Exact analysis of soil slope stability by using variational limit equilibrium method
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摘要: 基于变分法和极限平衡法的基本原理，对土质边坡的稳定性分析进行了理论研究。首先，通过极限平衡法建立了问题的基本平衡方程，通过引入拉格朗日乘子构造出约束条件下等周问题的辅助泛函；其次，联合欧拉方程得到了以潜在滑动面、滑面正应力、滑动体内力、安全系数以及拉格朗日乘子为基本未知量的一阶常微分方程组，并通过引入辅助变量将边坡稳定性分析转化为固定边界条件下的两点边值问题；最后，利用打靶法对算例进行了数值求解，得到了滑动面位置、滑动面上正应力分布以及边坡稳定性系数的精确解答，并与条分法和有限元强度折减法得到的结果进行了比较，验证了所提方法的有效性。分析结果表明，提出的土质边坡稳定性分析方法可有效避免传统计算中对滑面位置的搜索优化过程，能精确得到边坡滑面形状、滑面上的法向应力以及条间力分布，可为边坡的稳定性分析提供科学合理的计算方法。Abstract: Based on the basic principles of the variational method and the limit equilibrium method, the stability analysis of soil slopes is conducted theoretically. Firstly, the basic equilibrium equation for the problem is established by using the limit equilibrium method, and the auxiliary functional for the isoperimetric problem under constraints is constructed by introducing the Lagrange multiplier. In addition, the first-order ordinary differential equations with potential sliding surface, normal stress of sliding surface, internal force of sliding body, safety factor and Lagrange multiplier as the basic unknowns are obtained by combining the Euler equation, and the slope stability analysis is transformed into a two-point boundary value problem under fixed boundary conditions by introducing the auxiliary variables. Finally, the numerical solution of the example is carried out by using the shooting method, and the accurate solutions of the position of the sliding surface, the normal stress distribution on the sliding surface and the slope stability coefficient are obtained. The results are compared with those obtained by the slice method and the finite element strength reduction method to verify the effectiveness of this method. The analysis results show that the proposed analysis method for soil slope stability can effectively avoid the search and optimization process of the sliding surface position in the traditional calculation, and can accurately obtain the shape of the slope sliding surface, the normal stress on the sliding surface and the inter-strip force distribution, which may provide a scientific and reasonable calculation method for the stability analysis of slopes.
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0. 引言
对隧道漏水漏砂等问题的防治,工程上多采用注浆的方法进行抢险,常见的浆液分为有机注浆材料和无机注浆材料[1],浆液在注入后将面临复杂的地质水文条件,在动水的环境下极易被水冲走,大大降低堵漏效果。堵漏注浆工程中对浆液原料的物理性质及化学性质要求极高,凝结时间、动水留存率和堵水比等指标常用来评价注浆材料堵漏性能优劣。目前,国内外进行了不同配比的双液浆、聚氨酯等浆液的物理、化学性质及堵水试验的研究,通过长时间对扩散机制及注浆机理的研究,浆液除了需要有抗水冲刷能力外,还需要能够在短时间内具备一定强度,从而达到堵水效果。
本文主要介绍自主研发的隧道渗漏注浆模拟装置,并对高分子材料、马丽散、双液浆、双组份水反应类聚氨酯、膏状浆液与水玻璃混合物、高分子材料与双液浆混合物等6种材料的堵水效果进行研究,并提出堵水比量化评价系数,在同一装置及环境条件下进行不同材料的堵水效果与堵漏机理的对比及分析,并探究水压对注浆堵水效果的影响。
1. 试验设计
1.1 试验装置设计
针对目前实际工程中隧道渗漏状况,笔者设计了小型注浆试验装置来模拟不同注浆材料在实际注浆工程中的注浆效果,通过对比试验现象及数据,来比较6种材料的注浆性能,分析其堵漏机理；试验装置整体设计如图1,试验装置分为4个系统,分别为注水系统、注浆系统、收集系统及模型箱,4个系统相互连接形成整个系统的液体流动路径；注浆系统又分为单液浆注浆系统和双液浆注浆系统,具体试验装置整体设计图以及3D模型箱、实物模型箱如图1。
下面分别对4个系统进行介绍,具体如图1（a）：
（1）注水系统：共有3个主要试验装置,分别为吊起后的加压储水箱A,水泵B以及地面上的储水箱C。通过将水箱A吊起至不同高度来模拟不同水压高度,以此来改变注入模型箱的水压力；水箱A共接入四根管道,一根管道与水管相连,试验前将水注入箱内,两根管道与外界形成水循环,一根管道向模型箱注水。储水箱C是整个系统的水源,水泵将水注入水箱A中,从而带动整个试验装置的液体流动。
（2）模型箱：模型箱用来模拟隧道渗水、渗漏状态,其下部为注水与注浆空间,水通过三角折板进入三角空间,浆液通过注浆泵进入三角空间,水和浆液通过裂缝向上流,然后流入水箱。模型箱大部分为透明板,可以清楚直观地观察箱内浆液反应情况,并通过试验现象及数据来分析不同浆液堵漏的机理。
（3）注浆系统：注浆系统分为单液浆注浆系统和双液浆注浆系统,注浆系统将储存箱F中的浆液注入到模型箱中,使浆液在模型箱中反应。
（4）收集系统：收集系统水箱D连接着模型箱,将模型箱中的水与渗漏出的浆液收集其中。
1.2 试验操作流程
连接仪器,准备注浆液。将加压水箱A提升至目标高度,打开阀门1将水储存于储水箱C,关闭其余阀门；打开水泵,将水提升至加压水箱A；待加压水箱溢水管开始出水,打开阀门2,并开始记录流量计读数；模型箱中充满水后,开始进入渗漏状态,保持记录,等待出水口水流稳定；打开阀门3,开启注浆泵E,将浆液储存箱F中的浆液注进模型箱,保持记录流量计读数；出水口流量稳定或浆液注完后试验结束,停止计数；关闭阀门3和注浆泵,关闭水泵B和阀门2,关闭阀门1；清理试验装置,分析数据,准备下一次试验。
1.3 堵水比定义
本文根据试验装置特点定义堵水比n来反应不同浆液的堵水效果,本试验测试不同注浆材料试验时注水速率的变化,以此作为评价不同注浆材料堵水效果的指标。试验过程中在进水管处安装电子流量计,准确测量整个试验过程注水流速的变化,并测试注浆稳定后的堵水比,令n=（渗漏流速平均值
注浆稳定后渗漏流速平均值）/渗漏流速平均值。 2. 试验过程及试验数据整理
2.1 试验材料
下面分别介绍6种试验注浆材料。
高分子材料：白色粉末,遇水3～5 s即可反应,体积膨胀约80～100倍；马丽散：由甲液与乙液组成,几十秒后膨胀15～20倍,无水反应后可抵抗压力25～38 MPa,而吸水反应后抗压能力介于15～25 MPa,其浆液黏度低,可以很好地渗入细小裂缝中,成型后具有较好的黏合能力；双液浆：由水泥浆和水玻璃组成的双组份材料,根据研究表明[2-3],为达到最优的注浆效果,水灰比取1.0；双组份水反应类聚氨酯：通过对注浆材料的不断研究[4-5],逐步开发聚氨酯等有机材料,本次试验采用双组份水反应类聚氨酯,混合后遇水反应迅速,体积膨胀近10倍；膏状浆液+水玻璃：自主研发新型注浆材料,原料为水泥、粉煤灰、膨润土、泥浆4种材料按照一定比例混合而成,并与水玻璃混合进行本装置试验；高分子吸水材料+双液浆：自主创新地将两种材料混合注入试验装置,先注高分子材料,后注双液浆。
2.2 试验分组及过程
本次试验共选取两组变量,6种不同注浆材料和两个高压水箱高度,一共9组试验（其中高分子材料、马丽散、双液浆3种材料进行3 m和5 m两种水头的对比试验）,具体试验分组见表1。
表 1 试验分组表Table 1. Test scheme试验编号 注浆材料 水头/m 1 高分子吸水材料 3 2 高分子吸水材料 5 3 马丽散 3 4 马丽散 5 5 双液浆 3 6 双液浆 5 7 双组份水反应类聚氨酯 3 8 膏状浆液+水玻璃 3 9 高分子吸水材料+双液浆 3 试验分为3个阶段：注水阶段—渗漏阶段—注浆阶段,结束注浆后,模型箱中的缝隙有不同程度的封堵,与堵水比n均可反应注浆后的封堵效果。
2.3 数据整理及分析
观察试验1至试验4组数据可以看出,开始注水时,此时浆液尚未注入,只研究水头对试验效果的影响。可以看出水箱高度越大,注水速度越大,渗漏速度越大,其差值也越大。在开始渗漏时,流速有大幅度减小,可以用渗漏发生后的注水速度模拟隧道的渗漏速度。
注浆结束稳定后,通过分析6种材料的注浆后堵水比n（见表2）可以看出,聚氨酯堵水效果较好,在动水情况下反应速度快、膨胀率大、且成型后具有一定强度,成功将注水端的水流压成倒流；高分子吸水材料与双液浆混合注入方式也有较好的堵漏效果,堵漏程度远优于传统双液浆。9组试验具体数据见图2。
表 2 各注浆材料堵水比Table 2. Water plugging ratio of grouting materials注浆材料 堵水比/% 水头3 m 水头5m 高分子吸水材料 38.4 31.7 马丽散 57.5 43.0 双液浆 40.6 36.1 聚氨酯 100.0 — 膏状浆液 44.2 — 高分子+双液浆 85.0 — 3. 试验现象及堵漏机理分析
3.1 试验现象
高分子吸水材料：材料遇水反应速度极快,形成类似于碎果冻形状的白色透明物质,但是成型后强度很小,水流仍能穿过浆液从裂缝中流走。
马丽散：由于成型后的马丽散密度小于水的密度,所以漂浮在水上面,对于上部的裂缝有比较好的堵漏效果,在本次试验中,有不错的堵水效果。
双液浆：浆液注入后模型箱内的水变浑浊,双液浆在动水情况下成型较慢,很大一部分随着水流在裂缝中流走,成型后的双液浆固体首先在水下部沉积,然后向上部堆积。
聚氨酯：由于材料密度小于水,浆液从上向下进行反应,迅速膨胀,导致了注水口水倒流的情况。
膏状浆液：膏状浆液与水玻璃注入试验装置中,浆液迅速下沉至三角区下部,三角区外部分的水依然保持较清澈透明,这是膏状浆液与双液浆试验现象的不同之处；对比膏状浆液与双液浆,膏状浆液动水留存率较传统双液浆好很多,不容易被水冲散。
高分子吸水材料+双液浆：首先将高分子材料注入装置,进水速度有所减缓,然后向装置内注入双液浆,三角区内立刻由白颜色变为黑色浑浊空间。
3.2 不同材料堵漏机理分析
根据6种试验材料物理化学性质不同,结合具体试验现象及数据,得出6种材料的堵漏机理如下：
高分子材料、双液浆、膏状浆液+水玻璃、高分子+双液浆：以上4种材料吸水后密度大于水,随着浆液的注入,成型后的浆液在模型箱模拟渗漏空腔三角区部位从下慢慢堆积直至达到最上面裂缝处位置,将裂缝堵住。
马丽散、聚氨酯：这两种材料均为油性材料,密度均小于水的密度,注入模型箱后浮在水表面,在三角区内反应并且从上向下进行膨胀从而达到封堵效果；本装置裂缝在上部（模拟隧道外注浆）,故此两种材料初步反应时就可以将裂缝部分堵住,所以在本试验中有较好的封堵效果,材料反应机理及封堵示意图如图3。
高分子与双液浆混合注入这种方式有较好的堵漏效果,由于先注入高分子延缓了水流并且将三角区用非液态物质塞满,为后续双液浆的注入提供了良好的反应载体,不会有大量的双液浆被动水冲走,提供给了双液浆反应硬化空间,水的渗流速度从开始的0.9 m3/h减小到了约0.14 m3/h,堵水比达到了约85%,故此种混合浆液的注入有很好的堵漏效果。聚氨酯注入后迅速反应膨胀,膨胀压力将水流压成倒流状态,从试验7数据可以看出水流速度达到负值,堵漏效果基本为100%。以上两种材料在本试验中取得了较好的试验封堵效果,可以为工程抢险注浆材料选择提供参考。
综上所述,可以推演出不同的裂缝位置可以采用不用的注浆材料来进行堵漏,当裂缝位置处于下部时可以考虑用密度小于水的浆液进行初步封堵,如马丽散、聚氨酯等材料；若裂缝位置在上方时,可以用双液浆、膏状浆液与水玻璃的混合物、高分子与双液浆的混合物等密度大于水的材料进行初步封堵。
4. 结论
本文介绍了自主研发的隧道渗漏注浆模拟装置,并对高分子吸水材料、马丽散、双液浆、双组份水反应类聚氨酯、膏状浆液与水玻璃的混合物、高分子与双液浆的混合物等6种材料进行堵水效果的试验研究,在试验现象与机理的分析以及数据分析对比中形成以下结论：
（1）在本试验研究的6种注浆材料中,聚氨酯的堵漏效果较好,在动水情况下成型快,膨胀压力大,堵漏效果明显；高分子和双液浆的混合浆液堵漏效果显著,在本试验装置中的堵水效果远优于传统双液浆。
（2）6种材料的堵漏机理不同,马丽散和聚氨酯两种材料反应后密度小于水,浮在水面上反应,随着浆液注入,从上往下进行封堵；而高分子材料、双液浆、膏状浆液与水玻璃混合物、高分子与双液浆混合物四种材料密度大于水,注入后沉入装置底部并开始反应,与前两种材料相反,是从下向上开始进行反应封堵。
（3）水压越大,注水流速越快,模型箱渗漏越严重,相同材料的堵水比越小,堵漏效果越差；可以推出,在实际堵漏工程当中,可以通过降低水位来减缓渗漏。
（4）自主研究膏状浆液材料,并与水玻璃相结合组成混合浆液,在本试验中动水留存率远高于双液浆,且堵水效果优于传统双液浆,可以推演出在工程注浆中将大大减少注浆量,减少注浆成本且相对于传统双液浆有较好的封堵效果。
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图 4 法向和切向条间力分布曲线
Figure 4. Distribution curves of normal and tangential inter-strip force
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图 6 本文方法与其他方法滑面位置对比
Figure 6. Comparison of sliding surface positions between proposed and other methods
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图 7 法向和切向条间力分布曲线
Figure 7. Distribution curves of normal and tangential inter-strip force
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图 8 ACADS算例滑面位置比较
Figure 8. Comparison of slip surface positions of ACADS example between proposed and other methods
表 1 不同方法所求安全系数值
Table 1 Values of safety factor obtained by different methods
Bishop法 Janbu法 Morgenstern-Price法 变分极限平衡法 强度折减法 本文方法 0.992 0.964 0.991 0.991 0.993 0.991 
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