基于谱方法的层状竖井地基非线性固结计算模型

许滨华; 何宁; 周彦章; 张中流

doi:10.11779/CJGE202110003

基于谱方法的层状竖井地基非线性固结计算模型 English Version

许滨华^{1, 2,},
何宁^{1, 3, ,},
周彦章¹,
张中流¹

1.
南京水利科学研究院岩土工程研究所,江苏　南京　210024
2.
河海大学土木与交通学院,江苏　南京　210098
3.
水利部水库大坝安全重点实验室,江苏　南京　210029

基金项目:

国家重点研发计划项目 2018YFC1508505

国家自然科学基金面上项目 51379131

详细信息

作者简介:
许滨华(1991— ),男,博士研究生,主要从事软土地基处理和固结计算方面的研究。E-mail：317413076@qq.com

通讯作者:
何宁, E-mail：nhe@nhri.com

中图分类号: TU431
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出版历程
- 收稿日期: 2021-02-09
- 网络出版日期: 2022-12-02
- 刊出日期: 2021-09-30

Nonlinear consolidation model for stratified soils with vertical drains based on spectral method

XU Bin-hua^{1, 2,},
HE Ning^{1, 3, ,},
ZHOU Yan-zhang¹,
ZHANG Zhong-liu¹

1.
Department of Geotechnical Engineering, Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210024, China
2.
College of Civil and Transportation Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China
3.
Key Laboratory of Reservoir and Dam Safety, Ministry of Water Resources, Nanjing 210029, China

摘要

摘要: 针对实际工程中很多竖井地基呈现层状,且在固结过程中渗透系数和压缩模量呈非线性变化等特性,基于对数模型（e-lgσ'和e-lgk）的非线性压缩渗透本构关系,建立了能同时考虑竖向和径向排水的非线性固结模型,并采用谱方法得到了层状竖井地基的非线性固结计算模型。通过退化研究与已有的非线性固结解析解和室内试验进行对比计算分析,结果显示本模型计算值与解析解和实测值的平均相对误差分别低于0.7%和2.0%,验证了本模型的合理性。最后对某一实际工程案例进行了应用计算分析,结果显示不同深度处的沉降和孔压计算值与实测数据吻合程度较好,能够反映在固结过程中不同土层中沉降和孔压的发展变化过程,进一步说明了本模型在层状竖井地基固结计算的可行性和工程适用性。
- 层状地基 /
- 竖井 /
- 非线性固结 /
- 谱方法
Abstract: Many soft soil foundations with vertical drains are stratified, and the permeability and compressibility of soils change nonlinearly during the consolidation process. A nonlinear consolidation model that can consider both vertical and radial drainage is proposed based on the void-ratio dependent compressibility and permeability (e-lgσ' and e-lgk), and a nonlinear consolidation model for the stratified soils with vertical drains is obtained based on the spectral method. The validation of the solution is verified by the degradation study and the comparative analysis with the existing nonlinear consolidation analytical solutions and laboratory tests. The results show that the average relative error between the calculated value and the analytical solution and the measured value is lower than 0.7% and 2.0%, respectively. A field case is also studied and analyzed. The results show that the calculated values of settlement and pore pressure at different depths are in good agreement with the measured data, which can predict the development of settlement and the dissipation of pore pressure in different soil layers during the consolidation process. The case study further illustrates the feasibility and applicability of the proposed model in the consolidation calculation of stratified soils with vertical drains.
- stratified soil /
- vertical drain /
- nonlinear consolidation /
- spectral method

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0. 引言

细粒土从遇水是否分散流失的角度，可分为分散土、过渡土和非分散土。分散土在低含盐量水或纯净水的作用下，由于土体颗粒之间的吸引力小于排斥力，使得部分土颗粒自行分散成胶粒，从而导致其抗水流冲蚀能力和渗透稳定性较差，容易造成管涌、冲沟等破坏，因此对土木水利工程安全造成极大的威胁^[1]。为了在工程实践中准确判别土体的分散性，国内外研究学者根据分散土的特点，提出了多种细粒土的分散性判别试验方法，其中以针孔试验^[2]、碎块试验^[3]、双密度计试验^[4]、孔隙水可溶性阳离子试验^[5]、交换性钠离子百分比试验^[6]等5种试验方法最为普遍采用，当各判别试验结果不一致时，往往进行综合判别^[7]。但是，这些判别试验本身具有一定的适宜性，并不一定适用于所有的土，如美国《ASTM（American Society of Testing Materials）》规定，针孔试验（D4647）、双密度计试验（D4221）适用于黏粒含量高于12%和塑性指数大于4的土，碎块试验（D6572）适用于黏粒含量高于12%和塑性指数大于8的土；英国《BS（British Standards）》（1377-5）^[8]中规定碎块试验、针孔试验、双密度计试验均不适用于黏粒含量低于10%和塑性指数不大于4的土。但是，近期工程实践和相关研究表明^[9]，有部分土的黏粒含量虽然低于12%，但是由于土中同时含有引起分散的化学因素，这部分土体更易出现冲蚀破坏。因此，对于黏粒含量小于12%的土样同样需要进行分散性判别与研究。

分散土的分散机理比较复杂，目前主要是从黏土矿物特性、双电层理论等角度进行解释。Ingles等^[10]和Sherard等^[11]均认为，分散土中含有大量的2∶1型蒙脱石，并且孔隙水溶液中的钠离子百分比含量是决定土是否具有分散性的主要因素；同时，Sherard等^[11]和Mohanty等^[12]研究认为分散土中的交换性钠离子含量也很高。Chorom等^[13]认为土体酸碱度与分散度之间具有正相关性，碱性越高，分散性越强；魏迎奇等^[14]建议将其作为分散土判别的辅助性指标。王观平等^[15]和赵高文等^[16]研究发现蒙脱石中离子种类和含量与土体分散性之间有密切关系。刘杰等^[17]将土体的分散机理归纳为内因和外因，内因是以蒙脱石为主体的黏土矿物成分和以钠离子占主体的孔隙水易溶盐的，外因是纯净的水质。Fan等^[18]根据土的分散机理将分散土分为由于土体的黏粒含量较低引起的物理性分散土和由于土体中高含量的钠离子和酸碱度呈碱性共同作用引起的化学性分散土两种类型。

综上所述，现有的细粒土的分散性判别方法对于指导工程实践仍显不足，而且试验过程繁琐、耗时耗力、成本较大，如何快速准确判别细粒土的分散性是岩土工程勘察领域亟待解决的问题。细粒土分散机理的深入研究，对于指导分散性判别方法提供了重要的理论依据。本文基于细粒土分散机理的研究，以人工配制不同黏粒含量、不同碳酸钠质量分数的细粒土为研究对象，采用泥球试验、针孔试验、双密度计试验、孔隙水可溶性阳离子试验、交换性钠离子百分比试验和酸碱度试验，研究黏粒含量、钠离子和酸碱度对细粒土分散性评价的影响，分析分散土判别方法的适用性，进而提出快速准确简单有效的分散土综合判别方法，为指导分散土的判别与应用提供科学支撑。

1. 试验材料与方法

1.1 试验材料及土样配制

本试验用土取自延安宝塔区，现场取样深度为5 m（土的基本物理指标见表 1）。依据司笃克斯沉降原理，采用自然沉降的方法获得低黏粒含量土。具体方法是按照土水质量比1∶4将一定质量的延安黄土与纯水混合形成土-水悬液，搅拌均匀，静置24 h，去除上部黏粒层，取底层的土样再次沉降，反复沉降直至底层土的黏粒含量低于3.0%。然后，按式（1）计算，配制黏粒含量分别为3.0%，6.0%，9.0%，12.0%，15.0%，17.4%的土样。

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} \frac{0.174X+0.01aY}{X+Y}\times 100\%=P{\text{ }}{\text{，}}\\ X+Y=M{\text{ }}。 \end{array}} \right\}$

(1)

表 1 土样的物理性质

Table 1. Physical properties of soils

取土地点	颗粒相对质量密度 ${G_{{\text{s}}}}$	液限 ${w_{{\text{L}}}}$ /%	塑限 ${w_{\rm{P}}}$ /%	最大干密度 ${\rho _{{{\text{dmax}}}}}$ / (g·cm^-3)	最优含水率 ${w_{{{\text{op}}}}}$ /%	颗粒组成/%			土样分类
取土地点	颗粒相对质量密度 ${G_{{\text{s}}}}$	液限 ${w_{{\text{L}}}}$ /%	塑限 ${w_{\rm{P}}}$ /%	最大干密度 ${\rho _{{{\text{dmax}}}}}$ / (g·cm^-3)	最优含水率 ${w_{{{\text{op}}}}}$ /%	砂粒（2~0.075 mm）	粉粒（0.075~ 0.005 mm）	黏粒（≤0.005 mm）	土样分类
延安	2.71	30.3	18.0	1.78	16.0	1.4	81.2	17.4	低液限黏土（CL）

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式中：P为黏粒含量（%）；M为需要制备的不同黏粒含量的土样质量（g），根据具体试验类型和组数确定；X为制备某一黏粒含量土样所需的延安黄土（黏粒含量为17.4%）质量，Y为制备某一黏粒含量土样所需的低黏粒含量土质量；a为多次沉降底层土的黏粒含量。

根据细粒土化学性分散形成机理，向不同黏粒含量土样中分别掺入质量比0%，0.03%，0.05%，0.07%，0.09%，0.11%，0.13%，0.16%的碳酸钠，配制不同钠离子含量和酸碱度的土样，用以模拟自然条件下土样从非分散到过渡直至分散的不同化学性分散程度。按照黏粒含量和碳酸钠质量分数由小到大的顺序依次将土样命名，如土样编号为12.0（0.16），则表明土样的黏粒含量为12.0%，碳酸钠质量分数为0.16%。

1.2 试验方法

针孔试验、碎块试验、双密度计试验、孔隙水可溶性阳离子试验、交换性钠离子百分比试验根据《ASTM》^[2-6]、《分散性土研究》^[19]来进行，酸碱度试验按照《土工试验方法标准：GB/T 50123—2019》^[20]进行。

本文采用泥球试验代替碎块试验。泥球试验与碎块试验的原理相同，但是试样制备有所差异。泥球试验是将一定量过2 mm筛土样放入搪瓷碗中，加入适量纯水将土样调成均匀膏状，然后将膏状土样抟成直径约15 mm表面光滑的泥球。泥球由于含水率较大，土颗粒已吸水饱和，胶结物完全溶解，土球内部的结构不均匀应力基本消除，土颗粒崩解时没有气体迸发，而且土颗粒吸附阳离子的双电层充分扩展，能够真实反映土颗粒间的斥力与引力关系，克服常规碎块试验中因气体迸发扰动土体而导致土中的胶粒发生位移造成误判。

2. 结果分析与讨论

2.1 针孔试验

按照针孔试验方法的要求制备试样，试样的含水率为最优含水率，压实度为0.96。试验结束后记录最终水力坡降、针孔变化、水流颜色等。部分土样典型的针孔剖面和水流颜色见图 1，针孔试验判别结果见表 2。

图 1 典型土样针孔试验剖面及水流颜色

Figure 1. Profile and water flow color of typical soil samples in pinhole tests

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表 2 针孔试验判别结果

Table 2. Discriminated results of pinhole tests

黏粒含量/%	碳酸钠质量分数/%
黏粒含量/%	0	0.03	0.05	0.07	0.09	0.11	0.13	0.16
3.0	分	分	分	分	分	分	分	分
6.0	分	分	分	分	分	分	分	分
9.0	分	分	分	分	分	分	分	分
12.0	非	非	非	过	过	过	分	分
15.0	非	非	非	非	非	过	过	分
17.4	非	非	非	非	非	过	过	分
注：（1）“分”表示分散土，“过”表示过渡土，“非”表示非分散土；（2）判别标准：分散土，在50 mm水头下针孔迅速扩大1.5倍以上，水流混浊；过渡土，在180，380 mm水头下针孔扩大，水流混浊；非分散土，在1020 mm水头下针孔没有变化，水流清澈。

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由图 1和表 2可得，当黏粒含量不低于12.0%时，随着碳酸钠质量分数的增加，土样逐渐由非分散性转变为过渡性直至分散性，在碳酸钠质量分数不大于0.05%时，均表现为非分散性；在碳酸钠质量分数在0.07%~0.13%时，表现为非分散性、过渡性和分散性；在碳酸钠质量分数为0.16%时，表现为分散性。此外，在同一碳酸钠质量分数条件下，随着黏粒含量的增加，分散性减弱，部分土样由分散性转变为过渡性（如碳酸钠质量分数0.13%）或由过渡性转变为非分散性（如碳酸钠质量分数0.09%）。

当土样中不含碳酸钠时，黏粒含量不高于9.0%的土样表现为分散性，黏粒含量不低于12.0%的土样表现为非分散性，由此认为黏粒含量在9.0%~12.0%是细粒土产生物理性分散的界限。值得注意的是，对于黏粒含量不高于9.0%的土样，无论土体中是否掺入碳酸钠，在50 mm水头下冲蚀后水色浑浊，且孔径增大至2~4 mm，均判别为分散土，因此无法区分物理性分散（黏粒含量低引起的分散）与化学性分散（土体中钠离子含量高和酸碱度呈碱性引起的分散）。对于黏粒含量不低于12.0%的土样来讲，针孔试验具有很好的识别能力，即区分出分散土、过渡土和非分散土。因此，本研究表明针孔试验对于判别黏粒含量不低于12.0%的土样分散性具有较好的适用性。考虑到现有规范中针孔试验对于土样黏粒含量不低于10%或12%的规定，从工程安全的角度考虑，建议针孔试验适用于黏粒含量不低于10%的土样，同时认为黏粒含量10%是细粒土产生物理性分散的界限。

物理性分散土是由于土颗粒之间黏粒含量低引起的分散，它与化学性分散最大的不同就是分散颗粒大小不同，物理性分散土虽然抗冲蚀能力低，但是颗粒主要以粉粒为主，在设计反滤层时按照常规的设计方法进行设计；化学性分散主要是土颗粒遇水后，分散成很细小的胶粒，按照常规的设计方法进行的反滤层设计安全性降低。为了减少工程界对分散土的敏感，建议将物理性分散土称之为“低凝聚性土”。

2.2 泥球试验

按照泥球试验要求，制备直径约15 mm表面光滑的泥球，将其放入盛有200 mL纯水的容积为250 mL透明烧杯底部中央，观察泥球崩解变化并记录崩解时长，待试样在连续6 h内不再崩解变化时结束试验。部分土样典型泥球试验崩解情况见图 2，泥球试验判别结果见表 3。

图 2 典型土样泥球试验崩解情况

Figure 2. Disintegration of typical soil samples in mud ball tests

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表 3 泥球试验判别结果

Table 3. Discriminated results of mud ball tests

黏粒含量/%	碳酸钠质量分数/%
黏粒含量/%	0	0.03	0.05	0.07	0.09	0.11	0.13	0.16
3.0	非	过	分	分	分+	分+	分+	分+
6.0	非	过	过	分	分	分+	分+	分+
9.0	非	过	过	过	分	分+	分+	分+
12.0	非	非	非	过	分	分+	分+	分+
15.0	非	非	非	非	过	分+	分+	分+
17.4	非	非	非	非	过	分+	分+	分+
注：①“分+”表示强分散土，“分”表示分散土，“过”表示过渡土，“非”表示非分散土。②判别标准：非分散土，土水之间没有反应，土-水界面清晰。过渡土，土水之间轻微反应，土-水界面轻微模糊。分散土，土水之间中等反应，土-水界面模糊。强分散土，土水之间严重反应，土-水界面完全模糊。

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由图 2和表 3可看出，当土样不含有碳酸钠时，不同黏粒含量的土样均表现为非分散性；随着碳酸钠质量分数的增加，土样的分散性增强，由非分散性转变为过渡性、分散性，甚至是强分散性。当碳酸钠质量分数不大于0.07%时，随着土样黏粒含量升高，泥球遇水崩解形成的土块形状越大，且周围雾状胶粒越少，土-水界面逐渐清晰，直至完全清澈，表明土体由分散性转变为过渡性和非分散性。当碳酸钠质量分数为0.09%时，随着土样黏粒含量升高，土样由分散性转为过渡性；当碳酸钠质量分数不小于0.11%时，不同黏粒含量土样均表现为强分散性。

由此可见，如果土样不含有碳酸钠，泥球试验的判别结果均是非分散土，即泥球试验未识别出物理性分散土；相反，如果土中含有碳酸钠（即化学性分散土），根据泥球与水之间的胶粒反应程度可清晰准确地判别土样的分散程度。因此，泥球试验可适用于所有细粒土的分散性判别。

由于现有规范中规定碎块试验适用于黏粒含量不低于10%或12%的土样，故对于黏粒含量低于10%或12%的土一般不做碎块试验。但是本研究表明，当黏粒含量较低时，若土体中钠离子含量高，且土体呈强碱性，土样依然会呈现明显的分散性。已有工程实践也表明，这种物理-化学复合作用引起的分散土在自然界是存在的。因此，对于黏粒含量低于10%的土样，建议进行泥球试验，若泥球试验表现为分散性，则需要进一步深入研究。

此外，当黏粒含量不低于12.0%时，与针孔试验判别结果相比，泥球试验的判别结果更偏重安全，如对于碳酸钠质量分数为0.11%的土样，针孔试验结果表现为过渡性，而泥球试验结果均表现为分散性。

2.3 双密度计试验

按照双密度计试验的要求，采用土壤密度计，分别通过非常规方法（不煮沸，不加分散剂，抽气）和常规方法（煮沸，加分散剂）测定黏粒含量，求得分散度D。非常规方法测定黏粒含量是模拟土样在静水条件下土颗粒自行水化分散的能力。如果D值越高，则土体的分散能力越强。试验结果见图 3和表 4。

图 3 分散度与碳酸钠质量分数的关系图

Figure 3. Relationship between dispersive degree and mass fraction of sodium carbonate

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表 4 双密度计试验判别结果

Table 4. Discriminated results of double hydrometer tests

黏粒含量/%	碳酸钠质量分数/%
黏粒含量/%	0	0.03	0.05	0.07	0.09	0.11	0.13	0.16
3.0	非	非	非	非	非	过	过	分
6.0	非	非	非	非	非	过	过	分
9.0	非	非	非	非	非	过	过	分
12.0	非	非	非	非	非	过	分	分
15.0	非	非	非	非	非	过	分	分
17.4	非	非	非	非	非	过	分	分
注：①“分”表示分散土，“过”表示过渡土，“非”表示非分散土。②判别标准：一般认为其判别标准应为：非分散土（D < 30%）；过渡土（30% ≤ D ≤ 50%）；分散土（D > 50%）。

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图 3和表 4表明，当碳酸钠质量分数不大于0.09%时，土样的分散度均低于30%，属于非分散土；当碳酸钠质量分数为0.11%时，土样的分散度均在30%~50%，属于过渡土；当碳酸钠质量分数为0.13%时，黏粒含量3.0%，6.0%和9.0%土样属于过渡土，黏粒含量12.0%，15.0%和17.4%土样属于分散土；当碳酸钠质量分数为0.16%时，土样的分散度均大于60%，属于分散土。

在试验过程中发现，碳酸钠质量分数相同时，土样黏粒含量越高，测定的黏粒含量也越高，但是由于分散度是一个计算相对值，导致分散度随黏粒含量的变化趋势比较离散。从表 4中看出，当碳酸钠质量分数为0.13%时，黏粒含量为3.0%，6.0%，9.0%的土样属于过渡土，黏粒含量为12.0%，15.0%，17.4%的土样属于分散土。按照分散机理和泥球试验、针孔试验结果来判断，碳酸钠质量分数相同时，黏粒含量应该与分散度呈负相关性，但是双密度计试验结果却与之矛盾。由此可见，双密度计试验结果受黏粒含量和碳酸钠质量分数影响较大。

与泥球试验结果相比，当黏粒含量不高于9.0%时，双密度计试验的判别结果相同率只有25%；当黏粒含量不低于12.0%时，与针孔、泥球试验的判别结果相比，双密度计试验判别结果的相同率分别达到83.3%，70.8%。此外，考虑到密度计法测定颗粒级配时，由于人员、仪器、温度等因素，测定的结果有所偏差，尤其是在黏粒含量较低时，测定的误差偏大。因此，本研究表明，双密度计试验对于判别黏粒含量不低于12.0%的土样分散性具有较好的适用性；同样考虑到已有规范的规定，建议双密度计试验适用于黏粒含量不低于10%的土样。

2.4 孔隙水可溶性阳离子试验

钠百分比（sodium percent，P_s）是土体孔隙水溶液中可溶性的钠离子含量占阳离子总量的百分数，反映土颗粒中可溶性钠离子的相对含量。根据泥球试验、针孔试验和双密度计试验结果，选取碳酸钠质量分数分别为0%，0.05%，0.11%，0.16%的土样进行试验。钠百分比与黏粒含量之间的关系见图 4，孔隙水可溶性阳离子试验判别结果见表 5。

图 4 钠百分比与黏粒含量的关系

Figure 4. Relationship between sodium percentage and clay content

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表 5 孔隙水可溶性阳离子试验判别结果

Table 5. Discriminated results of pore water soluble cation tests

黏粒含量/%	碳酸钠质量分数/%
黏粒含量/%	0	0.05	0.11	0.16
3.0	非	分	分	分
6.0	非	分	分	分
9.0	非	分	分	分
12.0	非	分	分	分
15.0	非	分	分	分
17.4	非	分	分	分
注：①“分”表示分散土，“过”表示过渡土，“非”表示非分散土。②判别标准：当孔隙水中阳离子总量（TDS）≥ 1 1/n mmol/L时，非分散土，P_s < 40%；过渡土，40% ≤P_s < 60%；分散土，P_s ≥ 60%。

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从图 4和表 5可看出，当土样中不含有碳酸钠时，土样的P_s值随着黏粒含量的升高而增大，而且均低于40%，属于非分散土；当土样中碳酸钠质量分数分别为0.05%，0.11%，0.16%时，土样的P_s值随着黏粒含量增加均有所降低，但降低幅度都不大，且P_s值都大于60%，均判别为分散土。与泥球试验的判别结果相比，孔隙水可溶性阳离子试验判别结果相同率达到79.2%；当黏粒含量不低于12.0%时，与针孔试验的判别结果相比，孔隙水可溶性阳离子试验判别结果的相同率只有50%。因此，孔隙水可溶性阳离子试验可适用于所有细粒土的分散性判别。

2.5 交换性钠离子百分比试验

交换性钠离子百分比（exchangeable sodium percentage，P_es）是土体中交换性钠离子含量占阳离子交换量的百分数，反映土颗粒吸附钠离子的相对含量。根据泥球试验、针孔试验和双密度计试验结果，选取碳酸钠质量分数分别为0%，0.05%，0.11%，0.16%的土样进行试验。交换性钠离子百分比与黏粒含量之间的关系见图 5，交换性钠离子百分比试验判别结果见表 6。

图 5 交换性钠离子百分比与黏粒含量的关系

Figure 5. Relationship between exchangeable sodium ion percentage and clay content

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表 6 交换性钠离子百分比试验判别结果

Table 6. Discriminated results of exchangeable sodium ion percentage tests

黏粒含量/%	碳酸钠质量分数/%
黏粒含量/%	0	0.05	0.11	0.16
3.0	非	非	分	分
6.0	非	非	过	分
9.0	非	非	过	分
12.0	非	非	过	分
15.0	非	非	非	分
17.4	非	非	非	过
注：①“分”表示分散土，“过”表示过渡土，“非”表示非分散土。②判别标准：非分散土，P_es < 7；过渡土，7 ≤ P_es < 10；分散土，P_es ≥ 10。

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从图 5可看出，在同一碳酸钠质量分数下，随着黏粒含量的增加，交换性钠离子百分比降低；在同一黏粒含量条件下，随着碳酸钠含量的增加，交换性钠离子百分比增大。从表 6可看出，在碳酸钠质量分数不大于0.05%时，不同黏粒含量的土样均表现为非分散性；在碳酸钠质量分数为0.11%时，黏粒含量不高于12.0%的土样表现为分散性或过渡性，黏粒含量为15.0%，17.4%的土样表现为非分散性；在碳酸钠质量分数为0.16%时，黏粒含量不高于15.0%的土样均表现为分散性，黏粒含量为17.4%的土样表现为过渡性。

与泥球试验结果相比，交换性钠离子试验判别结果相同率达到62.5%；当黏粒含量不低于12.0%时，与针孔试验结果相比，交换性钠离子试验判别结果的相同率达到75%。因此，交换性钠离子百分比试验可适用于所有细粒土的分散性判别。

钠百分比和交换性钠离子百分比2个参数分别反映土-水-电解质系统中溶解态和吸附态的钠离子的相对含量，两者之间遵循“道南平衡”^[21]。以钠离子百分比为横坐标、交换性钠离子百分比为纵坐标绘制两者之间的关系图（见图 6）。从图 6可看出，两者之间符合显著的指数函数关系，随着P_s增加，P_es呈指数增加。由于两个试验均反映土体中的钠离子含量，因此，基于试验成本考虑，建议选择孔隙水可溶性阳离子试验。

图 6 钠百分比与交换性钠离子百分比的关系

Figure 6. Relationship between sodium percentage and exchangeable sodium ion percentage

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2.6 酸碱度试验

作为土壤化学性质的重要指标之一，酸碱度通过改变黏土颗粒表面的负电荷数量，影响双电层厚度，可大概反映土体的化学性分散程度。酸碱度试验结果见图 7。

图 7 酸碱度pH与黏粒含量的关系

Figure 7. Relationship between pH and clay content

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从图 7可看出，同一碳酸钠质量分数条件下，pH值随着黏粒含量升高而降低；在同一黏粒含量条件下，pH值随着碳酸钠质量分数增加而增大。与素土相比，碳酸钠引起的化学性分散土或物理-化学复合分散土的pH显著偏高，如泥球试验中判别为分散土的17.4（0.11）pH为9.55，而17.4（0）土样pH为8.61。

由土壤化学、土壤学等相关理论可知，土壤胶体吸附的交换性阳离子有两种类型：一类是致酸离子（如H⁺、Al³⁺），另一类是盐基离子（如K⁺、Na⁺、Ca²⁺、Mg²⁺）。两种类型的交换性阳离子组成的体系可提高土壤抵抗少量酸碱物质的能力即土壤缓冲性，致酸离子和盐基离子可以分别对OH^-、H⁺起缓冲作用，避免土壤酸碱度产生剧烈变化^[22-23]。因此，土壤黏粒含量越高，阳离子交换量越大，缓冲性越强，土壤pH变化越小。此外，黏土颗粒表面和边缘可能暴露出的羟基（SiOH）分解形成SiO^-和H⁺，该过程同样受pH值的影响。当土样碱性增强时，羟基（SiOH）分解形成的SiO^-增多，即土颗粒负电荷数增加，吸附的阳离子增多，当吸附的阳离子主要是钠离子时，颗粒表面易于形成扩散双电层使颗粒趋于分散^[24]。由于化学性分散土或物理-化学复合分散土的碱性要显著高于非分散土，可将其作为分散性判别的一种辅助指标。

2.7 综合评价方法分析与讨论

将碳酸钠质量分数为0%，0.05%，0.11%和0.16%的不同黏粒含量土样的泥球试验、针孔试验、双密度计试验、孔隙水可溶性阳离子试验和交换性钠离子百分比试验判别结果进行汇总（见表 7），探讨分析细粒土分散性的综合评价方法。

表 7 5种分散性试验判别结果汇总

Table 7. Summary of discriminated results of 5 kinds of dispersivity tests

黏粒含量/%	碳酸钠质量分数/%
	0					0.05					0.11					0.16
	泥	针	双	孔	交	泥	针	双	孔	交	泥	针	双	孔	交	泥	针	双	孔	交
3.0	非	—	—	非	非	分	—	—	分	非	分	—	—	分	分	分	—	—	分	分
6.0	非	—	—	非	非	过	—	—	分	非	分	—	—	分	过	分	—	—	分	分
9.0	非	—	—	非	非	过	—	—	分	非	分	—	—	分	过	分	—	—	分	分
12.0	非	非	非	非	非	非	非	非	分	非	分	过	过	分	过	分	分	分	分	分
15.0	非	非	非	非	非	非	非	非	分	非	分	过	过	分	非	分	分	分	分	分
17.4	非	非	非	非	非	非	非	非	分	非	分	过	过	分	非	分	分	分	分	过
注：①“分”表示分散土，过表示过渡土，“非”表示非分散土。②“泥”表示泥球试验，“针”表示针孔试验，“双”表示双密度计试验，“孔”表示孔隙水可溶性阳离子试验，“交”表示交换性钠离子百分比试验。③由于针孔试验和双密度计试验不适用黏粒含量低于10%的土样，故表中没有列出试验结果。

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当黏粒含量不高于9.0%时，随着碳酸钠质量分数的增加，土体的分散性逐渐增强。在碳酸钠质量分数为0%时，泥球、孔隙水可溶性阳离子和交换性钠离子百分比试验判别结果均表现为非分散性；在碳酸钠质量分数为0.05%时，泥球和孔隙水可溶性阳离子试验判别结果表现为分散性或过渡性，交换性钠离子百分比试验仍表现为非分散性；在碳酸钠质量分数为0.11%时，泥球和孔隙水可溶性阳离子试验表现为分散性，交换性钠离子百分比试验表现为分散性或过渡性；在碳酸钠质量分数为0.16%时，3种试验判别结果均表现为分散性。

当黏粒含量不低于12.0%时，随着碳酸钠质量分数的增加，土体的分散性同样逐渐增强。在碳酸钠质量分数为0%时，泥球、针孔、双密度计、孔隙水可溶性阳离子和交换性钠离子百分比试验均表现为非分散性；在碳酸钠质量分数为0.05%时，除了孔隙水可溶性阳离子试验表现为分散性外，其余4种试验均表现为非分散性，这说明孔隙水可溶性阳离子试验较为敏感（另一方面，也可能表明孔隙水可溶性阳离子试验现有判别标准对于P_s较低的土样不适用）；在碳酸钠质量分数为0.11%时，泥球和孔隙水可溶性阳离子试验表现为分散性，针孔和双密度计试验表现为过渡性，而交换性钠离子百分比试验表现为过渡性或非分散性；在碳酸钠质量分数为0.16%时，除交换性钠离子百分比试验中黏粒含量为17.4%土样表现为过渡性以外，其余土样的5种试验判别结果均表现为分散性。

综上所述，在细粒土的分散性试验中，泥球和孔隙水可溶性阳离子试验最为敏感。泥球试验是从土壤胶体化学观点出发，认为细粒土的分散原因是土颗粒在高钠离子含量和酸碱度呈碱性作用下胶粒分散而引起的，因而采用胶体析出的不同程度作为判别标准。泥球试验的结果与孔隙水可溶性阳离子试验、交换性钠离子百分比试验的结果具有很好的吻合性，也能证明土壤胶体化学观点的正确性。泥球试验简单易行，可直观看到土颗粒在静水中的崩解分散情况，它克服了原有的碎块试验由于含水率低引起的误判，但其自身的缺点在于它是一种定性的判别，缺乏定量的指标，而且在定性判别时需要丰富的经验。

针孔试验直观模拟土体中的裂缝或孔隙在渗透水流作用下所承受的冲蚀条件，具有广泛的工程现实意义，通常被认为是最可靠的鉴定方法^[7]。该试验的缺点是在黏粒含量不高于12.0%时无法区分土样分散性是由于黏粒含量低引起，还是由于高钠离子含量和酸碱度呈碱性引起。由于泥球试验和针孔试验分别模拟了静水、动水作用下土颗粒遇水分散状况，不但试验过程简单，而且判别结果能够相互补充、相互验证，因此，建议将泥球试验和针孔试验结果作为细粒土分散性综合判别依据。

双密度计试验是美国农业部土壤保持服务实验室Volk^[25]为了研究农业土壤的团粒结构而提出。岩土工程界为了解决分散土的判别问题，引用借鉴了该方法。但是，该方法的不足是对盐渍土不适用，因为盐离子的聚沉效应使得土水悬液很快分离，非常规测定颗粒级配试验无法进行。孔隙水可溶性阳离子和交换性钠离子百分比试验是通过测定土体孔隙水溶液中钠离子和土颗粒吸附态的钠离子相对含量，间接反映土颗粒的双电层厚度。双密度计、孔隙水可溶性阳离子和交换性钠离子百分比试验的评价标准，是根据大量的试验分析统计而来的经验值，存在许多例外情况，而且试验本身耗时耗力，不利于快速评价细粒土的分散性；但是这些方法对于进一步深入研究分散土产生的机理具有非常重要的意义。

根据上述分析与讨论，结合细粒土的分散机理，建议在细粒土分散性判别试验中，以泥球和针孔试验的判别结果作为综合判别依据；双密度计、孔隙水可溶性阳离子、交换性钠离子百分比和酸碱度试验作为分散机理的解释性试验。当土体黏粒含量低于10%时，以泥球试验结果为准；当土体黏粒含量不低于10%时，则需要泥球试验和针孔试验共同判别。当泥球和针孔试验判别结果不一致时，从工程安全的角度考虑，取分散性最强的结果作为最终判别结果。

3. 结论

（1）根据细粒土的分散产生机理，将分散土分为物理性分散土（可称之为低凝聚性土）、化学性分散土、物理-化学复合型分散土，其中黏粒含量10%是细粒土产生物理性分散的界限。

（2）泥球试验适用于所有细粒土，针孔试验适用于黏粒含量不低于10%的细粒土。当黏粒含量低于10%时，采用泥球试验的判别结果作为判别依据；否则，以泥球试验和针孔试验的判别结果作为综合判别依据；若泥球和针孔试验判别结果不一致，从工程安全的角度考虑，取分散性最强的结果作为最终判别结果。

（3）双密度计试验、孔隙水可溶性阳离子试验、交换性钠离子百分比试验作为细粒土产生分散性的机理解释性试验，不参与综合判别。孔隙水可溶性阳离子试验、交换性钠离子百分比试验适用于所有细粒土，双密度计试验适用于黏粒含量不小于10%的细粒土。酸碱度试验也可作为解释分散性机理的辅助试验。

图 1 退化验证结果对比

Figure 1. Comparison for verification results

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图 2 加载过程

Figure 2. Loading process

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图 3 沉降曲线

Figure 3. Curves of settlement

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图 4 超静孔隙水压力曲线

Figure 4. Curves of excess pore water pressure

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图 5 超静孔隙水压力剖面图

Figure 5. Profile of excess pore water pressure

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表 1 模型验证参数表

Table 1 Parameters used in verification

参数	试验1	试验2
C_c	0.29	0.29
C_kh	0.45	0.45
影响直径D_e/m	0.45	0.45
等效排水直径D_w/m	0.066	0.066
涂抹区直径D_s/m	0.2	0.2
初始水平向渗透系数k_h0/(10^-10m·s^-1)	4.4	4.0
k_h/k_s	1.5	1.5
初始孔隙比e₀	1.000	0.950
初始高度H/m	0.925	0.870
初始应力 ${σ^{'}}_{0}$ /kPa	20	50
外加荷载p/kPa	30	50

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表 2 排水参数表

Table 2 Parameters of drain properties

影响直径 $D_{e}$ /m	等效排水直径 $D_{w}$ /m	涂抹区直径 $D_{s}$ /m	$k_{h} / k_{s}$
1.26	0.067	0.2	5

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表 3 土性参数表

Table 3 Soil Parameters

深度/m	k_v0/(10^-9m·s^-1)	k_h0/(10^-9m·s^-1)	${σ^{'}}_{0}$ /kPa	$γ_{t}$ /(kN·m^-3)	e₀
0.0~2.0	6.21	6.64	9.40	19.4	0.796
2.0~3.0	3.21	3.60	22.90	18.2	1.098
3.0~6.0	3.21	3.60	39.30	18.2	1.098
6.0~8.5	3.21	3.60	61.85	18.2	1.098
8.5~9.5	3.21	3.60	76.20	18.2	1.098
9.5~12.0	0.69	0.93	90.30	18.0	1.193
12.0~16.0	0.69	0.93	116.30	18.0	1.193
16.0~20.0	0.69	0.93	148.30	18.0	1.193
20.0~24.5	0.69	0.93	182.30	18.0	1.193
24.5~29.6	1.16	1.50	222.74	18.8	1.193
深度/m	C_kv	C_kh	C_c	C_r	K_s
0.0~2.0	0.398	0.398	0.180	0.020	1.00
2.0~3.0	0.549	0.549	0.188	0.020	1.00
3.0~6.0	0.549	0.549	0.188	0.040	1.00
6.0~8.5	0.549	0.549	0.188	0.050	0.98
8.5~9.5	0.549	0.549	0.188	0.050	0.97
9.5~12.0	0.597	0.597	0.413	0.090	0.95
12.0~16.0	0.150	0.150	0.243	0.034	0.91
16.0~20.0	0.100	0.100	0.500	0.034	0.86
20.0~24.5	0.150	0.150	0.660	0.034	0.79
24.5~29.6	0.100	0.100	1.500	0.034	0.70
注：K_s为附加应力系数。

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参考文献(46)

[1]	娄炎, 何宁, 娄斌. 高速公路深厚软基工后沉降控制成套技术[M]. 北京: 人民交通出版社, 2011. LOU Yan, HE Ning, LOU Bin. Complete Set of Technology for Post-Construction Settlement Control of Expressway Deep Soft Foundation[M]. Beijing: China Communications Press, 2011. (in Chinese)
[2]	BARRON R A. Consolidation of fine-grained soils by drain wells[J]. Transactions of the American Society of Civil Engineers, 1948, 113: 718-742. doi: 10.1061/TACEAT.0006098
[3]	YOSHIKUNI H, NAKANODO H. Consolidation of soils by vertical drain wells with finite permeability[J]. Soils and Foundations, 1974, 14(2): 35-46. doi: 10.3208/sandf1972.14.2_35
[4]	HANSBO S. Consolidation of fine-grained soils by prefabricated drains[C]//Proceedings of the 10th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, 1981, Stockholm.
[5]	INDRARATNA B, REDANA I W. Plane strain modeling of smear effects associated with vertical drains[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1997, 123(5): 474-478. doi: 10.1061/(ASCE)1090-0241(1997)123:5(474)
[6]	TANG X W, ONITSUKA K. Consolidation by vertical drains under time-dependent loading[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2000, 24(9): 739-751. doi: 10.1002/1096-9853(20000810)24:9<739::AID-NAG94>3.0.CO;2-B
[7]	ZHU G F, YIN J H. Consolidation analysis of soil with vertical and horizontal drainage under ramp loading considering smear effects[J]. Geotextiles and Geomembranes, 2004, 22(1/2): 63-74. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0266114403000529
[8]	INDRARATNA B, RUJIKIATKAMJORN C, SATHANANTHAN L. Radial consolidation of clay using compressibility indices and varying horizontal permeability[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2005, 42(5): 1330-1341. doi: 10.1139/t05-052
[9]	INDRARATNA B, RUJIKIATKAMJORN C, SATHANANTHAN I. Analytical and numerical solutions for a single vertical drain including the effects of vacuum preloading[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2005, 42: 994-1014. doi: 10.1139/t05-029
[10]	WALKER R, INDRARATNA B. Vertical drain consolidation with parabolic distribution of permeability in smear zone[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2006, 132(7): 937-941. doi: 10.1061/(ASCE)1090-0241(2006)132:7(937)
[11]	DENG Y B, XIE K H, LU M M. Consolidation by vertical drains when the discharge capacity varies with depth and time[J]. Computers and Geotechnics, 2013, 48: 1-8. doi: 10.1016/j.compgeo.2012.09.012
[12]	LEI G H, ZHENG Q, NG C W W, et al. An analytical solution for consolidation with vertical drains under multi-ramp loading[J]. Géotechnique, 2015, 65(7): 531-541. doi: 10.1680/geot.13.P.196
[13]	XU B H, INDRARATNA B, TRUNG T, et al. A vertical and radial consolidation analysis incorporating drain degradation based on the spectral method[J]. Computers and Geotechnics, Elsevier Ltd, 2021, 129: 103862. doi: 10.1016/j.compgeo.2020.103862
[14]	LEKHA K R, KRISHNASWAMY N R, BASAK P. Consolidation of clays for variable permeability and compressibility[J]. Journal of Geotechnical and Geo- environmental Engineering, 2003, 129(11): 1001-1009. doi: 10.1061/(ASCE)1090-0241(2003)129:11(1001)
[15]	卢萌盟, 谢康和, 王玉林, 等. 碎石桩复合地基非线性固结解析解[J]. 岩石力学, 2010, 31(6): 1833-1840. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XAJZ202105007.htm LU Meng-meng, XIE Kang-he, WANG Yu-lin, et al. Analytical solution for nonlinear consolidation of stone column reinforced composite ground[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(6): 1833-1840. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XAJZ202105007.htm
[16]	郭霄, 谢康和, 卢萌盟, 等. 直排式真空预压法下竖井地基的非线性固结解析解[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2015, 46(2): 384-392. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-ZNGD201802017.htm GUO Xiao, XIE Kang-he, LU Meng-meng, et al. Nonlinear analytical solution for consolidation of vertical drains by straight-line vacuum preloading method[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2015, 46(2): 384-392. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-ZNGD201802017.htm
[17]	WALKER R, INDRARATNA B, RUJIKIATKAMJORN C. Vertical drain consolidation with non-Darcian flow and void-ratio dependent compressibility and permeability[J]. Géotechnique, 2012, 62(11): 985-997. doi: 10.1680/geot.10.P.084
[18]	LU M, WANG S, SLOAN S W, et al. Nonlinear radial consolidation of vertical drains under a general time-variable loading[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2015, 39: 51-62. doi: 10.1002/nag.2295
[19]	田乙, 吴文兵, 康成, 等. 基于椭圆柱等效的排水板非线性径向固结理论[J]. 岩石力学与工程学报, 2020, 39(增刊1): 3058-3066. doi: 10.13722/j.cnki.jrme.2019.0218 TIAN Yi, WU Wen-bing, KANG Cheng, et al. Nonlinear radial consolidation theory for prefabricated vertical drain based on the equivalent elliptical cylinder model[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2020, 39(S1): 3058-3066. (in Chinese) doi: 10.13722/j.cnki.jrme.2019.0218
[20]	江文豪, 詹良通. 考虑井阻随时间变化下砂井地基的非线性固结解[J]. 岩石力学与工程学报, 2021, 40(1): 187-195. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX202101017.htm JIANG Wen-hao, ZHAN Liang-tong. Analytical solution for nonlinear consolidation of sand-drained ground considering time-dependent well resistance[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2021, 40(1): 187-195. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX202101017.htm
[21]	LEE D, AN Y, KWAK T, et al. Nonlinear finite-strain self-weight consolidation of dredged material with radial drainage using carrillo’s formula[J]. Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, 2016, 142(6): 06016002. doi: 10.1061/(ASCE)WW.1943-5460.0000351
[22]	高广运, 聂春晓, 张海丘, 等. 塑料排水板结合真空预压法的径向固结解析解[J]. 同济大学学报(自然科学版), 2017, 45(9): 1290-1297. doi: 10.11908/j.issn.0253-374x.2017.09.006 GAO Guang-yun, NIE Chun-xiao, ZHANG Hai-qiu, et al. Radial consolidation solution of plastic wick drain combined vacuum preloading[J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2017, 45(9): 1290-1297. (in Chinese) doi: 10.11908/j.issn.0253-374x.2017.09.006
[23]	黄朝煊. 塑料排水板处理地基非线性固结计算研究[J]. 岩土力学, 2019, 40(12): 4819-4827. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201912031.htm HUANG Chao-xuan. Research on nonlinear consolidation calculation of foundation treated with prefabricated vertical drains[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 40(12): 4819-4827. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201912031.htm
[24]	KIM P, KIM H S, KIM Y G, et al. Nonlinear radial consolidation analysis of soft soil with vertical drains under cyclic loadings[J]. Shock and Vibration, 2020: 8810973.
[25]	江文豪, 詹良通. 真空联合堆载预压下基于指数形式渗流的砂井地基非线性固结解[J]. 工程力学, 2021, 38(2): 69-76, 133. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCLX202102010.htm JIANG Wen-hao, ZHAN Liang-tong. Analytical solution for nonlinear consolidation of sand-drained ground with exponential flow under vacuum combined surcharge preloading[J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(2): 69-76, 133. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-GCLX202102010.htm
[26]	ZHANG Y, WU W, MEI G, et al. Three-dimensional consolidation theory of vertical drain based on continuous drainage boundary[J]. Journal of Civil Engineering and Management, 2019, 25(2): 145-155.
[27]	LU M, WANG S, SLOAN S W, et al. Nonlinear consolidation of vertical drains with coupled radial-vertical flow considering well resistance[J]. Geotextiles and Geomembranes, Elsevier Ltd, 2015, 43(2): 182-189.
[28]	LIU S, GENG X, SUN H, et al. Nonlinear consolidation of vertical drains with coupled radial-vertical flow considering time and depth dependent vacuum pressure[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2019, 43(4): 767-780.
[29]	WANG L, HUANG P, LIU S, et al. Analytical solution for nonlinear consolidation of combined electroosmosis-vacuum -surcharge preloading[J]. Computers and Geotechnics, 2020, 121: 103484.
[30]	黄鹏华, 王柳江, 刘斯宏, 等. 真空堆载预压联合电渗竖向排水地基非线性固结解析解[J]. 岩石力学与工程学报, 2021, 40(1): 206-216. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX202101019.htm HUANG Peng-hua, WANG Liu-jiang, LIU Si-hong, et al. Nonlinear analytical solutions for vertical drainage consolidation of foundations under vacuum-surcharge preloading combined with electroosmosis[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2021, 40(1): 206-216. (in Chinese). https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX202101019.htm
[31]	TANG X W, ONITSUKA K. Consolidation of double-layered ground with vertical drains[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2001, 25(14): 1449-1465.
[32]	TANG X W, NIU B, CHENG G C, et al. Closed-form solution for consolidation of three-layer soil with a vertical drain system[J]. Geotextiles and Geomembranes, 2013, 36: 81-91.
[33]	NOGAMI T, LI M. Consolidation of clay with a system of vertical and horizontal drains[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2003, 129(9): 838-848.
[34]	ZHOU W H, LOK T M H, ZHAO L S, et al. Analytical solutions to the axisymmetric consolidation of a multi-layer soil system under surcharge combined with vacuum preloading[J]. Geotextiles and Geomembranes, Elsevier Ltd, 2017, 45(5): 487-498.
[35]	LIU J C, LEI G H, ZHENG M X. General solutions for consolidation of multilayered soil with a vertical drain system[J]. Geotextiles and Geomembranes, 2014, 42(3): 267-276.
[36]	GENG X, YU H-S. A large-strain radial consolidation theory for soft clays improved by vertical drains[J]. Géotechnique, 2017, 67(11): 1020-1028.
[37]	蒲诃夫, 李展毅, 宋丁豹, 等. 半透水边界下土体大变形非线性固结模型[J]. 华中科技大学报(自然科学版), 2019, 47(9): 107-112. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-HZLG201909019.htm PU He-fu, LI Zhan-yi, SONG Ding-bao. Large-strain nonlinear consolidation model for soil layer with impeded drainage boundaries[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology (Natural Science Edition), 2019, 47(9): 107-112. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-HZLG201909019.htm
[38]	杨鹏, 蒲诃夫, 郑俊杰, 等. 真空-堆载联合预压下竖井地基大变形非线性固结模型[J]. 岩石力学与工程学报, 2019, 38(10): 2103-2111. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201910016.htm YANG Peng, PU He-fu, ZHENG Jun-jie. A large-strain nonlinear consolidation model of saturated soft soils stabilized by the vacuum-surcharge combined preloading method[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2019, 38(10): 2103-2111. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201910016.htm
[39]	BOYD J P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods[M]. New York: Dover, 2000.
[40]	TREFETHEN L N. Spectral Methods in MATLAB[M]. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000.
[41]	WALKER R, INDRARATNA B, SIVAKUGAN N. Vertical and radial consolidation analysis of multilayered soil using the spectral method[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2009, 135(5): 657-663.
[42]	WALKER R, INDRARATNA B. Consolidation analysis of a stratified soil with vertical and horizontal drainage using the spectral method[J]. Géotechnique, 2009, 59(5): 439-449.
[43]	WALKER R T R, INDRARATNA B. Application of spectral Galerkin method for multilayer consolidation of soft soils stabilised by vertical drains or stone columns[J]. Computers and Geotechnics, Elsevier Ltd, 2015, 69: 529-539.
[44]	DAS M B. Advance Soil Mechanics[M]. 3rd ed. New York: Taylor & Francis, 2008.
[45]	TAVENAS F, JEAN P, LEBLOND P, et al. Permeability of natural soft clays: part ii permeability characteristics: reply[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1984, 21(4): 731-732.
[46]	LEE N K, CHUNG S G. Reevaluation of the factors influencing the consolidation of ground by incorporating prefabricated vertical drains[J]. KSCE, Journal of Civil Engineering, 2010, 14(2): 155-164.