.5 70 18.0 11.7 58.0 0 72.6 29.0 90 19.9 0 52.4 0 83.7 19.1
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表 6 不同荷载水平下，砂岩不同高度位置次生裂纹的条数及长度
Table 6 Number and length of secondary cracks at different heights of sandstone under different load levels
荷载水平
P/%不同高度位置处次生裂纹的条数及各自的裂纹长度 10 mm 30 mm 50 mm 70 mm 90 mm 条数 长度/mm 条数 长度/mm 条数 长度/mm 条数 长度/mm 条数 长度/mm 70 0 — 0 — 0 — 1 7.52 0 — 90 3 12.11，6.05，6.05 1 19.3 1 19.3 3 10.47，14.37，22.10 2 9.14，10.67 破坏后 12 18.9，32.5，17.2，29.6，40.8，9.0，
4.9，2.0，37.2，
5.69，16.1，2.49 20.6，20.3，8.7，6.6，26.9，22.8，21.2，14.8，55.2 10 4.4，6.0，47.5
22.8，10.9，26.9，12.0，15.7，12.8，16.98 14.4，20.1，29.0，14.4，14.4，8.1，39.8，49.7 7 19.3，43.5，7.5，18.7，41.5，31.0，24.2
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