疏干条件下隧洞涌水量及孔压分布解析研究

吴建; 周志芳; 庄超

doi:10.11779/CJGE202010015

疏干条件下隧洞涌水量及孔压分布解析研究 English Version

河海大学地球科学与工程学院,江苏　南京　211100

基金项目:

国家重大研究计划重点支持项目 91747204

详细信息

作者简介:
吴建(1994—),男,博士研究生,主要从事地下水数值模拟相关研究。E-mail：wujian1994@hhu.edu.cn

通讯作者:
周志芳, E-mail：zhouzf@hhu.edu.cn

中图分类号: U45
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出版历程
- 收稿日期: 2019-01-06
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2020-09-30

Analytical study on water inflow and pore water pressure of tunnels under drainage

School of Earth Sciences and Engineering, Hohai University, Nanjing 211100, China

摘要

摘要: 隧洞涌水和孔隙水压力计算一直是地下工程领域最为关注的焦点问题,然而对于疏干条件下隧洞涌水量及衬孔隙水压力的变化规律仍未得到很好的解决。针对浅埋、深埋及衬砌隧洞分别进行解析分析,然后利用数值计算方法反算出关键参数（影响距离、等效地下水位及衬砌等效地下水位）的计算公式,进一步提出了隧洞涌水量的解析公式,探讨了孔隙水压力的分布规律。结果表明,疏干条件下隧洞涌水量取决于隧洞半径、初始地下水位高度及围岩与衬砌相对渗透性,其中围岩与衬砌相对渗透性起到决定性因素；衬砌圈显著改变了隧洞涌水量大小与外水压力分布规律,随着相对渗透性的增大,孔压解析解与数值解的拟合程度逐渐提高；通过与传统解析公式及数值的相互对比,提出的解析公式真实刻画了浅埋、深埋和衬砌隧洞渗流场特征,计算结果更加合理和准确。
- 隧洞 /
- 涌水量 /
- 孔隙水压力 /
- 解析公式 /
- 数值模拟
Abstract: The calculation of water inflow and pore water pressure of tunnels is always the focus of underground engineering. However, the effect of water inflow and pore water pressure of tunnels under drainage has not been well solved. The analytical analysis of shallow, deep and lined tunnels is carried out respectively. Then, the expressions for the key parameters (influencing distance, equivalent underground water level and equivalent underground water level of linings) are obtained by using the numerical method, and the analytical formulae for water inflow into tunnels are put forward. Finally, the distribution rules of pore water pressure are discussed. The results show that the water inflow into tunnels depends on the tunnel radius, the initial groundwater level and the relative permeability of the surrounding rock and linings, among which the relative permeability of the surrounding rock and linings plays a key role. The lining ring significantly changes the amount of water inflow and distribution of pore water pressure of tunnels. With the increase of the relative permeability, the fitting degree between the analytical solution and the numerical solution of pore water pressure increases gradually. Compared with traditional analytical solution and numerical solution, the proposed analytical formula more truly describes the seepage field characteristics of shallow, deep and lined tunnels, and the calculated results are more reasonable and accurate.
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- analytical formula /
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0. 引言

随着经济建设的快速发展，交通运输、建筑施工等人类活动以及地震动引起的振动和噪声问题日益凸显，这些活动所产生的环境振动将对居民生活质量、建筑及精密仪器的保护造成持续不断的负面影响。为减弱有害环境振动，研究人员对各种减、隔振措施展开了大量研究，周期排桩结构的带隙特性也是隔振领域的重点问题。

1970年Richat首次提出了单排或多排薄壁衬砌的圆柱形孔作为屏障的概念^[1]。Kattis等^[2]采用了频域边界单元法对桩列和孔列在竖向简谐荷载的隔振效果进行了三维研究，但由于三维计算模型单元数目巨大，计算时间较长。孟庆娟等^[3]基于周期理论和COMSOL PDE有限元法，讨论了桩土参数对带隙的影响，结果表明有限元可较好地应用于周期结构的带隙计算。巴振宁等^[4]基于平面波入射下周期分布散射体周围波场的周期分布特性，提出一种新型弹性波解析方法，提高精度的同时显著降低了求解时间。Zheng等^[5]采用有限元方法探讨了隔离桩控制深基坑邻近隧道位移的有效性和作用机理。研究了桩基位置、桩深和桩长等影响因素，得出深埋桩比浅埋桩拥有更好的变形控制效果。

周期排桩减振是一种复杂组合结构的自由振动问题，能量法（如Rayleigh-Ritz法^[6-7]）可将求解微分方程边值问题转化为泛函极值问题，在求解结构耦合系统时能提供较大的帮助^[8-13]，近年来也被引入到周期结构带隙计算中^[14-15]。

关于排桩减振的研究以有限元法建模分析为主，其计算功能强大，能够模拟多种复杂工况，但在模拟桩土及建筑结构的相互作用时，为了获得精确的计算结果，单元网格划分需很细、模型离散区域需很大，且需引入人工边界条件，常导致模型单元数量非常庞大，自由度数万乃至上百万，计算成本很高。有部分学者利用传统能量法分析周期性排桩结构带隙，但存在以下问题：①能量法需要基于Bloch定理构造满足周期性边界的位移场型函数，从数学角度而言，型函数的周期性重构难度较大^[16]，而且不同型函数的构造方式不一定相同；②能量法通常将结构胞元放置统一坐标系进行处理，但桩与土之间材料性质相差巨大，波形拟合较为困难，投入截止项数较大，甚至出现计算结果不收敛的情况；③重构以后的位移场型函数包含波数，这会导致涉及型函数的结构的质量和刚度矩阵中含有波数，在计算带隙时，结构的质量和刚度矩阵需随着波数的变化进行反复计算，随着结构质量和刚度矩阵维度的增大，或者扫描波数点数的增多，计算成本也会随之增大。

鉴于此，本文基于传统能量法，使用区域分解的思想，克服桩土参数畸变问题，将型函数与周期边界条件分离，再利用零空间技术处理边界约束，克服型函数构造中的边界依赖问题，计算效率大幅提高，实现对周期性排桩减振特性的高效准确求解。

1. 基于区域分解的周期排桩带隙计算方法

1.1 问题陈述

本节对引言中提到的传统能量法计算周期性排桩结构带隙时存在的问题进行具体阐述。已有研究表明，对于周期排桩结构而言，三维模型的频率响应曲线变化趋势与二维模型基本一致，采用二维平面应变模型能够有效分析排桩的减振效果^[17]，因此，在本研究中，假设弹性波在垂直于桩的x-y平面内传播，并且桩在z方向上是无限的。

根据周期结构理论，周期排桩可由某一根单桩通过周期性和对称性的拓扑变化获得，故计算时仅需以某一单桩为基本单元，并对其施加周期边界进行研究。对于图 1所示的周期性排桩结构，取出单个胞元进行分析，其中，a为1/2的周期长度，r为桩体半径，u，v分别为胞元x方向和y方向两个位移分量，平面内位移u可以表示为基函数 ${f_i}(x, y)$ 和一个未知的权重系数 ${d_i}(t)$ 的组合， ${\boldsymbol{f}} = {\boldsymbol{\varphi }} \otimes {\boldsymbol{\psi }}$ ，符号 $\otimes$ 表示克罗内克积，则有

$\left. \begin{array}{l}u(x, y, t)={\displaystyle \sum _{i}{d}_{i}(t){f}_{i}(x, y)=\boldsymbol{d}^{\text{ T}}\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}^{\text{ T}}\boldsymbol{d}\text{ }\text{，}}\\ \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{\phi} ={\left[{\phi }_{1}(x), {\phi }_{2}(x), \cdots , {\phi }_{i}(x), \cdots , {\phi }_{m}(x)\right]}^{\text{ T}}\text{ }\text{，}\\ \boldsymbol{\psi }={\left[{\psi }_{1}(y), {\psi }_{2}(y), \cdots , {\psi }_{i}(y), \cdots , {\psi }_{n}(y)\right]}^{\text{ T}}\text{ }。\end{array} \right.\end{array} \right\}$

(1)

图 1 周期性排桩自由振动模型

Figure 1. Free vibration model for periodic row piles

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式中： ${d_i}(t)$ 可以表示为 ${d_i} = {{\boldsymbol{\bar A}}_i}{{\text{e}}^{{\text{i}}\omega t}}$ 。

根据Bloch定理，周期单元在x，y方向上的位移需满足Bloch周期性边界条件，即

$\left. \begin{array}{l}f(-a, y)=f(a, y){\text{e}}^{-\text{i}{k}_{x}2a}\text{ }\text{，}\\ f(x, -a)=f(x, a){\text{e}}^{-\text{i}{k}_{y}2a}\text{ }。\end{array} \right\}$

(2)

式中：k_x，k_y为沿着x，y方向的波数。

方程式（2）要求式（1）中的型函数 ${f_i}(x, y)$ 满足Bloch-Floquet周期性条件。从数学角度而言，型函数的重构过程具有相当大的难度，尤其是对于桩土参数差异性大的周期性结构，且不同型函数构造方式不一定相同，这给利用传统能量法求解周期性排桩结构振动带隙问题带来了困难。

1.2 区域分解建模

为了克服桩土参数畸变问题，利用区域分解法，将计算域分解为桩、土两个子域，分别计算后再进行综合求解，如图 2所示。

图 2 桩、土独立坐标系

Figure 2. Independent coordinate systems of pile and soil

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对于土体和桩均有 $u(x, y, t)$ ， $v(x, y, t)$ 两个位移分量。根据胞量法，土体与桩的位移可以写成

$\left. \begin{array}{l}{u}_{\text{s}}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}}, t)={\displaystyle \sum _{j}{d}_{j, 1}(t){f}_{i}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}})=\boldsymbol{d}_{1}^{\text{T}}\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}^{\text{T}}\boldsymbol{d}_{1}\text{ }\text{，}}\\ {v}_{\text{s}}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}}, t)={\displaystyle \sum _{j}{d}_{j, 2}(t){f}_{i}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}})=\boldsymbol{d}_{2}^{\text{T}}\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}^{\text{T}}\boldsymbol{d}_{2}\text{ }\text{，}}\end{array} \right\}$

(3)

$\left. \begin{array}{l}{u}_{\text{p}}({x}_{\text{p}}, {y}_{\text{p}}, t)={\displaystyle \sum _{j}{d}_{j, 3}(t){f}_{i}({x}_{\text{p}}, {y}_{\text{p}})=\boldsymbol{d}_{3}^{\text{T}}\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}^{\text{T}}\boldsymbol{d}_{3}\text{，}}\\ {v}_{\text{p}}({x}_{\text{p}}, {y}_{\text{p}}, t)={\displaystyle \sum _{j}{d}_{j, 4}(t){f}_{i}({x}_{\text{p}}, {y}_{\text{p}})=\boldsymbol{d}_{4}^{\text{T}}\boldsymbol{f}=\boldsymbol{f}^{\text{T}}\boldsymbol{d}_{4}。}\end{array} \right\}$

(4)

式中： ${u_{\text{s}}}$ ， ${v_{\text{s}}}$ 为土体分别在x，y方向上的位移； ${u_{\text{p}}}$ ， ${v_{\text{p}}}$ 为桩分别在x，y方向上的位移；f，g分别为土体和桩坐标系中的基函数。

对于土体周期单元，其动能和应变能可表示如下：

$\left. \begin{array}{l}{E}_{\text{k}}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\omega }{\iint }{\sigma }_{\text{s}}{\varepsilon }_{\text{s}}\text{d}s=\frac{1}{2}}\boldsymbol{b}^{\text{H}}\boldsymbol{K}_{\text{k}}\boldsymbol{b}\text{ }\text{，}\\ {U}_{\text{k}}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\omega }{\iint }{\rho }_{1}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}})({u}_{\text{s}}^{2}+{v}_{\text{s}}^{2})\text{d}s=\frac{1}{2}}\boldsymbol{\dot{b}}^{\text{H}}\boldsymbol{M}_{\text{k}}\boldsymbol{\dot{b}}。\end{array} \right\}$

(5)

对于桩体周期单元，其动能和应变能可表示如下：

$\left. \begin{array}{l}{E}_{\text{c}}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\omega }{\iint }{\sigma }_{\text{p}}{\varepsilon }_{\text{p}}\text{d}p=\frac{1}{2}}\boldsymbol{b}^{\text{H}}{K}_{\text{c}}\boldsymbol{b}\text{，}\\ {U}_{\text{c}}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\omega }{\iint }{\rho }_{2}({x}_{\text{p}}, {y}_{\text{p}})({u}_{\text{p}}^{2}+{v}_{\text{p}}^{2})\text{d}p=\frac{1}{2}}\boldsymbol{\dot{b}}^{\text{H}}\boldsymbol{M}_{\text{c}}\boldsymbol{\dot{b}}。\end{array} \right\}$

(6)

式中： ${{\boldsymbol{b}}^{\text{H}}} = \left[ {{\boldsymbol{d}}_1^{\text{H}}, {\boldsymbol{d}}_2^{\text{H}}, {\boldsymbol{d}}_3^{\text{H}}, {\boldsymbol{d}}_4^H} \right]$ ，上标H为共轭转置； ${\boldsymbol{\dot b}^{\text{H}}}$ 为对 ${\boldsymbol{b}^{\text{H}}}$ 时间的导数； $\rho$ 为材料密度；E为材料弹性模量。对于土体周期单元，有

$\left. \begin{array}{l}{\rho }_{1}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}})=\left\{ \begin{array}{l}{\rho }_{\text{s}}, \sqrt{{x}_{\text{s}}^{2}+{y}_{\text{s}}^{2}}\ge r\\ 0, \sqrt{{x}_{\text{s}}^{2}+{y}_{\text{s}}^{2}}＜r\end{array} \right.\text{ }\text{，}\\ {E}_{1}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}})=\left\{ \begin{array}{l}{E}_{\text{s}}, \sqrt{{x}_{\text{s}}^{2}+{y}_{\text{s}}^{2}}\ge r\\ 0, \sqrt{{x}_{\text{s}}^{2}+{y}_{\text{s}}^{2}}＜r\end{array} \right.\text{ }。\end{array} \right\}$

(7)

对于桩体周期单元，有

$\left. \begin{array}{l}{\rho }_{2}({x}_{\text{p}}, {y}_{\text{p}})=\left\{ \begin{array}{l}{\rho }_{\text{p}}, \sqrt{{x}_{\text{p}}^{\text{2}}+{y}_{\text{p}}^{\text{2}}}\le r\\ 0, \sqrt{{x}_{\text{p}}^{\text{2}}+{y}_{\text{p}}^{\text{2}}}＜r\end{array} \right.\text{ }\text{，}\\ {E}_{2}({x}_{\text{p}}, {y}_{\text{p}})=\left\{ \begin{array}{l}{E}_{\text{p}}, \sqrt{{x}_{p}^{2}+{y}_{\text{p}}^{\text{2}}}\le r\\ 0, \sqrt{{x}_{\text{p}}^{\text{2}}+{y}_{\text{p}}^{\text{2}}}＜r\end{array} \right.\text{ }。\end{array} \right\}$

(8)

1.3 边界条件

单周期的总能量泛函可以表示为

$\begin{align} \Pi &= U - T = {U_{\text{k}}} + {U_{\text{c}}} - {E_{\text{k}}} - {E_{\text{c}}} \\& = \frac{1}{2}{\boldsymbol{\dot b}^{\text{H}}}({\boldsymbol{M}_{\text{k}}} + {\boldsymbol{M}_{\text{c}}})\boldsymbol{\dot b} - \frac{1}{2}{\boldsymbol{b}^{\text{H}}}({\boldsymbol{K}_{\text{k}}} + {\boldsymbol{K}_{\text{c}}})\boldsymbol{b} 。 \end{align}$

(9)

此时，b， $\boldsymbol{\dot b}$ 因边界条件存在，含有线性相关系数，无法变分，结合前述定义的与时间相关未知向量 ${\boldsymbol{d}_j}$ ，对周期边界条件进行处理得

$\left. \begin{array}{l}{u}_{\text{s}}(-a, {y}_{\text{s}})-{u}_{\text{s}}(a, {y}_{\text{s}}){\text{e}}^{-\text{i}{k}_{x}(2a)}=0\text{ }\text{，}\\ {v}_{\text{s}}(-a, {y}_{\text{s}})-{v}_{\text{s}}(a, {y}_{\text{s}}){\text{e}}^{-\text{i}{k}_{x}(2a)}=0\text{ }\text{，}\\ {u}_{\text{s}}({x}_{\text{s}}, -a)-{u}_{\text{s}}({x}_{\text{s}}, a){\text{e}}^{-\text{i}{k}_{y}(2a)}=0\text{ }\text{，}\\ {v}_{\text{s}}({x}_{\text{s}}, -a)-{v}_{\text{s}}({x}_{\text{s}}, a){\text{e}}^{-\text{i}{k}_{y}(2a)}=0\text{ }。\end{array} \right\}$

(10)

令 ${{\text{e}}^{ - {\text{i}}{k_x}(2a)}} = \lambda x$ ， ${{\text{e}}^{ - {\text{i}}{k_y}(2a)}} = \lambda y$ ，其中k_x，k_y分别为x，y方向的波数，将上式以矩阵形式表达为

$\left[\begin{array}{cc} {\left[f\left(-a, y_{\mathrm{s}}\right)-f\left(a, y_{\mathrm{s}}\right) \lambda x\right]^{\mathrm{H}}} & 0 \\ 0 & \left.f\left(-a, y_{\mathrm{s}}\right)-f\left(a, y_{\mathrm{s}}\right) \lambda x\right]^{\mathrm{H}} \\ \left.f\left(x_{\mathrm{s}},-a\right)-f\left(x_{\mathrm{s}}, a\right) \lambda y\right]^{\mathrm{H}} & 0 \\ 0 & \left.f\left(x_{\mathrm{s}},-a\right)-f\left(x_{\mathrm{s}}, a\right) \lambda y\right]^{\mathrm{H}} \end{array}\right] \boldsymbol{b}=\mathbf{0},$

(11)

即 $\boldsymbol{Gb} = {\text{0}}$ 。

对于桩土接触界面，设其在两个坐标系中的横坐标为x_r，其纵坐标为y_r，且 $x_r^2 + y_r^2 = {r^2}$ 。在本研究中，假设桩与土体之间为固结，即

$\left. \begin{array}{l}{u}_{\text{s}}({x}_{r}, {y}_{r})={u}_{\text{p}}({x}_{r}, {y}_{r})\text{ }\text{，}\\ {v}_{\text{s}}({x}_{r}, {y}_{r})={v}_{\text{p}}({x}_{r}, {y}_{r})\text{ }。\end{array} \right\}$

(12)

将式（12）以矩阵形式表达，即

$\left[\begin{array}{cccc} {\left[f\left(x_r, y_r\right)\right]^{\mathrm{H}}} & 0 & {\left[-g\left(x_r, y_r\right)\right]^{\mathrm{H}}} & 0 \\ 0 & {\left[f\left(x_r, y_r\right)\right]^{\mathrm{H}}} & 0 & {\left[-g\left(x_r, y_r\right)\right]^{\mathrm{H}}} \end{array}\right] \boldsymbol{b}=0,$

(13)

即 $\boldsymbol{Hb} = {\text{0}}$ 。

1.4 零空间技术求解

总的约束条件矩阵J=[G；H]，其中“；”表示为矩阵列项排列，则有Jb=0，求解关键在于需要找到一组满足所有约束条件的允许函数，采用惩罚函数或拉格朗日乘子法等常规方法处理涉及到结果收敛性问题，均较为复杂。Deng等^[18]提出一种新型零空间计算方法（NSM），其核心思想是从约束条件开始计算零空间基本解，然后假设系统的特征方程可由这些基本解的线性叠加组成，因此最终特征频率的解将同时满足运动方程和约束条件，通过此方法不需要原始的容许函数来满足约束条件。利用零空间处理得

$\boldsymbol{Z}=\text{null}(\boldsymbol{J}) 。$

(14)

式中：Z为Jb=0的基础解系组成的集合，b可以表示为b=Zd，d为基础解系的未知系数列向量，它们之间线性无关，则桩土单元总能量泛函可以表示为

$\begin{align}\boldsymbol{\varPi} = &\frac{1}{2}{(\boldsymbol{Z\dot d})^{\text{H}}}({\boldsymbol{M}_{\text{k}}} + {\boldsymbol{M}_{\text{c}}})(\boldsymbol{Z\dot d}) - \\& \frac{1}{2}{(\boldsymbol{Zd})^{\text{H}}}({\boldsymbol{K}_{\text{k}}} + {\boldsymbol{K}_{\text{c}}})(\boldsymbol{Zd}) 。 \end{align}$

(15)

结合Eular-Lagrange方程 $\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial {\Pi }}}{{\partial \boldsymbol{\dot d}}}} \right) - \left( {\frac{{\partial {\Pi }}}{{\partial \boldsymbol{d}}}} \right) = 0$ ，桩土周期结构的运动方程可以改写为

$\left\{ {{\boldsymbol{Z}^{\text{H}}}({\boldsymbol{K}_{\text{k}}} + {\boldsymbol{K}_{\text{c}}})\boldsymbol{Z} - {\omega ^2}[{\boldsymbol{Z}^{\text{H}}}({\boldsymbol{M}_{\text{k}}} + {\boldsymbol{M}_{\text{c}}})Z]} \right\}\boldsymbol{d} = {\text{0}} 。$

(16)

式中：ω为周期排桩结构的频率。

由于周期排桩结构的几何对称性，Bloch波矢仅需在第一不可约布里渊区中取值，即可代表所有的Bloch波矢。通过Matlab编程扫描第一布里渊区（First Brillouin Zone） ${k_x} \times {k_y} = \left[ {0, \frac{{\text{π }}}{{2a}}} \right] \times \left[ {0, \frac{{\text{π }}}{{2a}}} \right]$ 的波数，可以得到波矢量与频率的对应关系，绘制周期排桩结构的振动频散曲线。

2. 数值分析

2.1 收敛性分析

求解过程中，型函数 ${f_i}(x, y)$ 的个数i在很大程度上影响了计算结果的准确性，需要对i取值进行收敛性分析。桩的周期长度和半径分别取a=2 m，r=0.65 m，桩土材料参数如所示，其中μ为材料泊松比，计算了单相土中周期实心排桩的频散曲线，从频散曲线中随机选取3条曲线波数位于 ${k_x} = {k_y} = {\text{π }}/a$ 处的频率为研究对象，其结果如图 3所示。

表 1 桩土材料参数

Table 1. Parameters of pile-soil materials

材料	ρ/(kg·m^-3)	E/Pa	$\mu$
土	1900	2×10⁷	0.35
混凝土	2500	3×10¹⁰	0.20

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图 3 型函数个数取值收敛性分析

Figure 3. Convergence analysis of number of shape functions

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当型函数 ${f_i}(x, y)$ 取12以上时，得到的波模态频率值已经趋于稳定，基本不再变化，认为结果已收敛于周期性边界。

2.2 准确性分析

为验证提出方法计算周期排桩结构带隙的准确性，首先计算了单相土中周期实心排桩的频散曲线，并与传统周期理论的平面波展开法计算结果^[19]及COMSOL有限元计算结果进行了对比。桩的周期长度和半径分别取a=2 m，r=0.65 m，桩土材料参数见表 1，得到周期排桩的频散关系曲线（见图 4）。

图 4 正方形周期排桩结构频散曲线

Figure 4. Dispersion curves of square periodic row pile structures

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从图 4可以看出，三者结果符合良好。当频率落在A区域时，在任何传播方向上均没有对应矢量K的实波数，也就是说，在该频率范围内不存在任何传播波模态，即为完全带隙。此外，当频率落在B区域时，在ΓX方向上没有对应矢量K的实波数，称为方向带隙。带隙下边界对应频率称为起始频率（lower bound frequency，简称LBF），上边界对应频率称为截止频率upper bound frequency，简称UBF），带隙所包含的频率段称为带隙宽度（width of attenuation zone，简称WAZ），通过分析带隙特性，可以有效的评估周期排桩结构的减振性能。

除前文提到的正方形类型，常见周期排桩还有六边形单元类型，如图 5所示，r为桩体半径，a为周期长度。

图 5 六边形周期排桩

Figure 5. Hexagonal periodic row piles

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对于图 5所示的六边形周期性排桩，有

$\begin{array}{l}{\rho }_{土}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}})\\ =\left\{ \begin{array}{l}\text{if }{\left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}{x}_{\text{s}}+{y}_{\text{s}}\right)}^{2}＞\frac{{a}^{2}}{3}\text{ or }\sqrt{{x}_{\text{s}}^{\text{2}}+{y}_{\text{s}}^{\text{2}}}＜r\text{ , 0}\\ \text{else , }{\rho }_{\text{s}}\end{array} \right.\text{，}\end{array}$

(17)

$\begin{array}{l}{E}_{土}({x}_{\text{s}}, {y}_{\text{s}})\\ =\left\{ \begin{array}{l}\text{if }{(}^{\pm }＞\frac{{a}^{2}}{3}\text{ or }\sqrt{{x}_{\text{s}}^{\text{2}}+{y}_{\text{s}}^{\text{2}}}＜r\text{ , 0}\\ \text{else , }{E}_{\text{s}}\end{array} \right.。\end{array}$

(18)

桩的周期长度取a=2 m，填充率p取0.4，即 $r = \sqrt {p \times \frac{S}{{\text{π }}}} \approx 0.66{\text{ m}}$ ，S为六边形面积，桩土材料参数如表 1所示，利用区域分解法得到周期排桩的频散关系曲线，并与有限元结果进行对比验证，如图 6所示，两者结果符合良好。

图 6 六边形周期排桩结构频散曲线

Figure 6. Dispersion curves of hexagonal periodic row pile structures

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2.3 计算效率分析

对周期结构带隙的计算主要有基于周期理论的数值计算法及有限元仿真等。以上述所提正方形周期排桩结构为例，文献[19]采用平面波展开法进行计算，用时约为232742 s；同配置下采用COMSOL有限元计算，用时仅为78 s，明显优于传统计算方法。为验证本方法的计算效率，在相同配置下，保持计算精度一致，进行6组不同算例并记录对应计算时长如表 2所示。各算例结果符合良好，区域分解法相较于有限元法，计算效率平均提高3~4倍以上，可见具有显著优势。

表 2 计算时长结果对比

Table 2. Comparison of calculation time results

序号	单元结构类型	ρ/(kg·m^-3)		E/Pa		填充率p	扫描波数	时长/s
序号	单元结构类型	土	混凝土	土/10⁷	混凝土/10¹⁰	填充率p	扫描波数	有限元	区域分解
1	正方形	1900	2500	2.0	3	0.35	30	38	10.6
2	六边形	1900	2500	2.0	3	0.35	30	43	12.1
3	正方形	2000	2600	2.5	4	0.40	60	72	20.5
4	六边形	2000	2600	2.5	4	0.40	60	76	22.7
5	正方形	2100	2700	3.0	5	0.45	100	131	31.5
6	六边形	2100	2700	3.0	5	0.45	100	167	41.9

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3. 带隙特性分析

在设计周期性排桩时，土的弹性模量、密度及排桩的填充率是重要的设计参数，在表 1材料参数的基础上，假定其他参数不变，单独调整土体弹性模量、密度及填充率，图 7给出了正方形与六边形两种周期单元带隙随土体弹性模量的变化情况。通过分析首阶禁带的起、止频率以及对应的带隙宽度，能够较为清晰地评价周期排桩减振效果，由图 7可知，随着土体弹性模量的增长，带隙的起始频率、截止频率均快速增长。

图 7 带隙随土体弹性模量的变化

Figure 7. Change of band gap with elastic modulus of soil

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图 8给出了带隙随土密度的变化情况，可见土体密度对带隙的影响程度相对弹性模量较小，而且随着土体密度的增大，带隙起始频率、截止频率和宽度都相应减小。

图 8 带隙随土体密度的变化

Figure 8. Change of band gap with soil density

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图 9给出了带隙随填充率的变化情况，可见完全带隙的起始频率、截止频率和宽度随填充率的增加而增加，且六边形周期排桩结构在相同土体弹性模量、密度、排桩填充率条件下，各项量值均高于正方形周期排桩结构。综上，土体的弹性模量及填充率对周期排桩结构的带隙有较大的影响，土体密度影响相对较小，在进行周期排桩设计时，应充分考虑材料的弹性模量，并通过增加桩半径的方式来增加完全带隙的宽度；当需要隔离低频振动时，可以选择正方形排布的排桩形式，当需要隔离较高和较宽频的振动时，可选择六边形排布的排桩形式。

图 9 带隙随排桩填充率的变化

Figure 9. Change of band gap with filling ratio of row piles

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4. 结论

（1）运用区域分解结合零空间技术，能够有效克服周期性排桩结构中桩土参数畸变、型函数构造中边界依赖等问题，实现带隙的高效准确求解，相较于COMSOL有限元法，计算效率提高约3倍以上。

（2）周期排桩带隙计算结果表明，土体弹性模量与排桩填充率是影响带隙的主要因素。土的弹性模量和填充率越大，带隙的起始频率、截止频率和带隙宽度越大；相较于正方形布置的周期排桩，六边形布置时可以获得较高的起始频率、截止频率和带隙宽度。

图 1 浅埋隧洞渗流场示意图

Figure 1. Schematic representation of shallow tunnel

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图 2 深埋隧洞渗流场示意图

Figure 2. Schematic representation of deep tunnel

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图 3 衬砌隧洞渗流场示意图

Figure 3. Schematic representation of lined tunnel

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图 4 有限元模型网格剖分示意图

Figure 4. Finite element mesh of models

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图 5 隧洞涌水量数值计算结果

Figure 5. Water inflows of tunnels in different cases

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图 6 不同初始地下水位高度下疏干隧洞水平向与垂向的孔隙水压力分布

Figure 6. Distribution of pore water pressure along horizontal and vertical directions of drained tunnel under various initial groundwater levels

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图 7 不同围岩与衬砌相对渗透性下衬砌隧洞水平向与垂向的.孔隙水压力分布

Figure 7. Distribution of pore water pressure along horizontal and vertical directions of lined tunnel with different k_m/k_l

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图 8 d/D关于r/h的散点分布及拟合曲线

Figure 8. Scatter distribution and fitting curves of d/D with respect to r/h

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图 9 $h^{'} / h$ 关于 $r / h$ 的散点分布及拟合曲线

Figure 9. Scatter distribution and fitting curves of $h^{'} / h$ with respect to $r / h$

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图 10 $h^{'} / h$ 关于 $r / h$ 的散点分布及拟合曲线

Figure 10. Scatter distribution and fitting curves of $h^{'} / h$ with respect to $r / h$

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图 11 不同计算方法下隧洞中心右侧水平向与顶拱垂向的水压力分布曲线

Figure 11. Distribution of pore water pressure along horizontal and vertical directions of tunnel by different methods

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图 12 折减系数与相对渗透性之间的关系曲线

Figure 12. Relationship between discount coefficient and k_m/k_l

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图 13 不同计算方法隧洞涌水量结果对比

Figure 13. Comparison of water inflows into tunnel by different methods

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