双层非饱和土地基一维固结半解析解

李林忠; 秦爱芳; 江良华

doi:10.11779/CJGE202202013

双层非饱和土地基一维固结半解析解 English Version

上海大学力学与工程科学学院, 上海 200444

基金项目:

国家自然科学基金项目 42072292

详细信息

作者简介:
李林忠(1992—)，男，博士研究生，主要从事土体固结方面的研究工作。E-mail: heartbeatsllz@163.com

通讯作者:
秦爱芳，E-mail: qinaifang@shu.edu.cn

中图分类号: TU433
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出版历程
- 收稿日期: 2021-01-26
- 网络出版日期: 2022-09-22
- 刊出日期: 2022-01-31

Semi-analytical solution to one-dimensional consolidation of double-layered unsaturated ground

School of Mechanics and Engineering Science, Shanghai University, Shanghai 200444, China

摘要

摘要: 基于Fredlund和Hasan的非饱和土一维固结理论，将非饱和地基假定为双层，引入层间渗流连续条件，得到双层非饱和土地基一维固结控制方程。采用Laplace变换将偏微分方程组转化为常微分方程组，求解得到双层非饱和土地基在单面、双面渗透边界条件下超孔隙压力和沉降在Laplace域内的解；并利用Crump数值方法实现Laplace逆变换，最终得到时间域内双层非饱和土地基一维固结的半解析解。通过与已有文献和有限差分解的结果比较，验证了所得半解析解的有效性。基于得到的解答，结合算例考察了不同层间渗透系数比下，双层非饱和土地基中超孔隙压力的分布规律；并通过参数分析讨论了土层厚度比和层间渗透系数比对双层非饱和土地基沉降的影响。
- 非饱和土 /
- 双层地基 /
- 一维固结 /
- Laplace变换 /
- 半解析解
Abstract: Combining the one-dimensional (1D) consolidation theory of unsaturated soils proposed by Fredlund and Hasan and the interfacial continuity conditions during the consolidation, the 1D consolidation model for a double-layered unsaturated ground is obtained in this study. The Laplace transformation is adopted to convert the partial differential equations into the ordinary ones, and the solutions to the excess pore pressures and settlements in the Laplace domain can be acquired. The semi-analytical solution to 1D consolidation of the double-layered unsaturated ground in the time domain is calculated after taking the inverse Laplace transformation by numerical Crump method. A comparison with the finite difference solution and the available analytical solution illustrates that the proposed solution is effective. Based on the proposed semi-analytical solution, the distribution of the excess pore pressures with ratio of various permeability coefficients in the two-layered unsaturated ground is studied, and the parametric studies are made to investigate the influences of the thickness ratio of the soil layer and the ratio of permeability coefficients on the settlement of the double-layered unsaturated ground.
- unsaturated soil /
- double-layered ground /
- 1D consolidation /
- Laplace transformation /
- semi-analytical solution

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0. 引言

洞室开挖后根据围岩的应力与变形可以将其分为弹性区、塑性软化区、塑性残余区^[1-2]，弹性区内围岩的应力值没有超过岩体极限承载力，计算时各参数可以取峰值；塑性软化区内的应力值超过岩体极限承载力，岩体参数发生劣化且承载能力与弹性区相比有所下降；塑性残余区内的围岩处于“流动状态”，计算其应力与变形时需采用参数残余值^[3-4]。

文献[5~9]在考虑围岩应变软化及其它影响因素后推导了洞室围岩应力场及塑性区半径，发现洞室围岩应力分布、塑性区半径均与围岩应变软化密切相关，围岩的应变软化现象会使塑性区半径增大，同时维持洞室稳定所需要的支护阻力p_i比不考虑应变软化时更大。

目前基于弹塑性理论与应变软化模型对洞室围岩稳定性及变形等方面的研究较为充足，但采用传统应变软化模型时只考虑了黏聚力与内摩擦角等强度参数的折减，忽略了弹性模量等刚度参数的折减^[10-12]，这会导致计算得到的围岩变形量偏小，不符合实际。此外洞室开挖后多采用系统锚杆对围岩进行加固，系统锚杆可以控制围岩变形，提高围岩强度参数，增加洞室自身稳定性^[13-15]，但即使锚固后的洞室围岩（以下简称“锚固围岩”）在重分布应力较大时也会进入塑性状态，当应变值较大时同样会进入塑性残余状态。目前考虑刚度与强度参数同时劣化的洞室锚固围岩弹塑性分析还鲜有涉及，因此本文基于D-P屈服准则，考虑刚度劣化、强度劣化、中间主应力等因素后建立了洞室锚固围岩的弹塑性解，并对相关影响因素进行具体分析，为指导工程设计施工提供依据。

1. 理论分析模型

1.1 深埋圆形洞室力学模型

洞室开挖时的假定条件如下：①围岩为各向同性均质围岩；②洞室埋深足够深，开挖断面为圆形，开挖半径为R₀；③原岩应力场为P₀；④锚杆长度L大于塑性区范围。力学模型如图 1所示，在锚杆支护状态下围岩分为4个区域，分别为普通弹性区（区域Ⅰ）、锚固弹性区（区域Ⅱ，半径为R_L）、塑性软化区（区域Ⅲ，半径为R_p）、塑性残余区（区域Ⅳ，半径为R_b），存在如下关系：R_L-R₀=L，L为锚杆长度。

图 1 锚杆支护围岩分区示意图

Figure 1. Schematic diagram of partition of rock bolt support

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1.2 锚固围岩力学参数

在研究锚杆对围岩的加固作用时经常将锚杆加固后的岩体看成是等效复合岩体，借助参数等效原则通过引入锚杆密度因子^[13]得到复合岩体刚度与强度参数^[14-15]：

${E_{\text{s}}} = \frac{{{E_{\text{a}}}{\rm{ \mathsf{ π} }}r_{\text{b}}^{\text{2}} + {E_0}({s_{\text{l}}}{s_{\text{r}}} - {\rm{ \mathsf{ π} }}r_{\text{b}}^{\text{2}})}}{{{s_{\text{l}}}{s_{\text{r}}}}} \text{, }$

(1a)

${\varphi _{\text{s}}} = \arcsin \left[ {\frac{{(1 + \sin {\varphi _0})\alpha + 2\sin {\varphi _0}}}{{(1 + \sin {\varphi _0})\alpha + 2}}} \right] \text{, }$

(1b)

${c_{\text{s}}} = \frac{{c(1 + \alpha )(1 - \sin {\varphi _0})\cos {\varphi _{\text{a}}}}}{{(1 - \sin {\varphi _{\text{a}}})\cos {\varphi _0}}} 。$

(1c)

式中：E_s，E_a，E₀分别为复合岩体、锚杆、围岩弹性模量；s_l，s_r分别为锚杆纵向、环向间距；r_b为锚杆半径； $\alpha$ 为锚杆密度因子，且 $\alpha$ =[2πr_btan(φ/2)]/(s_ls_r)；c，φ为围岩自身的黏聚力和内摩擦角。

1.3 D-P屈服准则与围岩劣化模型

Drucker-Prager屈服准则既考虑了中间主应力对屈服与破坏的影响，又考虑了静水压力的影响，已广泛应用于岩石力学中，其屈服函数为^[16]

$f\left({{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{1}\text{, }\sqrt{{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}_{2}}\right)=\sqrt{{{\mathit{\boldsymbol{J}}}}_{2}}-\alpha {{\mathit{\boldsymbol{I}}}}_{1}-k=0 。$

(2)

式中： ${{\mathit{\boldsymbol{I}}}_1}$ 与 ${{\mathit{\boldsymbol{J}}}_2}$ 分别为应力张量第一不变量和应力偏张量第二不变量（压应力为正、拉应力为负）， ${{\mathit{\boldsymbol{I}}}_1}$ = ${\sigma _\theta } +$ ${\sigma _z}$ + ${\sigma _r}$ ； ${{\mathit{\boldsymbol{J}}}_2}$ =[( ${\sigma _\theta } - {\sigma _z}$ )²+( ${\sigma _\theta } - {\sigma _r}$ )²+( ${\sigma _z} - {\sigma _r}$ )²]/6。 $\alpha$ 和k为D-P准则材料常数，与强度参数c，φ之间存在如下关系： $\alpha$ =2sinφ/[3^0.5(3-sinφ)]；k=6ccosφ/[3^0.5(3-sinφ)]。引入中间主应力系数n来反映 ${\sigma _2}$ 与最小主应力 ${\sigma _3}$ 和最大主应力 ${\sigma _1}$ 之间的关系，并令n=( ${\sigma _2} - {\sigma _3}$ )/( ${\sigma _1} -$ ${\sigma _3}$ )，将n代入 ${{\mathit{\boldsymbol{I}}}_1}$ 与 ${{\mathit{\boldsymbol{J}}}_2}$ 后，再代入式（2），可得到

$f={\sigma }_{\theta }-\frac{N}{M}{\sigma }_{r}-\frac{k}{M}=0\text{ }。$

(3)

式中：M=m- $n\alpha - \alpha$ ；N=m-n $\alpha + 2\alpha$ ；m=[(n²-n+1)/3]^0.5。

如图 2所示，当围岩处于弹性阶段时，黏聚力c、内摩擦角φ、弹性模量E均可以取峰值，将c，φ代入D-P准则，得到材料常数 $\alpha$ 和k后便可以得到弹性阶段的屈服准则表达式；当等效应变的累积值达到产生塑性变形时的临界值时围岩开始进入塑性软化阶段，此时黏聚力、内摩擦角、弹性模量均取软化值c'、φ'、E'，通过c'，φ'求得 $\alpha '$ ，k'后代入式（3）便可得到塑性软化阶段的屈服准则表达式；当围岩进入塑性残余阶段时，黏聚力、内摩擦角、弹性模量均取残余值c"、φ"、E"，通过c"、φ"求得 $\alpha ''$ 、k"后代入式（3）便可得到塑性残余阶段的屈服准则表达式。

图 2 岩体刚度和强度参数随塑性应变的变化规律

Figure 2. Variation of stiffness and strength parameters of rock mass with plastic strain

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1.4 塑性围岩扩容规律

当塑性区内的锚固围岩等效应变小于 $\varepsilon _{\text{b}}^{}$ ε_b时流动法则如式（4）所示，式中η₁为扩容系数。假设岩石塑性变形服从非关联流动法则，令塑性势函数g等于屈服函数f，将f中的内摩擦角φ替换成剪胀角ψ即可得到g的表达式^[16]：

$\varepsilon _r^{\text{p}} + {\eta _1}\varepsilon _\theta ^{\text{p}} = 0 。$

(4)

由塑性位势理论可知

$\text{d}{\varepsilon }_{ij}^{\text{p}}=\text{d}\lambda \frac{\partial g}{\partial {{\boldsymbol{\sigma}} }_{ij}}\text{ }。$

(5)

式中：g为塑性势函数； ${\text{d}}\varepsilon _{ij}^{\text{p}}$ 为塑性应变增量； ${\sigma _{ij}}$ 为应力张量； ${\text{d}}\lambda$ 为与塑性势函数相关联的比例系数，0≤ ${\text{d}}\lambda$ 。

根据式（5）有

$\left. \begin{array}{l}\text{d}{\varepsilon }_{\theta }^{\text{p}}=\text{d}\lambda \frac{\partial {g}_{\text{p}}}{\partial {\sigma }_{\theta }}=\text{d}\lambda \text{ }\text{, }\\ \text{d}{\varepsilon }_{r}^{\text{p}}=\text{d}\lambda \frac{\partial {g}_{\text{p}}}{\partial {\sigma }_{r}}=-\text{d}\lambda \frac{{n}_{\psi }}{{m}_{\psi }}\text{ }。\end{array} \right\}$

(6)

式中： ${m_\psi }$ =(9+3 $\mu _\sigma ^{\text{2}}$ )^0.5-3 ${\alpha _\psi }\mu _\sigma ^{}$ -9 ${\alpha _\psi }$ ； ${n_\psi }$ =(9+3 $\mu _\sigma ^{\text{2}}$ )^0.5-3 ${\alpha _\psi }\mu _\sigma ^{}$ +9 ${\alpha _\psi }$ ； ${\alpha _\psi }$ =sinΨ/[(9+sin2Ψ)^0.5]。

定义扩容系数 ${\eta _1}$ 为最小塑性主应变与最大塑性主应变之比，根据上面推导可以得到 ${\eta _1}$ = ${n_\psi }$ / ${m_\psi }$ 。当塑性区内的部分锚固围岩等效应变大于 $\varepsilon _{\text{b}}^{}$ 时，这部分锚固围岩便进入塑性残余状态，此时考虑扩容的流动法则为

$\varepsilon _r^{\text{b}} + {\eta _2}\varepsilon _\theta ^{\text{b}} = 0 \text{, }$

(7)

式中， ${\eta _2}$ 为塑性残余区的扩容系数，可令 ${\eta _2}$ =1+μ，μ多介于0.3~0.5，因此 ${\eta _2}$ 取1.3~1.5。

2. 洞室围岩弹塑性分析

2.1 基本方程

平衡微分方程（不计体力）为

$\frac{\text{d}{\sigma }_{r}}{\text{d}r}+\frac{{\sigma }_{r}-{\sigma }_{\theta }}{r}=0\text{ }。$

(8)

几何方程为

${\varepsilon _r} = \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}r}};{\varepsilon _\theta } = \frac{u}{r} 。$

(9)

本构方程（平面应变）：

$\left. \begin{array}{c}{\varepsilon }_{r}=\frac{1-{\nu }^{2}}{E}\left({\sigma }_{r}-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_{\theta }\right)\text{ }\text{, }\\ {\varepsilon }_{\theta }=\frac{1-{\nu }^{2}}{E}\left({\sigma }_{\theta }-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_{r}\right)\text{ }。\end{array} \right\}$

(10)

式中：u为径向位移；r为极径；E为弹性模量； $\nu$ 为泊松比。

2.2 弹性区分析

根据拉梅应力计算公式以及弹性区边界条件：r→∞时， $\sigma _r^{\text{e}}$ =P₀；r=R_p时令 $\sigma _r^{\text{e}}$ =σ_R，满足 $\sigma _\theta ^{}$ + $\sigma _r^{}$ =2P₀，可得非锚固弹性区应力为

$\left. \begin{array}{c}{\sigma }_{r}^{\text{e}}={P}_{0}+\frac{{P}_{0}\text{(}M-N\text{)}-k}{M+N}{\left(\frac{{R}_{\text{p}}}{r}\right)}^{2}\text{ }\text{, }\\ {\sigma }_{\theta }^{\text{e}}={P}_{0}-\frac{{P}_{0}(M-N)-k}{M+N}{\left(\frac{{R}_{\text{p}}}{r}\right)}^{2}\text{ }。\end{array} \right\}$

(11)

由式（11）可得非锚固区与锚固区（r=R_L）处的应力表达式为

$\left. \begin{array}{c}{\sigma }_{r}^{\text{e}}|{}_{r={R}_{\text{L}}}={P}_{0}+\frac{{P}_{0}(M-N)-k}{M+N}{\left(\frac{{R}_{\text{p}}}{{R}_{\text{L}}}\right)}^{2}\text{ }\text{, }\\ {\sigma }_{\theta }^{\text{e}}|{}_{r={R}_{\text{L}}}={P}_{0}-\frac{{P}_{0}(M-N)-k}{M+N}{\left(\frac{{R}_{p}}{{R}_{\text{L}}}\right)}^{2}\text{ }。\end{array} \right\}$

(12)

锚固弹性区围岩可以看成内外受径向应力的圆环，如图 3所示，p₂为锚固区与非锚固区交界处（r=R_L）的径向应力，p₁为弹塑性交界面处（r=R_p）的径向应力，因此锚固围岩应力表达式可以写成^[17]

$\left. \begin{array}{c}{\sigma }_{r}^{\text{e}}=-\frac{A}{{r}^{2}}+C\text{ }\text{, }\\ {\sigma }_{\theta }^{\text{e}}=\frac{A}{{r}^{2}}+C\text{ }。\end{array} \right\}$

(13)

图 3 锚固弹性区受力分析图

Figure 3. Stress analysis diagram of anchored elastic zone

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式中： $A=\frac{\text{(}{\sigma }_{{R}_{\text{L}}}-{\sigma }_{{R}_{\text{p}}}\text{)}{R}_{\text{L}}^{2}\cdot {R}_{\text{p}}^{2}}{{R}_{\text{L}}^{2}-{R}_{\text{p}}^{2}}，C=\frac{{\sigma }_{{R}_{\text{L}}}{R}_{\text{L}}^{\text{2}}-{\sigma }_{{R}_{\text{p}}}{R}_{\text{p}}^{2}}{2\text{(}{R}_{\text{L}}^{2}-{R}_{\text{p}}^{2}\text{)}}$ 。

此处，求 ${\sigma _{{R_{\text{L}}}}}$ 时采用的强度参数为非锚固围岩的强度参数，求 ${\sigma _{{R_{\text{p}}}}}$ 时采用的强度参数为锚固围岩的强度参数。

根据本构方程，减去应力分量中的原岩应力成分后，由式（10），（13）可得锚固围岩弹性区应变分布为

$\left. \begin{array}{l}{\varepsilon }_{r}^{\text{e}}=\frac{1+\nu }{E}\left[-\frac{A}{{r}^{2}}+(2C-{P}_{0})\cdot (1-2\nu )\right]\text{ }\text{, }\\ {\varepsilon }_{\theta }^{\text{e}}=\frac{1+\nu }{E}\left[\frac{A}{{r}^{2}}+(2C-{P}_{0})\cdot (1-2\nu )\right]\text{ }。\text{ }\end{array} \right\}$

(14)

根据几何方程及式（14）可以得到锚固弹性区内围岩的位移量为

$u_r^{\text{e}} = \frac{{1 + \nu }}{E}\left[ {\frac{A}{r} + (2C - {P_0}) \cdot (1 - 2\nu )r} \right] 。$

(15)

2.3 塑性区分析

（1）塑性软化区

当等效应变大于 $\varepsilon _{}^{\text{p}}$ 且小于 $\varepsilon _{}^{\text{b}}$ 时锚固围岩进入塑性软化阶段，此时塑性软化区内总应变为 $\varepsilon _r^{}$ = ${(\varepsilon _r^{\text{e}})_{r{\text{ = }}{R_{\text{p}}}}}$ + $\varepsilon _r^{\text{p}}$ ； $\varepsilon _\theta ^{}$ = ${(\varepsilon _\theta ^{\text{e}})_{r{\text{ = }}{R_{\text{p}}}}}$ + $\varepsilon _\theta ^{\text{p}}$ 。根据式（4），（14）可以得到塑性软化区的位移协调方程为

$\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}r}} + {\eta _1}\frac{u}{r} = \varepsilon _r^{\text{e}}\left| {_{r = {R_{\text{p}}}}} \right. + {\eta _1}\varepsilon _\theta ^{\text{e}}\left| {_{r = {R_{\text{p}}}}} \right. 。$

(16)

解式（16）微分方程，并利用边界条件r=R_p时u=[(1+ $\nu$ )/E][(A/R_p)+(2C-P₀)(1-2 $\nu$ )R_p]可以得到锚固围岩塑性软化区位移为

$\begin{array}{l} u_r^{\text{p}} = \frac{{1 + \nu }}{E} \cdot \frac{2}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^2}} \cdot r \times {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{{\eta _1} + 1}} + \\ \ \ \ \ \ \frac{{1 + \nu }}{E}\left( {\frac{{{\eta _1} - 1}}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} + (2C - {P_0})(1 - 2\nu )} \right) \cdot r 。 \end{array}$

(17)

根据式（17），（9）可以得到塑性软化区应变为

$\begin{array}{l} \varepsilon _r^{\text{p}} = - {\eta _1}\frac{{1 + \nu }}{E} \cdot \frac{2}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{{\eta _1} + 1}} +\\ \ \ \ \ \ \frac{{1 + \nu }}{E}\left( {\frac{{{\eta _1} - 1}}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} + (2C - {P_0})(1 - 2\nu )} \right) \text{, } \end{array}$

(18a)

$\begin{array}{l} \varepsilon _\theta ^{p} = \frac{{1 + \nu }}{E} \cdot \frac{2}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{{\eta _1} + 1}} + \\ \ \ \ \ \ \frac{{1 + \nu }}{E}\left( {\frac{{{\eta _1} - 1}}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} + (2C - {P_0})(1 - 2\nu )} \right) 。 \end{array}$

(18b)

软化区内围岩应力满足式（8）及式（3），联立两式及边界条件r=R_p时 $\sigma _R^{p}$ = $\sigma _R^{\text{e}}$ ，可得软化区应力计算公式为

$\sigma _r^{\text{p}} = \left( {\frac{{2M'{P_0} - k}}{{M' + N'}} - \frac{{k'}}{{M' - N'}}} \right) \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{\frac{{M' - N'}}{{M'}}}} + \frac{{k'}}{{M' - N'}} \text{, }$

(19a)

$\sigma _\theta ^{\text{p}} = \frac{{N'}}{{M'}}\left[ {\frac{{2M'{P_0} - k}}{{M' + N'}} - \frac{{k'}}{{M' - N'}}} \right] \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{r}} \right)^{\frac{{M' - N'}}{{M'}}}} + \frac{{k'}}{{M' - N'}} 。$

(19b)

（2）塑性残余区

当等效应变大于 $\varepsilon _{\text{b}}^{}$ 时锚固围岩进入塑性残余阶段，此时的锚固围岩满足式（8）及式（3），联立两式及边界条件r=R₀时 $\sigma _r^{\text{b}}$ = ${p_i}$ 可以得到破碎区应力为

$\sigma _r^{\text{b}} = \left( {{p_i} - \frac{{k''}}{{M'' - N''}}} \right) \cdot {\left( {\frac{{{R_0}}}{r}} \right)^{\frac{{M'' - N''}}{{M''}}}} + \frac{{k''}}{{M'' - N''}} \text{, }$

(20a)

$\sigma _r^{\text{b}} = \frac{{N''}}{{M''}}\left( {{p_i} - \frac{{k''}}{{M'' - N''}}} \right) \cdot {\left( {\frac{{{R_0}}}{r}} \right)^{\frac{{M'' - N''}}{{M''}}}} + \frac{{k''}}{{M'' - N''}} 。$

(20b)

锚固围岩塑性残余区总应变为 $\varepsilon _r^{\text{b}}$ = ${(\varepsilon _r^{\text{p}})_{r{\text{ = }}{R_{\text{b}}}}} + \varepsilon _r^{\text{b}}$ ， $\varepsilon _\theta ^{\text{b}}$ = ${(\varepsilon _\theta ^{\text{p}})_{r{\text{ = }}{R_{\text{b}}}}} + \varepsilon _\theta ^{\text{b}}$ 。根据式（7），（18）有

$\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}r}} + {\eta _2}\frac{u}{r} = \varepsilon _r^{\text{p}}\left| {_{r = {R_{\text{b}}}}} \right. + {\eta _2}\varepsilon _\theta ^{\text{p}}\left| {_{r = {R_{\text{b}}}}} \right. 。$

(21)

解式（21）微分方程，并且利用r=R_b时的边界条件可以得到软化区位移为

$u_r^{\text{b}} = \frac{{{\eta _1} + 1}}{{{\eta _2} + 1}}{S_1} \cdot r{\left( {\frac{{{R_{\text{b}}}}}{r}} \right)^{{\eta _2} + 1}} + \left( {\frac{{{\eta _2} - {\eta _1}}}{{{\eta _2} + 1}}{S_1} + {S_2}} \right) \cdot r 。$

(22)

式中，

${S_1} = \frac{{1 + \nu }}{{E''}} \cdot \frac{2}{{{\eta _1} + 1}} \cdot {\left( {\frac{{{R_{\text{p}}}}}{{{R_{\text{b}}}}}} \right)^{{\eta _1} + 1}} \text{, }$

${S_2} = \frac{{1 + \nu }}{{E''}}\left[ {\frac{{{\eta _1} - 1}}{{{\eta _1} + 1}} \cdot \frac{A}{{R_{\text{p}}^{\text{2}}}} + (2C - {P_0})(1 - 2\nu )} \right] 。$

2.4 软化区和残余区半径

当r= ${R_{\text{b}}}$ 时， $\sigma _r^{p}$ = $\sigma _r^b$ ，联立软化区与残余区的径向应力公式可得

${R}_{\text{p}}={R}_{0}\cdot {\left\{\frac{\left[{p}_{i}-{k}^{″}/({M}^{″}-{N}^{″})\right]}{(2{M}^{″}{P}_{0}-{k}^{″})/({M}^{″}+{N}^{″})-{k}^{″}/({M}^{″}-{N}^{″})}\right\}}^{\frac{{M}^{″}}{{M}^{″}-{N}^{″}}}。$

(23)

根据式（18），（23）可以求得塑性区内的塑性应变量，联立塑性软化区c'的求解公式可以得到塑性软化区内强度参数的软化值。当r=R_b时，软化区的锚固围岩强度参数软化至残余强度参数，此时可以得到

$c' = {c_0} - {M_{\text{c}}}\left( {\varepsilon _\theta ^{\text{p}}\left| {_{{R_{\text{p}}} \leqslant r \leqslant {R_{\text{b}}}}} \right. - \varepsilon _\theta ^{\text{e}}\left| {_{r = {R_{\text{p}}}}} \right.} \right) \text{, }$

(24a)

$\varphi ' = {\varphi _0} - {M_\varphi }\left( {\varepsilon _\theta ^{\text{p}}\left| {_{{R_{\text{p}}} \leqslant r \leqslant {R_{\text{b}}}}} \right. - \varepsilon _\theta ^{\text{e}}\left| {_{r = {R_{\text{p}}}}} \right.} \right) 。$

(24b)

根据式（24）便可以求出塑性残余区半径：

${R_{\text{b}}} = {R_{\text{p}}}/{\left\{ {\frac{{({c_0} - {{c''}_{s} })({\eta _1} + 1)E'' \cdot R_{\text{p}}^2}}{{2A{M_{\text{c}}} \cdot (1 + \nu )}} + 1} \right\}^{\frac{1}{{{\eta _1} + 1}}}} 。$

(25)

3. 算例验证与参数分析

3.1 算例验证

采用FLAC^3D有限差分软件对理论公式进行验证，数值计算模型如图 4所示，模型尺寸为90 m×90 m×5 m，计算过程中围岩采用应变软化模型，参数如表 1所示。锚杆长度为5 m，纵向、环向间距均为1.2 m，计算过程中将锚杆对围岩的加固作用看作是对围岩刚度及强度参数的提高，按式（1）进行计算。

图 4 模型示意图

Figure 4. Schematic diagram of the model

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表 1 围岩计算参数

Table 1. Parameters for surrounding rock

状态	弹性模量E/MPa	黏聚力c/MPa	内摩擦角φ/(°)	泊松比 $\nu$	黏聚力软化模量M_c/MPa	内摩擦角软化模量M_c/(°)	支护反力p_i/MPa	原岩应力P₀/MPa
初始值	2000	4	35
残余值	1000	1.6	20	0.2	400	1800	0.8	15

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根据围岩残余强度参数的不同取值分为4种工况，计算结果如表 2，图 5所示。由表 2中的数据可知当残余强度取值越小时得到的塑性区半径及洞壁位移均越大。4种工况下理论计算结果均略大于数值模拟计算结果，但基本吻合，其中工况一时通过理论计算、数值计算得到的洞壁位移均在0.05 m左右，工况四时通过理论计算、数值计算得到的洞壁位移均在0.22 m左右。

表 2 理论解与数值解计算结果对比

Table 2. Comparison between theoretical and numerical solutions

工况		工况一		工况二		工况三		工况四
围岩残余强度参数		c"/MPa	φ"/(°)	c"/MPa	φ"/(°)	c"/MPa	φ"/(°)	c"/MPa	φ"/(°)
围岩残余强度参数		4	35	3.2	30	2.4	25	1.6	20
R_p/R₀	本文解	1.164		1.264		1.540		1.855
R_p/R₀	FLAC-3D	1.163		1.261		1.538		1.850
洞壁位移u/m	本文解	0.052		0.091		0.159		0.223
洞壁位移u/m	FLAC-3D	0.050		0.088		0.157		0.214

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图 5 FLAC计算洞壁位移

Figure 5. Calculated wall displacements by FLAC

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3.2 中间主应力对R_p，R_b，及u的影响

图 6为中间主应力系数n对R_p/R₀、R_b/R₀的影响分析，由图中曲线可知中间主应力系数n为0时R_p/R₀，R_b/R₀的值最大，此时R_p/R₀等于2.16，R_b/R₀=1.81。随着n的逐渐增大R_p/R₀，R_b/R₀均产生一定程度的降低，当n达到0.7~0.8时R_p/R₀，R_b/R₀均达到最低值，此时R_p/R₀=1.38，R_b/R₀=1.11。此后n从0.8增大到1.0时R_p/R₀与R_b/R₀均有一定程度的增长，但增长幅值较小，图 6中数据显示n等于1.0时R_p/R₀与R_b/R₀分别为1.43，1.15。此外从图 6中数据可以看出n从0增大到1的过程中，残余区范围占塑性区范围的比重变化不大，均在15%左右。

图 6 中间主应力系数n对R_p/R₀、R_b/R₀的影响

Figure 6. Influences of intermediate principal stress coefficient n on R_p/R₀ and R_b/R₀

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图 7为中间主应力系数n对洞壁（r=R₀）位移u的影响分析。由图 7中曲线可知中间主应力系数n为0时洞壁位移值u最大，达到0.223 m，此后随着中间主应力系数n的逐渐增大u快速下降，当n达到0.7~0.8时洞壁位移值u达到最小值，此时u等于0.07 m。此后n从0.8增大到1.0的过程中洞壁位移值有一定程度的增长，图 7中数据显示n=1.0时，u=0.075 m。

图 7 中间主应力系数n对洞壁位移u的影响

Figure 7. Influences of intermediate principal stress coefficient n on wall displacement u

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3.3 残余黏聚力c"、残余内摩擦角φ"对R_p，R_b及u的影响

图 8为残余黏聚力c"取不同值时对R_p/R₀、R_b/R₀的影响分析。由图 8中曲线可知残余黏聚力c"取值越小时得到的塑性软化区范围、塑性残余区范围越大，当c"取值较小时曲线c"-R_p/R₀与曲线c"-R_b/R₀的斜率越大，即c"取值较小时相同增量的Δc得到的ΔR_p/R₀，ΔR_b/R₀会更大。黏聚力软化模量M_c的取值对R_p/R₀无影响，但会对R_b/R₀产生较大影响，同一c"对应的M_c值越大时得到的R_b/R₀越大，以图 8中数据为例，黏聚力软化模量每增大100 MPa时塑性残余区半径便会增加0.5 m左右。

图 8 残余黏聚力c"对R_p/R₀、R_b/R₀的影响

Figure 8. Influences of residual cohesion c on R_p/R₀ and R_b/R₀

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图 9为残余黏聚力c"取不同值时对洞壁位移u的影响分析。由图 9中数据可以看出M_c取值大小对洞壁位移u无影响，但黏聚力残余值的大小对洞壁位移u的影响较大，c"取1.6 MPa时，洞壁位移u为0.075 m，此后随着c"的逐渐增大，洞壁位移逐渐减小。

图 9 残余黏聚力c"对洞壁位移u的影响

Figure 9. Influences of residual cohesion c on tunnel wall displacement u

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图 10为残余内摩擦角φ"取不同值时对R_p/R₀、R_b/R₀的影响分析。由图 10中曲线可知残余内摩擦角φ"取值越小时得到的塑性软化区范围、塑性残余区范围越大，当φ"取值较小时曲线c"-R_p/R₀与曲线c"-R_b/R₀的斜率越大，即当φ"取值越小时相同增量的Δφ得到的ΔR_p/R₀，ΔR_b/R₀会更大。此外，内摩擦角软化模量M_φ的取值对R_p/R₀无影响，对R_b/R₀影响较大，当M_φ取值越大时得到的R_b/R₀越大。

图 10 残余内摩擦角φ"对R_p/R₀、R_b/R₀的影响

Figure 10. Influences of residual internal friction angle φ on R_p/R₀ and R_b/R₀

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图 11为残余内摩擦角φ"取不同值时对洞壁位移u的影响分析。由图 11中曲线可知，M_φ的取值大小对洞壁位移u无影响，残余内摩擦角φ"越小时洞壁位移u的值越大，残余内摩擦角φ"从30°降低至25°时洞壁位移u增大了0.009 m，残余内摩擦角φ"从25°降低至20°时洞壁位移u增大了0.029 m。由此可以看出残余内摩擦角的取值对围岩变形至关重要。

图 11 残余内摩擦角

$\varphi ''$ 对洞壁位移u的影响

Figure 11. Influences of residual internal friction Angle

$\varphi ''$ on wall displacement u

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3.4 残余弹性模量E"对R_p，R_b，及u的影响

图 12为复合岩体残余弹性模量E"对R_p/R₀，R_b/R₀的影响分析。由图 12中曲线可知E"的取值对R_p/R₀没有影响，但E"的取值对R_b/R₀会产生较大影响。由图中数据可以看出当E"取2000 MPa时R_p/R₀等于1.025，当E"取1200 MPa时R_p/R₀等于1.161，两者相比锚固塑性残余区增大了12%；当E"等于600 MPa时的R_p/R₀与E"等于1200 MPa时相比，弹性模量降低了60%，锚固塑性残余区增大了25%。

图 12 残余弹性模量E"对R_p/R₀，R_b/R₀的影响

Figure 12. Influences of residual elastic modulus E on R_p/R₀ and R_b/R₀

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图 13为复合岩体残余弹性模量E"对洞壁位移u的影响，由式（22）计算可知，当E"取2000 MPa时u等于0.076 m，当E"等于1000 MPa时u等于0.155 m，可以看出考虑弹性模量的劣化得到的洞壁位移u比没有考虑弹性模量的劣化得到的洞壁位移u要大，此外此外E"从1000 MPa降低到600 MPa时，洞壁位移u又有一定程度的下降，当E"等于400 MPa时u达到0.251 m。

图 13 残余弹性模量E"对洞壁位移u的影响

Figure 13. Influences of residual elastic modulus E" on wall displacement u

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3.5 锚杆与p_i协调作用对围岩R_p，R_b，u的控制效果

，为锚杆与支护抗力 ${p_{\text{i}}}$ 协调作用下对围岩塑性区的控制效果，本小节分析时锚杆纵向间距取1.2 m，对横向间距取不同值时的工况进行对比。由图 14，15中曲线可知同一支护阻力条件下锚杆横向间距从2.0 m下降到1.2 m时锚固塑性软化区半径、锚固塑性残余区半径分别下降了0.38，0.47 m；锚杆间距从1.2 m下降到0.8 m时锚固塑性软化区半径、锚固塑性残余区半径分别下降了0.57，0.63 m左右，因此在对围岩锚固时建议将锚杆间距控制在1.2 m以内，可以使得锚固效果更明显。同一锚杆间距时适当增大支护阻力有利于控制锚固软化区、锚固残余区范围的扩大。以锚杆纵、横向间距为1.2 m为例，支护抗力从0.6 MPa增大到1.4 MPa时锚固塑性软化区半径、锚固残余区半径分别下降了0.60，0.50 m左右。此外，从图 14，15中还可以看出增大相同的支护抗力Δp_i时，锚杆间距越小时对锚固塑性软化区、锚固塑性残余区的控制效果越好。

图 14 锚杆与支护阻力

${p_{\text{i}}}$ 协调作用对R_p/R₀的影响

Figure 14. Influences of coordination between bolt and support resistance

${p_{\text{i}}}$ on R_p/R₀

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图 15 锚杆与支护阻力

${p_{\text{i}}}$ 协调作用对R_b/R₀的影响

Figure 15. Influences of coordination between bolt and support resistance

${p_{\text{i}}}$ on R_b/R₀

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为锚杆与支护阻力 ${p_{\text{i}}}$ 协调作用下的洞壁围岩位移u，分析时锚杆纵向间距取1.2 m，对横向间距取不同值时的工况进行对比。由图中数据可知当锚杆间距一定时支护阻力 ${p_{\text{i}}}$ 越大，洞壁位移u越小；支护阻力 ${p_{\text{i}}}$ 一定时锚杆间距越小对洞壁位移的控制效果越好。当锚杆间距较大时，增大一定程度的支护阻力会有效控制围岩变形，以锚杆间距2 m为例，支护阻力从0.6 MPa增大到1.2 MPa后，洞壁围岩变形下降了20%，以锚杆横向间距取0.8 m为例，支护阻力从0.6 MPa增大到1.2 MPa后，洞壁围岩变形只下降了11%。因此在控制围岩变形时，需要协调锚杆间距与支护抗力的作用，以此来达到控制变形的效果。

图 16 锚杆与支护阻力

${p_{\text{i}}}$ 协调作用下的洞壁位移u

Figure 16. Wall displacements u under coordinated action of bolt and supporting resistance

${p_{\text{i}}}$

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4. 结论

本文基于D-P屈服准则得到了考虑刚度与强度同时劣化的深埋圆形洞室锚固围岩弹塑性解，借助FLAC^3D有限差分软件验证了该方法的可靠性，并对相关影响因素进行具体分析，得出以下4点结论。

（1）对洞室锚固围岩进行弹塑性分析时适当考虑刚度参数的劣化后，得到的塑性区残余区分布范围与围岩变形量更符合实际。

（2）适当考虑围岩中间主应力的作用后得到的塑性软化区半径R_p、塑性残余区半径R_b、洞壁位移u均有较明显的下降。

（3）残余黏聚力c"、残余内摩擦角φ"、残余弹性模量E"、黏聚力软化模量M_c、内摩擦角软化模量M_φ的取值对塑性软化区半径R_p无影响，对塑性残余区半径R_b、洞壁位移u的影响较大，当c"、φ"、E"取值越小时得到的R_b、u越大，当M_c、M_φ取值越大时得到的R_b、u越大。

（4）系统锚杆与支护阻力 ${p_{\text{i}}}$ 协调作用下可以有效控制塑性残余区范围及围岩变形，建议将锚杆间距控制在1.2 m以内，当支护阻力一定时适当缩小锚杆间距可有效降低围岩变形量。

图 1 双层非饱和土一维固结模型

Figure 1. 1D consolidation model for double-layered unsaturated soils

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图 2 单面渗透边界下超孔隙压力等时线比较

Figure 2. Isochrone comparisons of excess pore pressures for single drainage

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图 3 双面渗透边界下超孔隙压力等时线比较

Figure 3. Isochrone comparisons of excess pore pressures for double drainage

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图 4 超孔隙气压分布曲线

Figure 4. Curves for distribution of excess pore-air pressure with depth

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图 5 超孔隙水压分布曲线

Figure 5. Curves for distribution of excess pore-water pressure with depth

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图 6 不同h₁/H的沉降–时间曲线

Figure 6. Curves of settlement vs. time for different values of h₁/H

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不同 $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 的沉降–时间曲线

Curves of settlement vs. time for different values of $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$

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不同 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的沉降–时间曲线

Curves of settlement vs. time for different values of $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$

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