考虑基础提离的摇摆框架结构地震响应振动台试验研究

王国波; 王垚; 禹海涛; 郑年文; 孙富学

doi:10.11779/CJGE202111013

考虑基础提离的摇摆框架结构地震响应振动台试验研究 English Version

1.
温州大学建筑工程学院,浙江　温州　325035
2.
同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室,上海　200092
3.
武汉理工大学道路桥梁与结构工程湖北省重点实验室,湖北　武汉430070

基金项目:

国家自然科学基金项目 51878529

国家自然科学基金项目 51678465

国家自然科学基金项目 52078386

详细信息

作者简介:
王国波(1979— ),男,博士,教授,主要从事工程结构的抗震分析。E-mail：20190337@wzu.edu.cn

通讯作者:
孙富学, E-mail：sunfuxue@163.com

中图分类号: TU433
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出版历程
- 收稿日期: 2021-04-22
- 网络出版日期: 2022-12-01
- 刊出日期: 2021-10-31

Shaking table tests on seismic response of rocking frame structure considering foundation uplift

1.
College of Architecture and Civil Engineering, Wenzhou University, Wenzhou 325035, China
2.
Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China
3.
Hubei Key Laboratory of Roadway, Bridge & Structure Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China

摘要

摘要: 结构基础与地基土发生分离即基础提离的现象在强震时是不可避免的,为此摇摆隔震（Rocking Isolation）的理念逐渐提出。基于此设计了常规基础框架结构模型和摇摆框架结构模型,基于振动台试验数据对比分析了两类结构对场地土以及自身地震响应的影响。结果表明：①由于结构基础发生的提离量及提离范围有限,提离效应对结构频谱特性影响不显著,主要影响结构竖向加速度响应幅值；②地震波类型对结构提离效应影响显著,脉冲型地震波引起的提离量最大,但提离次数最少；③相比较于常规框架结构,摇摆框架结构对场地土地震响应的影响更显著,且其自身响应的高频成分较为丰富。研究成果对探讨摇摆结构地震响应规律有一定的参考意义。
- 摇摆 /
- 基础提离 /
- 振动台试验 /
- 地震响应 /
- 框架结构
Abstract: The separation of structural foundation and foundation soil, namely the foundation uplift, is inevitable in strong earthquakes, so the concept of rocking isolation is gradually proposed. Based on this idea, two types of models for frame structure are designed: the conventional foundation frame structure and the rocking frame structure. The influence effects of the two types of structures on the site soil and their own seismic responses are compared and analyzed based on the shaking table test data. The test results show that: (1) Due to the limited uplift amount and range of the structural foundation, the uplift effect has no significant influences on the spectral characteristics of the structure, but mainly affects the vertical acceleration response amplitude. (2) The seismic wave type has a significant influence on foundation uplift effect. The impulse seismic wave causes the largest uplift, but the least numbers. (3) Compared with that of the conventional frame structure, the influence of rocking frame structure on the site soil seismic response is more significant, and the high frequency components of its own response are more abundant. The research results have certain reference significance for exploring the seismic response law of rocking structure.
- rocking /
- foundation uplift /
- shaking table test /
- seismic response /
- frame structure

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0. 引言

坝坡稳定对于土石坝工程的安全有着至关重要的影响。粗粒料作为主要的筑坝材料,其抗剪强度是影响坝坡稳定的关键因素。粗粒料为无黏性土,只有摩擦阻力,无黏聚力,其强度主要由剪胀性、颗粒破碎和颗粒的重新定向与排列所控制。大量试验表明^[1-7]：对于粗粒料,尤其是堆石料,在不高的围压时,颗粒会发生破碎现象,颗粒破碎引起颗粒间应力重新分布,颗粒间连结力变弱,颗粒易移动,从而引起内摩擦角降低,直接表现为强度包络线后段向下弯曲。同时,研究指出^[8-10]：对于土石坝尤其是高土石坝工程,传统土石坝稳定分析采用的莫尔–库伦理论（ $τ_{f} = c +$ $σ_{n} \tan φ$ ）将堆石料作为粗粒土,黏聚力为0,线性强度计算的滑弧很浅,属于表层滑动；而非线性强度参数 $φ$ 随应力变化,滑动破坏面向深度、应力较大的位置发展,属于深层滑动。土石坝在高应力下,抗剪强度呈显著地非线性变化,线性强度参数与实际工程不符,计算结果会存在误差；非线性强度参数更为合理,计算的结果比较符合实际情况。现有资料指出^[11-16]：筑坝堆石料受自身性质及荷载的影响,其强度参数为敏感的随机变量；同时,表征筑坝堆石料的非线性强度参数具有相关非正态分布特性。可靠度分析方法可以很好地解决非线性强度参数的不确定性与相关性对土石坝坝坡稳定的影响。在进行土石坝坝坡稳定可靠度分析时,需要构造非线性强度参数的联合分布函数,而相关非正态非线性强度参数联合分布函数的构造需要大量现场试验或室内试验数据,但受实际工程经济、技术等因素的限制,试验数据有限,样本数量无法达到统计要求,仅可通过上述试验数据获取非线性强度参数的边缘分布函数与相关系数,无法准确地表征非线性强度参数的统计特征和分布模型。为了便于计算,目前,大部分研究忽略了非线性强度参数的相关性,仅有的考虑相关性的研究也采用的是二维正态分布^[14]建立非线性强度参数二维分布模型,其不足之处在于二维正态分布要求非线性强度参数的边缘分布也为正态分布。因此,非常需要收集土石坝工程的相关资料,系统的整理土石坝筑坝材料非线性强度参数的试验数据,用以准确地表征非线性强度参数的统计特征和分布模型,建立合理地非线性强度参数的联合分布模型,对土石坝坝坡稳定可靠度分析具有重要意义。

由概率理论可知,通过已知变量的联合分布函数可以确定变量的边缘分布函数与相关系数,但已知变量的边缘分布函数与相关系数确定其变量的联合分布函数是非常困难的。Copula理论的发展为建立非线性强度参数联合分布模型提供了简单、有效的方法。Copula函数^[17]可以根据N个边缘分布函数和相关结构精确地建立N维联合分布函数模型,并在金融^[18-19]和水文^[20-21]等领域得到广泛应用。近年来,岩土工程领域逐步引入Copula函数分析参数的相关性,唐小松等^[22-23]建立了土体黏聚力与内摩擦角的二维Copula函数模型,并讨论了其对边坡可靠度的影响。唐小松等^[24]及Uzielli等^[25]建立了基桩荷载与位移的双曲线参数Copula函数模型。Li等^[26]详细分析了基桩正常使用极限状态下,不同Copula函数对其可靠度的影响。张蕾等^[27]收集了小浪底水利枢纽工程中土体抗剪强度参数试验数据,采用基于Copula函数建立了抗剪强度参数联合分布模型。邢婕等^[28]基于Copula函数结合1174组岩基抗剪强度试验数据,建立了抗剪强度参数联合分布模型。目前,并未见到关于筑坝堆石料非线性强度参数联合分布模型的研究,从而,无法准确地评估非线性强度参数对土石坝坝坡静、动力稳定可靠度的影响。因此,有必要对筑坝堆石料非线性强度参数联合分布模型进行研究,为土石坝坝坡静、动力可靠度分析提供可靠的模型、数据支持。

综上所述,本文系统地统计了多个土石坝工程堆石料非线性强度参数的试验数据,并基于最小二乘法得到相关系数；通过BIC准则对筑坝堆石料非线性强度参数的最优边缘分布及Copula函数进行识别；选择7种能够描述筑坝堆石料非线性强度参数正相关的Copula函数,建立筑坝堆石料非线性强度参数联合分布模型,并进行了分析对比。最后,与二维正态分布模型进行比较,讨论了基于Copula函数建立堆石料非线性强度参数联合分布模型的优越性。

1. 筑坝堆石料非线性强度参数的边缘分布函数模型

本文系统地汇总了国内外124座土石坝工程的1257组筑坝堆石料非线性强度参数数据,数据来源广、代表性强（图1）。根据材料类别将1257组数据分为堆石料、垫层料、过渡层料、排水体料、砂砾料、心墙料。由于试样及试验误差等因素的影响,统计的数据中可能存在异常点数据,所以本文选用工程上应用广泛的 $3 σ$ 法则对统计数据中的异常点进行剔除。对剔除异常点后的统计数据进行分析,得到非线性强度参数的统计特征和边缘分布模型。

图 1 124座土石坝工程及1257组非线性强度参数

Figure 1. 124 rockfill dams and 1257 groups of nonlinear strength parameters

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由非线性强度参数的定义可知, $φ_{0}$ , $Δ φ$ 的取值均为正值,工程中常用的正态分布、极值Ⅰ型分布函数描述的变量取值区间为[ $- \infty$ , $\infty$ ],在表征非线性强度参数概率分布函数时可能出现负值,而截尾分布能准确地表征变量的分布特性。因此,本文选择截尾正态分布、对数正态分布、截尾极值Ⅰ型分布、威布尔型分布、伽马分布5种边缘分布函数对非线性强度参数的最优边缘分布函数进行识别。表1列出了上述5种边缘分布类型的概率密度函数与累积分布函数, $μ$ 为均值, $σ$ 为标准差。

表 1 5种备选边缘分布函数

Table 1. Five marginal distribution functions

分布类型	概率密度函数	概率分布函数	备注
截尾正态分布	$φ (\frac{x - p}{q}) / [1 - Φ (\frac{0 - p}{q})]$	$[Φ (\frac{x - p}{q}) - Φ (\frac{0 - p}{q})] / [1 - Φ (\frac{0 - p}{q})]$	$\begin{array}{l} p = μ \\ q = σ \end{array}$
对数正态分布	$\frac{1}{\sqrt{2 π} q x} e x p [- \frac{1}{2} {(\frac{l n x - p}{q})}^{2}]$	$Φ (\frac{l n x - p}{q})$	$\begin{array}{l} p = l n \frac{μ}{\sqrt{1 + σ^{2} / μ^{2}}} \\ q = \sqrt{l n (1 + \frac{σ^{2}}{μ^{2}})} \end{array}$
截尾极值Ⅰ型分布	$\frac{q \exp {- q (x - p) - \exp [- q (x - p)]}}{1 - \exp [- \exp (p q)]}$	$\frac{\exp {- \exp [- q (x - p)]} - \exp [- \exp (p q)]}{1 - \exp [- \exp (p q)]}$	$\begin{array}{l} μ = p + \frac{0.5772}{q} \\ σ^{2} = \frac{π^{2}}{6 q^{2}} \end{array}$
威布尔型分布	$\frac{q}{p} {(\frac{x}{p})}^{q - 1} \exp [- {(\frac{x}{p})}^{q}]$	$1 - \exp [- {(\frac{x}{p})}^{q}]$	$\begin{array}{l} μ = p Γ (1 + \frac{1}{q}) \\ σ^{2} = p^{2} [Γ (1 + \frac{2}{q}) - Γ^{2} (1 + \frac{1}{q})] \end{array}$
伽马分布	$\frac{p^{q} x^{q - 1}}{Γ (q)} e^{- p x}$	$\frac{1}{Γ (q)} \int_{0}^{p x} t^{q - 1} e^{- t} d t$	$\begin{array}{l} μ = \frac{q}{p} \\ σ^{2} = \frac{q}{p^{2}} \end{array}$

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非线性强度参数最优边缘分布函数采用AIC准则或BIC准则进行识别确定。AIC准则^[29]和BIC准则^[30]工程应用广泛、计算简便,数据拟合效果准确、可靠。具体表达式为

$A I C = - 2 \sum_{i = 1}^{N} l n f (x_{i}; p, q) + 2 k_{1}$ ,

(1)

$B I C = - 2 \sum_{i = 1}^{N} l n f (x_{i}; p, q) + 2 k_{1} l n N$ 。

(2)

式中 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, N)$ 为非线性强度参数的试验数据； $N$ 为样本数目； $f (x_{i}; p, q)$ 为备选边缘分布函数的概率密度函数,p,q为分布参数； $k_{1}$ 为备选边缘分布函数的分布参数数量。

当备选的边缘分布函数参数数量相同,基于AIC准则与BIC准则进行最优边缘分布函数的识别结果是相同的,本文采用BIC准则对非线性强度参数的最优边缘分布函数进行识别,计算结果中最小BIC值对应的边缘分布函数类型即为最优边缘分布类型。

表2列出了6种不同类别筑坝堆石料非线性强度参数的最优边缘分布类型识别结果。由表2可知,不同类别材料的非线性强度参数具有不同的最优边缘分布函数模型。5种备选的边缘分布函数类型比较全面的涵盖了筑坝堆石料非线性强度参数的最优边缘分布类型。

表 2 非线性强度参数最优边缘分布函数BIC识别结果

Table 2. BIC identification results of optimum marginal distributions of nonlinear strength parameters

筑坝材料	样本数	参数	均值/(°)	标准差/(°)	BIC值					最优边缘分布概型
筑坝材料	样本数	参数	均值/(°)	标准差/(°)	截尾正态	对数正态	截尾极值Ⅰ型	威布尔	伽马	最优边缘分布概型
堆石料	755	$φ_{0}$	49.61	4.73	4500.9	4561.70	5236.50	4486.9	4537.60	威布尔分布
堆石料	755	$Δ φ$	8.58	2.53	3554.2	3724.30	3787.20	3562.5	3959.50	截尾正态分布
垫层料	122	$φ_{0}$	51.27	4.63	728.94	749.54	1129.90	710.83	741.45	威布尔分布
垫层料	122	$Δ φ$	8.60	2.84	608.96	599.29	600.37	607.55	646.20	对数正态分布
过渡层料	175	$φ_{0}$	50.97	3.61	955.64	958.31	1020.40	971.19	956.32	截尾正态分布
过渡层料	175	$Δ φ$	8.28	2.53	831.13	839.50	848.41	829.64	861.91	威布尔分布
排水体	71	$φ_{0}$	46.76	5.18	442.47	452.86	534.27	430.42	448.83	威布尔分布
排水体	71	$Δ φ$	7.50	2.45	335.94	340.00	342.56	334.04	387.07	威布尔分布
砂砾料	116	$φ_{0}$	46.64	5.52	984.94	1003.90	1177.50	982.97	995.95	威布尔分布
砂砾料	116	$Δ φ$	7.00	2.61	750.44	756.81	752.39	747.53	860.11	威布尔分布
心墙料	18	$φ_{0}$	38.19	13.37	149.13	252.89	173.81	156.60	179.87	截尾正态分布
心墙料	18	$Δ φ$	10.30	6.12	119.37	112.40	114.77	116.30	134.88	对数正态分布

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为了更好的验证BIC法则识别最优边缘分布函数的准确性,图2～4展示了堆石料、砂砾料、过渡层料5种备选边缘分布的概率密度函数曲线与非线性强度参数直方图。由图可以看出,基于BIC法则识别的最优边缘分布类型能较准确地拟合非线性强度参数分布特征。

图 2 堆石料非线性强度参数直方图

Figure 2. Histograms of nonlinear strength parameters of main rockfill

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图 3 砂砾料非线性强度参数直方图

Figure 3. Histograms of nonlinear strength parameters of gravel

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图 4 过渡层料非线性强度参数直方图

Figure 4. Histograms of nonlinear strength parameters of transition layer

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2. 基于Copula函数的筑坝堆石料非线性强度参数二维分布模型

2.1 筑坝堆石料非线性强度参数的相关系数

由Duncan等^[31]建立双曲线应力–应变模型时,用对数关系描述强度参数的非线性,提出的非线性强度参数的指数模式为

$φ = φ_{0} - Δ φ l g (σ_{3} / p_{a})$ ,

(3)

式中, $φ$ 为土体滑动面摩擦角, $φ_{0}$ 为一个大气压下的摩擦角, $Δ φ$ 为 $σ_{3}$ 增加一个对数周期下 $φ$ 的减小值, $p_{a}$ 为大气压力。

采用线性回归方程对非线性强度参数试验结果进行整理：

$φ_{i} = φ_{0} - Δ φ l g (σ_{3}_{i} / p_{a}) + ε_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ,

(4)

式中,n为来自样本的试样数目, $φ_{i}$ , $σ_{3}_{i}$ , $ε_{i}$ 分别为第i试样对应于某一强度特征摩擦角、正应力及随机扰动量。通过最小二乘法原理,采用下述公式可计算相关的统计量。

$φ$ 与 $l g (σ_{3} / p_{a})$ 的相关系数 $γ_{φ, l g (σ_{3 i} / p_{a})}$ ：

$\begin{array}{l} γ_{φ, l g (σ_{3} / p_{a})} = \\ \frac{n \sum φ_{i} (- l g (σ_{3 i} / p_{a})) - \sum φ_{i} \sum (l g (σ_{3 i} / p_{a}))}{\sqrt{[n \sum φ_{i}^{2} - {(\sum φ_{i})}^{2}] [n \sum {(- l g (σ_{3 i} / p_{a}))}^{2} - {(\sum - l g (σ_{3 i} / p_{a}))}^{2}]}} \end{array}$ 。

(5)

回归方程的标准差 $σ$ ：

$σ = \sqrt{\frac{\sum (φ_{i} + Δ φ l g (σ_{3 i} / p_{a}) - φ_{0})}{n - 2}}$ 。

(6)

令 $Δ = n {\sum (- l g (σ_{3 i} / p_{a}) - \bar{(- l g (σ_{3 i} / p_{a}))})}^{2}$ ,则 $φ_{0}$ 与 $Δ φ$ 的均值分别为

$\begin{matrix} φ_{0} = (\sum φ_{i} {\sum (- l g (σ_{3 i} / p_{a}))}^{2} - \\ \sum (- l g (σ_{3 i} / p_{a})) \sum φ_{i} (- l g (σ_{3 i} / p_{a})) / Δ, \\ Δ φ = (n \sum φ_{i} (- l g (σ_{3 i} / p_{a})) - \sum φ_{i} \sum (- l g (σ_{3 i} / p a)) / Δ \end{matrix}$

$φ_{0}$ , $Δ φ$ 的标准差分别为

$σ_{φ_{0}} = σ \sqrt{(\sum {(- l g (σ_{3 i} / p_{a}))}^{2}) / Δ}$ ,

(7)

$σ_{Δ φ} = σ \sqrt{(n / Δ)}$ 。

(8)

$φ_{0}$ 与 $Δ φ$ 的协方差为

$C ο v (φ_{0}, Δ φ) = \sum - l g (σ_{3 i} / p_{a}) (\frac{σ^{2}}{Δ})$ 。

(9)

$φ_{0}$ 与 $Δ φ$ 的相关系数为

$ρ_{φ_{0}, Δ φ} = \frac{C ο v (φ_{0}, Δ φ)}{σ_{φ_{0}} σ_{Δ φ}}$ 。

(10)

不同类别材料非线性强度参数的相关系数计算结果如表3所示。基于最小二乘法计算的相关系数 $ρ_{φ_{0}, Δ φ}$ 与Pearson线性相关系数相同。由表3可知,非线性强度参数具有显著的统计正相关性,相关系数的变化区间为[0.40,0.69]。

表 3 非线性强度参数的相关系数

Table 3. Correlation coefficients of nonlinear strength parameters

筑坝材料	样本数量	相关系数
堆石料	755	0.53
垫层料	122	0.40
过渡层料	175	0.69
排水体	71	0.58
砂砾料	116	0.44
心墙料	18	0.62

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2.2 基于Copula函数的筑坝堆石料非线性强度参数联合分布函数构造方法

基于二元分布Sklar定理^[17]：联合分布函数由变量的边缘分布函数及表征变量间的Copula函数两部分构成。对应的非线性强度参数 $φ_{0}$ , $Δ φ$ 的联合分布函数为 $F (φ_{0}, Δ φ)$ ：

$F (φ_{0}, Δ φ) = C [F_{1} (φ_{0}), F_{2} (Δ φ); θ] = C (u_{1}, u_{2}; θ)$ ,

(11)

式中, $u_{1} = F_{1} (φ_{0})$ , $u_{2} = F_{2} (Δ φ)$ 为非线性强度参数的边缘分布函数, $θ$ 为Copula函数的参数。

非线性强度参数的联合概率密度函数为

$f (φ_{0}, Δ φ) = f_{1} (φ_{0}) f_{2} (Δ φ) D [F_{1} (φ_{0}), F_{1} (Δ φ); θ]$ ,

(12)

式中, $f_{1} (φ_{0})$ , $f_{2} (Δ φ)$ 为非线性强度参数的边缘概率密度函数, $D [F_{1} (φ_{0}), F_{1} (Δ φ); θ]$ 为Copula函数的密度函数。

由式（11）,（12）可知,当已知Copula函数、非线性强度参数的边缘分布函数、概率密度函数及Copula函数的参数,便可求出非线性强度参数的联合分布函数和联合概率密度函数。

参数的相关性包含相关系数与相关结构类型两个方面。相关系数多采用Pearson线性相关系数和Kendall秩相关系数。Pearson线性相关系数是衡量参数间线性相关强弱程度的指标。Kendall秩相关系数是基于参数原始数据的秩,描述参数间的相关性。相关结构类型,则依据不同的Copula函数对参数间的相关结构类型进行描述。Copula理论^[32-33]中有多种Copula函数描述非线性强度参数的相关结构,由表3可知,筑坝堆石料非线性强度参数存在显著的统计正相关性,因此,本文选择可以描述堆石料非线性强度参数正相关性的Gaussian,t,Plackett,Frank,Clayton,Gumbel,CClayton 7种Copula函数对非线性强度参数的相关结构进行描述,7种Copula函数概率密度函数、分布函数、参数及生成元如表4所示。

表 4 7种二维Copula函数

Table 4. Seven types of bivariate Copula functions

Copula类型	Copula分布函数 $C (u_{1}, u_{2}; θ)$	Copula密度函数 $D (u_{1}, u_{2}; θ)$	生成元 $φ_{θ} (t, θ)$	$θ$ 取值范围
Gaussian	$Φ_{θ} (Φ^{- 1} (u_{1}), Φ^{- 1} (u_{2}); θ)$	$\frac{φ_{2} (Φ^{- 1} (u_{1}), Φ^{- 1} (u_{2}); θ)}{φ (Φ^{-}^{1} (u_{1})) φ (Φ^{- 1} (u_{2}))}$	—	[－1,1]
t	$T_{2} (T_{v}^{- 1} (u_{1}), T_{v}^{- 1} (u_{2}); θ, v)$	$\frac{t_{2} (T_{v}^{- 1} (u_{1}), T_{v}^{- 1} (u_{2}); θ, v)}{t_{v} (T_{v} {^{-}}^{1} (u_{1})) t_{v} (T_{v}^{- 1} (u_{2}))}$	—	[－1,1]
Plackett	$\frac{S - \sqrt{S^{2} - 4 u_{1} u_{2} θ (θ - 1)}}{2 (θ - 1)}; S = 1 + (θ - 1) (u_{1} + u_{2})$	$\frac{θ [1 + (θ - 1) (u_{1} + u_{2} - 2 u_{1} u_{2})]}{{{[1 + (θ - 1) (u_{1} + u_{2})]}^{2} - 4 u_{1} u_{2} θ (θ - 1)}^{3 / 2}}$	—	(0, 1)∪(1,∞)
Frank	$- \frac{1}{θ} \ln [1 + \frac{(e^{- θ u_{1}} - 1) (e^{- θ u_{2}} - 1)}{e^{- θ} - 1}]$	$\frac{- θ (e^{- θ} - 1) e^{- θ (u_{1} + u_{2})}}{{[(e^{- θ} - 1) + (e^{- θ u_{1}} - 1) (e^{- θ u_{2}} - 1)]}^{2}}$	$- \ln [\frac{e^{- θ t} - 1}{e^{- θ} - 1}]$	(－∞,∞)\ {0}
Clayton	${(u_{1}^{- θ} + u_{2}^{- θ} - 1)}^{- 1 / θ}$	$(1 + θ) {(u_{1} u_{2})}^{- θ - 1} {(u_{1}^{- θ} + u_{2}^{- θ} - 1)}^{- 2 - 1 / θ}$	$\frac{1}{θ} (t^{- θ} - 1)$	(0, ∞)
Gumbel	$\exp {- {[{(- \ln u_{1})}^{θ} + {(- \ln u_{2})}^{θ}]}^{1 / θ}}$		${(- \ln t)}^{θ}$	[1, ∞)
CClayton	$u_{1} + u_{2} - 1 + {(W_{1}^{- θ} + W_{2}^{- θ} - 1)}^{- 1 / θ}; W_{i}^{- θ} = 1 - u_{i}$	$(1 + θ) {(W_{1} W_{2})}^{- θ - 1} {(W_{1}^{- θ} + W_{2}^{- θ} - 1)}^{- 2 - 1 / θ}; W_{i} = 1 - u_{i}$	$\frac{1}{θ} (t^{- θ} - 1)$	(0, ∞)

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由表4可知,确定Copula函数的关键在于参数 $θ$ 。基于Pearson线性相关系数和Kendall秩相关系数可求得参数 $θ$ ^[32]。根据相关系数的定义,Copula函数的参数 $θ$ 与Pearson线性相关系数 $ρ$ 的关系^[32]：

$\begin{matrix} ρ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} (\frac{x_{1} - μ_{1}}{σ_{1}}) (\frac{x_{2} - μ_{2}}{σ_{2}}) \cdot \\ f_{1} (x_{1}) f_{2} (x_{2}) D (F_{1} (x_{1}), F_{2} (x_{2}); θ) d x_{1} d x_{2} \end{matrix}$ 。

由此,可求得Copula函数的参数 $θ$ 。但除Gaussian Copula函数外,大部分Copula函数进行积分求解比较困难。根据文献[28,33]的方法,先通过Pearson线性相关系数得到Gaussian Copula函数的参数 $θ$ ,

$\begin{matrix} ρ = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} (\frac{φ_{0} - μ_{1}}{σ_{1}}) (\frac{Δ φ - μ_{2}}{σ_{2}}) \frac{f_{1} (φ_{0}) f_{2} (Δ φ)}{\sqrt{1 - θ^{2}}} \cdot \\ \exp {- \frac{ζ_{1}^{2} θ^{2} - 2 θ ζ_{1} ζ_{2} + ζ_{2}^{2} θ^{2}}{2 (1 - θ^{2})}} d φ_{0} d Δ φ \end{matrix}$

,式中, $ζ_{1} = Φ^{- 1} (u_{1})$ , $ζ_{2} = Φ^{- 1} (u_{2})$ 分别为标准正态分布的变量。

在求得Gaussian Copula函数的参数 $θ$ 后,由下式得到Kendall秩相关系数 $τ$ ：

$τ = \frac{2 \arcsin (θ)}{π}$ 。

(13)

最后利用下式得到不同Copula函数的相关参数 $θ$ 为

$τ = 4 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} C (u_{1}, u_{2}; θ) d C (u_{1}, u_{2}; θ) - 1$ 。

(14)

筑坝堆石料非线性强度参数的7种Copula函数相关参数 $θ$ 的计算结果如表5所示。

表 5 7种Copula函数相关参数的计算结果

Table 5. Calculated results of seven Copula functions-related parameters

筑坝材料	Pearson 相关系数	Kendall 秩相关系数	Copula函数的相关参数 $θ$ /(°)
筑坝材料	Pearson 相关系数	Kendall 秩相关系数	Gaussian	t	Plackett	Frank	Clayton	Gumbel	CClayton
堆石料	0.53	0.464	0.666	0.671	9.290	5.122	1.729	1.864	1.729
垫层料	0.40	0.483	0.688	0.674	10.327	5.429	1.865	1.933	1.865
过渡层料	0.69	0.535	0.745	0.694	14.016	6.412	2.301	2.151	2.301
排水体	0.58	0.553	0.763	0.759	15.601	6.785	2.470	2.235	2.470
砂砾料	0.44	0.361	0.539	0.526	4.563	3.643	1.129	1.564	1.129
心墙料	0.62	0.367	0.545	0.543	5.563	3.719	1.158	1.579	1.158

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与最优边缘分布函数的识别相同,采用BIC准则进行非线性强度参数最优Copula函数的识别,结果如表6所示。

表 6 最优Copula函数BIC识别结果

Table 6. BIC identification results of optimal Copula function

筑坝材料	样本数	BIC值							最优Copula分布类型
筑坝材料	样本数	Gaussian	t	Plackett	Frank	Clayton	Gumbel	CClayton	最优Copula分布类型
堆石料	755	-352.6264	-451.9866	-454.8823	-408.8209	-128.3470	-450.4442	-159.1417	Plackett Copula
垫层料	122	-27.8783	-83.2028	-73.5803	-60.6128	-33.6484	-53.7612	-23.3459	t Copula
过渡层料	175	-89.5941	-101.5961	-105.0397	-106.9065	16.0698	-109.5186	-53.641	Gumbel Copula
排水体	71	-28.3144	-53.3555	-54.5268	-52.9589	-9.6404	-47.8997	-23.4537	Plackett Copula
砂砾料	116	-40.7910	-45.6383	-45.0424	-40.8147	-13.5451	-49.4995	-0.9096	Gumbel Copula
心墙料	18	-2.8971	-6.4936	-2.7262	-1.7570	-1.5556	-4.3240	2.1961	t Copula

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结果表明：堆石料、排水体的最优Copula函数是Plackett Copula函数,垫层料及心墙料的最优Copula函数是t Copula函数,过渡层料、砂砾料的最优Copula函数是Gumbel Copula函数。因此,在实际工程中不同分区材料应选择能够表征非线性强度参数的最优Copula函数建立联合分布函数模型。

3. 基于不同Copula函数构造的堆石料非线性强度参数联合分布函数的比较

由条件概率分布的定义和式（12）可知,已知非线性强度参数 $Δ φ$ 条件下 $φ_{0}$ 的条件累积分布函数 $F (φ_{0} | Δ φ_{2} \leq Δ φ \leq Δ φ_{1})$ 为

$\begin{matrix} F (φ_{0} | Δ φ_{2} \leq Δ φ \leq Δ φ_{1}) \\ = \frac{C (F_{1} (φ_{0}), F_{2} (Δ φ_{1}); θ) - C (F_{1} (φ_{0}), F_{2} (Δ φ_{2}); θ)}{F_{2} (Δ φ_{1}) - F_{2} (Δ φ_{2})} \end{matrix}$ ,

(15)

式中, $Δ φ_{1}$ , $Δ φ_{2}$ 为 $Δ φ$ 的上、下限。同理,已知非线性强度参数 $φ_{0}$ 条件下 $Δ φ$ 的条件累积分布函 $F (Δ φ |$ $φ_{0}_{2} \leq$ $φ_{0} \leq φ_{0}_{1})$ 为

$\begin{array}{l} F (Δ φ | φ_{0}_{2} \leq φ_{0} \leq φ_{0}_{1}) \\ = \frac{C (F_{1} (φ_{0}_{1}), F_{2} (Δ φ); θ) - C (F_{1} (φ_{0}_{2}), F_{2} (Δ φ); θ)}{F_{1} (φ_{0}_{1}) - F_{1} (φ_{0}_{2})} \end{array}$ ,

(16)

式中, $φ_{01}$ , $φ_{02}$ 为 $φ_{0}$ 的上、下限。

水利水电工程中强度标准值采用小值平均值（即 $μ - 1.0 σ$ ）。因此,以堆石料为例,将 $Δ φ$ 分为 $μ - 0.25 σ$ $\leq Δ φ \leq μ + 0.25 σ$ 、 $μ - 1.0 σ \leq Δ φ \leq μ - 0.5 σ$ 及 $μ -$ $2 σ \leq Δ φ \leq μ - 1.5 σ$ 3个区间,对不同Copula函数构造的联合概率分布函数进行比较。其中, $μ$ 为均值, $σ$ 为标准差。由式（15）可得 $φ_{0}$ 的条件累积分布函数曲线（如图5所示）与分位数值（表7）。

图 5 不同Copula函数计算的

$φ_{0}$ 的条件累积分布函数曲线

Figure 5. Comparison of conditional cumulative distribution functions of frictional angle associated with various Copula functions

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表 7 不同Copula函数计算的非线性强度参数指标

$φ_{0}$ 的条件累积分布函数分位数值

Table 7. Comparison of fractiles of conditional cumulative distribution functions of

$φ_{0}$ associated with various Copula functions

Copula函数类型	$μ - 2 σ \leq Δ φ \leq μ - 1.5 σ$			$μ - 1.0 σ \leq Δ φ \leq μ - 0.5 σ$			$μ - 0.25 σ \leq Δ φ \leq μ + 0.25 σ$
Copula函数类型	25%	50%	75%	25%	50%	75%	25%	50%	75%
Gaussian	37.777	41.471	44.768	41.609	45.015	47.957	43.889	47.136	49.884
t	35.844	39.195	43.347	41.234	44.518	47.779	43.969	47.110	49.853
Plackett	40.183	43.534	46.944	42.029	45.097	48.013	44.037	47.034	49.608
Frank	41.481	44.552	47.284	42.449	45.470	48.100	43.993	47.008	49.552
Clayton	34.671	37.075	39.326	40.395	43.239	45.951	43.523	46.652	49.575
Gumbel	39.917	43.694	47.069	42.449	45.813	48.713	44.197	47.367	49.998
CClayton	43.358	46.439	49.016	43.749	46.810	49.341	44.515	47.558	50.147

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由图5可以看到,不同的Copula函数计算的 $φ_{0}$ 的条件累积分布函数存在显著的差异性,在均值附近差异性较小,随着 $Δ φ$ 的减小,差异性显著增大。表7从定量的角度很好地验证了上述结论。

为进一步分析不同Copula函数构造的非线性强度参数联合分布函数的差异性,图6,7给出了7种Copula函数构造的堆石料非线性强度参数联合概率密度函数等概率密度曲线。边缘分布函数采用表2计算的最优边缘分布函数。

图 6 不同Copula函数构造的非线性强度参数联合概率密度函数等概率密度值曲线

Figure 6. Comparison among probability density function isolines of nonlinear intensity parameters associated with different Copula functions

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图 7 概率密度值为0.001时不同Copula函数构造的非线性强度参数联合概率密度函数等概率密度值曲线

Figure 7. Curves of equal probability density value of joint probability density function of nonlinear intensity parameters constructed by different Copula functions (probability density value equals 0.001)

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如图6,7所示,相同的边缘分布函数和相关系数条件下,不同Copula函数构造的非线性强度参数联合概率密度函数差异显著。由于不同Copula函数表征不同的相关结构,所以,即便是相同的边缘分布函数和相关系数,不同Copula函数构造的非线性强度参数联合概率密度函数仍差异显著。因此,在采用Copula函数建立非线性强度参数联合分布函数模型时,避免从经验或简单的角度选择Gaussian Copula函数模型,应结合更多的试验数据确定最优Copula函数,继而建立非线性强度参数联合分布函数模型。

4. 二维正态分布函数与Copula函数构造的非线性强度参数联合分布函数的比较

二维正态分布函数与 Copula函数构造的联合分布函数的不同点：二维正态分布函数采用Gaussian Copula函数描述变量间的相关结构类型,其边缘分布必须为正态分布,而Copula函数构造的联合分布函数的边缘分布可取任意一种边缘分布类型。二维正态分布函数的概率密度函数为

$\begin{array}{l} f (φ_{0}, Δ φ) = \frac{1}{2 π σ_{φ_{0}} σ_{Δ φ} \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp {\frac{- 1}{2 (1 - ρ^{2})} \cdot \\ [\frac{{(φ_{0} - \bar{φ_{0}})}^{2}}{σ_{φ_{0}}^{2}} - 2 ρ \frac{(φ_{0} - \bar{φ_{0}}) (Δ φ - \bar{Δ φ})}{σ_{φ_{0}} σ_{Δ φ}} + \frac{{(Δ φ - \bar{Δ φ})}^{2}}{σ_{Δ φ}^{2}}]} \end{array}$ 。

(17)

图8展示了垫层料非线性强度参数的原始数据点与两种模型（二维正态分布函数和最优Copula函数）构造的非线性强度参数联合概率密度函数的等概率密度曲线（概率密度值0.0005）。图9描述了垫层料非线性强度参数原始数据点与两种模型的仿真数据分布情况。由图可见,与二维正态分布函数相比,Copula联合分布函数是基于最优边缘分布函数与最优Copula函数构建的,仿真数据与原始数据的变化趋势接近,能够较完整地匹配原始数据,可以较准确地表征原始数据相关结构。

图 8 非线性强度参数联合概率密度函数等概率密度线比较

Figure 8. Comparison of equal probability density lines of joint probability density functions of nonlinear strength parameters

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图 9 非线性强度参数联合分布模型仿真数据与原始数据的分布

Figure 9. Distribution of simulation data and original data of nonlinear intensity parameter joint distribution model

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5. 结论

合理地非线性强度参数的联合分布模型,对土石坝坝坡稳定可靠度分析具有重要意义。本文汇总了国内外124座土石坝工程的1257组筑坝材料非线性强度参数,开展了非线性强度参数相关性和分布模型研究,数据覆盖面广,具有较好的代表性。

（1）Copula函数能够很好地考虑筑坝材料非线性强度参数的不确定性与正相关性,构造任意边缘分布函数和不同相关结构的联合分布函数,为建立筑坝材料非线性强度参数的联合分布函数模型提供了简单、有效的方法。与传统二维正态分布函数相比,由Copula函数构造的非线性强度参数联合分布函数灵活性强、适用范围广、能更准确地表征原始数据的分布情况。

（2）相同的边缘分布函数与相关系数,基于不同Copula函数构造的非线性强度参数联合分布函数差异显著。同时,由条件累积分布函数可知,当非线性强度参数取值减小时,基于不同Copula函数构造的非线性强度参数的条件累计分布函数差异越显著。

（3）不同分区坝料的最优Copula函数不同,在实际工程中不同分区材料应选择能够表征非线性强度参数的最优Copula函数建立联合分布函数模型。

图 1 摇摆隔震原理示意图^[6]

Figure 1. Schematic diagram of rocking isolation principle

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图 2 两种结构模型尺寸及实物

Figure 2. Dimensions and physical structures of two models

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图 3 土体共振柱试验结果

Figure 3. Test results of soil resonant column

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图 4 模型试验的模型箱

Figure 4. Model box of model tests

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图 5 测点布置平面图

Figure 5. Layout plan of measuring points

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图 6 配重块放置和加速度传感器布置图

Figure 6. Layout of balancing weight block and acceleration sensors

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图 7 输入波的时程及频谱曲线

Figure 7. Time histories and frequency spectra of input seismic waves

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图 8 常规框架结构试验现象

Figure 8. Test phenomena of conventional frame structure

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图 9 结构频率测试

Figure 9. Frequency tests on structure

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图 10 敲击法确定结构模型基频

Figure 10. Determination of natural frequency of structural model by knockdown method

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图 11 模型土表面各测点沿激震方向加速度变化

Figure 11. Acceleration curves of measuring points on model soil surface along earthquake excitation direction

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图 12 EL波时模型土沿深度方向加速度响应变化曲线

Figure 12. Acceleration response curves of model soil along depth direction under action of EL waves

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图 13 摇摆框架结构水平加速度幅值随高度变化曲线

Figure 13. Curves of horizontal acceleration amplitude versus height of rocking frame structure

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图 14 常规框架结构水平加速度幅值随高度变化曲线

Figure 14. Curves of horizontal acceleration amplitude versus height of conventional frame structure

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图 15 摇摆框架模型基础处竖向位移响应

Figure 15. Vertical displacement responses of rocking frame model foundation

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图 16 测点B₅,B₆的加速度放大系数的对比

Figure 16. Comparison of acceleration amplification coefficients of measuring points B₅ and B₆

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图 17 摇摆结构与常规结构水平加速度响应对比

Figure 17. Comparison of horizontal acceleration responses between rocking and conventional structures

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图 18 摇摆结构与常规结构竖向加速度响应对比

Figure 18. Comparison of vertical acceleration responses between rocking and conventional structures

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图 19 常规框架与摇摆框架基础竖向位移对比

Figure 19. Comparison of vertical displacements between conventional and rocking frame foundations

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表 1 原型结构设计参数

Table 1 Design parameters for prototype structure

参数	设计信息
设防类别	丙类
地震动参数	7度（0.1g）,Ⅱ类场地,设计地震分组为第二组
结构材料	C40混凝土,钢筋HRB335和HRB400
荷载	楼面恒载5 kN/m²,活载2 kN/m²；屋面恒载7 kN/m²,不上人屋面活载0.5 kN/m²

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表 2 模型试验相似关系

Table 2 Similarity relation for model tests

类型	物理量	相似系数符号及表达	相似系数
几何	几何尺寸	S_L	1/30
材料特征	弹性模量	S _E	0.462
	等效密度	S_ρ=S_E/(S_a*S_L)	6.923
	应变	S_ε= S_σ/ S_E	1
	应力	S_σ	0.462
	质量	S_m= S_σS_L²/ S_a	0.000256
动力特征	时间	S _t= S_L/ (S_E / S_ρ)^-0.5	0.129
	频率	S_f= S_L^-0.5*S_a^0.5	7.746
	位移	S_L	1/30
	速度	S_t= (S_L/ S_a)^0.5	0.258
	加速度	S_a	2

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表 3 试验加载制度

Table 3 Test loading system

工况编号	模型类型	输入地震波	输入加速度幅值/g
1	自由场常规结构摇摆结构	白噪声1	0.05
2		4Hz正弦波	0.10
3		EL波	0.20
4		NR波	0.20
5		BJ波	0.20
6		EL波	0.40
7		NR波	0.40
8		BJ波	0.40
9		4Hz正弦波	0.20
10		白噪声2	0.05

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表 4 各工况试验现象简单描述

Table 4 Simple description of test phenomena

工况	摇摆结构试验现象	常规结构试验现象
0.1g正弦	无提离摇摆	无提离摇摆
0.2gEL	无提离摇摆	无提离摇摆
0.2gNR	较弱提离摇摆	无提离摇摆
0.2gBJ	较弱提离摇摆	无提离摇摆
0.4gEL	明显提离摇摆	有明显提离摇摆
0.4gNR	明显提离摇摆	有明显提离摇摆
0.4gBJ	较大提离摇摆	有较大提离摇摆
0.2g正弦	剧烈提离摇摆	剧烈提离摇摆,且柱底破坏

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表 5 原型结构和模型结构基频

Table 5 Fundamental frequencies of prototype and model structures

原型结构计算值	模型结构试验值	模型结构计算值
原型结构计算值	模型结构试验值	绑定法	质量点法	等效密度法
1.97	10.00	14.97	16.32	17.13

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参考文献(16)

[1]	翟长海, 刘文, 谢礼立. 城市抗震韧性评估研究进展[J]. 建筑结构学报, 2018, 39(9): 1-9. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZJB201809001.htm ZHAI Chang-hai, LIU Wen, XIE Li-li. Progress of research on city seismic resilience evaluation[J]. Journal of Building Structures, 2018, 39(9): 1-9. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZJB201809001.htm
[2]	吕西林, 武大洋, 周颖. 可恢复功能防震结构研究进展[J]. 建筑结构学报, 2019, 40(2): 1-15. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZJB201902001.htm LÜ Xi-lin, WU Da-yang, ZHOU Ying. State-of-the-art of earthquake resilient structures[J]. Journal of Building Structures, 2019, 40(2): 1-15. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZJB201902001.htm
[3]	吕西林, 陈云, 毛苑君. 结构抗震设计的新概念—可恢复功能结构[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2011, 39(7): 941-947. doi: 10.3969/j.issn.0253-374x.2011.07.001 LÜ Xi-lin, CHEN Yun, MAO Yuan-jun. New concept of structural seismic design: earthquake resilient structures[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2011, 39(7): 941-947. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.0253-374x.2011.07.001
[4]	周颖, 吕西林. 摇摆结构及自复位结构研究综述[J]. 建筑结构学报, 2011, 32(9): 1-10. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZJB201109002.htm ZHOU Ying, LÜ Xi-lin. State-of-the-art on rocking and self-centering structures[J]. Journal of Building Structures, 2011, 32(9): 1-10. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZJB201109002.htm
[5]	GAZETAS G, ANASTASOPOULOS I, GARINI E. Geotechnical design with apparent seismic safety factors well-bellow 1[J]. Soil Dynamics & Earthquake Engineering, 2014, 57(2): 37-45.
[6]	ANASTASOPOULOS I, GAZETAS G, LOLI M, et al. Soil failure can be used for seismic protection of structures[J]. Bulletin of Earthquake Engineering, 2010, 8(2): 309-326. doi: 10.1007/s10518-009-9145-2
[7]	YIM C S, CHOPRA A K, PENZIEN J. Rocking response of rigid blocks to earthquakes[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1980, 8(6): 565-587.
[8]	ACIKGOZ S, DEJONG M J. The interaction of elasticity and rocking in flexible structures allowed to uplift[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2012, 41(15): 2177-2194.
[9]	LU Y, XIONG F, GE Q. Dynamic rocking response of a rigid planar block on a nonlinear hysteretic Winkler foundation[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2021, 50(10): 2754-2773. doi: 10.1002/eqe.3470
[10]	HASSAN A, HAMZEH S, MOHAMMAD K. Development of rocking isolation for response mitigation of elevated water tanks under seismic and wind hazards[J]. Shock and Vibration, 2020: 1-26.
[11]	郭展, 陈誉, 何康. 基底摇摆隔震桥墩振动台试验与数值模拟研究[J]. 建筑结构学报, 2020, 41(6): 38-48. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZJB202006004.htm GUO Zhan, CHEN Yu, HE Kang. Shaking table test and numerical simulation study on base rocking isolation bridge piers[J]. Journal of Building Structures, 2020, 41(6): 38-48. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-JZJB202006004.htm
[12]	VASSILIOU M F. Seismic response of a wobbling 3D frame[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2018, 47(5): 1212-1228. doi: 10.1002/eqe.3013
[13]	SEXTOS A G, MANOLIS G D, ATHANASIOU A, et al. Seismically induced uplift effects on nuclear power plants. Part 1: Containment building rocking spectra[J]. Nuclear Engineering and Design, 2017, 318: 276-287. doi: 10.1016/j.nucengdes.2016.12.035
[14]	赵明华. 土力学与基础工程[M]. 4版. 武汉: 武汉理工大学出版社, 2014. ZHAO Ming-hua. Soil Mechanics and Foundation Engineering[M]. 4th ed. Wuhan: Wuhan University of Technology Press, 2014. (in Chinese)
[15]	周颖, 吕西林,著. 建筑结构振动台模型试验方法与技术[M]. 2版. 北京: 科学出版社, 2019. ZHOU Yin, LÜ Xi-lin. Method and Technology for Shaking Table Model Test of Building Structures[M]. 2nd ed. Beijing: Science Press, 2019. (in Chinese)
[16]	郑年文. 考虑基础提离效应的结构非线性地震响应研究[D]. 武汉: 武汉理工大学, 2020. ZHENG Nian-wen. Research on Nonlinear Seismic Response of Structures Considering the Effect of Foundation Uplift[D]. Wuhan: Wuhan University of Technology, 2020. (in Chinese)