适用于弹黏塑性本构模型的修正切面算法

李舰; 蔡国庆; 尹振宇

doi:10.11779/CJGE202002006

适用于弹黏塑性本构模型的修正切面算法 English Version

李舰^{1, 2,},
蔡国庆^{1, 2},
尹振宇^3, ,

1.
北京交通大学城市地下工程教育部重点实验室,北京　100044
2.
北京交通大学土木建筑工程学院,北京　100044
3.
香港理工大学土木与环境工程学系,香港

基金项目:

中央高校基本科研业务费专项资金项目 2019JBM083

详细信息

作者简介:
李舰（1985— ）,男,博士,讲师,主要从事土的本构模型及其数值计算方面的研究工作。E-mail：jianli@bjtu.edu.cn

通讯作者:
尹振宇, E-mail：zhenyu.yin@polyu.edu.hk

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2019-07-06
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2020-01-31

Modified cutting-plane integration scheme for elasto-viscoplastic models

LI Jian^{1, 2,},
CAI Guo-qing^{1, 2},
YIN Zhen-yu^3, ,

1.
Key Laboratory of Urban Underground Engineering of Ministry of Education, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China
2.
School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China
3.
Department of Civil and Environmental Engineering, The Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong, China

摘要

摘要: 针对弹黏塑性本构模型将原始切面算法进行了修正。该弹黏塑性本构模型结合了修正剑桥模型和过应力理论。首先对弹黏塑性本构模型的应力-应变关系式进行了调整,基于过应力理论给出了动态加载面硬化参数的演化方程。其次,利用切面算法对整理后应力-应变关系式进行了数值实现。在弹性试算过程中,该算法假设黏塑性应变率为常数,以此确保时间增量引起的当前应力点与动态加载面间的偏离。在塑性修正过程中,对动态加载面函数进行泰勒级数展开,依此获得黏塑性应变率增量。再次,提出了一种自动分步方法,有效地稳定了大应变步情况下算法的计算精度和收敛性。最后,对变应变率的固结试验和三轴剪切不排水试验进行了模拟,分析了修正切面算法的计算能力。
- 黏塑性 /
- 本构模型 /
- 切面算法 /
- 半隐式算法 /
- 数值积分
Abstract: The elasto-viscoplastic model can be regarded as a combination of the modified Cam-clay model and the overstress theory. Firstly, the stress-strain formulas for the model are rearranged, in which an evolution equation for the hardening parameter of dynamic loading surface is deduced based on the overstress theory. Secondly, the rearranged stress-strain formulas are numerically implemented by the cutting-plane integration scheme. In an elastic prediction process, the viscoplastic strain rate is assumed to be constant, which guarantees the deviation of the current stress state from dynamic loading surface due to time increments. In a plastic corrector process, a Taylor series approximation of the dynamic loading function is used to obtain the increment of viscoplastic multiplier rate. Thirdly, an adaptive substepping method is proposed to maintain the accuracy and convergence of the proposed algorithm at a large loading step. Finally, the performances of the modified cutting-plane algorithm are analyzed by the calculated results of step-changed oedometer tests and undrained triaxial tests.
- viscoplasticity /
- constitutive model /
- cutting-plane algorithm /
- semi-implicit scheme /
- numerical integration

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0. 引言

近年随着海洋工业从浅海向深海发展,新型适用于深海系泊的鱼雷锚,因其安装简单方便、成本低等诸多优势深受海洋工业界的青睐。自2000年鱼雷锚首次应用于深海浮式平台系泊系统,到目前已有上千根鱼雷锚系泊采油平台和船支（主要应用于巴西坎普斯盆,挪威西海岸附近,墨西哥湾等海域）。鱼雷锚的承载力影响上部采油平台的生产能力,因此鱼雷锚的承载力问题是其研究的首要问题。研究人员希望通过试验和数值方法构建具有广泛指导意义的承载力包络线（V–H曲线）,预测鱼雷锚的承载力。但因鱼雷锚是深埋锚,锚尖埋深达1.5～2.5倍锚长（Lieng等^[1],De Araujo等^[2],Brandão等^[3]）,试验方法很难获得相对于锚端的水平拉拔承载力,因此更难获得承载力的V–H曲线。O'Beirne等^[4]通过数值方法获得小比尺模型锚的水平承载力,进一步构建承载力包络线（V–H曲线）,提出水平承载力是1.1倍的竖向承载力（ $H_{\max} =$ $1.1 V_{\max}$ ）。但是该关系仅限于O'Beirne等研究的土体强度和锚型。Fu等^[5]通过离心机试验和数值方法对比分析了3种锚型在高岭土中的承载力,并构建了新型承载力包络线,θ>45°时（θ为锚链与锚端水平面夹角）倾斜拉拔的竖向分力等于竖向承载力（ $V_{i} = V_{\max}$ ）,θ<25°时倾斜拉拔的水平分力等于水平承载力（ $H_{i} =$ $H_{\max}$ ）,25°<θ<45°时承载力下限边界 $V_{i} / V_{\max} =$ $1.7 - 1.4 H_{i} / H_{\max}$ 。Fu等水平承载力计算是基于Brom对桩的水平承载力研究,首先假设桩周围土体极限反力分布,再根据整体受力平衡来计算极限承载力^[6]。但是因为鱼雷锚形状不规则锚周围土体反力分布很难准确假定。

到目前为止,水平承载力的研究主要集中于数值方法,解析方法研究相对较少。本文基于塑性极限分析上限法提出一种简化模型用于推导鱼雷锚水平承载力。将有限元方法构建的平均水平承载力系数 $N_{p,avg} =$ $f (s_{u}, L_{f} / D_{w})$ （ $L_{f} / D_{w}$ 锚翼长宽比；s_u不排水抗剪强度）用于简化模型,推导不同锚型和土体强度下鱼雷锚水平承载力的解析解,并与ABAQUS数值解以及前人研究结果比较分析,进一步验证简化模型合理性。

1. 鱼雷锚的上限法简化模型

Murff等^[7]率先将塑性极限分析上限法用于三维桩水平承载力研究。根据桩的动荷载边界条件构建虚拟速度场,外力做功耗散功率等于桩周土体内能耗散功率,利用能量平衡原理计算载荷,不必解复杂的偏微分方程。虚拟速度场满足几何方程,体积不变和位移速度边界条件。因此更适合解决形状不规则的鱼雷锚的水平承载力问题。

1.1 模型假设条件

鱼雷锚锚链通常连接在锚端部,在水平荷载作用下围绕旋转中心发生旋转（图1）。假设土体为满足相关流动法则的理想刚塑性Tresca材料,锚端的旋转速度 $v_{0}$ ,锚侧速度分布随深度（z）成线性变化 $v_{（ i ）} =$ $(1 - z / L_{0}) v_{0}$ ,（其中 $L_{0}$ 旋转中心与锚端距离）。

图 1 鱼雷锚水平荷载受力图

Figure 1. Horizontal loads on a torpedo anchor

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1.2 锚侧土体内部耗散功率( ${\dot{E}}_{S}$ )

$\begin{matrix} {\dot{E}}_{S} = {\dot{E}}_{inter} + {\dot{E}}_{shear} + {\dot{E}}_{fric} = F_{H} v_{0} \\ = v_{0} D_{0} \int_{0}^{L} | 1 - \frac{z}{L_{0}} | (N_{p, avg} s_{u} + γ^{'} z) d z \end{matrix}$ 。

(1)

式中 ${\dot{E}}_{inter}$ 土体内塑性变形耗散功率（软化,硬化^[8-10],剪胀,剪缩等）； ${\dot{E}}_{shear}$ 速度不连续面剪切功率； ${\dot{E}}_{fric}$ 界面摩擦所消耗功率；F_H水平外荷载； $v_{0}$ 锚端速度； $N_{p, avg}$ 平均水平承载力系数； $γ^{'}$ 土浮重度； $s_{u}$ 不排水抗剪强度； $L_{0}$ 旋转中心距离锚顶部的距离； $L$ 锚的长度； $D_{0}$ 锚的有效直径,当无锚翼时 $D_{0} = D$ （D为锚杆直径）；当有锚翼时 $D_{0} = D_{w} = D + 2 W_{f} (β = 0)$ 或 $D_{0} = D + 2 W_{f} \sin β (β \neq 0)$ （W_f为锚翼宽度, $β$ 为拉拔力施加方向与锚翼夹角,如图2所示）。为减小鱼雷锚安装过程中锚翼端部的贯入阻力,通常将锚翼底部和顶部设计成斜面,因此锚翼底部和顶部的有效直径 $D_{w(i)} = D + 2 W_{f} \sin β h_{(i)} / L_{f(i)}$ ,h_(i)为锚翼中某点i高度距离锚翼顶部或底部的距离, $L_{f(i)}$ 是锚翼上斜面的竖向投影高度 $L_{f1}$ 或者锚翼下斜面的竖向投影高度 $L_{f3}$ 。

图 2 鱼雷锚水平荷载加载方向示意图

Figure 2. Horizontal loading diagram of a torpedo anchor

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锚的单位面积水平向承载力计算公式 $p_{\max} = N_{p} s_{u} +$ $γ^{'} z$ （N_p水平承载力系数）。根据Randoph等^[11]对桩的水平承载力的研究,深埋桩土体围绕桩发生平面流动,近似为平面应变状态,土重对桩水平承载力影响较小,可忽略土重影响。因此对于深埋鱼雷锚可忽略土重的影响,可简化为

${\dot{E}}_{S} = F_{H} v_{0} = v_{0} D_{0} \int_{0}^{L} | 1 - \frac{z}{L_{0}} | N_{p, avg} s_{u} d z$ 。

(2)

鱼雷锚旋转中心位置存在3种情况,如图1,可能位于锚翼中部A点（ $L_{f1} < L_{0} < (L_{f} - L_{f3})$ ）；旋转中心位于锚翼下斜面B点（ $(L_{f} - L_{f3}) < L_{0} < L_{f}$ ）；旋转中心低于锚翼C点（ $L_{0} > L_{f}$ ）。

（1）当旋转中心位于A点时（ $L_{f1} < L_{0} < (L_{f} - L_{f3})$ ）

$\begin{array}{l} {\dot{E}}_{S} = v_{0} D_{w (i)} \int_{0}^{L_{f1}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D_{w} \int_{L_{f1}}^{L_{0}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D_{w} \int_{L_{0}}^{L_{f} - L_{f3}} (\frac{z}{L_{0}} - 1) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D_{w (i)} \int_{L_{f} - L_{f3}}^{L_{f}} (\frac{z}{L_{0}} - 1) N_{p,avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D \int_{L_{f}}^{L} (\frac{z}{L_{0}} - 1) N_{p,avg} s_{u} d z \end{array}$ 。

(3)

（2）当旋转中心位于B点时（ $(L_{f} - L_{f3}) < L_{0} < L_{f}$ ）

$\begin{array}{l} {\dot{E}}_{S} = v_{0} D_{w (i)} \int_{0}^{L_{f1}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D_{w} \int_{L_{f1}}^{L_{f} - L_{f3}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D_{w (i)} \int_{L_{f} - L_{f3}}^{L_{0}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D_{w (i)} \int_{L_{0}}^{L_{f}} (\frac{z}{L_{0}} - 1) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D \int_{L_{f}}^{L} (\frac{z}{L_{0}} - 1) N_{p, avg} s_{u} d z \end{array}$ 。

(4)

（3）当旋转中心位于C点时（ $L_{0} > L_{f}$ ）

$\begin{array}{l} {\dot{E}}_{S} = v_{0} D_{w (i)} \int_{0}^{L_{f1}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D_{w} \int_{L_{f1}}^{L_{f} - L_{f3}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D_{w (i)} \int_{L_{f} - L_{f3}}^{L_{f}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D \int_{L_{f}}^{L_{0}} (1 - \frac{z}{L_{0}}) N_{p, avg} s_{u} d z + \\ \begin{matrix} \end{matrix} v_{0} D \int_{L_{0}}^{L} (\frac{z}{L_{0}} - 1) N_{p, avg} s_{u} d z \end{array}$ 。

(5)

1.3 锚端部土体内部耗散功率（ ${\dot{E}}_{T}$ ）

当桩发生旋转,旋转中心到桩底的距离小于旋转中心到桩底部边缘的距离因此桩底部形成一个球形破坏面。

简化球形破坏面耗散功率公式为^[12]

${\dot{E}}_{T} = (π / 4) v_{0} s_{u} D_{0}^{2}$ 。

(6)

鱼雷锚锚尖是圆锥或椭圆形,在旋转时就不会在锚尖形成球形成破坏面。反而因为鱼雷锚是深埋锚,锚杆顶部会出现球形破坏面。

鱼雷锚水平荷载作用下周围土体内部总损耗率：

$\dot{E} = {\dot{E}}_{S} + {\dot{E}}_{T}$ 。

(7)

1.4 旋转中心的计算

鱼雷锚在水平荷载下发生旋转,旋转中心的位置将影响水平承载力的大小。通过优化旋转中心的位置得到上限法的最小水平承载力。根据数学求函数极值的方法,解公式（8）得到最优旋转中心位置。研究人员^[13]通过刚性桩的横向拉拔试验研究发现,刚性桩绕旋转中心转动,失稳后旋转中心在桩上的位置基本不变。本文假设鱼雷锚在水平荷载作用力下失稳后旋转中心位置也是不变化。

$F_{H}^{'} = \frac{d({\dot{E}}_{s} / v_{0})}{d L_{0}} = 0$ 。

(8)

1.5 水平承载力系数N_p,avg

鱼雷锚无锚翼部分近似于桩,Randolph通过上下限方法研究桩在完全摩擦时水平承载力系数为11.94。锚翼部分近似于DEPLA（动力深埋平板锚dynamically embedded plate anchors）锚。O’loughlin等^[14]通过离心机试验研究DEPLA锚的承载力系数14.2～15.8,并指出DEPLA锚的破坏面沿着交叉锚翼向外扩展的正交破坏面,因此其承载力系数大于Martin等^[15]给出深埋极薄圆型平板锚承载力系数精确解13.11,以及Wang等^[16]给出平板锚厚度是宽度的1/20时,平板锚的承载力系数14.33。鱼雷锚水平荷载的运动趋势与DEPLA锚略有不同,DEPLA锚在拉拔荷载下发生平动,鱼雷锚水平荷载下发生旋转,因此鱼雷锚的水平承载力系数应低于DEPLA锚的承载力系数而高于桩的水平承载力系数。

鱼雷锚包括有锚翼和无锚翼部分,锚翼的长宽影响水平承载力系数,因此鱼雷锚很难获得单位面积水平承载力系数。本文通过有限元结果反推全锚的平均水平承载力系数,考虑土体强度和 $L_{f} / D_{w}$ 对 $N_{p,avg} =$ $f (s_{u}, L_{f} / D_{w})$ 函数影响,其推导流程如下图3。

图 3 水平承载力系数计算流程图

Figure 3. Flow chart for calculating horizontal capacity factor

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2. 鱼雷锚水平承载力模型

2.1 鱼雷锚模型

众所周知鱼雷锚锚翼的长度（ $L_{f}$ ）和宽度（W_f）对水平承载力影响很大。存在锚翼长度与有效直径比（ $L_{f} / D_{w}$ ）相同但锚翼侧面积（ $A_{f}$ ）不同和锚翼的 $A_{f}$ 相同但 $L_{f} / D_{w}$ 不同。如表1,W-0和N-4鱼雷锚的 $L_{f} / D_{w}$ 基本相同,但是 $A_{f}$ 相差4.3倍。W-1和N-1鱼雷锚的 $A_{f}$ 相同,但是 $L_{f} / D_{w}$ 却不同。因此针对此情况,本文设计了两类锚型：W型-鱼雷锚：保持锚翼长度不变,改变锚翼宽度,达到不同的L_f/D_w。N型-鱼雷锚：保持锚翼宽度不变,改变锚翼长度,从而实现 $L_{f} / D_{w}$ 的变化。见图4和图5。

表 1 鱼雷锚尺寸表

Table 1. Sizes of torpedo anchor

锚型	符号	锚长	锚直径	锚尖长	锚翼厚	锚翼宽	锚翼长				长径比	面积
锚型	符号	L/m	D/m	L_t/m	t/m	W_f/m	L_f/m	L_f1/m	L_f2/m	L_f3/m	L_f/D_w	A_f/m²
W型-鱼雷锚	W-0	12	0.96	1.82	0.1	1.91	5.92	0.48	3.84	1.6	1.24	74.57
	W-1	12	0.96	1.82	0.1	1.44	5.92	0.48	3.84	1.6	1.54	56.22
	W-2	12	0.96	1.82	0.1	0.83	5.92	0.48	3.84	1.6	2.26	32.40
	W-3	12	0.96	1.82	0.1	0.45	5.92	0.48	3.84	1.6	3.18	17.57
	W-4	12	0.96	1.82	0.1	0.39	5.92	0.48	3.84	1.6	3.40	15.23
N型-鱼雷锚	N-0	12	0.96	1.82	0.1	0.90	9.39	0.48	7.31	1.6	3.40	60.12
	N-1	12	0.96	1.82	0.1	0.90	8.85	0.48	6.77	1.6	3.21	56.23
	N-2	12	0.96	1.82	0.1	0.90	6.15	0.48	4.97	1.6	2.23	36.79
	N-3	12	0.96	1.82	0.1	0.90	4.35	0.48	4.07	1.6	1.58	23.83
	N-4	12	0.96	1.82	0.1	0.90	3.45	0.48	3.17	1.6	1.25	17.35
验证锚型	T-0	12	0.96	1.82	0.1	1.16	5.92	0.48	3.84	1.6	1.81	45.29
	T-1	12	0.96	1.82	0.1	0.65	5.92	0.48	3.84	1.6	2.63	25.38
	T-2	12	0.96	1.82	0.1	0.90	7.05	0.48	0.68	1.6	2.55	43.27
	T-3	12	0.96	1.82	0.1	0.90	5.25	0.48	2.27	1.6	1.90	30.31
	注：面积（A_f）是锚翼侧面积之和。

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图 4 鱼雷锚锚型示意图

Figure 4. Schematic diagram of torpedo anchors

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图 5 锚翼部分侧面与

$L_{f} / D_{w}$ 关系曲线

Figure 5. Relationship between fluke area of torpedo anchor and

$L_{f} / D_{w}$

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2.2 土体参数

所有锚型预埋在同样深度,锚尖埋深为1.5L,锚顶部埋深0.5L。土体被考虑为各向同性的纯黏土,满足Tresca屈服准则,浮重度为6 kN/m³。基于ABAQUS软件建立鱼雷锚预埋于土中3D数值模型（图6）,土体模型尺寸长和宽为20.83D,深为27.08D,弹性模量为500S_u,泊松比为0.49。采用C3D8R八面体单元对模型进行剖分,通过网格密度对承载力影响验证,确定网格加密区网单元尺寸为D/9.6,土体总网格数量在140000～230000。锚–土界面采用完全摩擦。

图 6 1/2有限元模型

Figure 6. 1/2 model of finite element model

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（1）均匀土体,土体强度 $s_{u} = 10$ kPa；

（2）正常固结土,土体强度 $s_{u} = k z$ kPa (k =0.1,1,2,3,4,5,6),土体强度分布如图7所示。

图 7 土体强度曲线

Figure 7. Curves of soil strength

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3. 结果分析

3.1 模型验证

在水平面上,圆桩是完全对称将不受拉拔方向的影响。而鱼雷锚因带有锚翼不是完全对称结构,拉拔力施加方向与锚翼夹角（ $β$ ）,将导致有锚翼部分有效直径不同。如图2,当 $β =$ 0°时,有效直径最大 $D_{w} = D + 2 W_{f}$ ,当 $β =$ 45°时,有效直径最小 $D_{w} = D +$ $2 W_{f} \sin$ 45°。De Sousa等^[17]指出 $β =$ 0°与 $β =$ 45°的水平承载力差值是2.61%。图8（a）,（b）所示也进一步证明,在均匀土体和正常固结土中锚翼拉拔夹角度对水平承载力略有影响。拉拔夹角 $β =$ 45°和 $β =$ 0°的W型–鱼雷锚或N型–鱼雷锚的水平承载力差值1.5%～5.5%。本次研究针对鱼雷锚有效直径等于最大有效直径,即 $β =$ 0°的工况。

图 8

$β =$ 45°和

$β =$ 0°鱼雷锚水平承载力

Figure 8. Horizontal loads on torpedo anchors under

$β =$ 45°and

$β =$ 0°

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图8（a）,（b）W-1鱼雷锚和N-1鱼雷锚侧面积相等,W-1鱼雷锚的水平承载力大于N-1鱼雷锚的水平承载力,可知侧面积相等时,锚翼宽度越宽水平承载力越大；W-3鱼雷锚和N-4鱼雷锚的 $L_{f} / D_{w}$ 分别是3.18和1.25且W-3鱼雷锚的侧面积 $A_{f} = 17.57$ 略大于N-4鱼雷锚的侧面积 $A_{f} = 17.04$ ,但是N-4鱼雷锚的水平承载力大于W-3鱼雷锚的水平承载力。因为N-4鱼雷锚的等效直径 $D_{w}$ （ $β =$ 0°时 $D_{w} = 2.76$ ； $β =$ 45°时 $D_{w} = 2.23$ ）大于W-3鱼雷锚的 $D_{w}$ （ $β =$ 0°时 $D_{w} = 1.86$ ； $β =$ 45°时 $D_{w} = 1.6$ ）。由此可见,将锚翼宽度增加一倍,即使锚翼面积减少3%,也可以获得较高的水平承载力。

图9（a）,（b）为均匀土体中鱼雷锚在水平荷载作用下的位移云图和应力云图。由图9（a）可知,鱼雷锚在水平荷载作用下围绕旋转中心（位移为0）发生旋转,锚体位移随着深度基本呈线性变化,由此可见前文假设锚侧速度分布随深度成线性变化是合理的。

图 9 均匀土体的应力云图和位移云图

Figure 9. Stress patterns and displacements of uniform soils

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3.2 L_f/D_w对承载力系数影响

如图10（a）,在均匀土中（ $s_{u} = 10$ kPa）,W型-鱼雷锚保持锚翼长度不变,增加或减少锚翼宽度,水平承载力系数 $N_{p, avg}^{k = 0}$ 随着 $L_{f} / D_{w}$ 增加没有明显变化,则水平承载力系数取均值 $N_{p, avg}^{k = 0} = 12.97$ 。N型-鱼雷锚保持锚翼宽度不变,改变锚翼长度, $N_{p, avg}^{k = 0}$ 随着 $L_{f} / D_{w}$ 增加逐渐减小,水平承载力系数与 $L_{f} / D_{w}$ 关系见下式：

图 10 水平承载力系数或旋转中心与

$L_{f} / D_{w}$ 关系曲线

Figure 10. Relationship between horizontal capacity factor or rotation center and

$L_{f} / D_{w}$

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$N_{p, avg}^{k = 0} = 14.2 - 2.16 e^{\frac{- {(L_{f} / D_{w} - 4.73)}^{2}}{8}}$ 。

(9)

为使水平承载力系数 $N_{p, avg}^{k = 0}$ 与 $L_{f} / D_{w}$ 关系在工程实践中具有广泛通用性,并避免过高预测水平承载力,取两水平承载力系数的最小值：

$N_{p, avg}^{k = 0} = Min {\begin{array}{l} 12.97 \\ 14.2 - 2.16 e^{\frac{- {(L_{f} / D_{w} - 4.73)}^{2}}{8}} \end{array}$ 。

(10)

表2比较了在均匀土体（ $s_{u} = 10$ kPa）中N-0～N-4鱼雷锚和W-0～W-4型鱼雷锚的数值解和简化模型解析解。当N型-鱼雷锚 $L_{f} / D_{w}$ 较小时和W型-鱼雷锚 $L_{f} / D_{w}$ 较大时,计算的水平承载力偏保守,解析解比数值解低5.7%左右。

表 2 鱼雷锚水平承载力数值解与解析解对比

Table 2. Comparison of horizontal capacity between FEM results and analytical solutions

锚型	s_u=10 kPa			s_u=1z kPa
锚型	数值解/kN	解析解/kN	差值/%	数值解/kN	解析解/kN	差值/%
W-0	2032.70	2054.42	-1.07	1806.92	1847.86	2.27
W-1	1766.03	1755.14	-0.62	1556.13	1563.07	0.45
W-2	1311.34	1309.16	-0.17	1154.11	1172.85	1.62
W-3	1000.55	975.32	-2.52	882.76	900.09	1.96
W-4	958.70	917.55	-4.29	843.42	847.72	0.51
N-0	1420.92	1416.60	-0.30	1283.30	1265.55	-1.38
N-1	1410.73	1404.80	-0.42	1278.23	1269.89	-0.65
N-2	1395.33	1377.29	-1.29	1232.93	1235.57	0.21
N-3	1285.38	1215.69	-5.42	1069.06	1068.05	-0.09
N-4	1153.28	1087.87	-5.67	940.64	950.43	1.04

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在正常固结土（ $s_{u} = 1 z$ kPa）中,如图10（a）,W型-鱼雷锚与N型-鱼雷锚的水平承载力系数 $N_{p,avg}$ 基本吻合并且随着 $L_{f} / D_{w}$ 增加略有降低。土体强度 $s_{u} = 1 z$ kPa时,水平承载力系数 $N_{p, avg}^{k = 1}$ 为

$N_{p, avg}^{k = 1} = 10 + \frac{0.6}{1 + 10^{(- 6.4 + 2 \frac{L_{f}}{D_{w}})}}$ 。

(11)

表2中,比较在正常固结土（ $s_{u} = 1 z$ kPa）中N型-鱼雷锚和W型-鱼雷锚的数值解和简化模型解析解,两者差值均小于2.3%。

由图10（b）可知,对于N型-鱼雷锚,当旋转中心位置低于锚翼长时（ $L_{0} > L_{f}$ ）,随着 $L_{f} / D_{w}$ 增加,旋转中心靠近锚顶。当旋转中心位置高于锚翼长时（ $L_{0} < L_{f}$ ）,随着 $L_{f} / D_{w}$ 增加,旋转中心向锚尖靠近。也就是锚翼宽度不变,锚翼越短和越长旋转中心都向锚尖靠近。对于W型-鱼雷锚,无论旋转中心位置高于锚翼长还是低于锚翼长,都随着 $L_{f} / D_{w}$ 增加,旋转中心越靠近锚尖。即锚翼长度不变,减小锚翼宽度,旋转中心向锚尖方向移动。

3.3 土体强度对承载力系数影响

图11所示N-1鱼雷锚的水平承载力与土体强度关系曲线。N-1鱼雷锚的水平承载力随着拉拔位移(U)增加逐渐增大,当U/D=0.2时水平承载力基本达到稳定,并且水平承载力随着土体强度增加而增大。图12所示,当土体强度梯度0.01<k<0.1时,水平承载力系数随着k值增大急剧增加；当土体强度梯度0.1<k<1时,随着k值增长水平承载力系数的增长逐渐缓慢；当土体强度梯度k >1时,随着k值增长水平承载力系数反而逐渐减小。下式表达鱼雷锚水平承载力系数与土体强度关系。值得注意,N-1鱼雷锚的旋转中心位置没有随着土体强度梯度的增加发生变化。

图 11 水平承载力与U/D关系曲线

Figure 11. Relationship between horizontal capacity and U/D

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图 12 水平承载力系数和旋转中心与土强度梯度关系

Figure 12. Relationship between soil strength gradient and horizontal capacity factor or rotation center

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$N_{p, avg}^{k = i} = {\begin{array}{l} \frac{N_{p,avg}^{^{k = 1}} k^{1.5}}{0.00052 + k^{1.5}} \begin{matrix} \end{matrix} (0.01 < k \leq 1) \\ N_{p,avg}^{^{k = 1}} - 1.6 e^{\frac{- {(k - 6)}^{2}}{3.38}} \begin{matrix} \end{matrix} (k > 1) \end{array} 。$

(12)

综上所述,得到水平承载力系数与土体强度和 $L_{f} / D_{w}$ 的关系式如下：

$N_{p, avg} = {\begin{array}{l} \begin{array}{l} Min {\begin{array}{l} 12.97 \\ 14.2 - 2.16 e^{\frac{- {(L_{f} / D_{w} - 4.73)}^{2}}{8}} \begin{matrix} \end{matrix} (k = 0) \end{array} \\ \frac{[10 + \frac{0.6}{1 + 10^{(- 6.4 + 2 \frac{L_{f}}{D_{w}})}}] k^{1.5}}{0.00052 + k^{1.5}} \begin{matrix} \end{matrix} (0.01 < k \leq 1) \end{array} \\ [10 + \frac{0.6}{1 + 10^{(- 6.4 + 2 \frac{L_{f}}{D_{w}})}}] - 1.6 e^{\frac{- {(k - 6)}^{2}}{3.38}} \begin{array}{l} \end{array} (k > 1) \end{array} 。$

(13)

3.4 算例验证水平承载力简化模型

将上文中T-1～T-4型鱼雷锚用于验证推导的水平承载力系数 $N_{p, avg}$ 的可行性。分别将T-1～T-4鱼雷锚在均匀土体（ $s_{u} = 10 kPa, 50 kPa$ ）和正常固结土体（ $s_{u} = 1 z kPa, 5 z kPa$ 中的数值解和简化模型解析解进行比较,结果如表3所示,T-1～T-4数值结果和简化模型的解析解差值均小于3.2%,由此可见 $N_{p, avg}$ 用于水平承载力计算是可行的。

表 3 验证锚水平承载力的数值解与简化模型解析解比较

Table 3. Comparison of horizontal capacity between FEM results and analytical solutions of simplified models of torpedo anchors

土体强度	s_u=10 kPa			s_u=50 kPa			s_u=1z kPa			s_u=5z kPa
名称单位	数值解/kN	解析解/kN	差值/%	数值解/kN	解析解/kN	差值/%	数值解/kN	解析解/kN	差值/%	数值解/kN	解析解/kN	差值/%
T-1	1563.49	1575.16	0.75	7817.46	7769.07	-0.62	1381.69	1387.07	0.39	6178.64	6142.38	-0.59
T-2	1168.06	1178.48	0.89	5840.32	5800.86	-0.68	1025.47	1052.09	2.59	4673.03	4652.62	-0.44
T-3	1401.44	1414.52	0.93	7007.22	6973.86	-0.48	1270.51	1277.19	0.52	5576.40	5651.63	1.35
T-4	1350.36	1327.22	-1.71	6751.79	6541.69	-3.11	1150.69	1164.11	1.17	5303.29	5152.94	-2.83

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De Souse等^[17]应用数值方法研究了锚翼宽度,土体强度等因素对鱼雷锚承载力的影响。为了进一步论证本文研究的水平承载力系数和上限法简化模型预测鱼雷锚水平承载力的合理性。用上限法简化模型计算De’Sousa的工况水平承载,并与De Sousa的结果进行对比,如表4所示,当 $L_{f} / D_{w}$ 从3.83增长到7.93时De Sousa的结果与简化模型解析解的差值小于2.4%。鱼雷锚的 $L_{f} / D_{w}$ =3.83,土体强度梯度k从1.5增长到6时,De’Sousa的结果与简化模型解析解的差值随着k值增加从0.68%增加到5.24%。由此可见,该简化锚型预测较低土体强度梯度k时差值更小,而海洋土体强度梯度范围常在k=0.5～2之间,很少出现土体强度梯度k>3的工况。

表 4 De Sousa等^[17]的结果与简化模型解析解比较

Table 4. Comparison between de’sousa FEM results and analytical solutions of simplified model

名称单位	锚直径/m	锚翼宽/m	锚翼长/m	$L_{f} / D_{w}$	旋转中心/m	数值解/MN	解析解/MN	差值/%
s_u=3z kPa	1.1	0.15	11.1	7.93	12.76	6.7	6.86	2.39
	1.1	0.45	11.1	5.55	11.96	8.91	8.95	0.45
	1.1	0.9	11.1	3.83	10.61	11.72	11.84	1.02
s_u=1.5z kPa	1.1	0.9	11.1	3.83	10.61	5.9	5.94	0.68
s_u=6z kPa	1.1	0.9	11.1	3.83	10.61	20.98	19.88	5.24

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通过上述比较分析,上限法简化模型对水平承载力预测是合理的。将该简化模型预测的水平承载力（ $H_{\max}$ ）与API公式预测的竖向承载力（ $V_{\max}$ ）带入前人研究的V-H包络线 ${(\frac{F_{i} \cos θ}{H_{\max}})}^{m} + {(\frac{F_{i} s i n θ}{V_{\max}})}^{n} = 1$ （θ是锚链与锚端水平面夹角,m,n是系数）,可预测任意倾角θ的倾斜承载力 $F_{i}$ 。鱼雷锚现场安装过程中根据贯入深度和土体强度就可预测倾斜极限承载力。再依据API基础设计提供的竖向和水平向承载力安全系数2.0和1.5,可得到任意θ角的设计承载力^[18]。上述方法节省了有限元计算的时间和经济成本,适用于工程实践。

3.5 锚型优化

由图13可见,当N-型鱼雷锚的锚翼侧面积（A_f）小于37 m²即锚翼长度小于1/2锚长时,锚的水平承载力随着锚翼长度增加快速增大。当锚翼侧面积（A_f）大于37 m²即锚翼长度大于1/2锚长时,增大锚翼长度将不能显著提高锚的水平承载力。而W-型鱼雷锚的水平承载力一直随着锚翼侧面积增大成线性增大。即锚翼长度不变,增加锚翼宽度可以有效提高水平承载力。该结论为锚型优化提供参考依据。

图 13 鱼雷锚水平承载力与锚翼侧面积关系

Figure 13. Relationship between lateral area of fluke of torpedo anchor and horizontal capacity

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4. 结论

本文基于塑性极限分析上限法建立鱼雷锚水平承载力解析解的简化模型。用于海洋工业界预测鱼雷锚水平承载力。

（1）拉拔角度对水平承载力略有影响,锚翼面积相等时锚翼越宽水平承载力越大。

（2）均匀土体,鱼雷锚锚翼宽度不变改变锚翼长度,水平承载力系随着 $L_{f} / D_{w}$ 增加而减小。鱼雷锚锚翼长度不变,改变锚翼宽度,水平承载力系数随着 $L_{f} / D_{w}$ 增加没有明显变化, $N_{p, avg}^{k = 0} = 12.97$ 。

（3）正常固结土,水平承载力系数随 $L_{f} / D_{w}$ 增大略有降低。随着土体强度梯度k增加,水平承载力系数先增大后减小,但是旋转中心位置不随k值变化。

（4）当锚翼宽度不变旋转中心小于锚翼长度时,锚翼越长旋转中心都越靠近锚尖。当旋转中心小于锚翼长度时,锚翼越短旋转中心都越靠近锚尖。锚翼长度不变,减小锚翼宽度旋转中心靠近锚尖。

（5）鱼雷锚的锚翼长度大于1/2锚长时,增加锚翼宽度比增加锚翼长度更能明显提高承载力。

图 1 EVP-MCC模型的动态加载面和参考面

Figure 1. Dynamic loading surface and reference surface of EVP-MCC model

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图 2 变应变率固结试验计算结果

Figure 2. Calculated results of step-changed oedometer tests

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图 3 3种算法变应变率固结试验

Figure 3. Comparison of calculation errors and total iteration number of three kinds of algorithms for step-changed oedometer tests

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图 4 变应变率三轴剪切不排水试验

Figure 4. Calculated results of deviatoric stress and pore-water pressure for step-changed undrained triaxial tests

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图 5 两种算法变应变率三轴试验

Figure 5. Comparison of calculation errors and total iteration number of two kinds of algorithms for step-changed undrained triaxial tests

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表 1 Saint-Herblain黏土模型参数和状态变量初值

Table 1 Values of parameters and state constants of Saint-Herblain clay

$p_{m0}^{r}$ /kPa	e₀	$μ$	κ	λ	M	Cα_ae
39	2.26	0.2	0.038	0.48	1.2	0.034

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参考文献(21)

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施引文献(7)

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图(5) / 表(1)

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0. 引言
1. 鱼雷锚的上限法简化模型
1.1 模型假设条件
1.2 锚侧土体内部耗散功率(E˙S)
1.3 锚端部土体内部耗散功率（E˙T）
1.4 旋转中心的计算
1.5 水平承载力系数Np,avg
2. 鱼雷锚水平承载力模型
2.1 鱼雷锚模型
2.2 土体参数
3. 结果分析
3.1 模型验证
3.2 Lf/Dw对承载力系数影响
3.3 土体强度对承载力系数影响
3.4 算例验证水平承载力简化模型
3.5 锚型优化
4. 结论

0. 引言
1. 鱼雷锚的上限法简化模型
1.1 模型假设条件
1.2 锚侧土体内部耗散功率( ${\dot{E}}_{S}$ )
1.3 锚端部土体内部耗散功率（ ${\dot{E}}_{T}$ ）
1.4 旋转中心的计算
1.5 水平承载力系数N_p,avg
2. 鱼雷锚水平承载力模型
2.1 鱼雷锚模型
2.2 土体参数
3. 结果分析
3.1 模型验证
3.2 L_f/D_w对承载力系数影响
3.3 土体强度对承载力系数影响
3.4 算例验证水平承载力简化模型
3.5 锚型优化
4. 结论

参考文献(21)

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适用于弹黏塑性本构模型的修正切面算法 English Version

作者简介: 李舰（1985— ）,男,博士,讲师,主要从事土的本构模型及其数值计算方面的研究工作。E-mail：jianli@bjtu.edu.cn

通讯作者: 尹振宇, E-mail：zhenyu.yin@polyu.edu.hk

计量

出版历程

Modified cutting-plane integration scheme for elasto-viscoplastic models

0. 引言

1. 鱼雷锚的上限法简化模型

1.1 模型假设条件

1.2 锚侧土体内部耗散功率(˙ES<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>E</mi><mo>˙</mo></mover><mtext>S</mtext></msub></mrow></math>)

1.3 锚端部土体内部耗散功率（˙ET<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>E</mi><mo>˙</mo></mover><mtext>T</mtext></msub></mrow></math>）

1.4 旋转中心的计算

1.5 水平承载力系数Np,avg

2. 鱼雷锚水平承载力模型

2.1 鱼雷锚模型

2.2 土体参数

3. 结果分析

3.1 模型验证

3.2 Lf/Dw对承载力系数影响

3.3 土体强度对承载力系数影响

3.4 算例验证水平承载力简化模型

3.5 锚型优化

4. 结论

期刊类型引用(2)

其他类型引用(5)

计量

出版历程

目录

0. 引言

1. 鱼雷锚的上限法简化模型

1.1 模型假设条件

1.2 锚侧土体内部耗散功率(˙ES<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>E</mi><mo>˙</mo></mover><mtext>S</mtext></msub></mrow></math>)

1.3 锚端部土体内部耗散功率（˙ET<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"><mrow><msub><mover accent="true"><mi>E</mi><mo>˙</mo></mover><mtext>T</mtext></msub></mrow></math>）

1.4 旋转中心的计算

1.5 水平承载力系数Np,avg

2. 鱼雷锚水平承载力模型

2.1 鱼雷锚模型

2.2 土体参数

3. 结果分析

3.1 模型验证

3.2 Lf/Dw对承载力系数影响

3.3 土体强度对承载力系数影响

3.4 算例验证水平承载力简化模型

3.5 锚型优化

4. 结论

作者简介:
李舰（1985— ）,男,博士,讲师,主要从事土的本构模型及其数值计算方面的研究工作。E-mail：jianli@bjtu.edu.cn

通讯作者:
尹振宇, E-mail：zhenyu.yin@polyu.edu.hk

1.2 锚侧土体内部耗散功率( ${\dot{E}}_{S}$ )

1.3 锚端部土体内部耗散功率（ ${\dot{E}}_{T}$ ）

1.5 水平承载力系数N_p,avg

3.2 L_f/D_w对承载力系数影响

1.2 锚侧土体内部耗散功率( ${\dot{E}}_{S}$ )

1.3 锚端部土体内部耗散功率（ ${\dot{E}}_{T}$ ）

1.5 水平承载力系数N_p,avg

3.2 L_f/D_w对承载力系数影响