0.   引言

岩石结构面作为岩体中的不连续面，削弱了岩体的整体强度，从而造成自然界中岩石边坡的滑坡、崩塌现象^[1]。在低应力条件下，岩体的剪切行为主要受已有的结构面形貌控制，而不是完整岩石材料的破坏，因此，对结构面形貌特征的正确表征至关重要^[2]。1973年，Barton^[3]提出结构面粗糙度系数JRC（Joint roughness coefficient），并基于大量实验确定了10条标准剖面线的JRC值（0~20）^[4]，该粗糙度评价方法得到了国际岩石力学学会的认可与采纳^[5]。结构面JRC值最初通过与标准剖面线的视觉对比确定，但通过视觉对比确定的值主观性较强，结果因人而异，容易产生误差。为此，国内外学者围绕JRC定量化表征开展了众多研究工作，并取得了丰硕研究成果。

不同学者提出的JRC定量评价方法可分为两类：统计参数法和分形维数法。统计参数法因其能与结构面抗剪强度较好联系起来^[6]而备受研究人员的青睐。常用统计参数主要有坡度均方根${Z_2}$，剖面指数${R_p}$，结构函数$SF$等^[7]。然而上述参数从单一几何信息入手来估算JRC值，忽略了粗糙度的各向异性特征。考虑到结构面在剪切过程中发生的磨损与破坏主要集中在面向剪切方向的区域，Grasselli等^[8]借鉴地质领域中视倾角的概念，通过统计不同剪切方向下微凸体视倾角的分布情况来描述结构面粗糙程度。Tatone等^[9]在此基础上提出用于估算JRC的参数指标${\theta _{\rm G}}$=$\theta _{\max }^*/$ ${(C + 1)_{\rm 2D}}$，在工程实践中得到一定程度地认可^[10-11]。近年来，不少学者对该参数的局限性进行了分析，Liu等^[12]、Ban等^[13]均认为${\theta _{\rm G}}$忽略了起伏高度的影响，并开展了改进工作。实际上从形貌几何意义来看，${\theta _{\rm G}}$只考虑了迎剪侧表观倾角的分布问题^[14]，忽略了内部起伏体所带来的粗糙特性及其剪切贡献，因而还需要通过优化${\theta _{\rm G}}$建立考虑内部起伏体影响的岩石结构面粗糙度指标，使其表征的JRC值准确度提升。

本文根据${\theta _{\rm G}}$计算模式及物理含义，引入爬坡区内部平均坡角${\theta _{\rm H}}$来描述${\theta _{\rm G}}$所忽略的内部起伏体粗糙特性。考虑将相同量纲的${\theta _{\rm H}}$和${\theta _{\rm G}}$叠加得到优化指标${\theta _{\rm C}}$，并建立其与JRC的关系式。进一步，计算不同采样间距和不同采样方向下的新指标${\theta _{\rm C}}$，用以验证${\theta _{\rm C}}$表征方法的合理性。同时将提出的JRC估算式应用于JRC-JCS模型，对比已有研究得到的试验结果以及不同抗剪强度模型的预测效果，论证JRC估算式的可靠性，最后对新指标${\theta _{\rm C}}$的三维表征进行初步拓展。

1.   Grasselli二维粗糙度指标优化

1.1   Grasselli二维粗糙度指标含义

基于Grasselli等^[15]提出的结构面潜在接触面积比概念，Tatone等^[9]分析结构面剖面线有效接触长度${L_{{\theta ^*}}}$随剪切倾角${\theta ^*}$的变化（图 1），并建立了两者之间的关系式：

图  1  不同角度阈值的剖面线有效接触长度变化（改自文献[9]）

Figure  1.  Change in potential contact length of profiles at different angle thresholds(modified from Reference [9])

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式中：${L_0}$为最大接触长度；$\theta _{\max }^*$为沿剪切方向整个剖面线的最大有效倾角；C为粗糙度拟合系数。通过对${L_{{\theta ^*}}}$进行定积分，提出了Grasselli二维粗糙度指标${\theta _{\rm G}}$：

近期，Chen等^[14]从概率论和统计学原理证明${\theta _{\rm G}}$是面向剪切方向表观倾角的期望值，其可以简化为以下离散形式：

式中：$n$为面向剪切方向的迎剪段数；$\theta _i^*$，${L_{\theta _i^*}}$分别为第i条迎剪段的倾角和长度；${L_1}$为${L_{\theta _i^*}}$的和。

从物理意义来看，${\theta _{\rm G}}$实则只考虑了表面倾角对粗糙度的贡献，而忽略了内部起伏差带来的影响。对于倾角相同但起伏高度不同的锯齿状结构面1，2，3（图 2（a）），用${\theta _{\rm G}}$评价其粗糙度，显然结果是相同的，这表明它们对抗剪强度的贡献理应也相同。然而，通过采用Bahaaddini等^[16]提出的PFC^2D模型（图 2（b））对三组结构面开展直剪试验，细观力学参数详见表 1。发现它们的剪切行为并不同，峰值抗剪强度随着起伏高度增加而增加。这表明仅考虑${\theta _{\rm G}}$会低估结构面抗剪强度。

图  2  锯齿状结构面示意及其数值模拟结果

Figure  2.  Schematic diagram of sawtooth-shaped joint and its numerical simulation results

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表  1  模型细观力学参数^[16]

Table  1.  Mesoscopic parameters of joint model^[16]

类别	参数	值
颗粒	颗粒直径/mm	0.14~0.21
	颗粒密度/(kg·m-3)	2205
	有效模量/GPa	2.8
	摩擦系数	0.6
	刚度比	1.45
平行黏结模型	有效模量/GPa	2.8
	拉应力/MPa	20
	黏结应力/MPa	20
	刚度比	1.45
光滑节理模型	节理法向刚度/(MPa·mm-1)	200
	节理切向刚度/(MPa·mm-1)	50
	摩擦系数	0.78

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1.2   考虑内部起伏贡献的粗糙度新指标${\theta _{\rm C}}$

由前述分析可知，${\theta _{\rm G}}$反映的是结构面迎剪侧表观平均倾角（图 3（a）），未综合考虑不同爬坡区内部起伏体对粗糙度的影响。从图 3（b）可以发现爬坡区内部起伏体是由沿剪切方向相对凸出的长方体微凸体形成，其平均凸起高度H可以定义为

图  3  ${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$计算示意图

Figure  3.  Calculation diagram of ${\theta _{\rm G}}$and${\theta _{\rm H}}$

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式中：$m$为所在爬坡区的迎剪段数；${h_j}$为第j个迎剪段的凸出高度。根据长方体微凸体的破坏模式^[17]，爬坡区平均凸起高度对抗剪强度的贡献可以表示为其在总爬坡水平距离上的坡角，故所有爬坡区提供的坡角之和定义为内部起伏平均坡角${\theta _{\rm H}}$：

式中：p为爬坡区数量；${H_k}$为第k个爬坡区的平均凸起高度；${L_2}$为所有爬坡区的水平距离之和。

基于上述分析，将结构面迎剪侧表观平均倾角${\theta _{\rm G}}$和爬坡区内部平均坡角${\theta _{\rm H}}$叠加，提出岩石结构面粗糙度新指标${\theta _{\rm C}}$：

新指标${\theta _{\rm C}}$进一步提升了Grasselli二维参数的适用性，下一步将建立其与JRC之间的关系，用于表征结构面粗糙度。

2.   基于粗糙度新指标的JRC估算

2.1   Barton曲线获取及验证

当前国际公认的岩石结构面粗糙度评价指标仍为Barton和Chouby提出的10条标准剖面对应的JRC值（0~20）。若新指标${\theta _{\rm C}}$与标准JRC值之间建立对应关系，一方面能够克服通过视觉对比10条标准剖面线的主观性，另一方面能够提升新指标的工程应用性。为此，首先获取Barton提出的10条标准剖面。研究采用灰度图像处理方法对标准剖面进行数字化处理。具体方法如下：①将10条标准剖面线图像导入MATLAB，分别提取每条标准剖面线图象的灰度数据，并保存为矩阵格式；②对初步获得的10条标准剖面线灰度图像进行2次滤波处理，实现边缘检测；③将标准剖面线按比例缩放到100 mm的标准长度，获得10条标准剖面线的数字化数据，如图 4所示。

图  4  数字化标准剖面线

Figure  4.  Digital standard profiles

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为验证提取的数字化标准剖面线是否真实反映形貌特征，本研究设置采样间距$\Delta x$为0.5，1 mm分别计算10条标准剖面线对应的一阶导数均方根${Z_2}$。

式中：M为剖面线沿x轴采样段总数；y为剖面线高度。随后将计算结果分别与Tse等^[18]，Yang等^[19]，Yu等^[20]，孙辅庭等^[21]，Tatone等^[9]，张建明等^[22]研究数据进行比较如图 5所示。结果表明，所提取标准剖面线的${Z_2}$与已有研究结果具有较高一致性，可进一步用于结构面粗糙度分析中。

图  5  基于不同学者研究数据的计算结果对比

Figure  5.  Comparison of calculated results based on different scholars' data

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2.2   ${\theta _{\rm C}}$与JRC

进一步计算10条标准剖面线的${\theta _{\rm C}}$，以Δx为0.5 mm的JRC为6~8剖面线为例，首先确定其沿正向分析的所有迎剪段，并测量各迎剪段的倾角和长度，根据式（3）计算出表观平均倾角${\theta _{\rm G}}$=7.49；然后以相邻连续迎剪段为爬坡区，根据式（4）计算出各爬坡区的平均凸起高度，并测量总爬坡水平距离，再根据式（5）计算出内部平均坡角${\theta _{\rm H}}$=3.46；两者叠加确定${\theta _{\rm C}}$=10.95。依据上述方法，计算其余标准剖面线分别在0.5，1 mm采样间距下的${\theta _{\rm C}}$。由表 2可知，不同JRC剖面线对应的${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$，${\theta _{\rm C}}$不同，且随JRC的增大而增大，其中${\theta _{\rm G}}$均大于${\theta _{\rm H}}$，表明迎剪侧表观平均倾角对结构面粗糙度的贡献大于爬坡区内部平均坡角。此外，相同JRC剖面线正向和反向分析结果不同，证明新指标能够表征粗糙度各向异性。

表  2  不同JRC剖面线的${\theta _{\rm C}}$，${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$值

Table  2.  Values of ${\theta _{\rm C}}$, ${\theta _{\rm G}}$ and ${\theta _{\rm H}}$ of different JRC profiles

JRC剖面线	标准JRC值	Δx=0.5 mm								Δx=1.0 mm
		正向分析			反向分析			平均值		正向分析			反向分析			平均值
		${\theta _{\rm G}}$	${\theta _{\rm H}}$	${\theta _{\text{C}}}$	${\theta _{\rm G}}$	${\theta _{\rm H}}$	${\theta _{\text{C}}}$	${\theta _{\text{C}}}$		${\theta _{\rm G}}$	${\theta _{\rm H}}$	${\theta _{\text{C}}}$	${\theta _{\rm G}}$	${\theta _{\rm H}}$	${\theta _{\text{C}}}$	${\theta _{\text{C}}}$
1	0.4	3.04	0.83	3.87	3.50	1.00	4.50	4.19		2.05	0.57	2.62	3.28	0.88	4.17	3.39
2	2.8	5.03	1.95	6.98	4.32	1.87	6.20	6.59		4.29	1.67	5.96	4.12	1.28	5.40	5.68
3	5.8	5.51	2.33	7.84	5.64	2.48	8.12	7.98		5.26	1.96	7.23	5.14	2.44	7.58	7.40
4	6.7	7.49	3.46	10.95	8.69	3.81	12.50	11.73		7.42	2.81	10.23	7.72	2.58	10.31	10.27
5	9.5	8.24	3.90	12.14	7.43	3.48	10.91	11.53		7.05	3.15	10.21	7.06	2.80	9.86	10.03
6	10.8	9.63	4.48	14.11	10.36	4.80	15.17	14.64		9.80	4.09	13.89	9.41	4.65	14.06	13.98
7	12.8	11.37	4.69	16.05	10.77	4.76	15.53	15.79		10.30	3.71	14.01	9.59	3.83	13.42	13.72
8	14.5	12.61	6.64	19.25	12.77	6.55	19.32	19.28		12.24	5.93	18.17	12.77	6.73	19.50	18.84
9	16.7	14.14	7.04	21.18	14.52	6.92	21.44	21.31		13.83	5.66	19.49	12.90	5.95	18.85	19.17
10	18.7	15.97	7.24	23.21	16.19	6.85	23.03	23.12		14.54	6.37	20.91	14.09	5.87	19.96	20.43

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为建立新指标${\theta _{\rm C}}$与JRC之间的经验关系，将JRC剖面线正向和反向分析的${\theta _{\rm C}}$值及两者平均值与其对应的标准JRC值绘制于图 6中。从图 6中可以看出，${\theta _{\rm C}}$与JRC呈现较好的幂律分布，对应采样间隔为0.5，1.0 mm时的JRC估算公式为

图  6  ${\theta _{\rm C}}$与JRC关系式

Figure  6.  Relationship between ${\theta _{\rm C}}$ and JRC

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3.   讨论

3.1   新指标的间距效应

采样间距是影响粗糙度评价的重要因素^[23]。为探究采样间距对新指标的影响，以JRC为16~18的剖面线为例，分别计算其在0.5，1.0，1.5，2.0，2.5 mm采样间距下的${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$和${\theta _{\rm C}}$值。由表 3可知，${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$，${\theta _{\rm C}}$均随采样间距的增大而减小。接下来基于分形理论，建立上述参数与采样间距Δx的双对数模型（以${\theta _{\rm C}}$为例）：

表  3  JRC=16~18剖面线在各采样间距下的粗糙度值

Table  3.  Roughnesses of profiles with JRC of 16~18 at each.sampling interval

Δx/mm	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
${\theta _{\rm G}}$	14.33	13.36	12.13	11.49	10.86	9.99
${\theta _{\rm H}}$	6.98	5.81	4.13	4.11	3.82	3.88
${\theta _{\rm C}}$	21.31	19.17	16.26	15.60	14.68	13.87

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式中：$C$为分形参数；$D$为分形维数。由图 7可知，$\ln \Delta x$与$\ln {\theta _{\rm G}}$，$\ln {\theta _{\rm H}}$，$\ln {\theta _{\rm C}}$均具有良好的线性关系，表明${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$和${\theta _{\rm C}}$具有分形特征。其中，$\ln \Delta x$与$\ln {\theta _{\rm C}}$的线性拟合系数高于$\ln {\theta _{\rm G}}$与$\ln {\theta _{\rm H}}$的，这说明采用新指标估算结构面粗糙度更为准确。

图  7  $\ln \Delta x$与$\ln {\theta _{\rm G}}$，$\ln {\theta _{\rm H}}$，$\ln {\theta _{\rm C}}$线性关系

Figure  7.  Relationship of $\ln \Delta x$ with $\ln {\theta _{\rm C}}$, $\ln {\theta _{\rm G}}$ and $\ln {\theta _{\rm H}}$

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在上述基础上计算${\theta _{\rm C}}$在其他标准剖面线中的分形维数，用于描述不受采样间距影响的结构面粗糙度，结果列于表 4。

表  4  基于${\theta _{\rm C}}$的10条标准JRC剖面线的分形维数

Table  4.  Fractal dimensions of ten standard JRC profiles

JRC剖面线	标准JRC值	分形维数D
1	0.4	1.4427
2	2.8	1.3260
3	5.8	1.2729
4	6.7	1.3519
5	9.5	1.3384
6	10.8	1.1340
7	12.8	1.1546
8	14.5	1.1078
9	16.7	1.2449
10	18.7	1.2002

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3.2   新指标的各向异性

合理的粗糙度指标应能反映结构面形貌各向异性。为验证新指标的各向异性特征，首先，基于巴西劈裂获得天然结构面。其次，借助浙江省岩石力学与地质灾害重点实验室购置的手持式三维激光扫描仪（扫描精度0.025 mm）获取该结构面形貌点云数据，并以角度增量30°获取不同剪切方向的剖面线，每根剖面线的采样间距为0.5 mm。为全面反映结构面各向异性，每一剪切方向均间隔5 mm截取7条剖面线，如图 8所示。最后，计算各剖面线的${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$，${\theta _{\rm C}}$值及每一剪切方向的平均值。由图 9可知，${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$，${\theta _{\rm C}}$的各向异性分布保持一致，且均呈椭圆形，表明新指标${\theta _{\rm C}}$可以有效反映结构面形貌各向异性特征。结构面各向异性程度可由最弱方向与最强方向粗糙度参数的比值${k_a}$来反映，${k_a}$越小，各向异性越强，当接近1时为各向同性^[24]。本文中选取的结构面各向异性系数${k_a} = 0.681$，表明该结构面粗糙度各向异性适中。

图  8  结构面剖面线提取位置

Figure  8.  Location of 2D profiles extracted from joint surface

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图  9  结构面粗糙度各向异性

Figure  9.  Anisotropy of joint roughness

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3.3   基于新指标估算的JRC预测抗剪强度

JRC估算的主要目的是代入JRC-JCS模型^[6]用于预测结构面抗剪强度。

式中：$\tau$为结构面峰值抗剪强度；${\sigma _{\text{n}}}$为法向应力；${\varphi _{\text{b}}}$为基本摩擦角；JCS为岩壁抗压强度。

为验证提出的JRC估算式的适用性，本文以文献[25]中基于10条标准剖面线制成的结构面的峰值抗剪强度作为衡量指标，将其与不同JRC-JCS模型计算的预测值进行对比，结果如图 10所示。其中，直剪试验的法向应力为12.84 MPa，人工模拟试样单轴抗压强度为34.24 MPa，基本摩擦角为38.14°。图 10中JRC-JCS模型1，2，3中JRC分别由式（8）、标准剖面线的JRC反算值和下式确定^[9]：

图  10  基于标准剖面线的不同JRC-JCS模型预测结果对比

Figure  10.  Comparison between results predicted by different JRC-JCS models based on standard JRC profiles

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根据平均预测误差公式，算得各模型预测误差分别为8.50%，8.62%，8.94%，这说明所提出的JRC估算式可用于预测结构面峰值抗剪强度。

式中：${\tau _{\rm measured}}$为试验测得峰值抗剪强度；${\tau _{\rm calculated}}$为采用模型计算所得峰值抗剪强度；$\delta$为平均预测误差，n为试验组数。

进一步将提出的JRC估算式应用于天然结构面，并通过对比其基于Grasselli二维指标优化的JRC估算式来验证其可靠性。Liu等^[12]认为倾角和高度是结构面形貌的两个基本组成单元，以此提出了JRC估算式：

式中：$\mathop {{\theta _ * }}\limits^ -$，$n$为有效接触长度${L_{{\theta ^*}}}$与有效倾角${\theta ^*}$的拟合系数；$h$为平均起伏高度。

Ban等^[13]认为${\theta _{\rm G}}$忽略的是起伏高度的影响，并将其引入JRC估算式：

式中：${h_1}$由剖面线的高度h与长度L的比值确定。

选取文献[26]中天然岩石结构面试样（其单轴抗压强度为27.5 MPa，基本摩擦角为35°）的直剪试验结果对本文及上述两种JRC估算式进行验证。首先，通过GetData软件获取文献[26]中结构面Ⅱ的9条剖面线坐标数据（采样间距均为0.5 mm）。再根据式（8），（14），（15）计算这些剖面线的JRC，算得JRC平均值分别为16.14，18.85，14.79。最后，将结果代入JRC-JCS模型获得结构面在不同法向应力（0.5，1，1.5，2，3 MPa）下的峰值抗剪强度预测值，并与试验结果进行对比（图 11）。其中JRC-JCS模型4，5中JRC分别由式（14），（15）确定。经计算，不同模型预测误差分别为6.8%，11.1%，11.5%，结果表明基于新指标${\theta _{\rm C}}$提出的JRC估算式对天然结构面峰值抗剪强度的预测更为准确。由于难以获得其他学者研究的结构面剖面线，尚需开展不同形貌结构面直剪试验，以此验证所提出的JRC估算式的普适性。

图  11  基于天然剖面线的不同JRC-JCS模型预测结果对比

Figure  11.  Comparison between results predicted by different JRC-JCS models based on natural profiles

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3.4   新指标的三维拓展

二维粗糙度指标虽获取方便，但并不能全面描述结构面形貌特征。因此，基于二维新指标${\theta _{\rm C}}$的计算模式，对三维层面${\theta _{\rm C}}$的表征进行拓展。根据采样间距$\Delta x$将方形结构面处理为$L/\Delta x$个沿剪切方向的条形结构面，$L$为方形结构面的边长，每个条形结构面可根据采样间距分为$L/\Delta x$个采样网格。三维粗糙度计算指标${({\theta _{\rm C}})_{\rm 3D}}$计算如下：

式中：${N_i}$为第j个条形结构面中爬坡区的块数；${H_{i,j}}$为第j个条形结构面中第i个爬坡区块体的有效凸起高度；${L_j}$为第j个条形结构面中所有爬坡区水平距离之和；G为三角形微元在爬坡区所占据的采样网格数；${H_P}$是第p个采样网格中三角形微元的最小高度。

将新指标${({\theta _{\rm C}})_{\rm 3D}}$应用于前述3.2节中结构面的三维粗糙度表征。结果显示，不同剪切方向的${({\theta _{\rm C}})_{\rm 3D}}$各不相同（图 12），表明${({\theta _{\rm C}})_{\rm 3D}}$可以用于反映结构面形貌各向异性。基于篇幅的关系，${({\theta _{\rm C}})_{\rm 3D}}$与结构面峰值抗剪强度的关系有待进一步叙述。

图  12  基于${({\theta _{\rm C}})_{\rm 3D}}$计算的天然结构面粗糙度

Figure  12.  Roughnesses of natural rock joint calculated by ${({\theta _{\rm C}})_{\rm 3D}}$

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4.   结论

通过对岩石结构面Grasselli二维形貌参数优化及其JRC估算研究，得出4点结论。

（1）结构面爬坡区内部凸起高度对粗糙度的贡献可表示为其在总爬坡水平距离上的坡角，通过引入平均坡角${\theta _{\rm H}}$来量化结构面内部起伏的粗糙特性，将其与表观平均倾角${\theta _{\rm G}}$相加提出了粗糙度新指标${\theta _{\rm C}}$，新指标进一步明确了Grasselli粗糙度指标含义。

（2）采用图像分割技术对十条标准JRC剖面线进行了数字化处理，并计算了每条剖面线的${\theta _{\rm G}}$，${\theta _{\rm H}}$，${\theta _{\rm C}}$值，结果显示表观平均倾角对粗糙度的贡献大于内部平均坡角。随后根据${\theta _{\rm C}}$与JRC呈现较好的幂律关系，建立了基于${\theta _{\rm C}}$的JRC估算式，为预测结构面抗剪强度提供准确参数。

（3）通过分析不同采样间距和不同采样方向下新指标${\theta _{\rm C}}$的变化规律，发现${\theta _{\rm C}}$具有分形特征且能够反映结构面形貌各向异性。进一步对新指标${\theta _{\rm C}}$进行三维拓展，提出了三维粗糙度指标${({\theta _{\rm C}})_{\rm 3D}}$。

（4）将提出的JRC估算式应用于JRC-JCS模型，通过对比已有研究得到的试验结果以及不同抗剪强度模型的预测效果，验证了基于新指标${\theta _{\rm C}}$估算的JRC可准确预测结构面峰值抗剪强度。