基于多元概率分布模型的珠海黏土多参数预测

汪海林; 刘航宇; 顾晓强; 宋许根

doi:10.11779/CJGE2021S2046

基于多元概率分布模型的珠海黏土多参数预测 English Version

汪海林^1,,
刘航宇¹,
顾晓强^{1, 2, ,},
宋许根³

1.
同济大学地下建筑与工程系,上海　200092
2.
同济大学岩土及地下工程教育部重点试验室,上海　200092
3.
中铁第四勘察设计院集团有限公司交通市政与港航设计研究院,湖北　武汉　430063

基金项目:

国家自然科学基金项目 51822809

详细信息

作者简介:
汪海林(1998— ),男,博士研究生,主要从事岩土基本特性大数据统计分析方面的研究工作。E-mail: wanghailin@tongji.edu.cn

通讯作者:
顾晓强, E-mail: guxiaoqiang@tongji.edu.cn

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2021-08-15
- 网络出版日期: 2022-12-05
- 刊出日期: 2021-10-31

Multi-parameter prediction of Zhuhai clay based on multivariate probability distribution model

1.
Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China
2.
Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of the Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China
3.
Traffic Design and Research Institute, China Railway Siyuan Survey And Design Group Co., Ltd., Wuhan 430063, China

摘要

摘要: 在岩土工程实践中,一个重要任务是根据场地勘察报告获取实际设计中所需要的设计参数。土体参数之间的相互转换对于岩土工程实践具有重要意义。本文在前人研究的基础上,对珠海市某城区的软土的室内试验及现场数据进行了分析,并建立了9个土体参数的多元概率分布模型以及相应的贝叶斯更新模型。使用该贝叶斯模型可以方便地使用多元土体参数信息对未知参数进行更新预测,研究表明,多参数更新预测模型能够综合所有已知土体参数的信息,从而有效提升对于未知参数预测的准确性。
- 土体参数 /
- 多元概率分布 /
- 贝叶斯更新 /
- 多参数预测 /
- 数据库
Abstract: In geotechnical engineering practice, an important task is to obtain the design parameters required based on the site survey report. The mutual conversion of soil parameters is of great significance to the practice of geotechnical engineering. Based on the previous studies, the laboratory test and field test data of soft soil in a certain urban area of Zhuhai are analyzed. A multivariate probability distribution model of 9 soil parameters and a Bayesian updating model are established. Using this Bayesian updating model can easily make use of the information of multiple soil parameters to predict unknown parameters. The results show that the multi-parameter prediction model can synthesize the information of all known parameters, thereby effectively improving the accuracy of predicting unknown parameters.
- soil parameter /
- multivariate probability distribution /
- bayesian updating /
- multi-parameter prediction /
- database

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0. 引言

天然土体由于物质组成、沉积条件、应力历史、物理风化过程和埋藏条件等因素的差异,土体参数常表现出空间变异性^[1],Griffiths等^[2]研究发现在边坡可靠度分析中,忽略土体参数空间变异性会低估边坡稳定性。已有大量研究表明参数的空间变异性对于边坡稳定性具有重要影响^[2-4],目前大多数关于边坡可靠度的研究,常采用平稳随机场或准平稳随机场模型模拟土体参数空间变异性^[4],然而大量现场试验资料表明诸如黏聚力、内摩擦角以及杨氏模量等土体参数的均值和标准差随埋深呈明显的非均匀分布。Lumb^[1]分别统计了香港黏土和伦敦地区的黏土,得出不排水抗剪强度的均值和标准差均随着埋深的增加而呈线性增长趋势；Chenari等^[5]调查发现江苏地区海相黏土锥尖阻力q_c和乌尔米耶湖场地黏土q_c沿埋深方向呈明显的分层趋势。在此背景下,Griffiths等^[2]利用去趋势分析法提出了非平稳随机场建模方法；蒋水华等^[3]针对目前不能有效模拟土体参数趋势分量和波动分量的不确定性,提出了一种有效的非平稳随机场模拟方法。

上述研究只针对横观各向异性相关结构建立土体参数的随机场模型,然而在地层断裂、弯褶等地质构造运动的作用下,土体参数的相关结构常常呈现出旋转的横观各向异性,自然界观察到的边坡也常以反倾边坡和顺层边坡为主,Zhu等^[7]将这种相关结构称为旋转各向异性。针对旋转各向异性相关结构对于边坡可靠度的研究,已有学者做过研究,但是大多是基于是平稳随机场进行模拟,目前国内对于旋转各向异性非平稳随机场的模拟还有待研究。

本文在Griffiths提出的去趋势分析理论^[2]基础上,结合坐标变换后的自相关函数形式,提出了二维旋转各向异性非平稳随机场模拟方法,并通过一饱和不排水黏土边坡验证所提模拟方法的可行性,开展相关结构旋转角和变异系数对边坡可靠度的敏感性分析,揭示土体参数旋转各向异性非平稳分布特征对于边坡可靠度的影响。

1. 旋转各向异性非平稳随机场模拟

根据Zhu等^[7]的研究,旋转各向异性相关结构的相关函数可以由下式表示：

$ρ (τ_{x}, τ_{y}) = \exp (- 2 \sqrt{\frac{{(τ_{x} \cos α + τ_{y} \sin α)}^{2}}{θ_{1}^{2}} + \frac{{(- τ_{x} \sin α + τ_{y} \cos α)}^{2}}{θ_{2}^{2}}}),$

(1)

式中, $τ_{x}$ 和 $τ_{y}$ 分别表示空间中任意两点的水平距离和竖向距离,θ₁和θ₂表示x和y对应方向上的相关距离, $α$ 为相关结构旋转角。

通常情况下,土体参数空间变异性包含趋势分量和波动分量两部分^[3],埋深d处的土体参数 $ζ (d)$ 可以表示为

$ζ (d) = t (d) + ω (d)$ 。

(2)

式中 d为土体埋深,t(d)为趋势分量函数,一般可以由土体参数在埋深d处的均值表示； $ω (d)$ 为随机波动分量函数,一般可以由均值为0,标准差为 $σ_{ω}$ 的正态平稳随机场模拟,即 $ω (d)$ 不会随深度变化而改变。对于固结土层,趋势分量t(d)由0开始沿埋深逐步增加,但是对于超固结的厚土层,趋势分量可能由某一确定数值开始沿埋深增加。此外,为了尽量与原始土体参数试验数据保持一致,土体参数的趋势分量一般选用形式较为简单的线性函数表示。本文只研究超固结黏土层中趋势分量沿埋深线性增加的情况,对于不排水抗剪强度参数 $s_{u}$ ,可以看作是由土体表层某一固定数值 $s_{u0}$ 随深度方向的线性增加,具体可以由下式给出：

$s_{u} = s_{u0} + b {σ^{'}}_{v} = s_{u0} + b γ d$ ,

(3)

式中, $s_{u0}$ 为地表处的不排水抗剪强度, ${σ^{'}}_{v}$ 为土体垂直有效应力, $γ$ 为土体重度,b为土体参数沿埋深方向变化的速率。本文采用去趋势分析法^[2]来模拟不排水抗剪强度的非平稳随机场模型,将 $s_{u0}$ 看作服从均值为 $μ_{s_{u0}}$ 、标准差为 $σ_{s_{u0}}$ 的对数正态分布平稳随机场,可以由式（1）模拟,得到 $s_{u}$ 的非平稳随机场如下：

$s_{u} = s_{u0} + \frac{s_{u0}}{μ_{s_{u0}}} \cdot b γ d$ 。

(4)

由上式可以求得不排水抗剪强度 $s_{u}$ 的均值和标准差分别为

$\begin{array}{l} μ_{s_{u}} = μ_{s_{u0}} + b γ d, \\ σ_{s_{u}} = σ_{s_{u0}} \cdot \frac{μ_{s_{u0}} + b γ d}{μ_{s_{u0}}} 。 \end{array}}$

(5)

可看出上式 $s_{u}$ 的均值和标准差均为埋深d的线性函数。

结合式（1）和式（4）,旋转各向异性相关结构的非平稳随机场可以表示为

$s_{u} = \exp (σ_{\ln s_{u0}} Z + μ_{\ln s_{u0}}) + \frac{\exp (σ_{\ln s_{u0}} Z + μ_{\ln s_{u0}})}{μ_{\exp (σ_{\ln s_{u0}} Z + μ_{\ln s_{u 0}})}} b γ d$ ,

(6)

式中, $μ_{\ln s_{u0}}$ 和 $σ_{\ln s_{u0}}$ 分别为地表处饱和不排水抗剪强度服从对数正态分布时的均值和标准差,可以由下式计算：

$μ_{\ln s_{u0}} = \ln μ_{s_{u0}} - 0.5 σ_{\ln s_{u0}}^{2}$ ,

(7)

$σ_{\ln s_{u0}} = \sqrt{\ln (1 + {cov}_{s_{u0}}^{2})}$ 。

(8)

考虑土体参数沿埋深方向线性增加的旋转各向异性相关结构随机场可以由式（1）和式（6）模拟得到,图1给出了考虑不排水抗剪强度 $s_{u}$ 旋转各向异性相关结构和非平稳特性的一次随机场典型实现。

图 1

$α = - 30^{\circ}$ 时两种随机场的一次实现

Figure 1. Typical realization of random fields with

$α = - 30^{\circ}$

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2. 饱和不排水黏土边坡可靠度分析

2.1 边坡几何模型与确定性分析结果

以文献[3]中的饱和不排水黏土边坡为例,研究非平稳随机场模拟的考虑旋转各向异性相关结构的边坡可靠度,进而揭示土体参数非平稳分布时对于边坡稳定性的影响。边坡计算模型及结果如图2所示,坡长60 m,坡度1∶2,坡高10 m。土体重度 $γ$ 取20 kN/m³,将不排水抗剪强度 $s_{u}$ 模拟为均值为40 kPa,变异系数 ${COV}_{s}_{_{u}}$ 为0.3的对数正态平稳随机场。取均值为40 kPa,蒋水华等^[3]采用简化Bishop法求得确定性分析下边坡稳定系数分别为1.182,本文采用强度折减法,以最大剪应变增量表征滑面,得到边坡稳定系数为 $F_{s,det}$ =1.188,最大破坏深度为 $D_{f}$ =20 m,采用强度折减法得到的边坡稳定系数与之前学者计算的结果高度一致。

图 2 边坡几何模型与确定性分析结果

Figure 2. Geometric model for slope and deterministic analysis results

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2.2 非平稳随机场模型参数取值

Rackwitz^[8]研究指出地表处的不排水抗剪强度一般为10～20 kPa,蒋水华等^[3]在研究非平稳随机场模拟时,将不排水抗剪强度模拟为对数正态分布,并将上下限10 kPa和20 kPa分别取作 $s_{u0}$ 的10%和90%分位数,得到 $s_{u0}$ 的均值和标准差分别为 $μ_{s_{u0}} =$ 14.669 kPa和 $σ_{s_{u0}} = 4.034$ ,为此,本文取地表处的不排水抗剪强度初始变化值为 $μ_{s_{u0}} =$ 15 kPa,变异系数为 ${COV}_{s_{u0}} =$ 0.3,将坡底处的不排水抗剪强度均值设定下限为75 kPa,可以得到 $s_{u0}$ 沿埋深方向的变化速率b=0.15。建立平稳随机场时,将不排水抗剪强度均值取边坡中部的参数平均值,Li等^[6]在对比非平稳随机场和平稳随机场的差别时也采用了这种方法,为此,将不排水抗剪强度平稳随机场建立为服从均值 $μ_{s_{u}} =$ 40 kPa,变异系数 ${COV}_{s_{u}} =$ 0.3的对数正态分布随机场,以此为非平稳随机场计算结果提供参照。

此外,为研究旋转各向异性非平稳随机场中相关结构旋转角对边坡可靠度的影响,将相关结构旋转角取[-60°,60°],其中,当-60°≤ $α$ <0°时,边坡近似等效为顺层边坡,当0°< $α$ ≤60°时,边坡等效为反倾边坡。

2.3 边坡可靠度分析

为了能够全面评估边坡稳定性,此处引入可靠度指标对边坡进行可靠度评价,假定得到的边坡稳定系数呈正态分布,则边坡可靠度指标可由下式计算：

$β = \frac{μ_{F_{s}} - 1}{σ_{F_{s}}}$ 。

(9)

若认为边坡稳定系数呈对数正态分布时,边坡可靠度可以由下式计算：

$β = \frac{\ln (μ_{F_{s}} / \sqrt{1 + {(μ_{F_{s}} / σ_{F_{s}})}^{2}})}{\sqrt{\ln [1 + {(μ_{F_{s}} / σ_{F_{s}})}^{2}]}}$ ,

(10)

式中, $μ_{F_{s}}$ 指边坡稳定系数的均值, $σ_{F_{s}}$ 是指边坡稳定系数的标准差。为准确估计边坡可靠度,采用Monte-Carlo策略对每种工况进行了500次模拟。

图3给出了横观各向同性相关结构下边坡可靠度分别在平稳随机场中与非平稳随机场中的关系。可以看出无论认为边坡稳定系数服从何种分布类型,非平稳随机场中的边坡可靠度均高于平稳随机场；此外,当假定边坡稳定系数服从对数正态分布时,得到的边坡可靠度高于服从正态分布时得到的可靠度,这种差别随着土体参数变异程度的增加逐渐消失。以假定边坡稳定系数服从正态分布为例,当变异系数为0.1时,此时土体参数整体离散程度较低,得到的边坡可靠度较高,且平稳随机场与非平稳随机场中计算得到的结果差别不明显,边坡可靠度分别为6.52和6.97；当变异系数增大时两个随机场的差别逐渐变大,尤其当变异系数为0.5时,利用非平稳随机场计算得到的边坡可靠度β=0.75,而传统的平稳随机场中计算得到的边坡可靠度已经低于0（β=-0.27）,两者相差达136%。因此,采用传统忽略土体参数非平稳分布特征的平稳随机场来评价边坡会低估边坡稳定性。

图 3 平稳随机场与非平稳随机场中的边坡可靠度

Figure 3. Reliability indexes with stationary random field and non-stationary field

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假定边坡稳定系数服从正态分布,图4为边坡可靠度^[9]随相关结构旋转角 $α$ 和变异系数的关系。从图4（a）可以看出,相关结构旋转角会明显改变边坡可靠度,随着α的增大,边坡可靠度先减小,至 $α$ =0°时,边坡可靠度达到最低,之后开始逐渐上升,当 $α$ =60°时,边坡可靠度达到最大值,在不同变异系数下,边坡最大与最小可靠度之间分别相差32.1%,38.0%,67.8%,40.3%,这意味着在忽略土体参数相关结构的旋转各向异性时,会低估边坡可靠度。从图4（b）中可以看出,随着土体参数的变异性增大,边坡可靠度急剧下降,在变异系数较小时,边坡可靠度受到相关结构旋转角的影响更为明显,例如当COV=0.1时,随着 $α$ 的增大,边坡可靠度指标值最大相差3.29,而当COV=0.7时,可靠度指标值最大相差只有1.49,降幅达54.7%,可见土体参数空间变异程度对边坡可靠度影响巨大,土体参数存在高变异性时会严重降低边坡稳定性。

图 4 边坡可靠度与相关结构旋转角和变异系数

Figure 4. Reliability index versus rotated angle

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3. 结论

基于去趋势分析理论和矩阵分解法提出了旋转各向异性非平稳随机场的模拟方法,以一个饱和不排水黏土边坡为例进行了边坡可靠度分析,主要结论如下：

（1）提出的旋转各向异性非平稳随机场模拟方法可以有效模拟土体参数的旋转各向异性相关结构和非平稳分布的特征,得到的随机场与工程实际较为符合,为相关研究提供了一条途径。

（2）通过比较平稳随机场与非平稳随机场的模拟结果,忽略土体参数非平稳分布特征建立平稳随机场在计算中会低估边坡可靠度,当认为边坡稳定系数服从对数正态分布时,得到的边坡可靠度偏高。

（3）相关结构旋转角对边坡可靠度影响较大,尤其是当参数变异性较低时,这种影响更为明显,忽略相关结构建立的横观各向异性随机场会得到更加保守的计算结果；随着变异系数的增大,相关结构旋转角对边坡可靠度的影响逐渐减弱,边坡可靠度也会随着参数变异程度的提高而逐渐降低。

图 1 土体参数的直方图、散点图以及相关系数

Figure 1. Histogram, scatter plot and correlation coefficients of soil parameters

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图 2 压缩模量的更新结果

Figure 2. Updating results of compressive modulus

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图 3 压缩模量的预测均值与实测值对比

Figure 3. Comparison of predicted and measured values of compressive modulus

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表 1 9个土体参数的统计信息

Table 1 Statistics of 9 soil parameters

参数	n	均值	最小值	最大值	STD	COV
w/%	885	65.11	39.40	98.60	10.25	0.16
e	885	1.75	1.00	2.62	0.27	0.15
w_L	885	56.54	32.90	87.30	9.29	0.16
I_P	885	25.49	12.80	44.70	5.32	0.21
I_L	885	1.35	0.94	2.58	0.26	0.19
$α$	742	1.56	0.53	3.74	0.53	0.34
$E_{s}$	742	1.75	0.77	3.52	0.49	0.28
${σ^{'}}_{v}$	885	98.30	5.00	368.94	69.97	0.71
$S_{u}$	216	10.53	2.10	54.00	7.13	0.68

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表 2 分布类型与参数

Table 2 Distribution types and parameters

参数	类型	$a_{X}$	$b_{X}$	$a_{Y}$	$b_{Y}$	p
w	SU	0.85	0.01	5.91	65.19	0.24
e	SU	1.06	-0.19	0.22	1.70	0.48
w_L	SB	1.19	0.65	53.29	36.30	0.67
I_P	SB	1.43	0.71	34.45	12.09	0.21
I_L	SB	0.73	0.89	1.20	1.01	0.06
$α$	SU	2.18	-2.35	0.63	0.65	0.89
$E_{s}$	SU	1.65	-1.02	0.61	1.28	0.97
${σ^{'}}_{v}$	SB	0.98	1.20	394.85	-7.32	0.77
$S_{u}$	SB	0.99	1.02	26.44	1.86	0.99

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