Arbitrary resolved-unresolved CFD-DEM coupling method and its application to seepage flow analysis in sandy soil
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摘要: 基于欧拉-拉格朗日连续体与非连续体耦合理论进行岩土工程流固耦合问题分析是一种较新颖和盛行的方法。针对该理论下的全解流（Fully-resolved）耦合与非解流（Un-resolved）耦合方法各自的缺陷,在已有的半解流（Semi-resolved）流固耦合数值方法（将全解流与非解流联合）基础上,通过引入修正的高斯权函数,建立了新的任意解流流固耦合方法（Arbitrary Resolved-Unresolved CFD-DEM coupling method）。该任意解流流固耦合方法能够较好地解决全解流方法中由于对粗颗粒周围流场精细化所带来的计算量过大问题；同时,成功地解决了流体网格内细颗粒较大时无法获得局部平均化变量问题；因此,该方法能够对具有一定粒径级配砂土土体的流固耦合问题开展模拟分析。通过室内砂土向上渗流试验,对所建立的任意解流流固耦合方法的准确性和有效性进行了验证；进一步地,采用该任意解流流固耦合模型,从细观层面上分析和研究了砂土渗流过程中水力梯度、土体变形随渗流速度变化规律。建立的任意解流流固耦合方法能够为岩土工程土体渗流问题的研究提供新的方法和手段。Abstract: The Euler-Lagrange coupling scheme based on the continuous and discrete theories has been becoming increasingly popular in numerical analysis of fluid-particle interaction. In this study, by introducing the modified Gaussian weighting function, a new arbitrary resolved-unresolved CFD-DEM coupling method (ARU CFD-DEM) is proposed based on the authors’ previous developed semi-resolved coupling approach by combing the fully-resolved and un-resolved coupling methods. This ARU CFD-DEM method is powerful to relieve the overload in computation due to refining the flow field around the coarse particles in the fully-resolving method. At the same time, it is also able to solve the difficulty in computing the local averaging variables when fine particles with large diameter exist in fluid grids. By doing so, the ARU CFD-DEM is able to simulate the fluid-particle interaction in sand mass which contains a wide range of particle diameters. By comparing with the results of upward seepage flow tests in sand, the accuracy and effectiveness of ARU CFD-DEM model is verified. Furthermore, the hydraulic gradient-flow velocity relationship and soil deformation-flow velocity relationship in the upward seepage flow are analyzed on the particle-scale by the ARU CFD-DEM. The proposed ARU CFD-DEM model can provide a new tool for investigating the fluid-particle interaction in the seepage flow in geotechnical engineering.
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Keywords:
- CFD-DEM coupling /
- seepage flow /
- sand particles /
- drag force /
- void fraction
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0. 引言
框架预应力锚杆边坡支护结构由钢筋混凝土框架、挡土板、小吨位预应力锚杆、锚下承载结构、坡面排水系统和墙后土体组成,属于轻型柔性支护结构。周勇等[1]和李忠等[2]以边坡极限平衡理论及圆弧滑动破坏模式为基础,推导了安全系数计算模型。
塑性极限分析方法通过运用静力学和运动学,构建相对应的许可应力场或者运动许可速度场,然后建立虚功平衡方程,得到满足平衡方程的解,且该解介于真实解的上限和下限之间[3]。
极限分析上限法将土体假想为理想刚塑体,满足关联流动法则,并且在极限状态时假定边坡内存在一个各点都达到屈服的塑性区(服从Mohr-Coulomb破坏准则)。极限分析上限法认为对任意的机动容许的破坏模式,内能耗损率不小于外力的功率,具体可以表示为：
(1) 式中σij, εij为运动许可速度场中的实际应力和应变率；Ti为作用在对象边界或表面上的面力；Xi为作用在对象体积上的体力；Vi为运动许可场中速度矢量。
虽然极限分析上限法不如极限平衡法的原理简单,也不如有限元法适用范围广、本构模型精确,但它利用的是能量平衡原理,不需要解复杂的偏微分方程,因而计算简便快捷,并且求解的过程与应力初始状态无关,避免了复杂的本构关系,力学概念十分清晰,所以中国的很多学者把此方法应用到边坡研究当中。董倩等[4]和方薇等[5]采用极限分析上限法分别分析均质和非均质边坡的稳定性。周强[6]采用极限分析法分析了二级边坡的稳定性。李新坡等[7]和王根龙等[8]利用极限分析研究预应力锚索加固边坡的稳定性。
本文在已有理论成果的基础上,将极限分析上限法应用到框架预应力锚杆支护边坡的稳定性研究上,推导其能量平衡方程并通过Matlab程序搜索边坡安全系数的最优解。
1. 强度折减方法
强度折减法最早在1955年由Bishop[9]提出,Zienkiewicz[10]把抗剪强度折减系数定义为在外荷载保持不变的情况下,边坡内土体所发挥的最大抗剪强度与外荷载在边坡内所产生的实际剪应力之比。Duncan[11]在1996年把Fs定义为导致稳定状态边坡出现失稳的剪切强度折减系数。边坡安全系数的定义方法有许多,当前较为公认和应用较多的有三种[12]：强度贮备安全系数、超载储备安全系数、下滑力超载储备安全系数。其中最为公认的强度贮备安全系数,让滑裂面上的抗剪强度指标按同一比例降低为c/Fs和tanφ/Fs,从而让边坡达到极限破坏状态,其中c为黏聚力,φ为内摩擦角,Fs为为安全系数。本文将采用强度贮备安全系数的方法,将折减后的cf和φf变为
(2) 2. 框架预应力锚杆支护边坡模型建立
上限法也称能量法,通常需要假定一个滑裂面,并将土体分成若干块,土体视作刚塑性体,然后构筑一个协调位移场,为此需要假设滑裂面为对数螺旋线或者直线,然后根据虚功原理求解滑体处于极限状态时的稳定安全系数[12]。
边坡破坏时常用的滑裂面有折线滑裂面、圆弧滑裂面和对数螺旋线破坏面和组合破坏面等。国际相关研究显示[13],边坡实际破坏时所表现的破坏面往往和对数螺旋线破坏面相似,由于所选用的相容速度场和实际的破坏模式相似,其解就越接近真实解的上限解,故本文建立了对数螺旋滑面破坏的边坡假象机构模型,模型建立如图1所示。
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图 1 框架预应力锚杆支护边坡模型图Figure 1. Model for slope supported by framed prestressed anchor rods由图1可知框架预应力锚杆支护边坡所受外力为：土体自重、坡顶地面附加荷载q、锚杆的极限抗拉承载力Ti和结构底部推力设计值F。图中θ0、θh和θ分别为滑裂面上下和其上任一点对应的极角,θf为滑裂面与锚索的交点所对应的极角,通常假设极限状态下的滑裂面通过坡趾或坡趾下方[14-16],但本文只考虑滑裂面经过坡趾的情况。
3. 公式推导
对数螺旋线方程为
(3) 根据图1的几何关系可知
(4) 
(5) 
(6) 3.1 外功率计算
土体重力所做的功Wg采取间接的方式求出,即用图1中OCD所做的功率减去OBC和OBD所做的的功率。最终整合可得
(7) 式中,γ为土体重度,ω为角速度,f1、f2、f3是含有θh和θ0的函数。f1、f2、f3可分别表示如下：
(8) 
(9) 
(10) 为求坡顶均布荷载所做功率,如图2所示将均布荷载等效为集中力Fq,则
(11) 其中Lq为均布荷载等效集中力作用点到O点的水平距离。
根据已有的研究成果,在求解预应力锚杆的外力功率时,将锚杆的锚固力视为轴向力作用在滑坡体上,可忽略其切向力。而锚固力作用在图1F点或者锚杆与滑裂面交点的能量计算方法一致[17],故本文取F点为锚杆作用点。以图1中O点为圆心,并根据相应的几何关系可知：
(12) 
(13) 
(14) 
(15) 则求得预应力锚杆所做的功率：
(16) 框架预应力锚杆支护结构的基础埋深一般都较大,考虑其对内部整体稳定性的作用,由静力平衡[1]求得支护结构底部推力设计值
(17) 式中,Eh为侧向土压力合力水平分力设计值,Sh为边坡长度。
则支护结构底部推力设计值所做的功率：
(18) 综上式(7), (11), (16), (18)可求出框架预应力锚杆支护外边坡的外功率
(19) 3.2 内功率计算
(20) 3.3 求解安全系数
(21) 当K≥1时,边坡为稳定状态。取其K=1时的特殊状态(边坡稳定达到极限状态)来求其安全系数,即
(22) 式(22)中的c、φ全部替换成式(2)中的cf和φf,如此一来,等式(22)中只含有θh、θ0和Fs三个未知量,其中
(23) 每改变一次θ0和θh的值都会得到一个相应的Fs值,不断改变θ0和θh的组合值,搜索相应Fs的最小值Fsmin即为框架预应力锚杆支护边坡的安全系数。该式实为隐函数,求解比较麻烦,故采用Matlab编制相应的遗传算法来求解,算法原理为用构造好的目标函数,作为遗传算法求解的适应度函数,算法通过Gauss分布随机生成第1代种群,并计算适应值和使用轮盘赌法选择n个父体,通过基因交叉算子对n个父体进行基因片段交叉,产生的n个后代通过变异算子进行基因片段变异,同时保留精英一代存活下来形成下一代。算法迭代中不断重复上述过程,在达到最大迭代次数时收敛,求解出该适应度函数的最优值,其所对应的精英个体的参数θ0、θh和Fs即为所求目标函数的最优参数。
4. 算例计算及参数分析
4.1 算例计算
某边坡全由黄土填筑而成,采用框架预应力锚杆支护。边坡高8 m,坡角为4°,黄土重度为16×103N/m3,黏聚力为20 kPa,内摩擦角为21.9°。采用三排锚杆进行锚固,入射角为10°,每排锚杆的锚固力为1×105N/m。三排锚杆的自由端长度分别为7, 6, 5 m；锚固段长度分别为11, 10和9 m；每排距坡底分别为0.5, 3, 5.5 m。坡顶均布荷载为1×105N/m,坡底支护结构推力设计值为1.3×104N/m。所建模型如图3所示。
根据极限分析上限法可求得该边坡的安全系数Fs为1.3183。采用不同的极限平衡法可求安全系数如表1所示。
表 1 不同极限平衡法所求的安全系数值Table 1. Values of safety factor calculated by different limit equilibrium methodsJanbu Morgensternprice Spencer Bishop Janbu Generalized 1.270 1.379 1.378 1.380 1.353 从表1可以看出用极限分折上限解分析框架预应力锚杆支护边坡所得到的结果具有一定的合理性。为增加结果的可靠性,又采用Flac3d软件对该边坡进行模拟,应用有限差分强度折减法求解安全系数[18],数值计算模型图和模拟结果分别见图4,5。
目前,边坡失稳一般以数值计算不收敛[19]、坡面位移突变和塑性区贯通为判据。本文采用边坡发生最大剪切应变率的地方作为滑裂带,模拟所求得的安全系数为1.38。这与采用Bishop法计算的结果相同,比采用极限分析上限法求出的安全系数大,但其结果非常接近。
4.2 参数分析
影响框架预应力锚杆支护边坡稳定性的因素众多,本文基于正交设计方法,对正交设计结果运用极差分析法和方差分析法进行分析,确定各个因素在不同水平下对边坡安全系数的影响规律以及显著性大小。其中框架预应力锚杆支护边坡的底部支护结构推力设计值与边坡的黏聚力、内摩擦角和坡高等有关,之间也有交互作用,但本文正交设计不涉及它们之间的交互作用。试验结果依靠上文所列功能平衡方程求出。其因素水平表见表2,正交设计组合情况见表3,正交结果表见表4,方差分析表见表5。
表 2 关于边坡黏聚力、内摩擦角等的因素水平Table 2. Factors related to slope cohesion, internal friction angle, soil weight, slope angle, slope height and design value of thrust of supporting structures for slope水平 黏聚力/kPa 内摩擦角/(°) 重度/(kN·m-3) 坡角/(°) 坡高/m 底部支护结构推力设计值/(kN·m-1) 1 18 20 12 30 6 10 2 21 23 14 40 8 30 3 24 26 16 50 10 50 4 27 29 18 60 12 70 5 30 32 20 70 14 90 表 3 正交设计组合情况Table 3. Combined situations of orthogonal design试验号 黏聚力/kPa 内摩擦角/(°) 重度/(kN·m-3) 坡角/(°) 坡高/m 底部推力设计值/(kN·m-1) 试验结果 1 18 20 12 30 6 10 1.2240 2 18 23 14 40 8 30 1.2250 3 18 26 16 50 10 50 1.1517 4 18 29 18 60 12 70 1.0310 5 18 32 20 70 14 90 0.9062 6 21 20 14 50 12 90 0.9322 7 21 23 16 60 14 10 0.7520 8 21 26 18 70 6 30 1.1593 9 21 29 20 30 8 50 1.7832 10 21 32 12 40 10 70 1.7141 11 23 20 16 70 8 70 0.8876 12 23 23 18 30 10 90 1.4269 13 23 26 20 40 12 10 1.1765 14 23 29 12 50 14 30 1.1735 15 23 32 14 60 6 50 1.7726 16 27 20 18 40 14 50 0.9716 17 27 23 20 50 6 70 1.4204 18 27 26 12 60 8 90 1.4562 19 27 29 14 70 10 10 1.0271 20 27 32 16 30 12 30 1.8385 21 30 20 20 60 10 30 0.8457 22 30 23 12 70 12 50 0.8671 23 30 26 14 30 14 70 1.5460 24 30 29 16 40 6 90 2.0201 25 30 32 18 50 8 10 1.5728 表 4 正交设计结果Table 4. Values of orthogonal design因素 K1 K2 K3 K4 K5 R 黏聚力 1.1076 1.2682 1.2874 1.3428 1.3703 0.2628 内摩擦角 0.9722 1.1383 1.2979 1.407 1.5608 0.5886 重度 1.287 1.3006 1.33 1.2323 1.2264 0.1036 坡角 1.5637 1.4215 1.2501 1.1715 0.9695 0.5943 坡高 1.5193 1.385 1.2331 1.1691 1.0699 0.4494 底部推力设计值 1.1505 1.2484 1.3092 1.3198 1.3483 0.1978 表 5 各个因素显著性分析Table 5. Significance analysis of various factors变异来源 偏差平方和 自由度 方差 F值 Fa 显著水平 黏聚力 0.210 4 0.053 5.177 显著 内摩擦角 1.049 4 0.262 25.864 F0.01(4,4)=15.977 极为显著 坡角 1.048 4 0.262 25.829 F0.05(4,4)=6.388 高度显著 坡高 0.636 4 0.159 15.674 F0.1(4,4)=4.107 显著 推力设计值 0.123 4 0.031 3.033 F0.25(4,4)=2.064 有一定影响 误差e 0.041 4 0.010 总和 3.107 表4中的R栏为极差值,是由某个因素在不同水平下平均值中的最大值和最小值差值所得,数值越大,说明该因素对分析指标的影响越大。由该表极差分析可知,对框架预应力锚杆支护边坡的稳定性影响最大的是坡角,然后再依次为内摩擦角、坡高、黏聚力、坡底支护结构推力设计值、重度。
显著性分析以方差最小的黏聚力作为误差项进行误差分析,由表5可以看出坡角、内摩擦角和坡高的显著性很高,符合相应的极差分析结果。通过图6的效应曲线可以更直观地看出各个因素对边坡安全系数的影响程度。
5. 结论
本文采用塑性力学极限分析上限法对框架预应力锚杆支护边坡进行稳定性分析,主要得出以下结论：
(1)采用Matlab编制算法求解极限分析上限法功能平衡方程,所得安全系数和有限差分法以及极限平衡法所求解的安全系数十分相近。
(2)采用正交试验设计法对影响框架预应力锚杆支护边坡稳定性的各个因素进行极差分析和方差分析,得出对框架预应力锚杆支护边坡的稳定性影响最大的是坡角,然后再依次为内摩擦角、坡高、黏聚力、坡底支护结构推力设计值、重度,且坡角、内摩擦角对其稳定性影响高度显著。
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图 1 高斯权函数支撑域示意图
Figure 1. Diagram of supporting domain of Gaussian-based weighting function
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图 4 全解流与任意解流用时对比
Figure 4. Comparison in CPU time between full resolved and ARU method
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图 7 水力梯度、滤层变形随表观渗流速度变化关系
Figure 7. Relationship between hydraulic gradient and coarse-particle layer deformation with superficial flow velocity
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图 8 不同阶段粗颗粒滤层变形随表观渗流速度变化情况
Figure 8. Evolution of coarse-particle layer deformation with superficial flow velocity
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图 9 土层孔隙率分布随表观渗流速度变化情况（粗细颗粒粒径比αs=6.7）
Figure 9. Evolution of porosity profile with superficial flow velocity (diameter ratio, αs=6.7)
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图 10 土基颗粒力链分布随表观渗流速度变化情况（粗细颗粒.粒径比αs=6.7）
Figure 10. Evolution of force chain in fine-particle layer with superficial flow velocity (diameter ratio, αs=6.7)
表 1 基准渗流模拟所采用材料属性
Table 1 Material properties in the benchmark of seepage flow
颗粒属性 流体属性 颗粒密度ρs/(kg·m-3) 滑动摩擦系数μr 杨氏模量E/Pa 回弹系数e 泊松比 滚动摩擦系数μf 密度ρf/(kg·m-3) 动力黏度μf/(kg·m-1·s-1) 2650 0.84 2×107 0.9 0.2 0.26 1000 1×10-3 
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表 2 基准渗流模拟相关设置
Table 2 Computational settings in the benchmark of seepage flow
计算设置 任意解流设置 全解流设置 DEM时间步长ΔtDEM/s CFD时间步长ΔtCFD/s 流体网格尺寸Lm/mm 高斯权函数带宽bw/mm 流体网格尺寸Lm/mm 2×10-5 2×10-4 1.32, 0.8, 0.5 8.0 0.5
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表 3 滤层-土基数值模型中的颗粒属性
Table 3 Material properties in numerical simulations of seepage test
参数 数值 参数 数值 砂颗粒密度ρs/(kg·m-3) 2650 玻璃-玻璃滑动摩擦μs_gg 0.1545 玻璃珠密度ρg/(kg·m-3) 2450 砂-玻璃滑动摩擦μs_sg 0.3 砂颗粒杨氏模量Es/Pa 2×1010 砂-砂滚动摩擦μr_ss 0.26 玻璃珠杨氏模量Eg/Pa 5×1010 玻璃-玻璃滚动摩擦μr_gg 0.045 砂颗粒泊松比 0.2 砂-玻璃滚动摩擦μr_sg 0.1 玻璃珠泊松比 0.25 砂颗粒回弹系数es 0.9 砂-砂滑动摩擦μs_ss 0.84 玻璃珠回弹系数eg 0.9
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表 4 滤层-土基数值模型中的流体属性
Table 4 Computational settings in numerical simulations of seepage test
密度ρf/(kg·m-3) 动力黏度μf/(kg·m-1·s-1) DEM时间步长ΔtDEM/s 1000 1×10-3 2×10-5
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表 5 滤层-土基数值模型中的计算设置
Table 5 Computational settings in numerical simulations of seepage test
CFD时间步长ΔtCFD/s 流体网格尺寸Lm/mm 高斯权函数带宽bw/mm 2×10-4 1, 0.5 3.0
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期刊类型引用(14)
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百度学术
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