钙质砂临界状态随颗粒破碎演化规律分析

王刚; 杨俊杰; 王兆南

doi:10.11779/CJGE202108016

钙质砂临界状态随颗粒破碎演化规律分析 English Version

王刚^{1, 2,},
杨俊杰^{1, 2},
王兆南^{1, 2}

1.
山地城镇建设与新技术教育部重点实验室,重庆　400045
2.
重庆大学土木工程学院,重庆　400045

基金项目:

国家自然科学基金项目 51679016

重庆市研究生科研创新项目 CYB20032

详细信息

作者简介:
王刚(1978— ),男,博士,教授,主要从事土的本构理论、土动力学及地震工程、数值分析等方面的研究工作。E-mail：cewanggang@163.com

中图分类号: TU441
计量
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出版历程
- 收稿日期: 2020-06-26
- 网络出版日期: 2022-12-02
- 刊出日期: 2021-07-31

Evolution of critical state of calcareous sand during particle breakage

WANG Gang^{1, 2,},
YANG Jun-jie^{1, 2},
WANG Zhao-nan^{1, 2}

1.
Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area, Chongqing University, Chongqing 400045, China
2.
School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China

摘要

摘要: 根据物理试验揭示的钙质砂颗粒破碎特征和发展规律,建立了可进行钙质砂三轴试验的离散元数值模型。首先通过预压均匀级配的钙质砂破碎生成不同初始级配的试样,进行不破碎三轴剪切过程的数值试验,以确定临界状态与固定级配的对应关系。结果表明,一个固定级配对应一条固定的临界状态线,在压缩平面内各固定级配临界状态线基本平行但是位置随颗粒级配的拓宽（颗粒破碎程度的增大）而逐渐降低。然后,采用相同均匀级配的试样,进行加载过程颗粒可破碎的三轴试验,以揭示实际三轴试验中临界状态线的变化机理。结果表明,在e–p–B_r三维空间中,可破碎三轴试验的各临界状态点都落在由固定级配临界状态线所确定的破碎临界状态面上,说明临界状态由最终的颗粒级配决定,而与产生该颗粒级配的过程无关。实际物理试验中,不同围压和应力路径达到临界状态时颗粒破碎程度的不同是导致实测临界状态线出现复杂变化的机理；在三轴压缩剪切情况下,颗粒破碎程度基本随着有效球应力的增大而增大,所以实测的颗粒破碎临界状态线相对于固定级配的临界状态线呈现出旋转的变化。
- 颗粒破碎 /
- 钙质砂 /
- 离散元 /
- 级配演化 /
- 临界状态
Abstract: Based on the particle breakage characteristics and development laws of calcareous sand from physical triaxial test results, a discrete element numerical model is established for conducting numerical triaxial tests. First, the specimens with different initial gradings are generated by pre-crushing a uniformly graded calcareous sand under different pressures, and the numerical tests without breakage during the following triaxial shear process are carried out to determine the relationship between the critical state and the fixed grading. The results show that the fixed grading has a fixed critical state line, and the critical state lines of different gradings are basically parallel, but their position decreases gradually with the broader grading (i.e., the increasing breakage) in the e-p compression plane. Afterwards, the numerical tests of crushable particles during loading process are conducted on the specimens with the same uniform grading so as to reveal the evolution mechanism of the critical state during real triaxial tests on crushable soils. The results show that in the three-dimensional e-p-B_r space, the points of the critical state from the crushable tests fall on the surface of the breakage critical state determined by the fixed critical state lines from the non-crushable tests, indicating that the critical state depends only on the final grading regardless of the intermediate process to achieve the final grading. In real physical tests, the particle breakage extent of the points at the measured critical state line is different, and thus the critical state line exhibits complicated nonlinear form. Under triaxial compression conditions, the particle breakage increases with the increasing mean effective stress, leading to the rotation of the measured critical state line.
- particle breakage /
- calcareous sand /
- DEM /
- gradation evolution /
- critical state

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0. 引言

随着经济社会的发展，城市跨江、跨海交通工程的建设与日俱增，水下隧道工程发挥着重要作用，未来将会有越来越多的水下隧道穿越高烈度地震区。然而，目前关于水下隧道工程抗减震技术的研究较少，可供参考的案例和经验有限，因此，开展水下隧道结构的地震响应研究具有重要的科研和实践意义。

关于饱和土中隧道结构对弹性波的散射问题，主要集中在体波(P波^[1-2]、SV波^[3])方面，然而，与体波相比，Rayleigh面波周期较长、振幅较大，一般在离震中较远的场地中沿地表水平方向传播，在远场其能量是占优的^[4]。Rayleigh波的振幅沿竖向呈指数型衰减，其能量主要集中在距自由表面1.5~2倍Rayleigh波波长范围内^[5]，研究表明，浅埋隧道的震害与Rayleigh波关系密切^[6]，与深埋隧道相比，浅埋隧道在Rayleigh波作用下更容易发生破坏，应该引起足够重视。

近年来，国内外学者从多种角度研究了Rayleigh波作用下隧道结构的动力响应问题。Gregory^[7]较早的研究了弹性半空间中地下圆形隧洞对Rayleigh波散射问题，分析了Rayleigh波产生、放大与反射的原理；Höllinger等^[8]采用波函数展开法，研究了脉冲Rayleigh波作用下弹性半空间中地下隧洞与地表之间多重散射问题；Luco等^[9]基于间接积分边界元法，研究了黏弹性半空间中圆形隧洞对Rayleigh波的散射问题；梁建文等^[10]基于波函数展开法，推导了Rayleigh波入射下浅埋隧道的动应力集中系数解析解；刘中宪等^[4]基于间接边界积分方程法，研究了弹性半空间中衬砌隧道对入射Rayleigh波的散射问题；Liu等^[11]等基于复变函数法和镜像技术，给出了浅埋圆形无衬砌隧道和衬砌隧道对入射平面Rayleigh波散射的闭合解析解，但以上研究的场地均假设为单相介质，而实际场地通常是含水的饱和介质，地震波在饱和土中的传播特性与单相介质情况下具有显著差异。

研究表明^[12]，Rayleigh波在单相弹性介质中的传播不会发生频散，相速度仅与泊松比相关，然而，在流体饱和介质中Rayleigh波却是衰减的，衰减特性与土骨架的刚度和固结程度关系密切^[13]，当介质泊松比较高、或者Rayleigh波波速大于P₂波速时，相速度可能为复数，衰减率(相速度的虚部)与频率相关^[14]。刘优平等^[15]基于Biot波动理论，采用复变函数法，研究了饱和土中浅埋输水管道对入射Rayleigh波的散射问题；徐颖等^[16]基于Biot波动理论，采用间接边界积分方程法，研究了饱和土中浅埋无衬砌隧洞对平面Rayleigh波的散射问题。目前，关于饱和土中浅埋隧道结构对Rayleigh波散射问题的研究仍较为匮乏，涉及复合式衬砌情况的则更鲜有报道，难以满足水下隧道工程设计上的需求，相关基础研究亟需完善。

本文基于Biot波动理论和Fourier-Bessel级数展开法，建立了平面Rayleigh波入射下，浅埋隧道复合式衬砌的散射力学模型，求解了频域内复合式衬砌的动应力集中系数、孔压集中系数的解析解，通过参数化分析，研究了Rayleigh波在不同入射频率作用下，内衬和外衬的刚度比、厚度比等因素对复合式衬砌动力响应的影响规律，并提出相应的抗减震设计参数。研究成果可为水下隧道的抗减震设计提供理论支撑。

1. 计算模型

如图 1所示，饱和土中有一无限长浅埋圆形复合式衬砌隧道，力学模型可以简化为平面应变问题。

图 1 力学模型

Figure 1. Mechanical model

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为方便不同坐标系之间的转换，利用一个半径足够大的圆弧代替水平自由地表^[17]，以表示地面大圆弧的半径，取 $b = 1000{a_1}$ ，圆弧的圆心位于 ${o_2}$ 点，以D表示 ${o_1}$ 点和 ${o_2}$ 点之间的距离。外衬厚度为 ${\delta _{\text{p}}} =$ ${a_3} -$ ${a_2}$ ，内衬厚度为 ${\delta _{\text{l}}} = {a_2} - {a_1}$ 。隧道埋深为h。饱和土和衬砌为弹性、均质、各向同性的。

1.1 饱和土中自由场波势函数

与饱和土中平面P波、SV波入射不同，Rayleigh波沿地表入射时，在饱和土表面没有反射波的产生^[18]。设一自振圆频率为 $\omega$ 的Rayleigh波沿x轴水平入射，忽略时间因子 ${{\text{e}}^{ - {\text{i}}\omega t}}$ ，在直角坐标系 $(x, y)$ 中Rayleigh波波势函数可表示为^[13]

，

$\phi _1^{\text{R}}(x, y) = {A_1}\exp ({\text{i}}{k_{\text{R}}}x - {\nu _{\alpha 1}}y) \text{，}$

(1)

，

$\phi _2^{\text{R}}(x, y) = {A_2}\exp ({\text{i}}{k_{\text{R}}}x - {\nu _{\alpha 2}}y) \text{，}$

(2)

，

${\psi ^{\text{R}}}(x, y) = B\exp ({\text{i}}{k_{\text{R}}}x - {\nu _\beta }y) \text{，}$

(3)

式中，A₁，A₂，B为Rayleigh波波势函数的系数， ${k_{\text{R}}}$ 为Rayleigh波波数， ${\nu _{\alpha 1}} = {k_{\text{R}}}\sqrt {1 - \xi _1^2}$ ， ${\nu _{\alpha 2}} = {k_{\text{R}}}\sqrt {1 - \xi _2^2}$ ， ${\nu _\beta } = {k_{\text{R}}}\sqrt {1 - {\xi ^2}}$ ， ${\xi ^2} = {({c_{\text{R}}}/{c_{{\text{s, s}}}})^2}$ ， $\xi _1^2 = {({c_{\text{R}}}/{c_{{\text{p1, s}}}})^2} =$ ${c_1}{\xi ^2}$ ， $\xi _2^2 = {({c_{\text{R}}}/{c_{{\text{p2, s}}}})^2} = {c_2}{\xi ^2}$ ， ${c_{\text{R}}}$ 为Rayleigh波波速， ${c_1} = {({c_{{\text{s, s}}}}/{c_{{\text{p1, s}}}})^2}$ ， ${c_2} = {({c_{{\text{s, s}}}}/{c_{{\text{p2, s}}}})^2}$ ， ${c_{{\text{p1, s}}}}$ ， ${c_{{\text{p2, s}}}}$ ， ${c_{{\text{s, s}}}}$ 分别为P₁波波速，P₂波波速，和SV波波速。

饱和土和衬砌结构的应力、位移、以及孔压在极坐标系下的表达式分别为^[13]

${u_r} = \sum\nolimits_{j = 1}^2 {\left( {\frac{{\partial {\phi _j}}}{{\partial r}}} \right)} + \frac{1}{r}\left( {\frac{{\partial \psi }}{{\partial \theta }}} \right) \text{，}$

(4)

${u_\theta } = \sum\nolimits_{j = 1}^2 {\left( {\frac{1}{r}\frac{{\partial {\phi _j}}}{{\partial \theta }}} \right)} - \left( {\frac{{\partial \psi }}{{\partial r}}} \right) \text{，}$

(5)

${U_r} = \sum\nolimits_{j = 1}^2 {\left( {\frac{{\partial {\Phi _j}}}{{\partial r}}} \right)} + \frac{1}{r}\left( {\frac{{\partial \Psi }}{{\partial \theta }}} \right) \text{，}$

(6)

${\tau _{rr}} = \sum\nolimits_{j = 1}^2 {\left[ {(A + {n_j}Q){\nabla ^2}{\phi _j} + 2N\left( {\frac{{{\partial ^2}{\phi _j}}}{{\partial {r^2}}}} \right)} \right] + }\\ 2N\left( {\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{1}{r}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \theta }}} \right)} \right) \text{，}$

(7)

${\tau _{\theta \theta }} = \sum\nolimits_{j = 1}^2 {\left[ {(A + {n_j}Q){\nabla ^2}{\phi _j} + \frac{{2N}}{r}\left( {\frac{{\partial {\phi _j}}}{{\partial r}} + \frac{1}{r}\frac{{{\partial ^2}{\phi _j}}}{{\partial {\theta ^2}}}} \right)} \right] - }\\ 2N\left( {\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{1}{r}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \theta }}} \right)} \right) \text{，}$

(8)

${\tau _{r\theta }} = \sum\nolimits_{j = 1}^2 {\left[ {2N\left( {\frac{1}{r}\frac{{{\partial ^2}{\phi _j}}}{{\partial r\partial \theta }} - \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{\partial {\phi _j}}}{{\partial \theta }}} \right)} \right] + } N\left( {\frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {\theta ^2}}} - r\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{1}{r}\frac{{\partial \psi }}{{\partial r}}} \right)} \right) \text{，}$

(9)

$\sigma = \sum\nolimits_{j = 1}^2 {(Q + {n_j}R){\nabla ^2}{\phi _j}} \text{，}$

(10)

式中， ${u_r}$ ， ${u_\theta }$ 为饱和土中固相的径向位移和环向位移， ${U_r}$ 为饱和土中流体的径向位移， ${\tau _{rr}}$ ， ${\tau _{\theta \theta }}$ ， ${\tau _{r\theta }}$ 分别为衬砌结构的径向应力、环向应力和剪应力， $\sigma$ 为饱和土中流体孔压，限于篇幅，A，N，R，Q， ${\eta _j}$ 等参数取值详见文献[13]。

自由场Rayleigh波势函数的系数可以由地表自由边界条件确定^[12-13]。

(1) 地表透水边界条件

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - {M_1}\xi _1^2}&{2 - {M_2}\xi _2^2}&{ - 2{\text{i}}\sqrt {1 - {\xi ^2}} } \\ {2{\text{i}}\sqrt {1 - {\xi _1}^2} }&{2{\text{i}}\sqrt {1 - \xi _2^2} }&{2 - {\xi ^2}} \\ { - {S_1}\xi _1^2}&{ - {S_2}\xi _2^2}&0 \end{array}} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}} \\ {{A_2}} \\ B \end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right\} 。$

(11)

(2) 地表不透水边界条件

$\left[\begin{array}{ccc}2-{M}_{1}{\xi }_{1}^{2}& 2-{M}_{2}{\xi }_{2}^{2}& -2\text{i}\sqrt{1-{\xi }^{2}}\\ 2\text{i}\sqrt{1-{\xi }_{1}{}^{2}}& 2\text{i}\sqrt{1-{\xi }_{2}^{2}}& 2-{\xi }^{2}\\ (1-{\eta }_{1})\sqrt{1-{\xi }_{1}{}^{2}}& (1-{\eta }_{2})\sqrt{1-{\xi }_{1}{}^{2}}& -\text{i}(1-{\eta }_{3})\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_{1}\\ {A}_{2}\\ B\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right\}\text{，}$

(12)

式中， ${M_j} = {\text{(}}P + {\eta _j}Q{\text{)}}/{\mu _{\text{s}}}$ ， ${S_j} = {\text{(}}Q + {\eta _j}R{\text{)}}/{\mu _{\text{s}}}$ ， ${\text{(}}j = 1, 2{\text{)}}$ ， $P = A + 2N$ 。

为使齐次方程组(11)，(12)得到非零解，须令矩阵系数行列式为零，进一步求解可得，地表透水边界条件下Rayleigh波的波速方程

${(2 - {\xi ^2})^2} - 4\sqrt {1 - {\xi ^2}} ({\kappa _2}\sqrt {1 - {c_1}{\xi ^2}} - {\kappa _1}\sqrt {1 - {c_2}{\xi ^2}} ) = 0 。$

(13)

地表不透水边界条件下Rayleigh波的波速方程

$(2 - {M_1}\xi _1^2)\sqrt {1 - {c_2}{\xi ^2}} \left[ {2(1 - {\eta _3}) - (1 - {\eta _2})(2 - {\xi ^2})} \right] - \\ (2 - {M_2}\xi _2^2)\sqrt {1 - {c_1}{\xi ^2}} \left[ {2(1 - {\eta _3}) - (1 - {\eta _1})(2 - {\xi ^2})} \right] + \\ 4({\eta _1} - {\eta _2})\sqrt {(1 - {\xi ^2})(1 - {c_1}{\xi ^2})(1 - {c_2}{\xi ^2})} = 0 \text{，}$

(14)

式中， ${\kappa _j} = {c_j}{S_j}/({c_2}{S_2} - {c_1}{S_1})$ ， $(j = 1, 2)$ 。

通过Rayleigh波波速方程可求得 ${\xi ^2}$ ，即可求得 ${k_R}$ ， ${\nu _{\alpha 1}}$ ， ${\nu _{\alpha 2}}$ ， ${\nu _\beta }$ ，进一步可求解入射Rayleigh波波势函数的系数A₁，A₂，B。

由于自由场中入射Rayleigh波的Fourier-Bessel级数形式是在衬砌表面近似展开的，其结果与解析解相比存在一定的误差。借鉴既有研究^[19]，采用先求导后展开的方法处理入射Rayleigh波，可避免通过波势函数进行求导而造成方程组累积误差放大的情况。将势函数表达式(1)~(3)代入式(4)~(10)，得到Rayleigh波各分量对位移和应力的贡献，表达式为

${u_{r, \phi _1^{\text{R}}}} = ({\text{i}}{k_{\text{R}}}\sin {\theta _1} - {\nu _{\alpha 1}}\cos {\theta _1})\phi _1^R({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(15)

${u_{r, \phi _2^{\text{R}}}} = ({\text{i}}{k_{\text{R}}}\sin {\theta _1} - {\nu _{\alpha 2}}\cos {\theta _1})\phi _2^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(16)

${u_{r, {\psi ^{\text{R}}}}} = ({\text{i}}{k_{\text{R}}}\cos {\theta _1} - {\nu _\beta }\sin {\theta _1}){\psi ^{\text{R}}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(17)

${u_{\theta , \phi _1^{\text{R}}}} = ({\text{i}}{k_{\text{R}}}\cos {\theta _1} + {\nu _{\alpha 1}}\sin {\theta _1})\phi _1^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(18)

${u_{\theta , \phi _2^{\text{R}}}} = ({\text{i}}{k_{\text{R}}}\cos {\theta _1} + {\nu _{\alpha 2}}\sin {\theta _1})\phi _2^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(19)

${u_{\theta , {\psi ^{\text{R}}}}} = - ({\text{i}}{k_{\text{R}}}\sin {\theta _1} - {\nu _\beta }\cos {\theta _1}){\psi ^{\text{R}}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(20)

${\tau _{rr, \phi _1^{\text{R}}}} = (A + {\eta _1}Q)({\text{i}}k_{\text{R}}^{\text{2}} + \nu _{\alpha 1}^2)\phi _1^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(21)

${\tau _{rr, \phi _2^{\text{R}}}} = {\text{(}}A + {\eta _2}Q)({\text{i}}k_{\text{R}}^{\text{2}} + \nu _{\alpha 2}^2)\phi _2^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(22)

$\tau _{rr, {\psi ^{\text{R}}}}^{} = N[\sin 2{\theta _1}({\text{i}}k_{\text{R}}^{\text{2}} - \nu _\beta ^2) - 2\cos 2{\theta _1}{\text{i}}{k_{\text{R}}}{\nu _\beta }]{\psi ^{\text{R}}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(23)

${\tau _{r\theta , \phi _1^{\text{R}}}} = N[\sin 2{\theta _1}({\text{i}}k_{\text{R}}^2 - \nu _{\alpha 1}^2) - 2\cos 2{\theta _1}{\text{i}}{k_{\text{R}}}{\nu _{\alpha 1}}]\phi _1^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(24)

${\tau _{r\theta , \phi _2^{\text{R}}}} = N[\sin 2{\theta _1}({\text{i}}k_{\text{R}}^{\text{2}} - \nu _{\alpha 2}^2) - 2\cos 2{\theta _1}{\text{i}}{k_{\text{R}}}{\nu _{\alpha 2}}]\phi _2^{\text{R}}{\text{(}}{r_1}, {\theta _1}{\text{)}} \text{，}$

(25)

${\tau _{r\theta , {\psi ^{\text{R}}}}} = N[\cos 2{\theta _1}({\text{i}}k_{\text{R}}^{\text{2}} - \nu _\beta ^2) + 2\sin 2{\theta _1}{\text{i}}{k_{\text{R}}}{\nu _\beta }]{\psi ^{\text{R}}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(26)

${\sigma _{\phi _1^{\text{R}}}} = ({\text{i}}k_{\text{R}}^{\text{2}} + \nu _{\alpha 1}^2)(Q + {\eta _1}R)\phi _{\text{1}}^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(27)

${\sigma _{\phi _2^{\text{R}}}} = ({\text{i}}k_{\text{R}}^{\text{2}} + \nu _{\alpha 2}^2)(Q + {\eta _2}R)\phi _{\text{2}}^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(28)

${U_{r, \phi _{\text{1}}^{\text{R}}}} = {\eta _1}({\text{i}}{k_{\text{R}}}\sin {\theta _1} - {\nu _{\alpha 1}}\cos {\theta _1})\phi _{\text{1}}^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(29)

${U_{r, \phi _{\text{2}}^{\text{R}}}} = {\eta _2}({\text{i}}{k_{\text{R}}}\sin {\theta _1} - {\nu _{\alpha 2}}\cos {\theta _1})\phi _{\text{2}}^{\text{R}}({r_1}, {\theta _1}) \text{，}$

(30)

${U_{r, {\psi ^{\text{R}}}}} = {\eta _3}({\text{i}}{k_{\text{R}}}\cos {\theta _1} + {\nu _\beta }\sin {\theta _1}){\psi ^{\text{R}}}({r_1}, {\theta _1}) 。$

(31)

进一步可将式(15)~(31)展开为有限Fourier级数，以式(15)为例，有如下表达式^[20]：

$u_{r, \phi _1^R}^* = \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {\left[ {{a_n}({r_1})\cos n{\theta _1} + {b_n}({r_1})\sin n{\theta _1}} \right]} + \\ \frac{{{a_0}({r_1})}}{2} + \frac{{{a_N}({r_1})}}{2}\cos N{\theta _1} \text{，}$

(32)

式中， ${a}_{n}({r}_{1})=\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{L=0}^{2N-1}{u}_{r, {\phi }_{1}^{\text{R}}}\left({r}_{1}，\frac{\text{π}L}{N}\right)\mathrm{cos}\left(n\frac{\text{π}L}{N}\right)}$ ， ${b_n}({r_1}) =$ $\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{L=0}^{2N-1}{u}_{r, {\phi }_{1}^{\text{R}}}\left({r}_{1}，\frac{\text{π}L}{N}\right)\mathrm{sin}\left(n\frac{\text{π}L}{N}\right)}$ 。

进一步有

$u_{r, \phi _1^{\text{R}}}^* = \sum\limits_{n = 0}^N {({A_{10, n}}\cos n{\theta _1} + {B_{10, n}}\sin n{\theta _1})} \text{，}$

(33)

式中，

$\left\{ \begin{array}{l}{A}_{10, 0}={a}_{0}({r}_{1})/2\\ {A}_{10, n}={a}_{n}({r}_{1})\text{ }(n=1~(N-1))\\ {A}_{10, N}={a}_{N}({r}_{1})/2\end{array} \right.\text{ }，$

${B_{10, N}} = {b_N}({r_1})\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}(n = 0 \sim N) 。$

式(16)~(31)的有限Fourier级数展开方法与式(15)的步骤完全相同，不再赘述。至此，已求得入射Rayleigh波在自由场内贡献的位移、应力、孔压的Fourier级数表达，可直接把上述应力和位移展开式的系数分量代入相关边界条件中进行方程求解。

1.2 饱和土中散射场波势函数

当入射Rayleigh波在饱和土中遇到隧道结构时，在饱和土与隧道交界面将产生径向的外行散射P₁波 ${\phi _{{\text{1, s1}}}}({r_1}, {\theta _1})$ 、P₂波 ${\phi _{2, {\text{s}}1}}({r_1}, {\theta _1})$ 和SV波 ${\psi _{{\text{s1}}}}({r_1}, {\theta _1})$ ，以及地表产生的附加内聚散射P₁波 ${\phi _{{\text{1, s2}}}}({r_2}, {\theta _2})$ 、P₂波 ${\phi _{{\text{2, s2}}}}({r_2}, {\theta _2})$ 、和SV波 ${\psi _{{\text{s2}}}}({r_2}, {\theta _2})$ ，这些散射波势函数的Fourier-Bessel级数展开式可表示为

${\phi _{{\text{1, s1}}}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\text{H}}_n^{\left( 1 \right)}({k_{{\text{s}}\alpha , 1}}{r_1})(A_{{\text{s}}1, n}^{\left( 1 \right)}\cos n{\theta _1} + B_{{\text{s}}1, n}^{\left( 1 \right)}\sin n{\theta _1})} \text{，}$

(34)

${\phi _{{\text{2, s1}}}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\text{H}}_n^{\left( 1 \right)}({k_{{\text{s}}\alpha , 2}}{r_1})(C_{{\text{s}}1, n}^{\left( 1 \right)}\cos n{\theta _1} + D_{{\text{s}}1, n}^{\left( 1 \right)}\sin n{\theta _1})} \text{，}$

(35)

${\psi _{{\text{s1}}}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{\text{H}}_n^{\left( 1 \right)}({k_{{\text{s}}\beta }}{r_1})(E_{{\text{s}}1, n}^{\left( 1 \right)}\sin n{\theta _1} + F_{{\text{s1}}, n}^{\left( 1 \right)}\cos n{\theta _1})} \text{，}$

(36)

${\phi }_{1, \text{s}2}({r}_{2}, {\theta }_{2})={\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\text{J}}_{m}({k}_{\text{s}\alpha , 1}{r}_{2})({A}_{\text{s}2, m}^{\left(2\right)}\mathrm{cos}m{\theta }_{2}+{B}_{\text{s}2, m}^{\left(2\right)}\mathrm{sin}m{\theta }_{2})\text{ }}\text{，}$

(37)

${\phi }_{2, \text{s}2}({r}_{2}, {\theta }_{2})={\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\text{J}}_{m}({k}_{\text{s}\alpha , 2}{r}_{2})({C}_{\text{s}2, m}^{\left(2\right)}\mathrm{cos}m{\theta }_{2}+{D}_{\text{s}2, m}^{\left(2\right)}\mathrm{sin}m{\theta }_{2})}\text{，}$

(38)

${\psi _{{\text{s2}}}}({r_2}, {\theta _2}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{\text{J}}_m}({k_{{\text{s}}\beta }}{r_2})(E_{{\text{s}}2, m}^{\left( 2 \right)}\sin m{\theta _2} + F_{{\text{s}}2, m}^{\left( 2 \right)}\cos m{\theta _2})} \text{，}$

(39)

式中， ${\text{H}}_n^{\left( 1 \right)}( \cdot )$ 为第一类Hankel函数，其满足Sommerfeld辐射条件， ${{\text{J}}_n}( \cdot )$ 为第一类Bessel函数， ${{\text{J}}_n}( \cdot )$ 和 ${\text{H}}_n^{\left( 1 \right)}( \cdot )$ 为波动方程解空间的一组基函数，因此使得各种类型的P₁波、P₂波、SV波的表达式均是完备的^[21]。 $A_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ ， $B_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ ， $C_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ ， $D_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ ， $E_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ ， $F_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ 和 $A_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $B_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $C_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $D_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $E_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $F_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ 为待定系数。

由于上述波势函数分别在不同坐标系中给出，为便于分析，需要进行坐标转换。这里引入Graf加法公式^[22]，可以满足 ${o_1}$ ， ${o_2}$ 坐标系之间的转换，通过Graf加法变换即可得到散射场波势函数在另一个坐标系下的表达式。

${C_n}(k{r_1})\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos n{\theta _1}} \\ {\sin n{\theta _1}} \end{array}} \right\} = \sum\nolimits_{m = 0}^\infty {\frac{{{\varepsilon _m}}}{2}{C_m}(k{r_2})} [{{\text{J}}_{m + n}}(kD) \pm$

${( - 1)^n}{{\text{J}}_{m - n}}(kD)]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos m{\theta _2}} \\ {\sin m{\theta _2}} \end{array}} \right\}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}({r_2} > D) \text{，}$

(40)

${C_n}(k{r_2})\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos n{\theta _2}} \\ {\sin n{\theta _2}} \end{array}} \right\} = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {\frac{{{\varepsilon _n}}}{2}{{\text{J}}_n}(k{r_1})} [{C_{m + n}}(kD) \pm$

${( - 1)^m}{C_{n - m}}(kD)]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos n{\theta _1}} \\ {\sin n{\theta _1}} \end{array}} \right\}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}({r_2} > D) 。$

(41)

1.3 饱和土中总波场势函数

饱和土中固相的总波场由自由波场和散射波场组成，即入射Rayleigh波、地表散射P₁波、P₂波、和SV波，以及饱和土与衬砌交界面散射P₁波、P₂波、和SV波，进而可以得到饱和土中固相部分的总波场势函数表达

$\phi = \phi _1^R + \phi _2^R + {\phi _{{\text{1, s1}}}} + {\phi _{{\text{2, s1}}}} + {\phi _{{\text{1}}{\text{.s2}}}} + {\phi _{{\text{2, s2}}}} \text{，}$

(42)

$\psi = {\psi ^R} + {\psi _{{\text{s1}}}} + {\psi _{{\text{s2}}}} 。$

(43)

1.4 外层衬砌中散射场波势函数

在外衬中，存在与饱和土交界面产生的内聚散射P波 ${\phi _{{\text{p1}}}}({r_1}, {\theta _1})$ 和SV波 ${\psi _{{\text{p1}}}}({r_1}, {\theta _1})$ ，以及与内衬交界面产生的外行散射P波 ${\phi _{{\text{p2}}}}({r_1}, {\theta _1})$ 和SV波 ${\psi _{{\text{p2}}}}({r_1}, {\theta _1})$ ，外衬中的波势函数展开成Fourier-Bessel级数形式

${\phi _{{\text{p1}}}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{\text{J}}_n}({k_{{\text{p}}\alpha }}{r_1})(A_{{\text{p}}1, n}^{\left( 1 \right)}\cos n{\theta _1} + B_{{\text{p}}1, n}^{\left( 1 \right)}\sin n{\theta _1})} \text{，}$

(44)

${\psi _{{\text{p1}}}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{J} _n}({k_{{\text{p}}\beta }}{r_1})(E_{{\text{p1}}, n}^{\left( 1 \right)}\sin n{\theta _1} + F_{{\text{p}}1, n}^{\left( 1 \right)}\cos n{\theta _1})} \text{，}$

(45)

${\phi _{{\text{p2}}}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{\text{H}}_n^{(1)}({k_{{\text{p}}\alpha }}{r_1})(A_{{\text{p}}2, n}^{(1)}\cos n{\theta _1} + B_{{\text{p}}2, n}^{(1)}\sin n{\theta _1})} \text{，}$

(46)

${\phi _{{\text{p2}}}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{\text{H}}_n^{\left( 1 \right)}{\text{(}}{k_{{\text{p}}\beta }}{r_1})(E_{{\text{p}}2, n}^{\left( 1 \right)}\sin n{\theta _1} + F_{{\text{p}}2, n}^{\left( 1 \right)}\cos n{\theta _1})} \text{，}$

(47)

式中， ${k_{{\text{p}}\alpha }} = \omega /{c_{{\text{p, p}}}}$ ， ${k_{{\text{p}}\beta }} = \omega /{c_{{\text{s, p}}}}$ 分别为外衬中的P波和SV波波数， ${c_{{\text{p, p}}}}$ ， ${c_{{\text{s, p}}}}$ 分别外衬中的P波和SV波波速。 $A_{{\text{p}}1, n}^{(1)}$ ， $B_{{\text{p}}1, n}^{(1)}$ ， $E_{{\text{p}}1, n}^{(1)}$ ， $F_{{\text{p}}1, n}^{(1)}$ ， $A_{{\text{p2}}, n}^{(1)}$ ， $B_{{\text{p2}}, n}^{(1)}$ ， $E_{{\text{p2}}, n}^{(1)}$ ， $F_{{\text{p2}}, n}^{(1)}$ 为待定系数。则外衬中总波势函数表达式为

${\phi _{\text{p}}} = {\phi _{{\text{p1}}}} + {\phi _{{\text{p2}}}} \text{，}$

(48)

${\psi _{\text{p}}} = {\psi _{{\text{p1}}}} + {\psi _{{\text{p2}}}} 。$

(49)

1.5 内层衬砌中散射场波势函数

在内衬中，存在与外衬交界面引起的内聚散射P波 ${\phi _{l{\text{1}}}}({r_1}, {\theta _1})$ 和SV波 ${\psi _{l{\text{1}}}}{\text{(}}{r_1}, {\theta _1}{\text{)}}$ ，以及内衬临空面产生的外行散射P波 ${\phi _{l{\text{2}}}}({r_1}, {\theta _1})$ 和SV波 ${\psi _{l{\text{2}}}}({r_1}, {\theta _1})$ ，内衬中的势函数展开成Fourier-Bessel级数形式

${\phi _{l1}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{\text{J}}_n}({k_{l\alpha }}{r_1})(A_{l1, n}^{(1)}\cos n{\theta _1} + B_{l1, n}^{(1)}\sin n{\theta _1})} \text{，}$

(50)

${\psi _{l1}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{{\text{J}}_n}({k_{l\beta }}{r_1})(E_{l1, n}^{(1)}\sin n{\theta _1} + F_{l1, n}^{(1)}\cos n{\theta _1})} \text{，}$

(51)

${\phi _{l2}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{\text{H}}_n^{(1)}({k_{l\alpha }}{r_1})(A_{l2, n}^{(1)}\cos n{\theta _1} + B_{l2, n}^{(1)}\sin n{\theta _1})} \text{，}$

(52)

${\psi _{l2}}({r_1}, {\theta _1}) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {{\text{H}}_n^{(1)}({k_{l\beta }}{r_1})(E_{l2, n}^{(1)}\sin n{\theta _1} + F_{l2, n}^{(1)}\cos n{\theta _1})} \text{，}$

(53)

式中， ${k_{l\alpha }} = \omega /{c_{{\text{p, }}l}}$ ， ${k_{l\beta }} = \omega /{c_{{\text{s, }}l}}$ 分别为内衬中的P波和SV波波数， ${c_{{\text{p, }}l}}$ ， ${c_{{\text{s, }}l}}$ 分别内衬中的P波和SV波波速。 $A_{l1, n}^{(1)}$ ， $B_{l1, n}^{(1)}$ ， $E_{l1, n}^{(1)}$ ， $F_{l1, n}^{(1)}$ ， $A_{l{\text{2}}, n}^{(1)}$ ， $B_{l{\text{2}}, n}^{(1)}$ ， $E_{l{\text{2}}, n}^{(1)}$ ， $F_{l{\text{2}}, n}^{(1)}$ 为待定系数。则内衬中总波势函数表达式为

${\phi _l} = {\phi _{l{\text{1}}}} + {\phi _{l{\text{2}}}} \text{，}$

(54)

${\psi _l} = {\psi _{l{\text{1}}}} + {\psi _{l{\text{2}}}} 。$

(55)

1.6 模型边界条件

为求解待定系数{ $A_{{\text{s1}}, n}^{(1)}$ ， $B_{{\text{s1}}, n}^{(1)}$ ， $C_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ ， $D_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ ， $E_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ ， $F_{{\text{s}}1, n}^{(1)}$ 和 $A_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $B_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $C_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $D_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $E_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ ， $F_{{\text{s2}}, m}^{(2)}$ }、{ $A_{{\text{p}}1, n}^{(1)}$ ， $B_{{\text{p1}}, n}^{({\text{1}})}$ ， $E_{{\text{p}}1, n}^{(1)}$ ， $F_{{\text{p}}1, n}^{(1)}$ ， $A_{{\text{p2}}, n}^{(1)}$ ， $B_{{\text{p2}}, n}^{(1)}$ ， $E_{{\text{p2}}, n}^{(1)}$ ， $F_{{\text{p2}}, n}^{(1)}$ }和{ $A_{l1, n}^{(1)}$ ， $B_{l1, n}^{(1)}$ ， $E_{l1, n}^{(1)}$ ， $F_{l1, n}^{(1)}$ ， $A_{l{\text{2}}, n}^{(1)}$ ， $B_{l{\text{2}}, n}^{(1)}$ ， $E_{l{\text{2}}, n}^{(1)}$ ， $F_{l{\text{2}}, n}^{(1)}$ }的数值，需利用界面处的边界条件，本问题假设饱和土与衬砌交界面为不透水边界，地表可分为透水和不透水两类边界条件来考虑。

(1) 地表透水边界条件

a) 饱和土地表应力边界条件( ${r_2} = b$ )

$\tau _{rr}^{\text{S}} = \tau _{r\theta }^{\text{S}} = 0 \text{，} \sigma = 0 。$

(56)

b) 饱和土与外衬交界面位移边界条件( ${r_1} = {a_3}$ )

$u_r^{\text{S}} = u_r^{\text{p}} \text{，} u_\theta ^{\text{S}} = u_\theta ^{\text{p}} 。$

(57)

c) 外衬表面应力与位移边界条件( ${r_1} = {a_3}$ )

$\tau _{rr}^{\text{S}} + \sigma = \tau _{rr}^{\text{p}} \text{，} \tau _{r\theta }^{\text{S}} = \tau _{r\theta }^{\text{p}} \text{，} u_r^{\text{S}} - U_r^{\text{S}} = 0 。$

(58)

d) 外衬与内衬交界面位移边界条件( ${r_1} = {a_2}$ )

$u_r^{\text{p}} = \tau _r^l \text{，} u_\theta ^{\text{p}} = u_\theta ^l 。$

(59)

e) 外衬与内衬交界面应力边界条件( ${r_1} = {a_2}$ )

$\tau _{rr}^{\text{p}} = \tau _{rr}^l \text{，} \tau _{r\theta }^{\text{p}} = \tau _{r\theta }^l 。$

(60)

f) 内衬临空面应力边界条件( ${r_1} = {a_1}$ )

$\tau _{rr}^l = 0 \text{，} \tau _{r\theta }^l = 0 。$

(61)

(2) 地表不透水边界条件

饱和土地表应力和位移边界条件( ${r_2} = b$ )

$\tau _{rr}^{\text{s}} + \sigma = 0 \text{，} \tau _{r\theta }^{\text{S}} = 0 \text{，} u_r^{\text{S}} - U_r^{\text{S}} = 0 。$

(62)

其余边界条件同(56)~(61)。

将各场内的波势函数代入边界条件中，利用Graf加法变换，将饱和土中散射波势函数从O₂坐标系变换至O₁坐标系，可得到一系列线性无穷级数方程组，通过编写计算程序截断求解，即可得到所有波势函数的待定系数，最后将波势函数代入式(4)~(10)即可求得复合式衬砌动应力集中系数、孔压集中系数、以及饱和土位移等解析解。需要说明的是，Fourier- Bessel级数计算项数的选取关系到计算精度与收敛性，本文通过截取不同的项数进行计算，并观察相邻项数之间的误差，当误差小于预先设定的精度时，即用此项数作为实际收敛的计算项数^[21]，结果表明，当计算项数取20时，所得结果的收敛性是稳定的。

1.7 验证分析

定义无量纲频率 $\eta$ 为洞室直径与入射波波长的比值：

$\eta = \frac{{2{a_1}}}{{{\lambda _{{s} \beta }}}} \text{，}$

(63)

式中， ${\lambda _{{s} \beta }}$ 为饱和土中SV波的波长。

为验证本文力学模型以及计算过程的正确性，将流体力学参数取为0，无量纲频率 $\eta = 0.5$ ，隧道埋深 $h/{a_1}$ $= 5$ ，泊松比 ${\nu _{\text{s}}} = 1/3$ ，其余参数与Luco等^[9]一致，令复合式衬砌内衬厚度为零，可将饱和土中复合式衬砌力学模型退化至单相弹性半空间中无衬砌孔洞模型。通过计算地表位移幅值，并进行正规化处理后，图 2给出了本文的退化解和Luco等^[9]的结果对比。

图 2 地表正规化位移

Figure 2. Normalized displacements of surface

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可以看出，本文的结果与Luco等^[9]的结果在趋势上是一致的，但在幅值上存在一定的偏差。分析原因为，Luco等^[9]的计算是基于二维格林函数的间接边界积分方法，其本质上属于数值解，半空间介质为黏弹性模型，并考虑了饱和土的阻尼特性，而本文的计算是基于波函数展开法，本质上属于解析解，半空间介质为弹性模型，而且未考虑阻尼的作用。因此，本文结果的幅值在整体上偏大，但二者在规律上是吻合的，验证了本文模型的建立以及求解过程是正确的。

2. 算例分析

以地表为不透水边界为例，借鉴既有文献[]，取饱和土参数：泊松比为0.25，几何参数为 $a = 3.0$ m， ${a_2} = 3.3$ m， ${a_2} = 3.6$ m，隧道埋深 $h/{a_1} = 2$ ，固体骨架体积模量 ${K_{\text{b}}} = 2.2$ GPa，水的体积模量 ${K_{\text{f}}} = 2.2$ GPa，拉梅常数 ${\lambda _{\text{s}}} = {\mu _{\text{s}}} = 2.2$ GPa，耦合质量密度 ${\rho _{\text{a}}} = 350$ kg/m³，土骨架质量密度 ${\rho _s} = 2700$ kg/m³，水质量密度 ${\rho _{\text{f}}} = 1000$ kg/m³，饱和土孔隙度 $n = 0.3$ 。计算中不考虑固体颗粒的压缩和流体黏度。需要说明的是，Biot波动方程^[23]中的参数 $b = \eta {n^2}/k$ ( $\eta$ 为孔隙流体的绝对黏度，n为孔隙度，k为渗透系数)，文中假设流体无耗散，即流体的绝对黏度 $\eta = 0$ ，因此 $b = 0$ ，不同类型饱和土的渗透性可通过孔隙度与渗透系数的函数关系来描述，详见文献[24]。

为便于分析，给出动应力集中系数、孔压集中系数的定义。动应力集中系数(DSCF)：介质中最大动应力和标准局部应力的比值，表达式为

$\sigma _{\theta \theta }^* = \sigma _{\theta \theta }^i/{\sigma _0} \text{，}$

(64)

式中， $\sigma _{\theta \theta }^i$ 为入射波所引起的环向应力， ${\sigma _0}$ 为标准局部应力，即入射波在自由场中所引起的动应力。

孔压集中系数(PPCF)：介质中最大孔隙水压和标准局部应力的比值，表达式为

${\sigma ^*} = {\sigma ^i}/{\sigma _0} \text{，}$

(65)

式中， ${\sigma ^i}$ 为入射波所引起的孔隙水压力。

2.1 复合式衬砌刚度参数分析

为研究刚度参数对复合式衬砌动力响应的影响，令内衬和外衬的厚度比 $({\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}})$ 为1/1，复合式衬砌泊松比为0.25，外衬与饱和土的剪切波速比为3/1，表示复合式衬砌为刚性的；外衬弹性模量 ${E_{\text{P}}}$ 为34.5 GPa，内衬和外衬的弹性模量比 $({E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}})$ 分别为1/3(柔性内衬)、1/1(参照内衬)、3/1(刚性内衬)。

(1) 入射频率对复合式衬砌应力的影响

给出了不透水边界条件下变刚度复合式衬砌在无量纲频率 $\eta$ 为0.25，0.5，1，2作用下，复合式衬砌的动应力集中系数(DSCF)、孔压集中系数(PPCF)的空间分布。其中，0°表示隧道仰拱，180°表示隧道拱顶。可以看出，随着入射频率的增大，DSCF和PPCF空间分布形态由简单逐渐变复杂，且幅值呈逐渐降低的趋势。具体分析如下：

图 3 变刚度复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数

Figure 3. DSCF and PPCF of composite linings with variable stiffnesses

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首先关注内层衬砌的DSCF值，对应不同频率，幅值关系均为刚性内衬情况＞参照内衬情况＞柔性内衬情况，其中刚性内衬情况峰值约为11~16，柔性内衬情况峰值约为3~4，二者为3~4倍关系，说明增大内衬刚度会显著放大内衬的动应力幅值。整体上看，中、低频入射时衬砌拱顶、边墙动应力较大，高频入射时拱脚和拱肩动应力较大；再关注外层衬砌的DSCF值，低频入射时，空间分布形态与内层衬砌相似，随入射频率的增大，二者差异逐渐放大；对应不同频率，幅值关系均为柔性内衬情况＞参照内衬情况＞刚性内衬情况，其中柔性内衬情况峰值约为3~5，刚性内衬情况峰值约为0.8~2.9，二者约为2~3倍关系，说明增大内衬刚度可以有效降低外衬的动应力幅值，有利于外衬的抗减震设计；最后关注外层衬砌的PPCF值，其幅值约为外衬动应力集中系数的1/2~1/20，对应不同频率，幅值关系均为柔性内衬情况＞参照内衬情况＞刚性内衬情况，其中刚性内衬情况比柔性内衬情况减小约50%~100%，说明增大内衬刚度同样有利于降低外衬表面的孔压。

图 4给出了2008年汶川地震中龙溪隧道的震害形态，龙溪隧道的地质勘查资料表明其洞口附近并没有断层等显著的不良地质条件，但是其震害现象难以用P波或S波的作用来解释^[25]。此外，龙溪隧道的开裂破坏伴随着渗水现象，说明围岩极有可能是富水场地。因此，通过与理论解析解的对比可推断，龙溪隧道洞口段拱顶-拱肩处发生显著破坏的原因很有可能是低频Rayleigh波作用的结果。

图 4 汶川地震龙溪隧道开裂

Figure 4. Cracking of Longxi tunnel in Wenchuan earthquake

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(2) 内衬和外衬刚度比对复合式衬砌应力的影响

通过复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数的分布形态可知，Rayleigh波在不同频率作用下，复合式衬砌左边墙-拱肩处的动应力幅值相对较大，图 5给出了该点(图中A点和B点)的DSCF和PPCF幅值随内衬和外衬刚度比的变化曲线。可以看出，对应不同频率，随着内衬和外衬刚度比的增大，内衬的DSCF幅值均显著放大，外衬的DSCF和PPCF变化为：

图 5 内衬和外衬刚度比对复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数的影响

Figure 5. Influences of stiffness ratio on DSCF and PPCF of composite lining

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a) 低频入射时( $\eta = 0.25$ )，在 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ =0~4范围内，增大内衬刚度可有效降低外衬的DSCF，最大降幅可达90%以上，在 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ > 4后，增大内衬刚度对外衬DSCF值的影响较小，改变内衬刚度对外衬表面PPCF值的影响较小。

b) 中低频入射时( $\eta = 0.5$ )，整体上看，随内衬和外衬刚度比的增大，外衬的DSCF呈逐渐放大的趋势，PPCF值呈逐渐降低的趋势，但幅值变化均较小，当 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ > 4时，基本保持不变。

c) 中高频入射时( $\eta = 1$ 、 $\eta = 2$ )，随内衬和外衬刚度比的增大，外衬的DSCF值和PPCF值均呈逐渐降低的趋势，其中，在 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ =0~4范围内，DSCF值降幅约10%~60%，PPCF值降幅约30%~90%，当 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ > 4时，幅值变化较小。

综上，增大内衬和外衬刚度比可有效降低外衬的动应力集中系数和孔压集中系数，但过大的内衬和外衬刚度比不仅会显著放大内衬的动应力，而且对外衬的减震效果影响有限。此外，增大内衬的刚度也会显著增加工程造价，因此，建议内衬和外衬刚度比 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ 取值范围为2~4。

2.2 复合式衬砌厚度参数分析

为研究厚度参数对复合式衬砌动力响应的影响，根据2.1节的结论，令内衬和外衬刚度比 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ =3/1，内衬和外衬厚度比 ${\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}}$ 分别为1/3(薄内衬)，1/1(参照内衬)，3/1(厚内衬)，其余参数同2.1节。

(1) 入射频率对复合式衬砌应力的影响

给出了不透水边界条件下变厚度复合式衬砌在无量纲频率 $\eta$ 为0.25，0.5，1，2作用时，复合式衬砌的动应力集中系数(DSCF)、孔压集中系数(PPCF)的分布。可以看出，随着入射频率的增大，DSCF和PPCF空间分布形态由简单逐渐变复杂，且幅值呈逐渐降低的趋势。具体分析如下：

图 6 变厚度复合式衬砌动应力和孔压集中系数

Figure 6. DSCF and PPCF of composite linings with variable thicknesses

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首先关注内层衬砌的DSCF值，对应不同频率，幅值关系均为薄内衬情况＞参照内衬情况＞厚内衬情况，其中薄内衬情况峰值约为14~19，厚内衬情况峰值约为6~14，二者约为1~2倍关系，说明增大内衬厚度可有效降低内衬的动应力。

再关注外层衬砌的DSCF值，对应不同频率，幅值关系均为薄内衬情况＞参照内衬情况＞厚内衬情况，随入射频率的增大，三者的幅值差异逐渐减小，其中厚内衬情况峰值约为1~3，薄内衬情况峰值约为2~4，二者约为1~2倍关系，说明增大内衬厚度同样可以有效降低外衬的动应力幅值，但在中高频荷载作用下的影响相对较小。

最后关注外层衬砌的PPCF值，其幅值约为外衬动应力集中系数的1/2~1/20，对应不同频率，幅值关系均为薄内衬情况＞参照内衬情况＞厚内衬情况，其中厚内衬情况相对薄内衬情况减小约50%~100%，说明增大内衬厚度有利于降低外衬表面的孔压。

(2) 内衬和外衬厚度比对复合式衬砌应力的影响

图 7给出了Rayleigh波在不同频率作用下，复合式衬砌左拱肩-边墙处(图中A点和B点)的DSCF和PPCF随内衬和外衬厚度比的变化曲线。整体上看，对应不同频率，随着内衬和外衬厚度比的增大，内衬的DSCF幅值均显著降低，外衬的DSCF和PPCF变化具体分析如下：

图 7 内衬和外衬厚度比对复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数的影响

Figure 7. Influences of thickness ratio on DSCF and PPCF of composite lininges

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a) 低频入射时( $\eta = 0.25$ )，在 ${\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}}$ =0~2时，增大内衬厚度可有效降低外衬的DSCF，最大降幅可达90%以上，在 ${\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}}$ > 2时，增大内衬厚度对外衬DSCF值的影响较小，此外，改变内衬厚度对外衬表面PPCF值的影响较小。

b) 中低频入射时( $\eta = 0.5$ )，整体上看，随内衬和外衬厚度比的增大，外衬的DSCF值呈逐渐放大的趋势，PPCF值呈逐渐降低的趋势，当 ${\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}}$ =1~2.5时，幅值变化较小。

c) 中高频入射时( $\eta = 1$ ， $\eta = 2$ )，随内衬和外衬厚度比的增大，外衬的DSCF值和PPCF值整体上呈逐渐降低的趋势，其中，在 ${\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}}$ =1~2范围内，DSCF值降幅约10%~50%，PPCF值降幅约30%~75%。

综上，增大内衬和外衬厚度比不仅可以有效降低外衬的动应力和孔压，也可以在一定程度上降低内衬自身的动应力，但过大的内衬和外衬厚度比对外衬的减震效果影响有限。此外，增大内衬的厚度也会显著增加工程造价，因此，建议内衬和外衬厚度比 ${\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}}$ 取值范围为1~2。

2.3 隧道埋深参数分析

为研究隧道埋深对复合式衬砌动力响应的影响，本节仍假定地表为不透水边界，根据2.1节、2.2节的结论，令内衬和外衬刚度比 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ =3/1，内衬和外衬厚度比 ${\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}}$ =3/2，将隧道埋深正规化，即取埋深与复合式衬砌内半径的比值 $h/{a_1}$ =2~50，其余参数同2.1节。

图 8给出了Rayleigh波在不同频率作用下，复合式衬砌左拱肩-边墙处(图中A点和B点)的DSCF和PPCF随隧道埋深的变化曲线。整体上看，对应不同频率，随着隧道埋深的增大，内衬的DSCF幅值均显著降低。外衬DSCF和PPCF具体分析如下：

图 8 隧道埋深对复合式衬砌动应力集中系数和孔压集中系数的影响

Figure 8. Influences of buried depth on DSCF and PPCF of composite linings

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(1) 中低频入射时( $\eta = 0.25$ ， $\eta = 0.5$ )，随着隧道埋深的增大，外衬的DSCF幅值整体变化幅度不大，PPCF幅值呈现一定的波动，其中，最大、最小幅值约为2倍关系。

(2) 中高频入射时( $\eta = 1$ ， $\eta = 2$ )，随着隧道埋深的增大，复合式衬砌的DSCF和PPCF呈现出一定规律性的波动，但整体呈下降的趋势，其中，最大、最小DSCF幅值约为3~4倍关系，最大、最小PPCF幅值约4~9倍关系。

综上，随埋深的增大，内衬的DSCF幅值逐渐降低；在中低频入射时，复合式衬砌的DSCF和PPCF整体变幅较小，在中高频入射时，复合式衬砌的DSCF和PPCF呈波动式下降，说明R波对浅埋隧道动力响应的影响更为显著。

3. 结论

基于Biot波动理论，采用Fourier-Bessel级数展开法，推导了饱和土中浅埋隧道复合式衬砌对入射平面Rayleigh波的散射解析解，通过参数化分析，研究了不同入射频率作用下，内衬和外衬的刚度比、厚度比等因素对复合式衬砌动力响应的影响规律，通过数值计算和分析得到5点结论。

(1) 入射频率对复合式衬砌的动应力集中系数和孔压集中系数影响显著；随着入射频率的增大，动应力集中系数和孔压集中系数空间分布形态由简单逐渐变复杂，且幅值呈逐渐降低的趋势。

(2) 中、低频入射条件下衬砌拱顶、边墙动应力较大，高频入射条件下拱脚和拱肩动应力较大；通过与实际震害现象对比，推断汶川地震中龙溪隧道浅埋段拱顶开裂掉块是由低频Rayleigh波所致。

(3) 增大内衬和外衬的刚度比可以显著降低外衬的动应力集中系数和孔压集中系数，但会显著放大内衬的动应力集中系数，而且超过一定幅值后，对外衬的减震效果有限，建议内衬和外衬刚度比 ${E_{\text{L}}}/{E_{\text{P}}}$ 取值范围为2~4。

(4) 增大内衬和外衬的厚度比不仅可以有效降低外衬的动应力集中系数和孔压集中系数，也可以在一定程度上降低内衬自身的动应力集中系数，但超过一定幅值后，对外衬的减震效果影响有限，建议内衬和外衬厚度比 ${\delta _{\text{L}}}/{\delta _{\text{P}}}$ 取值范围为1~2。

(5) 随隧道埋深的增大，内衬的动应力集中系数逐渐降低；在中低频入射时，复合式衬砌的动应力集中系数和孔压集中系数整体变幅较小，在中高频入射时，复合式衬砌的动应力集中系数和孔压集中系数呈波动式下降，说明R波对浅埋隧道动力响应的影响更为显著。

本文研究结论不仅可以为高烈度地震区饱和地层中交通隧道的抗减震设计提供参考，也可为水下输电、输水、输油管道等抗减震设计提供借鉴。

图 1 颗粒破碎的典型形式

Figure 1. Typical breakage patterns of a single particle

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图 2 离散元模拟颗粒破碎的两种方法

Figure 2. Two DEM methods for modeling particle breakage

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图 3 团聚单元体接触图示

Figure 3. Contact diagrams of an agglomerate

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图 4 数值试验与物理试验结果对比

Figure 4. Comparison of results from numerical and physical tests

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图 5 不同预压破碎试样的级配曲线

Figure 5. Gradings of different pre-crushed specimens

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图 6 每组数值试验的初始和临界状态点的对应图

Figure 6. Initial and critical state points in a testing group

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图 7 e–lgp平面内的临界状态线

Figure 7. Critical state lines in e–lgp plane

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图 8 e–(p/p_a)^ξ平面内临界状态线与B_r值的关系

Figure 8. Critical state lines versus B_r in e–(p/p_a)^ξ plane

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图 9 e–(p/p_a)^ξ–B_r平面内的临界状态线

Figure 9. Critical state lines in e-(p/p_a)^ξ-B_r space

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表 1 数值三轴试验方案

Table 1 Schemes of numerical triaxial tests

分组	预压/MPa	B_r	破碎情况	应力路径	围压/kPa
G1	0	0	仅压缩过程允许	CTC/RTC/TC	50,100,200,400
G2	3	0.057	仅压缩过程允许	CTC/RTC/TC	50,100,200,400
G3	5	0.075	仅压缩过程允许	CTC/RTC/TC	50,100,200,400
G4	7	0.094	仅压缩过程允许	CTC/RTC/TC	50,100,200,400
B	—	—	压缩和剪切过程均允许	CTC/RTC/TC	50,100,200,400

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