Numerical simulation method for hydraulic fracture pressure of perforated surrounding rock under hydraulic coupling
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摘要: 以多孔介质流体渗流和围岩应力耦合理论为基础，提出一种基于有限容积法(FVM)的水力耦合作用下射孔围岩水力压裂破裂数值模拟方法。首先，考虑初始地应力和流体渗流对射孔围岩的影响，运用坐标转换和叠加原理得到围岩应力分布。其次，考虑围岩渗透率和孔隙度的应力敏感性，通过渗流力学分析确定射孔围岩的流体压力。最后，探讨水力压裂射孔围岩破裂准则的基础上，构建考虑水力耦合的射孔围岩水力压裂力学模型，并基于有限容积法对渗流方程和应力方程予以离散，提出水力耦合作用下射孔围岩水力压裂破裂数值模拟方法。该方法实现了流体渗流与围岩应力的耦合，可精确求解水力耦合作用下射孔围岩水力压裂破裂压力和破裂时间，亦能对流体压力和围岩渗透率演化予以准确描述。相关成果丰富了水力压裂破裂机理的研究，亦可对实际工程设计提供重要的参考。Abstract: A numerical simulation method for hydraulic fracture pressure of perforated surrounding rock under hydraulic coupling is proposed using the FVM based on the coupling theory of fluid flow of porous media and stress of surrounding rock. Firstly, considering the influences of the initial geo-stress and fluid flow in the perforated surrounding rock, the stress distribution of the surrounding rock is obtained through the coordinate conversion and superposition principle. Secondly, considering the stress sensitivity of permeability and porosity of surrounding rock, the fluid pressure field of perforated surrounding rock is determined through the fluid flow analysis. Finally, on the basis of discussing the fracture criteria for the perforated surrounding rock during hydraulic fracturing, a mechanical model for hydraulic fracture perforated surrounding rock considering hydraulic coupling is established. The flow equation and the stress equation are discretized by the finite volume method, and a numerical simulation method for hydraulic fracture under hydraulic coupling is proposed. The method realizes the coupling of fluid flow and stress of surrounding rock, which can accurately calculate the breakdown pressure and time of hydraulic fracture of perforated surrounding rock under hydraulic coupling, and can also accurately describe the fluid pressure field and permeability evolution of surrounding rock. The results illustrate that the stress sensitivity of permeability and porosity induces the more uniform distribution of fluid pressure, the permeability and fluid pressure near the well area increase, the seepage influence range expands, and the fracture pressure and time of surrounding rock decrease. The relevant results enrich the researches on breakdown mechanism of hydraulic fracture and also provide important reference for practical engineering.
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0. 引言
土的缩限是Atterberg (1911) 提出的稠度界限之一，最早被Terzaghi (1925) 引入土力学，指湿土干燥（脱湿）过程中，土从半固态转变为固态时的含水率[1]，低于该含水率土体积不再收缩[2]（即土体不再收缩时对应的最大含水率[3]）。《岩土工程基本术语标准：GB/T 50279—2014》[4]中缩限定义为：饱和黏性土的含水率因干燥减少至体积不再变化时的界限含水率。值得注意的是，虽然黏土的收缩行为[5-7]及其收缩曲线[8-9]的研究成果非常丰富，但有关于土的缩限[10]的研究较少。本文工作聚焦于缩限的准确确定。
作为黏土重要的物理性质指标之一，缩限的确定方法大体分2类。
第1类方法针对扰动样（泥浆样），将土制成含水率稍大于液限的泥浆，填入收缩皿后排气，刮平试样表面，擦净收缩皿外部，测试样质量与体积（收缩皿容积），将收缩皿试样风干至颜色变淡，烘干后测干土质量与烘干后体积（认为不再收缩时的体积与烘干后体积相同），在假定收缩至体积不变时土是饱和的前提下计算出缩限。英国标准BS 1377—2:1990[2]与ASTM D427—04[11]均采用此法，由于体积量测采用汞，后均因安全原因被撤回。ASTM D4943—18[12]与《土工试验方法标准：GB/T 50123—2019》[13]中“9.5缩限试验”用蜡封（浮称）法取代汞测烘干后体积，是现行的国内外标准。
第2类方法针对原状样与压实样（块状样），将圆柱试样（或环刀试样）置于收缩仪上风干，试验过程中测试样体积收缩（或高度变化）与质量变化，直至试样体积不变为止，从而获得试样的收缩曲线（用体积变化/线缩率/孔隙比–含水率关系表达），在收缩曲线上用初始线性段与最终水平段的交点确定缩限。BS 1377—2:1990[2]即采用该方法，亦由于其体积量测采用汞被撤回。GB/T 50123—2019[13]中“26收缩试验”采用该方法，与BS方法[2]不同的是：采用百分表量测试样高度变化以获得线缩率，避免了采用汞造成的危害。
以上2类缩限确定方法存在的问题是：第1类方法假定收缩至体积不变时土是饱和的，实际上土体收缩至体积不变时，土是非饱和的，假定饱和，高估了缩限；第2类方法在收缩曲线上用初始线性段与最终水平段的交点而非收缩至体积不变点确定缩限，与缩限的定义不符，亦高估了缩限。
为此，本文从缩限定义[4]出发，分别建议了基于“缩限试验”与“收缩试验”的真实缩限值确定方法，并采用6种黏土开展系统的“缩限试验”与“收缩试验”，结果表明：由基于“缩限试验”的泥浆样与“收缩试验”的泥浆固结样获得的真实缩限值几乎相同；GB/T 50123—2019中“缩限试验”、“收缩试验”方法确定出的缩限值约为真实缩限值的2.7倍；真实缩限状态下，土是非饱和的，其饱和度介于22%~57%。本文试图为在土工测试中更准确地确定缩限提供参考。
1. 研究方案
1.1 试验土样
试验采用6种土样：荆门黄褐色膨胀土、Denver claystone、荆门棕褐色膨胀土、信阳黏土、武汉黏土、三门峡粉质黏土，其物理性质指标测试结果见表 1。
表 1 试验用土的物理性质指标Table 1. Physical property indices of test soils土样名称 Gs[13] >
0.075 mm/%[13]0.005~
0.075 mm/%[13]0.002~
0.005 mm/%[13]<
0.002 mm/%[13]液限
/%[13]塑限
/%[13]塑性指数[13] USCS
定名[14]比表
面积EGME
/(m2·g-1)
[15]CEC
(NH4+)
/(mmol·kg-1) [13]标准吸湿含水率/%
[16]自由膨胀率/%
[17]膨胀潜势[17] 荆门黄褐色膨胀土 2.75 2.1 47.4 21.5 29.0 62.9 25.5 37.4 CH 236.5 309 7.3 75 中 Denver claystone 2.72 8.5 44.2 20.6 26.7 46.0 23.2 22.8 CL 88.7 160 3.8 38 — 荆门棕褐色膨胀土 2.72 11.6 42.4 26.7 19.3 41.8 20.7 21.1 CL 110.4 254 5.1 40 弱 信阳黏土 2.72 0.5 57.0 13.3 29.1 41.6 18.8 22.8 CL 110.2 206 4.8 40 弱 武汉黏土 2.73 5.5 63.9 9.6 21.0 40.3 18.2 22.1 CL 112.5 154 3.7 39 — 三门峡粉质黏土 2.72 0.5 82.8 5.7 11.1 35.2 19.1 16.1 CL 108.5 149 4.3 30 — 1.2 缩限试验
参照GB/T 50123—2019 [13]中“9.5缩限试验”方法，将含水率稍大于液限的泥浆填入收缩皿开展缩限试验。收缩皿规格为：直径5 cm，高3 cm。缩限试验开始时的6种泥浆试样照片见图 1。
与国标方法有区别的是：将泥浆试样室内风干至试样与收缩皿脱开后，将试样置于收缩仪上风干至百分表读数不变（体积不变）为止，见图 2，此时测试样质量，根据此状态（体积不变）下的质量与干土质量确定出含水率，即为真实缩限值（土体积不再收缩时对应的最大含水率）。
其余试验步骤均按国标方法执行。《土工试验标准：GB/T 50123—2019》[13]中缩限公式为
ws=(0.01w′−V0−Vdmd⋅ρw)×100% ， (1) 式中，ws为缩限（%），w′为泥浆制备含水率（%），V0为收缩皿容积（cm3），Vd为烘干后土的体积（cm3），md为烘干后土的质量（g），ρw为水的密度（g/cm3）。其中，V0-Vd指收缩过程中土的体积收缩量，乘以水的密度ρw，是由于收缩减少的水的质量；但是，土样开始收缩时是饱和的，达到缩限状态时是非饱和的，式（1）没有考虑由饱和状态过渡到非饱和状态减少的水质量，即假定了缩限相应的含水状态是饱和的。
1.3 收缩试验
参照GB/T 50123—2019[13]中“26收缩试验”方法开展试验。为更好地比对试验结果，采用泥浆固结样，其制备方法为：将土样风干、碾散、过0.5 mm筛，在真空搅土器中加水至2倍液限搅拌均匀后，倒入固结容器；再置入高压固结仪施加目标固结压力（本文为34.7 kPa）。固结完成后，将试样推出用保鲜膜包好，试验前用环刀沿泥浆固结样竖向切取环刀试样。
与国标方法有区别的是：试验过程中测记百分表读数（目的是获得线缩率δ）与称质量（目的是获得含水率w）时记录风干历时t，试验结束后，绘制δ与w为双y轴、t为x轴的双y轴图，由线缩率不变的起始点找到同一时刻对应的含水率，即为真实缩限值（土体积不再收缩时对应的最大含水率）。
其余试验步骤均按国标方法执行。收缩试验过程中的试样照片见图 3。
2. 试验结果分析
2.1 缩限试验
采用GB/T 50123—2019 [13]中“9.5缩限试验”方法测得6种土样缩限试验数据w′，V0，Vd，md见表 2，假定水的密度为1.0 g/cm3（文中水的密度均作此假定），代入式（1）获得缩限ws列入表 2。
基于土的三相图，缩限ws与相应饱和度Sr（%）的关系为
Sr=mdwsρwVd−mdGsρw×100%， (2) 式中，Gs为土粒相对质量密度，6种土样的Gs见表 1。据式（2）计算Sr列入表 2，可见Sr介于93%~99%，表明处于饱和状态，证实：国标方法是在假定收缩至体积不变时土是饱和的前提下计算缩限。
表 2 6种土样缩限试验数据Table 2. Shrinkage limit test data of 6 types of clay试验土样 w′
/%V0
/cm3Vd
/cm3md
/gws
/%Sr
/%荆门黄褐色膨胀土 79.9 59.88 24.62 51.116 10.9 93 Denver claystone 60.7 59.61 33.56 60.942 18.0 98 荆门棕褐色膨胀土 56.9 59.69 32.27 63.292 13.6 95 信阳黏土 47.5 59.4 36.06 70.222 14.3 98 武汉黏土 44.6 58.97 36.00 72.193 12.8 97 三门峡粉质黏土 45.5 59.73 38.50 72.433 16.2 99 计算出饱和度不是100%，有以下原因：①初始泥浆不一定完全饱和；②收缩皿口不一定完全刮平；③试样烘干前后可能有体积变化；④水的密度不一定等于1.0 g/cm3；⑤土粒相对质量密度Gs有偏差可能等。但从另一视角看，6种土样，最小偏差1%，最大偏差7 %，是一个较为理想的推算。
将收缩皿试样置于收缩仪上风干至体积不变时的试样质量m、烘干后土的质量md、烘干后土的体积Vd列在表 3中，由缩限的定义（土体积不再收缩时对应的最大含水率）确定出真实缩限ws：
ws = m−mdmd×100%。 (3) 表 3 6种土样真实缩限状态（基于缩限试验）Table 3. Physical properties of 6 types of clays under realistic state of shrinkage limit based on the shrinkage limit test试验土样 m
/gmd
/gVd
/cm3ws
/%Sr
/%荆门黄褐色膨胀土 54.56 51.116 24.62 6.7 57 Denver claystone 63.43 60.942 33.56 4.1 22 荆门棕褐色膨胀土 66.93 63.292 32.27 5.7 40 信阳黏土 74.31 70.222 36.06 5.8 40 武汉黏土 74.99 72.193 36.00 3.9 29 三门峡粉质黏土 75.43 72.433 38.50 4.1 25 由表 3可见真实缩限比国标方法测得的缩限（表 2）要低39%~77%，偏差幅度较大。假定试样烘干前后体积不变（实测数据表明偏差在1%以内），根据式（2）计算Sr列入表 3，可见其饱和度介于22%~57%，证实“实际上土体收缩至体积不变时，土是非饱和的，假定饱和，高估了缩限。”
2.2 收缩试验
采用GB/T 50123—2019 [13]中“26收缩试验”方法测得6种土样用线缩率δ（%）与含水率w（%）表达的收缩曲线见图 4，在收缩曲线上用初始线性段与最终水平段的交点确定出缩限及其相应的线缩率。可见其确定的缩限与缩限的定义不符：交点相应线缩率均小于体积不变时的线缩率，交点相应含水率均高于收缩至体积不变时的最大含水率，即国标方法得到的缩限高估了缩限值。
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图 4 由收缩试验确定缩限（国标方法）Figure 4. Shrinkage limits determined by shrinkage tests proposed by GB/T 50123—2019从缩限定义（土体积不再收缩时对应的最大含水率）出发，采用以下步骤，求取真实缩限值：①绘制线缩率δ–含水率w–时间t双y轴图（图 5）；②从δ–t关系曲线上找到δ最大值（代表线缩率不变，即体积不变）的起始点（脱湿过程中，体积不变条件下，这一点对应的含水率最大），确定出相应t值；③由t值在w–t关系曲线上确定出相应w值，即为真实缩限值。
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图 5 由收缩试验确定缩限（本文方法）Figure 5. Shrinkage limits determined by shrinkage tests proposed by this study将基于收缩试验结果的国标方法与本文方法获得的缩限列入表 4，可见真实缩限值比国标方法测得的缩限值要低43%~76%，幅度亦很大。将土体积不再收缩时的质量m、干土质量md、烘干后土的体积Vd列入表 4，根据式（2）计算得到真实缩限对应的Sr（表 4），可见其饱和度介于22%~47%，再次证实“土体收缩至体积不变时，土是非饱和的”。
表 4 6种土样的收缩试验数据Table 4. Shrinkage test data of 6 types of clay试验土样 国标
方法
ws
/%本文
方法
ws
/%ws
降幅/%土体积不再收缩时 m
/gmd
/gVd
/cm3Sr
/%荆门黄褐色膨胀土 11.6 6.6 43 69.42 65.093 32.80 47 Denver claystone 16.9 4.0 76 82.41 79.270 43.63 22 荆门棕褐色膨胀土 14.1 6.1 57 82.56 77.833 40.65 39 信阳黏土 15.2 6.4 58 82.16 77.246 40.15 42 武汉黏土 13.0 3.7 72 87.29 84.140 43.61 24 三门峡粉质黏土 15.0 4.1 73 85.81 82.440 45.52 22 3. 讨论
与缩限同为稠度界限的液限与塑限的定义和试验方法均针对扰动样，从这个意义上讲，由基于扰动样（泥浆样）的缩限试验而非基于原状样与压实样（块状样）的收缩试验确定出的缩限更符合稠度界限的物理实质。
因此，采用由缩限试验获得的真实缩限值作为比较的基准，探讨基于缩限试验与收缩试验的国标方法与本文方法获得的6种黏土的4类缩限之间的量化关系，为便于比较，4类缩限值依次命名为ws1，ws2，ws3，ws4，见表 5，其对比见图 6。
表 5 国标方法与本文方法获得的4类缩限值Table 5. Shrinkage limits determined by GB/T 50123—2019 and this study(%) 试验土样 缩限试验 收缩试验 本文方法
ws1国标方法
ws2本文方法
ws3国标方法
ws4荆门黄褐色膨胀土 6.7 10.9 6.6 11.6 Denver claystone 4.1 18.0 4.0 16.9 荆门棕褐色膨胀土 5.7 13.6 6.1 14.1 信阳黏土 5.8 14.3 6.4 15.2 武汉黏土 3.9 12.8 3.7 13.0 三门峡粉质黏土 4.1 16.2 4.1 15.0 ![]()
图 6 国标方法与本文方法获得的4类缩限对比Figure 6. Comparison of shrinkage limits determined by GB/T 50123—2019 and this study由ws2与ws1的对比可见：ws2= 2.65ws1，R2=0.89；表明GB/T 50123—2019中“9.5缩限试验”方法获得的缩限值大约为真实缩限值的2.7倍，R2=0.89，表明二者间具有较好的相关性。
由ws3与ws1的对比可见：ws3= 1.02ws1，R2= 1.00；表明采用泥浆样的缩限试验与采用泥浆固结样的收缩试验获得的真实缩限值非常接近，几乎相同，缩限作为稠度界限之一，取值与试验方法无关而具有唯一性。
对比ws4与ws1可见：ws4= 2.68ws1，R2=0.92，表明GB/T 50123—2019中“26收缩试验”获得的缩限值亦大约为真实缩限值的2.7倍，R2=0.92表明二者间亦具有较好的相关性。
此处需要补充说明的是：2.7倍是统计结果，不具普适性；表 5表明这个倍数介于1.6~4.4，具有相当大的离散性。
4. 结论
（1）基于缩限定义，在GB/T 50123—2019中“9.5缩限试验”方法基础上，建议：将泥浆试样室内风干至与收缩皿脱开后，将试样置于收缩仪上风干至百分表读数不变为止，据此状态下的质量与干土质量确定出真实缩限值。
（2）基于缩限定义，在GB/T 50123—2019中“26收缩试验”方法基础上，建议：试验过程中测记百分表读数与称质量时记录风干历时t，试验结束后，绘制线缩率与含水率为双y轴、时间为x轴的双y轴图，由线缩率不变的起始点找到同一时刻对应的含水率，即真实缩限值。
（3）由基于“缩限试验”的泥浆样与“收缩试验”的泥浆固结样获得的真实缩限值几乎相同，表明作为稠度界限之一的缩限，取值与所采用的试验方法无关而具有唯一性。
（4）6种黏土试验结果表明：GB/T 50123—2019中“9.5缩限试验”“26收缩试验”方法确定出的缩限值约为真实缩限值的2.7倍，偏差是相当大的。
（5）6种黏土试验结果表明：真实缩限状态下，土是非饱和的，其饱和度介于22 %~57 %。
（6）GB/T 50123—2019高估缩限的原因是：“缩限试验”方法假定收缩至体积不变时土是饱和的；“收缩试验”方法用收缩曲线初始线性段与最终水平段的交点而非收缩至体积不变点确定缩限。
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图 8 不同射孔方位角下射孔围岩破裂规律
Figure 8. Breakdown of perforated surrounding rock under different perforation azimuths
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图 9 射孔围岩破裂时流体压力分布图
Figure 9. Distribution of fluid pressure during breakdown of perforated surrounding rock
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图 10 不同压裂时刻典型截面流体压力时空演化曲线
Figure 10. Time-space evolution curves of fluid pressure of typical section
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图 13 井筒与井壁胶结良好时流体压力及渗透率分布
Figure 13. Distribution of fluid pressure and permeability under good cementation of wellbore with well
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图 14 井筒与井壁胶结不好且井壁可渗流体压力及渗透率分布
Figure 14. Distribution of fluid pressure and permeability under bad cementation of wellbore with well
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图 15 考虑应力敏感性下典型截面流体压力时空演化曲线
Figure 15. Time-space evolution curves of fluid pressure of typical section considering stress sensitivity
表 1 渗流分析的边界条件
Table 1 Boundary conditions of fluid flow analysis
外边界 自由边界 P(re,t)=0 内边界 射孔壁和井壁压力 P(rw,t)=Pw(t) , P(sw,t)=Pw(t) 
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表 2 FVM模拟计算模型参数
Table 2 Model parameters of numerical simulation in FVM
井筒外径/mm 井筒内径/mm 射孔直径/mm 射孔长度
/mm模型尺寸/(mm×mm) 网格尺寸/(mm×mm) 6 4 1 4 50×50 0.5×0.5 最大水平主应
力/MPa最小水平主应力/MPa 垂向主应力
/MPa围岩泊松比 井筒弹性模量
/GPa井筒泊松比 8.53 6.57 9.85 0.25 200 0.15 弹性模量/MPa 抗拉强度/MPa 初始孔隙度 应力敏感性模数M 初始渗透率
/10-17m2368.79 0.715 0.124 0.3 27.194
下载: 导出CSV
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