考虑多参数空间变异性的降雨入渗边坡失稳机理及可靠度分析

蒋水华; 刘贤; 黄发明; 黄劲松

doi:10.11779/CJGE202005012

考虑多参数空间变异性的降雨入渗边坡失稳机理及可靠度分析 English Version

蒋水华^{1, 2,},
刘贤^{1, 2},
黄发明^1, ,,
黄劲松^{1, 2}

1.
南昌大学建筑工程学院,江西　南昌　330031
2.
江西省尾矿库工程安全重点实验室,江西　南昌　330031

基金项目:

国家自然科学基金项目 41867036

国家自然科学基金项目 41972280

国家自然科学基金项目 U1765207

江西省自然科学基金项目 20192BBG70078

江西省自然科学基金项目 2018ACB21017

江西省自然科学基金项目 20181ACB20008

详细信息

作者简介:
蒋水华(1987—),男,江西九江人,博士,副教授,主要从事岩土工程可靠度和风险控制方面的研究。E-mail: sjiangaa@ncu.edu.cn

通讯作者:
黄发明, E-mail: faminghuang@ncu.edu.cn

中图分类号: TU470
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出版历程
- 收稿日期: 2019-07-09
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2020-04-30

Failure mechanism and reliability analysis of soil slopes under rainfall infiltration considering spatial variability of multiple soil parameters

JIANG Shui-hua^{1, 2,},
LIU Xian^{1, 2},
HUANG Fa-ming^1, ,,
HUANG Jin-song^{1, 2}

1.
School of Civil Engineering and Architecture, Nanchang University, Nanchang 330031, China
2.
Key Laboratory of Tailings Reservoir Engineering Safety of Jiangxi Province, Nanchang 330031, China

摘要

摘要: 降雨入渗边坡稳定可靠度研究大多只考虑了土体饱和渗透系数空间变异性的影响,而忽略了土体抗剪强度参数空间变异性的影响。以无限长边坡模型为例,发展了可确定不同降雨历时边坡土体含水率分布和湿润锋深度的修正Green-Ampt入渗模型,探讨了土体多参数（饱和渗透系数和抗剪强度参数）空间变异性与降雨入渗相互作用下的边坡失稳机理,进而比较了不同降雨历时下的边坡失效概率。结果表明：考虑土体饱和渗透系数变异性时,降雨初期较小的饱和渗透系数变异系数对应较小的边坡失效概率,但随着降雨历时的增加,较小的饱和渗透系数变异系数反而对应更大的边坡失效概率。此外,降雨初期土体抗剪强度参数空间变异性引起的滑动面位置不确定性是影响边坡稳定性的关键因素。边坡除了会沿湿润锋附近和不透水层处失稳,还可能沿因抗剪强度参数空间变异性引起的软弱带处失稳,故考虑抗剪强度参数空间变异性对应的边坡失效概率更大。相比之下,降雨后期湿润锋的推进是影响边坡稳定性的关键因素,此时不管是否考虑了抗剪强度参数空间变异性边坡都主要沿湿润锋附近失稳,获得的边坡失效概率相近。
- 无限长边坡 /
- 降雨入渗 /
- 修正Green-Ampt模型 /
- 空间变异性 /
- 可靠度分析
Abstract: The current reliability studies on slope stability under rainfall infiltration only consider the spatial variability of saturated hydraulic conductivity of soils, while ignores that of shear strength parameters. An infinite slope model is taken as an example, and a modified Green-Ampt model is developed to determine the distribution of moisture content of soils and the wetting front depth within the slope under different rainfall durations. The failure mechanism of the infinite slope considering the interaction of the spatial variabilities of multiple soil parameters and the rainfall infiltration is investigated. Then the probabilities of slope failure under different rainfall durations are compared. The results indicate that a smaller coefficient of variation of saturated hydraulic conductivity induces a smaller probability of slope failure during the initial period of rainfall. However, it will result in a larger probability of slope failure as the rainfall sufficiently progresses. Additionally, during the initial period of rainfall, the uncertainty of slip surface location due to the spatial variability of shear strength parameters of soils will greatly affect the slope stability. In this case, the slope will fail along the weak zones induced by the spatial variability of shear strength parameters besides along the wetting fronts and impermeable layers. As a result, the probability of slope failure is larger when the spatial variability of shear strength parameters is considered. In contrast, the advance of the wetting front is the crucial factor that affects the slope stability during the late period of rainfall. In this case, the slope will fail mainly along the wetting fronts, and consequently the probabilities of slope failure will be similar no matter whether the spatial variability of shear strength parameters is taken into account.
- infinite slope /
- rainfall infiltration /
- modified Green-Ampt model /
- spatial variability /
- reliability analysis

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0. 引言

滑坡是自然界最为普遍的地质灾害之一,其中降雨是诱发滑坡的重要因素。目前国内外学者针对降雨诱发滑坡开展了大量有益的研究。Fredlund等^[1]从非饱和土体基质吸力的角度阐明了负孔隙水压力对土坡稳定性的影响,并推导了非饱和边坡安全系数计算公式。王睿等^[2]通过离心模型试验研究了降雨条件下含软弱夹层的黏性土坡稳定性问题。Lam等^[3]利用非饱和土水分运动理论研究了降雨入渗对边坡稳定性的影响。马世国^[4]基于修正Green-Ampt入渗模型分析了强降雨作用下浅层边坡下部湿润锋面受力情况,讨论了气压对湿润锋下移的阻碍作用以及对入渗率的影响,进而调查了封闭气压力对边坡稳定性的影响。Dou等^[5]基于Green-Ampt入渗模型建立了考虑饱和渗透系数变异性的雨水入渗-重分布模型,发现湿润锋深度直方图在雨水入渗和再分布阶段呈现明显的双峰特征。覃小华等^[6]采用MCS方法研究了考虑土体饱和渗透系数变异性的强降雨条件下基岩型层状边坡可靠度问题。上述研究只考虑了土体参数的变异性对降雨入渗边坡稳定性的影响,认为边坡土体参数呈现统计均质分布,忽略了土体渗透系数和抗剪强度参数固有空间变异性的影响。

受到沉积、后沉积、化学风化、搬运作用与荷载历史等的影响,岩土体参数呈现一定的空间变异性,若忽略岩土体参数空间变异性的影响,会导致计算结果偏离客观实际^[5,7-8]。目前基于蒙特卡罗模拟（MCS）、一阶可靠度方法以及非侵入式随机有限元等边坡可靠度分析方法能够合理地考虑土体参数空间变异性的影响,在降雨诱发滑坡稳定性分析中得到了广泛应用。如Zhang等^[7]建立了考虑水力及抗剪强度参数空间变异性的降雨入渗边坡稳定性分析模型。Cho^[8]考虑渗透系数的空间变异性,基于Richards方程和达西定律分析降雨条件下无限长边坡稳定性。Santoso等^[9]建立了降雨条件下非饱和边坡稳定性概率分析框架,并研究了土体饱和渗透系数空间变异性对降雨诱发滑坡概率的影响。Dou等^[10]在采用局部平均法将土体饱和渗透系数模拟为非平稳随机场的基础上,探讨了降雨条件下土体参数趋势分量对边坡稳定性及最危险滑动面分布的影响。综上,目前降雨入渗边坡稳定性分析大多认为边坡潜在滑动面只经过湿润锋附近或不透水层处^[4-6,9-12],这种做法因为没有考虑土体抗剪强度参数空间变异性会引起边坡最危险滑动面的位置存在不确定性,因此其合理性值得商榷。另外关于土体多参数（水力参数、抗剪强度参数等）空间变异性与降雨入渗相互作用下的边坡失稳机理研究较少。

另一方面,选择合理的入渗模型对降雨入渗边坡失稳机理及可靠度分析也至关重要,常用的入渗模型主要可分为两类：①根据较严密的入渗理论和数值分析推导出来的Green-Ampt入渗模型^[4-5,11]和Philip模型^[12],模型参数具有明确的物理意义,可与土体物理力学特征之间建立联系；②Kostiakov,Horton和Holtan等经验入渗模型^[8],模型参数没有明确的物理意义。因此,十分必要发展一种可有效考虑土体多参数空间变异性与降雨入渗相互作用的降雨入渗模型。

为此,本文以无限长边坡为例,考虑土体饱和渗透系数及抗剪强度参数空间变异性的影响,发展了可确定不同降雨历时下边坡土体含水率分布和湿润锋深度的修正Green-Ampt入渗模型,探讨了土体多参数空间变异性与降雨入渗相互作用下的边坡失稳机理,在此基础上比较了不同降雨历时下边坡失效概率。

1. 修正Green-Ampt入渗模型

降雨入渗边坡稳定性分析的关键一步是确定降雨入渗条件下边坡土体含水率分布和湿润锋深度。一旦获得了体积含水率分布,便可采用极限平衡法进行边坡稳定性分析。降雨入渗条件下土体含水率计算方法主要有两种：①基于Richards方程的数值分析方法；②基于物理入渗模型的解析计算方法,如Green-Ampt入渗模型^[11]、Philip模型^[12]和Smith模型^[13]等。数值分析方法求解降雨入渗控制方程较为繁琐,并且考虑参数空间变异性结合MCS方法进行边坡可靠度分析的计算量非常大。相比之下,以Green-Ampt入渗模型为代表的解析计算方法模型参数物理意义明确,计算过程简便且满足计算精度要求,得到众多学者青睐。本文发展了可确定不同降雨历时下边坡土体含水率分布和湿润锋深度的修正Green-Ampt入渗模型,在此基础上探讨土体多参数空间变异性与降雨入渗相互作用对边坡可靠度的影响。

Green-Ampt模型最初是为研究干燥土壤在薄层积水时的入渗问题而提出的,不能分析表面积水前的降雨入渗过程。为此,Mein等^[14]改进了Green-Ampt入渗模型,可以较好地分析降雨入渗问题。首先,采用Brook-Corey等^[15]提出的土水特征曲线拟合公式建立土体渗透系数、基质吸力与体积含水率之间的关系：

$k (θ) = k_{s} S_{e}^{3 + 2 / λ}$ ,

(1)

$ψ (θ) = ψ_{b} S_{e}^{- 1 / λ}$ 。

(2)

式中 k(θ)为土体渗透系数；k_s为土体饱和渗透系数；S_e为土体相对含水率, $S_{e} = (θ - θ_{r}) / (θ_{s} - θ_{r})$ ； $θ_{s}$ 为土体饱和含水率；θ_r为土体残余含水率； $ψ (θ)$ 为基质吸力； $ψ_{b}$ 为土体进气值；λ为表征土体孔径分布特征的拟合系数。

降雨初期,由于天然土体中存在较大基质吸力,雨水将全部入渗到土壤剖面中。随着降雨的持续进行,土体表面逐渐趋于饱和。对于给定的降雨时刻t,考虑土体饱和渗透系数的空间变异性,入渗区一部分区域处于饱和状态,另一部分区域处于非饱和状态。其中饱和区入渗边界条件为水头控制入渗边界,非饱和区入渗边界条件为流量控制入渗边界^[4-5,16]。接下来边坡降雨入渗分析的关键在于划分不同降雨时刻边坡入渗区域的入渗边界,这可通过判断边坡表面是否形成积水来进行划分。一旦边坡表面发生积水,入渗边界便开始由流量控制的入渗边界转向由水头控制的入渗边界。假设稳定降雨强度为R,开始积水时间为t_p。由Green-Ampt入渗模型^[4,11]可知,入渗率f随着累计入渗量I的增加而减少。当累计入渗量达到某一I_p值时,f = R,此时边坡表面便开始积水,对应的累计入渗量I_p为

$I_{p} = \frac{(θ_{s} - θ_{i}) S_{f}}{R / k_{s} - 1}$ ,

(3)

式中, $θ_{i}$ 为土体初始含水率, $S_{f}$ 为湿润锋处土体概化基质吸力。综上,可得开始积水的时间t_p为

$t_{p} = I_{p} / R$ ,

(4)

根据开始积水时间 $t_{p}$ 划分入渗边界如下：

（1）当降雨历时t < $t_{p}$ 时,土体入渗区处于非饱和状态且入渗边界为由流量控制的入渗边界,此时降雨将全部入渗至边坡土体中。基于非饱和Darcy定律^[10,16],可推导得到对应的入渗控制方程为

$f = R = k (θ) + \frac{k_{s} [ψ_{r} (θ) - ψ_{r} (θ_{i})]}{z_{w}}$ ,

(5)

式中,z_w为湿润锋深度, $ψ_{r} (θ)$ 为湿润锋处土体相对吸力,

$\begin{matrix} ψ_{r} (θ) = \int_{ψ}^{- \infty} \frac{k (θ)}{k_{s}} d ψ = \int_{ψ}^{- \infty} {(\frac{ψ_{b}}{ψ})}^{3 λ + 2} d ψ \\ = {(\frac{ψ_{b}}{ψ})}^{3 λ + 1} \frac{ψ_{b}}{3 λ + 1} = S_{e}^{3 + 1 / λ} \frac{ψ_{b}}{3 λ + 1} \end{matrix}$ 。

(6)

同时根据修正Green-Ampt入渗模型的矩形剖面含水率,可计算得到湿润锋深度为

$z_{w} = \frac{R t}{θ - θ_{i}}$ ,

(7)

将式（7）代入式（5）可得到如下非线性方程：

$f = R = k (θ) + \frac{k_{s} [ψ_{r} (θ) - ψ_{r} (θ_{i})] (θ - θ_{i})}{R t}$ 。

(8)

求解式（8）所示的非线性方程,可以得到当前降雨条件下土体体积含水率分布,再代入式（7）便可得到此时的边坡湿润锋深度。

（2）当降雨历时t≥ $t_{p}$ 时,根据修正Green-Ampt入渗模型^[4,12]可知,当R大于土壤入渗率f,边坡表面开始形成积水,土体入渗区表面处于饱和状态且入渗边界为由水头控制的入渗边界。此时的降雨入渗过程可分为两个阶段：第一阶段为自由入渗阶段,第二阶段为积水入渗阶段。入渗率f可表示为

$f (t) = {\begin{cases} R (t \leq t_{p}) \\ k_{s} [1 + (θ_{s} - θ_{i}) S_{f} / I] (t > t_{p}) \end{cases}$ ,

(9)

式中,I为边坡表面形成积水以后的累计入渗量。另外,引入 ${t^{'}}_{p}$ 表示由t = 0开始积水到累计入渗量达到I_p时所需的时间,

${t^{'}}_{p} = \frac{I_{p} - S_{f} (θ_{s} - θ_{i}) l n [1 + \frac{I_{p}}{S_{f} (θ_{s} - θ_{i})}]}{k_{s}}$ 。

(10)

由式（9）、（10）可得,降雨历时为t的累计入渗量I为

$I = k_{s} [t - (t_{p} - {t^{'}}_{p})] + S_{f} (θ_{s} - θ_{i}) l n [1 + \frac{I}{S_{f} (θ_{s} - θ_{i})}]$ 。

(11)

同样,求解式（11）所示的非线性方程得到累计入渗量I,进而得到降雨时刻t的入渗饱和区湿润锋深度为

$z_{w} = \frac{I}{θ_{s} - θ_{i}}$ 。

(12)

因此,一旦已知降雨历时t和土体饱和渗透系数k_s,便可基于上述划分的两种入渗边界确定对应的边坡土体含水率分布和湿润锋深度。需要说明的是,当只考虑土体饱和渗透系数垂直方向的一维空间变异性时,无限长边坡沿深度方向可视为多层的薄条型均质土层。依次计算每个均质土层的允许入渗率,并与降雨强度R对比获得对应的积水时间 $t_{p}$ ,再根据上述方法计算得到整个边坡的土体含水率分布和湿润锋深度。整个降雨入渗过程是从上到下一个均质土层紧接着另一个均质土层依次向下进行,并且为保证与实际情况吻合,要求下一个均质土层的入渗率不会超过上一个土层的入渗率。

2. 降雨入渗无限长边坡模型

降雨诱发的滑坡大多为浅层滑坡,最危险滑动面接近平行于边坡表面,可以借助无限长边坡模型^[17]来研究考虑多参数空间变异性的降雨入渗边坡稳定性问题。图1为无限长边坡计算模型图,采用改进的莫尔–库仑破坏准则来确定土体抗剪强度：

$τ = c^{'} + (σ_{n} - u_{a}) t a n φ^{'} + (u_{a} - u_{w}) t a n φ^{b}$ 。

(13)

图 1 无限长边坡计算模型图

Figure 1. Diagram of an infinite slope model

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式中 $c^{'}$ , $φ^{'}$ 分别表示有效黏聚力和有效内摩擦角； $σ_{n}$ 为单位土条正应力, $σ_{n} = γ z \cos^{2} α$ ,其中 $γ$ 为土体重度,z为滑动面深度；u_a,u_w分别为土体孔隙气压力和孔隙水压力； $(σ_{n} - u_{a})$ 为单位土条底部净法向力,通常u_a取0^[4-5],故有 $(σ_{n} - u_{a})$ = $σ_{n}$ ； $(u_{a} - u_{w})$ 为基质吸力； $φ^{b}$ 为基质吸力对土体抗剪强度贡献所对应的摩擦角,根据Vanapalli等^[18]给出的 $φ^{b}$ 与土体相对含水率 $S_{e}$ 之间的关系计算：

$φ^{b} = \arctan (S_{e} \tan φ^{'})$ 。

(14)

进而,可得边坡安全系数计算表达式为

$\begin{matrix} F_{S} = \frac{c^{'} + (σ_{n} - u_{a}) t a n φ^{'} + (u_{a} - u_{w}) t a n φ^{b}}{γ z \sin α \cos α} \\ = \frac{\tan φ^{'}}{\tan α} + \frac{c^{'} + S_{e} ψ (θ) t a n φ^{'}}{γ z \sin α \cos α} \end{matrix}$ ,

(15)

式中,α为边坡倾角,z为最危险滑动面深度,注意z并不一定等于湿润锋深度z_w。

对于均质边坡,可通过式（7）,（12）确定降雨历时为t的边坡土体含水率分布和湿润锋深度,再根据式（15）计算边坡安全系数,边坡最危险滑动面一定经过湿润锋或不透水层处。但是对于非均质边坡,考虑土体抗剪强度参数的空间变异性,边坡最危险滑动面位置存在一定的不确定性^[17,19],此时边坡最危险滑动面除了经过湿润锋和不透水层,还可能经过软弱带处,相应的降雨入渗边坡稳定可靠度分析步骤如下：

（1）分析土体饱和渗透系数及抗剪强度参数统计特征（包括均值、标准差、概率分布、自相关函数、波动范围及互相关系数）,沿垂直方向将无限长边坡划分为H/d个等厚的均质土层（H为无限长边坡深度,d为均质土层厚度）。

（2）根据土体参数统计特征,采用MCS产生N组随机样本x = (k_s, $c^{'}$ , $φ^{'}$ )^T,并根据每个土层的中心点坐标,采用Karhunen-Loève（KL）级数展开方法^[8,20-21]生成N组土体参数随机场实现值,赋值给对应的土层。

（3）采用式（4）计算开始积水时刻t_p,并与降雨历时t进行比较,判断出土体是否处于饱和状态。此后,根据式（7）,（8）,（12）确定降雨入渗条件下边坡土体含水率分布和湿润锋深度,再采用式（15）计算每个土层及湿润锋处的安全系数,共有（H/d+1）个安全系数,将其中最小的安全系数视作边坡安全系数,对应的位置为最危险滑动面位置。

（4）基于从步骤（3）得到的N个边坡安全系数,计算边坡失效概率：

$P_{f} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} I [F_{S} (x^{i}) < 1.0]$ 。

(16)

式中 $x^{i}$ 为第i组土体参数随机场实现值；I(·)为指示性函数,若F_S<1.0,则I(·)=1,若F_S≥1.0,则I(·)=0。上述步骤同样可以拓展到计算暴雨条件下无限长边坡的失效概率,但暴雨条件下的积水时刻较短,因而需要首先判断强降雨历时是否超过积水时刻,进而确定降雨入渗区的土体状态。

3. 算例分析

以图1所示的非饱和无限长土坡为例,分析土体多参数空间变异性与降雨入渗相互作用下的边坡失稳机理。边坡垂直深度H = 3 m,倾角α= 50°,下部为不透水基岩,降雨强度R = 5 mm/h。土体物理力学参数：饱和渗透系数k_s=3 mm/h,有效黏聚力 $c^{'}$ =5 kPa,有效内摩擦角 $φ^{'}$ =28°,重度 $γ$ =19.5 kN/m³,饱和含水率 $θ_{s}$ =33.5%,初始含水率 $θ_{i}$ =14.8%,进气值 $ψ_{b}$ =2.752 kPa,湿润锋处土体概化基质吸力S_f =424.3 mm,残余含水率 $θ_{r}$ =6.8%,土体孔隙分布特征参数 $λ$ =0.319。豆红强等^[5,16]通过该无限长边坡模型研究了考虑土体饱和渗透系数变异性的概率边坡稳定性问题。

3.1 确定性边坡稳定分析

在考虑土体多参数空间变异性的影响分析之前,首先基于参数均值进行确定性边坡稳定性分析,采用式（12）,（15）分别计算不同降雨历时下边坡湿润锋深度及边坡安全系数。图2比较了边坡安全系数随时间的变化关系。由图2可知,在降雨历时30 h之前,通过本文提出方法计算的边坡安全系数呈现为一段水平线,而后随着降雨时间的增加,边坡安全系数逐渐下降；当降雨历时为48 h时,边坡处于临界状态。可见,降雨后期本文提出方法与文献[16]的计算结果基本吻合,而降雨初期本文土体方法与文献[16]的计算结果差异较大。这是因为文献[16]在计算边坡安全系数时仅考虑边坡最危险滑动面经过湿润锋处,然而实际上,对于图1所示的均质无限长边坡,最危险滑动面还可能经过不透水层处^[4]。另外降雨强度R大于土体饱和渗透系数k_s = 3 mm/h,降雨历时30 h之前,由于降雨时间较短,湿润锋较浅,导致经过湿润锋处的安全系数大于不透水层处的安全系数。而当降雨时间较长超过30 h时,最危险滑动面只经过湿润锋处,因而降雨后期本文提出方法与文献[16]的计算结果基本一致。从而验证了本文发展的修正Green-Ampt入渗模型可有效分析降雨入渗条件下无限长边坡稳定性。

图 2 边坡安全系数随降雨历时的变化关系

Figure 2. Variation of safety factor of slope with rainfall duration

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3.2 考虑土体饱和渗透系数变异性的影响

为了说明土体饱和渗透系数变异性对边坡可靠度的影响,图3比较了土体饱和渗透系数变异系数为0.1,0.3,0.5,1.0,1.5时边坡失效概率随降雨历时的变化关系,图中假设k_s服从对数正态分布。由图3可知,对于某一给定的饱和渗透系数变异系数,边坡失效概率随着降雨历时的增加而增大。降雨历时30 h之前,边坡失效概率接近于0。当降雨历时处于35～48 h,边坡失效概率急剧增加,如对于COV_ks = 0.5,当降雨历时从35 h增加至48 h,边坡失效概率由接近于0急剧增大至0.424。值得注意的是,由图2确定性边坡稳定性分析结果可知,降雨历时48 h之前边坡安全系数均大于1.0,认为边坡在48 h之前不会失稳,但是可靠度分析结果表明此时边坡失稳的概率高达40%以上。由此可见,确定性分析方法不能全面评价边坡安全性,故十分必要考虑土体参数不确定性进行边坡可靠度分析。

图 3 边坡失效概率随降雨历时的变化关系

Figure 3. Variation of probability of slope failure with rainfall duration

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由图3还可知,降雨初期较小的COV_ks对应着较小的失效概率,但随着降雨时间的增加,一旦超过43 h左右,较小的COV_ks反而对应较大的失效概率。为了解释这一现象,选取降雨历时36 h和60 h,对COV_ks = 0.5和COV_ks = 1.0两种情况进行对比分析。图4,5分别给出了采用10万次MCS方法计算的降雨历时分别为36 h和60 h的边坡安全系数频率直方图和累积分布函数。由图4可知,降雨前期,土体饱和渗透系数的变异性越大,对应的安全系数分布范围越宽,并且安全系数存在一个较为集中的大于1.0的区域,故COV_ks越大获得的边坡失效概率也越大。但是,当降雨历时增加到60 h,虽然较大的COV_ks对应的边坡安全系数分布范围仍然更宽,但是此时较小的COV_ks对应的安全系数的集中区域大幅度向左移动,且这个集中区域的安全系数小于1.0,因此COV_ks越小获得的边坡失效概率反而越大。

图 4 降雨历时36 h边坡安全系数频率直方图及累积分布函数

Figure 4. Histogram of safety factor and cumulative distribution function under rainfall duration of 36 h

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图 5 降雨历时60 h边坡安全系数频率直方图及累积分布函数

Figure 5. Histogram of safety factor and cumulative distribution function under rainfall duration of 60 h

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3.3 考虑饱和渗透系数空间变异性的影响

为了说明土体饱和渗透系数空间变异性对边坡可靠度的影响,本文取无限长边坡划分的均质土层厚度为d = 0.05 m,采用高斯型自相关函数模拟土体参数的空间自相关性,垂直自相关距离取l_v = 0.5 m^[8]。根据文献[20,21]建议,采用随机场期望能比率因子 $ε$ ≥ $95 %$ 来确定KL级数展开截断项数。当采用高斯型自相关函数模拟土体参数空间自相关性（l_v = 0.5 m）,截断项数取6时,对应的期望能比率因子 $ε$ = 95.67%,能够满足随机场离散的计算精度要求。图6比较了不同COV_ks对应的边坡失效概率随降雨历时的变化关系曲线。由图6可知,基于随机场模型的边坡失效概率变化规律与随机变量模型工况相似,边坡失效概率随着降雨历时的增加而显著增大。降雨初期较小的COV_ks对应着较小的边坡失效概率,而降雨后期较小的COV_ks反而对应较大的失效概率,这与文献[8～10]的计算结果吻合,其原因的解释与上述随机变量模型工况类似。

图 6 边坡失效概率随降雨历时的变化关系曲线

Figure 6. Variation of probability of slope failure with rainfall duration

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图7比较了分别基于随机变量和随机场模型模拟土体饱和渗透系数不确定性计算得到的边坡失效概率,图中COV_ks = 0.5。由图7可知,降雨初期由这两种模型得到的边坡失效概率大体相同,但是随着降雨历时的增加,由随机变量模型计算的边坡失效概率更大。因此,在工程实际中应当合理考虑土体参数空间变异性的影响,否则会导致偏保守的边坡工程设计方案,增加经济成本。

图 7 基于随机变量与随机场模型边坡失效概率的比较

Figure 7. Comparison of probabilities of slope failure based on random variable model and random field model

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3.4 考虑土体多参数空间变异性的影响

为进一步说明土体多参数（饱和渗透系数以及抗剪强度参数）空间变异性与降雨入渗相互作用对边坡可靠度的影响。根据文献[18～20], $c^{'}$ , $φ^{'}$ 均服从对数正态分布,变异系数分别取0.25,0.15, $c^{'}$ , $φ^{'}$ 之间的互相关系数取 $ρ_{c^{'}, φ^{'}} = - 0.5$ 。图8比较了考虑土体三参数（k_s, $c^{'}$ , $φ^{'}$ ）空间变异性和仅考虑k_s空间变异性的边坡失效概率随降雨历时的变化关系,图中COV_ks = 0.5。由图8可知,降雨初期考虑三参数空间变异性的边坡失效概率更大,但是考虑单参数空间变异性的边坡失效概率随着降雨历时的增加而急剧增大,降雨后期两者计算结果基本一致。为了解释这一现象,图9,10分别比较了降雨历时36 h和60 h采用10万次MCS方法计算的三参数随机场与单参数随机场工况下最危险滑动面深度频率直方图。图中最危险滑动面深度频率等于已失稳滑动面（F_S < 1.0）和未失稳滑动面（F_S≥1.0）深度频率之和。

图 8 三参数随机场与单参数随机场失效概率的比较

Figure 8. Comparison of failure probabilities between three random fields and single random field

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图 9 降雨历时36 h边坡最危险滑动面深度频率直方图的比较

Figure 9. Comparison of histogram of critical slip surface under rainfall duration of 36 h

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图 10 降雨历时60 h边坡最危险滑动面深度频率直方图的比较

Figure 10. Comparison of histogram of critical slip surface under rainfall duration of 60 h

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由式（15）可知,边坡安全系数取决于土体深度、不同深度土体体积含水率以及沿边坡深度方向的土体抗剪强度。降雨初期（t = 36 h）,湿润锋较浅仅为1.0 m左右,三参数随机场工况由于考虑了土体抗剪强度参数空间变异性的影响,沿边坡深度方向存在软弱带,导致边坡除了沿1.0 m湿润锋附近和3 m不透水层处失稳,还可能沿2～3 m区域的软弱带失稳。因而,三参数随机场工况失效概率（9.472×10^-2）明显大于单参数随机场工况失效概率（9.0×10^-5）。降雨后期（t = 60 h）,湿润锋推进的相对较深,湿润锋附近成为控制边坡稳定性的关键区域,两种工况下边坡主要沿湿润锋附近发生失稳,因此不管是否考虑了抗剪强度参数空间变异性边坡失稳频率近似相等,失效概率接近,其中单参数随机场工况下湿润锋较深处的滑动面几乎全部失稳,见图10（b）。

通过比较图9（a）,10（a）可知,三参数随机场工况下边坡不仅沿湿润锋附近和不透水层处失稳,还可能沿因抗剪强度参数空间变异性引起的软弱带处失稳。湿润锋深度也随着降雨历时的增加而增大,降雨后期边坡主要沿湿润锋附近失稳,但是受抗剪强度参数空间变异性的影响,边坡失效概率并不随着湿润锋深度的增加而线性增大。另外通过比较图9（b）,10（b）可知,单参数随机场工况下土体抗剪强度参数为常量,边坡仅沿湿润锋附近或不透水层处失稳。随着降雨历时的增加,湿润锋深度迅速增大,从而边坡失效概率急剧增加。综上可得,降雨初期土体抗剪强度参数空间变异性导致的滑动面位置不确定性是影响边坡稳定性的关键因素,而降雨后期湿润锋的推进是影响边坡稳定性的关键因素。

4. 结论

本文以无限长边坡模型为例,发展了可确定不同降雨历时下边坡土体含水率分布和湿润锋深度的修正Green-Ampt入渗模型,探讨了土体多参数空间变异性与降雨入渗相互作用下的边坡失稳机理,比较了不同降雨历时下的边坡失效概率。

（1）确定性边坡稳定性分析方法不能全面评价边坡稳定性,相比之下考虑了土体参数空间变异性的可靠度分析方法能够更真实地评价边坡安全性水平。就本文算例而言,降雨历时48 h前边坡安全系数皆大于1.0,确定性方法会认为边坡48 h之前不会失稳,但是概率分析结果表明此时边坡的失稳概率高达40%。

（2）考虑土体饱和渗透系数变异性影响时,边坡失效概率随变异系数的增加而增大,降雨初期较小的饱和渗透系数变异系数对应较小边坡失效概率,但是随着降雨历时的增加,较小的饱和渗透系数变异系数反而对应更大的边坡失效概率。这是因为降雨后期边坡安全系数集中区域大幅度向左移动,并且集中区域的安全系数小于1.0。

（3）降雨初期土体抗剪强度参数空间变异性导致的滑动面位置不确定性是影响边坡稳定性的关键因素,此时边坡除了会沿湿润锋附近和不透水层处失稳,还可能沿因抗剪强度参数空间变异性引起的软弱带处失稳,考虑抗剪强度参数空间变异性对应的边坡失效概率更大。降雨后期湿润锋的推进是影响边坡稳定性的关键因素,此时不论是否考虑了土体抗剪强度参数的空间变异性边坡主要沿湿润锋附近失稳,获得的失效概率相近。

图 1 无限长边坡计算模型图

Figure 1. Diagram of an infinite slope model

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图 2 边坡安全系数随降雨历时的变化关系

Figure 2. Variation of safety factor of slope with rainfall duration

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图 3 边坡失效概率随降雨历时的变化关系

Figure 3. Variation of probability of slope failure with rainfall duration

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图 4 降雨历时36 h边坡安全系数频率直方图及累积分布函数

Figure 4. Histogram of safety factor and cumulative distribution function under rainfall duration of 36 h

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图 5 降雨历时60 h边坡安全系数频率直方图及累积分布函数

Figure 5. Histogram of safety factor and cumulative distribution function under rainfall duration of 60 h

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图 6 边坡失效概率随降雨历时的变化关系曲线

Figure 6. Variation of probability of slope failure with rainfall duration

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图 7 基于随机变量与随机场模型边坡失效概率的比较

Figure 7. Comparison of probabilities of slope failure based on random variable model and random field model

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图 8 三参数随机场与单参数随机场失效概率的比较

Figure 8. Comparison of failure probabilities between three random fields and single random field

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图 9 降雨历时36 h边坡最危险滑动面深度频率直方图的比较

Figure 9. Comparison of histogram of critical slip surface under rainfall duration of 36 h

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图 10 降雨历时60 h边坡最危险滑动面深度频率直方图的比较

Figure 10. Comparison of histogram of critical slip surface under rainfall duration of 60 h

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