Morphological characteristics of carbonate soil in South China Sea based on dynamic image technology
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摘要: 颗粒形态是一项重要的细观指标，影响着粒状土的物理力学性质。钙质土因为其特殊的生物成因，有着复杂的颗粒形态。为了研究其颗粒形态特征，采用PartAn 3D颗粒动态图像分析仪对粒径0.5~20 mm的南海钙质土颗粒开展形状测试，采用延伸率、扁平度、球形度、圆度、棱角度和凸度指标定量描述颗粒形态特征。结果显示：南海钙质土颗粒的延伸率、扁平度、球形度和圆度符合正态分布，而棱角度和凸度符合幂律分布；颗粒形状以块状居多，随着粒径的减小，钙质土颗粒变得更扁平，形状更规则；通过研究样本数量对颗粒形状量化结果的影响，建议采用形状指标的算术平均值量化单一粒组钙质土颗粒形状特征时，颗粒数目不少于600。最后，运用统计学中的主成分分析方法，得到一个综合考虑钙质土颗粒形状信息的新指标，建立了该指标与钙质土最大、最小孔隙比的关系。Abstract: The particle morphology is an important microscopic characteristic that affects the physical and mechanical properties of granular soils. Carbonate soil particles have complex morphology due to special biogenesis. In order to study the morphological characteristics of the soil particles, the PartAn 3D particle dynamic image analyzer was used to test the particle shape of the carbonate soil with grain sizes of 0.5 ~ 20 mm from the South China Sea. The elongation, flatness, sphericity, roundness, angularity and convexity were used to quantitatively describe the morphological characteristics of the particles. The results show that the frequency distribution of the elongation, flatness, sphericity and roundness of carbonate soil particles in the South China Sea complies with the normal one, while the frequency distribution of the angularity and convexity complies with that of the power law. The particle shape of the carbonate soil is mostly blocky, and with the decrease of grain size, the soil particles become flatter and more regular in shape. Through investigating the effects of sample size on the results of particle shape quantification, it is suggested that the number of particles should be not less than 600 when using the arithmetic mean of shape descriptors to quantify the morphological characteristics of the uniformly graded carbonate soil. Finally, a comprehensive shape index which can fully describe the morphological characteristics of the carbonate soil particles is obtained with the aid of the principal component analysis method in statistics, and the relationship between this shape index and the maximum to minimum void ratio of the carbonate soil is established.
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Keywords:
- carbonate soil /
- dynamic image technology /
- particle shape /
- maximum void ratio /
- minimum void ratio
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0. 引言
颗粒流模型（PFC）的细观力学参数是通过“试错法”进行间接获取的，但该方法常常耗费科研人员大量的时间和精力。国内外学者对岩石颗粒流模型的宏细观参数的相关性及取值方法究展开了一系列研究。专家们对宏-细观参数关系的研究深度从定性关系研究（Huang[1]）到定量关系研究（Yang等[2]，丛宇等[3]），再到少部分的理论关系（刘新荣等[4]、陈亚东等[5]）研究。目前较多的研究为细观参数的优化及算法的改进研究：一开始Yoon[6]利用中心复合设计法及优化参数来获得合适的细观参数，随后学者们[7-8]陆续的提出了众多改进的算法（改进的粒子群优化（PSO）标定方法等）来获得细观参数。虽然这些方法最终都获得了所需的细观参数，但并不能从机理上解释细观参数是如何作用的，同时理论方面的研究也较少，因此一套系统的关于宏-细观参数关系的理论研究是有重要意义的。
本文以接触黏结模型（简称CBM）为研究对象，首先筛选出有代表性的四颗粒-二粒径单元体，随后理论推导获得代表性单元体的宏细观参数解析解。再通过试验设计（简称DOE）定性研究岩石材料宏观力学参数的响应。随后基于大量数值试验，获得宏细观参数基于解析方程的拟合关系式。最终基于宏细观参数的内在联系建立半解析查表法。
1. 颗粒流材料宏-细观参数的解析关系
1.1 代表性均质模型的筛选
筛选一个能够用于构成均质颗粒流模型的代表性单元体是研究颗粒流黏结材料宏观-细观参数理论关系的前提。石崇等[9]对等粒径的颗粒流模型进行了理论研究，并用几何特征角θ（如图 3所示）及配位数N来描述等径颗粒流模型的细观几何特征，其中几何特征角θ为产生接触的两个颗粒的圆心连线与水平线的夹角，配位数N表示模型内每个颗粒上的平均接触个数。本文选取颗粒数目为四的单元体进行分析，并设置两种粒径以研究粒径比对单元体力学特性的影响。该单元体的几何特征可通过粒径比R2/R1与几何特征角θ进行定量描述。随着R2/R1与θ的变化，颗粒的相对位置及接触黏结点的数目亦发生变化。对于用于构成均质颗粒流模型的基本单元体，其粒径比与几何特征角需满足下述条件：
（1）颗粒边界不重叠。
（2）均质模型中，小颗粒之间不应发生大量接触。
如图 1所示，根据条件（1），（2）可绘制出a，b，c，d，e，f 6条曲线，图 1中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ满足条件（1），（2）。标记为1~10的单元体为可用于构成均质模型的单元体。本文以单元体5为例进行分析研究。如图 2所示，由单元体5构成的颗粒流模型为均质模型，该模型的力学特性可通过分析模型的基本单元即单元体5获得，故将单元体5称为代表性单元体。假设均质模型水平排列a个基本单元，竖向排列b个基本单元，则均质模型的细观组构特征如表 1所示。由表 1可知，均质模型的配位数N≈5，与本文的数值试验模型（N=3.5~5.5）相符。
表 1 均质模型的几何参数Table 1. Geometric parameters of homogeneous modelRmax/Rmin θ 颗粒配位数N 小颗粒 大颗粒 平均值 (1, √2+1) (30°, 45°) 4 6 5−(5a+5b)/(5a+5b)(2ab+a+b)(2ab+a+b) 1.2 均质模型的细观破坏模式
（1）直接拉伸状态下
以直接拉伸状态为例详细推导基本单元的内力分布规律及变形特性。在沿y轴方向的拉伸条件下均质模型及基本单元的受力情况如图 3所示。
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图 3 拉伸条件下均质模型及其基本单元的受力情况Figure 3. Force analysis of homogeneous model and its basic unit under tensile conditions平衡方程：
如图 4（a）所示，假设在基本单元内，接触点Ci（i=1~5）中存在的内力为：法向力fni（如绿色箭头所示，以拉为正），切向力fsi（如红色箭头所示，以顺时针旋转为正）。分别对OA，OB，OC进行受力分析，得到6组互相独立的力平衡方程，如式（1）所示。
Fyi=fn5+(fn1+fn2)sinθ+(fs2−fs1)cosθ ，fs5+(fs2+fs1)sinθ+(fn1−fn2)cosθ=0 ，(fn3−fn2)sinθ=(fs2+fs3)cosθ ，(fs2−fs3)sinθ=(fn3+fn2)cosθ ，fs5+(fs3+fs4)sinθ+(fn3−fn4)cosθ=0 ，Fyi=fn5+(fn4+fn3)sinθ+(fs4−fs3)cosθ 。} (1) ![]()
图 4 拉伸条件下基本单元的内力分析及变形特性Figure 4. Analysis of internal forces and deformation characteristics of basic unit under tensile conditions变形协调方程：
如图 4（b）所示，接触点Ci（i=1~5）的法、切向位移为Δni，Δsi (i=1~5)。令OD的圆心位移为零，则OA，OB，OC圆心位置产生的x轴向、y轴向位移分别为Δi (i=1~6)。本文中，Δni，Δsi及Δi为矢量，Δni与Δsi的正方向与法、切向接触力的一致，Δi的正方向与x-y坐标系的一致。颗粒圆心位移Δ1~Δ6与接触点法、切向位移Δni，Δsi(i=1~5)的关系如下所示。
Δ1=Δn1cosθ+Δs1sinθ ，Δ2=Δn1sinθ−Δs1scosθ ，Δ5=−Δs4sinθ+Δn4cosθ ，−Δ6=Δs4cosθ+Δn4sinθ ，Δ3−Δ1=−Δs2sinθ+Δn2cosθ ，Δ2−Δ4=Δs2cosθ+Δn2sinθ ，Δ3−Δ5=Δn3cosθ+Δs3sinθ ，Δ4−Δ6=Δn3sinθ−Δs3cosθ ，Δ1−Δ5=Δs5 ，Δ2−Δ6=Δn5 。} (2) 物理方程：
CBM接触点处颗粒-颗粒的法向力-法向应力、切向力-切向应力关系见公式（3）。其中A=2Rt，2D模型中t=1，R=min(R1, R2)，R1，R2分别为基本单元中OA，OB的半径。
fn=σnA ，fs=σsA 。} (3) 颗粒-颗粒的法向力-法向位移、切向力-切向位移关系见公式（4）。其中Δn，Δs为接触点上的法向，切向变形量，kn，ks为接触点上的法向，切向刚度。
fn=Δnkn ，fs=Δsks 。} (4) 颗粒-颗粒的刚度与弹性模量的关系如公式（5）所示。其中，L= R1+R2= Rmin+ Rmax。
kn=EcA/L ，ks=kn/(kn/ks) 。} (5) 联立公式（1），（2），（4）可得，外应力为σy=Fyi/ (2cosθ(Rmin+Rmax))时，各接触点的接触力及位移如公式（6）所示，基本单元的内力分布规律及变形特性，如图 5（a）所示。
fn1=fn2=fn3=fn4=Fyisinθ/(2m) ，fs1=−fs2=fs3=−fs4=−Fyicosθ(2m) ，fn5=Fyi(m−1)/m ，fs5=0 ，Δ1=Δ5=Δ3/2=Fyicosθsinθ(1−kn/ks)/(2mkn) ，Δ2=−Δ6=Fyi(m−1)/(2mkn) ，Δ4=0 。} (6) ![]()
图 5 拉伸条件下基本单元的内力分布规律及变形特性Figure 5. Distribution of internal forces and deformation characteristics of unit under tensile conditions其中，m=1+sin2θ+cos2θkn/ks，n=(1+sin2θ)/ kn/ks+cos2θ。
同理可得，在沿x方向的直接拉伸作用下，外应力σx=Fxi/(2sinθ(Rmin+Rmax))，各接触点的接触力及位移如公式（7）所示，基本单元的内力分布规律及变形特性如图 5（b）所示。
fn1=fn2=fn3=fn4=Fxicosθ(kn/ks+1)/(2m) ，fs1=−fs2=fs3=−fs4=Fxisinθ/m ，fn5=Fxisinθcosθ(1−kn/ks)/m ，fs5=0 ，Δ1=Δ5=Δ3/2=Fxin/(2mkn) ，Δ2=−Δ6=Fxicosθsinθ(1−kn/ks)/(2mkn) ，Δ4=0 。} (7) 根据式（6），（7）可得模型的宏观抗拉强度σtx或σty与接触法向黏结强度σcn、接触切向黏结强度τcs的关系，详见表 2。由表 2可知，接触强度比τcs/σcn为决定破坏模式的重要因素。在下文中式子1/(1+Rmax/ Rmin)均简写为RR，刚度比kn/ks均简写为kk。
表 2 颗粒流材料的破坏模式Table 2. Failure modes of PFC materials序号 判据 τcs/σcn < 判据 τcs/σcn > 判据 破坏模式 宏观强度与细观参数关系式 破坏模式 宏观强度与细观参数关系式 1 2tanθkk+1 拉致剪裂 σtx=τcsRRmsin2θ 拉致拉裂 σtx=σcnRR(2cotθ+4tanθkk+1) 2 Rmax2Rmincosθm−1 拉致剪裂 σty=τcsRR2mcos2θ 拉致拉裂 σty=σcn(1−RR)(1cosθ+1cos3θ(kk+tan2θ)) 3 RmaxRmin1cosθ(kk−1) 压致剪裂 fcx=τcsRR(2+cos2θ(kk+1)) 压致拉裂 fcx=σcn(1−RR)(cosθsin2θ+2cosθsin2θ(kk−1)) 4 — 压致剪裂 fcy=τcsRR(4tan2θ+2(kk+1)) — — 5 2RminRmax(1+sin2θ)kkcosθ 剪致剪裂 τmax 剪致拉裂 {\tau _{\max }} = 2{\sigma _{{\text{cn}}}}{\text{RR}}\frac{n}{{n - {{\cos }^2}\theta }} （2）单轴压缩状态下
式（6），（7）。沿y轴方向、x轴方向的压应力为 {\sigma _y} =Fyi/(2(Rmin+Rmax)cosθ)， {\sigma _x} =Fxi/(2(Rmin+Rmax)sinθ)，基本单元的内力分布规律及变形特性如图 6所示。模型的单轴抗压强度fcx或fcy与 {\tau _{{\text{cs}}}} ， {\sigma _{{\text{cn}}}} 的关系详见表 2。
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图 6 单轴压缩条件下基本单元的内力分布规律及变形特性Figure 6. Distribution of internal forces and deformation characteristics of unit under uniaxial compression conditions单轴压缩状态下，各接触点的接触力及位移同公
（3）简单剪切状态下
\left.\begin{array}{l}{\varDelta }_{1}\text{=}-{\varDelta }_{5}\text{=}{F}_{yxi}kk/(2n{k}_{\text{n}})\text{ }\text{，}\\ {\varDelta }_{3}\text{=}0\text{ }\text{，}\\ {\varDelta }_{2}\text{=}{\varDelta }_{6}\text{=}{\varDelta }_{4}/2\text{=}{F}_{yxi}\mathrm{tan}\theta kk/(n{k}_{\text{n}})\text{ }\text{，}\\ {f}_{n1}=-{f}_{n2}\text{= }{f}_{n3}=-{f}_{n4}={F}_{yxi}kk(1+{\mathrm{sin}}^{2}\theta )/(2n\mathrm{cos}\theta )\text{ }\text{，}\\ {f}_{n5}=0\text{ }\text{，}\\ {f}_{\text{s1}}={f}_{\text{s2}}={f}_{\text{s3}}={f}_{\text{s4}}=-{F}_{yxi}\mathrm{sin}\theta /(2n)\text{ }\text{，}\\ {f}_{\text{s5}}={F}_{yxi}/n\text{ }。\end{array}\right\} (8) 简单剪切状态下，剪应力τxy=τyx =Fyxi/(2(Rmax+ Rmin)cosθ)，基本单元的内力分布规律及变形特性如图 7所示，各接触点的接触力及位移如公式（8）所示。根据公式（8），纯剪条件下模型的最大剪应力 {\tau _{{\text{max}}}} 与接触切向黏结强度 {\tau _{{\text{cs}}}} 、接触法向黏结强度 {\sigma _{{\text{cn}}}} 的关系详见表 2。
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图 7 简单剪切条件下基本单元的内力分布规律及变形特性Figure 7. Distribution of internal forces and deformation characteristics of unit under simple shear conditions1.3 均质模型宏-细观参数的解析关系
（1）抗拉强度
在方案A、B中， {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} 的范围为1.67~50，kn/ks > 1，计算可得： {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} 大于判据1，2（详见表 2），既宏观抗拉强度仅与法向接触强度有关。根据表 2，宏观抗拉强度 {\sigma _{\text{t}}} 与细观参数的关系可简化为式（9），（10）。式中，aD，bD，cD，dD为与几何特征角有关的系数。
{\sigma _{\text{t}}} = {\sigma _{{\text{cn}}}}{\text{RR}}\left( {{a_{\text{D}}} + {b_{\text{D}}}\frac{1}{{kk + 1}}} \right){\text{ = }}{\sigma _{{\text{cn}}}}{\text{RR}}{K_{\text{D}}} \text{，} (9) {\sigma _{\text{t}}} = {\sigma _{{\text{cn}}}}({\text{1}} - {\text{RR}})\left( {{c_{\text{D}}} + \frac{{{c_{\text{D}}}^3}}{{kk + {d_{\text{D}}}}}} \right){\text{ = }}{\sigma _{{\text{cn}}}}({\text{1}} - {\text{RR}}){K_{\text{D}}} 。 (10) 学者们往往是通过巴西劈裂试验来获得类岩石材料的抗拉强度，结合课题组的已有研究[10]，巴西抗拉强度 {\sigma _{\text{t}}} 的表达式如下。KB为统计获得的拟合系数。
{\sigma _{\text{t}}} = {\sigma _{{\text{cn}}}}{\text{RR}}{K_{\text{B}}} 。 (11) （2）单轴抗压强度
根据表 2，单轴抗压强度fc与细观参数的关系如式（12），（13）所示。其中，aU，bU，cU，dU为与几何特征角有关的系数。
{f_{\text{c}}} = {\sigma _{{\text{cn}}}}(1 - {\text{RR}})\left( {{a_{\text{U}}} + {b_{\text{U}}}\frac{1}{{kk - 1}}} \right){\text{ = }}{\sigma _{{\text{cn}}}}{K_{\text{N}}} \text{，} (12) {f_{\text{c}}} = {\tau _{{\text{cs}}}}{\text{RR}}\left[ {{c_{\text{U}}} + {d_{\text{U}}}(kk + 1)} \right] = {\tau _{{\text{cs}}}}{K_{\text{S}}} 。 (13) （3）弹性模量
由式（3），（5）~（7）可得，宏观弹性模量Ex，Ey与细观参数的关系：
{E_x} = {E_{\text{c}}}2{\text{RR}} \cdot \\ \left(\frac{{\mathrm{cos}}^{3}\theta }{\mathrm{sin}\theta (1+{\mathrm{sin}}^{2}\theta )}+\frac{4\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta }{{(1+{\mathrm{sin}}^{2}\theta )}^{2}}\frac{1}{kk+{\mathrm{cos}}^{2}\theta /(1+{\mathrm{sin}}^{2}\theta )}\right)\text{，} (14) {E_y} = {E_{\text{c}}}2{\text{RR}}\left( {\tan \theta + \frac{{\sin \theta }}{{{{\cos }^3}\theta }}\frac{1}{{kk + {{\tan }^2}\theta }}} \right)。 (15) 根据上述关系式，弹性模量的表达式可归纳为
E = 2{E_{\text{c}}}{\text{RR}}\left( {{e_{\text{U}}} + {f_{\text{U}}}\frac{1}{{kk + {g_{\text{U}}}}}} \right){\text{ = }}{E_{\text{c}}}{\text{RR}}{K_{\text{E}}} 。 (16) 式中：eU，fU，gU为与几何特征角有关的系数。
（4）泊松比
由公式（3），（5）~（7）可得，泊松比 {\nu _{xy}} ， {\nu _{yx}} 与细观参数的关系：
{\nu _{yx}}{\text{ = }}\frac{{kk - {\text{1}}}}{{1 + kk{{\cot }^2}\theta }} \text{，} (17) {\nu _{xy}} = \frac{{kk - {\text{1}}}}{{1 + kk{\text{(}}1 + 2ta{n^2}\theta {\text{)}}}} 。 (18) 根据上述关系式，泊松比的表达式可归纳为
\nu = \frac{{kk - {\text{1}}}}{{{h_{\text{U}}}kk + 1}} 。 (19) 式中：hU为与几何特征角有关的系数。
（5）剪切强度
由上述推导可得基本单元在具有y轴向压应力及剪切应力状态下各接触点的应力分布。随着剪应力的增加，接触黏结点C1，C3先发生拉伸破坏，剪切强度 {\tau _{\text{f}}} 与接触法向黏结强度 {\sigma _{{\text{cn}}}} ，法向应力 \sigma 的关系如下：
{\tau _{\text{f}}} = {\sigma _{{\text{cn}}}}\frac{{{R_{\min }}}}{{{R_{\max }}}}a + \sigma b 。 (20) 式中：a = 2\sin \theta mn/(mkk(1 + {\sin ^2}\theta ) + {\sin ^2}\theta )；b = \sin \theta \cos \theta n/(mkk(1 + {\sin ^2}\theta ) + {\sin ^2}\theta )。
在接触破坏后，细观摩擦系数发挥作用，此时，剪切强度 {\tau _{\text{f}}} 与细观参数的关系如下：
{\tau _{\text{f}}} = \sigma a(1 - b/(\mu + c)) 。 (21) 式中： a=\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta n/(mn-{\mathrm{cos}}^{2}\theta m+{\mathrm{sin}}^{2}\theta n)\text{ } ； b = 2\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta (1+kk)/(mn-{\mathrm{cos}}^{2}\theta m+{\mathrm{sin}}^{2}\theta n)-\mathrm{cot}\theta ；c= 2\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta (1+kk)/(mn-{\mathrm{cos}}^{2}\theta m+{\mathrm{sin}}^{2}\theta n)。
根据上述推导，可得基本单元在具有y轴向压应力 {\sigma _3} （最小主应力）及x轴向压应力 {\sigma _1} （最大主应力）下各接触点的应力分布。随着 {\sigma _1} 的增加，接触点C1~C4发生剪切破坏，应力 {\sigma _1} ， {\sigma _3} 与 {\tau _{{\text{cs}}}} 的关系如下：
{\sigma _1} = {\tau _{{\text{cs}}}}{\text{RR}}m/{\sin ^2}\theta + {\sigma _3}/(2{\tan ^2}\theta ) 。 (22) 基于莫尔库仑准则可知，
{\sigma _1} = 2c\tan ({45° } + \varphi /2) + {\sigma _3}{\tan ^2}({45° } + \varphi /2) 。 (23) 根据式（22），（23），可得黏聚力c：
c = {\tau _{{\text{cs}}}}{\text{RR}}\frac{m}{{\sqrt 2 \sin \theta \cos \theta }} 。 (24) 在y轴向压应力为 {\sigma _1} 及x轴向压应力为 {\sigma _3} 时，黏聚力c与细观参数的关系同式（24）。
由上述分析可知，黏聚力与细观接触强度呈线性相关，根据式（20），（24），可知黏聚力c与细观参数的关系，如下式所示：
\left.\begin{array}{l}c={\sigma }_{\text{cn}}\frac{{R}_{\mathrm{min}}}{{R}_{\mathrm{max}}}{a}_{\text{n}}, \text{ }{a}_{\text{n}}=\frac{2\mathrm{sin}\theta mn}{mkk(1+{\mathrm{sin}}^{2}\theta )+{\mathrm{sin}}^{2}\theta }\text{，}\\ c={\tau }_{\text{cs}}\text{RR}{a}_{\text{s}}, \text{ }{a}_{\text{s}}=m\text{/(}\sqrt{2}\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\theta \text{) }。\end{array}\right\} (25) 值得注意的是，式（20），（22）中未考虑接触摩摩擦系数μ对宏观摩擦系数tan(φ)的影响。将θ=30°~45°，kk=3.5代入式（25），可得an=1.15~1.51，as=4.6~6.33。
根据式（21），可得宏观摩擦系数tan(φ)与细观参数的关系，如式（26）所示。代入θ=30°~45°，kk=3.5，得bS=0.122~0.144，cS=-1.518~-0.77，dS= 0.214~0.227。
\tan (\varphi ) = {b_{\text{S}}}(1 - {c_{\text{S}}}/(\mu + {d_{\text{S}}})) 。 (26) 2. 数值试验及结果
2.1 基于Plackrtt-Burman设计法的敏感性分析
采用Plackrtt-Burman设计方法，基于巴西试验、单轴压缩试验及直剪试验，对细观参数进行敏感性分析。细观参数的较小值、较大值参照以往学者[2, 6]的研究选取。随后对宏观响应进行因子分析，置信水平取95%（a=0.05），作出标准化效应直方图，如图 8所示，图中跨越参考线的条形项在统计意义上显著。
2.2 数值模拟方案
依据细观参数的敏感性分析结果，设计9组方案进行数值模拟。试验变量的取值范围参照以往学者[2, 6]的研究进行选取，试验常量的取值参考傅晏[11]模拟微风化砂岩的细观参数进行选取（见表 3）。
表 3 细观参数取值表Table 3. Values of microscopic parameters细观参数 试验常量取值 几何参数 最小粒径Rmin/mm 0.2 粒径比Rmax/Rmin 1.67 细观强度参数 接触法向黏结强度σcn/MPa 20 接触切向黏结强度τcs/MPa 20/50 颗粒摩擦系数μ 1.7 细观刚度参数 刚度比kn/ks 3.5 颗粒接触模量Ec/GPa 10 方案A：对56组（不同粒径）模型进行5次直接拉伸试验， {\sigma _{{\text{cn}}}} 分别为1，5，15，20及30 MPa，kn/ks均为3.5，共280次。方案B：对21组（不同粒径）模型进行12次直接拉伸试验， {\sigma _{{\text{cn}}}} 分别为1，5，15 MPa，kn/ks分别为1，2，3.5及6，共252次；方案C：对模型（Rmin=0.2，Rmax/Rmin=1.67）进行单轴压缩试验， {\sigma _{{\text{cn}}}} ， {\tau _{{\text{cs}}}} 分别为5，10，20，30，50，70 MPa，共30次。方案D：对36组（不同粒径）模型进行单轴压缩试验，kn/ks为1.5~11，强度比 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} 为0.5，1及2，共392次。方案E：对3组（不同粒径）模型进行单轴压缩试验，μ为0.1，0.9，1.7，2.5及5，共18次。方案F：对8组（不同粒径）模型进行单轴压缩试验，Ec为1，5，10，15及20，共40次。方案G：对模型（Rmin=0.2，Rmax/Rmin=1.67）进行直剪试验， {\sigma _{{\text{cn}}}} ， {\tau _{{\text{cs}}}} 分别为5，10，20，30，50，70 MPa，共90次。方案H：对的模型（Rmin=0.2，Rmax/Rmin=1.67）进行直剪试验，μ为0.1，1，1.7，3，5，7及10，共24次。方案Ⅰ：对模型（Rmin=0.2，Rmax/Rmin=1.67）进行直剪试验，kn/ks为1.5，2，2.5，3，3.5，4，5，6，9，共24次。
本文直接拉伸、单轴压缩及直接剪切试验的数值模型的尺寸分别为50 mm×100 mm、50 mm×50 mm及50 mm×50 mm，部分模型如图 9所示。
2.3 结果分析
（1）抗拉强度
基于式（9），（11）对抗拉强度（巴西劈裂[10]、方案A的结果）与 {\sigma _{{\text{cn}}}} 进行线性回归分析，获得拟合系数KB，KD，详见表 4。由表 4可知，细观参数一定时，KD约为KB的两倍；KD，KB随着Rmax/Rmin的增长而增长。KB的相关系数R2主要在0.99~1.0，KD的相关系数R2均大于0.999，由此可知宏观抗拉强度与法向黏结强度呈显著的线性相关。
表 4 拟合系数KB与KDTable 4. Fitting coefficients KB and KD系数 Rmin/
mmRmax/Rmin 1 2 3 4 5 6 7 8 KB 0.1 0.609 0.768 0.997 1.090 1.086 1.368 2.015 2.568 0.15 0.589 0.861 1.137 1.271 1.303 1.317 1.616 2.044 0.2 0.602 0.817 0.987 1.270 1.583 1.949 2.559 1.983 0.25 0.737 0.970 0.953 1.213 1.734 2.099 1.926 1.870 0.3 0.677 0.779 1.120 1.386 1.612 1.692 2.198 2.054 0.35 0.633 0.839 1.183 1.348 1.988 1.478 1.877 2.008 0.4 0.541 1.064 1.155 1.247 1.948 1.795 2.155 2.698 系数 Rmin/ Rmax/Rmin mm 1.2 1.67 2 3 4 5 6 7 KD 0.1 1.320 1.414 1.677 2.175 2.216 2.960 3.443 3.894 0.15 1.234 1.444 1.614 2.009 2.099 2.698 3.260 3.751 0.2 1.308 1.425 1.622 1.971 2.450 2.630 3.204 — 0.3 1.479 1.479 1.605 2.067 2.330 — — — 0.4 1.186 1.425 1.527 1.844 — — — — 0.5 1.267 1.475 1.542 — — — — — 将方案B的结果代入式（9），（10），可得系数aD，bD，cD，dD的拟合值，详见表 5。将θ=30°~45°代入上述公式，可得各系数的理论值范围，详见表 6。由表 5，6可知，aD，bD的拟合值较理论值偏小，cD拟合值略小于理论值，dD拟合值与理论值吻合。由此可知，对于抗拉强度而言，式（10）更具代表性。
表 5 方案B的拟合结果Table 5. Fitting results of Plan BRmin/
mm拟合结果 Rmax/Rmin 拟合结果 Rmax/Rmin 1.67 2 3 4 1.67 2 3 4 0.1 aD 1.3 1.47 1.83 — cD 0.78 0.73 0.62 — bD 0.65 0.85 1.07 — dD 1.54 1.01 0.62 — R2 0.961 0.86 0.85 — R2 0.92 0.93 0.72 — 0.15 aD 1.32 1.39 1.78 1.83 cD — — 0.61 — bD 0.48 0.62 0.97 1.26 dD — — 0.57 — R2 0.89 0.74 0.98 0.99 R2 — — 0.94 — 0.2 aD 1.27 1.41 — 2.16 cD 0.76 0.70 — — bD 0.67 0.76 — 1.19 dD 1.14 0.67 — — R2 0.99 0.92 — 1 R2 0.99 1.00 — — 0.3 aD — 1.41 1.77 2.1 cD — 0.71 0.61 0.55 bD — 0.89 1.03 1.17 dD — 0.77 0.55 0.26 R2 — 0.92 0.9 0.99 R2 — 0.97 0.81 1.00 0.4 aD 1.26 1.36 1.61 — cD 0.76 0.68 — — bD 0.71 0.65 0.99 — dD 1.05 1.06 — — R2 0.99 0.92 0.99 — R2 0.99 0.88 — — 0.5 aD 1.34 1.32 — — cD 0.77 0.70 0.57 — bD 0.66 0.92 — — dD 0.92 0.89 0.42 — R2 0.94 0.96 — — R2 0.87 0.96 0.99 — 表 6 拟合系数的理论值与模拟值Table 6. Theoretical and simulated ranges of fitting coefficients试验类型 系数 理论值范围 拟合值范围 直接拉伸试验 aD 2~3.46 1.26~2.16 bD 2.31~4 0.48~1.26 cD 1.15~1.41 0.55~0.78 dD 0.33~1 0.26~1.54 单轴压缩试验 aU 1.41~3.46 1.11~1.93 bU 5.67~9.24 1.01~2.53 cU 1.33~4 1.74~7.17 dU 1~3 0.08~0.77 eU 0.33~1.04 0.25~0.86 fU 0.77~2 2.02~4.5 gU 0.33~1 1.95~3.45 hU 1~3 1.698~2.21 （2）单轴抗压强度
接触强度对单轴抗压强度fc的影响如图 10所示。由图 10可知，fc与接触强度较小值min( {\sigma _{{\text{cn}}}} ， {\tau _{{\text{cs}}}} )呈较好的线性相关。该结论与表 2中判据3的结果相符。
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图 10 单轴抗压强度fc与细观接触强度的关系（方案C）Figure 10. Relationship between fc and contact bond strength (Plan C)以 {\sigma _{{\text{cn}}}} 为x，以 {\tau _{{\text{cs}}}} 为y，以fc为z，基于式z=ax+by，对方案C结果进行拟合，拟合结果见表 7。由该表可知， {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} < 1时，fc主要受 {\tau _{{\text{cs}}}} 影响，可认为在 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} < 0.5时，将不再受 {\sigma _{{\text{cn}}}} 的影响； {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} > 1时，fc主要受 {\sigma _{{\text{cn}}}} 影响，可认为 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} > 2后，将不再受 {\tau _{{\text{cs}}}} 的影响。
表 7 单轴抗压强度的拟合结果（方案C）Table 7. Fitting results of uniaxial compressive strength (Plan C)τcs/σcn 拟合结果 a b R2 0.25~0.428 0.0398 1.7570 0.999 0.5~0.714 0.1392 1.4726 0.999 1 a+b=1.388 0.997 1.4~2 1.591 -0.0740 0.998 2.33~5 1.549 -0.0318 0.999 6~14 1.419 -0.0010 1 kn/ks对fc的影响如图 11所示。由图 11可知，随着kn/ks的增大，fc均为先增大后减小，但各强度比转折点的位置不同，且强度比越大，转折点出现越早。该结论与理论结果相符。由表 2可知，随着kn/ks的增加（ {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} 不变），判据3减小，试件从压致剪裂转变为压致拉裂。压致剪裂的试件与kn/ks呈线性正相关（见式（13）），压致拉裂的试件与kn/ks呈负相关（见式（12））。
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图 11 单轴抗压强度vs刚度比kn/ks（方案D）Figure 11. Uniaxial compressive strengths vs. stiffness ratios (Plan D)根据式（12），（13）对部分模拟结果进行拟合，获得系数aU，bU，cU，dU，如表 8所示，系数理论值与模拟值的范围见表 6。由表 6可知，aU，cU的模拟值与理论值基本吻合，bU，dU的模拟值偏小于理论值。这说明，本文选取的模型，在用于分析kn/ks对fc的影响时，其代表性不足。
表 8 方案D单轴抗压强度拟合结果Table 8. Fitting results of uniaxial compressive strength (Plan D)τcs/σcn Rmax/Rmin Rmin/mm 式（13） cU dU R2 0.5 1.67 0.2 2.949 0.331 0.95 2 0.15 3.924 0.165 0.88 2 0.3 3.377 0.251 0.98 3 0.1 4.333 0.331 0.99 4 0.15 4.696 0.589 0.91 5 0.15 7.170 0.267 0.87 1 1.2 0.1 2.435 0.081 0.99 1.2 0.4 1.736 0.342 0.99 1.67 0.3 2.358 0.270 0.98 1.67 0.5 2.735 0.098 0.99 2 0.1 3.907 0.283 0.99 2 0.3 2.302 0.395 0.86 2 0.4 2.689 0.244 0.98 3 0.1 3.464 0.200 0.98 3 0.4 2.941 0.358 0.98 4 0.1 4.628 0.350 0.93 4 0.2 5.166 0.147 0.98 5 0.1 5.526 0.140 1.00 5 0.15 4.638 0.617 0.91 6 0.15 6.239 0.330 1.00 6 0.2 4.615 0.767 0.99 7 0.15 7.654 0.485 0.99 τcs/σcn Rmax/Rmin Rmin/mm 式（12） aU bU R2 2 1.67 0.2 1.932 1.007 0.99 2 0.15 1.723 1.077 0.71 2 0.3 1.461 2.190 0.72 3 0.1 1.210 2.186 0.83 3 0.15 1.482 1.047 0.99 3 0.2 1.116 2.301 1.00 3 0.3 1.133 2.529 0.99 摩擦系数μ及接触模量Ec对峰值应力fc的影响如图 12所示。由图 12（a）可知，随着μ的增大，fc呈现先增大后平缓的变化趋势，其拐点大致在μ=2处；由图 12（b）可知，随着Ec的增大，fc呈现先减小后平缓的变化趋势，其拐点大致在Ec=10 GPa处。
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图 12 单轴抗压强度与摩擦系数及接触模量的关系(方案E，F)Figure 12. Relationship among fc, Ec and μ (Plan E, F)（3）弹性模量
接触模量Ec对杨氏模量E及泊松比 \nu 的影响如图 13所示。由图 13（a）可知，E与Ec呈显著的线性相关；由图 13（b）可知，随着Ec的增大， \nu 呈现先增大后平缓的变化趋势，其拐点大致在Ec=10 GPa处。
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图 13 接触模量Ec与杨氏模量E、泊松比 \nu 的的关系（方案F）Figure 13. Relationship among Ec, E and ν (Plan F)基于式（16），对方案F的结果进行线性拟合，得到拟合参数KE，详见表 9。再基于式（16）对方案D的结果进行拟合，得到拟合系数eU，fU，gU，详见表 10。由表 6可知，eU的模拟值与理论值吻合的较好，fU的模拟值比理论值偏大，而gU的模拟值与理论值则具有较大差异。
表 9 拟合参数KE及其拟合优度R2Table 9. Fitting coefficient KE and its goodness of fit R2颗粒几何参数 拟合参数及R2 Rmax/Rmin Rmin/mm KE R2 1.67 0.1 1.5596 0.9945 0.2 1.5052 0.9938 2 0.15 1.6553 0.9947 0.3 1.632 0.9939 3 0.1 2.272 0.99 0.3 2.0795 0.9921 4 0.15 2.5885 0.9938 0.2 2.4767 0.9889 表 10 方案D中弹性模量的拟合系数及其拟合优度R2Table 10. Fitting coefficient of elastic modulus and its goodness of fit R2(Plan D)颗粒几何参数 拟合参数及R2 Rmax/Rmin Rmin/mm eU fU gU R2 1.2 0.15 0.339 2.201 2.616 0.999 0.2 0.294 2.565 3.086 0.998 0.3 0.295 2.579 3.174 0.997 0.4 0.295 2.629 3.446 0.999 0.5 0.314 2.026 2.507 0.981 1 0.254 2.634 3.360 0.996 1.67 0.1 0.436 2.271 2.414 0.998 0.15 0.352 2.815 3.063 0.996 0.2 0.385 2.411 2.573 0.992 0.3 0.329 2.931 3.214 0.992 2 0.1 0.460 2.567 2.374 0.998 0.15 0.423 2.617 2.508 0.997 0.2 0.422 2.453 2.274 0.998 0.4 0.365 3.090 3.207 0.991 3 0.1 0.541 3.387 2.518 0.996 0.15 0.581 2.770 2.184 0.973 0.2 0.466 3.776 2.827 0.996 0.3 0.557 2.865 2.176 0.981 4 0.1 0.672 3.854 2.186 0.996 0.15 0.641 4.311 2.758 0.993 0.2 0.701 3.387 1.955 0.993 0.3 0.662 3.610 2.270 0.988 5 0.1 0.864 4.030 2.428 0.953 0.15 0.788 4.547 2.394 0.989 （4）泊松比
基于式（19）对方案D的结果进行拟合，得到拟合系数hU，结果见表 11，其相关系数R2的范围为0.86~0.99。由表 11可知，颗粒粒径对hU的影响较小。同时由表 6可知，hU的模拟值均在理论值范围内。
表 11 方案D中泊松比的拟合系数hU及其R2（方案D）Table 11. Fitting coefficient hU and its goodness of fit R2(Plan D)Rmin/mm 强度比 Rmax/Rmin 1.2 1.67 2 3 4 5 6 0.1 0.5 — — — 1.960 — — — 1 2.127 2.210 2.017 1.916 1.906 1.980 2.050 2 — 2.161 2.125 1.987 2.015 2.125 — 0.15 0.5 — — 2.039 — 2.054 2.027 — 1 1.982 1.914 1.960 1.94 1.962 1.981 1.933 2 — 2.026 1.987 1.983 2.096 2.052 — 0.2 0.5 — 1.987 — — — — — 1 1.933 1.896 1.871 2.019 1.766 1.804 2.104 2 — 1.948 1.983 2.093 1.964 1.910 — 0.3 0.5 — — 2.055 — — — — 1 1.901 1.851 1.916 1.858 1.883 — — 2 — 2.001 1.938 1.953 1.935 — — 0.4 0.5 — — — — — — — 1 1.822 1.941 1.904 1.698 — — — 2 — 2.016 2.072 — — — — 0.5 0.5 — — — — — — — 1 1.788 1.851 1.874 — — — — 2 — 1.909 1.991 — — — — （5）黏聚力
接触强度对对黏聚力c的影响如图 14所示。由图 14可知，c与接触强度得较小值min( {\sigma _{{\text{cn}}}} , {\tau _{{\text{cs}}}} )呈较好的线性相关。以 {\sigma _{{\text{cn}}}} 为x，以 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} 为y，以c为z，基于式z=x(a+by)进行拟合，结果见表 12。由表 12可知， {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} < 0.7时，c的主要影响因素为 {\tau _{{\text{cs}}}} ， {\sigma _{{\text{cn}}}} 的影响极小； {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} > 1.4时，c的主要影响因素为 {\sigma _{{\text{cn}}}} ， {\tau _{{\text{cs}}}} 的影响极小。最后，根据方案Ⅰ的结果可知，当ks/kn=2~6时，ks/kn对黏聚力c的影响较小。
表 12 系数a，bTable 12. Fitting coefficients a and b切法向强度比 拟合公式：c =σcn×(a+b×τcs/σcn) a b R2 0.25~0.428 0.013 0.551 0.997 0.5~0.714 0.005 0.516 0.991 1 a+b=0.414 0.998 1.4~2 0.474 -0.035 0.999 2.33~5 0.412 0.004 0.991 6~14 0.426 -0.002 0.996 （6）内摩擦角
细观摩擦系数μ对宏观摩擦系数tanφ的影响如图 15所示。由图 15可知，tanφ随着μ的增大呈先增大后平缓的变化趋势；平均粒径较大的模型的tanφ略大于平均粒径较小的模型。基于式（26），对模拟结果进行拟合，如表 13所示。最后，根据方案Ⅰ的结果可知，当ks/kn=2~6时，ks/kn对tanφ的影响较小。
表 13 系数bS，cS，dS的拟合结果(方案H)Table 13. Fitting results of coefficients bS, cS and dS (Plan H)颗粒几何参数 拟合系数及R2 Rmin /mm Rmax/Rmin bS cS dS R2 0.15 1.67 0.6482 0.8027 2.1002 0.639 0.2 2 0.6644 0.1074 0.4247 0.723 0.3 3 0.8122 0.9226 2.3140 0.968 3. 半解析查表法（SLT法）
半解析查表法（semi-analytic lookup table，简称SLT）为基于CBM模型的颗粒流材料细观参数的标定方法。本方法基于巴西劈裂试验、单轴压缩试验及直剪试验的试验结果，对类岩石材料的细观参数进行标定。具体步骤如图 16所示。
4. 应用
本文采用某滑坡的中风化砂岩来验证SLT法，该砂岩的室内试验力学特性如表 14所示。根据SLT法：
表 14 砂岩的力学特性及细观参数的选取Table 14. Mechanical properties of sandstone and selection of microscopic parameters细观参数取值 巴西试验 单轴压缩试验 三轴试验强度/MPa Rmin/
mmRmax/
Rminσcn/
MPaks/kn Ec/
GPaτcs/
MPaµ σt/MPa fc/MPa E/GPa \nu 围压1 MPa 围压6 MPa 值 误差 值 误差 值 误差 值 误差 值 误差 值 误差 砂岩 — — — — — — — 5.99 — 64 — 9.195 — 0.226 — 71.89 — 95.45 — 1号 0.2 2 34.896 2.172 14.165 69.792 1.7 4.77 -20.4 50.69 -20.8 9.005 -2.1 0.239 +5.8 — — 2号 0.2 2 51.235 2.172 14.165 51.235 1.7 6.96 +16.2 60.35 -5.7 9.005 -2.1 0.239 +5.8 — — 3号 0. 2 2 45 2.172 14.165 90 1.7 6.58 +9.8 67.31 +5.2 8.972 -2.4 0.234 +3.5 72.55 +0.9 91.18 -4.5 （1）颗粒粒径取Rmin=0.2mm，Rmax/Rmin=2。
（2）根据表 11，得 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} 为1，2时，系数hU分别为1.871，1.983，在 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} 未确定时，hU取平均值1.927，将 \nu =0.226代入式（19），得kk=2.172。
（3）根据表 10，可得eU=0.422，fU=2.453，gU=2.274，将RR=1/3，kk=2.172代入式（16），得Ec=14.165 GPa。
（4）基于直剪试验获得的φ值与三轴试验获的有差距，无法对μ直接进行标定，暂定μ=1.7。
（5）参考表 8，当 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} =2，估算aU=1.635、bU=1.448，代入式（12），得 {\sigma _{{\text{cn}}}} =34.896，则 {\tau _{{\text{cs}}}} =69.792；当 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} =1，估算cU=3.095、dU=0.257，代入式（13），得 {\tau _{{\text{cs}}}} =51.235，则 {\sigma _{{\text{cn}}}} =51.235。
由此，确定了两组细观参数，为表 1中的1，2号参数，模拟结果如表 14所示，表 14中误差的单位为%。结果显示，模量与泊松比的拟效果好，误差在6%以内。发现，1号参数中（ {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} =2），颗粒流材料的压拉强度比fc/ {\sigma _{\text{t}}} 与试的一致。而在前述理论中，fc由 {\tau _{{\text{cs}}}} ， {\sigma _{{\text{cn}}}} 决定， {\sigma _{\text{t}}} 由 {\sigma _{{\text{cn}}}} 决定，故建议在3号参数中保持 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} =2。1号参数中， {\sigma _{\text{t}}} ，fc均偏小20%，表明 {\sigma _{{\text{cn}}}} ， {\tau _{{\text{cs}}}} 均偏小；2号参数中， {\sigma _{\text{t}}} 偏大，fc较好，表明 {\sigma _{{\text{cn}}}} 偏大，既34.896 < {\sigma _{{\text{cn}}}} < 51.235。此时，在3号参数中，基于式（11），调整 {\sigma _{{\text{cn}}}} 为45 MPa。由前述分析可知， {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} =2时，fc由 {\sigma _{{\text{cn}}}} 决定。此时，若将 {\sigma _{{\text{cn}}}} 由51.235 MPa调整至45 MPa，在 {\tau _{{\text{cs}}}} 不变（51.235 MPa）时，fc必下降，既更加偏小。故，此时 {\tau _{{\text{cs}}}} 应大于51.235 MPa。结合上述建议保持 {\tau _{{\text{cs}}}} / {\sigma _{{\text{cn}}}} =2，则取 {\tau _{{\text{cs}}}} =90 MPa，并进行三轴试验以验证。结果表明，3号参数中，巴西抗拉强度模拟值偏大，其余参数模拟效果较好。
5. 结论
本文基于理论推导与数值模拟的结果，建立了适用于颗粒流CBM模型的半解析查表法。结果表明：
（1）代表性单元体与实际颗粒流模型具有相同的宏、细观参数变化规律。
（2）各系数的理论值与拟合值基本相符，但部分与刚度比相关的系数呈现较大差异。
（3）半解析查表法包含两部分内容，一是文中具体的参数标定步骤；二是在参数微调过程中，利用宏-细观参数的内在关联判断调整方向，这些内在关联可通过理论分析的结果获得。
（4）半解析查表法提出了明确的参数标定顺序及标定方式。应用结果表明：半解析查表法能够快速且较为准确的获得岩石材料的细观参数值。
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图 3 颗粒形状、棱角和纹理示意图
Figure 3. Schematic diagram of particle shape, angularity and texture
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图 4 不同粒组钙质土颗粒各尺寸参数的累积分布曲线
Figure 4. Cumulative distribution curves of particle size indices of carbonate soil with different grain fractions
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图 5 不同粒组钙质土颗粒形状指标的频率分布
Figure 5. Frequency distribution of particle shape indices of carbonate soil with different grain fractions
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图 6 不同粒组钙质土颗粒形状指标的累积分布曲线
Figure 6. Cumulative distribution curves of particle shape indices of carbonate soil with different grain fractions
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图 7 各粒组形状指标统计量与10~20 mm粒组的差异
Figure 7. Statistical differences of shape indices for each grain fraction and 10~20 mm-grain fraction
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图 8 1~2 mm颗粒的形状指标特征值的相对误差平均值随样本数量的变化
Figure 8. Variation of average relative error of characteristic value of shape indices of 1~2 mm particles with the number of samples
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图 10 主成分与极限孔隙比的关系
Figure 10. Relationship between principal component and limit void ratio
表 1 本文选用的表征颗粒形状特征的指标
Table 1 Indices chosen to characterize particle shape in this paper
指标 定义 取值范围 描述特征 延伸率 {{{F_{{\text{W}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_{{\text{W}}}}} {F_{{\text{L}}}^{}}}} \right. } {F_{{\text{L}}}^{}}} 0~1 宏观形状。颗粒越狭长，其值越小 扁平度 {{{F_{{\text{T}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_{{\text{T}}}}} {{F_{{\text{W}}}}}}} \right. } {{F_{{\text{W}}}}}} 0~1 宏观形状。颗粒越扁平，其值越小 球形度 {({D_{{\text{a}}}}/{D_{{\text{p}}}})^2} 0~1 宏观形状、中观棱角。颗粒越接近球形，其值越大 圆度 4A/({{\text{π }}}F_{{\text{L}}}^{{\text{2}}}) 0~1 宏观形状、中观棱角。颗粒越接近圆形，其值越大 棱角度 A/{A_{{\text{C}}}} 0~1 中观棱角。颗粒棱角越多，越突出，其值越小 凸度 {P_{{\text{C}}}}/P 0~1 细观纹理。颗粒表面越光滑，其值越大 注： {D_{{\text{a}}}} 为与颗粒投影图像等面积圆的直径； {D_{{\text{p}}}} 为与颗粒投影图像等周长圆的直径； {F_{{\text{L}}}} ， {F_{{\text{W}}}} 和 {F_{{\text{T}}}} 分别为Feret长度、宽度和厚度；A为颗粒投影图像面积； P 为颗粒投影图像周长； {A_{{\text{C}}}} 为颗粒投影图像外接最小凸边形面积； {P_{{\text{C}}}} 为颗粒投影图像外接最小凸边形周长。在本次试验中， {D_{{\text{a}}}} ， {D_{{\text{p}}}} ，A， P ， {A_{{\text{C}}}} 和 {P_{{\text{C}}}} 取一系列图像的平均值； {F_{{\text{L}}}} 取一系列图像中的最大长度， {F_{{\text{W}}}} 取一系列图像中的最大宽度， {F_{{\text{T}}}} 取一系列图像中的最小宽度。 
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表 2 不同粒组钙质土颗粒形状指标统计表
Table 2 Statistical list of particle shape indices of carbonate soil with different grain fractions
粒组 统计量 延伸率 扁平度 球形度 圆度 棱角度 凸度 10~20 mm 平均值 0.667 0.689 0.794 0.471 0.954 0.979 中位数 0.681 0.703 0.806 0.475 0.961 0.984 最小值 0.219 0.162 0.389 0.144 0.730 0.814 最大值 0.947 0.990 0.961 0.854 0.998 0.998 标准差 0.125 0.159 0.081 0.112 0.031 0.017 5~10 mm 平均值 0.670 0.668 0.808 0.471 0.961 0.985 中位数 0.683 0.673 0.818 0.473 0.966 0.988 最小值 0.233 0.162 0.254 0.070 0.543 0.802 最大值 0.945 0.988 0.978 0.857 0.997 0.999 标准差 0.123 0.149 0.071 0.104 0.026 0.012 2~5 mm 平均值 0.685 0.629 0.806 0.460 0.960 0.990 中位数 0.699 0.649 0.818 0.461 0.967 0.993 最小值 0.096 0.105 0.153 0.047 0.599 0.874 最大值 0.963 0.967 0.979 0.826 0.999 1.000 标准差 0.120 0.175 0.081 0.111 0.030 0.009 1~2 mm 平均值 0.686 0.635 0.834 0.461 0.972 0.995 中位数 0.698 0.649 0.848 0.465 0.980 0.997 最小值 0.109 0.235 0.300 0.051 0.667 0.893 最大值 0.963 0.956 0.980 0.827 1.000 1.000 标准差 0.114 0.147 0.075 0.113 0.026 0.006 0.5~1 mm 平均值 0.684 0.605 0.850 0.424 0.987 0.998 中位数 0.692 0.607 0.859 0.432 0.992 0.999 最小值 0.153 0.202 0.283 0.055 0.693 0.945 最大值 0.934 1.000 1.000 0.744 1.000 1.000 标准差 0.115 0.118 0.059 0.098 0.018 0.003
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表 3 量化钙质土颗粒形状特征所需的最小样本数量
Table 3 Minimum number of samples required to quantify shape characteristics of carbonate soil particles
粒组 延伸率 扁平度 球形度 圆度 棱角度 凸度 10~20 mm 345 446 238 344 14 10 5~10 mm 326 583 135 292 12 10 2~5 mm 270 439 121 224 32 10 1~2 mm 111 473 68 136 17 10 0.5~1 mm 318 241 77 242 10 10
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表 4 不同粒组钙质土的极限孔隙比
Table 4 Limit void ratios of carbonate soil with different fractions
孔隙比 10~20
mm5~10
mm2~5
mm1~2
mm0.5~1
mm{e_{\max }} 2.225 1.821 1.703 1.576 1.456 {e_{\min }} 1.586 1.241 1.143 1.138 1.112 注： {e_{\max }} 为最大孔隙比； {e_{\min }} 为最小孔隙比。
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表 5 现有预测极限孔隙比的经验公式
Table 5 Existing empirical equations for predicting limit void ratio
文献 经验公式 Santamarina等[3] {e_{\max }} = 0.554 + 0.154{R^{ - 1}} ， {e_{\min }} = 0.359 + 0.082{R^{ - 1}} Cho等[5] {e_{\max }} = 1.5 - 0.41\left( {R + S} \right) ， {e_{\min }} = 0.9 - 0.22\left( {R + S} \right) Patra等[22] {e_{\max }} = 0.6042{D_{50}}^{ - 0.304} ， {e_{\min }} = 0.3346{D_{50}}^{ - 0.491} Zheng等[23] {e_{\max }} = {R^{ - 0.20}}{S^{ - 0.25}}{C_{{\text{u}}}}^{ - 0.10}e_{\max }^ \circ ， {e_{\min }} = {R^{ - 0.15}}{S^{ - 0.25}}{C_{{\text{u}}}}^{ - 0.50}e_{\min }^ \circ Hryciw等[24] {e_{\max }} = 0.50{R^{ - 0.2}} + 0.41{S^{ - 0.6}} + 0.34{C_{{\text{u}}}}^{ - 0.2} - 0.51 ， {e_{\min }} = 0.37{R^{ - 0.2}} + 0.28{S^{ - 0.6}} + 0.31{C_{{\text{u}}}}^{ - 0.3} - 0.48 Chang等[25] {e_{\max }} = 0.619{R^{ - 0.372}}{({D_{50}}/{D_{{{\text{ref}}}}})^{ - 0.048}} ， {e_{\min }} = 0.413{R^{ - 0.291}}{({D_{50}}/{D_{{{\text{ref}}}}})^{ - 0.043}} 注： e_{\max }^ \circ 为参考最大孔隙比，等于0.75； e_{\max }^ \circ 为参考最小孔隙比，等于0.50； {D_{{{\text{ref}}}}} 为参考粒径，等于1 mm。
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表 6 方差贡献率表
Table 6 Variance contribution rates
成分 特征值 方差贡献率/% 累积方差贡献率/% 1 3.698 92.455 92.455 2 0.238 5.942 98.397 3 0.060 1.488 99.886 4 0.005 0.114 100.000
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