复杂越流含水层基坑抽水引发围挡变形发展规律

王硕; 曾超峰; 薛秀丽; 李明广; 蔡钢

doi:10.11779/CJGE2021S2030

复杂越流含水层基坑抽水引发围挡变形发展规律 English Version

王硕^1,,
曾超峰^1, ,,
薛秀丽¹,
李明广²,
蔡钢¹

1.
湖南科技大学岩土工程稳定控制与健康监测湖南省重点实验室,湖南　湘潭　411201
2.
上海交通大学土木工程系,上海　200240

基金项目:

国家自然科学基金项目 51978261

国家自然科学基金项目 51708206

湖南省自然科学基金项目 2020JJ5193

湖南省教育厅资助项目 20A190

详细信息

作者简介:
王硕(1997— ),男,硕士研究生,主要从事基坑地下水控制和地下水回灌控沉技术等方面的学习与研究。E-mail: 19020201028@mail.hnust.edu.cn

通讯作者:
曾超峰, E-mail: cfzeng@hnust.edu.cn

中图分类号: TU433
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出版历程
- 收稿日期: 2021-08-17
- 网络出版日期: 2022-12-05
- 刊出日期: 2021-10-31

Development of deformation of enclosure wall during dewatering in a leaky aquifer

1.
Hunan Provincial Key Laboratory of Geotechnical Engineering for Stability Control and Health Monitoring, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China
2.
Department of Civil Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China

摘要

摘要: 依托某基坑开挖前抽水试验,利用ABAQUS建立有限元模型,探讨了复杂越流含水层中基坑抽水引发围挡变形的发展规律。研究发现：当基坑内外存在水力联系时,受弱透水层影响,基坑抽水过程中各土层围挡两侧孔压差值(ΔP)先增大后减小最后趋于稳定,从而导致基坑围挡发生同样规律的变形（即,增大后再减小最后趋于稳定）。而当基坑内外无水力联系时,基坑抽水导致的各土层围挡两侧孔压差值(ΔP)将单调增大并很快趋于稳定,此时,基坑围挡变形不再出现前述先增大后减小的规律,而同样表现出单调增大的规律。
- 越流含水层 /
- 基坑抽水 /
- 围挡侧移 /
- 数值模拟
Abstract: The finite element model is established to investigate the development of deformation of enclosure wall during dewatering in a leaky aquifer by using ABAQUS on the basis of a practical pre-excavation dewatering test. The results show that when there is hydraulic connection between the inside and outside of a foundation pit, under the influences of an aquitard, the difference of pore pressure at both sides of enclosure wall (ΔP) increases first, then decreases, and finally tends to be stable during the pumping. As a result, the deformation of enclosure wall first increases, then decreases and finally becomes stable. However, when there is no hydraulic connection between the inside and outside of the foundation pit, ΔP increases monotonously and tends to be stable soon. The deformation of enclosure wall no longer first increases and then decreases, but increases monotonously.
- leaky aquifer /
- foundation pit dewatering /
- wall deformation /
- numerical simulation

HTML全文

0. 引言

在岩土工程中,圆孔扩张是典型的具有材料非线性和几何非线性特征的问题。圆孔扩张理论在桩的承载力、静压沉桩、搅拌桩、静力触探等岩土工程领域里得到了广泛的应用^[1-5]。早期大多圆孔扩张解答假定土体为理想弹塑性材料,如Vesic^[1]、Carter等^[6]、Yu等^[7]、Mantaras等^[8]基于理想弹塑性模型,推导了柱孔扩张解析解。该求解方法受本构模型的限制,无法合理体现土体的塑性硬化,应力历史等力学响应。

为合理体现圆孔扩张过程中土体剪切和破坏的一致性,临界状态模型被广泛应用于圆孔扩张的解答。Cao等^[9-10],Silvestri等^[11],Vincenzo等^[12],Chen等^[13-14]和Zhou等^[15-16]假设在孔周的弹性区土体为小应变变形,塑性区为大变形,应用修正剑桥模型（MCC）模型求解不排水或排水的圆孔扩张问题。该模型可以合理地反映正常固结土的剪切硬化,也可以在一定程度上反映了超固结土的剪胀特性。李镜培等^[17]基于SMP准则改进的MCC模型推导了柱孔扩张时土体三维强度的影响。为了考虑土体的各向异性,Li等^[18-19],Chen等^[20]和Liu等^[21]采用各向异性改进的MCC模型,Chen等^[22]基于S-CLAY1模型推导出初始应力各向异性和初始应力诱导各向异性的圆孔扩张解。Chen等^[23]基于各向异性MCC模型和应力空间转换法研究了各向异性土体中三维强度的影响。然而,现有圆孔扩张研究成果中针对超固结土和密砂的解答很少。虽然已有部分解答应用各种改进的MCC模型计算超固结土中的孔扩张,但由于本构模型存在较多不足,难以合理模拟柱孔扩张过程中超固结土和密砂的剪胀、特征状态、超固结度或密实状态衰化、三维强度等特性。

为了模拟柱孔扩张过程中密砂和超固结土的诸多特性,本文基于Yao等^[25]提出的CSUH模型^[25]求解柱孔扩张问题。该模型中砂土参数为零时退化为UH模型^[26-27]（Unified hardening model）,Yao通过大量试验验证了CSUH模型可以很好地预测砂土和黏土的应力应变关系,可以合理反映密砂和超固结土的剪胀、特征状态、超固结度或密实状态衰化、三维强度等特性。此外,在求解方法上,文中不再采用Chen等^[13-14]提出的求解思路,而是直接基于本构关系和应力空间变换推导孔周土体的弹塑性刚度矩阵[D_ep],随后联合大应变理论得到砂土和黏土应力场的控制方程组,推导过程更加简洁实用。最后通过数值方法求解控制方程,得到了应力分量和超孔压的半数值半解析解。本文解答对完善圆孔扩张解答理论,指导密砂或超固结土体中钻孔、打桩设计与施工都具有重要意义。

1. 柱孔扩张计算模型

土体中圆孔扩张可以模拟为在无限长空间中一个圆柱形孔的平面应变扩张模型。CSUH模型中采用了边界面模型的概念^[26],即加载一旦开始,土体立即产生塑性应变,因此孔周无弹性区。土体初始孔径为a₀,扩孔后至a半径处时扩张压力为 $σ_{a}$ 。孔周土体单元的径向应力表示为 $σ_{r}$ ,切向应力表示为 $σ_{θ}$ ；无穷远处土体的应力状态为原位应力状态,水平方向径向和切向应力大小均为 $σ_{h0}$ ,竖直方向应力大小为 $σ_{v0}$ 。孔周土体分为两个区域：临界破坏区和屈服区（塑性区）,如图1所示。

图 1 柱孔扩张模型

Figure 1. Expansion of a cylindrical cavity

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2. CSUH本构模型

Yao在UH模型的基础上,通过引入3个砂土特性参数,建立了砂土和黏土的统一硬化模型^[25]。CSUH模型中3个砂土参数为零时退化为UH模型。下面对该模型作简要介绍。

2.1 屈服面和塑性势函数

CSUH模型包含两个屈服面,其中 $\bar{f}$ 为与NCL对应的屈服面,f为一般状态屈服面^[25]：

$\begin{array}{l} \bar{f} = \frac{(1 + χ) q^{2}}{M^{2} p^{2} - χ q^{2}} + 1 - \frac{{\bar{p}}_{x}}{p} = 0, \\ f = \frac{(1 + χ) q^{2}}{M^{2} p^{2} - χ q^{2}} + 1 - \frac{p_{x}}{p} = 0, \end{array}}$

(1)

式中, ${\bar{p}}_{x}$ , $p_{x}$ 为屈服面的硬化参数,

$\begin{array}{l} {\bar{p}}_{x} = (p_{x 0} + p_{s}) \exp (\frac{1}{c_{p}} ε_{v}^{p}) - p_{s}, \\ p_{x} = (p_{x 0} + p_{s}) \exp (\frac{1}{c_{p}} H) - p_{s}, \end{array}}$

(2)

式中, $H = \int \frac{M_{f}^{4} - η^{4}}{M_{c}^{4} - η^{4}} d ε_{v}^{p}$ ,称为统一硬化参数^[25]。塑性势面为椭圆：

$g = \ln \frac{p}{p_{x}} + \ln (1 + \frac{q^{2}}{M_{c}^{2} p^{2}}) = 0$ 。

(3)

式（1）～（3）中c_p=( $λ$ -κ)/(1+e₀),e₀为土体初始孔隙比； $λ$ 和κ分别为e–lnp平面上等向固结加载曲线和卸载–再加载曲线的斜率；χ为临界状态参数；p_s为压硬性参量；M_c,M_f分别为特征状态应力比和潜在强度^[25],

$\begin{array}{l} M_{c} = M \cdot \exp (- m \cdot ξ), \\ M_{f} = 6 [\sqrt{\frac{k}{R} (1 + \frac{k}{R})} - \frac{k}{R}] 。 \end{array}}$

(4)

式中, $k = M^{2} / 12 (3 - M)$ ；m为土的剪胀性参数,新引入的砂土3个参数p_s,χ,m均可以通过简单三轴试验获得^[25]；R为超固结参数^[25],

$R = \exp (- \frac{ξ}{λ - κ})$ ,

(5)

其中, $ξ$ 为密实状态参量^[25],

$ξ = e_{η} - e$ ,

(6)

其中,e为砂土的当前孔隙比,不排水情况下取初始孔隙比e₀,e_η为e–lnp空间内等应力比η线上当前平均正应力p所对应的孔隙比,

$e_{η} = e_{c0} - λ \ln (\frac{p + p_{s}}{1 + p_{s}}) - Δ e_{p}$ ,

(7)

其中,e_c0为临界状态线（CSL）在平均正应力等于1 kPa时的孔隙比,Δe_p为在e–lnp空间内平均正应力p所对应的CSL与NCL之间的竖向距离。

当参数 $p_{s} = χ = m = 0$ 时,CSUH模型退化为UH模型。当土体的超固结比为1时,由式（4）可知M_f =M,此时三维UH模型退化为SMP准则修正的MCC模型。

2.2 应力空间转换

为了考虑孔扩张过程中第三应力不变量I₃的影响,通过应力空间变换,将原应力空间的SMP准则在π平面上的曲边三角形转换为转换应力空间中Mises准则的圆,建立如下变换公式^[28]：

${\tilde{σ}}_{i j} = p δ_{i j} + \frac{q_{c}}{q} (σ_{i j} - p δ_{i j})$ ,

(8)

式中, ${\tilde{σ}}_{i j}$ 表示转换应力空间的应力；以 $σ_{i j}$ 表示真实应力空间的应力； $δ_{i j}$ 为克朗内克符号； $q_{c}$ 为土体三轴压缩下的广义剪应力^[28],

$q_{c} = \frac{2 I_{1}}{3 \sqrt{(I_{1} I_{2} - I_{3}) / (I_{1} I_{2} - 9 I_{3})} - 1}$ ,

(9)

其中,I₁,I₂和I₃分别为第一、二和三应力不变量。

3. 弹塑性刚度矩阵[D_ep]

以 $D_{i j k l}^{e}$ 表示弹性刚度张量,由弹性力学知识可知,其矩阵形式可表示为

$[D_{e}] = [\begin{matrix} L + 2 G & L & L \\ L & L + 2 G & L \\ L & L & L + 2 G \end{matrix}]$ ,

(10)

式中, $L = K - 2 G / 3$ ,K和G分别为体积模量和剪切模量, $K = \frac{1 + e_{0}}{κ} (p^{'} + p_{s}), G = \frac{3 (1 - 2 ν)}{2 (1 + ν)} K$ 。

下面开始求解孔周土体单元的弹塑性张量 $D_{i j k l}^{ep}$ 及其矩阵形式 $[D_{ep}]$ 。由胡克定律：

$d {σ^{'}}_{i j} = D_{i j k l}^{e} d ε_{k l}^{e} = D_{i j k l}^{e} (d ε_{k l} - d ε_{k l}^{p})$ 。

(11)

通过转换应力空间实现模型的三维化^[26],在转换应力空间中,对一般状态屈服面 $\tilde{f}$ 微分,可得

$d \tilde{f} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {σ^{'}}_{i j}} d {σ^{'}}_{i j} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \tilde{H}} \frac{\partial \tilde{H}}{\partial ε_{i j}^{p}} d ε_{i j}^{p} = 0$ 。

(12)

流动法则的表达式为

$d ε_{i j}^{p} = d λ \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{i j}}$ ,

(13)

式中, $d λ$ 为塑性算子。将式（11）,（13）代入式（12）中,得到塑性算子的计算式：

$d λ = \frac{\frac{\partial \tilde{f}}{\partial {σ^{'}}_{s t}} D_{s t k l}^{e} d ε_{k l}}{A + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {σ^{'}}_{u v}} D_{u v w z}^{e} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{w z}}}$ ,

(14)

式中,

$A = - \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \tilde{H}} \frac{\partial \tilde{H}}{\partial ε_{k l}^{p}} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{k l}} = - \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \tilde{H}} (\frac{\partial \tilde{H}}{\partial ε_{v}^{p}} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{p}}^{'}} + \frac{\partial \tilde{H}}{\partial ε_{s}^{p}} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{q}}^{'}})$ 。

(15)

由式（2）可知,统一硬化参数中只包含塑性体应变,因此有

$A = - \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \tilde{H}} \frac{\partial \tilde{H}}{\partial ε_{v}^{p}} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{p}}^{'}} = \frac{1}{c_{p}} \frac{{\tilde{M}}_{f}^{4} - {\tilde{η}}^{'}^{4}}{{\tilde{p}}^{'} {({\tilde{M}}_{c}^{2} + {\tilde{η}}^{'}^{2})}^{2}}$ ,

(16)

将式（13）和（14）代入式（11）中,真实应力与应变的关系式为

$d {σ^{'}}_{i j} = D_{i j k l}^{ep} d ε_{k l} = (D_{i j k l}^{e} - \frac{D_{i j m n}^{e} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{m n}} \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {σ^{'}}_{s t}} D_{s t k l}^{e}}{A + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {σ^{'}}_{u v}} D_{u v w z}^{e} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{w z}}}) d ε_{k l}$ 。

(17)

将式（17）中 $D_{i j k l}^{ep}$ 写成矩阵形式还需求出弹塑性张量中的以下两个偏导数：

（1）塑性势函数 $\tilde{g}$ 对转换应力的偏导数计算式为

$\frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{i j}} = \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{p}}^{'}} \frac{\partial {\tilde{p}}^{'}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{i j}} + \frac{\partial \tilde{g}}{\partial \tilde{q}} \frac{\partial \tilde{q}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{i j}}$ 。

(18)

将式（3）代入,可得

$\begin{matrix} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{σ}}^{'}_{i}} = \frac{1}{3 {\tilde{p}}^{'}^{2} ({\tilde{M}}_{c}^{2} + {\tilde{η}}^{'}^{2})} [{\tilde{p}}^{'} ({\tilde{M}}_{c}^{2} - {\tilde{η}}^{'}^{2}) + 9 ({\tilde{σ}}^{'}_{i} - {\tilde{p}}^{'})] \\ (i = r, θ, z) \end{matrix}$ 。

(19)

（2）屈服面函数 $\tilde{f}$ 对真实应力的偏导数计算式为

$\frac{\partial \tilde{f}}{\partial {σ^{'}}_{i j}} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {\tilde{p}}^{'}} \frac{\partial {\tilde{p}}^{'}}{\partial {σ^{'}}_{i j}} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \tilde{q}} \frac{\partial \tilde{q}}{\partial I_{k}} \frac{\partial I_{k}}{\partial {σ^{'}}_{i j}}$ 。

(20)

考虑 $\partial {\tilde{p}}^{'} / \partial {σ^{'}}_{i j} = \partial p^{'} / \partial {σ^{'}}_{i j} = δ_{i j} / 3$ ,并将式（1）,（8）代入式（20）中,可得

$\frac{\partial \tilde{f}}{\partial {σ^{'}}_{i}} = y_{1} + y_{2} [(\frac{2}{3 d - 1} + h) + h ({σ^{'}}_{j} + {σ^{'}}_{k}) - h {σ^{'}}_{j} {σ^{'}}_{k}]$ ,

(21a)

式中, $i \neq j \neq k, i, j, k 分别取 r, θ, z$ ,各变量为

(21b)

将式（19）,（21a）,（21b）代入式（17）中得到孔周土体的弹塑性刚度矩阵：

$[D_{ep}] = [\begin{matrix} L + 2 G - \frac{α_{r} β_{r}}{N} & L - \frac{α_{r} β_{θ}}{N} & L - \frac{α_{r} β_{z}}{N} \\ L - \frac{α_{θ} β_{r}}{N} & L + 2 G - \frac{α_{θ} β_{θ}}{N} & L - \frac{α_{θ} β_{z}}{N} \\ L - \frac{α_{z} β_{r}}{N} & L - \frac{α_{z} β_{θ}}{N} & L + 2 G - \frac{α_{z} β_{z}}{N} \end{matrix}],$

(22a)

式中,

$\begin{array}{l} α_{i} = \frac{1}{{\tilde{p}}^{'}^{2} ({\tilde{M}}_{c}^{2} + {\tilde{η}}^{'}^{2})} [(L + \frac{2}{3} G) {\tilde{p}}^{'} ({\tilde{M}}_{c}^{2} - {\tilde{η}}^{'}^{2}) + 6 G ({\tilde{σ}}^{'}_{i} - {\tilde{p}}^{'})], \\ β_{i} = h y_{2} L (2 I_{1} - I_{2}) + 2 h y_{2} G ({σ^{'}}_{j} + {σ^{'}}_{k} - {σ^{'}}_{i} {σ^{'}}_{k}) + \\ (3 L + 2 G) [y_{1} + y_{2} (\frac{2}{3 d - 1} + h)], \\ N = A + \frac{1}{3 {\tilde{p}}^{'}^{2} ({\tilde{M}}_{c}^{2} + {\tilde{η}}^{'}^{2})} [{\tilde{p}}^{'} ({\tilde{M}}_{c}^{2} - {\tilde{η}}^{'}^{2}) β_{i i} + 9 ({\tilde{σ}}^{'}_{i} β_{i} - {\tilde{p}}^{'} β_{i i})], \end{array}}$

(22b)

式中, $i \neq j \neq k, i, j, k 分别取 r, θ, z$ 。式（22a）,（22b）矩阵即为CSUH弹塑性刚度矩阵,参数 $p_{s} = χ = m = 0$ 时,矩阵即可退化为UH模型弹塑性刚度矩阵。在此需注意的是：CSUH模型采用了非相关联的流动法则,因此弹塑性矩阵不对称。UH模型中虽然 $g = f$ ,但变换应力法采用了与耗散应力空间类似的非关联流动法则^[29],因此弹塑性矩阵也不对称。

4. 控制方程

4.1 应变分析

扩孔假定为平面应变（ $d ε_{z}$ =0）,在任意半径r₀处,土体扩孔体积的平衡条件为

$δ V = π a^{2} h - π a_{0}^{2} h = π r^{2} h - π r_{0}^{2} h$ ,

(23)

式中,a为扩孔半径,a₀为未扩孔前初始孔半径,r为r₀处土体发生径向的位移 $ϖ$ 后所在点的半径（r₀=r- $ϖ$ ）,h为土柱的任意高度。在塑性区内,径向和切向大应变表示为^[14]：

$ε_{r} = - \ln (\frac{\partial r}{\partial r_{0}})$ ,

(24)

$ε_{θ} = - \ln (\frac{r}{r_{0}})$ 。

(25)

将式（23）代入式（25）并令 $ζ$ =r/a,m=1-(a₀/a)²可得

$ε_{θ} = \frac{1}{2} \ln (\frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}) = \frac{1}{2} \ln (1 - \frac{a^{2} - a_{0}^{2}}{r^{2}}) = \frac{1}{2} \ln (1 - \frac{m}{ζ^{2}})$ ,

(26)

对式（24）,（25）变换：

$e^{ε_{θ}} = \frac{r_{0}}{r} = 1 - \frac{ϖ}{r}$ ,

(27)

$e^{- ε_{r}} = \frac{\partial r}{\partial r_{0}} = \frac{\partial (r_{0} + ϖ)}{\partial r_{0}} = 1 + \frac{\partial ϖ}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial r_{0}} = 1 + \frac{\partial ϖ}{\partial r} e^{- ε_{r}}$ 。

(28)

将式（27）代入（28）,得到孔周环向和径向应变之间的关系：

$ε_{r} = ε_{θ} + \ln (r \frac{d ε_{θ}}{d r} + 1)$ ,

(29)

将式（26）代入式（29）可得径向应变：

$ε_{r} = - \frac{1}{2} \ln (1 - \frac{m}{ζ^{2}})$ 。

(30)

4.2 控制方程

结合式（22）,应力应变关系表示为

$[\begin{matrix} d {σ^{'}}_{r} \\ d {σ^{'}}_{θ} \\ d {σ^{'}}_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L + 2 G - \frac{α_{r} β_{r}}{N} & L - \frac{α_{r} β_{θ}}{N} & L - \frac{α_{r} β_{z}}{N} \\ L - \frac{α_{θ} β_{r}}{N} & L + 2 G - \frac{α_{θ} β_{θ}}{N} & L - \frac{α_{θ} β_{z}}{N} \\ L - \frac{α_{z} β_{r}}{N} & L - \frac{α_{z} β_{θ}}{N} & L + 2 G - \frac{α_{z} β_{z}}{N} \end{matrix}] [\begin{matrix} d ε_{r} \\ d ε_{θ} \\ d ε_{z} \end{matrix}] 。$

(31)

将式（26）,（30）代入矩阵式（31）,得到塑性区内土体单元应力分量的微分方程组：

$\begin{array}{l} \frac{d {σ^{'}}_{r}}{d ζ} = (2 G - \frac{α_{r} β_{r}}{N} + \frac{α_{r} β_{θ}}{N}) \cdot \frac{m}{ζ^{3} - m ζ}, \\ \frac{d {σ^{'}}_{θ}}{d ζ} = (- 2 G - \frac{α_{θ} β_{r}}{N} + \frac{α_{θ} β_{θ}}{N}) \cdot \frac{m}{ζ^{3} - m ζ}, \\ \frac{d {σ^{'}}_{z}}{d ζ} = (- \frac{α_{z} β_{r}}{N} + \frac{α_{z} β_{θ}}{N}) \cdot \frac{m}{ζ^{3} - m ζ} 。 \end{array}}$

(32)

式（32）即为不排水柱孔扩张控制方程,由于孔周只有塑性区,因此方程在孔周任意点均成立。

4.3 边界条件

由于塑性区在无限远处,因此控制方程组的应力初始条件为

${σ^{'}}_{r} (r_{0}) = {σ^{'}}_{r 0}, {σ^{'}}_{θ} (r_{0}) = {σ^{'}}_{θ 0}, {σ^{'}}_{z} (r_{0}) = {σ^{'}}_{z 0}$ 。

(33)

由式（32）知,孔周土体的初始应力可以不相同,因此该计算方法适用初始应力各项异性的情况。由式（23）,位移初始条件为

$\frac{r_{0}}{a} = \sqrt{{(\frac{r}{a})}^{2} + {(\frac{a_{0}}{a})}^{2} - 1}$ 。

(34)

4.4 超孔隙水压力计算

在柱孔扩张的任何阶段,根据力学平衡原理,孔壁土体的任意一点,单元体满足平衡方程：

$\frac{\partial σ_{r}}{\partial r} + \frac{σ_{r} - σ_{θ}}{r} = 0$ ,

(35)

式中, $σ_{r}$ 和 $σ_{θ}$ 分别为土单元的径向、切向总应力。若采用有效应力形式,上式可表示为

$\frac{\partial {σ^{'}}_{r}}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{{σ^{'}}_{r} - {σ^{'}}_{θ}}{r} = 0$ ,

(36)

其中,u为孔隙水压力。

对式（36）积分,可得

$Δ u (r) = u (r) - u_{0} = {σ^{'}}_{r 0} - {σ^{'}}_{r} (r) + \int_{r_{0}}^{r} \frac{{σ^{'}}_{r} - {σ^{'}}_{θ}}{r} d r$ ,

(37)

式中,r₀为土体单元初始应力状态时所在位置。

5. 控制方程中σ_ij,υ,ξ与潜在强度M_f和特征状态比M_c的关系

由式（6）知,孔扩张过程中应力状态的变化会引起密实状态参数 $ξ$ 改变,进而M_f,M_c发生变化。控制方程中包含M_f,M_c,所以M_f,M_c的改变又对计算所得孔周应力分量产生影响。同时,新的应力场和应变场又影响了 $ξ$ 的大小。因此,三者之间形成了一种动态循环的关系,相互影响、相互制约,如图2所示。控制方程的求解还需确定M_f和M_c的解析式。

图 2 CSUH控制方程内变量计算演化

Figure 2. Evolution of internal variables in CSUH governing equation

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由式（14）,等p剪切时的塑性体变：

$ε_{v}^{p} = d λ \frac{\partial \tilde{g}}{\partial {\tilde{p}}^{'}} = c_{p} \ln \frac{(\frac{M^{2} + {\tilde{η}}^{'}^{2}}{M^{2} - χ {\tilde{η}}^{'}^{2}}) {\tilde{p}}^{'} + p_{s}}{{\tilde{p}}^{'} + p_{s}}$ 。

(38)

将式（38）代入式（6）,土密实状态参量表示为

$\begin{matrix} ξ = e_{c0} - λ \ln (\frac{p + p_{s}}{1 + p_{s}}) - (1 + e_{0}) ε_{v}^{p} - e_{0} \\ = e_{c0} - e_{0} + λ \ln (1 + p_{s}) - κ \ln ({\tilde{p}}^{'} + p_{s}) - \\ (λ - κ) \ln [(\frac{M^{2} + {\tilde{η}}^{'}^{2}}{M^{2} - χ {\tilde{η}}^{'}^{2}}) {\tilde{p}}^{'} + p_{s}] \end{matrix}$ 。

(39)

将式（39）代入式（4）中,控制方程的潜在强度M_f和特征状态比M_c计算式为

(40)

控制方程（32）计算步骤：通过式（40）由初始应力状态和孔隙比算得M_f,M_c,从而计算出第一步应力分量和比体积。之后M_f,M_c依式（40）更新,再去计算下一步应力分量和比体积,如此循环计算下去。其中控制方程的计算可通过Mathematica软件编写Runge-Kutta法实现。至此,基于CSUH模型的圆孔扩张解答方法已完整得出。

6. 算例分析与讨论

6.1 极限扩张压力

在实际工程中,极限扩张压力的确定是一个重要问题。孔径比a/a₀对孔周的应力分布会有很大的影响。径向应力 ${σ^{'}}_{r}$ 分布与扩孔比的关系如图3,4所示。由图3,4可知,砂土中的扩张压力随初始孔隙比的减小而增大,黏土中扩张压力随超固结度的增大而增大。当1≤a/a₀≤2时,随着孔径比的增加, ${σ^{'}}_{r}$ 随迅速增大,随后增加减缓逐渐趋于定值,说明孔壁处土体逐步进入临界状态。当孔径比达到2之后径向压力变化很小,因此下列计算中将扩孔比取a/a₀=2。此外,从图3,4看出密砂中的扩张压力远大于强超固结土,这说明不排水条件下密砂更加难以破坏。

图 3 不同孔隙比下扩张压力与扩孔半径的关系

Figure 3. Variation of internal cavity pressure with cavity radius with different void ratio

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图 4 不同超固结比下扩张压力与扩孔半径的关系

Figure 4. Variation of internal cavity pressure with cavity radius with different OCR

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6.2 砂土柱孔扩张

本节选取参照文献[30,31]中Toyoura砂进行实例计算,砂土材料参数p_s,χ,m在文献[25]中已给出, $λ$ =0.135,κ=0.04,e_c0/p_s=0.934/2200 kPa,χ=0.4,m=1.8其余参数见表1。

表 1 Toyoura砂参数

Table 1. Parameters for Toyoura sand

M	N	${σ^{'}}_{r 0}$ /kPa	${σ^{'}}_{θ 0}$ /kPa	${σ^{'}}_{z 0}$ /kPa	K₀	e₀
1.25	1.973	1000	1000	1000	1	0.933
1.25	1.973	1000	1000	1000	1	0.856
1.25	1.973	850	850	1250	0.68	0.735

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图5,6分别表示在不排水柱孔扩张过程中不同密度砂土的有效应力分量、有效应力路径ESP和屈服面的变化规律。图中点A表示土体的初始应力状态,点B表示临界破坏状态,IYS表示初始屈服面,FYS表示最终屈服面。

图 5 有效应力和超孔压

Figure 5. Effective stresses and excess pore pressures

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图 6 屈服面和有效应力路径

Figure 6. Yield surfaces and effective stress paths

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由图5可知,计算结果中均无弹性区。对于e₀=0.933的松砂,柱孔扩张过程中孔壁各应力分量不断减小,达到临界状态时土体各应力分量接近于零。该过程中屈服面收缩,ESP在p′–q平面上一直向左移动,最后从CSL上方到达原点,砂土液化。对于e₀=0.856的砂土,扩孔过程中应力路径从p′轴开始先向左移,应力比逐渐增大,随后达到特征状态（η=M_c）。此时孔壁砂土由塑性剪缩转换为塑性剪胀,随后应力路径右移并与CSL相交,最终土体达到临界破坏状态（η=M）。对于e₀=0.735的密砂,应力路径的变化与e₀=0.856的砂土类似,但特征应力比更小（M_c（0.735）<M_c（0.856）<M）且临界状态时p′和q更大。

图7表示有效应力在e–p′空间中的变化,由图可知,松砂和中密砂的应力路径从右侧接近CSL线,密砂从左侧接近。由土力学知识,在p′–q平面上当前孔隙比和当前应力状态相同的土体在不排水剪切加载过程中的有效应力路径相同。本文计算结果与Toyoura砂三轴不排水实测值^[30-31]的比较如图8所示。从图8中看出,计算结果与实测值吻合的很好,从而验证了本文理论的正确性。

图 7 有效应力路径在e–p平面上的投影

Figure 7. Projection of effective stress paths in e-p plane

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图 8 Toyoura砂不排水加载试验结果^[30]与计算值

Figure 8. Comparison between test results of Reference [30] and model predictions on Toyoura sand under undrained condition

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6.3 黏土不排水柱孔扩张

本节将黏土中柱孔扩张解答与Chen等^[13]的经典解答对比,黏土材料参数p_s,χ和m均为零,此时本构模型退化为UH模型,其余各参数见表2。

表 2 不同种类黏土参数

Table 2. Parameters for different types of clay

OCR	${σ^{'}}_{r 0}$ /kPa	${σ^{'}}_{θ 0}$ /kPa	${σ^{'}}_{z 0}$ /kPa	K₀	V₀	c_u/kPa
1.0	100	100	160	0.625	2.09	54.3
1.2	100	100	160	0.625	2.06	62.8
3.0	120	120	120	1.000	1.97	115.0
10.0	144	144	72	2.000	1.80	360.2

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图9,10分别表示4种超固结土柱孔扩张时基于UH和MCC两模型计算的有效应力分量和超孔隙水压力∆u的分布规律。

图 9 有效应力分量

Figure 9. Distribution of effective stresses around cavity

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图 10 超孔隙水压力

Figure 10. Excess pore pressures

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从图9可以看出,各有效应力分量的整体变化趋势与基于MCC模型的解答一致。当OCR=1时,本文解与基于SMP-MCC模型的解答相同,从而验证了计算结果的正确性。当OCR>1时,基于MCC模型的解答中孔壁土体先产生弹性变形,但纯弹性变形会低估初始阶段土体的塑性应变,且高估径向和切向应力的变化,造成超固结比较大时与本文解相差较大。OCR为1,1.2和3的土体初始应力罗德角为0°（ $σ_{r} =$ $σ_{θ} < σ_{z}$ ）,当柱孔扩张到临界状态时,孔壁各应力分量与不排水强度的比值均分别收敛于 ${σ^{'}}_{r} / c_{u}^{}$ =2.24、 ${σ^{'}}_{θ} / c_{u}^{}$ =0.64和 ${σ^{'}}_{z} / c_{u}^{}$ =1.44。而MCC解分别收敛于2.44,0.44和1.44。可以看出,二者在竖直方向主应力相同,但径向应力高于本文计算值,而切向应力低于本文计算值。这说明MCC解计算结果高估了柱孔扩张过程中土体的强度,使切向有效应力偏小,而使径向有效应力偏大。OCR=10的土体初始应力罗德角为60°（ $σ_{r} = σ_{θ} > σ_{z}$ ）,扩孔至临界状态时,径向应力与MCC解相同,但切向和竖直方向应力均高于MCC解。

本文UH解中综合考虑了土体的三维强度、潜在强度和超固结比衰化等特性,计算得出的超孔隙水压力变化比MCC解答小,如图10所示。当超固结比较大时,两种方法计算的结果差异很大,如OCR=10的土体中,孔周一定范围内超孔隙水压力为负压,而在MCC解中为正压。

图11给出了有效应力路径和p′–q平面上的屈服面的演化规律。由图11可知,在扩孔过程中,正常固结土的应力比 $η$ 不断增加,初始屈服面始终扩大直至最终屈服面,而超固结土的应力比先 $η < \tilde{M}$ 后 $η > \tilde{M}$ ,土体由塑性剪缩转换为塑性剪胀,当 $η = \tilde{M}$ 时土体处于特征状态。临界破坏时,OCR=1,1.2,3的土体应力路径到达CSL的点恰好位于MCC解的正下方。

图 11 屈服面和有效应力路径

Figure 11. Yield surfaces and effective stress paths

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6.4 密实状态和潜在强度的变化

图12给出超固结参数的倒数（1/R）与半径比的关系。当CSUH模型用于黏土时,1/R表示黏土的超固结比OCR,当用于砂土时,可以用来表式松砂或密砂的密实状态。从图12中可以看出,在柱孔扩张过程中,松砂的密实状态增强,而密砂的密实状态衰减,应力状态均逐渐向正常压缩砂土接近。最终,土体达到临界状态,此时1/R=1。

图 12 密实状态的变化

Figure 12. Evolution of 1/R

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潜在强度M_f表征土体抵抗剪切应变的能力,扩孔过程中潜在强度与剪切应变的关系曲线如图13。由于该过程中土体应力状态逐渐向正常固结土接近,因此密砂和超固结土的初始潜在强度较大,表明土体的抵抗破坏能力较强,但随着剪切应变的增加,超固结参数降低,抵抗破坏的能力在不断衰减,直至土体达到临界破坏状态,M_f =M。

图 13 潜在强度的变化

Figure 13. Evolution of M_f

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通过以上砂土和黏土的实际算例,本文分析了孔周应力场和孔隙水压的变化规律。可以看出,基于MCC的解答适用于正常固结土,但在密砂或者超固结土中圆孔扩张分析时,土体的三维强度、剪胀、潜在强度及其衰减等特性对有效应力和超孔隙水压力有很大影响,基于MCC模型的解答无法合理描述这些重要特性,造成计算结果存在较大误差。因此,为了较好预测密实砂土和超固结黏土中孔扩张引起的应力场,需采用本文的方法计算。

7. 结论

为了合理描述密砂和超固结土的剪胀、特征状态、密实状态和潜在强度衰减和三维强度等特性,本文基于CSUH本构模型推导了孔周土体的弹塑性矩阵和应力场控制方程组,解答可以合理模拟柱孔扩张中孔周砂土和黏土的应力场,得到主要5点结论。

（1）在不排水扩孔过程中,密实度小的砂土孔周各应力分量逐渐减小到零,呈液化现象。密实度越大,特征状态应力比越小,孔壁砂土越容易剪胀。

（2）柱孔扩张过程中孔周围只有塑性区,而基于MCC的解答中超固结土弹性区的假设高估了初始阶段应力分量的变化。

（3）柱孔扩张过程中罗德角在不断改变,因此需采用应力空间变换的方法来合理考虑孔周土体的三维强度效应,否则将高估临界状态时孔壁土体的径向应力和偏应力。

（4）密实状态和潜在强度的衰化反映了扩孔过程中超固结土体向正常固结土的变化过程。计算孔周的应力场和应变场时,须考虑密实状态和潜在强度的衰化特性,否则难以合理反映土体软化,导致较大误差。

（5）土体三维强度、潜在强度和超固结比衰化等共同影响超孔隙水压力的变化规律。

图 1 基坑平面及测点布置

Figure 1. Plan view of excavation and layout of instrumentation

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图 2 有限元模型网格图

Figure 2. Finite element mesh of model

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图 3 基坑内外水位变化实测值与计算值对比

Figure 3. Comparison between computed and measured water level drawdowns

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图 4 抽水结束后基坑北侧地连墙侧移实测与计算值对比

Figure 4. Comparison between computed and measured wall deformations at north side of foundation pit after pumping

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图 5 孔压特征点示意图

Figure 5. Layout of monitoring points for pore water pressure during numerical simulation

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图 6 坑内外水力连通下围挡两侧孔压差值随抽水时间变化

Figure 6. Time-history curves of ΔP of foundation pit hydraulically connected with outside

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图 7 坑内外水力连通下围挡不同深度侧移随抽水时间变化

Figure 7. Time-history curves of wall deformations at different depths of foundation pit hydraulically connected with outside

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图 8 坑内外无水力连通下围挡两侧孔压差值随抽水时间变化

Figure 8. Time-history curves of ΔP without hydraulic connection between inside and outside of foundation pit

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图 9 坑内外无水力连通下围挡不同深度侧移随抽水时间变化

Figure 9. Time-history curves of wall deformations at different depths without hydraulic connection between inside and outside of foundation pit

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表 1 土层分布及其物理力学参数

Table 1 Soil distribution and its physical and mechanical parameters

土层	土性	H/m	γ/(kN·m^-3)	K₀	w/%	e	E_s/MPa	c'/kPa	φ'/(°)	K_h/(m·d^-1)	K_v/(m·d^-1)	E/MPa	V_s/(m·s^-1)
Aq0	粉黏	10	19.1	0.58	30.4	0.85	7.4	17	25	0.03	0.003	43.5	152
AdІ	粉黏	15	19.3	0.61	28.7	0.81	6.8	18	23	0.025	0.001	56.3	172
AqІ	粉土	19	20.2	0.44	21.7	0.62	17.4	10	34	0.2	0.1	137.6	266
AdІІ	粉黏	22	19.9	0.56	25.1	0.71	8	19	26	0.006	0.001	118.6	246
AqІІ	粉土	24.5	20.4	0.44	22.3	0.55	14.6	8	34	2.5	0.5	151.8	278
	粉土	29.5	20.6	0.41	20.9	0.58	15.9	8	36	1	0.2	153.3	278
	粉黏	32.5	20.3	0.56	23.6	0.66	8.6	17	26	1	0.16	128	253
	粉砂	35.5	20.6	0.40	16.3	0.52	18.9	7	37	3	0.6	178.5	300
AdⅢ	粉黏	37	20.5	0.56	20.7	0.6	9.5	19	26	0.02	0.004	152.1	274.5
AqⅢ	粉土	41	20.7	0.44	18.2	0.54	19.9	10	34	3	0.9	214.5	328
AdⅣ	粉黏	47	20.3	0.55	22.1	0.64	10.3	18	27	0.0005	0.0001	198.4	315
AqⅣ	粉砂	50	20.6	0.38	17.5	0.53	25.3	7	38	3.5	1.5	257	360
注：H为层底埋深；γ为土的天然重度；K₀为静止土压力系数；w为含水率；e为初始孔隙比；E_s为压缩模量；c'为黏聚力；φ'为内摩擦角；K_h为水平渗透系数；K_v为竖向渗透系数；E为弹性模量；V_s为剪切波速。

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参考文献(4)

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[2]	江杰, 杨杉楠, 胡盛斌, 等. 预降水过程中止水帷幕缺陷对基坑变形的影响[J]. 广西大学学报(自然科学版), 2020, 45(5): 996-1005. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GXKZ202005004.htm JIANG Jie, YANG Shan-nan, HU Sheng-bin, et al. Influence of waterproof curtain defect on foundation pit deformation in pre-dewatering process[J]. Journal of Guangxi University (Natural Science Edition), 2020, 45(5): 996-1005. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GXKZ202005004.htm
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施引文献(11)

期刊类型引用(6)

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2.	邱尚印，吴君涛，耿少寒，王奎华，黄山，干钢. 带扩大桩靴桩侧同步灌浆预制桩承载力计算分析. 土木工程学报. 2025(05): 79-91 . 百度学术
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6.	张浩，赵宇，王中，刘维正. 芯桩承载扩体预制桩的荷载传递计算分析. 岩土工程学报. 2024(12): 2503-2512 . 本站查看

其他类型引用(5)

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图(9) / 表(1)

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0. 引言
1. 柱孔扩张计算模型
2. CSUH本构模型
2.1 屈服面和塑性势函数
2.2 应力空间转换
3. 弹塑性刚度矩阵[Dep]
4. 控制方程
4.1 应变分析
4.2 控制方程
4.3 边界条件
4.4 超孔隙水压力计算
5. 控制方程中σij,υ,ξ与潜在强度Mf和特征状态比Mc的关系
6. 算例分析与讨论
6.1 极限扩张压力
6.2 砂土柱孔扩张
6.3 黏土不排水柱孔扩张
6.4 密实状态和潜在强度的变化
7. 结论

0. 引言
1. 柱孔扩张计算模型
2. CSUH本构模型
2.1 屈服面和塑性势函数
2.2 应力空间转换
3. 弹塑性刚度矩阵[D_ep]
4. 控制方程
4.1 应变分析
4.2 控制方程
4.3 边界条件
4.4 超孔隙水压力计算
5. 控制方程中σ_ij,υ,ξ与潜在强度M_f和特征状态比M_c的关系
6. 算例分析与讨论
6.1 极限扩张压力
6.2 砂土柱孔扩张
6.3 黏土不排水柱孔扩张
6.4 密实状态和潜在强度的变化
7. 结论

参考文献(4)

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复杂越流含水层基坑抽水引发围挡变形发展规律 English Version

作者简介: 王硕(1997— ),男,硕士研究生,主要从事基坑地下水控制和地下水回灌控沉技术等方面的学习与研究。E-mail: 19020201028@mail.hnust.edu.cn

通讯作者: 曾超峰, E-mail: cfzeng@hnust.edu.cn

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出版历程

Development of deformation of enclosure wall during dewatering in a leaky aquifer

0. 引言

1. 柱孔扩张计算模型

2. CSUH本构模型

2.1 屈服面和塑性势函数

2.2 应力空间转换

3. 弹塑性刚度矩阵[Dep]

4. 控制方程

4.1 应变分析

4.2 控制方程

4.3 边界条件

4.4 超孔隙水压力计算

5. 控制方程中σij,υ,ξ与潜在强度Mf和特征状态比Mc的关系

6. 算例分析与讨论

6.1 极限扩张压力

6.2 砂土柱孔扩张

6.3 黏土不排水柱孔扩张

6.4 密实状态和潜在强度的变化

7. 结论

期刊类型引用(6)

其他类型引用(5)

计量

出版历程

目录

0. 引言

1. 柱孔扩张计算模型

2. CSUH本构模型

2.1 屈服面和塑性势函数

2.2 应力空间转换

3. 弹塑性刚度矩阵[Dep]

4. 控制方程

4.1 应变分析

4.2 控制方程

4.3 边界条件

4.4 超孔隙水压力计算

5. 控制方程中σij,υ,ξ与潜在强度Mf和特征状态比Mc的关系

6. 算例分析与讨论

6.1 极限扩张压力

6.2 砂土柱孔扩张

6.3 黏土不排水柱孔扩张

6.4 密实状态和潜在强度的变化

7. 结论

作者简介:
王硕(1997— ),男,硕士研究生,主要从事基坑地下水控制和地下水回灌控沉技术等方面的学习与研究。E-mail: 19020201028@mail.hnust.edu.cn

通讯作者:
曾超峰, E-mail: cfzeng@hnust.edu.cn

3. 弹塑性刚度矩阵[D_ep]

5. 控制方程中σ_ij,υ,ξ与潜在强度M_f和特征状态比M_c的关系

3. 弹塑性刚度矩阵[D_ep]

5. 控制方程中σ_ij,υ,ξ与潜在强度M_f和特征状态比M_c的关系