不同透水边界下单层饱和多孔介质一维瞬态响应解

赵云; 陈雪梅; 陈樟龙; 凌道盛; 单振东; 肖昭然

doi:10.11779/CJGE20220007

不同透水边界下单层饱和多孔介质一维瞬态响应解 English Version

赵云^{1, 2,},
陈雪梅¹,
陈樟龙³,
凌道盛^2, ,,
单振东⁴,
肖昭然¹

1.
河南工业大学土木工程学院, 河南郑州 450001
2.
软弱土与环境土工教育部重点实验室(浙江大学), 浙江杭州 310058
3.
同济大学地下建筑与工程系, 上海 200092
4.
中国地震局工程力学研究所, 黑龙江哈尔滨 150080

基金项目:

国家自然科学基金项目 51978247

河南工业大学高层次人才科研启动基金项目 31401175

软弱土与环境土工教育部重点实验室（浙江大学）开放基金项目 2019P03

详细信息

作者简介:
赵云(1989—)，男，博士，讲师，主要从事土动力学与交通岩土工程等方面的教学和科研工作。E-mail: zhaoyun1106@163.com

通讯作者:
凌道盛，E-mail: dsling@zju.edu.cn

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2022-01-01
- 网络出版日期: 2023-02-08
- 刊出日期: 2023-05-31

Semi-analytical solutions for transient response of one-dimensional saturated single-layer porous media under various permeable boundary conditions

1.
College of Civil Engineering and Architecture, Henan University of Technology, Zhengzhou 450001, China
2.
MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China
3.
Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China
4.
Institute of Engineering Mechanics, China Earthquake Administration, Harbin 150080, China

摘要

摘要: 基于Biot饱和多孔介质一维波动控制方程，给出具有普遍意义的一般性透水边界条件、任意初始条件和任意竖向荷载作用下单层饱和多孔介质一维瞬态响应定解模型。首先提出可通过调整相应参数实现采用孔压p和液相相对位移w的线性组合来表示不同的透水边界。之后采用分离变量法求得无阻尼控制方程的特征值和特征函数，利用待定系数法和特征函数的正交性，将原问题转换为求解时域内一系列阻尼项耦合的常微分方程组的初值问题，采用精细时程积分法给出瞬态响应问题的半解析解。同前人研究相比，提出的半解析解具有普遍意义，可精确退化至前人结果，通过与文献不同边界条件的结果对比，验证了解答的正确性。最后，系统分析了不同透水条件下瞬态响应的特点，结果表明半透水条件下响应介于透水和不透水之间，在阶跃荷载下，位移呈现先增大后减小的变化模式，入射波和反射波产生相同相位的孔压。
- 透水条件 /
- 半解析解 /
- 饱和多孔介质 /
- 单层 /
- 瞬态响应
Abstract: Based on the one-dimensional basic equations for waves in saturated porous media proposed by Biot, a mathematical model for one-dimensional transient response of single-layer saturated porous media is established under various permeable boundary conditions, arbitrary initial conditions and arbitrary vertical loads. Firstly, the independent parameters fluid pressure p and fluid relative displacement w are proposed to describe the various permeable boundary conditions by linear combination through adjusting the parameters. By utilizing the variable separation method, the eigen-values and the eigen-functions are obtained for undamped governing equations. With the help of undetermined coefficients and orthogonality of eigenfunctions methods, the solution to the problem can be converted to solve the initial value problem of a series of ordinary differential equations. The semi-analytical solutions are approached by using the precise time-integration method. Compared with those of the previous researches, the semi-analytical solutions of this research are more general and can be degenerated into various conditions exactly. Several numerical simulations are carried out to validate the proposed method. Finally, the one-dimensional transient responses of single-layer saturated soil with general boundary conditions under step loads are analyzed. The results demonstrate that the responses of semi-permeable condition are between the permeable and impermeable conditions. The displacements of solid and fluid increase first and then decrease. The incident and reflected waves stimulate the same phase pore pressure.
- permeable condition /
- semi-analytical solution /
- saturated porous medium /
- single layer /
- transient response

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0. 引言

随着城市建设的快速发展和建筑技术的不断进步,城市地下空间得到大规模开发和利用,超深超大基坑工程不断涌现。近年来,基坑开挖面积在10×10⁴ m²以上,开挖深度达40 m以上的工程项目越来越多。例如,上海地铁4号线修复工程深基坑开挖深度接近41 m,上海世博地下变电站基坑开挖深度接近34 m,天津的高层建筑基坑最大平面尺寸已达548 m×187 m。同时,基坑工程中也出现了一些亟待解决的问题,坑底土体回弹问题就是其中之一^[1-4]。基坑开挖产生坑底回弹,同时周边围护结构变形,也会要造成基底的隆起,回弹再压缩变形往往是建（构）筑物沉降变形的主要组成部分。

已有学者对基坑回弹变形的特点及其对坑内桩基承载力的影响进行了研究。Iwasaki等^[5]最早认为坑底土体竖向回弹会影响坑底桩基,认为土体回弹会对桩产生向上的侧摩阻力从而导致桩身上拔。对于基坑开挖与桩基的相互作用,Finno等^[6]利用平面有限元对一基坑开挖引起临近桩基破坏的实例进行了分析。刘畅等^[7]采用有限元数值模拟分析结合现场实测数据,研究了采用逆作法施工的基坑回弹变形问题,分析了工程桩、支护结构、楼板对坑底回弹变形的影响。查甫生等^[8]通过有限元软件ABAQUS,以坑底无桩和坑底群桩两种基坑为研究对象,对比分析了有桩、无桩情况下,深基坑开挖卸载的变形特性,得出了工程桩可以使基坑周围沉降、基坑中心隆起、围护结构向坑内位移这几种变形明显减小。曹力桥^[9]利用ABAQUS软件分析了存在工程桩和不存在工程桩基坑开挖和降水下的三维模型,通过对比分析了基坑开挖降水过程中基坑隆起的基本规律,得出工程降水对深基坑土体的压密作用及工程桩对坑底变形有明显的抑制作用。冯虎等^[10]利用FLAC数值模拟软件研究了坑内工程桩对软土超深基坑抗隆起稳定的影响规律以及作用机理,结果表明,墙趾土层特性、地连墙插入深度、基坑宽度和潜在滑裂面之内的工程桩对基坑抗隆起稳定有着非常显著的影响。

本文结合江苏某隧道明挖基坑工程,利用PLAXIS 3D软件,采用小应变土体硬化（HSS）模型作为土层的本构模型,建立了太湖隧道第二仓基坑的1/4模型,应用该模型,分析研究了坑底工程桩的桩长、桩径、桩刚度对基坑回弹变形的影响规律。

1. 工程概况

江苏某湖底隧道工程,公路等级为双向六车道（全线紧急停车带）高速公路,设计速度100 km/h,隧道总长10709 m,净宽16.75 m,湖中最大开挖深度达15 m,建成断面示意图见图1。

图 1 隧道断面示意图

Figure 1. Schematic diagram of tunnel section

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本文研究的基坑地层分布较均匀,项目隧道工程场地主要为粉土及粉质黏土,局部夹软土层,设计采用明挖施工,主要采用放坡加垂直支护形式进行开挖,基坑工程规模大、施工时间长、施工工序和工艺流程复杂等特点,研究基坑开挖卸荷引起的坑底回弹变形是该项目长期变形控制的关键技术问题之一。

现场监测由施工方进行,由于在施工过程中隆起测点遭到施工破坏,所以图2只给出了第二仓基坑孔隙水压力、立柱隆沉、桩土深层水平位移、围护结构水平位移及支撑轴力的测点图。

图 2 第二仓基坑测点布置图

Figure 2. Survey point layout of the second warehouse foundation pit

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2. 数值模型的建立

数值模拟标段选用第二仓K25+135—K25+515标段,基坑尺寸为400 m×80 m,开挖深度为15 m,为了便于数值计算,选取1/4的基坑进行建模,基坑三维模型及网格划分如图3所示。

图 3 基坑三维模型及网格划分示意图

Figure 3. Three-dimensional model and grid drawing of foundation pit

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土层分层情况已进行适当简化,已在断面图4中标明。自上而下分别为：2-1粉质黏土,2-3粉土,2-4淤泥质粉质黏土,3-1粉质黏土,3-2粉质黏土,4-1b粉质黏土,4-1黏土,层底标高-90 m。

图 4 基坑断面示意图

Figure 4. Schematic diagram of excavation section

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2.1 土体本构模型

基坑开挖一般属于临时性工程,工期较短,所以按不排水条件进行分析,且不考虑开挖过程对土体扰动的影响；土体本构模型采用小应变硬化模型。通过标准固结试验获得土体参考切线模量 $E_{oed}^{ref}$ ,通过三轴固结排水剪切试验获得土体参考割线模量 $E_{50}^{ref}$ 、破坏比R_f和土体强度参数c′,φ′值,通过三轴固结排水加卸载剪切试验获得参考加卸载模量 $E_{ur}^{ref}$ ,具体试验过程与试验数据处理不再赘述。HSS模型参数取值见表1。

表 1 土层小应变本构模型参数取值表

Table 1. Parameter value table of soil layer HSS model

土层	$E_{oed}^{ref}$ /MPa	$E_{50}^{ref}$ /MPa	$E_{ur}^{ref}$ /MPa	$G_{0}^{ref}$ /MPa	γ_0.7/10^-4	R_f	$c^{'}$ /kPa	$φ^{'}$ /(°)
2-1	5.067	3.24	41.32	112.0	2.0	0.70	5.0	37.5
2-3	8.592	4.03	26.93	100.0	2.0	0.62	4.7	32.2
2-4	2.190	7.32	29.11	58.1	2.0	0.90	7.2	29.0
4-1	2.566	7.06	32.87	115.8	2.0	0.86	16.5	38.0

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2.2 围护结构及工程桩模型

基坑采用上部放坡与钻孔灌注桩结合的围护结构形式,如图4所示,围护结构及支撑均按弹性材料考虑,三维模型见图5。

图 5 支护体系模拟示意图

Figure 5. Schematic diagram of support system simulation

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（1）采用两道内支撑,第1道为钢筋混凝土支撑,间距为8 m,截面为800 mm×1000 mm,刚度为3×10⁷ kPa,重度为25 kN/m³；第2道支撑为钢管支撑,间距为4 m,截面直径为609 mm,厚度为16 mm,刚度为2.1×10⁸ kPa,重度为78.5 kN/m³。

（2）止水帷幕及连续墙采用板单元进行模拟,本文在计算时将连续墙的刚度按C30混凝土模量的80%取值,即为2.4×10⁷ kPa,泊松比取为0.2。

（3）被动加固区截面尺寸为5 m×5m,沿着基坑纵向满长布置,材料为水泥土,莫尔-库仑模型,刚度为1.5×10⁵ kPa,泊松比为0.25,抗剪强度为750 kPa。

（4）工程桩直径为600 mm,桩长为15 m,桩间距为8 m,桩的刚度为3×10⁷ kPa,桩的重度为7 kN/m³。

2.3 边界条件

对称侧面约束法向自由度及垂直于另外两个方向的转动自由度,非对称侧面仅约束法向自由度,底面约束所有自由度。

2.4 施工工况模拟

数值模拟开挖方案采取在模型竖直方向上开挖一层土,施工一道撑的做法,工况描述见表2。

表 2 计算工况

Table 2. Calculation conditions

施工阶段	工况描述
初始阶段	平衡初始地应力
1	施工围护结构与工程桩
2	放坡开挖至-4 m,降水至-4 m
3	开挖至-5 m,降水至-5 m
4	施工第一道内支撑
5	开挖至-10 m,降水至-10 m
6	施工第二道内支撑
7	开挖至-15 m,降水至-16 m

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2.5 模型结果验证

为保证有限元数值模拟计算结果的准确可靠,提取了基坑的砼支撑轴力监测数据与基坑围护墙水平位移数据,与PLAXIS模拟结果进行对比,结果见图6。可以看出钢支撑轴力模拟值的变化趋势与实测值的变化趋势一致,开挖至坑底时的误差为7.5%,可以看出钢支撑轴力曲线吻合度较高。

图 6 钢支撑轴力对比图

Figure 6. Axial force contrast diagram of steel bracing

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3. 工程桩对基坑回弹变形的影响研究

3.1 桩长对基坑回弹变形的影响分析

研究工程桩桩长对基坑回弹变形的影响,保持工程桩桩径（d=0.6 m）、刚度（E=3×10⁷ kPa）不变,分别取工程桩桩长为5,10,15,20,25 m以及无工程桩共6种条件。

由图7看出,无桩的回弹变形曲线与有桩的回弹变形曲线存在明显区别。无桩的回弹变形曲线呈现较为平滑的“凸”形,最大回弹变形量为33 mm,当桩即不施工工程桩时,基坑回弹增长较快,当距坑边约10 m,基坑回弹量不再增长,保持在约33 mm左右。

图 7 桩长-回弹曲线图

Figure 7. Pile length - rebound curves

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当工程桩存在时,有桩的回弹变形曲线呈现波浪型,波谷处即为打桩的位置,此时,基坑回弹量增长较慢,在距坑边7 m左右就不再增长,最大值为27 mm左右；并且施工工程桩的位置,基坑回弹出现显著的减小。桩长每增加5 m,基坑中心回弹量减小约8%。

3.2 桩径对基坑回弹变形的影响分析

研究工程桩桩径对基坑回弹变形的影响,保持工程桩桩长（L=25 m）、刚度（E=3×10⁷ kPa）不变,分别取工程桩桩径为d=0.6 m,L=0.8 m,d=1.0 m,d=1.2 m,d=1.4 m以及无工程桩共6种条件。

由图8可以看出,各个桩径工况下,随着桩径的增加,基坑回弹变形量逐渐减小,工程桩桩径每增加0.2 m,基坑中心的回弹量减小4%。

图 8 桩径-回弹曲线图

Figure 8. Pile diameter - rebound curve

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3.3 桩刚度对基坑回弹变形的影响分析

研究工程桩刚度对基坑回弹变形的影响,保持工程桩桩长（L=25 m）、桩径（d=0.6 m）不变,分别取工程桩刚度为E=2.5×10⁷ kPa,E=3.0×10⁷ kPa,E=3.5×10⁷ kPa,E=3.8×10⁷ kPa以及无工程桩5种工况。

由图9可以看出,改变工程桩桩刚度后,基坑回弹变形并未产生明显变化,结果表明,坑底工程桩的桩刚度对基坑回弹变形的影响最小。

图 9 桩刚度-回弹曲线

Figure 9. Pile stiffness-rebound curves

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4. 结论

（1）基坑开挖初期,开挖深度较浅,基坑回弹变形为弹性变形,呈现四周小中间大的特点；随着开挖深度的增加,侧向卸荷逐渐增大,基坑内部土体产生塑性变形,基坑回弹变形呈现四周小中间大的特点。

（2）由基坑回弹变形曲线可以看出,工程桩附近土体回弹量明显小于相邻土体,最终开挖完成时,有桩较无桩可以减小约20%的回弹变形。

（3）结合基坑回弹变形曲线可以看出,桩长每增加5 m,基坑回弹变形减小约5%左右；桩径每增加0.2 m,基坑回弹变形减小约2%左右；工程桩桩身刚度的变化对基坑回弹变形的影响不是特别明显。

图 1 不同透水边界条件下单层饱和多孔介质模型

Figure 1. 1D model for saturated porous media under various permeable boundary conditions

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图 2 流体孔压结果

Figure 2. Comparison of fluid pressure results at ζ=0.5

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图 3 总应力结果

Figure 3. Comparison of total stress results at ζ=0.5

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图 4 不同透水条件下孔压结果

Figure 4. Dimensionless fluid pressure responses at ζ=0.5 under different boundary conditions

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图 5 不同透水条件下总应力结果

Figure 5. Dimensionless total stress responses at ζ=0.5 under different boundary conditions

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图 6 不同透水条件下位移结果

Figure 6. Dimensionless displacement responses at ζ=0.5 under different boundary conditions

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图 7 不同深度处孔压

Figure 7. Dimensionless fluid pressure responses under different depths

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图 8 不同深度处孔压

Figure 8. Dimensionless fluid pressure responses under different depths

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表 1 验证算例中的边界参数

Table 1 Boundary conditions of verification examples

算例来源	边界条件	备注
Shan等^[11]	$\begin{gathered} {a_1} = {b_2} = 1 \hfill \\ {a_2} = {b_1} = 0 \hfill \\ q(\tau ) = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$	顶部透水，底部不透水
凌道盛等^[12]	$\begin{gathered} {a_1} = {a_2} = 1 \hfill \\ {b_1} = {b_2} = 0 \hfill \\ q(\tau ) = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$	顶部和底部均透水
单振东^[22]	$\begin{gathered} {a_1} = {a_2} = 0 \hfill \\ {b_1} = {b_2} = 1 \hfill \\ q(\tau ) = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$	顶部和底部不透水

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表 2 材料参数^[10-11]

Table 2 Parameters of saturated porous media

参数	单位	值
Lame常数λ	MPa	144.7
剪切模量μ	MPa	98
固相体积模量K_s	GPa	11
动力渗透系数k_f	m⁴/(N·s)	0.01
液相体积模量K_f	GPa	3.3
固相密度ρ_s	kg/m³	2700
液相密度ρ_f	kg/m³	1000
孔隙率n	—	0.48
厚度H	m	10

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参考文献(22)

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