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    拱坝坝肩多块体滑动的三维极限平衡分析方法

    孙平, 张强, 陈祖煜, 王玉杰

    孙平, 张强, 陈祖煜, 王玉杰. 拱坝坝肩多块体滑动的三维极限平衡分析方法[J]. 岩土工程学报, 2022, 44(1): 144-152. DOI: 10.11779/CJGE202201014
    引用本文: 孙平, 张强, 陈祖煜, 王玉杰. 拱坝坝肩多块体滑动的三维极限平衡分析方法[J]. 岩土工程学报, 2022, 44(1): 144-152. DOI: 10.11779/CJGE202201014
    SUN Ping, ZHANG Qiang, CHEN Zu-yu, WANG Yu-jie. Three-dimensional rigid limit equilibrium analysis method for multi-block sliding in arch dam abutment[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2022, 44(1): 144-152. DOI: 10.11779/CJGE202201014
    Citation: SUN Ping, ZHANG Qiang, CHEN Zu-yu, WANG Yu-jie. Three-dimensional rigid limit equilibrium analysis method for multi-block sliding in arch dam abutment[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2022, 44(1): 144-152. DOI: 10.11779/CJGE202201014

    拱坝坝肩多块体滑动的三维极限平衡分析方法  English Version

    基金项目: 

    国家重点研发计划项目 2017YFC1501100

    详细信息
      作者简介:

      孙平(1976—),男,博士,正高级工程师,主要从事大坝与高边坡稳定、变形方面的研究工作。E-mail: sunping@iwhr.com

      通讯作者:

      张强, E-mail: zhangq@iwhr.com

    • 中图分类号: TU43

    Three-dimensional rigid limit equilibrium analysis method for multi-block sliding in arch dam abutment

    • 摘要: 多块体滑动是拱坝坝肩一种常见且重要的失稳模式,目前已建立的各种稳定分析方法,普遍存在一定的缺陷或局限性,如必须引入大量假定才能使问题变为静定可解,或仅讨论了各块体的滑动模式为沿底滑面与侧滑面交线的双面滑动的情况等,不适合拱坝坝肩多块体滑动问题的求解。提出了一种理论基础严格、计算步骤相对简单的三维稳定分析方法,即针对滑体中各块体的滑动模式分别为双面滑动与单面滑动两种情况,通过建立各块体在3个方向的静力平衡方程与相邻块体之间的位移协调方程,使安全系数的求解归结于一个含若干个自由度的极小值问题,结合全局最优化方法可获得较好的收敛性。将该方法应用于典型三维楔体与小湾拱坝坝肩的稳定分析,验证了其合理性与实用性。该方法是二维Sarma法在三维多块体领域的扩展,在理论上获得塑性力学上限定理的支持。同时,该方法还给出了三维多块体串联滑动问题的闭合解求解方法,可为各种三维边坡稳定分析程序的合理性验证提供考核算例。
      Abstract: Multi-block sliding is a common and important failure mode in arch dam abutment. The current stability analysis methods established generally have certain deficiencies: a lot of assumptions must be introduced to make the problem static, or some methods only discuss that the sliding mode of the individual block is double-face sliding along the bottom and lateral slip surface. These methods are not suitable for solving the multi-block sliding problems of arch dam abutment. A new 3D limit equilibrium method with a strict theoretical basis and simple calculation steps is proposed. More specifically, considering that the sliding mode of each block is double-face sliding and single-face sliding, the method involves converting the multi-block stability analysis to a non-linear minimum problem containing several degrees of freedom by creating the equations for static equilibrium along x, y and z directions of each block and the equation for displacement compatibility of two adjacent blocks, thus good convergence can be obtained by combining with the global optimization methods. The method proposed is applied to a 3D wedge problem and the abutment stability of Xiaowan arch dam, so the validity and practicability are verified. The method is actually an extension of 2D Sarma method in 3D multi-block field, and is theoretically supported by the upper bound theorem of plasticity. Meanwhile, it gives the closed solution method for multi-block series sliding problems, and can provide an example for the rationality verification of various 3D slope stability programs.
    • 在软土地区,城市地铁隧道大多为圆形盾构隧道,其直径在6~7 m,仅可满足一辆列车运行。为满足列车双向运行需求,每条线路需要修建两条大致平行的圆形隧道(如图 1所示)。同时建造两条隧道不仅占据地下有限的空间,增加建造成本,而且两条隧道之间必要净距属于地铁保护区范围,无法进行开发和利用,导致地下空间利用率低下。为了提高地下空间的有效利用率,类矩形盾构隧道工法应运而生。图 2为类矩形盾构隧道截面示意图。由图 2可见,类矩形盾构隧道具有断面利用率高的优点,一次施工成型后即可满足列车双向通行,极大地节省建设成本和充分利用有限的城市地下空间,具有显著的经济和社会效益[1]。随着类矩形盾构施工工法的进一步完善,类矩形盾构隧道将有着广泛的应用前景。因而,开展对类矩形盾构隧道力学性能的研究现实意义重大。

      图  1  圆形盾构隧道截面示意图
      Figure  1.  Cross section of circle shield tunnel
      图  2  类矩形盾构隧道截面示意图
      Figure  2.  Cross section of quasi-rectangular shield tunnel

      图 3为类矩形盾构隧道三维结构示意图。由图 3可见,与圆形盾构隧道一样,类矩形盾构隧道是通过螺栓连接预制管片而成的复合细长结构体。在外部施工(如基坑开挖、隧道穿越、地表堆载等)引起土体位移作用下,作为细长结构物的盾构隧道将发生纵向不均匀沉降,会导致环缝渗漏水、螺栓脱落、管片损伤等病害,威胁地铁列车运营安全。隧道的纵向抗弯刚度是表征隧道结构抵抗地层变形能力的参数,也是预测隧道变形和受力的重要物理参数。因此,有必要开展盾构隧道的纵向抗弯性能研究,为类矩形盾构隧道设计和对其受邻近施工作用下的受力变形预测提供理论支撑。

      图  3  类矩形盾构隧道三维结构图
      Figure  3.  Three-dimensional structure of quasi-rectangular shield tunnel

      目前,国内外研究人员对圆形盾构隧道纵向受力性能已经展开了大量的研究[2-11],提出了众多实用的盾构隧道纵向抗弯刚度计算模型,并应用于盾构纵向变形预测中[12-15]。类矩形盾构隧道属于异形截面隧道结构,其受力性能与圆形盾构隧道存在一定的差异。由材料力学可知,梁的纵向抗弯性能与其截面形状息息相关,在讨论类矩形盾构隧道的纵向抗弯性能时,需要深入考量其截面的特点。因此不能生搬硬套圆形盾构隧道纵向抗弯计算理论,需要建立符合类矩形盾构隧道截面特点的纵向抗弯刚度计算模型。

      一些研究人员对类矩形盾构隧道纵向抗弯特性进行了初步探索。张子新等[16]建立了类矩形盾构隧道三维有限元模型,分析了类矩形盾构隧道纵向受力性能,并提出其纵向抗弯刚度简化解析解,但是该解没有对中性轴处于不同位置进行分析,同时没有考虑到螺栓预紧力对纵向抗弯刚度的影响。黄亮等[17]指出由于类矩形盾构隧道截面的特殊性,需分别对中性轴在隧道截面腰部和拱底两种不同的情况进行讨论,基于等效连续化模型初步推导得到类矩形盾构隧道的纵向抗弯刚度解析解。同样,该解亦没有把环缝影响范围和螺栓预紧力的影响纳入考虑之中。前人针对圆形盾构隧道纵向抗弯性能的研究指出,螺栓预紧产生的轴力影响盾构隧道的等效抗弯刚度,不考虑螺栓作用将会高估环缝的张开量,同时低估隧道结构的纵向抗弯性能[10]

      在前人工作的基础上,本文进一步考虑螺栓预紧力和环缝影响范围对类矩形盾构隧道纵向抗弯刚度的影响,建立了类矩形盾构隧道的纵向等效连续化模型,推导出类矩形盾构隧道纵向等效刚度解析解,并对影响类矩形盾构隧道纵向等效刚度的主要因素进行分析。

      图 4为类矩形盾构隧道截面示意图。由图 4可见,类矩形盾构隧道截面可视为由左右两侧小圆弧和上下两个大圆弧组成厚度为t的异形截面。其中小圆弧对应圆心角为2α,半径为R1的两个小圆弧和大圆弧对应的圆心角为2β,半径为R2。中性轴位置主要通过中性轴位置角φ的变化反映,x为截面形心到中性轴的距离,与中性轴位置角的关系为x=R1sinφ。隧道截面的水平向和竖向距离分别为类矩形截面的长轴方向和短轴方向,长轴和短轴的长度分别为2a和2b。拱顶圆弧的圆心到截面形心的距离为s。在短轴方向上,形心到管片环中心线的距离为b。为后续计算方便,定义γdγ分别为类矩形截面任意一点到短轴的夹角和管片上任意微分单位对应大圆弧的圆心角。

      图  4  类矩形管片环截面图
      Figure  4.  Sectional view of linings of quasi-rectangular shield tunnel

      图 5为类矩形管片受弯变形示意图。考虑纵向环缝影响范围,隧道纵向弯曲变形包含两部分:环缝接头作用范围内的弯曲变形和作用范围外管片的弯曲变形。取两管片环中心线的长度ls为计算单元,设λ为环缝长度影响系数,lb为螺栓长度,lf为环缝影响范围的长度,则钢筋混凝土管片作用范围为ls~lf。因此当管片受到弯矩M作用时,单元转角θ由环缝引起的转角θf和混凝土管片引起的转角θh两部分组成,如图 5所示。

      图  5  管片单元受弯变形示意图
      Figure  5.  Schematic diagram of bending deformation of segment unit

      本文采用的基本假定如下:

      (1)平截面假定。即隧道横断面在变形后始终为平面,截面上各处的变形量与中性轴的距离成正比。

      (2)螺栓在环向的分布形式等效为连续均匀分布。则螺栓作用长度为lb时,螺栓的平均线刚度kr

      kr=nkbl=nEbAblb(4αR1+4βR2) (1)

      式中n为单截面纵向螺栓总数;kb为单个纵向螺栓的弹性刚度系数;l为螺栓分布的总长度;Eb为螺栓弹性模量;Ab为单个螺栓横截面面积;lb为螺栓长度。

      (3)在弯矩和螺栓预紧力的作用下,管片环单元以中性轴为界,两侧分别受压和受拉。环缝影响范围lf区域内,受压侧仅管片承担压力,受拉侧拉力由螺栓和管片共同承担;ls~lf区域内,压力、拉力完全由管片承担,视为均质单元。

      (4)环缝长度影响系数λ1时,接头在环缝影响范围内的作用长度为lb;环缝长度影响系数λ<1时,接头在环缝影响范围内的作用长度为λlb

      (5)螺栓预紧力作用在环缝影响范围内,该范围内的管片单元既承受预紧力np0又承受弯矩M作用,管片处于弯压组合变形状态,两侧合力等于螺栓预紧力np0p0为单个螺栓产生的预紧力)。

      (6)假定所有螺栓受力过程中发生的变形均为弹性变形,单元处于完全弹性状态。此外,类矩形盾构隧道中的立柱前后不连接,不参与管片的纵向受力,因此不考虑其影响。

      考虑纵向螺栓预紧力的影响时,管片间环缝的接触状态会随螺栓预紧力np0和弯矩M的相对大小发生改变,因此,隧道的中性轴位置和纵向等效抗弯刚度并不是一成不变的。而黄亮等[17]未考虑螺栓预紧力的影响,当隧道纵向处于纯弯曲状态时,中性轴位置仅与材料自身性质有关。

      在螺栓预紧力作用下,当弯矩M较小不足以致使管片环分离,此时,环缝全截面受压,隧道结构类似于均质结构;当弯矩M逐步增大时,弯矩作用使管环截面一部分压力增大,另一部分压力减小,截面开始出现受拉区,环缝部分分离,中性轴开始由下移,其位置随弯矩而变化。

      综上,结合环缝的接触状态和类矩形截面的特点,类矩形隧道的纵向弯曲状态可划分为如下4种情况:①中性轴位于截面上部边缘(环缝完全闭合)(φ= -π/2);②中性轴位于截面腰部(αφα);③中性轴位于截面上拱部(-π/2≤φα);④中性轴位于截面下拱部(αφ<π/2)。下文将对上述4种情况分别进行讨论。

      当受到螺栓预紧力和弯矩共同作用致使环缝全部闭合时,环缝影响范围内、外管片纵向变形及应力分布分别如图 67所示。

      图  6  环缝闭合时的环缝影响范围内纵向应力及变形
      Figure  6.  Longitudinal stresses and deformations under completely closed circumferential joint
      图  7  环缝闭合时环缝影响范围外的纵向应力及变形
      Figure  7.  Longitudinal stresses and deformations outside influence range of circumferential joint under completely closed circumferential joint

      (1)在环缝影响范围内

      图 6可得变形协调方程如下:

      θf=λlb(εc1εc2)2b , (2)

      式中,εc1εc2分别是管片接头的最大压应变和最小压应变。

      通过截面受力平衡可得

      2β0[Es(εc2εc1)(bR2cosγ+s)2b+Esεc1]R2tdγ+2π /2+αβ[Es(εc2εc1)(bR1cosγ)2b+Esεc1]R1tdγ+2β0[Es(εc2εc1)(R2cosγs+b)2b+Esεc1]R2tdγ=np0 (3)

      式中,α=π 2βs=(R2R1)cosβEs为混凝土弹性模量。

      由受压区压力对截面形心轴的合力矩与纵向弯矩M平衡可得

      2β0[Es(εc2εc1)(bR2cosγ+s)2b+Esεc1](R2cosγs)R2tdγ+2π /2+αβ[Es(εc2εc1)(bR1cosγ)2b+Esεc1](R1cosγ)R1tdγ+2β0[Es(εc2εc1)(R2cosγs+b)2b+Esεc1](R2cosγs)R2tdγ=M (4)

      联立式(2)~(4)可得环缝影响范围内的转角θf的表达式:

      θf=λlbM/Est[4βs2R28sR22sinβ2βR31+sin2β(R32R31)+π R31+2βR32] (5)

      又因类矩形盾构管片横截面的惯性矩Ic

      Ic=2α+π 2π 2αR1t(R1cosγ)2dγ+2ββR2t(R2cosγs)2dγ=4tβs2R28tsR22sinβ2tβR31+tsin2β(R32R31)+π tR31+2tβR32 (6)

      因此,结合式(5),(6)可进一步得到环缝引起的转角θf的表达式:

      θf = λlbMEsIc (7)

      (2)在环缝影响范围外

      图 7可知,在环缝影响范围外,混凝土管片的转角θh

      θh=M(lsλlb)EsIc  (8)

      等效连续化模型梁的转角θ

      θ=Mls(EI)eq=θf + θh, (9)

      式中,(EI)eq为纵向等效抗弯刚度。

      结合式(7)~(9),当环缝全部闭合条件下,纵向等效抗弯刚度(EI)eq表达式为

      (EI)eq=Mlsθf+θh=EsIc (10)

      由此可见,螺栓预紧力作用下使得管片间环缝未张开时,管片截面全面受压,中性轴位于截面上边缘。此时,纵向等效抗弯刚度与均质隧道相等并保持不变。

      当中性轴位于截面腰部时,环缝部分分离,环缝影响范围内管片纵向变形及应力分布如图 8所示。而环缝影响范围外管片纵向变形及应力分布与图 7相同。

      图  8  中性轴位于类矩形截面腰部时纵向应力和变形
      Figure  8.  Longitudinal stresses and deformations under neutral axis located at waist of quasi-rectangular section

      考虑螺栓的作用长度不同,因此需要对螺栓影响范围系数λ1λ>1两种不同情况开展分析。

      (1)环缝影响范围小于螺栓长度(即λ1

      a)在环缝影响范围内

      图 8可得变形协调方程为

      (bx)θf2=εcλlb2, (11)
      (b+x)θf2=δ2+εtλlb2b+xb+x (12)

      根据受力平衡条件,可得管片受压区和受拉区的受力平衡方程为

      2Esεcbxβ0(R2cosγxs)R2tdγ+2Esεcbxπ /2φπ /2α(R1cosγx)R1tdγnp0=2Esεtb+xπ /2+φπ /2α(R1cosγ+x)R1tdγ+2Esεtb+xβ0(R2cosγs+x)R2tdγ, (13a)
      2Esεcbxβ0(R2cosγxs)R2tdγ+2Esεcbxπ /2φπ /2α(R1cosγx)R1tdγnp0=2krδb+xlbλlbπ /2+φπ /2α(R1cosγ+x)R1dγ+2krδb+xlbλlbβ0(R2cosγs+x)R2dγ (13b)

      根据管片受压区压力和受拉区拉力对截面形心轴的合力矩与弯矩平衡,可得力矩平衡方程:

      2Esεcbxβ0(R2cosγxs)(R2cosγs)R2tdγ+2Esεcbxπ /2φπ /2α(R1cosγx)(R1cosγ)R1tdγ + 2Esεtb+xπ /2+φπ /2α(R1cosγ+x)(R1cosγ)R1tdγ+2Esεtb+xβ0(R2cosγs+x)(R2cosγs)R2tdγ=M (14)

      联立式(11)~(14)可得中性轴位置位置角φ应满足

      krlbEst=2A1M+np0(2A4+A5)(2A12A2)Mnp0(2A3+2A4+A5+A6), (15)

      式中,A1=2βsR2+2sinβ(R22R21)+[2β(R21R1R2) π R21]sinφ+2R21φsinφ+2R21cosφA2=2βsR2+2sinβ(R22R21)+[2β(R1R2R21)+π R21]sinφ+2R21cosφ+2R21φsinφ,A3=R2β(2s2+R22)+R22sinβ(R2cosβ4s)+2R1R2(R2sinββs)sinφA4=R2β(2s2+R22)+R22sinβ(R2cosβ4s)2R1R2(R2sinββs)sinφ,A5=R312βsin2β)2R31φ+4R31sinβsinφR31sin2φA6=R31(π2βsin2β)+2R31φ4R31sinβsinφ+R31sin2φ

      结合式(11)~(14)还可解得环缝引起的转角θf表达式:

      θf=λlbMEs(J1+ψ1J2), (16)

      式中,J1=t(2A4+A5)2J2=t(2A3+A6)2ψ1=krlbkrlb+Est

      (b)在环缝影响范围外,

      环缝影响范围外的情况与上一节一致,管片的转角θh的取值仍如式(8)所示。

      由于θ=θf+θh,联立式(16)和(8)可得环缝部分分离且中性轴位于截面腰部的纵向等效抗弯刚度,表达为

      (EI)eq=EsIcls(J1+ψ1J2)λIclb+(lsλlb)(J1+ψ1J2) (17)

      (2)环缝影响范围大于螺栓长度(即λ > 1)

      根据受力平衡,管片受压区与受拉区平衡方程与式(13a)一致,不再重复给出。而考虑到环缝影响系数λ > 1,螺栓在环缝影响范围内作用长度为lb,管片受压区与螺栓受拉的受力平衡方程(13b)则改写如下:

      2Esεcbxβ0(R2cosγxs)R2tdγ+2Esεcbxπ /2φπ /2α(R1cosγx)R1tdγnp0=2krδb+xπ /2+φπ /2α(R1cosγ+x)R1dγ+2krδb+xβ0(R2cosγs+x)R2dγ (18)

      此外,变形协调方程、力矩平衡方程与λ1的情况一致,最后可分别得到的中性轴位置角φ和纵向等效抗弯刚度(EI)eq

      krlbEst=2A1M+np0(2A4+A5)λ[(2A12A2)Mnp0(2A3+2A4+A5+A6)], (19)
      (EI)eq=EsIcls(J1+ψ2J2)λIclb+(lsλlb)(J1+ψ2J2) (20)

      式中,ψ2=λkrlbEst+λkrlb

      当受到螺栓预紧力和弯矩作用致使环缝部分分离,且中性轴位置移至类矩形截面下拱部圆弧管片时,其截面分析图如图 9所示。而环缝影响范围外管片应力应变关系如图 7一致。

      图  9  中性轴位于类矩形截面下拱部时纵向应力和变形
      Figure  9.  Longitudinal stresses and deformations under neutral axis located at invert of tunnel section

      考虑螺栓的作用长度不同,同理对螺栓影响范围系数λ1λ>1两种不同情况开展分析。

      (1)环缝影响范围小于螺栓长度(即λ1

      a)在环缝影响范围内

      受压区和受拉区的变形协调方程与中性轴位于腰部时相同,此处不再重复。

      受压区管片所受压力分别与受拉区管片、螺栓所受拉力平衡,则受力平衡方程如下:

      2Esεcbxπ 2φ0(R2cosγxs)R2tdγ=2Esεtb+x[βπ 2φ(sR2cosγ+x)R2tdγ+β0(R2cosγs+x)R2tdγ+π /2+απ /2α(xR1cosγ)R1tdγ]+np0, (21a)
      2Esεcbxπ 2φ0(R2cosγxs)R2tdγ=2krδb+xlbλlb[βπ 2φ(sR2cosγ+x)R2dγ+β0(R2cosγs+x)R2dγ+π /2+απ /2α(xR1cosγ)R1dγ]+np0 (21b)

      管片受压区压力和受拉区拉力对截面形心轴的合力矩与纵向弯矩平衡,力矩平衡方程如下:

      2Esεcbxπ 2φ0(R2cosγxs)(R2cosγs)R2tdγ2Esεtb+xβπ 2φ(sR2cosγ+x)(sR2cosγ)R2tdγ+2Esεtb+xβ0(R2cosγs+x)(R2cosγs)R2tdγ+2Esεtb+xπ /2+απ /2α(xR1cosγ)(R1cosγ)R1tdγ=M (22)

      联立式(11),(12),(21)和(22)推导得到中性轴位置角φ需满足

      krlbEst=np0B42B1M2(B1B2)Mnp0(2B3+B4+2B5+B6) (23)

      式中,B1=2R22cosφπ R22sinφ+2R22φsinφB2= 2s(2βR1+π R1+2βR2)+R2(4βR1+2πR1 + 4βR2π R2)sinφ + 2R22cosφ+2R22φsinφB3=R31(2β+ sin2βπ )B4=R22(π 2φ)(2ssinφ+R2)2R22 cosφ(2s+R2sinφ)B5=(4s2+R22)R2β(6sR2cosβ) R22sinβ2R22(βsR2sinβ)sinφB6=4sR22sinβ+ R32(π +2β+sin2β)+2R32φ+(4sβ2sπ 4R2sinβ)R22sinφ+4sR22φsinφ+R32sin2φ+4sR22cosφ

      同理可解得环缝引起的转角θf的表达式:

      θf=λlbME(J1+ψ1J2), (24)

      式中,J1=tB42J2=t(2B3+2B5+B6)2

      b)环缝影响范围外

      环缝影响范围外的情况与前文一致,混凝土管片的转角θh取值仍如式(8)所示。

      最终得到在环缝影响范围小于螺栓长度(即λ1)时,中性轴位于截面下拱部的纵向等效抗弯刚度表达式:

      (EI)eq=EsIcls(J1+ψ1J2)λIclb+(lsλlb)(J1+ψ1J2), (25)

      (2)环缝影响范围大于螺栓长度(即λ>1

      参考1.3节,同理可得中性轴位置角φ关系式和等效抗弯刚度(EI)eq表达式:

      krlbEst=np0B42B1M2λ(B1B2)Mλnp0(2B3+B4+2B5+B6), (26)
      (EI)eq=EsIcls(J1+ψ2J2)λIclb+(lsλlb)(J1+ψ2J2) (27)

      中性轴位于类矩形截面上拱部圆弧管片时,截面分析如图 10所示。图中φ为负值,为便于计算,在分析过程中,取φ=φ

      图  10  中性轴位于类矩形截面上拱部时纵向应力和变形
      Figure  10.  Longitudinal stresses and deformations under neutral axis located at tunnel vault

      (1)环缝影响范围小于螺栓长度(即λ1

      a)在环缝影响范围内

      与前文一致,根据变形协调方程、受力平衡方程和力矩平衡方程,可以得到中性轴位置角φ满足

      krlbEst=2B2Mnp0(2B3+2B5+B6)2(B1B2)M+np0(2B3+B4+2B5+B6) (28)

      与中性轴位于截面下拱部类似,可求得环缝引起的转角θf的表达式:

      θf=λlbMEs(J2+ψ1J1) (29)

      b)在环缝影响范围外

      环缝影响范围外的情况与前文一致,管片的转角θh的取值仍如式(8)所示。最终得到在环缝影响范围小于螺栓长度(即λ1)时,中性轴位于截面下拱部的纵向等效抗弯刚度表达式:

      (EI)eq=EsIcls(J2+ψ1J1)λIclb+(lsλlb)(J2+ψ1J1) (30)

      (2)环缝影响范围大于螺栓长度(即λ>1

      与前文一样,通过变形协调方程、受力平衡方程和力矩平衡方程可得到环缝影响系数λ>1时,中性轴位置φ关系式和等效抗弯刚度表达式(EI)eq

      krlbEst=2B2Mnp0(2B3+2B5+B6)2λ(B1B2)M+λnp0(2B3+B4+2B5+B6), (31)
      (EI)eq=EsIcls(J2+ψ2J1)λIclb+(lsλlb)(J2+ψ2J1) (32)

      与圆形盾构隧道一样,可定义纵向等效抗弯刚度与均质隧道弯曲刚度之比为等效纵向刚度有效率η

      η=(EI)eqEsIc (33)

      纵向等效纵向刚度有效率η反映了纵向等效连续化模型中等效抗弯刚度相较于原始管片的变化情况。该参数在隧道的设计中有重要的意义。

      参考鲁志鹏[18]的研究,引入环缝作用区影响系数χ表征环缝影响范围。其值等于环缝影响范围lf与管片环宽度ls之比,其与环缝作用系数λ存在以下对应关系:

      χ=lfls=λlbls (34)

      综上分析可见,管片单元所处的弯曲状态与螺栓预紧力和外施加弯矩息息相关。当施加弯矩为0时,由于预紧力的存在,相邻管片紧紧贴合,全截面受压;逐步增加弯矩值,管片边缘一侧压力随之增大,另一侧压力逐渐减小直至为0,同时管片的最小压应变εc2减少至0,此时所施加弯矩为临界弯矩M1,这个阶段环缝仍然闭合,隧道的等效抗弯刚度与均质隧道的抗弯刚度相等。由于临界弯矩M1亦是管片环缝张开与闭合的界限弯矩,定义其为环缝张开启动弯矩。令εc2=0,结合式(2)~(4)可得到在环缝影响系数λ>1和λ1时的环缝张开启动弯矩取值。

      当中性轴位于隧道截面上边界时,环缝张开启动弯矩M1与环缝影响系数λ无关,环缝张开启动弯矩M1表达式为

      M1=np0[4βs2R28sR22sinβ+sin2β(R32R31)2βR31+π R31+2βR32]/2βR31+π R31+2βR32][4bβ(R2R1)+2bπ R1][4bβ(R2R1)+2bπ R1] (35)

      当施加弯矩继续增大时,管片内出现拉应力,以中性轴为界,一侧受压,另一侧受拉,环缝持续张开,并随弯矩的增大,中性轴往受压区移动,受拉区范围越来越大,环缝变宽。当中性轴下移至截面大小圆弧上部交界处时(即φ=-α),可得环缝影响系数分别为λ1λ>1的界限弯矩M21M22

      当环缝影响系数λ1时,把φ=-α代入式(15)得到界限弯矩M21

      M21=np0{2π R31(Est+krlb)+Est(2s2R22R31+R32)2β+ 2krlb(2s2R2R31+R32)2β+βEsR1tcosβ4sR2 [2R2sinβ(Est+2krlb)]+Est(2R31+2R1R22+R32) sin2β+2krlb(R32R31)sin2β}/+2krlb(R32R31)sin2β}{{4EstR2(sβ+{{4EstR2(sβ+ R2sinβ)+[Est(π R12R1β+R2β)+krlb(π R12R1β+2R2β)]4R1cosβ}} (36)

      当环缝影响系数λ>1时,把φ=α代入式(19)得到界限弯矩M22

      M22=np0[2π R31(Est+λkrlb)+Est(2s2R22R31+R32)2β+ 2λkrlb(2s2R2R31+R32)2β+βEsR1tcosβ4sR2 (2R2sinβ(Est+2λkrlb))+Est(2R31+2R1R22+R32) sin2β+2λkrlb(R32R31)sin2β]/+2λkrlb(R32R31)sin2β]{{4EstR2(sβ+{{4EstR2(sβ+ R2sinβ)+[Est(π R12R1β+R2β)+λkrlb(π R12R1β+2R2β)]4R1cosβ} }  (37)

      当弯矩进一步增加,环缝张开范围继续增大,受压区进一步减小,当中性轴继续下移至大小圆弧下部的交界处时(即φ=α),可得环缝影响系数分别为λ1λ>1的界限弯矩M31M32

      当环缝影响系数λ1时,把φ=α代入式(23)得到界限弯矩M31

      M31=np0{βEstR2(2s2+R22)+krlb[2β(2s2R2R31+R32)+π R31]4sR22sinβ(Est+2krlb)+2βsR1R2Estcosβ+12sin2β[EstR22(R22R1)+2krlb(R32R31)]}{2EstR2(R2sinββd)2R1cosβ[βEstR2+krlb(2βR1+π R1+2βR2)]}1 (38)

      当环缝影响系数λ>1时,把φ=α代入式(26)得到界限弯矩M32

      M32=np0{βEstR2(2s2+R22)+λkrlb[2β(2s2R2R31+R32)+π R31]4sR22sinβ(Est+2λkrlb)+2βsR1R2Estcosβ+12sin2β[EstR22(R22R1)+2λkrlb(R32R31)]}{2EstR2(R2sinββd)2R1cosβ[βEstR2+λkrlb(2βR1+π R1+2βR2)]}1 (39)

      以宁波轨道交通3号线类矩形盾构隧道工程为背景,对影响类矩形盾构隧道纵向等效刚度的因素进行分析。计算采用的盾构隧道衬砌和接头相关参数分别如表 12所示。由于实际工程中螺栓预紧力难以测量,因此计算中取6.8级M30螺栓预紧力p0标准值216 kN,无特别说明施加弯矩取M=2×104(kNm)

      表  1  类矩形盾构隧道衬砌主要设计参数
      Table  1.  Design parameters for linings of quasi-rectangular shield tunnel
      隧道宽度2a/m 隧道高度2b/m 半径R1/m 半径R2/m 偏移s/m α/(°) β/(°) 环宽ls/m 管片厚度t/m 弹性模量Es/MPa
      11.50 6.937 2.975 15.225 11.98 78 12 1.2 0.45 3.45×104
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      表  2  类矩形隧道纵向接头主要参数
      Table  2.  Parameters for longitudinal joint of quasi-rectangular shield tunnel
      纵向螺栓数量n/个 直径/mm 长度lb/mm 弹性模量Eb/MPa 抗拉刚度/(kN·m-1)
      30 30 370 2.06×105 3.12×105
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      根据徐凌[11]和鲁志鹏[18]对上海地铁盾构隧道环缝作用区影响系数的研究成果,对环缝作用区影响系数χ一般取0.2,环缝影响系数λ约为0.5。

      图 11为纵向等效抗弯刚度和中性轴位置角与弯矩的关系曲线。由图 11可见,当施加于管片环两侧的弯矩M小于环缝张开启动弯矩M1时,纵向等效抗弯刚度值不变,其大小与均质隧道抗弯刚度值相等。此时,中性轴位置角φ为90°,位于在管片上部外缘处,受到螺栓预紧力的作用,环缝闭合。随着施加的弯矩超过环缝张开启动弯矩M1时,管片环缝逐渐张开,中性轴从管片外缘逐步下移,纵向等效抗弯刚度明显下降。在施加弯矩M1M21区段,中性轴位置处于截面上拱部范围内,由于类矩形截面上拱部本身范围较小,M1M21本身相差不大。随着施加弯矩进一步增大并超过界限弯矩M21时,纵向等效抗弯刚度首先迅速下降,而后缓慢变化,整体变化呈现反“S”型下降趋势。在界限弯矩M21至界限弯矩M31阶段,中性轴从小圆弧上沿下移至其下沿,即从中性轴位置角从-78°移动至78°。

      图  11  弯矩与纵向等效抗弯刚度和中性轴位置角的关系
      Figure  11.  Relationship among bending moment, longitudinal equivalent bending stiffness and neutral axis

      随着施加弯矩进一步增大并超过界限弯矩M31,纵向等效抗弯刚度略有减小并逐渐趋于稳定,此时中性轴位置也是略有下降,但逐步趋于稳定。值得注意的是,在此阶段,管片的受拉区面积过大将会导致截面发生受拉破坏。

      由上文分析可见,类矩形盾构隧道纵向等效抗弯刚度与弯矩值大小相关。

      环缝影响系数λ的取值范围为0~ls/lb,为分析方便,采用环缝作用区影响系数χ来研究环缝影响系数λ对隧道抗弯性能的影响。将环缝作用区影响系数χ与环缝影响系数λ一一对应,螺栓预紧力值p0分别取0,100,150,200 kN。

      图 12为不同螺栓预紧力下,环缝作用区影响系数χ对类矩形隧道等效刚度有效率的影响。由图 12可见,整体而言,当环缝影响系数λ小于1时,随着环缝作用区系数χ增大,纵向等效抗弯刚度有效率η急剧减小;当环缝影响系数λ大于1时,纵向等效抗弯刚度有效率η随着环缝作用区系数χ增大而缓慢减小并趋于一个定值。值得注意的是,当环缝作用区系数χ为0时,则完全不考虑螺栓拉力和管片压力对管片应变的影响,此时管片可视为刚性体,隧道结构可视为均质结构,纵向等效抗弯刚度有效率η为1;当环缝作用区系数χ为1时,螺栓拉力和管片受到的压力作用范围为整环管片,纵向等效抗弯刚度有效率显著减小。志波由纪夫等[3]在构建圆形盾构隧道纵向等效抗弯刚度计算模型时,假定螺栓拉力和管片受到的压力作用范围为整环管片,即考虑环缝作用区系数χ为1。可见,采用文献[3]推荐的考虑环缝作用影响的方法将会低估盾构隧道纵向等效抗弯刚度。

      图  12  环缝作用区系数χ对等效抗弯刚度有效率的影响
      Figure  12.  Effects of coefficient of circumferential seam action zone on effective efficiency of equivalent bending stiffness

      图 12还可发现,螺栓预紧力p0对纵向等效抗弯刚度有效率η有重要影响。当给定弯矩M与环缝作用区影响系数χ时,螺栓预紧力p0越大,纵向等效抗弯刚度有效率η越大。可见,螺栓预紧力p0可以明显提高隧道纵向等效抗弯刚度。实际工程均会施加一定的螺栓预紧力,若忽略其作用无疑会低估实际的隧道纵向等效抗弯刚度,进而低估隧道抵抗变形的能力,最终高估隧道在受到外部作用下(如新建隧道穿越或基坑开挖)引起的隧道位移。

      图 13为环缝影响系数λ与中性轴位置角φ变化的关系。此时螺栓预紧力取值为216 kN。由图 13可见,当环缝影响系数λ1时,中性轴位置角φ不变,因而此时截面的受压区变化与环缝影响系数λ无关;而当环缝影响系数λ1时,随环缝影响系数增大,中性轴迅速上移,管片截面受压区面积增大。可见环缝影响系数λ对中性轴位置有重要的影响。

      图  13  环缝影响系数对中性轴位置变化的影响
      Figure  13.  Effects of influence coefficient of circumferential seam on position of neutral axis

      图 14为螺栓预紧力对纵向等效抗弯刚度影响曲线图。由图 14可见,螺栓预紧力为100,150,200 kN的环缝张开启动弯矩M1分别为5.95×103,8.92×103,1.19×104 kN∙m。可以发现,随着螺栓预紧力p0的增加,环缝张开启动弯矩M1相应增大。总体而言,当施加弯矩M较小时(小于环缝张开启动弯矩M1 =5.95×103 kN∙m),不同螺栓预紧力条件下的纵向等效抗弯刚度一致。而进一步提高弯矩M时,发现在同样的弯矩条件下,螺栓预紧力p0越大,隧道的纵向等效抗弯刚度越大。而当螺栓预紧力p0为0时,隧道的纵向等效抗弯刚度为定值。可见,提高螺栓预紧力可有效增加隧道的纵向抵抗变形的能力。值得注意的是,当进一步增大弯矩M时,施加不同螺栓预紧力的管片纵向等效抗弯刚度均逐渐趋近于无预紧力作用条件下的管片等效抗弯刚度值,此时,螺栓预紧力对隧道的纵向抗弯刚度影响可以忽略。

      图  14  螺栓预紧力对纵向等效抗弯刚度的影响
      Figure  14.  Effects of pretightening force of bolt on equivalent longitudinal bending stiffness

      图 15为中性轴位置角φ随螺栓预紧力p0变化曲线。由图 15可见,随着螺栓预紧力的增加,中性轴位置不断上移,截面受压区面积不断增大,受拉区不断减小。且中性轴的上移速度有明显的先慢后快的特点,因而螺栓预紧力越大时,其对隧道纵向等效抗弯性能的影响越显著。

      图  15  中性轴位置角φ随着螺栓预紧力变化曲线
      Figure  15.  Effects of pretightening force of bolt on position angle of neutral axis φ

      对于圆形盾构隧道,仅通过半径即可描述其截面形状,而类矩形盾构隧道为异形截面隧道,需要小圆弧直径R1,大圆弧直径R2以及大小圆弧角αβ共同决定其截面形状。根据文献[17]建议可以采用宽高比a/b表征类矩形盾构隧道的截面特点。高宽比a/b可通过下式求得:

      ab=1+(R2/R11)cosαR2/R1(R2/R11)sinα (40)

      由式(40)可发现,宽高比a/b可以反映类矩形盾构隧道的截面形状。当宽高比a/b越大,隧道截面就越扁平;当宽高比a/b为1时,类矩形隧道截面退化为圆形截面,相应地,本文解退化为圆形盾构隧道纵向等效抗弯刚度解答。可见,圆形盾构隧道纵向等效抗弯刚度是本文解的一种特殊情况。

      图 16给出纵向刚度有效率η随宽高比a/b的变化关系。总体而言,与不考虑螺栓预紧力相比,考虑螺栓预紧力之后,纵向抗弯刚度有效率η显著提高。随着宽高比a/b的增加,在考虑螺栓预紧力之后,纵向抗弯刚度有效率η始终位于不考虑螺栓预紧力情况下的上方。当宽高比a/b为1时,此时隧道截面为圆形,在考虑螺栓预紧力的情况下,纵向等效抗弯刚度有效率η为0.93,而不考虑预紧力情况时,其值为0.05,前者为后者的18.6倍之多。可见,忽略螺栓的预紧力将会严重低估盾构隧道的等效纵向抗弯刚度。由图 16可见,当考虑螺栓预紧力时,纵向等效抗弯刚度有效率η随着宽高比的增加而呈现反“S”型下降趋势,当宽高比a/b小于2时,迅速下降,而后随着宽高比a/b增加而缓慢减小。可见类矩形盾构隧道截面越扁平,其纵向等效抗弯刚度有效率η越小,也就是其抵抗地层变形的能力越差。同时发现小圆弧圆心角α值对类矩形纵向等效抗弯刚度有效率η值影响不大。

      图  16  宽高比a/b对纵向等效抗弯刚度有效率η的影响
      Figure  16.  Effects of width-height ratio a/b on effective efficiency of equivalent bending stiffness

      图 17为与中性轴位置角φ随宽高比a/b变化曲线。由图 17可知,总体而言,中性轴位置随宽高比a/b增加而不断下移,也就是隧道截面越扁平,其中性轴位置越靠近截面拱底。值得注意的是,当中性轴位置角φ与小圆弧圆心角α值相等时,曲线将会出现明显的转折点。以小圆弧圆心角α值为68°为例,当在小圆弧边界连线上方时,中性轴随着宽高比a/b的增加而迅速下移;而当中性轴位置角φ与小圆弧圆心角α相等时,曲线出现转折点,而后随着宽高比a/b增加而中性轴缓慢下移,此时中性轴进入截面仰拱范围内。而当中性轴位置角φ为88°时,由图 17可见并没出现转折点,这是由于小圆弧的范围较大,中性轴在弯矩作用下并没有穿越两个小圆弧边界的连线,因此中性轴位置曲线并没有出现转角。

      图  17  中性轴位置角φ随宽高比a/b变化关系
      Figure  17.  Relationship between width-height ratio a/b and neutral axis position

      中性轴位置角的变化规律与黄亮等[17]的研究结论基本一致。不同之处在于,在相同宽高比a/b时,考虑螺栓预紧力的中性轴位置相对较高,中性轴位置变化范围较大。但是两者研究得到的总体规律基本一致。综上可知,类矩形盾构隧道截面具有特殊性,中性轴的位置与截面形状息息相关,这是类矩形盾构隧道区别于圆形隧道的最大不同之处。

      考虑螺栓预紧力和环缝影响范围作用,对中性轴位于截面上部边缘(环缝完全闭合)、截面上拱部、截面腰部和截面下拱部4种情况进行分析,推导得到了类矩形盾构隧道的纵向等效抗弯刚度解析解答,并就影响类矩形盾构隧道纵向等效抗弯刚度性能的主要因素进行分析,得到以下4点结论。

      (1)考虑螺栓预紧力时,当施加弯矩小于环缝启动弯矩时,环缝全部闭合,纵向等效抗弯刚度值保持不变,中性轴位于截面上部外缘。当弯矩进一步增加,纵向等效抗弯刚度总体上呈现“反S”型下降,中性轴位置逐步下移。

      (2)随着环缝作用区系数增大,纵向等效抗弯刚度有效率先迅速下降,随后缓慢降至一定值。当环缝影响系数小于等于1时,中性轴位置不变;而当环缝影响系数大于1时,中性轴位置随环缝影响系数增大而逐步上移。

      (3)随着螺栓预紧力增大,纵向等效纵向刚度相应增大,中性轴位置随之上移。不考虑螺栓预紧力作用,纵向等效抗弯刚度最小且为定值。

      (4)在考虑螺栓预紧力作用情况下,随宽高比增大,纵向等效抗弯刚度有效率呈现“反S”型下降,其值大于不考虑螺栓预紧力的情况。中性轴位置随着高宽比增大而逐步下移,当中性轴位置角与小圆弧圆心角相等时,中性轴位置角与宽高比关系曲线出现转折点。

    • 图  1   拱坝坝肩多块体滑动模式示意图

      Figure  1.   Sketch map of multi-block sliding mode in abutment of arch dam

      图  2   作用在块体上的力

      Figure  2.   Forces applied on one block of sliding mass

      图  3   多块体滑动模式的速度场

      Figure  3.   Velocity fields of multi-block sliding mode

      图  4   三维楔体滑动算例示意图

      Figure  4.   Sketch map of 3D wedge example

      图  5   分界面J3的摩擦角φj与楔体安全系数Fs的关系曲线

      Figure  5.   Relationship between friction angle of interface J3 and Fs of wedge

      图  6   分界面J3的摩擦角取值不同时,各块体滑动方向的计算结果

      Figure  6.   Results of sliding direction of each block under different friction angles of interface J3

      图  7   小湾拱坝坝址区地形拟合图

      Figure  7.   Topographic map of dam site of Xiaowan arch dam

      图  8   左右坝肩台阶状滑面示意图

      Figure  8.   Sketch map of stepped slip surface of left and right abutments

      图  9   左右坝肩潜在滑体的空间形状

      Figure  9.   Schematic view of potential sliding mass of left and right abutments

      图  10   左右坝肩台阶状滑面的空间形状

      Figure  10.   Schematic view of stepped slip surface of left and right abutments

      图  11   台阶高度h不同取值时滑体中各块体的滑动方向示意图

      Figure  11.   Schematic map of sliding direction of each block in sliding mass under different step heights h

      表  1   多块体滑动问题中的未知量与已知条件数目统计结果

      Table  1   Statistical results of number of unknowns and equations in multi-block sliding problem

      滑动模式 未知量 数目 已知方程 数目
      单滑面滑动模式 底滑面的法向力 n 各块体沿x轴的静力平衡 n
      分界面的法向力 n-1 各块体沿y轴的静力平衡 n
      底滑面的单位速度矢量 n 各块体沿z轴的静力平衡 n
      分界面的单位速度矢量 n-1 相邻块体之间满足位移协调条件 n-1
      安全系数F 1
      合计 4n-1 合计 4n-1
      双滑面滑动模式 底滑面的法向力 n 各块体沿x轴的静力平衡 n
      侧滑面的法向力 n 各块体沿y轴的静力平衡 n
      分界面的法向力 n-1 各块体沿z轴的静力平衡 n
      分界面的单位速度矢量 n-1 相邻块体之间满足位移协调条件 n-1
      安全系数F 1
      合计 4n-1 合计 4n-1
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      表  2   三维楔体算例的几何参数与强度参数表

      Table  2   Geometric and strength parameters of 3D wedge example

      面类型 倾角/(°) 倾向/(°) 内摩擦角φ/(°) 黏聚力c /kPa
      左滑面J1 60 105 20 30
      右滑面J2 25 195 30 20
      坡顶面 0 180
      坡面 70 160
      注:楔体高度H=100 m,岩体重度γ=26 kN/m3
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      表  3   坝址区发育的顺河向结构面产状分布

      Table  3   Occurrence distribution of joints along river developed in dam site

      结构面类型 高程/m 左岸 右岸
      陡倾角结构面 950.0~1245 N5°E/NW∠90° N5°W/NE∠90°
      中缓倾角结构面 1050~1240 N5°E/NW∠40° N5°W/NE∠40°
      975~1050 N5°E/NW∠26° N5°W/NE∠26°
      950.5~975 N5°E/NW∠7° N5°W/NE∠7°
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      表  4   岩桥与结构面的抗剪强度参数及连通率计算参数

      Table  4   Strength parameters of rock bridge, joints and persistence ratio adopted in stability analysis

      材料分区 强度参数 岩桥 SN向陡倾角结构面 顺坡向中缓倾角结构面
      Ⅰ+Ⅱ类 f 1.5 0.63 0.7
      c/MPa 2 0.08 0.1
      连通率k 0.5 0.3
      Ⅲ类 f 1.1 0.51 0.55
      c/MPa 0.8 0.06 0.07
      连通率k 0.7 0.6
      a f 1 0.47 0.5
      c/MPa 0.6 0.05 0.05
      连通率k 0.7 0.7
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      表  5   左右坝肩各滑体的抗滑稳定分析成果

      Table  5   Fs of sliding mass of left and right abutments

      位置 台阶高度h/m
      2.5 5.0 7.5 10.0
      左坝肩 4.07 4.05 3.97 3.96
      右坝肩 3.89 3.84 3.80 3.77
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    出版历程
    • 收稿日期:  2021-02-18
    • 网络出版日期:  2022-09-22
    • 刊出日期:  2021-12-31

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