基于修正椭球体理论的隧道松动区及松动土压力研究

方焘; 梁连; 陈其志

doi:10.11779/CJGE20220309

基于修正椭球体理论的隧道松动区及松动土压力研究 English Version

1.
华东交通大学土木建筑学院, 江西南昌 330013
2.
浙江科技学院土木与建筑工程学院, 浙江杭州 310023

基金项目:

国家自然科学基金项目 52168048

国家自然科学基金项目 52008373

详细信息

作者简介:
方焘(1976—)，男，博士，教授，主要从事基坑与隧道工程方面的教学与研究工作；E-mail: fangtaolq@163.com

中图分类号: TU411.93
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出版历程
- 收稿日期: 2022-03-20
- 网络出版日期: 2023-02-19
- 刊出日期: 2023-05-31

Loosening zone and earth pressure around tunnels based on modified ellipsoid theory

1.
School of Civil Engineering and Architecture, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China
2.
School of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China

摘要

摘要: 隧道松动区的预测对松动土压力的计算至关重要。因此，为了精确简便地预测不同地质特性和工况下隧道极限松动区，首先从地层损失的角度对椭球体理论进行修正；然后利用自主设计的试验装置并结合PIV技术对修正后的椭球体理论进行验证；最后结合椭球体理论以及松动区内部土体主应力轴旋转对隧道松动土压力公式进行修正。研究表明：①随着地层损失的产生、增大，隧道上方地层流出区域和极限松动区域类似椭圆的形状并且其长短半轴均逐渐扩大；通过对比可知修正后的椭球体理论较现有理论与试验结果更加吻合。②修正后的松动土压力公式综合考虑了松动滑移范围及土拱效应，通过和相关文献的试验结果进行对比分析，验证了修正后松动土压力计算公式的合理性，因此该公式可用于砂性地层中隧道和管线上方的松动土压力计算。
- 隧道工程 /
- 椭球体理论 /
- PIV技术 /
- 松动区 /
- 土拱效应
Abstract: The prediction of loosening zone around tunnels is crucial for the calculation of loosening earth pressure. Therefore, in order to accurately and easily predict the limit loosening zone around tunnels under different geological characteristics and working conditions, the ellipsoid theory is firstly modified from the perspective of ground loss. Then, the modified ellipsoid theory is verified by using the self-designed test device and the PIV technique. Finally, the equation for the loosening earth pressure around tunnels is modified by combining the ellipsoid theory and the rotation of the principal stress axis of the soils inside the loosening zone. The study shows that: (1) With the generation and increase of ground loss, the ground outflow area and the limit loosening area above tunnels resemble the shape of an ellipse, and their long and short semi-axes are gradually expanded. The modified ellipsoid theory is more consistent with the experimental results than the existing theories through comparison. (2) The modified formula for the loosening earth pressure integrates the range of loosening zone and the soil arching effect, and the rationality of the modified formula for calculating the loosening earth pressure is verified by comparing with the experimental results in the related literatures. So the proposed formula can be used for the calculation of the loosening earth pressure around tunnels and pipelines in sandy strata.
- tunnel engineering /
- ellipsoid theory /
- PIV technique /
- loosening zone /
- soil arching effect

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0. 引言

深部煤炭开采的数量及范围逐年上升，采深增加伴随瓦斯含量和瓦斯压力显著增大，造成深部开采中瓦斯灾害的问题也更加严重^[1]。加大深部煤层的瓦斯抽采既有助于减少煤与瓦斯突出灾害，又有助于达到瓦斯资源高效利用，对于实现深部矿产和瓦斯资源安全高效、绿色开采具有重要影响^[2]。

深部开采工作面前方既是瓦斯灾害发生又是瓦斯抽采利用的关键区域，深部开采工作面前方煤体的力学状态和渗透属性变化需要重点关注。研究表明当埋深超过800 m时，中国深部煤层的渗透率将低于1×10^-16 m²的量级^[3]。深部煤层的低渗透性造成工作面前方煤体内瓦斯流动性差、抽采率低、煤与瓦斯突出危险性高。能否掌握深部开采过程中工作面前方煤体的渗透率演化规律是实现深部煤炭与瓦斯资源开采利用所面临的关键问题。

开采过程中工作面前方煤体内的渗透率变化主要受采动应力所影响。采动应力主要包括垂直方向升高的超前支承压力和水平方向下降的侧向压力两个方面。Zhou等^[4]保持轴压恒定逐级卸围压测试了卸围压蠕变作用下的煤体渗透率。王辰霖等^[5]利用不同高度的煤样进行了围压恒定轴压循环加卸载下的煤体渗透率测试。贾恒义等^[6]对型煤和原煤煤样进行了轴压恒定围压循环加卸载下的渗透率测试。刘超等^[7]提出了轴压和围压分别循环加卸载的复杂应力路径，开展了复杂应力路径下原煤渗透特性试验。以上研究分别改变轴压和围压的升降组合，对煤体渗透率进行了深入研究，而采动应力是一种轴压围压同时变化的应力组合。谢和平等^[8]根据工作面前方煤体的三向应力变化规律提出了一种考虑不同开采方式应力集中程度差异，改变升轴压降围压速率模拟3种典型开采方式的采动应力路径。近年来大量学者^[9-17]依据该采动应力路径分别对不同深度工作面前方的煤体渗透率演化规律进行了试验研究（表 1）。上述试验研究较多针对特定模拟深度的渗透率结果进行定量分析，较少对采动应力路径下煤体渗透率演化规律进行定性概括。

表 1 不同开采方式下采动煤体渗透率测试

Table 1. Permeability tests of mining-induced coal under different mining layouts

序号	取样地点及文献	试验模拟埋深/m	模拟原岩应力/MPa	测试气体类型	年份
1	平煤八矿己₁₄-14120工作面^[9]	360	9	CH₄	2012年
2	晋煤赵庄矿3号煤层^[10]	360	9	CH₄	2012年
3	平煤十矿己₁₅-24080工作面^[11]	600	15	CH₄	2014年
4	川煤白皎矿2481工作面^[12]	1000	25	CH₄	2016年
5	南川宏能煤业矿井西翼K₁煤层^[13]	200	5	CH₄	2016年
6	白皎矿^#4煤层^[14]	1000	25	CH₄	2016年
7	兖州盆地^[15]	1000	25	CH₄	2017年
8	平煤八矿某工作面^[16]	600	15	N₂	2017年
9	平煤己₁₅煤层^[17]	320	8	CH₄	2020年

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煤体渗透率理论模型研究方面，学者们建立了大量的渗透率理论计算模型，但是其中很多模型的建立背景来自于煤层气和井下瓦斯抽采方面，这些模型大多以单轴应变、恒定体积等力学边界为基础，并非从采动煤体的边界条件特征出发进行构建^[18-20]，其中大量模型分别考虑三向扰动应力^[21]、损伤破裂^[22]、吸附解吸^[23]等作用对渗透率的影响，但结合采动煤体特征综合考虑上述多种作用影响可适用于深部开采工作面前方煤体全应力–应变过程的渗透率模型还较少^[24]。

本文首先进行采动应力下深部煤体的渗透试验，分析采动应力下深部煤体渗透率演化规律；然后基于试验结果构建采动应力下深部煤体渗透率演化过程的概化模型，对采动煤体渗透率演化过程的3阶段特征进行总结；最后通过分段表征的方式建立深部采动煤体全应力–应变渗透率理论模型，并利用不同开采方式下煤体渗透率试验结果对理论模型进行验证分析。

1. 采动应力下深部煤体渗透试验

1.1 采动应力路径

煤层开采过程中，工作面前方的煤体经受一次侧向应力卸载、支承压力增大又减小的过程（图 1）。图 1中σ₁，σ₃分别为轴向应力和水平应力，γ为覆岩重度，H为煤层埋深，α，β分别为轴向应力和水平应力的应力集中系数，下标1，2，3表示不同的开采方式，R'_c为煤体残余强度。

图 1 煤体采动应力变化^[8]

Figure 1. Stress evolution of coal under mining^[8]

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根据深部采煤工作面支承压力和侧向压力的变化，谢和平等^[8]利用常规三轴试验中的轴压模拟支承压力、围压模拟侧向压力，提出了在室内试验中可应用的3种典型开采方式采动应力路径（图 2）。采动应力路径包括以下3个阶段：①静水压力阶段（OA段），千米埋深煤岩体的原岩应力假设为25 MPa，将轴压和围压同步加载至该目标值；②第1卸载阶段（AB段），偏应力（σ₁-σ₃）和环向应力（σ₃）加卸载速率之比为2.25︰1；③第2卸载阶段（BC段，BD段，BE段），保护层、放顶煤和无煤柱3种开采方式对应煤体峰值点破坏时的应力集中系数分别为2.0，2.5，3.0，因而设定偏应力（σ₁-σ₃）和环向应力σ₃加卸载速率之比分别为2.25︰1，3.5︰1，4.75︰1。

图 2 典型开采方式的采动应力路径^[8]

Figure 2. Stress paths under typical mining layouts^[8]

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1.2 试验样品和装置

取样地点为平煤集团十二矿己₁₅-31030工作面，工作面埋藏深度约为1100 m，因此所取试样属于深部煤样，具有深部煤体的一般性。首先从工作面现场采集大块煤体运输至室内进行取样。然后采用水钻法进行钻取，再经切割、打磨制备成标准尺寸为ϕ50 mm× H100 mm的圆柱形煤样（图 3）。最后利用恒温干燥箱对煤样进行加热，烘干至质量基本保持不变再进行渗透试验。煤体试样编号分别为P1，P2，P3，P4。

图 3 深部煤体试样

Figure 3. Tested samples of deep coal

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渗透率测试的方法较多，其中瞬态脉冲衰减法更适合低渗岩石介质。由于本次所取煤样的埋深较大，初始渗透率较低，因而选用该方法进行试验。一般情况下低渗岩石（低于10^-16 m²）渗透率的计算过程中需考虑Klinkenberg效应。试验中所用千米埋深的煤体渗透率很低，需要考虑Klinkenberg效应的影响。瞬态脉冲衰减法计算渗透率的过程及Klinkenberg效应对气测渗透率结果的修正参考文献[25]进行。试验所用装置为高温高压三轴流变仪（图 4）。

图 4 高温高压三轴流变仪

Figure 4. Triaxial test system with high temperature and pressure

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1.3 试验步骤

采动应力下深部煤体的渗透率测试依据不同开采方式中保护层开采的应力路径进行。将深部煤样从无荷载状态（图 5中O点）同步加载轴压和围压至静水压力25 MPa（图 5中A点），然后进行采动应力下深部煤体渗透试验。将采动应力路径中的卸载阶段进行划分，轴压每升高2.5 MPa、围压每卸载2 MPa设定为一个测试点。在每个测点下保持轴压和围压恒定，通入高纯氮气至目标气体压差进行渗透率测试。采动应力下深部煤体渗透试验的测点布置如图 5所示。试验过程中煤样编号和测试的气体压差分别为P1（0.5 MPa）、P2（1.0 MPa）、P3（1.5 MPa）、P4（2.0 MPa）。

图 5 采动应力渗透试验测点布置

Figure 5. Layout of testing points for permeability tests under mining stress

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1.4 试验结果

图 6为采动应力路径下深部煤体渗透率试验结果，结果均为原岩应力恢复（图 5中A点）之后阶段的测试数据。可以看出，不同瓦斯压力下的煤体应力和渗透率结果呈现较为一致的变化规律。由于采动应力加卸载过程中需要进行瞬态脉冲衰减法的渗透率测试，应力–应变曲线呈现明显的分级加载台阶式变化，但曲线整体保持连贯平滑，能够明确反映采动应力作用下深部煤体的应力–应变关系。与常规三轴加载下的应力–应变曲线不同，采动应力下煤体的应力–应变曲线不存在压密阶段，而包括弹性变形、裂纹稳定扩展、裂纹非稳定扩展、峰后应变软化的阶段。表 2为不同气体压差下深部采动煤体的力学特征结果。可以看出，随着气体压差的增大，采动应力路径下深部煤体的峰值应力和峰值应变均整体呈现下降的趋势。

图 6 采动应力下深部煤体渗透率结果

Figure 6. Permeability evolution of deep coal under mining stress

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表 2 不同气体压差下深部采动煤体力学特征结果

Table 2. Mechanical results of deep coal under different gas pressures

试件编号	气体压差/MPa	峰值应力/MPa	峰值应变/%
P1	0.5	52.53	0.92
P2	1.0	48.08	0.67
P3	1.5	49.82	0.71
P4	2.0	48.05	0.68

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采动应力路径下，深部煤体的初始渗透率较低，均在10^-18 m²数量级及以下。随着采动加卸载过程的进行，渗透率缓慢增大。不同气体压差下深部煤体的渗透率演化过程基本可划分为3个阶段（A-Ⅰ—A-Ⅲ），3个阶段的具体划分方法及意义见后文。为了消除初始渗透率的差异性影响，分析渗透率的演化过程，定义无因次的渗透率增加率：

$\eta = \frac{{k - {k_0}}}{{{k_0}}},$

(1)

式中，η为渗透率增加率，k为计算点渗透率，k₀为初始渗透率。

表 3为峰值应力前后测点渗透率的增加率，其中η_bcp，η_cp，η_acp分别为峰值应力前一个测点，峰值应力点、峰值应力后一个测点渗透率较初始渗透率的增加率。可以发现，不同气压下峰值应力前一个测点的渗透率增加率均较低，峰值应力点的渗透率增加率有显著升高，而峰值应力后一个测点的渗透率增加率升高幅度较小。

表 3 峰值应力前后测点渗透率增加率

Table 3. Increase rates of permeability before and after peak stress

试件编号	η_bcp	η_cp	η_acp
P1	1.00	37.24	44.64
P2	0.56	7.30	9.31
P3	0.79	8.75	9.19
P4	5.10	41.51	57.39

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2. 深部煤体渗透率演化过程概化模型

2.1 常规三轴加载渗透率概化模型

目前，常规三轴加载路径下的煤体渗透率测试已经大量进行。图 7汇总了一些常规三轴加载下的煤体渗透率试验结果。图 7中煤体的应力–应变曲线表现出典型的非线性特征，而煤体的渗透率–应变曲线也呈现出明显的分区变化特征。从应力–应变曲线的变化特征出发，一些学者提出将常规三轴压缩全应力–应变下的煤体渗透率演化过程划分为4个阶段^[26-27]（图 8），即压密阶段（B-Ⅰ）、弹性变形阶段（B-Ⅱ）、屈服变形到峰值强度阶段（B-Ⅲ）、应变软化阶段（B-Ⅳ），并分别描述了4个阶段中渗透率的演化规律。但是从应力–应变角度的划分方式存在个别阶段内渗透率升降速率突变及单调性不恒定的情况（图 8），而在巷道掘进和采煤工作面推进过程中，明确掌握煤体渗透率的单调变化区域及升降速率对瓦斯抽采和区域防突具有重要意义。因此，本文从渗透率升降速率和单调一致性的角度出发建立渗透率概化模型。图 8可以看出，全应力–应变下煤体的渗透率演化曲线整体呈“V”字型发展，但不同阶段渗透率的升降速率不同。由此可将常规三轴加载下的渗透率概化模型划分为下降段（C-Ⅰ）、峰前缓升段（C-Ⅱ）、急升段（C-Ⅲ）和峰后缓升段（C-Ⅳ）4个阶段。

图 7 常规三轴加载下煤体渗透率试验结果

Figure 7. Permeability evolution of coal under conventional triaxial loading

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图 8 常规三轴试验渗透率概化模型

Figure 8. Conceptual permeability model for coal under conventional triaxial loading

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（1）下降段（C-Ⅰ）

伴随开挖卸荷的过程，加工后的煤样相比原位状态来说，孔裂隙开度有所增加。在常规加载的初期，煤体内的孔裂隙结构在轴向应力的作用下逐渐压缩至闭合，应力–应变曲线出现压密阶段，瓦斯渗透通道变窄，渗透率逐渐下降。随后在弹性阶段，煤体仅发生弹性变形，孔裂隙的宽度被进一步压缩，渗透率缓慢下降至最小值^{[12, 27]}。因此，常规三轴加载中渗透率概化模型的下降段贯穿煤体的压密阶段和弹性阶段。

（2）峰前缓升段（C-Ⅱ）

在围压恒定作用下，轴向应力持续增加至煤体屈服强度后，煤体内部萌生新的微裂隙，原生裂隙不断扩展，煤样整体出现宏观的塑性变形。随着新裂隙的形成，煤体渗透率开始出现缓慢回升。

（3）急升段（C-Ⅲ）

当轴向应力接近峰值应力的时候，煤体内原生和新生微裂隙迅速扩展至贯通，瓦斯渗透通道形成并快速扩张导致渗透率急剧上升。峰值应力之后，轴向应力迅速跌落，煤体出现应变软化的现象。在应变软化的初期，煤体渗透率仍然持续急剧上升。这是由于宏观裂隙的产生和贯通是瞬间完成的，但瓦斯的渗透过程需要时间完成，造成渗透率的变化相对应力的变化来说具有一定的滞后性^[13]。

（4）峰后缓升段（C-Ⅳ）

在峰后应变软化的后期，煤体丧失了大部分的承载能力，煤体内的裂隙持续扩展贯通且扩展速率逐渐下降。此时煤样主要的宏观破裂面已经形成，并随着压应力的作用而裂隙面相互错动，瓦斯流动通道再次被逐渐压实。在这一阶段内渗透率呈现缓慢升高且上升速率下降的变化趋势。

2.2 采动应力路径下渗透率概化模型

谢和平等^[8]提出的典型开采方式采动应力路径与常规三轴加载有很大不同，主要包括原岩应力恢复和加轴压卸围压的过程。基于图 6的试验结果对比常规三轴加载下的渗透率演化过程，提出采动应力下深部煤体渗透率演化的概化模型。采动应力下的煤体渗透率曲线整体呈倒“Z”字台阶形发展，由此该模型可归纳为峰前缓升段（A-Ⅰ）、急升段（A-Ⅱ）和峰后缓升段（A-Ⅲ）3个阶段。

与常规三轴加载过程相比，采动应力下的渗透率演化过程不包括下降段，即不存在孔裂隙通道的压缩过程。原因在于两个方面：①一方面深部煤体的初始孔隙率和渗透率很低，可压缩的孔隙体积在煤体中的占比很小，裂隙孔径较窄；②另一方面由于经历深部高地应力的原岩应力恢复（图 2中OA段），煤体内的孔裂隙结构被大量压缩导致采动应力中第1卸载阶段（图 2中AB段）的初始时刻可压缩的孔隙较少。因此采动应力路径下煤体的应力–应变曲线基本不存在压密阶段，弹性阶段初期的渗透率并未下降，第1卸载阶段的初始渗透率较低。

采动应力第1卸载阶段开始后，煤体进入弹性变形阶段，此阶段深部煤体的渗透率缓慢升高，偏应力持续增大而渗透率的增幅较小。同常规三轴加载一样，在轴向应力接近峰值应力的时候，煤体内大量裂隙迅速扩展贯通，渗透率骤然上升。在峰后应变软化的过程中，渗透率增长减缓。虽然图 6中峰后渗透率的测点数据较少，但已测的渗透率结果呈现了缓升的趋势，这一变化规律在其它学者进行的采动应力渗透试验中也可得到验证^[12]。

3. 深部采动煤体全应力–应变渗透率理论模型

3.1 模型建立

深部煤体渗透率概化模型定性给出了采动应力作用下轴向应力与渗透率的关系，而精确掌握不同开采条件下的渗透率演化仍需理论模型作为基础。目前，渗透率理论模型大多以煤体外部应力或煤体体积应变为自变量进行构建。全应力–应变过程中轴向应力的曲线在峰值处存在拐点，体积应变的单调性也会在扩容点出现改变，而全应力–应变中的煤体渗透率呈现持续单调升高的趋势。由此可见，全应力–应变下煤体应力和体积应变的单调性均不能和渗透率保持一致。因而，基于应力或应变利用一个表达式定量表征全应力–应变下渗透率的演化过程是十分困难的。Zheng等^[28]和薛熠等^[29]均将全应力–应变下的渗透率模型划分为峰前和峰后两个阶段进行构建。籍此，本文借鉴分段表征的思想并结合概化模型中渗透率变化的升降速率和单调性（图 9），划分采动应力下峰前和峰后两个阶段构建深部采动煤体全应力–应变渗透率理论模型。

图 9 采动应力下渗透率概化模型

Figure 9. Conceptual permeability model for coal under mining stress

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（1）采动应力下峰前阶段

笔者等^[30]通过分析开采过程中煤体三向应力状态的变化，初步建立了三向扰动应力下的深部煤体渗透率模型：

$\begin{array}{l} \frac{k}{{{k_0}}} = \exp \left\{ { - 6\left( {\frac{1}{{\left( {1 - D} \right){E_{{\rm{b}}0}}}} - \left( {1 - \frac{1}{{{\phi _0}}}} \right)\frac{1}{{{E_{{\rm{f}}0}}}}} \right)} \right. \cdot {\rm{ }}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left[ {\left( {1 - {\nu _{\rm{b}}}} \right)\Delta {\sigma _{\rm{c}}} - {\nu _{\rm{b}}}\Delta {\sigma _{\rm{a}}} + \left( {2{\nu _{\rm{b}}} - 1} \right){\alpha _{\rm{b}}}\Delta p} \right] - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{ }}\left. {\frac{{2{\varepsilon _{\rm{L}}}}}{{\phi _0^{}}}\left( {\frac{{{F_{\rm{I}}}p}}{{{p_{\rm{L}}} + p}} - \frac{{{F_{{\rm{I}}0}}p}}{{{p_{{\rm{L}}0}} + p}}} \right)} \right\}{\rm{ }} \end{array}$

(2)

式中，E_b0，E_f0为煤体和裂隙的初始弹性模量，ϕ₀为煤体孔隙率，v_b为煤体泊松比，α_b为Biot系数，∆σ_c，∆σ_a，∆p为煤体所受围压增量、轴压增量和气体压力增量，F_I为内膨胀应变系数，D为采动过程中的损伤变量，取值方式详见文献[30]。

该模型可近似表征开采扰动应力作用下煤体在峰值应力跌落之前的渗透率演化过程，但是较难描述峰后应变软化阶段的渗透率变化。因此，该模型可作为深部采动煤体全应力–应变渗透率模型中计算峰前缓升段（A-Ⅰ）和急升段（A-Ⅱ）的基础。

（2）采动应力下峰后阶段

煤体峰后渗透率的演化受控因素较多，包括煤体破坏模式、加载控制方式、破裂程度、裂隙连通率等。目前，鲜有基于经典力学理论建立的能够表征煤体峰后渗透率演化过程的理论模型^[24]。尹光志等^[31]利用煤岩三轴瓦斯渗流装置测试了不同地应力条件下全应力–应变过程中峰后阶段煤体内的瓦斯渗流速度，建立了峰后阶段瓦斯渗流速度与轴向应力的二次多项式拟合关系：

$q = l\sigma _{\rm{a}}^2 + m{\sigma _{\rm{a}}} + n。$

(3)

并基于下式指出煤体渗透率与瓦斯渗流速度存在正线性相关的关系：

$k = \frac{{\mu qL}}{{A({P_1} - {P_2})}}。$

(4)

由式（3），（4）可得采动应力下煤体渗透率概化模型中峰后缓升段（A-Ⅲ）的渗透率与轴向应力增量呈二次多项式的关系：

$k \propto ({\chi _1}\Delta \sigma _{\rm{a}}^2 + {\chi _2}\Delta {\sigma _{\rm{a}}} + {\chi _3}),$

(5)

式中，q为瓦斯渗流速度，l，m，n为拟合系数，σ_a为轴向应力，μ为瓦斯黏滞系数，A为煤样横截面积，P₁，P₂分别为试样进口端、出口端瓦斯压力。

综合采动煤体渗透率概化模型的3个阶段及其特征（图 9），基于式（2），（5）的表达式可得深部采动煤体全应力–应变渗透率理论模型：

$\frac{k}{{{k_0}}} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{k}{{{k_0}}} = \exp \left\{ { - 6\left( {\frac{1}{{(1 - D){E_{{\rm{b}}0}}}} - \left( {1 - \frac{1}{{{\phi _0}}}} \right)\frac{1}{{{E_{{\rm{f}}0}}}}} \right)} \right. \cdot [(1 - {\nu _{\rm{b}}})\Delta {\sigma _{\rm{c}}} - \\ {\nu _{\rm{b}}}\Delta {\sigma _{\rm{a}}} + (2{\nu _{\rm{b}}} - 1){\alpha _{\rm{b}}}\Delta p]{\kern 1pt} - {\kern 1pt} \left. {\frac{{2{\varepsilon _{\rm{L}}}}}{{\phi _0^{}}}\left( {\frac{{{F_{\rm{I}}}p}}{{{p_{\rm{L}}} + p}} - \frac{{{F_{{\rm{I}}0}}p}}{{{p_{{\rm{L}}0}} + p}}} \right)} \right\}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\sigma _a} \le {\sigma _{{\rm{pd}}}})\\ \frac{k}{{{k_0}}} = \exp \left\{ { - 6\left( {\frac{1}{{(1 - D){E_{{\rm{b}}0}}}} - \left( {1 - \frac{1}{{{\phi _0}}}} \right)\frac{1}{{{E_{{\rm{f}}0}}}}} \right)} \right. \cdot [(1 - {\nu _{\rm{b}}})\Delta {\sigma _{\rm{c}}} - \\ {\nu _{\rm{b}}}\Delta {\sigma _{{\rm{pd}}}} + (2{\nu _{\rm{b}}} - 1){\alpha _{\rm{b}}}\Delta p]{\kern 1pt} - {\kern 1pt} \left. {\frac{{2{\varepsilon _{\rm{L}}}}}{{\phi _0^{}}}\left( {\frac{{{F_{\rm{I}}}p}}{{{p_{\rm{L}}} + p}} - \frac{{{F_{{\rm{I}}0}}p}}{{{p_{{\rm{L}}0}} + p}}} \right)} \right\}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\chi _1}\Delta \sigma _v^2 + {\chi _2}\Delta {\sigma _v} + {\chi _3}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{ }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{ }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\sigma _a} > {\sigma _{{\rm{pd}}}}){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \end{array} \right.$

(6)

式中，σ_pd为峰后应变软化起始点的应力，χ₁，χ₂，χ₃为待定拟合系数。参数χ₁，χ₂，χ₃根据渗透率结果基于二次多项式关系拟合确定，待定拟合系数与煤体破坏模式、孔隙率、裂隙孔径、裂隙连通率等因素有较大关联。

理论模型将采动煤体全应力–应变下的渗透率计算过程划分为两部分。峰前缓升段（A-Ⅰ）和急升段（A-Ⅱ）的煤体渗透率利用式（6）第一式进行计算，峰后缓升段（A-Ⅲ）的煤体渗透率基于式（6）第二式进行表征。

3.2 模型验证

本文仅依据护层开采的应力路径进行了渗透率试验，为了更好地验证深部采动煤体全应力–应变渗透率理论模型对不同采动应力路径的适用性，模型验证基于赵宏刚等^[12]得到的不同开采方式下煤体渗透率试验结果展开，拟合所用参数见表 4，5。

表 4 煤体基本参数列表^{[14, 32-33]}

Table 4. Basic parameters of coal^{[14, 32-33]}

孔隙率ϕ₀/%	煤体泊松比v_b	内摩擦角/(°)	煤体弹性模量E_b0/GPa	裂隙弹性模量E_f0/GPa	ε_L/%	P_L/MPa	F_I	Biot系数α_b
10.11	0.22	25.12	6.84	3.00	0.52	3.34	0.20	1.00

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表 5 峰后缓升段渗透率拟合系数

Table 5. Fitting coefficients in slowly increasing zone after peak stress

开采方式	χ₁	χ₂	χ₃	R²
保护层	7.195×10^-15	2.531×10^-7	1.878	0.9894
放顶煤	-2.195×10^-15	1.578×10^-7	1.754	0.9253

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图 10可以看出，所建立的渗透率理论模型具有明显的3阶段特征，即存在峰前缓升段（A-Ⅰ）、急升段（A-Ⅱ）和峰后缓升段（A-Ⅲ）。峰前缓升段和峰后缓升段渗透率的理论值与实测值吻合度较高，而在急升段存在一定差距，这是由于急升段煤体损伤变量理论值与煤体实际损伤演化规律的差异造成的。但总体来讲，该理论模型结果与实测值变化规律较为一致，能够较好的表征不同开采方式下煤体渗透率的演化过程。

图 10 不同开采方式下深部煤体渗透率拟合结果

Figure 10. Permeabilities of deep coal under different mining layouts

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4. 结论

（1）采动应力下煤体的应力–应变曲线不存在压密阶段，而包括弹性变形、裂纹稳定扩展、裂纹非稳定扩展、峰后应变软化的阶段。在峰值应力之前和之后测点的渗透率增加率上升幅度较少，而峰值点的渗透率增加率上升幅度较大。

（2）常规三轴加载和采动应力下的煤体渗透率曲线分别呈“V”字形和倒“Z”字台阶形。根据全应力–应变过程中渗透率的升降速率和单调性建立了常规三轴和采动应力作用下渗透率演化过程的概化模型。常规三轴加载下渗透率概化模型包括下降段、峰前缓升段、急升段和峰后缓升段。采动应力下的渗透率概化模型包括峰前缓升段、急升段和峰后缓升段。

（3）基于概化模型中渗透率三阶段的划分，以三向扰动应力下的深部煤体渗透率模型为基础，结合二次多项式拟合关系建立了深部采动煤体全应力–应变渗透率理论模型，该模型可以较好的表征不同开采方式下深部煤体的渗透率演化过程。

图 1 椭球体理论模型

Figure 1. Model for ellipsoid theory

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图 3 非接触式图像测量系统

Figure 3. Non-contact image measurement system

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图 4 不同损失率下地层剪切应变

Figure 4. Shear strains of strata at different loss rates

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图 5 地层损失和长短半轴关系图

Figure 5. Relationship between ground loss and long and short semi-axes

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图 6 不同损失率下地层位移

Figure 6. Ground displacements under different loss rates

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图 7 改进的Terzaghi松动土压力分析模型

Figure 7. Modified failure mechanism of Terzaghi for a tunnel

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图 8 松动区土体应力分析

Figure 8. Stress analysis of soils in loosening zone

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图 2 模型试验系统示意图

Figure 2. Schematic diagram of model test system

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图 9 滑裂面处土体摩尔应力圆

Figure 9. Mohr's stress circle of soils on sliding interface

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图 10 松动区内部土体应力状态

Figure 10. Stress states of soils in loosening zone

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图 11 平均竖向压力与H/D的关系

Figure 11. Relationship between average vertical pressure and H/D

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