基于KL展开的可靠度分析方法及其应用

谭晓慧; 董小乐; 费锁柱; 龚文平; 修临天; 侯晓亮; 马海春

doi:10.11779/CJGE202005002

基于KL展开的可靠度分析方法及其应用 English Version

1.
合肥工业大学资源与环境工程学院,安徽　合肥　230009
2.
中国地质大学工程学院,湖北　武汉　430074
3.
安徽省建设工程测试研究院有限责任公司,安徽　合肥　230051

基金项目:

国家自然科学基金项目 41572282

国家自然科学基金项目 41972278

详细信息

作者简介:
谭晓慧(1971—),女,教授,博士生导师,主要从事岩土工程的数值模拟和可靠度方面的研究工作。E-mail: tanxh@hfut.edu.cn

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2019-08-15
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2020-04-30

Reliability analysis method based on KL expansion and its application

1.
School of Resources and Environmental Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China
2.
Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
3.
Anhui Construction Engineering Test and Research Institute Co., Ltd., Hefei 230051, China

摘要

摘要: 空间变异性是土体的固有属性。为了分析土体空间变异性对岩土工程可靠度的影响,提出基于KL展开的一阶可靠度分析方法（KL-FORM）和基于KL展开的响应面法（KL-RSM）。两种方法均采用KL展开法进行随机场的离散,再采用FORM或RSM进行可靠度分析。通过将KL级数展开系数视为可靠度分析中的基本变量,将KL展开法与FORM或RSM有机地结合在一起。提出了确定KL展开项数的迭代计算方法,给出了KL展开法的流程图以及KL-FORM流程图。采用KL-FORM及KL-RSM对空间变异非饱和土体中浅基础以及不排水饱和黏土边坡的可靠度分析表明：KL-FORM及KL-RSM具有较高的计算精度与计算效率；在指定的随机场离散精度条件下,KL级数展开项数及基础工程的可靠指标均随着自相关距离的增加而减少。
- 空间变异性 /
- 可靠度分析 /
- 随机场理论 /
- Karhunen-Loeve级数展开法 /
- FORM /
- RSM
Abstract: The spatial variability is an inherent attribute of soil properties. To consider the influences of spatial variability of soils on the reliability of geotechnical engineering, a KL-FORM and a KL-RSM are proposed, in which the Karhunen-Loeve expansion method is used for the discretization of random field, and the first-order reliability method (FORM) or response surface method is adopted for the reliability analysis based on the results of KL expansion. By considering the coefficients of the KL series expansion as the basic variables in the reliability analysis, the KL expansion method and the FORM or RSM can be combined together. An iterative method is proposed for determining the number of KL expansion terms, and flow charts of the KL expansion and the KL-FORM are presented. The proposed KL-FORM and KL-RSM are demonstrated by two case studies: a shallow foundation in a spatially variable unsaturated soil, and an undrained saturated clay slope with spatial variability. The case studies show that the KL-FORM and the KL-RSM are computationally accurate and efficient. Under the requirements of a certain discrete error, the number of KL expansion items and the reliability index decrease with the increase of autocorrelation distance.
- spatial variability /
- reliability analysis /
- random field theory /
- Karhunen-loeve expansion /
- first-order reliability method /
- response surface method

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0. 引言

中国边坡工程稳定性设计仍然以确定性设计方法为主，例如《水利水电工程边坡设计规范：SL386—2007》^[1]（以下简称《规范》）规定采用安全系数F_S作为边坡稳定分析的评价指标。确定性设计方法简单且应用广泛，然而边坡稳定设计过程中不可避免地存在诸多不确定性因素，例如荷载不确定性、土体参数不确定性和模型误差等^[2-3]，影响边坡稳定的安全性和可靠度。基于安全系数的确定性设计难以合理考虑不确定性因素。近年来，岩土工程设计规范逐渐向基于可靠度设计的方法转变^[4-7]。相对而言，可靠度设计方法能够合理地考虑岩土工程中的多种不确定性。由于岩土工程确定性设计安全判据（即安全系数标准值F_Sk大于或等于允许安全系数F_Sa）与可靠度设计安全判据（即失效概率P_f小于或等于目标失效概率P_T）不同，根据两种设计方法得到的设计可行域可能不一致（即两种设计方法安全判据不等价），使得岩土工程设计方法难以平稳地向可靠度设计发展。

为了研究确定性设计与可靠度设计之间的联系，陈祖煜等^[8-11]提出了基于相对安全率的判别准则，相对安全率为合理地比较确定性设计安全判据与可靠度设计安全判据提供了有效工具。在安全系数服从正态或对数正态分布条件下，陈祖煜等^[8-11]定义了相对安全率，包括安全系数相对安全率与可靠指标相对安全率，并基于相对安全率，提出了确定性设计与可靠度设计安全判据等价性判别准则：当可靠指标相对安全率与安全系数相对安全率相等时，确定性设计与可靠度设计安全判据具有等价关系。基于二者等价关系，在给定目标可靠度条件下标定允许安全系数，能够保证满足确定性设计要求的设计方案同时满足可靠度设计要求，构建了确定性设计安全判据与可靠度设计安全判据的等价关系，使得采用两种安全判据得到的设计可行域相同。相对安全率已成功应用于重力坝抗滑稳定^[8]、重力式挡土墙抗滑稳定^[9-10]、土石坝坝坡稳定^[11]等工程结构的安全判据标定。

为了使相对安全率具有普适性，在相对安全率判别准则的基础上，李典庆等^[12]提出了安全系数服从任意概率分布时的广义可靠指标相对安全率 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ，证明了其与可靠指标相对安全率的理论关系，克服了相对安全率在分布类型上的局限性，拓宽了相对安全率准则的应用范围。基于 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ，确定性设计与可靠度设计安全判据等价性判别准则为：基于两种安全判据得到的设计可行域相同。广义可靠指标相对安全率已被应用于挡土墙抗滑稳定分析，根据目标可靠度指标 ${\beta _{\text{T}}}$ （或目标失效概率P_T）标定了挡土墙抗滑稳定允许安全系数。周强等^[13]进一步提出了基于广义可靠指标相对安全率标定允许安全系数的方法和流程，并应用于地基承载力安全判据研究，验证了所提方法在地基承载力允许安全系数标定中的有效性。

上述研究中所涉及的工程结构和设计问题均具有较明确的失效模式。广义可靠指标相对安全率在具有复杂且未知失效模式的岩土工程设计问题（如考虑空间变异性的边坡稳定性设计）中的适用性尚待验证。此外，既有研究中均通过算例结果验证基于广义可靠指标相对安全率的判别准则的适用性，比如通过对比确定性设计与可靠度设计的可行域验证安全判据的等价性。对应广义可靠指标相对安全率的判别准则在不同工程设计问题中适用性及其充分条件缺乏理论探讨，亟需建立满足广义可靠指标相对安全率的判别准则（即确定性设计与可靠度设计的安全判据等价性）的充分条件及其验证方法。

本文将广义可靠指标相对安全率应用于边坡稳定可靠度设计，提出边坡稳定确定设计与可靠度设计的安全判据等价的充分条件。在考虑空间变异性条件下，研究了单层和双层土质边坡稳定确定性设计与可靠度设计的等价关系，验证了广义可靠指标相对安全率在边坡安全判据研究中的有效性以及所提充分条件。

1. 广义可靠指标相对安全率

本节首先简要介绍广义可靠指标相对安全率 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 。如所示，安全系数服从任意概率分布时， ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 与临界阈值 ${F_{\text{S}}}$ =1的距离为 $\Delta {F_{\text{S}}}$ 。根据广义可靠指标相对安全率的定义， ${F_{\text{S}}}$ 减去 $\Delta {F_{\text{S}}}$ 后小于1的概率为目标失效概率P_T，可表达为^[12-13]

$P\left[({F}_{\text{S}}-\Delta {F}_{\text{S}})\right]＜1={P}_{\text{T}} 。$

(1)

将 $\Delta {F_{\text{S}}} = {h_{{\text{GR}}}} - {\text{1}}$ 代入式（1）得P[ ${F_{\text{S}}}$ $＜$ ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ] = ${P_{\text{T}}}$ 。由此可得广义可靠指标相对安全率为 ${F_{\text{S}}}$ 的 ${P_{\text{T}}}$ 分位值，如所示。因此， ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 可表示为

${\eta _{{\text{GR}}}} = {\text{CD}}{{\text{F}}_{{F_{\text{S}}}}}^{ - 1}({P_{\text{T}}})\text{，}$

(2)

图 1 广义可靠指标相对安全率示意图^[12]

Figure 1. Illustration of generalized reliability ratio of safety margin^[12]

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式中， $\operatorname{CDF}_{F_{\mathrm{S}}}^{-1}(\cdot)$ 为安全系数的累积分布函数 ${\text{CD}}{{\text{F}}_{{F_{\text{S}}}}}$ 的逆函数。如图 2所示，根据广义可靠指标相对安全率的定义可得以下推论：可靠度设计可行域内的设计方案满足P_f ≤ P_T，亦满足 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ≥ 1；反之，设计方案满足P_f＜P_T，亦满足h_GR＜1。

图 2

${\eta _{{\text{GR}}}}$ ，P_f和P_T的相对关系

Figure 2. Relationship among

${\eta _{{\text{GR}}}}$ , P_f and P_T

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2. 确定性设计和可靠度设计等价性的充分条件及其证明

2.1 确定性设计和可靠度设计的等价性

确定性设计安全判据通过比较安全系数标准值与允许安全系数确定设计可行域，即^[11]

${\eta _{\text{F}}} = {F_{\text{S}}}_{\text{k}}/{F_{\text{S}}}_{\text{a}} \geqslant 1 。$

(3)

式中： ${\eta _{\text{F}}}$ 为安全系数相对安全率； ${F_{\text{S}}}_{\text{k}}$ 为安全系数标准值，由强度参数取标准值x_k计算所得。

可靠度设计安全判据通过比较失效概率与目标失效概率确定设计可行域，即

$P_{\mathrm{f}}=P\left(F_{\mathrm{S}}<1\right)=\int p(\boldsymbol{X} \mid \boldsymbol{D}) \cdot I\left(F_{\mathrm{S}}<1\right) \mathrm{d} \boldsymbol{X} \leqslant P_{\mathrm{T}} 。$

(4)

式中：X为随机变量；D为设计变量；p(X|D)为给定设计的随机变量联合概率密度函数；I为指示函数。当安全系数小于1时，I值取为1，否则取为0。由广义可靠指标相对安全率的定义及其推论可知，可靠度设计的安全判据可表述为

${\eta _{{\text{GR}}}} = {\text{CDF}}_{{F_{\text{S}}}}^{ - 1}({P_{\text{T}}}) \geqslant 1 。$

(5)

如前所述，如果基于确定性设计与可靠度设计安全判据得到的设计可行域相同，则两种安全判据等价。本文基于广义可靠指标相对安全率提出确定性设计与可靠度设计的安全判据等价的充分条件及验证方法。

2.2 充分条件

如果下述两个条件同时成立，则确定性设计与可靠度设计的安全判据等价（即两种设计方法的设计可行域相同）。

条件Ⅰ：设计空间 $\varOmega$ 中存在临界设计D = d_c使得安全系数相对安全率（即 ${\eta _{\text{F}}}$ = ${F_{\text{S}}}_{\text{k}}$ / ${F_{\text{S}}}_{\text{a}}$ ）与广义可靠指标相对安全率（即 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ）均等于1，即

$\eta_{\mathrm{GR}}\left(\boldsymbol{d}_{\bf{c}}\right)=\eta_{\mathrm{F}}\left(\boldsymbol{d}_{\bf{c}}\right)=F_{\mathrm{Sk}}\left(\boldsymbol{x}_{\bf{k}}, \boldsymbol{d}_{\bf{c}}\right) / F_{\mathrm{Sa}}=1 \quad\left(\exists \boldsymbol{d}_{\bf{c}} \in \varOmega\right) 。$

(6)

条件Ⅱ：设计的安全系数相对安全率（或者安全系数标准值）与广义可靠指标相对安全率之间存在单调递增的映射关系，即

$\eta_{\mathrm{F}}\left(\boldsymbol{d}_{\bf{c}}\right)=F_{\mathrm{Sk}}(\boldsymbol{D}) / F_{\mathrm{Sa}}=F\left[\eta_{\mathrm{GR}}(\boldsymbol{D})\right] \quad(\forall \boldsymbol{D} \in \varOmega) 。$

(7)

式中：F( $\cdot$ )为单调递增函数。所提充分条件Ⅰ和条件Ⅱ如图 3所示。本文所提确定性设计与可靠度设计安全判据等价性的充分条件，其充分性主要体现在以下两个方面：①正向推论（条件Ⅰ和Ⅱ满足即两种设计方法安全判据可等价）：满足所提充分条件时，确定性设计与可靠度设计的安全判据等价，即采用两种设计方法得到的设计可行域相同；②逆向推论（两种设计方法可行域不同即无法同时满足条件Ⅰ和Ⅱ）：确定性设计与可靠度设计的安全判据不等价时（即采用两种设计方法得到的设计可行域不相同），上述充分条件无法同时满足。

图 3 充分条件示意图

Figure 3. Illustration of proposed sufficient condition

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本文将在算例中通过考虑空间变异性的单层边坡和双层边坡稳定设计问题分别说明以上两个推论。

2.3 充分性证明

证明条件Ⅰ和条件Ⅱ的充分性，即证明式（6），（7）同时满足时，确定性设计与可靠度设计的可行域相同，如下所述。

对于给定允许安全系数，如果条件Ⅰ成立，即设计空间中存在 ${\eta _{\text{F}}}$ = ${F_{\text{S}}}_{\text{k}}$ (x_k, d_c)/ ${F_{\text{S}}}_{\text{a}}$ =1的临界设计d_c，则确定性设计可行域（ ${\varOmega _{\text{D}}}$ ）满足

$F_{\mathrm{Sk}}\left(\boldsymbol{D} \mid \boldsymbol{D} \in \varOmega_{\mathrm{D}}\right) / F_{\mathrm{Sa}} \geqslant F_{\mathrm{Sk}}\left(\boldsymbol{x}_{\bf{k}}, \boldsymbol{d}_{\bf{c}}\right) / F_{\mathrm{Sa}}=1 。$

(8)

如果条件Ⅱ同时成立，由式（7），（8）可得

$\eta_{\mathrm{GR}}\left(\boldsymbol{D} \mid \boldsymbol{D} \in \varOmega_{\mathrm{D}}\right) \geqslant \eta_{\mathrm{GR}}\left(\boldsymbol{x}_{\mathrm{k}}, \boldsymbol{d}_{\mathrm{c}}\right)=1 \text { 。 }$

(9)

由式（5）可得，满足可靠度设计安全判据的设计可行域 ${\varOmega _{\text{R}}}$ 为

$\eta_{\mathrm{GR}}\left(\boldsymbol{D} \mid \boldsymbol{D} \in \varOmega_{\mathrm{R}}\right) \geqslant 1$

(10)

比较式（9），（10）可知，满足确定性设计要求的可行设计必然满足可靠度要求（ ${\varOmega _{\text{D}}} \subseteq {\varOmega _{\text{R}}}$ ）。

另一方面，对于给定目标可靠度，如果条件Ⅰ成立，即设计空间中存在 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ (x_k, d_c) = 1的临界设计d_c，则可靠度设计可行域（ ${\varOmega _{\text{R}}}$ ）满足

$\eta_{\mathrm{GR}}\left(\boldsymbol{D} \mid \boldsymbol{D} \in \varOmega_{\mathrm{R}}\right) \geqslant \eta_{\mathrm{GR}}\left(\boldsymbol{x}_{\bf{k}}, \boldsymbol{d}_{\bf{c}}\right)=1 \text { 。 }$

(11)

如果条件Ⅱ同时成立，由式（7），（11）可得

$F_{\mathrm{Sk}}\left(\boldsymbol{D} \mid \boldsymbol{D} \in \varOmega_{\mathrm{R}}\right) / F_{\mathrm{Sa}} \geqslant F_{\mathrm{Sk}}\left(\boldsymbol{x}_{\bf{k}}, \boldsymbol{d}_{\bf{c}}\right) / F_{\mathrm{Sa}}=1 。$

(12)

因此，满足可靠度设计要求的可行设计方案必然满足确定性设计要求（ ${\varOmega _{\text{R}}} \subseteq {\varOmega _{\text{D}}}$ ）。

综上，当条件Ⅰ和条件Ⅱ同时满足时，确定性设计可行域 ${\varOmega _{\text{D}}}$ 与可靠度设计可行域 ${\varOmega _{\text{R}}}$ 相同，即 ${\varOmega _{\text{R}}} = {\varOmega _{\text{D}}}$ 。

2.4 充分条件的验证方法

对于给定的允许安全系数F_Sa，临界设计的安全系数标准值等于允许安全系数。通过计算临界设计的失效概率确定目标失效概率，则可以满足条件Ⅰ。换言之，对于给定的允许安全系数，通过选择对应目标失效概率，充分条件Ⅰ必然可以满足。然而，需要指出的是，在不同的设计问题和工况下，条件Ⅱ未必成立。因此，在给定的设计问题和工况下，需要验证充分条件Ⅱ，以确定两种设计方法的等价性是否存在。

本文通过计算边坡广义可靠指标相对安全率与安全系数标准值的相关性验证二者的单调递增关系（即充分条件Ⅱ）。选定目标失效概率（例如10⁻³）计算设计方案的广义可靠指标相对安全率和安全系数标准值, 再通过二者的拟合优度判断是否满足充分条件。对于边坡稳定设计问题，可采用随机模拟方法（如直接蒙特卡罗模拟DMCS）计算不同设计方案的广义可靠指标相对安全率。由于随机模拟存在一定的波动，本文将0.99作为判断阈值，当线性拟合优度R²大于0.99则认为满足单调性要求。

考虑空间变异性的边坡稳定系统可靠度分析需要搜索安全系数最小的临界滑动面，计算效率较低，可在设计空间中抽取部分可能设计方案验证充分条件，本文采用拉丁超立方抽样（LHS）^[14]选择设计方案。此外，当采用LHS方法抽取设计方案时，难以抽到设计空间角点（即设计变量最大值或最小值对应的设计方案）设计方案，为了保证所选设计覆盖整个设计空间，可以额外加上设计空间各角点设计方案。对于抽取的每个设计方案，本文采用子集模拟方法计算其对应的广义可靠指标相对安全率 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ，如下节所述。

2.5 基于子集模拟计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$

子集模拟是一种改进的蒙特卡罗模拟方法，其利用中间条件概率自适应地引入中间事件，将小失效概率转化为一系列中间条件概率的乘积，即^[15]

$\begin{aligned} P_{\mathrm{f}}=P(F) & =P\left(F_m\right)=P\left(F_m \mid F_{m-1}\right) P\left(F_{m-1}\right) \\ = & \cdots=P\left(F_1\right) \prod\limits_{i=2}^m P\left(F_i \mid F_{i-1}\right)。 \end{aligned}$

(13)

式中：F为目标失效事件，P_f为其失效概率；F_i = {F_S ≤ fs_i, i = 1, 2, …, m}为中间失效事件，满足F = F_m ⊂…⊂ F₂ ⊂ F₁；fs_i为中间失效事件对应的安全系数阈值，满足f_s = f_sm < f_sm-1 … < f_s1；m为中间失效事件个数。

采用子集模拟方法计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 的过程如下：

（1）子集模拟第一层为DMCS，产生N个随机样本并计算它们对应的边坡稳定安全系数F_S，按照F_S升序排列随机样本。

（2）选择前p₀N个的样本作为“种子”，产生下一层样本。

（3）利用马尔科夫链蒙特卡罗算法产生(1−p₀)N个条件随机样本，与p₀N个“种子”样本组成新一层的样本集，计算新样本集中N个条件样本对应的F_S，并按照F_S升序排列条件样本。

（4）重复步骤（2）和（3），直到随机模拟到达相应的目标失效概率水平，进而可以计算每个样本的对应的发生概率值，并通过累加每个样本的概率值计算样本的累积分布函数。其中，第t层中每个样本对应的概率为

${P_t} = \frac{1}{N} \times {p_0}^{t - 1}{\text{ (}}t = 1,2, \ldots ,m) 。$

(14)

此外，根据子集模拟算法以及中间失效事件的定义可计算广义可靠指标相对安全率。第t个失效事件（对应第t层样本）的概率为

$P({F_t}) = P({F_{\text{S}}} < f{s_t}) = p_0^{t - 1}\frac{n}{N} 。$

(15)

式中，n为第t层样本对应F_S值升序序列中 $f{s_t}$ 对应的位次。根据式（15）和累积分布函数的定义， $f{s_t}$ 对应的累积分布函数值为np₀^t−1/N。因此，根据广义可靠指标相对安全率的定义（见式（5）），能够得到 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 的计算表达式为

${\eta _{{\text{GR}}}} = {F_{\text{S}}}_{\left( t \right)}^{\left( n \right)} = {F_{\text{S}}}_{\left( t \right)}^{(N{P_{\text{T}}}/p_0^{t - 1})} 。$

(16)

式中： $F_{{\text{S(}}t{\text{)}}}^{{\text{(}}n{\text{)}}}$ 为第t层样本对应F_S值升序序列中位次为n的安全系数值，即 $F_{{\text{S(}}t{\text{)}}}^{{\text{(}}n{\text{)}}}$ = fs_t；n根据np₀^t−1/N = P_T计算求得，即n = NP_T/p₀^t−1。为了提高子集模拟结果的准确性，子集模拟需执行至n / N ≥ p₀（即P_T / p₀^t−1 ≥ p₀），以保证到达目标失效概率水平，进而根据式（16）计算广义可靠指标相对安全率。例如，取P_T = 10⁻³，N = 2000，p₀ = 0.1时，计算可得t = 3，n = 200， ${\eta _{{\text{GR}}}}$ = ${F_{\text{S}}}_{(3)}^{(200)}$ ，即子集模拟第三层中按升序排列的第200个安全系数为 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 。

3. 边坡稳定确定性设计和可靠度设计等价性的验证流程

边坡稳定确定性设计与可靠度设计的等价性验证流程包括以下步骤：

（1）建立边坡稳定确定性分析模型，可采用极限平衡法、有限元法等方法计算边坡稳定安全系数。

（2）确定随机变量（如土体参数和荷载）及其统计特征、设计参数（如边坡高度和坡角）的设计空间。

（3）采用子集模拟方法验证边坡稳定性设计是否满足本文所提充分条件。验证时，首先确定目标失效概率，进而计算广义可靠指标相对安全率，取不确定性参数的某分位值（如0.2分位值）计算安全系数标准值。如果验证结果满足充分条件，则边坡稳定可靠度设计与确定性设计间存在等价关系。

为了进一步验证确定性设计与可靠度设计的等价关系，需继续执行以下步骤：

（4）依据《规范》选择允许安全系数，并据此确定临界设计。本文采用响应面法确定临界设计，首先构建设计变量与安全系数标准值之间的响应面，然后计算所有设计的安全系数标准值，取安全系数标准值等于允许安全系数的设计为临界设计。

（5）计算临界设计的失效概率作为边坡稳定可靠度设计的目标失效概率。值得注意的是，基于允许安全系数标定的目标失效概率与步骤（3）中验证充分条件所采用的目标失效概率无需一致，本文所提充分条件与验证过程中采用的目标失效概率无关。

（6）比较确定性设计可行域Ω_D与可靠度设计可行域Ω_R以验证边坡稳定确定性设计与可靠度设计安全判据的等价性，说明所提充分条件的有效性。

4. 算例Ⅰ：单层边坡

本节通过一个单层土质边坡稳定算例^[16]说明基于广义可靠指标相对安全率的边坡稳定可靠度设计与确定性设计的等价性充分条件的正向推论。本算例中边坡稳定确定性分析模型中采用简化毕肖普方法^[17]。如图 4所示，单层土质边坡的坡高为H，坡角为α。

图 4 单层土质边坡示意图

Figure 4. Schematic diagram of a slope with a single layer

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本算例中H和α为设计变量，其中H为8.0~10.0 m，设计方案间隔为0.2 m；α为35.0°~45.0°，设计方案间隔为0.5°。因此，设计空间为Ω = {(H, α | H=8.0, 8.2, …, 10.0 m; α = 35.0°, 35.5°, …, 45.0°}，共231个设计方案。土体重度 $\gamma$ 取为20 kN/m³。黏聚力c和内摩擦角 $\varphi$ 为不确定性参数，其统计特征如表 1所示。计算安全系数标准值时，不确定性参数取0.2分位值。采用指数型自相关函数描述土体抗剪强度参数的空间自相关性^[18]，同时考虑了黏聚力与内摩擦角的互相关性。如图 4所示，本算例采用基于乔列斯基分解的中点法离散随机场^[19]，随机场网格单元尺寸为0.5 m×0.5 m。为了研究空间变异性对单层土质边坡稳定设计的影响，随机场水平波动范围δ_h和竖直波动范围δ_v取两种组合，即δ_h = δ_v =10000 m以及δ_h = 40 m和δ_v = 8 m。第一种参数组合（δ_h = δ_v = 10000 m）中波动范围远大于模型尺寸，此时随机场模型近似为随机变量模型，忽略了空间变异性。

表 1 单层土质边坡土体参数统计特征

Table 1. Schematic diagram of a slope with a single layer

土体参数	均值	变异系数	分布类型	自相关函数	波动范围	互相关系数
c/kPa	10	0.3	对数正态	指数型	[δ_h = δ_v = 10000 m] [δ_h = 40 m, δ_v = 8 m]	−0.5
$\varphi$ /(°)	30	0.2	对数正态	指数型	[δ_h = δ_v = 10000 m] [δ_h = 40 m, δ_v = 8 m]	−0.5

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4.1 充分条件的正向推论验证

采用拉丁超立方抽样方法从设计空间中随机抽取8个设计方案（即D1~D8），附加4个角点设计方案（即D9~D12）验证充分条件，如表 2所示。

表 2 单层边坡代表性设计方案及其计算结果

Table 2. Representative design of a slope with a single layer and their calculated results

设计方案	设计方案			F_Sk	${\eta _{{\text{GR}}}}$ (P_T = 10⁻³)
设计方案	编号	H/m	α/(°)	F_Sk	δ_h=10000 m δ_v=10000 m	δ_h=40 m δ_v=8 m
LHS抽取设计方案	D1	9.4	39.3	1.089	0.941	1.008
	D2	8.3	36.5	1.209	1.009	1.120
	D3	8.6	37.9	1.157	0.985	1.073
	D4	8.9	35.1	1.220	1.072	1.128
	D5	8.0	40.7	1.117	0.952	1.038
	D6	10.0	42.1	1.004	0.833	0.930
	D7	9.1	45.0	0.977	0.857	0.907
	D8	9.7	43.6	0.983	0.867	0.912
附加角点设计方案	D9	8.0	35.0	1.267	1.075	1.174
	D10	8.0	45.0	1.025	0.885	0.954
	D11	10.0	35.0	1.179	0.972	1.088
	D12	10.0	45.0	0.944	0.798	0.876

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本算例采用子集模拟计算广义可靠指标相对安全率，子集模拟中p₀取0.1，N取2000。验证充分条件时目标失效概率选取为10⁻³，以计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 。如图 5（a）和图 5（b）所示分别为δ_h = δ_v = 10000 m以及δ_h = 40 m和δ_v = 8 m时12个代表性设计方案边坡稳定F_S的累积分布图。表 2汇总了代表性设计方案的安全系数标准值和广义可靠指标相对安全率的计算结果。

图 5 安全系数累积分布图

Figure 5. Cumulative distribution function of F_S

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所示为F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 之间的变化关系。当δ_h = δ_v = 10000 m时，设计过程中忽略了空间变异性，F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 拟合优度为0.991，大于本文所设置的阈值0.99，满足所提确定性设计与可靠度设计的安全判据等价性充分条件；当δ_h = 40 m，δ_v = 8 m，设计过程中同时考虑水平和竖向空间变异性，F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 拟合优度达0.999，大于本文所设置的阈值0.99，满足所提确定性设计与可靠度设计的安全判据等价性充分条件。上述结果说明单层土质边坡稳定确定性设计与可靠度设计的安全判据之间存在较明确的对应关系，使得两种设计方法对应的可行域相同。

图 6 单层边坡代表性设计方案的F_Sk与

${\eta _{{\text{GR}}}}$ 对比

Figure 6. Comparison between F_Sk and

${\eta _{{\text{GR}}}}$ of representative design of soil slope with a single layer

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4.2 设计可行域对比

为了完成所提充分条件的正向推论验证，需要对比两种设计安全判据下设计可行域的关系。本文依据《规范》选取允许安全系数1.05，1.15和1.25分别标定目标失效概率，对比两种设计方法的可行域。为了确定临界设计（即安全系数标准值等于允许安全系数的设计方案），根据表 2中已经计算的12个代表性设计方案的安全系数标准值构建F_Sk的响应面如下：

$\begin{aligned} F_{\mathrm{Sk}}= & 3.6327-0.1329 H-0.0642 \alpha+0.0042 H^2+ \\ & 3.7379 \times 10^{-4} \alpha H+4.6270 \times 10^{-4} \alpha^2。 \end{aligned}$

(17)

式（17）与简化毕肖普法计算的F_Sk之间的拟合优度R²为0.999，表明其具有足够的准确性。根据式（17）计算设计方案的F_Sk并确定临界设计，如表 3所示。

表 3 单层土质边坡目标失效概率标定结果

Table 3. Target failure probabilities calibrated for soil slope example with a single layer

随机场参数	F_Sa	临界设计		P_T = P_f
随机场参数	F_Sa	H/m	α/(°)	P_T = P_f
δ_h=δ_v=10000 m	1.05	9.4	40.9	1.39×10⁻²
δ_h=40 m，δ_v=8 m	1.05	9.4	40.9	1.29×10⁻³
δ_h=δ_v=10000 m	1.15	8.6	38.2	1.51×10⁻³
δ_h=40 m，δ_v=8 m	1.15	8.6	38.2	4.38×10⁻⁵
δ_h=δ_v=10000 m	1.25	8.0	35.7	1.50×10⁻⁴
δ_h=40 m，δ_v=8 m	1.25	8.0	35.7	5.21×10⁻⁷

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确定临界设计后，采用子集模拟算法计算其失效概率作为目标失效概率（见）。对于设计空间中231个设计方案，由式（17）计算各设计方案的安全系数标准值，并根据允许安全系数确定性设计可行域。采用中的目标失效概率分别对12个代表性设计方案进行可靠度分析，计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ，构建 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 与设计参数之间的响应面。F_Sa = 1.25时，式（18），（19）分别表示忽略和考虑空间变异性条件下的 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 的响应面：

$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{GR}}= & 2.8473-0.1924 H-0.0281 \alpha+0.0094 H^2- \\ & 3.5144 \times 10^{-4} \alpha H+1.5387 \times 10^{-4} \alpha^2， \end{aligned}$

(18)

$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{GR}}= & 3.9001-0.1141 H-0.1014 \alpha+0.0013 H^2+ \\ & 1.5771 \times 10^{-3} \alpha H+8.5911 \times 10^{-4} \alpha^2 \end{aligned}。$

(19)

式（18），（19）对应的 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 响应面拟合优度分别为0.996和0.994，说明所构建的响应面具有较高准确性。同理，在另外两组允许安全系数对应目标失效概率下，可得到不考虑和考虑空间变异性时广义可靠指标相对安全率与设计参数的响应面。根据响应面求得所有设计方案的 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ，确定 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ≥1对应的可靠度设计可行域。

图 7对比了忽略空间变异性条件下（即δ_h = δ_v = 10000 m）不同允许安全系数对应的确定性设计可行域（灰色阴影）与可靠度设计可行域（红色方形）。忽略空间变异性条件下单层土质边坡稳定确定性设计可行域与可靠度设计可行域基本相同，说明确定性设计与可靠度设计的安全判据等价关系以及所提充分条件的有效性。考虑空间变异性时（δ_h = 40 m，δ_v = 8 m）计算结果相似，单层土质边坡稳定确定性设计可行域与可靠度设计可行域基本相同，如图 8所示。此外，如表 3所示，对于给定的允许安全系数（如1.05），考虑空间变异性时，标定所得目标失效概率（即1.29×10⁻³）小于忽略空间变异性时标定的结果（即1.39×10⁻²）。因此，考虑空间变异性条件下，相同的F_Sa对应的目标可靠度水平更高。

图 7 确定性设计与可靠度设计可行域对比(δ_h = δ_v = 10000 m)

Figure 7. Comparison of feasible design domains between deterministic design and RBD (δ_h = δ_v = 10000 m)

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图 8 确定性设计与可靠度设计可行域对比(δ_h = 40 m δ_v = 8 m)

Figure 8. Comparison of feasible design domains between deterministic design and RBD (δ_h = 40 m, δ_v = 8 m)

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5. 算例Ⅱ：双层边坡

第4节采用单层土质边坡说明了所提充分条件的正向推论。本节采用的双层土质边坡算例说明所提充分条件的逆向推论，即确定性设计与可靠度设计可行域不相同时无法满足所提充分条件。通过一个双层土质边坡算例进一步探讨基于广义可靠指标相对安全率的边坡稳定确定性设计与可靠度设计的安全判据等价性问题，边坡稳定确定性分析模型中采用简化毕肖普方法计算边坡稳定安全系数。如图 9所示，双层土质边坡坡高为H，坡角为α^[20]。

图 9 双层土质边坡示意图

Figure 9. Schematic diagram of a soil slope with two layers

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本算例中H和α为设计变量，其中H为4.0~5.0 m，设计方案间隔为0.1 m；α为16.0°~26.5°，设计方案间隔为0.5°。因此，设计空间为Ω = {(H, α | H = 4.0, 4.1, …, 5.0 m；α = 16.0°, 16.5°, …, 26.5°}，共计242个设计方案。土体重度为确定性参数，上层土的重度γ₁为19 kN/m³，下层土的重度γ₂为20 kN/m³。上下层土体的黏聚力c、内摩擦角 $\varphi$ 以及顶部荷载q为不确定性参数，它们的统计特征如表 4所示。计算安全系数标准值时，不确定性参数取0.2分位值。采用单指数型自相关函数描述土体抗剪强度参数的空间相关性，上层土考虑了黏聚力与内摩擦角之间的互相关性。如图 9所示，采用基于乔列斯基分解的中点法离散随机场，随机场网格单元尺寸为0.5 m×0.5 m。为了研究空间变异性对双层土质边坡稳定确定性设计与可靠度设计安全判据等价性设计的影响，随机场水平波动范围和竖直波动范围取3种组合，即δ_h = 20 m，δ_v = 2 m；δ_h = 20 m，δ_v = 0.5 m以及δ_h = δ_v = 10000 m。

表 4 双层边坡不确定性参数统计特征

Table 4. Statistics of uncertainty parameters of two-layer slope

土坡中不确定参数		均值	变异系数	分布类型	自相关函数	波动范围	互相关系数
土层Ⅰ	c₁/kPa	5	0.3	对数正态	指数型	[δ_h = 20 m, δ_v = 2 m]	-0.5
土层Ⅰ	${\varphi _1}$ /(°)	30	0.2	对数正态		[δ_h = 20 m, δ_v = 0.5 m]	-0.5
土层Ⅱ	c₂/kPa	30	0.3	对数正态		[δ_h = δ_v = 10000 m]	—
荷载	q/(kN·m^-1)	20	0.1	对数正态	—		—

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5.1 设计可行域对比

与单层边坡算例相同，采用12个代表性设计方案验证充分条件，包括采用拉丁超立方抽样从设计空间中随机抽取的8个设计样本（即D1~D8）和4个设计空间角点（即D9~D12），如表 5所示。依据《规范》选取允许安全系数为1.25标定目标失效概率，对比两种设计方法的可行域。为了确定临界设计，首先计算12个代表性设计方案的F_Sk值（见表 5），构建F_Sk与设计参数之间的响应面：

$\begin{aligned} F_{\mathrm{Sk}}= & 3.1620-0.4089 H-0.0381 \alpha+0.0298 H^2- \\ & 0.0018 \alpha H+7.2496 \times 10^{-4} \alpha^2。 \end{aligned}$

(20)

表 5 双层边坡代表性设计方案及其计算结果

Table 5. Representative design of slope with two layers and their calculated results

设计方案	设计方案			F_Sk	${\eta _{{\text{GR}}}}$ (P_T = 10⁻³)
设计方案	编号	H/m	α/(°)	F_Sk	δ_h =20 m δ_v =2 m	δ_h =20 m δ_v =0.5 m	δ_h =10000 m δ_v =10000 m
LHS抽取计方案	D1	5.0	23.4	1.161	0.976	1.115	0.656
	D2	4.3	16.1	1.406	1.220	1.341	0.805
	D3	4.7	22.0	1.228	1.052	1.174	0.697
	D4	4.9	19.1	1.246	1.071	1.194	0.716
	D5	4.6	25.0	1.211	1.009	1.132	0.688
	D6	4.0	17.6	1.433	1.226	1.364	0.815
	D7	4.2	26.5	1.273	1.045	1.183	0.730
	D8	4.4	20.6	1.304	1.090	1.225	0.738
附加角点设计方案	D9	4.0	16.0	1.467	1.255	1.403	0.849
	D10	4.0	26.5	1.316	1.065	1.205	0.714
	D11	5.0	16.0	1.298	1.149	1.259	0.782
	D12	5.0	26.5	1.129	0.967	1.073	0.650

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式（20）与简化毕肖普法计算的F_Sk之间的拟合优度为0.999。根据响应面计算设计方案的F_Sk值，并确定临界设计为坡高H = 5.0 m和坡角α = 18.1°，取其失效概率为目标失效概率，如表 6所示。

表 6 双层土质边坡目标失效概率标定结果

Table 6. Target failure probabilities calibrated from a soil slope with two layers

随机场参数	F_Sa	临界设计		P_T = P_f
随机场参数	F_Sa	H/m	α/(°)	P_T = P_f
δ_h=20 m, δ_v=2 m	1.25	5.0	18.1	6.41×10⁻⁵
δ_h=20 m, δ_v=0.5 m				4.10×10⁻⁸
δ_h=δ_v=10000 m				3.65×10⁻²

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对于设计空间中的242个设计方案，由式（20）计算其安全系数标准值，并允许安全系数确定性设计可行域。基于子集模拟对12个代表性设计方案进行可靠度分析，根据目标失效概率计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 。本算例中子集模拟参数p₀取0.1，N取2000， ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 的计算结果见，并构建 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 与设计参数之间的响应面，δ_h = 20 m和δ_v = 2 m，δ_h = 20 m和δ_v = 0.5 m以及δ_h = δ_v = 10000 m对应的响应面分别为

$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{GR}}= & 2.5163-0.2437 H-0.0521 \alpha+0.0154 H^2- \\ & 5.9418 \times 10^{-5} \alpha H+8.3681 \times 10^{-4} \alpha^2\text{，} \end{aligned}$

(21)

$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{GR}}= & 2.4686-0.2967 H-0.0345 \alpha+0.0145 H^2+ \\ & 2.1738 \times 10^{-3} \alpha H+2.4880 \times 10^{-4} \alpha^2, \end{aligned}$

(22)

$\begin{aligned} \eta_{\mathrm{GR}}= & 3.1098-0.42542 H-0.0685 \alpha+0.0360 H^2- \\ & 8.5946 \times 10^{-4} \alpha H+1.3556 \times 10^{-3} \alpha^2 \text { 。 } \end{aligned}$

(23)

响应面拟合优度分别为0.997，0.997，0.993，说明其有精度较高。据此求得设计空间所有设计方案的 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ ，从而确定可靠度设计可行域。

图 10（a）~（c）分别对比了不同随机场模型参数取值条件下确定性设计可行域与可靠度设计可行域，发现确定性设计可行域（灰色阴影）与可靠度设计可行域（红色方形）差异较大，说明双层土质边坡确定性设计与可靠度设计的安全判据不具有明确的对应关系，难以建立二者的等价关系。

图 10 确定性设计与可靠度设计可行域对比

Figure 10. Comparison of feasible design domains bewteen deterministic design and RBD

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5.2 充分条件的逆向推论验证

双层土质边坡稳定确定性设计与可靠度设计可行域不一致，说明两种设计方法的安全判据不等价，则本算例无法满足所提等价性充分条件。为了进一步说明该问题，本文验证了F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 之间是否存在单调的映射关系，即充分条件Ⅱ是否满足。所示为考虑不同空间变异性条件下12个设计方案的F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 之间的变化关系，当δ_h = 20 m，δ_v = 2 m时，F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 之间的拟合优度为0.917（见蓝色方形）；当δ_h = 20 m，δ_v = 0.5 m时，F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 之间的拟合优度为0.959（见橙色三角形）；当δ_h = δ_v = 10000 m时，F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 之间的拟合优度为0.914（见红色圆形）。结果表明：考虑空间变异性条件下，双层土坡F_Sk与 ${\eta _{{\text{GR}}}}$ 之间的拟合优度均小于阈值0.99。因此，本算例无法满足充分条件Ⅱ，至此完成充分条件的逆向推论的验证。

图 11 双层土坡代表性设计方案的

${F_{{\text{Sk}}}}$ 与

${\eta _{{\text{GR}}}}$ 对比

Figure 11. Comparison between

${F_{{\text{Sk}}}}$ and

${\eta _{{\text{GR}}}}$ of representative designs of soil slope with two layers

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6. 结论

本文基于广义可靠指标相对安全率提出了边坡稳定确定性设计与可靠度设计的安全判据等价性充分条件以及验证方法。在给定允许安全系数条件下标定目标失效概率，对比确定性设计与可靠度设计的可行域，分别探讨了单层和双层土质边坡稳定确定性设计与可靠度设计安全判据的等价关系。通过单层边坡稳定设计说明了所提充分条件的正向推论，即满足充分条件时两种设计方法得到的设计可行域相同；通过双层边坡稳定设计说明了所提充分条件的逆向推论，即两种设计方法的设计可行域不同时不能满足所提充分条件。

（1）广义可靠指标相对安全率适用于边坡稳定设计。边坡稳定确定性设计与可靠度设计安全判据的等价性需要满足一定的充分条件，根据所提充分条件能够有效判断两种设计方法安全判据的等价性。

（2）土体空间变异性不影响单层土质边坡稳定确定性设计与可靠度设计安全判据的等价性，考虑空间变异性（δ_h = 40 m，δ_v = 8 m）和忽略空间变异性（即δ_h = δ_v = 10000 m）的单层土质边坡稳定确定性设计与可靠度设计安全判据均存在明确的对应关系。此外，与忽略空间变异性相比，考虑空间变异性条件下F_Sa对应的目标可靠度水平更高。换言之，为了达到相同的安全裕幅，忽略空间变异性可能导致低估可靠度设计所需的目标可靠度水平。

（3）随着土体参数空间变异性增强（空间自相关性减弱），确定性设计与可靠度设计安全判据的相关性增强。然而，考虑空间变异性（δ_h = 20 m，δ_v = 2 m；δ_h = 20 m，δ_v = 0.5 m）和忽略空间变异性（即δ_h = δ_v = 10000 m）的双层土质边坡均不满足所提充分条件，确定性设计与可靠度设计的安全判据之间不存在等价关系。

图 1 随机场离散的KL展开法流程图

Figure 1. Flow chart of KL expansion for random field discretization

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图 2 KL-FORM流程图

Figure 2. Flow chart of KL-FORM

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图 3 浅基础的数值计算模型

Figure 3. Numerical model for shallow foundation

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图 4 随机场离散误差与级数展开项数的关系

Figure 4. Relationship between discretization error (ε) and number of expansion items (M)

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图 5 两个随机场离散值的对应关系

Figure 5. Relationship between discrete values of two random fields

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图 6 可靠指标β与级数展开项数的关系

Figure 6. Relationship between reliability index and number of series expansion items

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图 7 边坡的数值计算模型

Figure 7. Numerical model for slope

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表 1 土体强度参数的统计特征

Table 1 Statistics of shear strength parameters of soil

变量均值变异系数分布类型

c'/kPa 50 0.3 正态分布
ϕ'/(°) 25 0.2 正态分布

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表 2 边坡的可靠指标

Table 2 Reliability indices of a slope

方法来源定值法计算次数可靠指标相对误差/%

LHS 文献[12] 1000 1.216 —
3阶PCE 文献[12] 286 1.197 1.56
KL-FORM 本文 63 1.186 2.47
KL-RSM 本文 43 1.210 0.49

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[25]	谭晓慧, 刘新荣. 可靠度分析中梯度求解方法的研究[J]. 岩土力学, 2006, 27(6): 929-932. doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2006.06.016 TAN Xiao-hui, LIU Xin-rong. Study on solution of limit state function's gradients in reliability analysis[J]. Rock and Soil Mechanics, 2006, 27(6): 929-932. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2006.06.016
[26]	TAN X H, SHEN M F, HOU X L, et al. Response surface method of reliability analysis and its application in slope stability analysis[J]. Geotechnical and Geological Engineering, 2013, 31: 1011-1025. doi: 10.1007/s10706-013-9628-4
[27]	潘健, 周森. 非均质地基上条形基础沉降的随机有限元分析[J]. 岩土工程学报, 2010, 32(增刊): 196-199. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC2010S2049.htm PAN Jian, ZHOU Sen. Probabilistic analysis for settlement of strip footing on non-homogeneous soil[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(S0): 196-199. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC2010S2049.htm
[28]	VAN GENUCHTEN M T H. A closed-form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils[J]. Soil Science Society of America Journal, 1980, 44: 892-898. doi: 10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x
[29]	谢妍. 非饱和土地基上条形基础的可靠度分析[D]. 合肥: 合肥工业大学, 2016. XIE Yan. Reliability Analysis of Strip Foundation on Unsaturated Soil Foundation[D]. Hefei: Hefei University of Technology, 2016. (in Chinese)
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[31]	SALGADO R, KIM D. Reliability analysis and load and resistance factor design of slopes[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2013, 140(1): 57-73.
[32]	ROBERT L A, MISRA A. Reliability-based design of deep foundations based on differential settlement criterion[J]. Canadian Geotechnical Journal, 2009, 46(2): 168-176. doi: 10.1139/T08-117

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0. 引言
1. 广义可靠指标相对安全率
2. 确定性设计和可靠度设计等价性的充分条件及其证明
2.1 确定性设计和可靠度设计的等价性
2.2 充分条件
2.3 充分性证明
2.4 充分条件的验证方法
2.5 基于子集模拟计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$
3. 边坡稳定确定性设计和可靠度设计等价性的验证流程
4. 算例Ⅰ：单层边坡
4.1 充分条件的正向推论验证
4.2 设计可行域对比
5. 算例Ⅱ：双层边坡
5.1 设计可行域对比
5.2 充分条件的逆向推论验证
6. 结论

0. 引言
1. 广义可靠指标相对安全率
2. 确定性设计和可靠度设计等价性的充分条件及其证明
2.1 确定性设计和可靠度设计的等价性
2.2 充分条件
2.3 充分性证明
2.4 充分条件的验证方法
2.5 基于子集模拟计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$
3. 边坡稳定确定性设计和可靠度设计等价性的验证流程
4. 算例Ⅰ：单层边坡
4.1 充分条件的正向推论验证
4.2 设计可行域对比
5. 算例Ⅱ：双层边坡
5.1 设计可行域对比
5.2 充分条件的逆向推论验证
6. 结论

参考文献(32)

施引文献

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方法	来源	定值法计算次数	可靠指标	相对误差/%
LHS	文献[12]	1000	1.216	—
3阶PCE	文献[12]	286	1.197	1.56
KL-FORM	本文	63	1.186	2.47
KL-RSM	本文	43	1.210	0.49

变量	均值	变异系数	分布类型
c'/kPa	50	0.3	正态分布
ϕ'/(°)	25	0.2	正态分布

基于KL展开的可靠度分析方法及其应用 English Version

作者简介: 谭晓慧(1971—),女,教授,博士生导师,主要从事岩土工程的数值模拟和可靠度方面的研究工作。E-mail: tanxh@hfut.edu.cn

计量

出版历程

Reliability analysis method based on KL expansion and its application

0. 引言

1. 广义可靠指标相对安全率

2. 确定性设计和可靠度设计等价性的充分条件及其证明

2.1 确定性设计和可靠度设计的等价性

2.2 充分条件

2.3 充分性证明

2.4 充分条件的验证方法

2.5 基于子集模拟计算ηGR {\eta _{{\text{GR}}}}

3. 边坡稳定确定性设计和可靠度设计等价性的验证流程

4. 算例Ⅰ：单层边坡

4.1 充分条件的正向推论验证

4.2 设计可行域对比

5. 算例Ⅱ：双层边坡

5.1 设计可行域对比

5.2 充分条件的逆向推论验证

6. 结论

计量

出版历程

目录

0. 引言

1. 广义可靠指标相对安全率

2. 确定性设计和可靠度设计等价性的充分条件及其证明

2.1 确定性设计和可靠度设计的等价性

2.2 充分条件

2.3 充分性证明

2.4 充分条件的验证方法

2.5 基于子集模拟计算ηGR {\eta _{{\text{GR}}}}

3. 边坡稳定确定性设计和可靠度设计等价性的验证流程

4. 算例Ⅰ：单层边坡

4.1 充分条件的正向推论验证

4.2 设计可行域对比

5. 算例Ⅱ：双层边坡

5.1 设计可行域对比

5.2 充分条件的逆向推论验证

6. 结论

作者简介:
谭晓慧(1971—),女,教授,博士生导师,主要从事岩土工程的数值模拟和可靠度方面的研究工作。E-mail: tanxh@hfut.edu.cn

2.5 基于子集模拟计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$

2.5 基于子集模拟计算 ${\eta _{{\text{GR}}}}$