0.   引言

众所周知，条分法^[1-4]力学模型是一静不定模型，经各种简化而产生现有的各种条分方法，而作为静不定模型，条分法理论上有无数个满足平衡条件的解。尽管满足极限平衡条件的解有无数多个，但并不是所有的解都属于有效解，Morgenstern和Price最早指出，极限平衡条分法^[4-5]所获得的解必须要满足两个合理性条件：①条块之间不能产生拉应力，条间力的作用点必须落在条块侧面以内；②作用于条块之间的条间剪力不能超过莫尔库仑强度准则提供的极限抗剪强度。根据各类方法对合理性条件的满足情况的相关研究^[6]可知，部分被大众广泛使用的计算方法实际上并不能很好满足边坡合理性条件，比如传统不平衡推力法以及与假定条件相类似的美国陆军工程师法和罗厄法在部分情况下无法满足条件②，这导致在一些特殊工况下使用该类方法可能会出现较大误差。

如何在这无数满足平衡条件的解答中寻找更加合理和更有代表性的解，仍是条分法研究的一个目标。虽然自条分法提出以来，通过不同简化已发展出很多条分法，如人们熟悉的Bishop方法^[2]、Janbu方法^[3]等，但很少有人思考简化的目标是什么？简化手段不应该仅仅是为了获得静定解。如果将条分后的滑坡体看作是由若干条块组成的一个结构，那么按极限状态法设计计算的原则，更需要去考虑一些极限状态。如什么简化方法可以使滑动面具有更小乃至最小的安全系数？何种情况会出现更大或最大的滑坡推力？笔者认为，寻找可能存在的最不利工况或受力状态，进而获得可能存在更小的安全系数，也即在寻找极限状态的前提下对条分法模型进行简化，是条分法研究今后需要考虑的重点问题之一。

不平衡推力法^[6-7]是由中国工程技术人员，以计算边坡滑坡推力为目的，通过长期的工程实践，在深入分析和总结之后，提出来的一种边坡稳定性分析方法。其中郑颖人等^[7-8]、张鲁渝等^[9]、时卫民等^[10]讨论了不平衡推力法在计算时存在的问题，利用岩土学术界公认精确度高的Morgenstern-Prince法作为参考，通过对比多个边坡的计算分析，发现不平衡推力法在计算折线形边坡时的误差较大，在计算圆弧形边坡时，相较于M-P法误差小于3%^[10]，并且可能出现条间剪力超出条间的抗剪强度的不合理现象。

为了寻找比传统不平衡推力法更优的解答，本文遵循极限状态法设计计算的原则，从最直接的物理意义出发，试图通过让条间传递最大推力，在计算条间推力时始终按照条块可能得到的最大推力进行传递，物理意义清晰，有望求到更大的边坡滑坡推力，并获取较小的安全系数。

1.   传递最大推力的不平衡推力法模型

1.1   条间传递最大推力模型的提出

各种简化的条分方法，其简化手段主要可以分两类：①规定常安全系数或整体安全系数，即发挥滑动面抗滑力的1/F_s；②就是对条间力的简化。由于现行的主要分析方法大多按整体安全系数假定，所以各简化方法实质上的差异在于条间力的简化。条间力简化的目的，就是希望通过简化，将静不定问题转化为静定问题，从而可以求到一个静定解。但实质上，通过简化求到的静定解，只是无数可能的平衡解中的一个。它是否代表最危险的或者对边坡受力最不利的情况，现有的研究并无法判断。传统的不平衡推力法也是属于条分法的一种，其所求到的每个条块的不平衡推力，实质就是条间力。该方法对条间力所做的假设，实质是规定了其条间力合力的方向。传统不平衡推力法的介绍请参阅有关文献[11，12]。

如果将条分后的滑坡体看作是由若干条块组成的一个结构，那么按极限状态法设计计算的原则，更需要去考虑一些极限状态。从求解边坡最小安全系数的角度出发，强调求解边坡的最小安全系数和其对应的最危险滑动面，就是在求解整个边坡的极限状态。从这一原则出发，条间力的简化应该从如何能使边坡产生最不利受力状态的角度来考虑，期望能求到比现有传统方法更小的安全系数或滑坡推力。

基于上面的分析，从直观的物理概念出发，比较传统不平衡推力法，如果条间的推力或条间力，是以可能产生的最大的推力来进行传递，这对边坡的滑动将会产生更不利的因素。从寻找最不利的受力情况出发，如果每次传递都按可能产生的最大推力传递给下一个条块，将可能会是要考虑到的边坡的最危险的受力传递情况，对边坡的治理有重要的意义。

改进的方法一般不容易被接受，但如果这一改进对传统方法的解答有明显的进步，那么这一改进就应该被关注。对于传统不平衡推力法的改进，两个重要指标可以进行比较，一是安全系数，其二是边坡最终的滑坡推力。

1.2   安全系数定义

传递最大推力的方法其安全系数与传统的推力法安全系数的定义相同，都是反映边坡抗力储备的折减系数，在计算安全系数时，除了要对底面抗滑力进行折减，同时可以对条块侧边剪切强度进行折减，但规定条间剪应力最大不超出抗剪强度发挥的1/F_s。文献[6]指出，根据边坡稳定性分析的合理性条件，条间剪力的安全系数必须要大于等于条块底面的安全系数。

对于安全系数的定义，文献[13]指出，尽管安全系数在概念上是局部的，但在建立极限平衡法时，通常都将安全系数视为一个常数，这实际上是极限平衡法引入的又一假定。一般说来，要求所引入的假定在力学上合理，在数量上刚好能够求解出这个力系，例如文献[14]中安全系数定义就是对整个边坡而言, 任意点的任意方向都是按同一个安全系数进行折减。

1.3   条间最大推力计算的力学模型

一般认为，条分法单个条块待定的未知量有：条块底面法向力N_i、条块底面剪力T_i、条间法向力E_i和其作用点条间剪切力X_i，共5个未知量。

根据莫尔库仑强度准则，底面剪力T_i与条间剪力X_i可以分解为黏聚力项T_i^c，X_i^c和摩擦力项T_i^t，X_i^t两个部分，图 1所示的模型即为分解剪力后的单个条块受力示意图。

图  1  条块力学模型

Figure  1.  Mechanical model of a slice

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受力分析如下：

(1) 条块重力W_i和上一条块传递的推力G_i-1为已知量，其大小和方向均已知。

(2) 条块底面法向力N_i，方向已知，大小未知，同理条间法向力E_i方向已知大小未知。

(3) 底面抗滑力T_i分解成黏聚力项${T_i}^{\text{c}}$和摩擦力项$T_i^{\text{t}}$，在指定安全系数折减的情况下，${T_i}^{\text{c}}$的方向和大小均已知，$T_i^{\text{t}}$的方向已知，但大小未知。T_i^t与底面法向力N_i的合力为${R_i}^{\text{t}}$。

条块底面抗滑力黏聚强度T_i^c：

式中，c_i为土体黏聚力，l_i为条块底边长。

条块底面抗滑力摩擦强度${T_i}^{\text{t}}$：

式中，${\varphi _i}$为土体内摩擦角。

${R_i}^{\text{t}}$与N_i的夹角${\beta _i}$：

(4) G_i为条间法向力E_i与X_i的合力，即为待求的条块i推力。

(5) 条间剪力满足合理性要求：

式中，h_i为条块左侧边长。

考虑条块的静力平衡，在给出试算的安全系数F_s时，将图 1条块受力分成3部分：①将条块重力W_i、上一条块推力G_i-1、条块底面的黏聚力项$T_i^{\text{c}}$的合力，及其他已知的作用在该条块上的外力，组成合力P_i。由于以上各分力均为已知，故P_i的大小、方向可以确定。②条块底面摩擦强度部分$T_i^{\text{t}}$与底面法向力N_i的合力${R_i}^{\text{t}}$。根据式(3)，其方向已知，但大小未知。③条间力G_i，待求。

根据上述给出的3部分力，实质就是3个力矢量。参照库仑土压力求解时的力三角形方法，可以做出力矢量三角形，见图 2。图 2中，从O点任意方向做条间力线OB(或OC)，与已知大小和方向的P_i和已知方向的${R_i}^{\text{t}}$形成一封闭的力三角形OAB(或OAC)。由于要满足条间剪切力合理性要求式(4)，条间力的方向只能限制在某一角度范围内，假设为图 2所示的OB和OC矢量之间。从力三角形几何性质知道，可能的最大推力G_i将是图中OB和OC中的较长者^[15]。在OA已定，AC(或AB)方向已知的情况下，OB或OC的长度值就是在式(4)等式成立时，也即条间力在合理性条件下的极限情况的取值。

图  2  力三角形

Figure  2.  Force triangle

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以OC长度为例，设OC与竖直线夹角为$\lambda$，$\lambda$越小，则OC越长，则所得的条间力也即不平衡推力越大。但合理的条间力取值应该满足如下约束条件：

令式(5)等式成立时，则达到夹角$\lambda$的取值边界。式(5)中有两个待求量，即夹角$\lambda$和不平衡推力G_i。此时根据力三角形OAC几何性质，引入正弦定理，可得到另一等式，结合式(5)，理论上即可求到夹角$\lambda$和最大不平衡推力G_i。因为最大不平衡推力G_i是当式(5)等式成立时求到的，说明当条间剪力发挥条间抗剪强度的1/F_s时，条间传递最大不平衡推力。

当条间剪力发挥条间抗剪强度的1/F_s时，条间剪力X_i的黏聚力项${X_i}^{\text{c}}$大小方向均已知，摩擦力项${X_i}^{\text{t}}$的方向已知，大小未知，${G_i}^{\text{t}}$为条间法向力E_i与${X_i}^{\text{t}}$的合力。

条间剪力的黏聚强度${X_i}^{\text{c}}$：

条间剪力的摩擦强度X_i^t：

${G_i}^{\text{t}}$与E_i的夹角${\varepsilon _i}$：

1.4   图解法求解最大不平衡推力

通过对图 2力三角形建立直角坐标系，以力矢量OA和OB(或OC)的交点O为坐标系原点，见图 3。利用直线方程求交点坐标的方法可以便捷的求得OB(或OC)的长度，也即式(5)的等式解。OB和OC长度值的较大者即为最大不平衡推力。

图  3  求解步骤示意图

Figure  3.  Diagram for solution

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具体的作图求解步骤如下：

(1) 确定A点的坐标

A点的坐标是由已知量合力P_i的大小与方向决定的。将W_i，G_i-1，$T_i^{\text{c}}$分别在x和y轴上投影并叠加，即可得到点A的坐标(${A_x}$，${A_y}$)：

(2) 确定$R_i^{t}$的直线方程

$R_i^{t}$为${T_i}^{\text{t}}$与底面法向力N_i的合力，由于N_i的大小未知，$R_i^{t}$实际上就是关于N_i的函数，根据力三角形的作图原理，$R_i^{t}$所在的直线y_R经过A点，因此只需确定y_R的斜率即可确定该直线方程。

已知${R_i}^{\text{t}}$与N_i的夹角为β_i，可得${R_i}^{\text{t}}$与y轴的夹角为${\beta _i} - {\alpha _i}$。${R_i}^{\text{t}}$的直线方程y_R的斜率为

可得直线方程：

(3) 确定辅助线方程y₁，y₂

根据前文分析可知，在求解最大推力时，${G_i}^{\text{t}}$与N_i的夹角${\varepsilon _i}$是已知的。作与x轴夹角为±${\varepsilon _i}$的两条辅助线y₁，y₂，分别对应图 1中(a)，(b)两种情况。辅助线y₁，y₂上的任意点与原点O连线形成的力矢量，达到条间剪切力合理性条件。

当条块土层为无黏性土，即${X_i}^{\text{c}}$为零时，需要让y₁，y₂过O点。

当条块土层为黏性土，即${X_i}^{\text{c}}$不为零时，必须使得y₁，y₂经过y轴上±${X_i}^{\text{c}}$两点，即y₁，y₂分别过e，f点。

此时过原点O做y₁，y₂与y_R的交点的连线，即为条块可能的最大推力矢。

根据${G_i}^{\text{t}}$与E_i的夹角为${\varepsilon _i}$，可得y₁，y₂的斜率为

可得y₁，y₂直线方程

(4) 确定B点和C点的坐标

B点和C点的坐标是直线y_R与直线y₁和y₂的交点，而OB，OC则代表在条间剪力不超过条间合理性条件下有可能的最大不平衡推力。

B点x坐标为

C点x坐标为

将B，C点的x坐标代入到y_R中即可求出B，C点的y坐标。

(5) 确定G_i¹和G_i²的较大值

B，C点与O点的连线即为G_i¹与G_i²。通过B，C点的坐标即可求出G_i¹，G_i²的值，最后对比取两者中的较大者，即为条块i传递给下一条块的最大不平衡推力矢。

显然，折减系数F_s的调整会使得整个条块的受力重新分布，通过图解法求解确保G_i能够一直取得最大值，满足条间力合理性条件。这种相邻两个条块之间按照最大条间力传递的方法，当对某一具体安全系数做滑坡推力计算时，由于传递的力的累积效应，计算到最后一个条块时，将较传统不平衡推力法得到边坡更大的剩余滑坡推力。

安全系数的求解与传统不平衡推力法的隐式解法相同，都是以G_n=0为边界条件，不断试算F_s。

2.   算例分析

2.1   人工算例分析

为了更加直观地体现传递最大推力的改进方法的计算过程及特点，通过图 4简单边坡做一人工算例进行分析。

图  4  算例模型一

Figure  4.  Example model 1

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分别通过传统不平衡推力法和改进方法在指定折减系数为1.5的情况下计算条块推力。表 1为推力计算过程。表 2为常见方法对算例1计算得到的最小安全系数。

表  1  计算过程

Table  1.  Calculation process

编号	条重/(kN·m-1)	$\alpha$/(°)	l/m	h/m	${G}_{推}$/kN	${G}_{改}$/kN
#1	126.85	34.86	5.48	3.13	17.36	40.71
#2	265.90	34.86	5.48	3.44	93.82	130.21
#3	208.58	13..91	4.63	1.72	76.69	108.86
#4	69.53	13.91	4.63	0	50.45	78.87

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表  2  安全系数

Table  2.  Safety factors

不平衡推力法	工程师团法	M-P法	本文方法
1.284	1.278	1.264	1.149

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根据表 2安全系数计算结果可知不平衡推力法计算出的安全系数要高于M-P法与改进方法的计算结果。表 1的计算过程表明，在指定折减系数为1.5时，通过改进方法计算出的每一个条块的推力都要比传统不平衡推力法的推力大。

2.2   多折线滑动面算例分析

根据改进方法的计算原理编制了相应的滑坡稳定性分析程序，本文方法适用于任意形状滑动面，为了检验该法是否能在滑动倾角变化的情况下保持计算精度，现假定一均质土坡，将圆弧滑动面的2、4、8等分点作为折线形滑动面的控制点，连接这些控制点就形成3条不同的折线滑动面，几何参数与土层参数如图 5所示，3条不同滑动面倾角的平均变化量依次为37.0°，18.5°，9.2°。

图  5  算例模型二

Figure  5.  Example model 2

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分别采用不同的分析方法计算安全系数结果见表 3，表 4为指定安全系数为2.5时，使用传统不平衡推力法和本文方法求解最后条块剩余推力的结果。

表  3  安全系数

Table  3.  Safety factors

滑动面	不平衡推力法	M-P法	本文方法
2分滑动面	2.306	2.044	1.512
4分滑动面	1.952	1.874	1.432
8分滑动面	1.856	1.834	1.403

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表  4  F_s=2.5时最后条块剩余推力

Table  4.  Residual thrusts of last slice when F_s=2.5  (kN)

滑动面	不平衡推力法	本文方法
2分滑动面	4.154	33.967
4分滑动面	14.868	42.941
8分滑动面	18.666	43.065

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根据表 3的3种不同倾角变化滑动面的安全系数结果可知，一般情况下，不平衡推力法计算得到的安全系数大于M-P法大于本文的改进方法，且随着F_s越大，各方法计算结果的差距也就越大，表明本文的改进方法更有利于工程实际的安全。而从同一方法不同角度变化的计算结果可知，不平衡推力法的安全系数最大相差0.45，而改进方法最大相差只有0.11，由此也说明改进方法相比于传统的不平衡推力法，基本可以避免滑面转折点倾角变化过大对边坡安全系数计算的影响，具有更强的适用性和计算稳定性。在指定安全系数后对剩余推力进行计算，从表 4的计算结果可知，本文方法最终求得的边坡推力要比传统不平衡推力法的计算结果更大。

3.   结论

如果将条分后的滑坡体看作是由若干条块组成的一个结构，那么按极限状态法设计计算的原则，更需要去考虑一些极限状态。从求解边坡最小安全系数的角度出发，条间力的简化应该从如何能使边坡产生最不利受力状态的角度来考虑。在传统不平衡推力法基本力学模型的基础上，为了寻找可能存在的更不利受力状态，寻求更合理和更具有物理意义的解答，进而获得可能存在更小的安全系数，本文对传统不平衡推力法进行了改进，得到以下4点结论。

(1) 提出了一种改进的传递最大条间力的不平衡推力法。该方法使条块间按可能的最大条间力传递，从而求解边坡更大的滑坡推力，对于边坡加固设计具有重要的参考意义。

(2) 给出了求解条间最大推力的计算方法，在满足条间剪力合理性条件的前提下，得到条间剪力发挥抗剪强度的1/F_s时的条间力即为所传递的最大推力的结论。

(3) 通过算例说明，本文方法计算所得安全系数较传统不平衡推力法更小，在计算滑动面倾角变化大的滑坡时，误差相对传统不平衡推力法要更低，说明条块间以可能存在的最大推力作为传递力是一较传统方法更不利的受力状态，在对边坡稳定性评估时应考虑。

(4) 算例证明，较传统不平衡推力法，按可能的条间最大推力作为传递力计算，可使计算边坡获得更小的安全系数和更大的滑坡推力，是较传统不平衡推力法更优的一个方案。