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竖向受荷横截面异形桩弹塑性变分解

李籼橙, 周航, 亓戈平

李籼橙, 周航, 亓戈平. 竖向受荷横截面异形桩弹塑性变分解[J]. 岩土工程学报, 2023, 45(1): 122-133. DOI: 10.11779/CJGE20211472
引用本文: 李籼橙, 周航, 亓戈平. 竖向受荷横截面异形桩弹塑性变分解[J]. 岩土工程学报, 2023, 45(1): 122-133. DOI: 10.11779/CJGE20211472
LI Xiancheng, ZHOU Hang, QI Geping. Elasto-plastic variational solution for vertically loaded noncylindrical piles[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2023, 45(1): 122-133. DOI: 10.11779/CJGE20211472
Citation: LI Xiancheng, ZHOU Hang, QI Geping. Elasto-plastic variational solution for vertically loaded noncylindrical piles[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2023, 45(1): 122-133. DOI: 10.11779/CJGE20211472

竖向受荷横截面异形桩弹塑性变分解  English Version

基金项目: 

国家自然科学基金面上项目 51978105

详细信息
    作者简介:

    李籼橙(1998—),男,硕士研究生,主要从事桩-土相互作用方面的理论研究。E-mail: cqulxc1113@163.com

    通讯作者:

    周航, E-mail: zh4412517@163.com

  • 中图分类号: TU473

Elasto-plastic variational solution for vertically loaded noncylindrical piles

  • 摘要: 现有计算理论无法严格考虑弹塑性土中竖向受荷横截面异形桩的异形效应。针对该问题,基于虚功原理推导出桩-弹塑性土模型的控制方程,采用保角变换技术克服了复杂边界条件控制方程求解问题,结合双曲形D-P本构模型的本构积分算法获得弹塑性土中竖向受荷横截面异形桩的半解析算法,建立了能够考虑横截面异形效应的竖向受荷横截面异形桩荷载传递理论模型。将理论模型的预测结果与有限元计算结果对比,验证了理论模型的可靠性和计算的高效性。最后,通过参数分析探讨了横截面异形效应对荷载沉降曲线的影响,结果表明:在正常工作荷载下,横截面异形效应对桩顶沉降影响不大;横截面异形效应主要对桩的极限承载力大小产生影响。
    Abstract: The existing analytical or semi-analytical methods cannot rigorously capture the geometrical effects of noncylindrical piles in elasto-plastic soils. To solve this issue, based on the principle of virtual work, the governing equations for the pile-soil system are derived. Solving the governing equation with a complex boundary is overcome by the conformal mapping technique. A semi-analytical algorithm for the vertically loaded noncylindrical piles in elasto-plastic soils is developed by combing the use of integral algorithm for the hyperbolic D-P constitutive model. A general theoretical model for the load transfer of the vertically loaded noncylindrical piles considering the geometrical effects is proposed. The reliability and efficiency of the proposed semi-analytical method is validated by comparing the predicted results with those of FEM. Finally, detailed parametric studies are conducted to investigate the geometrical effects on the influences of load-settlement curve. It is found that the non-circular cross-section has insignificant influences on the settlement of the pile head under working loads, which principally affects the magnitude of the ultimate bearing capacity of the pile.
  • 横截面异形桩(以下简称异形桩)是旨在不增加混凝土用量的条件下,通过改变传统圆桩的横截面形状,将更多的上部结构荷载通过桩侧传递到桩周土中而发展的一种优质桩,如现浇X形钢筋混凝土桩(以下简称XCC桩)。相对于传统圆桩,异形桩的横截面通常表现为复杂的形状,这使得桩-土接触面上的力学特性变的更加复杂,同时也使得竖向受荷异形桩-土相互作用的严格分析成为一个三维(3D)问题[1]。另外,相对于等横截面面积的圆桩,桩的横截面形状变化将引起桩位移、承载力及桩附近土体响应等的变化,即横截面“异形效应”。桩-土3D相互作用及异形效应问题,增加了异形桩基础研究的复杂性和挑战性。

    在过去几十年中,针对竖向受荷桩-土相互作用问题已经开展了大量的研究,提出的方法主要包括荷载传递法[2]、基于Mindlin解[3]的弹性理论法[4-6]、变分法[7-15]以及有限元(FE)法[16-17]。荷载传递法通过t-z曲线表示荷载传递机理,使竖向受荷圆桩-土相互作用这样一个轴对称模型简化为了一维模型,具有计算效率高的优势,且能够考虑土体的非线性等问题,该方法仍是目前研究圆桩-土相互作用的主流方法,但不适用于异形桩-土3D相互作用问题。基于Mindlin解的弹性理论法可预测桩基础正常工作荷载下的沉降,但该方法对土体的假设过于理想化,与土体的弹塑性特性差异较大。此外,即便是均质、弹性土中的竖向受荷异形桩,应用该方法也十分复杂。目前,在桩-土相互作用研究中发展了两种变分法。第一种是由Shen等[9]提出的变分法,假设土体为均质弹性体,在确定桩侧与桩端上的应力时需用到Mindlin解。雷国辉等[14]将Shen等[9]提出的变分法将圆桩群桩拓展到了壁板桩群桩的理论分析中。由于Shen等[9]所提出的变分法依赖于Mindlin解得到桩表面上的应力,因此该理论不适用于弹塑性土中桩基础的理论分析。第二种是由Vallbhan等[7]提出的变分法,该理论对土体的位移场进行了简化假设,然后再基于最小势能原理导出桩-土体系的控制方程。Lee等[10]和Seo等[11]将Vallbhan等[7]提出的方法拓展到了多层弹性土中。Basu等[12]和Tehrani等[13]基于第二种变分法分别研究了成层弹性土中矩形桩单桩和矩形桩群桩的弹性变分解,并考察了矩形桩与等横截面面积圆桩位移的差异。周航等[15]基于第二种变分法考察了均质、弹性土中XCC桩的异形效应。以上两种变分法的优点在于能够考虑桩-土3D相互作用、计算效率高、且计算前仅需输入桩的几何参数及其与土体的物理参数。有限元法,能够考虑桩-土3D相互作用、复杂的边界条件及土体的弹塑性问题等,被认为是一种严格的分析方法。但在3D问题中,FE模型的建立和计算均需大量时间成本,且不同的工况需要建立不同的3D计算模型,这些问题使得FE法在桩基础的设计中并不常用[18]

    在上面的分析方法中,虽然已有将弹性理论法和变分法用于研究桩-土3D相互作用[6, 12, 14],部分研究也考察了桩的横截面异形效应[1, 5, 13, 15],但由于这些研究均假设土体为线弹性材料,从而使得它们在应用中受到了极大的限制。目前,针对弹塑性土中的竖向受荷异形桩问题,除有限元法外,尚未提出一种较为严格的理论模型。

    近几年,Han等[19]和Gupta等[20]通过对土体位移场进行假设,最先将变分原理(虚功原理)用于弹塑性土及非线性弹性土中圆桩的水平受荷桩问题,该问题属于桩-土3D相互作用问题,研究结果表明:该方法计算效率明显高于FE法,且计算精度与FE法相当。同时,这些研究也表明了变分原理在3D桩-弹塑性或非线性弹性土相互作用分析的优越性。

    综上,为了提高桩-土相互作用分析的效率,更严格地考虑弹塑性土中竖向受荷异形桩-土相互作用及横截面的异形效应,采用变分原理是目前最有效的一种方法。为此,本文基于虚功原理研究弹塑性土中竖向受荷异形桩的变分解。

    Drucker- Prager(以下简称D-P)破坏准则由于形式简单,参数少,且物理意义明确,因而在岩土工程中得到了广泛的应用[21],应指出该模型主要适用于砂土。如图 1所示,可以发现在子午面上D-P模型屈服面的存在一个尖点。为了消除D-P屈服面上尖点带来的奇异性,可按照Abbo等[22]的建议,采用图 1中所示的双曲近似来代替原D-P屈服面。对原D-P屈服面采用双曲近似后的双曲形D-P模型的屈服函数f可表示为[19]

    f=13b2tan2β+3q2ptanβκ=0 (1)
    图  1  子午面上原D-P与双曲形D-P屈服面
    Figure  1.  Original D-P and hyperbolic D-P yield surfaces in meridional plane

    式中:p为示静水压力(p =I1/3),其中I1为应力张量σij的第一不变量;q为等效剪应力(q =3J2),其中J2为偏应力张量σij的第二不变量;b为线性和双曲形D-P屈服面尖点的距离(b0.25c\cot \varphi );βκ分别为D-P模型的摩擦角和黏聚力,其值与土体的内摩擦角和黏聚力φ有关:

    \tan \beta = \frac{{6\sin \varphi }}{{3 - \sin \varphi }} \text{,} (2)
    \kappa = \frac{{6c\cos \varphi }}{{\sqrt 3 (3 - \sin \varphi )}} 。 (3)

    双曲形D-P模型非关联流动的塑性势函数g表示为

    g = \frac{1}{3}\sqrt {{b^2}{{\tan }^2}\psi + 3{q^2}} - p\tan \psi = 0\text{,} (4)

    式中,ψ为D-P模型的剪胀角。如果ψ=β,此时g=f,则非关联流动的D-P模型退化为相关联的模型。

    在半无限非均质、理想弹塑性土中,一竖向受荷横截面异形桩的力学模型如图 2所示。由于研究对象几何及力学行为的非轴对称性,本文将桩-土体系建立在笛卡尔直角坐标系(o-xyz)下进行分析,其中坐标原点o与桩顶的形心重合,x轴和y轴的位置可以根据实际问题的对称性确定,z轴与桩轴线重合且方向向下。在静力荷载作用下,假设桩为弹性材料,其弹性模量、桩深和横截面面积分别为Ep, LpAp。由于假设了土体的非均质性,因此在初始应力状态下,其剪切模量Gs及Lamé常数λs均为随空间坐标变化的函数。另外,关于该力学模型的其它基本假设包括:①桩顶与地表齐平,地表为自由面,不考虑其它外部作用的影响。②打桩等施工作用对土体的影响不在本文的研究范围内,因此不考虑施工效应。③由于桩的刚度远大于土体刚度,其受压缩引起的侧向变形很小。因此,忽略桩的侧向变形。④由于考虑土体水平位移场对竖向受荷桩桩-土相互作用影响较小,同时考虑到计算效率,本文忽略土体水平位移场。⑤桩端下与实桩等横截面面积的非圆柱体视为虚土桩。⑥假设桩与土的接触面连续,即在桩-土接触面上桩与土的位移相等。这里应注意,实际工程中,随着上部荷载的增加桩-土接触面可能出现相对滑移,因此,假设桩-土接触面连续可能导致预测的承载力偏大,而沉降偏小。然而,由于临近桩的土体非线性位移及桩身压缩量占总沉降的绝大部分,而相对滑移较小[23]。因此,为方便分析本文的计算模型不考虑桩-土相对滑移。

    图  2  理想弹塑性土中竖向受荷横截面异形桩力学模型
    Figure  2.  Mechanical model for axially loaded noncylindrical piles embedded in elasto-plastic soils

    在竖向增量荷载ΔQt作用下,桩与理想弹塑性体系的虚功方程可以表示为

    \begin{gathered} E_{\mathrm{p}} A_{\mathrm{p}} \int_0^{L_{\mathrm{p}}} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z} \delta \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z} \mathrm{d} z+\int_{L_{\mathrm{p}}}^{\infty} \iint_{s_0} {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_{ij}}\delta {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{ij}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z+ \\ \int_0^{\infty} \iint_{s_1} {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_{ij}}\delta {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{ij}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z=\left.\Delta Q_t \delta u\right|_{z=0} 。 \end{gathered} (5)

    式中:u为增量荷载ΔQt引起的桩位移;{s_0}{s_1}分别为水平面上异形桩的投影和不包含{s_0}的无限大平面域,如图 3所示。根据土体内的应变分量[13],式(5)中的应变能密度可表示为

    {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}_{ij}}\delta {\mathit{\boldsymbol{\varepsilon }}_{ij}} = {\sigma _{zz}}\delta {\varepsilon _{zz}} + {\tau _{xz}}\delta {\gamma _{xz}} + {\tau _{yz}}\delta {\gamma _{yz}} 。 (6)
    图  3  水平面内区域与边界的定义
    Figure  3.  Definition of region and boundary in xy plane

    式(6)等号右边的每一项可进一步表示为弹塑性刚度矩阵分量Cij (i, j=1, 2, …, 6) 与位移、位移传递函数ϕ及它们导数乘积的形式。如等号右端第一项可表示为

    \begin{aligned} \sigma_{z z} \delta \varepsilon_{z z}= & \left(C_{31} \varepsilon_{x x}+C_{32} \varepsilon_{y y}+C_{33} \varepsilon_{z z}+C_{34} \gamma_{x y}+\right. \\ & \left.C_{35} \gamma_{x z}+C_{36} \gamma_{y z}\right) \delta \varepsilon_{z z}=\left(C_{33} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z} \phi+C_{35} u \frac{\partial \phi}{\partial x}+\right. \\ & \left.C_{36} u \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)\left[\delta\left(\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z}\right) \phi+\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z} \delta \phi\right], \end{aligned} (7)

    另外两项类似。关于函数ϕ的定义可参考文献[113]。

    将式(6)等号右端的展开形式代入到虚功方程中,再使用分部积分及格林公式便可获得仅由函数u和函数ϕ的一阶变分项表示的虚功方程,即

    \begin{gathered} -\left\{\int_0^{L_{\mathrm{p}}}\left(t_{s_1} \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} z^2}+k_{s_1} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z}+m_{s_1} u\right) \mathrm{d} z+\left(t_{s_1} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z}+k_{s_{11}} u\right)_0^{L_{\mathrm{p}}}-\right. \\ \left(Q-Q_0\right)_{z=0}+\int_{L_{\mathrm{p}}}^{\infty}\left(t_{s_2} \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} z^2}+k_{s_2} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z}+m_{s_2} u\right) \mathrm{d} z+ \\ \left.\left(t_{s_2} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} z}+k_{s_{21}} u\right)_{L_{\mathrm{p}}}^{\infty}\right\} \delta u-\iint_{s_1}\left(a_1 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+a_2 \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\right. \\ \left.a_3 \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y}+a_4 \frac{\partial \phi}{\partial x}+a_5 \frac{\partial \phi}{\partial y}+a_6 \phi\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \delta \phi=0, \end{gathered} (8)

    式中,Q0Q分别为某一荷载增量ΔQt初值和终值。此外,一阶变分系数中的参数分别为

    {t_{{s_1}}}(z) = {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}} + \iint_{{s_1}} {{C_{33}}{\phi ^2}}{\text{d}}x{\text{d}}y \text{,} (9)
    {k}_{{s}_{1}}\text{(}z\text{)}={\displaystyle {\iint }_{{s}_{1}}[\frac{\text{d}{C}_{33}}{\text{d}z}\phi +({C}_{35}-{C}_{53})\frac{\partial \phi }{\partial x}}+({C}_{36}-{C}_{63})\frac{\partial \phi }{\partial y}]\phi \text{d}x\text{d}y\text{,} (10)
    \begin{aligned} m_{s_1}(z)= & \iint_{s_1}\left[\left(\frac{\mathrm{d} C_{35}}{\mathrm{d} z} \frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\mathrm{d} C_{36}}{\mathrm{d} z} \frac{\partial \phi}{\partial y}\right) \phi-\left(C_{56}+C_{65}\right) \cdot \right. \\ & \left.\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y}-C_{55}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2-C_{66}\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{d} y , \end{aligned} (11)
    {t_{{s_2}}}(z) = \iint_{{s_0} + {s_1}} {{C_{33}}{\phi ^2}}{\text{d}}x{\text{d}}y \text{,} (12)
    \begin{aligned} k_{s_2}(z)= & \iint_{s_0+s_1}\left[\frac{\mathrm{d} C_{33}}{\mathrm{d} z} \phi+\left(C_{35}-C_{53}\right) \frac{\partial \phi}{\partial x}+\right. \\ & \left.\left(C_{36}-C_{63}\right) \frac{\partial \phi}{\partial y}\right] \phi \mathrm{d} x \mathrm{d} y, \end{aligned} (13)
    \begin{aligned} m_{s_2}(z)= & \iint_{s_0+s_1}\left[\left(\frac{\mathrm{d} C_{35}}{\mathrm{d} z} \frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\mathrm{d} C_{36}}{\mathrm{d} z} \frac{\partial \phi}{\partial y}\right) \phi-\left(C_{56}+C_{65}\right) \cdot \right. \\ & \left.\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y}-C_{55}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2-C_{66}\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{d} y, \end{aligned} (14)
    {k_{{s_{11}}}}(z) = \iint_{{s_1}} {\left( {{C_{35}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial x}} + {C_{36}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial y}}} \right)}{\text{ }}\phi {\text{d}}x{\text{d}}y \text{,} (15)
    {k_{{s_{21}}}}{\text{(}}z{\text{)}} = \iint_{{s_0} + {s_1}} {\left( {{C_{35}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial x}} + {C_{36}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial y}}} \right)}{\text{ }}\phi {\text{d}}x{\text{d}}y \text{,} (16)
    {a_1}(x, y) = \int_0^\infty {{C_{55}}{u^2}} {\text{d}}z \text{,} (17)
    {a_2}(x, y) = \int_0^\infty {{C_{66}}{u^2}} {\text{d}}z \text{,} (18)
    {a_3}{\text{(}}x, y{\text{)}} = \int_0^\infty {({C_{65}}{\text{ + }}{C_{56}}){u^2}{\text{d}}z} \text{,} (19)
    {a_4}(x, y) = \int_0^\infty {\left[ {\left( {\frac{{\partial {C_{55}}}}{{\partial x}}{\text{ + }}\frac{{\partial {C_{65}}}}{{\partial y}}} \right)u} \right.} {\text{ }} + ({C_{53}} - {C_{35}})\left. {\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}z}}} \right]u{\text{d}}z \text{,} (20)
    {a_5}(x, y) = \int_0^\infty {\left[ {\left( {\frac{{\partial {C_{56}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {C_{66}}}}{{\partial y}}} \right)u} \right.} + ({C_{63}} - {C_{36}})\left. {\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}z}}} \right]u{\text{d}}z \text{,} (21)
    {a_6}(x, y) = \int_0^\infty {\left[ {\left( {\frac{{\partial {C_{53}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {C_{63}}}}{{\partial y}}} \right)u - {C_{33}}\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}z}}} \right]} \frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}z}}{\text{d}}z 。 (22)

    实际上,该模型的虚功方程也可进一步写成如下的简化形式:

    \mathit{\Psi }(z)\delta u + \mathit{\Theta }(x, y)\delta \phi = 0 。 (23)

    根据虚功原理,式(23)中ΨΘ分别表示位移和位移传递函数的控制方程及相应的力的平衡条件,并且ΨΘ必须均为零。

    应注意,虚土桩主要受到桩端的压缩作用。此外,对于典型的横截面异形桩,如方形桩、矩形桩及XCC桩,通常作为摩擦型桩将来自上部结构的大部荷载通过桩侧传递到附近的土体中,而被传递到桩端下部土体中的荷载较少。因此,本文将虚土桩横截面内的ϕ假设为常数,并令其等于1。从而,在区域{s_0}\phi 的一阶变分为零。这也是式(8)中,函数\phi 的一阶变分项系数中未包含在区域{s_0}上二重积分的原因。

    根据式(7),当0≤zLp时,在增量荷载ΔQt下桩位移函数的控制方程表示为

    {t_{{s_1}}}\frac{{{{\text{d}}^2}{u_1}}}{{{\text{d}}{z^2}}} + {k_{{s_1}}}\frac{{{\text{d}}{u_1}}}{{{\text{d}}z}} + {m_{{s_1}}}{u_1} = 0 。 (24)

    z \geqslant {L_{\text{p}}}时,土体竖向位移分量随深度的变化规律仅由位移函数u描述,同时该函数也表示虚土桩的位移,其控制方程为

    {t_{{s_2}}}\frac{{{{\text{d}}^2}{u_2}}}{{{\text{d}}{z^2}}} + {k_{{s_2}}}\frac{{{\text{d}}{u_2}}}{{{\text{d}}z}} + {m_{{s_2}}}{u_2} = 0{\kern 1pt} 。 (25)

    将实桩与虚土桩的位移函数u分别记为u1u2。由式(9)~(14)可以看出,在式(24),(25)中,参数 {t_{{s_i}}} {k_{{s_i}}} {m_{{s_i}}} i=1,2)的量纲分别为F,F/L2和F/L3,且这些参数取决于函数{C_{ij}}(x, y, z)\phi (x, y)及其导数。因此,函数u1u2的控制方程属于变系数、二阶常微分方程。

    关于实桩与虚土桩位移函数控制方程的边界条件。首先可以根据虚功原理导出力的平衡条件,在地表(z=0 m)满足

    {t_{{s_1}}}\frac{{{\text{d}}{u_1}}}{{{\text{d}}z}} + {k_{{s_{11}}}}{u_1} + (Q - {Q_0}) = 0 \text{;} (26)

    在桩端(z=Lp)满足

    {\left( {{t_{{s_1}}}\frac{{{\text{d}}{u_1}}}{{{\text{d}}z}} + {k_{{s_{11}}}}{u_1}} \right)_{{L_{\text{p}}}}} = {\left( {{t_{{s_2}}}\frac{{{\text{d}}{u_2}}}{{{\text{d}}z}} + {k_{{s_{21}}}}{u_2}} \right)_{{L_{\text{p}}}}} 。 (27)

    此外,函数u1u2在桩端处必须满足位移连续条件,即

    {u_1}({L_{\text{p}}}) = {u_2}({L_{\text{p}}}) 。 (28)

    再考虑到,当深度趋于无穷大时,函数u2必须趋于零。据此,可给出控制方程(25)的另一个边界条件:

    {u_2}(\infty ) = 0 。 (29)

    作用于桩上的轴力为

    Q_{\mathrm{n}}(z)= \begin{cases}t_{s_1} \frac{\mathrm{d} u_1}{\mathrm{d} z}+k_{s_{11}} u_1 & \left(z=0 m \text { 或 } L_{\mathrm{p}}\right) \\ t_{s_1} \frac{\mathrm{d} u_1}{\mathrm{d} z} & \left(0<z<L_{\mathrm{p}}\right)\end{cases} 。 (30)

    同样地,根据式(8)可以直接给出函数\phi 的控制方程,即

    {a_1}\frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {x^2}}} + {a_2}\frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {y^2}}} + {a_3}\frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial x\partial y}} + {a_4}\frac{{\partial \phi }}{{\partial x}} + {a_5}\frac{{\partial \phi }}{{\partial y}} + {a_6}\phi {\text{ = }}0{\kern 1pt} \text{,} (31)

    式中,参数aii=1, 2, …, 6)由式(17)~(22)分别确定,其取决于函数Cij(xyz),u(z)及其导数。

    求解一个二阶偏微分方程,需要确定两个边界条件。根据模型对位移场的定义[13],函数\phi 的控制方程需满足两个自然边界条件,即

    \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left. {\phi (x,y)} \right|}_\mathit{\Gamma }} = 1,}\\ {\phi ( \pm \infty , \pm \infty ) = 0} 。 \end{array}} \right\} (32)

    由于方程(24),(25)为两个变系数的二阶常微分方程,根据相应的边界条件求常微分方程的定解,属于边值问题。因此,它们均可直接借助Matlab内置的bvp4c求解。但应注意到,这两个方程在z=Lp处的共用相同的两个边界条件(即式(27),(28)),且这两个边界条件相互耦合,这表明方程(24),(25)也是相互耦合的。因此,需结合迭代法求解。

    对于函数ϕ,其控制方程也没有解析解。为此,本文通过有限差分法进行求解。针对传递函数控制微分方程边界条件复杂的问题,这里借助保角变换技术[24],即将z-平面上带有非圆形孔的无限大的区域 {s_1} (如图 3所示)映射到相平面(ζ-平面)内的单位圆外(如图 4所示)。当然,对控制方程定义域进行变换时,控制方程也需要进行保角变换,即将z-平面上的ϕ的控制方程转化为ζ-平面上ϕ的控制方程。

    图  4  相平面的定义
    Figure  4.  Definition of phase plane

    在求解桩-土模型的控制方程时,可以发现位移传递函数控制方程中的参数ai取决于函数uCij及其导数。同样地,位移函数控制方程以及力边界条件中的参数 {t_{{s_i}}} {k_{{s_i}}} {m_{{s_i}}} 以及{k_{{s_{11}}}}{k_{{s_{21}}}}也取决于函数ϕCij及它们的导数。因此,该模型的控制微分方程是一组耦合的微分方程,需使用迭代法同时获得方程(24),(25),(31)的数值解。此外,由于土体的弹塑性特征,随着外部荷载的不断增加,土体的切线刚度逐渐减小。因此,为准确刻画桩-土体系在外部荷载作用下的非线性行为,在每一外部增量荷载施加后,需对土体内任一超过屈服面的点上的应力状态进行更新,从而对该点的弹塑性刚度进行更新。图 5中给出了竖向受荷桩-理想弹塑性土模型的求解算法。

    图  5  竖向受荷桩-土体系弹塑性分析求解方案
    Figure  5.  Solution scheme for elasto-plastic analysis of axially loaded pile-soil system

    如流程图 5(a)所示,本文将作用于桩顶上的竖向荷载Qt假设为了无量纲的伪时间T(取值为0~1),增量荷载ΔQt表示成ΔT。在第一个荷载增量作用之前(即T=0时),首先给出桩的几何参数以及桩和土的物理参数。由此可根据Zhou等[24]提出的保角变换技术求出保角变换公式中的常系数c0c2n-1。为了简化,本文仅将土体重力作用引起的应力场作为土体初始应力场。然后,给定荷载增量ΔT的大小,并根据图 5(b)所示的迭代算法求解桩-土体系控制方程,获得函数uϕ及其导数,进而给出土体内任一点的应变增量。为使土体内任一点的应力满足屈服条件,在施加下一荷载增量ΔT之前,需使用应力更新算法对超出屈服面的应力进行更新,同时导出更新后的土体切线刚度。本文采用完全隐式的返回欧拉算法对土体中一点的应力和切线刚度进行更新。关于隐式本构积分算法的具体实施步骤已有大量的文献进行了介绍,可参考文献[25],本文不再赘述。随后,基于更新后的土体切线刚度,计算下一荷载增量ΔT施加后桩-土体系的位移场,并对土体内的应力及切线刚度进行更新。重复以上步骤,直到伪时间T=1。

    图 5(b)给出了求解桩-土体系控制方程的迭代算法。在开始迭代计算时,首先将位移函数u的初值假设为uold=1。然后,基于有限差分法求解位移传递函数ϕ。并将首次求解的函数ϕ用于计算式(24),(25)及其边界条件中涉及到的参数 {t_{{s_i}}} {k_{{s_i}}} {m_{{s_i}}} {k_{{s_{11}}}}{k_{{s_{21}}}}。然后,再使用内循环迭代求解耦合的式(24),(25)。注意,内循环迭代是相对于求解整个桩-土体系控制方程的循环迭代而言的。本文取内循环迭代的收敛条件为相邻两次迭代解相对误差小于10-5,且最大内循环次数为10次。如果内循环在10次内收敛,则使用收敛结果,否则采用第10次迭代的结果。随后,判断uold与内循环的求解出unew的相对误差Er是否小于TOL1(取TOL1=10-4)。若Er满足收敛条件,则桩-土体系控制方程的解收敛,否则,取uold=unew开始进行下一次迭代,直到Er小于TOL1

    注意到,本文在桩-土模型的位移场中,忽略了土体的水平位移场,为了避免忽略土体位移场引起的土体刚度增加的现象,需要对土体的模量进行修正[12]。Randolph等[26]和Basu等[12]建议,通过修正土体的剪切模量和假设土体的泊松为零对忽略水平位移场引起的人为刚度进行修正。本文采用Tehrani等[13]通过参数分析与有限结果对比获得的土体剪切模量和体积模量修正公式。

    在这一部分,通过两个竖向受荷横截面异形桩-土模型的(矩形和XCC桩)例子来验证本文所提出的半解析法的正确性,其中土体均采用双曲型的D-P破坏准则进行模拟。由于目前尚未有弹塑性土中竖向受荷异形桩的解析或半解析解,因此,将本文半解析法预测的桩和土体的结果与使用Abaqus软件所计算的3D有限元结果进行对比,并对这两种方法的计算效率进行比较。此外,为验证本文半解析法能否正确地预测横截面的形状变化对桩位移和承载力的影响,即横截面“异形效应”,还同时给出了与异形桩等横截面面积的圆桩的结果。

    在有限元中,模型的几何、物理参数及本构关系应均采用与本文半解析法相同的参数,另外,为保证桩-土接触面完全连续接触,本文使用单个部件建立桩-土模型。考虑到矩形和XCC桩的对称性,在有限元中取桩-土模型的四分之一以减小计算量。模型的底面边界取到桩端下一倍的桩深,竖向边界到桩轴的距离不小于30倍的等面积圆桩直径,对底面边界限制其所有位移分量,而对竖向边界仅约束其水平位移分量。为有效减少模型中网格的数量,但不影响精度,对靠近桩的土体采用较细的网格,而对远离桩的土体采用越来越粗的网格进行划分。桩和土均采C3D8R单元进行模拟。另外,作用于桩顶的竖向荷载采用与本文半解析法相同的荷载增量进行施加。

    考虑均质、理想弹塑性土中的竖向受荷矩形桩。矩形桩的弹性模量为29 GPa,桩深为20 m,横截面长和宽分别为1.253,0.626 m(即长宽比ax/by=2)。为了验证矩形桩的优越性,在不增加混凝土用量的条件下,按照等横截面面积的原则,相应圆桩的直径取为de=1 m。土体重度和杨氏模量分别为{\gamma _{\text{s}}}=15 kN/m3Es=100 MPa,土体的泊松比、黏聚力、内摩擦角和剪胀角分别为μs =0.35,c =0.1 kPa,φ =20°和ψ =15°。土体的静压力系数K0=1-sinφ。作用于桩顶的最大集中荷载为9000 kN,划分为40个等增量荷载依次施加。在ABAQUS有限元分析软件中,该模型的长、宽和高分别为35,35,40 m,由103200个C3D8R单元组成。

    图 6给出了本文半解析法与有限元法计算均质、理想弹塑性土中竖向受荷矩形桩和土体响应的结果。图 6(a)(b)分别对比了本文解与有限元法所计算的桩位移和桩轴力曲线,结果表明本文解与有限元法所计算的矩形桩位移曲线一致性较好,桩顶沉降分别为20.1,19.2 mm,相对误差约为4.5%;桩的轴力除在桩端处相对误差较大外,其它位置的相对误差小于10%。图 6(c)(d)分别对比了沿x轴和y轴的归一化地表沉降,本文解与有限元法计算结果均表明:地表沉降在2.5倍的桩径范围内沉降较大,且变化十分显著;在2.5倍到15倍的桩径之间,地表沉降已经较小,位移变化比较平缓;对15倍桩径以外土体的位移的影响可以忽略;有限元的结果在临近桩的地表位移出现了负值,即临近桩的地表出现了隆起现象,而本文半解析法未能反映该现象,这可能是由于本文半解析法忽略了土体水平位移场引起的。

    图  6  对比本文解与有限元法中矩形桩和土的响应
    Figure  6.  Comparison of responses of rectangular piles and soils from present analysis and FE method

    图 7对比了本文解与有限元法所获得的矩形桩荷载沉降曲线,结果表明本文半解析法预测结果与有限元的基本吻合,两种方法的最大误差小于5%。

    图  7  矩形桩与等横截面面积圆桩的荷载沉降曲线
    Figure  7.  Load-settlement curves for rectangular and circular piles with same cross-sectional area

    为了验证所提出的半解析法能否准确地预测矩形桩横截面异形效应,将本文半解析法与有限元所计算的与矩形桩等横截面面积圆桩的结果也添加到了图 67中。与矩形桩对比的结果类似,本文的半解析法能较好地预测圆桩的位移以及荷载沉降曲线,其结果与有限元法基本一致。另外,本文解表明:圆桩与矩形桩之间的轴力曲线及归一化的地表沉降曲线差异较小,但矩形桩的桩位移要明显小于圆桩的桩位移,该结果也与有限元法的一致。同时,对比结果进一步表明:横截面异形效应对桩位移与荷载沉降曲线的影响较为明显。

    关于两种方法的计算效率,在同一台计算机中完成上述矩形桩-土模型,有限元法和本文的半解析法所需的计算时间分别为4301,316 s。可以看出,本文所提出的半解析法的计算效率明显高于有限元法。

    假设土体为双层土,上层土体厚度为16.8 m,第二层土向下延伸至无穷大。在初始应力状态下,每一层土都为均质土。XCC桩的桩深为18 m,横截面的两对角直线段的距离a与开弧间距b分别为1.005,0.201 m(即a/b=5),开弧角θxcc为90°,桩端嵌入第二层土深度为1.2 m。同样地,在相同混凝土用量下,按照等横截面面积原则,相应圆桩的直径取de=0.8 m,桩和土的具体物理参数见图 8。在桩顶受到的最大竖向集中荷载为8000 kN,同样,将其划分为40个等增量荷载依次施加。该桩-土模型在ABAQUS有限元分析软件中的尺寸为长×宽×高=30 m×30 m×36 m,共由95480个C3D8R单元组成。

    图  8  对比本文解与有限元法中XCC桩和土的响应
    Figure  8.  Comparison of responses of XCC piles and soils from present analysis and FE method

    图 8(a)(b)给出了桩位移及轴力分布曲线。结果表明:本文解与有限元计算桩位移曲线基本一致,二者相对误差小于5%;与有限元法所计算的轴力相比,本文半解析解的结果在桩端附近偏大,其它位置偏小,但整体上轴力随深度变化的规律基本一致。图 8(c)中给出了x轴上归一化地表沉降,对比结果与矩形桩类似。图 9给出了本文解与有限元法计算的XCC桩荷载-沉降曲线。结果表明:本文解与有限法的结果基本一致,在整个加载过程中,桩顶的最大沉降差小于5%。另外,在图 89中还同时给出了两种方法获得的与XCC桩等横截面面积的圆桩结果,对比结果表明:本文半解析法也能够较好地反映XCC桩的横截面异形效应。

    图  9  XCC桩与等横截面面积圆桩的荷载沉降曲线
    Figure  9.  Load-settlement curves for XCC and circular piles with same cross-sectional area

    本文半解析法与有限元法计算上述3D模型的所花费的时间分别为381,3803 s。同样地,在几乎相当的计算精度下,本文半解析法的计算效率明显高于有限元法。

    为进一步研究异形桩的横截面异形效应对桩-土相互作用的影响,本节将基于本文提出的半解析法,对均质、理性弹塑性土中影响异形桩基础承载力和沉降的主要参数进行详细的分析。根据量纲分析,导出了影响三维桩-土相互作用的7个主要无量纲化参数,即桩长细比Lp/de、桩横截面参数a/b(或ax/by)、桩-土模量比Ep/Es、归一化黏聚力c/Es、土体内摩擦角φ、土体的剪胀角ψ和归一化土体的重度γsLp/Es。由于土体的泊松比对桩-土相互作用的影响较小,故不再讨论土体泊松比的影响。图 10中给出了以上7个参数对归一化的桩顶荷载{\bar Q_N}{\bar Q_N}=Qt/(EsAp))与归一化桩顶位移{\bar w_{\text{t}}}{\bar w_{\text{t}}}/de)关系曲线的影响。

    图  10  不同参数对归一化的荷载-沉降曲线的影响
    Figure  10.  Influence of different parameters on normalized load-settlement curves

    图 10(a)所示为长细比对{\bar Q_N}{\bar w_{\text{t}}}关系的影响。结果表明:在{\bar w_{\text{t}}}发生突增前,可视为弹性变形阶段,无量纲化桩顶沉降{\bar w_{\text{t}}},随Lp/de的增加而减小,当Lp/de小于等于40时其对{\bar w_{\text{t}}}减小的影响更为明显,但当Lp/de超过40后,增加Lp/de{\bar w_{\text{t}}}的影响较小;另外,可以看出对于不同的Lp/de,在弹性变形阶段,等横截面面积的圆形、矩形和XCC桩之间的{\bar w_{\text{t}}}没有明显的差异。在{\bar w_{\text{t}}}发生突增后,可视为塑性变形阶段,随Lp/de的增加,塑性变形阶段的斜率也逐渐增加,即随Lp/de的增加,塑性变形段的承载力也增加。

    图 10(b)为桩的横截面参数对{\bar Q_N}{\bar w_{\text{t}}}关系曲线的影响。对于矩形桩或XCC桩,在保持横截面面积不变的条件下,横截面参数a/bax/by增加,其承载力相对于等横截面面积的圆桩也逐渐增加,其中,随着矩形桩横截面长宽比a/b的增加,承载力增加更加明显,而随XCC桩横截面参数ax/by的增加,承载力增加较小,并且当矩形桩的a/b大于等于3时,其承载力将超过ax/by为5时XCC桩的承载力。桩承载力增加主要原因是:参数a/bax/by增加,引起了桩侧与土接触面积的增加,这将导致矩形或XCC桩与土的接触面上的桩侧摩阻力(除应力集中区域外)小于等横截面面积圆桩上的桩侧摩阻力,能够使异形桩的桩侧将更多的上部荷载传递到附近土体中,从而引起承载力的增加。

    图 10(c)所示为桩-土模量比对{\bar Q_N}{\bar w_{\text{t}}}关系曲线的影响。结果表明:当Ep/Es小于5000时,随着Ep/Es的增加,桩的竖向承载力增加,沉降减小,当Ep/Es超过5000时,增加Ep/Es对桩的竖向承载力和沉降几乎没有影响。

    图 10(d)所示为归一化的土体黏聚力对{\bar Q_N}{\bar w_{\text{t}}}关系曲线的影响。结果表明:在沉降变形{\bar w_{\text{t}}}发生突增前,不同的c/Es之间的弹性变形斜率几乎相同,随着c/Es的增加,桩的承载力呈等量的增加;在沉降{\bar w_{\text{t}}}发生突增后,不同c/Es之间的斜率也基本一致,进一步表明土体黏聚力对桩弹性和塑性变形段的斜率的影响可以忽略,而只对承载力的大小有较为明显的影响。

    图 10(e)所示为土体的内摩擦角对{\bar Q_N}{\bar w_{\text{t}}}关系曲线的影响。结果表明:随着φ的增加,桩的承载力增加,但在沉降变形{\bar w_{\text{t}}}发生突增前,φ对桩的弹性变形段的斜率没有影响,而只影响塑性阶段后的曲线斜率,且随φ的增加,塑性段的斜率不断增加。

    图 10(f)所示为土体的剪胀角对{\bar Q_N}{\bar w_{\text{t}}}关系曲线的影响。结果表明:土体的ψ几乎不影响桩的沉降由弹性进入塑性变形阶段的承载力,同时对横截面的异形效应影响也较小,但对塑性变段曲线的斜率有较大的影响。

    图 10(g)所示为土体的归一化重度对{\bar Q_N}{\bar w_{\text{t}}}关系曲线的影响。结果表明:γsLp/Es对桩的承载力具有显著的影响,随着γsLp/Es的增加,桩的承载力有显著的提高。这是由于土体的γsLp/Es增加,相当于增加了土体内的静水压力,使该点在应力空间中离屈服面的距离更远,从而增加了桩的承载力。同时这也表明:土体的初始应力场对桩的承载力具有不可忽略的影响。

    以上主要从定性角度分析和讨论了横截面异形效应对承载力的影响。为了进一步量化横截面异形效应对异形桩承载力的影响,下面讨论{\bar w_{\text{t}}}为某一值时,上述7个无量化参数对矩形和XCC桩承载力相对于等横截面面积圆桩承载力的增加量。在图 10中容易看出,除了图 10(g)外,所有的桩集中在{\bar w_{\text{t}}}为0.025~0.075处开始出现突增的沉降。据此,本文取{\bar w_{\text{t}}} = 0.075时的{\bar Q_N}作为桩的极限承载力,而对图 10(g)本文取{\bar w_{\text{t}}} = 0.25时的{\bar Q_N}作为桩的承载力进行分析。图 11(a)~(f)中给出了 {\bar w_{\text{t}}} = 0.075 时,横截面异形桩(矩形桩和XCC桩)相对于等横截面面积圆桩的承载力增加百分比\bar \omega 随不同无量纲化参数的变化规律。图 11(g)表示{\bar w_{\text{t}}} = 0.075时,矩形桩和XCC桩的承载力相对于等横截面面积圆桩承载力增加百分比。其中\bar \omega 表示为

    \bar{\omega}= \begin{cases}\left(\bar{Q}_{N, \text { rec }} / \bar{Q}_{N, \mathrm{cir}}-1\right) \times 100 \% & (\text { 矩形桩 }) \\ \left(\bar{Q}_{N, \mathrm{xcc}} / \bar{Q}_{N, \mathrm{cir}}-1\right) \times 100 \% & (\mathrm{XCC} \text { 桩 })\end{cases} \text{,} (33)
    图  11  不同参数对横截面异形桩承载力增加量的影响
    Figure  11.  Influences of different parameters on increment of bearing capacity of noncylindrical piles

    式中, {\bar Q_{N, {\text{rec}}}} {\bar Q_{N, {\text{xcc}}}} {\bar Q_{N, {\text{cir}}}} 分别为矩形、XCC和圆桩的归一化桩顶荷载。图 11(a)的结果表明:随着桩长细比Lp/de的增加,矩形桩和XCC桩的承载力相对于等横截面面积圆桩的承载力增加百分比\bar \omega 几乎不变,该结果也表明桩的长细比不是异形效应的敏感参数;对于不同的Lp/de,矩形桩和XCC桩的承载力相对于等横截面面积圆桩的承载力分别增加约10%和14%。

    图 11(b)表明随着桩的横截面参数a/bax/by的增加,矩形桩和XCC桩的承载力相对于等横截面面积圆桩的承载力逐渐增加,但矩形桩的承载力受横截面参数的变化更为敏感,对于长宽比a/b为1,4时,矩形桩的承载力相对于圆桩的承载力分别增加了5%,19%。

    图 11(c)~(e)的结果表明:随着Ep/Esc/Es\varphi 的增加,矩形桩和XCC桩的承载力相对于等横截面面积圆桩的承载力增加百分比\bar \omega 几乎没有明显,矩形桩和XCC桩的承载力相对于圆桩的承载力分增加了9%~10%和11%~14%。同时表明参数Ep/Esc/Es\varphi 不是异形效应的敏感参数。

    图 11(f)结果表明随着土体剪胀角ψ的增加,\bar \omega 逐渐减小,即土体剪胀角增加,横截面异形桩的异形效应逐渐减小。当\psi = \varphi 时,土体退化为相关联流动法则,此时横截面异形桩的异形效应最小。

    图 11(g)中当γsLp/Es取最大值0.2时,\bar \omega 最小,这是由于{\bar w_{\text{t}}} = 0.25时,桩顶沉降处于弹性阶段,矩形桩和XCC桩与等横截面面积圆桩的承载力和沉降没有出现明显差异;当γsLp/Es在0.001~0.1时,\bar \omega 也基本相等。因此参数γsLp/Es也不是横截面异形效应的敏感参数。

    本文提出的半解析法,计算时仅需要输入桩-土模型的几何与物理参数,能够获得与有限元相当的计算精度,但计算效率却明显高于3D有限元法。根据本文所提出的半解析法,对影响横截面异形桩异形效应的主要参数进行了详细的分析,得到以下3点结论。

    (1)当桩顶沉降处于弹性变形段时,桩的横截面参数a/bax/by与土体参数(黏聚力、内摩擦角、剪胀角和重度)几乎不影响{\bar Q_N}-{\bar w_{\text{t}}}曲线的斜率,而只影响桩极限承载力的大小;桩的长细比和桩-土模量比分别在小于40和5000时,对{\bar Q_N}-{\bar w_{\text{t}}}曲线的斜率和桩的极限承载力产生明显的影响,而在桩长细比和桩-土模量比分别超过40和5000时,对{\bar Q_N}-{\bar w_{\text{t}}}曲线的斜率和承载力几乎没有影响。

    (2)在桩顶沉降处于弹性变形段时,等横截面面积的矩形桩、XCC桩和圆桩之间的桩顶桩顶沉降没有明显的差异,即未出现明显的异形效应,仅当桩顶沉降进入塑性变形段时,矩形桩和XCC桩的承载力或沉降才出现明显的异形效应。

    (3)在影响桩-土相互作用的所有参数中,仅有桩的横截面参数和土体的剪胀角为横截面异形效应的敏感参数,而其它参数均为不敏感参数。对于常规矩形桩和XCC桩横截面参数,即a/b=2和ax/by=5时,矩形桩和XCC桩的承载力相对于等横截面面积圆桩的承载力可分别提高9%~10%和11%~14%。

  • 图  1   子午面上原D-P与双曲形D-P屈服面

    Figure  1.   Original D-P and hyperbolic D-P yield surfaces in meridional plane

    图  2   理想弹塑性土中竖向受荷横截面异形桩力学模型

    Figure  2.   Mechanical model for axially loaded noncylindrical piles embedded in elasto-plastic soils

    图  3   水平面内区域与边界的定义

    Figure  3.   Definition of region and boundary in xy plane

    图  4   相平面的定义

    Figure  4.   Definition of phase plane

    图  5   竖向受荷桩-土体系弹塑性分析求解方案

    Figure  5.   Solution scheme for elasto-plastic analysis of axially loaded pile-soil system

    图  6   对比本文解与有限元法中矩形桩和土的响应

    Figure  6.   Comparison of responses of rectangular piles and soils from present analysis and FE method

    图  7   矩形桩与等横截面面积圆桩的荷载沉降曲线

    Figure  7.   Load-settlement curves for rectangular and circular piles with same cross-sectional area

    图  8   对比本文解与有限元法中XCC桩和土的响应

    Figure  8.   Comparison of responses of XCC piles and soils from present analysis and FE method

    图  9   XCC桩与等横截面面积圆桩的荷载沉降曲线

    Figure  9.   Load-settlement curves for XCC and circular piles with same cross-sectional area

    图  10   不同参数对归一化的荷载-沉降曲线的影响

    Figure  10.   Influence of different parameters on normalized load-settlement curves

    图  11   不同参数对横截面异形桩承载力增加量的影响

    Figure  11.   Influences of different parameters on increment of bearing capacity of noncylindrical piles

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图(11)
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-12-10
  • 网络出版日期:  2023-02-03
  • 发布日期:  2021-12-10
  • 刊出日期:  2022-12-31

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