New method for calculating probability of sand liquefaction
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摘要: 基于发展风险理念下液化防治技术的需求，推导出了一种基于单变量（UB）的概率计算新方法，提出了以实测标贯击数为主控参数的砂土液化概率评价的半经验半理论方法与新计算公式，并以近期地震大量实测数据对新方法进行了对比检验。研究表明：通过较为成熟的土层液化判定的确定性方法与求解概率的经典数学方法相结合，可解决目前实测资料不具备完备性导致的完全依靠样本回归或学习形成的评价方法的偏差问题，亦可克服采用CSR理论导致的既有液化概率计算方法在砂层埋深超过10 m后不合理的缺点；以2011年新西兰地震中0.23g~0.89g的PGA范围、2~30 m埋深的341组液化实测数据检验，新方法和公式的可靠性和先进性得到了验证。提出的公式已被具有样板规范性质的《建筑工程抗震性态设计通则》修订版采纳，可为相关规范修订及工程应用提供指导与技术支持，同时提出的基于单变量的概率计算新方法对其他多自变量下二分类概率计算问题具有指导与参考意义。Abstract: Based on the demand of developing liquefaction prevention and control technology under the concept of risk, a new univariate-based (UB) probability method is deduced, and a new formula is proposed, which takes the in-situ standard penetration blow count as the main control parameter, and the verification of the new method is conducted by using the recent actually measured data. The results shows that through the combination of the mature deterministic method of liquefaction discrimination with the classical mathematical method for the probability can solve the deviation problem of the evaluation method which is completely dependent on sample regression or learning caused by the incompleteness of the current measured data, and can also overcome the unreasonable disadvantages of the existing evaluation methods for liquefaction probability caused by the CSR theory when the buried depth of sand layer exceeds 10 m. The reliability and advancement of the new method and formula are verified by 341 groups of measured liquefaction data with PGA range of 0.23g to 0.89g and buried depth of 2 to 30 m from the 2011 New Zealand Earthquake. The proposed formula has been adopted in the revised version of the General Rule for Performance-Based Seismic Design of Buildings of China, which can provide guidance and technical support for the related specification revision and engineering application, and the proposed univariate-based approach for probability calculation can be used as a guide and reference for probability calculation of dichotomies with multiple independent variables.
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0. 引言
袋装砂井联合真空/堆载预压法加固软土地基具有良好的经济性，排水通道[1-2]可加快软土固结过程，限定工期内达到工后沉降要求[3-5]。1985年，中国首次使用袋装砂井加固高速公路软土地基，应用效果良好[6]。1942年Carrillo[7]提出了著名的考虑地基竖向和水平向固结度的平均固结度Carrillo计算理论。近年来，更多学者[8-12]考虑等应变、大变形、双层地基、分步加载等条件建立了更加精确的解析解。
袋装砂井的打设深度受地基稳定性或沉降速率控制。对于深厚软土地基，分两种情况设计砂井打设深度：以稳定性控制的工程，砂井打设深度（l）应超过潜在滑移线以下3~4 m；以残余变形（工后沉降）或变形速率控制的工程，在满足稳定性要求的基础上打设深度以预期沉降量确定。同时，无论处理地基受稳定性控制还是沉降变形控制，砂井深度需要打穿受压层，受压层厚度可以通过附加应力为土体自重应力的0.1倍时的土层深度确定。对于浅薄软土层，砂井应打穿软土厚度但不可抵达下卧透水层。
综上，砂井打设深度有明确的设计要求，袋装砂井是否打设至规定深度是保证软基处理效果的关键控制指标。砂井在施工过程中，可能产生倾斜、断裂、弯曲等缺陷致使打设深度无法达到设计深度，另外人为原因导致的打设深度不足也给工程管理带来巨大挑战。砂井长度不足可能导致工期延后、工程稳定性差等问题，对砂井打设深度进行精准检测是重要的工程质量控制手段。
现有的砂井深度的检测方法包括拔井法、挖验法、工程钻探取芯法、拔挖结合法以及高压水冲拔袋法。拔井法和挖验法效率低，准确性差；工程钻探取芯检测时钻机钻进过程中，易偏离砂井，难以钻至井底，容易出现偏差；拔、挖结合是将先将软土层粘土挖除，减小土体对砂井握裹力，拔出砂井，也可能会出现断井现象；高压水冲拔袋法检测大深度袋装砂井耗时多，同时该方法对环境造成一定污染。另外，以上所述方法都会对已打设砂井造成损耗，缺点明显。
本文提出一种磁场法对袋装砂井深度进行检测，将磁场原理应用于砂井深度检测可规避现有方法局限性，以解决现有袋装砂井深度检测方法的一些缺点，实现砂井深度的简单高效检测。
1. 砂井长度对软基处理效果影响分析
1.1 砂井地基固结度计算方法
对袋装砂井堆载预压处理区软土地基固结度可由Carrillo公式确定：
(1) 式中：和分别为砂井地基处理区径向和竖向排水固结度，可通过Barron和Terzaghi径向和一维固结方程[8, 10]确定。
对于深厚软基，砂井打设深度未能穿越压缩土层，受压土体的平均固结度应分两部分考虑，①砂井处理区的固结度，②处理区底部与受压区底部之间土层的固结度。考虑最简单情况，假设土体中附加应力沿深度均匀分布，则土体的综合平均固结度可以利用以下公式[13]得到
(2) 式中：l为砂井长度；H为土体总厚度，当砂井长度l与土体总厚度H相同时，即砂井打穿压缩层，式（2）与式（1）相同。为未打穿地层固结度，通过Terzaghi一维固结方程确定，计算时排水路径长度可取未打穿厚度平均值，即（H-l）/2。
1.2 打设深度对固结影响分析
对不用长度砂井（10，12，15，18，20 m）处理的深厚软基平均固结度进行理论计算与比较分析。首先，假设软基层厚度H=20 m，土体和砂井单元体参数如表 1所列。平均固结度理论计算结果如图 1，2所示，特定时间对应的固结度如表 2。
表 1 土体和砂井单元体计算参数Table 1. Parameters of soil and sand drain参数 cz/(cm2·s-1) cr/(cm2·s-1) kr/(cm·s-1) ks/(cm·s-1) de/m dw/m qw/(cm3·s-1) n s 取值 0.001 0.002 0.33×10-5 1.65×10-5 1.05 0.1 50 10 2 注：cz，cr分别为土体竖向和径向固结系数；kr，ks分别为土体竖向和涂抹区渗透系数；de，dw分别为砂井和分析单元体直径；qw为砂井通水量；n为井径比；s为涂抹直径比。 ![]()
图 1 不同砂井深度地基固结度时间曲线Figure 1. Time curves of consolidation degree of foundation with different depths of sand drain![]()
图 2 不同固结天数砂井深度与固结度关系Figure 2. Relationship between sand well depth and degree of consolidation for different consolidation days表 2 砂井处理软土地基特定时间的固结度Table 2. Consolidation degrees of sand drain-treated ground at given time软度深度/m 砂井深度/m 1000 d固结度/% 10000 d固结度/% 20 10 54 54+8 12 63 63+6 15 77 77+3 18 91 91+1 20 100 100+0 图 1为不同深度袋装砂井地基固结度与预压时间的关系，图 2为不同预压时间地基固结度与袋装砂井深度的关系。第一阶段（约1000 d）内土体的固结度快速增加，砂井长度20 m和软土厚度相同工况下地基的理论固结度接近100%，砂井未打穿软土层工况地基固结度随砂井深度递减，见表 2。第二阶段（1000天后）的地基固结度发展速率较前期明显减小，曲线斜率平稳。在计算结束时（10000 d），10~18 m砂井工况的地基固结度较1000 d时分别增加8%，6%，3%，1%，并且最终固结度受到第一阶段固结度控制。这是因为土体的径向固结系数大于竖向固结系数、径向排水距离远小于竖向排水距离，因此土体固结度增加主要由径向排水贡献。然而，在固结第一阶段后，上部砂井处理区排水接近结束，地基固结度增速迅速下降；下部受压区的一维排水是第二阶段地基固结度缓慢增加的主要原因。
图 2显示不同预压时间下地基固结度与袋装砂井深度近似为线性正相关关系。当500 d内地基固结度需达90%以上时，袋装砂井深度须大于18.6 m；另外，当砂井长度小于17.7 m时，地基固结度达90%的预压期超过1000 d，可见砂井欠深产生的工期成本巨大。
2. 磁场法设计与测试
2.1 检测原理
检测原理示意图如图 3所示。首先，将永久磁元件制成的靶标（内置条形磁铁）预置于砂袋端部，随砂袋沉于砂井底部；其次，将磁场传感器改装入触探头内并与触探杆衔接，在目标砂井侧边使用轻型静力触探机（液压设备）将探头沿目标袋装砂井平行的方向压入地下；接着，利用磁强计读取磁感应强度以及对应深度位置；最后，绘制磁感应强度-深度曲线并通过曲线拐点判断目标磁元件所在位置，进而确定砂井打设深度。磁强计选用TM4100B单轴式磁通门磁强计具有方便携带、灵敏度高、线性度高和漂移度低等优势，其磁场测量范围为-1000~1000 μT（负值表示与参考方向相反），线性度优于±0.1%。
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图 3 磁场法砂井深度检测原理Figure 3. Principle of detecting sand drain depth by magnetic field method2.2 单靶标法测试
本节通过室内试验进行单靶标（靶标1）磁场法测试方法有效性。首先，将磁元件（N-S极轴处于水平向）置于在2 m深的管道内，分别在距其15，20，25，30 cm的距离设置检测孔（图 4）；将传感器探头竖直放入进行检测，开始阶段每10 cm记录一次，待磁场读数出现明显单向变化时每3 cm记录一次；检测结果中的极值深度（图 4）即目标磁体所在位置。
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图 4 磁感应强度随探测深度变化曲线Figure 4. Variation of magnetic induction intensity with detecting depth表 3为不同检测距离下的磁感应强度检测结果，检测初值大小受N-S极轴与传感器平面相对朝向影响。图 4显示，随着检测深度增加，磁感应强度值逐渐增大并在到达极值后逐渐减小。这是因为靶标磁元件与探头的直线距离越来越近越近，对应磁感应强度越大，当探头内传感器检测平面中心与靶标中心连线水平，此时磁感应强度最大而出现极值。不同检测间距均在2 m处测得最大磁感应强度值。本试验结果与试验设定是一致的，验证了本研究所提方法的科学有效性。
表 3 不同距离下的磁感应强度检测值Table 3. Magnetic inductions with different measuring distances检测距离/cm 磁感应初值/μT 磁感应极值/μT 极值点深度/m 15 20±1.0 230.1±1.0 2.0 20 30±1.0 110.5±1.0 25 15±1.0 55.3±1.0 30 10±1.0 32.0±1.0 2.3 磁场方向偏转影响及双靶标法
试验研究磁感应强度受N-S极轴与检测传感器平面相对位置关系影响规律。将30 mm直径球形磁元件固定且保持N-S极轴水平，在距离该元件水平距离20 cm处时放置检测传感器探头，保证传感器检测平面垂直朝向N-S极轴，此时N-S轴与传感器平面法夹角（简称夹角）定位初始0°角（图 5（a）），对应磁感应强度最大值。将磁元件在平面内沿顺时针方向慢慢旋转360°，每旋转5°记录一次数值直至旋转至初始位置。磁感应强度随夹角变化如图 5（b）所示。
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图 5 磁场方向与磁感应强度关系Figure 5. Relationship between field direction and magnetic induction intensity图 5（b）中可以看出，磁感应强度随夹角变化近似呈余弦函数曲线规律，在0°和180°时出现最大幅值，在90°和270°出现零值。磁场检测是磁强计对通过传感器平面的磁感应强度矢量的垂直分量进行检测，磁场方向变化直接影响其垂直分量大小，在磁场方向与传感器平面平行时，检测平面的垂直分量为零，出现检测数值为零的情况，例如夹角为90°和270°。单靶标法在实际使用时，应避免夹角接近90°和270°，否侧可能因磁感应强度过小而无法检测。
为规避检测数据出现零值情况，在靶标载体内封装两个磁芯，制成双磁芯靶标，双磁芯靶标测试结果如图 6。图 6显示，靶标载体竖直情况下，靶标1和2的NS极分别同向和反向设置，在距埋设孔中心15，20，25，30 cm设置检测孔进行磁场强度检测，无论NS极同向和NS极反向，磁场强度随深度变化曲线均存在明显拐点/极值，极值对应两个靶标位置，通过靶标1可判定砂井打设深度。
双磁芯靶标的磁极方位是任意摆放的，图 6结果显示没有出现检测数据为零的现象，说明双磁芯靶标方案可以大大降低磁感应零值的出现概率。若不考虑探头在贯入过程的转动和水平距离的变化，以检测传感器平面法线和磁芯磁极轴线夹角在90°和270°附近范围正负3度为无感应区间，则单磁芯靶标的磁感应零值概率为1/30，双磁芯靶标同时出现零值的概率为1/900，理论上存在出现零值的可能。由此，双磁芯靶标封装时，两个磁芯的磁极轴线应设定为固定夹角，增加这一控制指标可以保障磁感应零值出现概率为零。为方便封装操作，夹角设定为45°。
经过计算，双磁芯靶标出现单次磁感应零值的概率为2/30，出现磁感应单峰值特征的概率为100%，出现双峰值特征的概率为28/30即93.3%。考虑到地下可能存在的铁磁性物体产生的偶然磁场，设定双磁芯距离为定值，由此凸显人工磁场特征，以此甄别地下偶然磁场的影响。另外，载体尺寸越小越容易投放且成功率越高，双磁芯间距以刚好出现零磁区为标准确定，针对本试验磁芯体积和磁场强度，靶标间距设定为50 cm。试验结果显示，靶标1和2之间存在小范围的零磁区间或弱磁区间，说明50 cm靶标间距设置合理，此时靶标之间的磁场干扰微弱。
综上，双磁芯靶标设计方案，理论上可以保障检测成功率为100%，甄别地下偶然磁场的成功率为93.3%，依据靶标间出现零磁区为标准确定靶标间距可以最大限度地缩小靶标载体尺寸。
3. 现场应用
3.1 工程概况
将本方法应用于实际工程。广东省兴宁至汕尾高速公路海丰至红海湾段一期工程K16+517~750范围内软基采用袋装砂井处理，袋装砂井设计间距1.1 m，长度为8.0 m，采用正方形布置。打设前砂井处理区分为3个部分：（1）无靶标区、（2）单靶标区和（3）双靶标区，每个区域打设100个砂井。分别在无靶标区采用高压水冲拔袋法抽检砂井长度，在靶标区采用磁场法对袋装砂井长度进行抽检。
3.2 高压水冲拔袋法和磁场法现场检测
高压水冲拔袋法用高压水流冲击砂袋周围土体，使土体结构破坏，并每隔一定深度扎破砂袋使砂粒随水流溢出汇入泥浆池。过程中砂袋自重及表面摩擦力降低，便可抽出砂袋量取长度确定砂井深度。高压水冲拔袋法只要操作得当，均可成功将砂袋拔出，砂井深度检测准确性良好。该法检测耗时受砂井深度影响较大，检测后砂井被完全破坏，并伴生一定的环境污染（图 7（a）），因此，现场试验仅随机抽检6根砂井。
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图 7 高压水冲拔袋法与磁场法现场检测实况Figure 7. Field detection of high-pressure water punching and drawing bag method and magnetic field method磁场法检测一根砂井平均用时仅半小时且为无损检测（图 7（b）），现场试验随机抽取20根砂井进行抽检。磁场法中单靶标法和双靶标法检测间距分别采用15，20，25，30 cm，对应每个间距各检测5根。
3.3 结果与分析
采用水冲拔袋法成功完整抽检共6根袋装砂井，成功率100%，6根砂井检测长度分别为8.1，8.05，7.95，8.25，8.0，8.0 m，深度满足设计要求，检测耗时平均3 h/根。图 8是检测间距为30 cm时单靶标法和双靶标法的磁感应强度随深度变化曲线。
图 8（a）显示极值出现在深度8.0 m处，1~5号砂井具体为8.0，8.0，7.9，7.95，8.0 m，检测结果与高压水冲拔袋法一致，证明了单靶标法的有效性。其中5号砂井的极值区分度较小，原因可能在于靶标中磁铁N-S极轴方位偏差或检测探头旋转等因素。图 8（b）显示曲线有两处极值，分别在深度7.5，8.0 m处，具体为7.45/7.95，7.55/7.98，7.35/7.80，7.50/7.95，7.65/8.15 m。双靶标法的总体检测结果与高压水冲拔袋法、单靶标法基本一致，证明了双靶标法的有效性。另外，图 8（b）中曲线可推测1号、5号砂井双靶标NS极同向放置，2，3，4号双靶标NS极反向放置。同时需要指出，上下靶标对应的极值位置并不都等于0.5 m，可能源于靶标安装质量、靶标载体倾斜或者探头扭转等原因，符合施工实际情况。总之，单靶标法和双靶标法均体现出了100%成功率和准确度。
4. 结论
（1）分析发现袋装砂井的打设深度与地基平均固结度近似线性正相关，直接影响地基处理效果。
（2）提出了一种利用磁场感应原理检测袋装砂井打设深度的方法即磁场法。利用永久磁元件制成的靶标预置于砂袋端部，在目标砂井周围径向一定距离，使用轻型静力触探机和磁强计读取磁感应值以及对应的深度位置，以此确定袋装砂井打设深度。
（3）双磁芯靶标检测方法可以保障检测成功率和甄别场地中偶然磁场的影响。双磁芯靶标检测方法理论上可以保障检测成功率为100%，甄别地下偶然磁场的成功率为93.3%，依据靶标间出现零磁区为标准确定靶标间距可以最大限度地缩小靶标载体尺寸。
（4）现场应用显示，单靶标法和双靶标法均体现出了100%成功率和检测准确度，检测结果和设计值一致，操作简单高效，检测后袋装砂井无损。
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图 1 3个烈度下现行建筑抗震设计规范的液化临界线
Figure 1. Critical curves of liquefaction in GB50011—2010 Code for Seismic Design of Buildings of China for three seismic intensities
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图 2 3个烈度下美国NCEER方法的液化临界曲线
Figure 2. Critical curves of liquefaction in NCEER method for three seismic intensities
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图 3 3个烈度下建筑工程抗震性态设计通则方法液化临界曲线
Figure 3. Critical curves of liquefaction in General Rule for Performance-Based Seismic Design of Buildings of China for three seismic intensities
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图 4 3个烈度下核电厂抗震设计标准中的液化临界曲线（PL=0.5）
Figure 4. Critical curves of liquefaction in Code for Seismic Design of Nuclear Power Plants of China for three seismic intensities (PL=0.5)
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图 5 PL为0.5下4种方法液化临界线随埋深变化的对比
Figure 5. Comparison of liquefaction thresholds with buried depth of four methods under PL of 0.5
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图 6 PL为0.2下本文方法与核电厂抗震设计标准方法液化临界线随埋深变化的对比
Figure 6. Comparison of liquefaction thresholds with buried depth by proposed method and Code for Seismic Design of Nuclear Power Plants of China under PL of 0.2
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图 7 PL为0.8下本文方法与核电厂抗震设计标准方法液化临界线随埋深变化的对比
Figure 7. Comparison of liquefaction thresholds with buried depth by proposed method and Code for Seismic Design of Nuclear Power Plants of China under PL of 0.8
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图 8 不同概率水平下本文方法与核电厂抗震设计标准方法对2011新西兰地震10 m埋深内液化实测数据的判别结果对比
Figure 8. Comparison of discriminant results of liquefaction data within 10 m depth between the paper and the Seismic Code of Nuclear Power at different probability levels
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图 9 不同概率水平下本文方法与核电厂抗震设计标准方法对2011新西兰地震超过10 m埋深液化实测数据的判别结果对比
Figure 9. Comparison of discriminant results of liquefaction data over 10 m depth between the paper and the Seismic Code of Nuclear Power at different probability levels
表 1 按10 m为分界线下的砂层埋深分布
Table 1 Distribution of sand depth according to dividing line of 10 m in 2011 New Zealand Earthquake
砂层状态 埋深10 m以内 埋深10~30 m之间 液化 150 123 非液化 32 36 小计 182 169 
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