Mechanical behaviors and constitutive model for unsaturated soils
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摘要: 地表土几乎全是非饱和土，特别是在干旱和半干旱地区，用饱和土力学理论和实验手段不能正确解释和处理非饱和土工程问题。首先介绍用低吸力和高吸力分别描述土的非饱和程度；简单回顾饱和土力学理论之后介绍现在比较认可的非饱和土力学理论；介绍低吸力下非饱和土持水和力学性质的测试方法，重点说明因使用陶土板而需要注意事项与对策以及非饱和土三轴仪的体积测量方法；用吸力控制压缩试验、三轴试验和真三轴试验的实测结果说明非饱和土的典型力学性质；根据试验结果分析持水曲线的直接影响因素和持水与力学性质的耦合特性，用弹塑性方法建立非饱和土持水和力学特性耦合的本构模型，并用吸力控制或量测的等向压缩和三轴试验结果验证；开发高吸力范围内吸力控制三轴试验方法，用该方法获得广吸力范围内4种典型土的应力应变关系，并用其中两种广吸力范围内强度数据对各种非饱和土强度计算公式的适用性进行分析。Abstract: The ground surface soils are almost unsaturated, especially in arid and semi-arid areas, and the engineering problems of unsaturated soils cannot be properly explained and dealt with by the saturated soil mechanics and the relevant experimental means. First the unsaturated degrees of soils are described by low and high suctions, respectively. By reviewing the theory of saturated soil mechanics, the current commonly accepted theories of unsaturated soil mechanics are introduced. Then, the testing methods for measuring the water retention and mechanical behaviors of unsaturated soils in the low suction range are presented. The focus is on the precautions and countermeasures required by the use of ceramic plates and the volume measurement method for unsaturated soils by using the triaxial instruments. The results of the suction-controlled compression, triaxial shear and true triaxial tests are used to illustrate the typical mechanical behaviors of unsaturated soils. After analyzing the coupling characteristics of hydraulic and mechanical behaviors and the factors directly influencing the water-retention curves based on the test results, a coupling model for describing the hydraulic and mechanical behaviors of unsaturated soils is established by the using the elastic-plastic method, and is verified by suction-controlled or measured isotropic compression and triaxial test results. Subsequently, the stress-strain relationships of four typical soils over a wide suction range are given by means of the suction-controlled triaxial test method developed by the author's group in the high suction range. Finally, the measured strength data of two soils over a wide suction range are used to analyze the applicability of various equations for calculating the strength of unsaturated soils.
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Keywords:
- unsaturated soil /
- testing technology /
- constitutive model /
- high suction /
- coupling model
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0. 引言
土木建筑结构物一般建在地表上，而大多数地表土处于非饱和状态，特别是在干旱和半干旱地区，用传统饱和土力学的理论和试验手段不能正确解释和处理许多非饱和土工程问题。因此，正确测定非饱和土的工程性质并建立预测方法不仅具有理论意义而且具有工程实用价值。
研究非饱和土的工程性质首先需要有土的非饱和程度的描述方法，土力学中用饱和度或含水率描述土的非饱和程度，而非饱和土力学中，对于比较湿润土用下式的吸力s描述非饱和程度：
$$ s = {u_{\rm{a}}} - {u_{\rm{w}}} \text{，} $$ (1) 式中，ua为土中孔隙气压，uw为土中孔隙水压。
除重力和压力外，吸力也能使土中水移动，它是吸引水移动的一种能力，反映土中水的自由能状态。根据热动力学理论，较干燥土的吸力s与土中相对湿度$ {R_{\text{H}}} $的关系如下：
$$ s = - \frac{{RT{\rho _{\text{w}}}}}{{{\omega _{\text{v}}}}}\ln {R_{\text{H}}} \text{，} $$ (2) 式中，s为土的总吸力，R为气体常数（R=8.31432 J/(mol·K)），T为绝对温度（T=273.16+t），t为摄氏温度(℃)，$ {\rho _{\text{w}}} $为水的密度，$ {\omega _{\text{v}}} $为水蒸气的克分子量（$ {\omega _{\text{v}}} $=18.016 kg/kmol）。
式（1）和（2）定义分别适用低吸力范围（0~1.5 MPa）和高吸力范围（1.5~1000 MPa）。为了验证上述定义的一致性和连续性，对原状上海第3层黏土，用式（1）的压力板法和式（2）的饱和盐溶液蒸气平衡法分别测定低吸力范围和高吸力范围内含水率与吸力的关系，结果如图 1所示。由图 1可知，两者吸力定义具有很好一致性。
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图 1 全吸力范围内上海黏土的持水曲线[1]Figure 1. Water retention curve of Shanghai clay over a wide suction range图 2给出了饱和与非饱和土层中孔隙水压和孔隙气压沿深度分布，接近地表的非饱和土孔隙水压随气候变化非常大，持续天晴时表层土吸力相当高。
图 3为河南某地开挖过的直立黄土边坡，气候比较干燥，边坡表面土的吸力很高，凝聚力也很大。因此，无论实际工程需求还是理论上的探讨，都需要研究从低吸力至高吸力的广吸力范围内非饱和土的工程性质与理论预测。
目前对低吸力区非饱和土的持水和力学特性测试，已有较为成熟的技术，主要是因为有了学术界较为认可的双应力状态理论[2-3]和轴平移技术[4]，因此，对低吸力范围内非饱和土的工程性质已开展大量的试验研究。而对高吸力区非饱和土的持水和力学特性测试，目前对于持水特性测试有实用方法，主要通过控制相对湿度，控制和量测土的高吸力；而对于力学特性测试还没有广泛接受的实用方法。本文介绍笔者课题组开发的一种实用方法[5-8]。
1. 非饱和土力学理论
饱和土力学的最基本理论是有效应力原理。作用在土体上可以量测的应力有总应力$ {\sigma _{ij}} $和孔隙水压u，总应力与孔隙水压之差为有效应力$ {{{\mathit{\boldsymbol{\sigma}}}'}_{ij}} $，只有有效应力直接影响土体的变形和强度，即为有效应力原理，可用如下公式表示：
$$ {{\sigma'}_{ij}} = {\sigma _{ij}} - u{\delta _{ij}} \text{，} $$ (3) $$ {\tau _{\text{f}}} = c' + {\sigma'}\tan \varphi ' \text{，} $$ (4) $$ E = g{\text{(}}{{\sigma'}_{ij}}{\text{)}} \text{，} $$ (5) $$ {\varepsilon _{ij}} = f{\text{(}}{{\sigma'}_{ij}}{\text{)}} 。 $$ (6) 式（3）为有效应力的计算公式；式（4）为莫尔-库仑强度公式；式（5）表示土的刚度E直接取决于有效应力；式（6）表示土的变形直接取决于有效应力或者说饱和土的本构模型应该用土体骨架应变与有效应力之间的关系表示。
作用在非饱和土上的可测应力有总应力$ {\sigma _{ij}} $、孔隙水压uw和孔隙气压ua，双应力状态理论[3]认为只有两个应力量直接影响非饱和土体的变形和强度，常用双应力量为净应力$ \sigma _{ij}^{\text{n}} $和吸力s。因此，与饱和土的有效应力原理相当的非饱和土有效应力原理可表述为：非饱和土的强度和变形或刚度取决于净应力和吸力，故可用如下公式表示：
$$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\sigma }_{ij}^{\text{n}}\text{=}{\sigma }_{ij}-{u}_{\text{a}}{\delta }_{ij}\text{ }\text{，}\\ s={u}_{\text{a}}-{u}_{\text{w}}\text{ }\text{，}\end{array}} \right\} $$ (7) $$ {\tau _{\text{f}}} = c' + {\sigma _{\text{n}}}\tan \varphi ' + s\tan \varphi '' \text{，} $$ (8) $$ E = g{\text{(}}\sigma _{ij}^{\text{n}}{\text{, }}\;s{\text{)}} \text{，} $$ (9) $$ {\varepsilon _{ij}} = f{\text{(}}\sigma _{ij}^{\text{n}}{\text{, }}\;s{\text{)}} 。 $$ (10) 式（7）是非饱和土的净应力和吸力的计算公式；式（8）是非饱和土的莫尔-库仑强度公式，其中$ \varphi '' $为吸力内摩擦角；式（9）表示非饱和土的刚度E直接取决于净应力和吸力；式（10）表示非饱和土的变形直接取决于净应力和吸力或者说非饱和土的本构模型应该用土体骨架应变与净应力和吸力之间的关系表示。为了考虑饱和度Sr对非饱和土力学性质的影响，也可采用平均骨架应力$ {{\sigma'}_{ij}}({{\sigma'}_{ij}} = \sigma _{ij}^{\text{n}} + {S_{\text{r}}}s{\delta _{ij}}) $和s作为双应力参数，构建本构模型。
2. 低吸力下测试技术、持水和力学特性
低吸力范围内测试非饱和土吸力的方法主要有负水压计、采用轴平移技术的压力板法以及滤纸法等，进行非饱和土的力学试验一般采用轴平移技术的压力板法控制或量测吸力。下面介绍笔者采用的3种测量非饱和土力学特性的试验技术、试验方法和试验成果等。
2.1 吸力可控非饱和土压缩试验
与饱和土压缩试验仪相比，吸力可控非饱和土压缩仪多了陶土板和试样吸排水量的量测装置。图 4为非饱和土压缩仪的照片[9]，照片的右下角有安装在试样底座的陶土板，用于分离孔隙水压与孔隙气压，其工作原理如图 5所示。当饱和陶土板上面受的气压ua和其下面受的水压uw满足式（11）时，陶土板可起透水不透气的作用。
$$ {u_{\rm{a}}} - {u_{\rm{w}}} < \frac{{2T\cos \alpha }}{r} \text{，} $$ (11) ![]()
图 4 吸力可控的非饱和土压缩仪[9]Figure 4. Compression apparatus with suction-control for unsaturated soils式中，T为水的表面张力，$ \alpha $为表面张力与管壁的夹角，r为管的半径。
表 1列出了各种进气值陶土板的物理特性指标值。试验常用陶土板的厚度方向孔隙管的直径在十分之一微米至几微米的量级，孔隙管的直径越小，陶土板进气值越大，饱和渗水系数越小，非饱和土试验时间会越长。如对试样施加吸力小于100 kPa，则推荐用特殊工艺制造的高流量陶土板。
表 1 陶土板的物理特性Table 1. Physical propertie of ceramic disc进气值/kPa 孔隙管直径/μm 饱和渗水系数/(cm·s-1) 孔隙率/% 50 6.0 3.11×10-5 50 100(高流量) 2.5 8.60×10-6 45 100(标准流量) 2.1 3.46×10-7 34 200 1.2 1.73×10-7 38 300 0.8 1.70×10-7 34 500 0.5 1.21×10-7 31 非饱和土的压缩过程中，因土体孔隙中存在空气，排水量并不等于试样体积压缩量，需要量测试样的吸排水量的装置。图 4中排水管插入放置在天平上烧杯的水中，用于量测试样排出或吸入的水量。理论上作用在饱和陶土板上下面的气压和水压满足式（11）时，水可渗透过饱和陶土板而气体不能，但长时间高气压作用陶土板上，部分气体溶解于水，陶土板底面会有气体析出，排水管路系统有气泡存在，导致量测到的水量不等于试样实际排出的水量。图 6（a）中的圆圈表示用进气值1500 kPa陶土板进行吸力1485 kPa的压缩试验时排水量的记录，后4天基本上匀速排水，这明显并非试样的排水，而是水中气泡析出。通过冲刷排水管路可得到析出气体量，图 6（b）给出了通过标定试验得到进气值1500 kPa陶土板在不同施加吸力下的气体析出率。如吸力控制的非饱和土试验时，不对排水管路进行冲刷，应从量测水体积变化中扣除气体析出部分，才是压缩试验过程中真正的试样排水量，如图 6（a）中的修正后数据。
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图 6 进气值1500 kPa陶土板的析出气体标定[9]Figure 6. Air diffusions of ceramic disc with entry value of 1500 kPa图 7给出了不同吸力下澳大利亚马里兰膨胀土的压缩曲线。从图 7可知，压缩曲线的斜率（压缩指数）随吸力增大而变小。进行吸力控制的单向压缩试验时需要注意的是，对试样脱湿施加吸力往往会引起试样径向收缩，导致圆饼试样四周与环刀内壁分离，再进行压缩试验时，不能保证侧限压缩的变形条件，其结果是有问题的。因此，准确地获取吸力控制的单向压缩试验结果并不容易，建议采用下述非饱和土三轴仪进行各向等压的吸力控制压缩试验。
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图 7 不同吸力下马里兰膨胀土的压缩曲线[10]Figure 7. Compression curves of expansive soils at different suctions2.2 吸力可控可测非饱和土三轴试验
与饱和土三轴仪相比，吸力可控可测非饱和土三轴试验仪需要陶土板和试样体积变化的量测系统，陶土板一般安装在三轴室底座，如图 8所示。陶土板的厚度一般为5 mm左右，陶土板下面一般有螺旋形槽，两端与两条排水管路分别相连，供饱和排水管路和冲刷管路用。
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图 8 非饱和土三轴仪的底座与陶土板Figure 8. Pedestal and ceramic disc of triaxial apparatus for unsaturated soils非饱和土三轴仪的另外一个关键点是试样体变的量测。量测方法有多种，直接测量试样直径和高度的变化[11]、双壁三轴室、双室三轴（开敞双室[12]和封闭双室[13]）等。图 9为经笔者改进过的吸力可控可测非饱和土三轴仪[11]。陶土板装在底座上，从顶帽可给试样施加气压，竖向荷载传感器安装在三轴压力室内以精确量测轴向荷载。试样直径变化的量测用三匝金属环，如图 10所示，考虑到试样两端的摩擦，三匝环分别安装在试样底端、中间和距试样顶端1/4试样高度处，假定试样侧向变形为沿竖向的三次函数，结合轴向变形可计算出试样体积的变化以及平均侧向变形。为了确认量测系统和计算方法的精度，用饱和土的三轴压缩试验结果进行验证，结果如图 11所示[11]，$ {\sigma _{\text{1}}} $，$ {\sigma _{\text{3}}} $分别为轴向和径向的净应力，$ {\varepsilon _{\text{1}}} $，$ {\varepsilon _{\text{3}}} $，$ {\varepsilon _{\text{v}}} $分别为轴向和径向以及体积的应变。图 11中实线是根据量管测量排水量推算试样体积，而图 11中空心圆为用三匝金属环测得的试样侧向变形。从图 11可知，除了接近破坏（轴向应变15%）时，体变稍微有点不同（这是由于变形大时试样变形不均匀所致），其余的应力应变关系基本一致，说明此测量方法是可靠的。
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图 9 吸力可控可测非饱和土三轴仪[11]Figure 9. Suction-controllable and measurable triaxial apparatus for unsaturated soils![]()
图 11 用体变管和三匝金属环测试样体积的三轴试验结果[11]Figure 11. Triaxial test results from specimen volume measured by burette and three meters如图 9所示，在试样帽的底面，贴有聚四氟乙烯布滤膜，具有透气不透水的功能，可在试验过程中正确测定试样的吸排水量，即试样的吸排水不能通过上端的试样帽，而全部通过底座，与陶土板底面连通的量管水位变化可测量到试样的水量变化，这对湿化试验（试样吸水）特别重要。
用吸力可控可测非饱和土三轴仪，可进行以下三类试验。
（1）排气排水试验：压缩试验时控制施加的净围压和吸力；三轴剪切试验时控制施加的净围压和吸力，同时控制或测量轴向净应力。经常进行的试验有常吸力变净应力的压缩与剪切试验，也可进行常净应力变吸力的吸湿或脱湿试验。试验过程中除测量轴向和径向应力外，还有试样的变形和含水率。
（2）排气不排水试验：即为等含水率压缩或剪切试验。进行压缩试验时控制施加的净围压和不排水，压缩过程中测量试样的孔隙水压力；三轴剪切试验时控制施加的净围压和不排水，控制或测量试样轴向净应力，剪切过程中测量试样的孔隙水压力。试验过程中除测定轴向和径向应力外，还有试样的变形和孔隙水压力。
（3）不排气不排水试验：压缩或剪切过程中，施加总应力，量测试样的孔隙水压力和孔隙气压力以及变形。试样体积变化不是特别大时，孔隙气体体积变化也不会太大，根据波尔定律，孔隙气压力基本不变，因此，此类试验也可归纳到前面的排气不排水试验。
用非饱和土三轴仪进行试验时，其应力路径一般可用平均净应力（p=($ {\sigma _{\text{a}}} + 2{\sigma _{\text{r}}} $)/3）-偏应力（$ {\sigma _{\text{a}}} - {\sigma _{\text{r}}} $）-吸力（s）空间上的轨迹表述，$ {\sigma _{\text{a}}} $，$ {\sigma _{\text{r}}} $分别为轴向和径向的净应力。常见的应力路径如图 12所示，实线ABC为初始吸力120 kPa静压试样的排气不排水等向压缩试验的应力路径，BD为各向压等净应力一定的脱湿试验，DEF为常吸力的等向压缩试验，EN为常吸力的三轴压缩试验，FK为各向等净应力一定的湿化试验，IH为各向不等压净应力一定下的湿化试验。
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图 12 吸力控制和测量三轴试验的应力路径Figure 12. Stress paths of suction-controlled/measured triaxial tests利用图 9所示的非饱和土三轴仪，沿图 12所示的应力路径，对含水率为26%的粉质黏土（称为珍珠土，塑性指数为17）静压试样，进行了常吸力或变吸力的等向压缩或三轴剪切试验[11, 14]。
图 13给出了3个初始孔隙比大致相同珍珠土试样在平均净应力196 kPa下进行吸力147 kPa的三轴剪切，净应力比（$ {\sigma _{\text{a}}}/{\sigma _{\text{r}}} $）1.5，2.0和2.5下吸力s从147 kPa分步降至零，饱和土（零吸力）的三轴剪切试验结果。吸力从147 kPa降至零时的净应力比越大，因吸力降低（吸湿）引起的剪应变和体应变都越大，这说明湿陷变形与湿化时的净应力比（应力状态）有密切关系。
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图 13 含不同应力比下湿化的三轴试验[11]Figure 13. Triaxial tests with wetting at different stress ratios图 14给出了各向等压下吸力控制的压缩试验和湿化试验结果。上方曲线是吸力147 kPa非饱和土的压缩曲线，下方直线为饱和土的压缩曲线。对于同一种非饱和土样，湿化引起的湿陷量与各向等压的应力值有关，图 15汇总不同初始孔隙比压实试样因吸力从147 kPa降至零引起的湿陷体变$ \varepsilon _{\text{v}}^{{\text{co}}} $与湿化时的等压净应力p间的关系。压力较小时湿陷体变随压力增大而增大，压力超过一定值后随压力增大而减小，此定值大致等于压实非饱和土的屈服应力。从图 15还可知，相同净压力下试样的孔隙比越大，其湿陷体变越大。
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图 14 含不同净应力下湿化的等向压缩试验[14]Figure 14. Isotropic compression tests with wetting at different net stresses图 16给出了轴向净应力$ {\sigma _{\text{a}}} $为252 kPa，径向净应力$ {\sigma _{\text{r}}} $为168 kPa（也即平均净应力p=196 kPa、净应力比$ {\sigma _{\text{a}}}/{\sigma _{\text{r}}} $为1.5）条件下吸力分步下降的湿化过程。从图 16可知，吸力减小初期（147→118 kPa）和接近饱和（20→0 kPa），试样的吸水较少和变形较小，中间阶段吸水较多和变形较大。
图 17给出了在各向等净应力98 kPa下从吸力147 kPa降至0吸湿过程中试样体变、含水率和饱和度的变化，与图 16的结果一样，吸力开始下降阶段，湿陷变形、含水率和饱和度的变化较小，含水率和湿陷变形主要发生在中间阶段。
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图 17 湿化过程中试样的体变、含水率和饱和度[14]Figure 17. Variation in volumetric strain, water content and degree of saturation during wetting图 18给出了在平均净应力或平均有效应力为196 kPa条件下吸力147 kPa非饱和土和饱和土试样的三轴剪切试验结果，非饱和土的应力应变曲线和强度均高于饱和土的。
根据上述吸力控制的三轴试验成果可知，吸力控制的力学试验主要特点是在试验过程中可以控制试样的非饱和程度，特别在湿化试验过程中，通常湿陷试验[15]只能测定某一非饱和状态至饱和的变形，而吸力可控的试验可测得各阶段吸力下的变形和含水率以及饱和度等；湿化过程中非饱和击实或压实土样的变形主要与试样密度、应力状态以及吸力值等有关。
2.3 吸力可控非饱和土真三轴试验
为了研究在三向不同应力作用下吸力控制的非饱和土力学性质，笔者工作过的研究组开发了吸力可控的非饱和土真三轴仪[16-17]。试验仪是在原三对钢板加载的真三轴仪[18]基础上开发的，主要增加对立方体试样可施加吸力的功能。由于试样体积较大，为了加快吸力平衡，试样上下荷载板安装如图 19所示的陶土板。图 20为装入真三轴仪前的立方体非饱和土试样及其上下加载板以及排水管路。通过上下两端对试样施加负孔隙水压，而孔隙气压与大气连通，与通常吸力用气压控制的方法不同，吸力是用负孔隙水压控制。为了防止试样四周膜因负孔隙水压而嵌入，膜采用抗拉性能好的超高分子量聚乙烯纤维膜。
对一种压实粉土进行真三轴试验，该粉土的砂粒、粉粒和黏粒含量分别为0.1%，90.4%和9.5%，制样孔隙比控制为0.98。图 21为用图 9所示的非饱和土三轴仪和真三轴仪分别对压实粉土进行沿三轴压缩应力路径的剪切试验结果。两剪切试验均在平均净应力98 kPa和吸力59 kPa条件下进行，得到的应力应变关系以及体变曲线基本一致，说明了开发的吸力可控真三轴仪的可靠性。真三轴试样的3个方向应变通过3个方向3对钢板的相对位移求得，3个方向的应变之和即为体变，图 21中$ {\hat \sigma _1}/{\hat \sigma _3} = $$ ({\sigma _1} + {\sigma _0})/({\sigma _3} + {\sigma _0}) $，$ {\sigma _0} $为吸应力，此处取32 kPa。
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图 21 用吸力可控三轴和真三轴仪进行的三轴压缩试验结果[17]Figure 21. Results of suction-controllable triaxial and true triaxial tests图 22中的点表示平均净应力98 kPa和吸力59 kPa条件下两条应力路径下的真三轴试验结果。图 22中θ表示π面上最大主应力轴与应力路径方向的夹角。初始孔隙比0.98的压实粉土在真三轴路径剪切过程中，与三轴压缩试验结果一样，都呈先剪缩后剪胀的变形特性。
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图 22 p=98 kPa和s=59 kPa下的真三轴试验[17]Figure 22. True triaxial tests along different stress paths (p=98 kPa and s=59 kPa)图 23给出了平均净应力98 kPa和吸力59 kPa条件下压实粉土的真三轴试验得到的强度和扩展SMP强度准则的预测结果[16]。扩展SMP强度准则可表示为
$$ \frac{{{{\hat I}_1}{{\hat I}_2}}}{{{{\hat I}_3}}} = \frac{{9 - {{\sin }^2}\varphi }}{{1 - {{\sin }^2}\varphi }} \text{，} $$ (12) ![]()
图 23 π面上非饱和土强度和扩展SMP准则的预测[16]Figure 23. Strengths of unsaturated soils in π-plane and their prediction式中，$ {\widehat{I}}_{1}，{\widehat{I}}_{2}，{\widehat{I}}_{3} $为换算应力$ {\hat \sigma _{ij}} $（$ {\hat \sigma _{ij}} $=$ {\sigma _{ij}} + {\sigma _0}{\delta _{ij}} $）的第一、第二和第三不变量。
从图 23可知，扩展SMP强度准则可较好地预测三维应力状态下的非饱和土强度。
3. 低吸力非饱和土的本构模型
非饱和土的本构模型可分为弹性模型和弹塑性模型，又可分为持水特性和力学特性耦合型和非耦合型，分别介绍如下。
3.1 弹性模型
土力学中计算饱和地基一维压缩或者沉降时，采用的应力应变关系为虎克定理，即
$$ {\text{d}}{\varepsilon _{\text{v}}} = {m_{\text{v}}}{\text{d}}{\sigma'} \text{，} $$ (13) 式中，$ {\varepsilon _{\text{v}}} $为竖向应变，$ {\sigma'} $为竖向有效应力，$ {m_{\text{v}}} $为土的体积压缩系数。
采用净应力和吸力表示非饱和土的应力状态时，一维变形土体的应力应变关系和水分变化可表示为
$$ {\text{d}}{\varepsilon _{\text{v}}} = {a_{\text{t}}}{\text{d}}(\sigma - {u_{\text{a}}}) + {a_{\text{m}}}{\text{d}}s \text{，} $$ (14) $$ {\text{d}}{S_{\text{r}}} = {b_{\text{t}}}{\text{d}}(\sigma - {u_{\text{a}}}) + {b_{\text{m}}}{\text{d}}s \text{，} $$ (15) 式中，Sr为饱和度，$ {a_{\text{t}}} $，$ {a_{\text{m}}} $，$ {b_{\text{t}}} $，$ {b_{\text{m}}} $为模型参数。
饱和土的三维弹性模型一般采用广义虎克定律，应力采用有效应力，把广义虎克定律推广到非饱和土，其弹性模型表达式如下：
$$ {\varepsilon _{ij}} = \frac{{(1 + \nu )\sigma _{ij}^{\text{n}} - \nu \sigma _{kk}^{\text{n}}{\delta _{ij}}}}{E} + \frac{s}{H}{\delta _{ij}} $$ (16) 式中，弹性模量E，泊松比$ \nu $和吸力模量H的数值与应力状态/吸力有关，可通过试验结果建立非线性关系，从而式（16）成为非饱和土的非线性弹性模型。
非饱和土的本构模型除了净应力和吸力与应变之间关系外，还需要考虑含水率或饱和度的变化。简单方法是建立吸力s与饱和度Sr之间关系（即持水曲线）：
$$ S_{\rm{r}}=f(s) {\text{。}} $$ (17) 一般根据试验结果确定式（17），具体的数学表达式有多种，如VG模型[19]和FX模型[20]。
非饱和土的弹性模型与饱和土一样，不能描述土的重要力学性质（如剪胀性等）。同时很难找到一个数学表达式可统一描述湿化时非饱和土的湿膨至湿陷等的变形特性，因此，20世纪七八十年代开始就有学者研究用弹塑性理论的二值方法建立非饱和土的弹塑性本构模型。
3.2 弹塑性模型
1990年Alonso等[21]提出了非饱和土的弹塑性本构模型，后来称之为BBM。该模型用弹塑性二值方法建立非饱和土的应力（净应力和吸力）与应变之间的关系，如式（10）所示，该关系与水分或饱和度无直接关系。持水曲线需要如式（17）那样另外给出，与非饱和土的力学状态无直接关系。非饱和土的力学性质和持水特性被分别考虑，两者不相关联（即非耦合），因而不能考虑因变形引起的持水特性变化，也不能直接考虑水分或饱和度对非饱和土力学性质的影响。
图 24给出了各向等压净应力20 kPa下对很松的压实珍珠土进行改变吸力的干湿循环试验结果[22]。吸力路径为ABCDE，从图 24中可知，持水曲线的第一圈（ABC）与第二圈（CDE）相差较大，这是由于第一次湿化过程产生很大湿陷变形，导致两圈试验时试样的孔隙比相差很大，说明孔隙比对持水曲线有较大的影响。一般受力过程中土样会产生变形，持水特性也随之改变。因此，表述持水特性的数学模型需要考虑土体变形的影响。
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图 24 各向等压净应力20 kPa作用下吸力控制的干湿循环试验Figure 24. Suction-controlled drying-wetting tests at isotropic net stress of 20 kPa图 25中的三角形和圆表示在平均净应力196 kPa和吸力98 kPa下压实珍珠土的三轴剪切试验结果[23]，两个非饱和土试样在剪切前孔隙比大致相同而饱和度不一样（图 25（b）），沿相同的应力路径三轴剪切，得到的应力应变关系不一致，饱和度高试样的应力应变曲线和强度高，这说明非饱和土的应力应变关系不仅与吸力大小有关，而且与水分或饱和度有直接关系。
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图 25 不同初始含水率试样的三轴剪切试验(p=196 kPa，s=98 kPa)Figure 25. Triaxial shear tests on unsaturated soil specimens with different water contents非饱和土受到外力（包括净应力和吸力）作用时，会同时产生持水方面（如饱和度）和力学方面（如变形和强度）的变化，用BBM等非饱和土弹塑性本构模型或VG等持水曲线模型都不能统一地同时预测非饱和土的持水和力学性状。针对这种状况，可用弹塑性二值手法建立可同时预测非饱和土持水和力学性状的数学模型。下面介绍笔者等开发的耦合本构模型[24-25]。
（1）非饱和土的应力状态变量
为了合理地表示非饱和土的持水和力学性状、考虑吸力和饱和度对非饱和土力学性质的影响，采用平均骨架应力$ {{\mathit{\boldsymbol{\sigma}}}'}_{ij}^{} $和吸力s作为应力状态变量；采用土体骨架应变张量$ {{\mathit{\boldsymbol{\varepsilon}}} _{ij}} $和饱和度$ {S_{\text{r}}} $作为应变状态变量，平均骨架应力张量$ {{\mathit{\boldsymbol{\sigma}}}'}_{ij}^{} $定义为
$$ {{\mathit{\boldsymbol{\sigma}}}'}_{ij}^{} = {{\mathit{\boldsymbol{\sigma}}} _{ij}} - {u_{\text{a}}}{\delta _{ij}} + {S_{\text{r}}}s{\delta _{ij}} 。 $$ (18) 式（18）实际上是将Bishop有效应力公式[26]中与饱和度有关的有效应力参数$ \chi $换成了饱和度。由式（18）可知，平均骨架应力与吸力有关，它们不是相互独立的自变量，但根据Houlsby[27]的非饱和土做功的表达式，平均骨架应力和吸力与土体骨架应变和饱和度组成功共轭。因此，如果适当地选择“应变”状态量，则平均骨架应力和吸力可以作为非饱和土的应力状态量。
（2）非饱和土的持水特性
非饱和土含水率或饱和度与吸力关系（持水曲线）的数学模型很多，但直接应用于耦合本构模型中显得过于复杂。另外一个重要问题是首先需弄清楚持水曲线主要与哪些因素有关？即在其数学模型中必须考虑的主要因素量有哪些？一般认为土的矿物成分、孔隙结构（包括孔隙比、孔隙大小分布及孔隙形状等）、土的应力历史、现在所处的应力状态和温度等是影响因素。对于给定土样，在温度变化不大的条件下，矿物成分和温度可不考虑其变化，而需要明确的是应力状态、应力历史、应变（孔隙比）是否与持水曲线有直接影响关系。如有关系，影响程度如何？是什么样的影响关系？这些问题必须在建立数学模型之前解决。
图 26整理了笔者等[14]用吸力控制三轴仪所做的各向等净应力、三轴压缩应力（Comp.）及三轴伸长应力（Ext.）条件下非饱和土湿化试验（吸力从147 kPa分级降至0 kPa）结果。图 26中，R为主净应力比(R=$ {\sigma _1}/{\sigma _3} $)，e0和eb分别为试样压实后和降吸力前的孔隙比，而eba为各组试样eb的平均值。由图 26可知，增湿过程中，即使试样所受的应力状态不同，只要此时试样孔隙比接近，其持水曲线基本一致，因此持水曲线与应力状态无直接关系。
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图 26 相同干密度而不同应力状态下持水曲线[14]Figure 26. Water-retention curves of specimens with same dry density under different stress states以上结论为建立持水曲线的数学模型带来了极大方便，即在数学表达式中不用直接考虑应力状态及应力历史的影响。否则，如何考虑应力状态和应力历史对持水曲线的影响是个难题。在明确孔隙结构是影响持水曲线的主要和直接因素后，就需要知道用什么指标表示孔隙结构的影响。在土体受力变形过程中，孔隙结构的形状变化不会太大，因此，作为第1次近似，可用孔隙比的变化表示孔隙结构的变化。这样，为了建立数学模型，还需要弄清持水曲线与孔隙比的关系。
图 27给出了不同初始孔隙比压实珍珠土样在降吸力（增湿）过程的持水曲线。从图 27可知，不同孔隙比试样的持水曲线相差较大，这与图 24的持水特性试验结果一致，即饱和度与吸力关系曲线随孔隙比减小而向右上方移动。
图 28给出了用孔隙比与饱和度关系整理得到的常吸力（s =147 kPa）下等向压缩以及三轴剪切试验结果。从图 28中可知，在不同应力路径和不同初始孔隙比条件下，常吸力时孔隙比与饱和度关系近似呈一直线，而且不同常吸力下直线的斜率相近。因此，持水曲线的简单模型可总结成如图 29所示。
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图 28 等向压缩及三轴剪切试验得到的饱和度与孔隙比关系(s =147 kPa)[24]Figure 28. Void ratio versus degree of saturation during isotropic loading and triaxial tests under suction of 147 kPa![]()
图 29 不同孔隙比下的持水曲线模型Figure 29. Modelling of water-retention curve at different void ratios$$ {\text{d}}{S_{\text{r}}} = - {\lambda _{{\text{se}}}}{\text{d}}e - {\lambda _{{\text{sr}}}}\frac{{{\text{d}}s}}{s} \text{，} $$ (19) $$ {\text{d}}{S_{\text{r}}} = - {\lambda _{{\text{se}}}}{\text{d}}e - {\kappa _{\text{s}}}\frac{{{\text{d}}s}}{s} 。 $$ (20) 式中：$ {\lambda _{{\text{se}}}} $为图 28（a）中直线的斜率，$ {\lambda _{{\text{sr}}}} $为图 29中主脱湿或主吸湿曲线的斜率；$ {\kappa _{\text{s}}} $为扫描曲线的斜率。
如用式（19），（20）代替弹性模型中的式（15）或式（17）表示的持水特性，则可认为持水特性中考虑了力学特性（变形）的影响。
（3）各向等应力状态下的本构关系
要建立各向等应力状态下的本构关系，关键是如何选择屈服应力随吸力的变化函数。根据塑性理论，同一屈服面应具有相同的硬化参数值，如采用与剑桥模型一样的硬化参数（塑性体积应变），假定常吸力下等向压缩曲线e-ln$ {p}{'} $关系为直线，则可得到吸力s非饱和土的屈服应力$ {p}_{\text{y}}^\prime $与饱和土的屈服应力$ {p_{{\text{0y}}}} $的关系式（在$ {p}{'} $-s平面上称LC屈服线）：
$$ {{p}_{\text{y}}^\prime} = {{p}_{\text{n}}^\prime}{\left( {\frac{{{p_{{\text{0y}}}}}}{{{{{p}}_{n}^\prime }}}} \right)^{\frac{{\lambda (0) - \kappa }}{{\lambda (s) - \kappa }}}} 。 $$ (21) 式中：$ {{p}_{\text{n}}^\prime} $为当吸力减小时不发生变形的等向平均骨架应力；$ \kappa $为非饱和土的回弹指数，假定与吸力值无关；$ \lambda (0) $和$ \lambda (s) $分别为饱和土和吸力s的非饱和土在e-ln$ {p}{'} $平面上正常压缩曲线的斜率。$ \lambda (s) $的表达式有多种形式，笔者采用的数学公式为
$$ \lambda (s) = \lambda (0) + \frac{{{\lambda _{\text{s}}}s}}{{{p_{\text{a}}} + s}} \text{，} $$ (22) 式中，$ {\lambda _{\text{s}}} $为$ \lambda (s) $随吸力s变化程度的参数，$ {p_{\text{a}}} $为标准大气压力。
从式（21）可得
$$ {\rm{d}}{p}_{\text{y}}^\prime = \frac{{\partial {p}_{\text{y}}^\prime}}{{\partial {p_{{\text{0y}}}}}}{\rm{d}}{p_{{\text{0y}}}} + \frac{{\partial {p}_{\text{y}}^\prime}}{{\partial s}}{\rm{d}}s \text{，} $$ (23) 而
$$ \frac{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}{{\partial {p_{{\text{0y}}}}}} = \frac{{\lambda (0) - \kappa }}{{\lambda (s) - \kappa }}{\left( {\frac{{{p_{{\text{0y}}}}}}{{{p}_{\rm{n}}^\prime}}} \right)^{\frac{{\lambda (0) - \lambda (s)}}{{\lambda (s) - \kappa }}}} \text{，} $$ (24) $$ \frac{{\partial {p}_{\rm{y}}^\prime}}{{\partial s}} = \frac{{{\lambda _s}{p}_{\rm{y}}^\prime{p_a}(\lambda (0) - \kappa )}}{{{{(\lambda (s) - \kappa )}^2}{{({p_a} + s)}^2}}}\ln \left( {\frac{{{{{p}}_{\rm{n}}^\prime}}}{{{p_{0y}}}}} \right) 。 $$ (25) 当应力状态处于各向等压屈服线以内时，仅有的弹性体积应变增量为
$$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{e}} = \frac{{\kappa {\text{d}}{p}{'}}}{{(1 + e){p}{'}}} 。 $$ (26) 当应力状态处于各向等压屈服线上时，塑性体积应变增量为
$$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} = \frac{{(\lambda (0) - \kappa ){\text{d}}{p_{{\text{0y}}}}}}{{(1 + e){p_{{\text{0y}}}}}} 。 $$ (27) 图 30给出了各向等应力状态下非饱和土的LC屈服线。除了LC屈服线以外，为了模拟非饱和土持水特性的主脱湿线或主吸湿线与两者间的扫描线，采用弹性塑性二值法模拟，模型增加了SI屈服线（当吸力增加时的饱和度屈服面）和SD屈服线（当吸力减小时的饱和度屈服面）来描述饱和度的塑性屈服。在脱湿过程（$ s \geqslant {s_{\text{I}}} $）或吸湿过程（$ s \leqslant {s_{\text{D}}} $）中吸力改变时，饱和度增量按式（19）计算，否则饱和度增量由式（20）计算。因此，按照应力状态（$ {p}^{\prime }和s $）与屈服线（LC、SI、SD）之间关系，使用不同公式计算应变和饱和度的增量。
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图 30 各向等压应力状态下的LC、SI、SD屈服线Figure 30. Yield curves of LC, SI and SD under isotropic stress state（4）轴对称应力状态下本构模型
修正剑桥模型能合理地预测正常固结饱和黏土的变形和强度特性。模型简单而且模型参数的物理意义比较明确。本模型也采用与之相同形式的屈服函数f和塑性势函数g，即在平均有效应力与应力强度（即广义剪应力）平面上假定屈服线和塑性势线的形状为椭圆，只是用平均骨架应力代替饱和土的有效应力：
$$ f = g = {q^2} + {M^2}{p}{'}({p}{'} - {p}_{\text{y}}^\prime) = 0 。 $$ (28) 图 31给出了$ {p}{'} $-$ q' $平面中饱和土和常吸力非饱和土的屈服线。图 32为在$ {p}{'} $-$ q' $-$ s $空间中的屈服面。假定在“平均骨架应力”空间中相关联流动法则成立，则
$$ {\text{d}}\varepsilon _{ij}^{\text{p}} = {\mathit{\Lambda}} \frac{{\partial f}}{{\partial {{\mathit{\boldsymbol{\sigma}}}'}_{ij}^{}}} \text{，} $$ (29) ![]()
图 32 $ {p}{'} $-$ q' $-$ s $空间屈服面Figure 32. Yield surfaces in $ {p}{'} $-$ q' $-$ s $space式中，比例常数$ {\mathit{\Lambda}} $可以由相容条件求得。方程式（28）可改写成$ f = f({p}{'}, q', {{p}_{\text{y}}^\prime}) = 0 $，由此可得
$$ {\text{d}}f = \frac{{\partial f}}{{\partial {p}{'}}}{\text{d}}{p}{'} + \frac{{\partial f}}{{\partial q'}}{\text{d}}q' + \frac{{\partial f}}{{\partial {p}{'}_{\text{y}}^{}}}{\text{d}}{{p}_{\text{y}}^\prime} = 0 。 $$ (30) 将式（23）代入式（30）后，重新排列可以得
$$ {\text{d}}f = \frac{{\partial f}}{{\partial {p}{'}}}{\text{d}}{p}{'} + \frac{{\partial f}}{{\partial q'}}{\text{d}}q' + \frac{{\partial f}}{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}\frac{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}{{\partial {p_{{\text{0y}}}}}}{\text{d}}{p_{{\text{0y}}}} + \frac{{\partial f}}{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}\frac{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}{{\partial s}}{\text{d}}s = 0 。 $$ (31) 关于饱和土的各向等压屈服应力$ {p_{0{\text{y}}}} $与塑性体积应变$ \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} $的关系，可以采用与剑桥模型所用的e-ln p曲线一样的关系。由于塑性体积应变$ \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} $是本模型的硬化参数，饱和土的塑性体积应变增量$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} $是由屈服应力增量$ {\text{d}}{p_{0{\text{y}}}} $引起，而非饱和土的$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} $是由$ {\text{d}}{{p}_{\text{y}}^\prime} $和$ {\text{d}}s $引起。因此，由式（27），（29）可得
$$ {\text{d}}{p_{{\text{0y}}}} = \frac{{1 + e}}{{\lambda (0) - \kappa }}{p_{0{\text{y}}}}{\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{P}} = \frac{{1 + e}}{{\lambda (0) - \kappa }}{p_{0{\text{y}}}}\mathit{\Lambda} \frac{{\partial f}}{{\partial {p}{'}}} 。 $$ (32) 将式（32）代入式（31），可以解得
$$ {\mathit{\Lambda}} = - \frac{{\frac{{\partial f}}{{\partial {p}{'}}}{\text{d}}{p}{'} + \frac{{\partial f}}{{\partial q'}}{\text{d}}q' + \frac{{\partial f}}{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}\frac{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}{{\partial s}}{\text{d}}s}}{{\frac{{\partial f}}{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}\frac{{\partial {{{p}}_{\text{y}}^\prime}}}{{\partial {p_{0{\text{y}}}}}}{p_{0{\text{y}}}}\frac{{1 + e}}{{\lambda (0) - \kappa }}\frac{{\partial f}}{{\partial {p}{'}}}}} 。 $$ (33) 从式（29）~（33）可以计算出由“平均骨架应力”增加或吸力s减小引起的应变增量，同时用式（19）或式（20）可算出饱和度的变化量。
由于本模型是建立在弹塑性理论框架下，因此，变形由弹性和塑性两部分构成，弹性变形按广义虎克定理计算。假定泊松比为1/3，弹性模量可按下式计算：
$$ E = \frac{{{p}{'}(1 + e)}}{\kappa } 。 $$ (34) 上述模型主要适用于预测各向等应力和三轴压缩应力状态下非饱和土的持水与力学性状。可应用变换应力方法[28-29]等把本构模型进一步推广到可统一描述三维应力状态下持水与力学性状耦合的弹塑性模型，其模型参数不需要增加，即共8个：$ \lambda (0) $，$ \kappa $，$ {\lambda _{\text{s}}} $，$ {{p}_{\text{n}}^\prime} $，$ M $，$ {\lambda _{{\text{se}}}} $，$ {\lambda _{{\text{sr}}}} $，$ {\kappa _{\text{s}}} $。详见参考文献[24，25]。
（5）持水和力学特性耦合模型的验证
笔者等曾用2.2节介绍的非饱和土三轴仪对一种粉质黏土(珍珠土）进行了大量的低吸力控制或量测试验研究[11, 14, 22-25, 30]。试样采用非饱和压实珍珠土，初始含水率约为26 %。试验包括控制净应力和控制或量测吸力的等向压缩试验和三轴压缩试验。这些试验结果用于验证非饱和土的持水和力学性状耦合的本构模型。压实珍珠土的本构模型参数如下：$\lambda (0) = 0.11$，$\kappa = 0.03$，${\lambda _{\text{s}}} = 0.13$，${{p}_{\text{n}}^\prime} = 1.62$ MPa，$M = 1.1$，${\lambda _{{\text{se}}}} = 0.35$，${\lambda _{{\text{sr}}}} = 0.13$，${\kappa _{\text{s}}} = 0.03$。
图 33为等向应力状态下非饱和珍珠土的压缩试验、湿化试验结果与模型预测结果。图 33（a）为应力路径图，点A表示压实试样的初始状态（初始吸力95 kPa左右）。进行模型预测时，除上述本构模型参数外，还需要初始状态值（包括初始吸力s0、饱和状态的初始屈服应力$ {p_{{\text{0y}}}} $、初始孔隙比e0和初始饱和度Sr0）。图 33中的预测使用了s0 =120 kPa，$ {p_{{\text{0y}}}} $ =15 kPa，e0 =1.38，Sr0 = 51%。由图 33可知，模型可较好地预测等向应力状态下脱湿（BC）、压缩（CE）和湿化（EF）过程中的变形和持水特性。从图 33（b）的左下图可以看到，常吸力（s = 147 kPa）等向压缩加载（路径CDE）时，即使吸力不变，饱和度随应力（变形）发展而增大，耦合模型能正确地模拟非饱和土的变形和饱和度耦合特性，而BBM等非饱和土弹塑性模型（非耦合模型）则不能模拟此特性。
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图 33 等向应力下压缩和湿化试验结果与模型预测结果[24]Figure 33. Isotropic compression and wetting tests and model predictions图 34为常吸力条件下三轴剪切试验结果与模型预测结果。三轴剪切时平均净应力p=196 kPa和吸力s =147 kPa。图中$ {\sigma _1}/{\sigma _3} $是轴向净应力与侧向净应力比。模型不仅能预测常吸力条件下非饱和土的应力应变关系，而且能预测常吸力下饱和度随着剪切过程而发生的变化。即使常吸力条件下，试验结果和模型预测都显示饱和度随三轴剪切而增大。但采用式（17）持水曲线的BBM等非耦合本构模型就不能预测在常吸力下饱和度随着剪切而发生变化的性状。
图 35给出了初始孔隙比e0=1.41非饱和压实珍珠土的三轴剪切和湿化试验结果和本模型预测结果。试验时的应力路径有：三轴剪切试验（路径DE）时常吸力（s =147 kPa）和等平均净应力（p = 196 kPa）条件下剪切至主净应力比（$ {\sigma _1}/{\sigma _3} $=1.5），然后在径向和轴向净应力不变条件下分步减少吸力（从147→0 kPa，路径EF），最后在平均有效应力一定（p =196 kPa）条件下三轴剪切饱和土至破坏（路径FJ）。由图 35可见，模型不仅可预测饱和/非饱和土的应力应变关系和吸力与变形关系，而且还可同时预测持水特性（即饱和度随吸力变化的特性）。
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图 35 三轴剪切与湿化试验结果和模型预测结果[22]Figure 35. Triaxial shear tests including wetting and model predictions饱和度对非饱和土应力应变关系有直接影响，图 25中的圆和三角形、实线和虚线分别表示两个不同初始饱和度试样的实测数据和模型预测，实测与预测结果基本一致，即对相同孔隙比而不同饱和度试样进行沿相同应力和吸力路径加载，饱和度高的试样应力应变曲线要高。这说明耦合模型描述的应力应变关系和强度不仅与吸力有关，而且与饱和度也有直接关系。
如式（6）所示，饱和土的本构模型是用有效应力与应变关系表示的。对于不排水加载下饱和土体的力学性状描述，只要加上体积应变为零的条件，就可预测有效应力路径及其应力应变关系。对于非饱和土在不排水加载条件下的持水和力学特性预测，只要在耦合本构模型中加入不排水条件，即加载/卸载过程中含水率保持不变，就可以预测加载过程中吸力变化和应力应变关系。图 36给出在不排水条件下压实珍珠土样的各向等应力压缩试验结果与模型预测，压缩过程中试样孔隙比变小，含水率不变条件下饱和度升高，因此吸力下降。图 37给出了压实珍珠土样在净围压$ {\sigma _3} = $ $ 100{\text{ kPa}} $下不排水三轴剪切试验结果与模型预测，耦合模型较好地预测了不排水三轴剪切时的应力应变关系和吸力随剪切的变化。
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图 36 不排水条件下各向等应力压缩试验结果与模型预测[31]Figure 36. Undrained isotropic compression tests and model predictions![]()
图 37 不排水三轴剪切试验结果与模型预测[31]Figure 37. Undrained triaxial shear tests and model predictions从以上试验结果与模型预测的比较可知，用弹塑性方法建立的耦合模型可较好地描述非饱和土的持水和力学特性以及两者耦合关系。克服了BBM等非耦合模型在常吸力下不能描述饱和度的变化和不能直接考虑饱和度对非饱和土应力应变关系的影响以及不排水条件下非饱和土的持水和力学性状。
4. 高吸力下测试技术、持水和力学特性
在干旱或半干旱地区，地表土体的吸力可以达到几兆帕甚至几十兆帕，如中国西北地区一年中的大部分时间都处于空气相对湿度低的环境，即地表土体长期处于高吸力的非饱和状态。另外作为高放射性核废物深地质处置库中的缓冲材料膨润土含水率也很低，其吸力很大。因此，用非饱和土力学理论对低含水率土体的持水和力学特性进行研究具有重要理论和实际意义。
高吸力范围内土体的持水特性测试方法相对比较成熟，主要测试土体湿度或施加湿度。常用的高吸力测试方法有滤纸法和WP4露点水势仪等，而对土样施加高吸力可用不同种类饱和盐溶液或不同浓度盐溶液产生的相对湿度以及湿度调节器产生的相对湿度。
根据非饱和土力学理论，进行非饱和土的力学试验（如三轴试验、压缩试验）时，也希望控制或量测试样的吸力。高吸力时一般通过控制相对湿度来控制试样吸力，但气相平衡法直接用于三轴试验，即使粉质细砂剪切试验也需几周[32]，试验时间极长。因此，需要开发能控制高吸力的实用力学试验方法。下面介绍笔者课题组开发的高吸力三轴试验方法[5-8]。
图 38给出了用压力板法和饱和盐溶液蒸汽平衡法联合测得的3种孔隙比压实珍珠土在广吸力范围的持水曲线。用饱和度与吸力关系整理持水特性时（图 38（a）），持水曲线随孔隙比的增大而向左下移动。用含水率与吸力关系整理时（图 38（b）），在低吸力范围孔隙比大的持水曲线在上方；而在中高吸力范围不同孔隙比试样的持水曲线几乎一致，即在某一吸力（约250 kPa）以上范围含水率与吸力关系与孔隙比无关。其原因可用图 39所示的压汞试验结果给出微观解释。压实珍珠土具有双峰孔径分布的孔隙结构，不同孔隙比试样在孔径0.01~1 μm的孔径分布几乎一样，而孔径在1~100 μm的孔径分布存在差异；根据Yong-Laplace方程，直径1 μm圆柱形孔的进气值约为250 kPa左右，因小于1 μm的孔径分布不受孔隙比的影响，故吸力大于250 kPa的持水曲线也不受孔隙比的影响。
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图 39 压实珍珠土的孔径与孔径分布密度关系曲线[6]Figure 39. Relationship between pore-diameter and density of pore-size distribution of compacted pearl clay图 40也给出了用压力板法和饱和盐溶液蒸汽平衡法联合测得的3种不同干密度压实南阳膨胀土在广吸力范围内的持水曲线。与图 38所示的持水特性类似，用含水率与吸力关系表述持水特性时，当吸力大于某一值（压实南阳膨胀土，约300 kPa）时，不同干密度的实测含水率与吸力关系曲线几乎一致。
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图 40 压实南阳膨胀土的持水曲线[7]Figure 40. Water-retention curves of compacted Nanyang expansive soil根据图 38，40的试验结果可知，对于同一种土，低吸力范围内无论饱和度与吸力的关系还是含水率与吸力的关系都与孔隙比或干密度有关，而高吸力范围内不同孔隙比试样的含水率与吸力之间存在唯一的关系。非饱和土的力学试验（如三轴试验和压缩试验）过程中，试样会产生变形，如因剪胀而使试样的干密度或孔隙比发生变化，但根据图 38，40得到的结论，在高吸力范围只要试样含水率不变，其吸力不发生变化，即可以通过控制试样含水率不变使其吸力不发生变化。因此，高吸力范围内等含水率（不排水）三轴试验可当作等吸力三轴试验。
高吸力下控制吸力非饱和土三轴试验的具体步骤可总结如下：①制作三轴试样，按吸力值要求将试样放入底部装有对应饱和盐溶液的玻璃干燥器上部，进行吸力平衡。②待吸力平衡后取出试样，安装在能测量试样体积的三轴仪上，安装要注意避免试样吸水或排水，在试样底座表面贴上防水渗透的橡皮膜，试样帽与试样上端面的接触面贴上具有透气不透水功能的聚四氟乙烯布滤膜。③对试样进行不排水压缩和三轴剪切试验，试验结束后称重试样，检查试样重量在试验前后有否变化，只有试样重量几乎不变本试验方法才有效。
用上述可控制高吸力的试验方法和轴平移技术控制低吸力方法分别对4种不同种类土样进行广吸力范围内的三轴剪切试验。4种土样的塑性指数$ I_{\text{P}}^{} $和级配累积曲线如图 41所示。
图 42给出了广吸力范围内由吸力控制三轴剪切试验测得的压实粉土应力应变关系，剪切时的吸力包括低吸力（30，100，450 kPa）和高吸力（3.29，7.48，21.8，38 MPa）。初始孔隙比0.74的非饱和粉土试样均呈应变软化特性，不同吸力下初始刚度基本一致。
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图 42 广吸力范围内压实粉土的应力应变关系（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=100 kPa）Figure 42. Stress-strain curves of compacted silt over a wide suction range图 43给出了根据图 42的数据整理得到的广吸力范围内压实粉土的峰值和残余强度随吸力的变化。相同净围压下，饱和土的峰值或残余强度最小，比接近干燥土的强度还要小。低吸力范围内强度随吸力而增大，较高吸力范围随吸力增大峰值强度减小，而残余强度基本不变。
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图 43 广吸力范围压实粉土的峰值和残余强度（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=100 kPa）Figure 43. Peak and residual strengths of compacted silt over a wide suction range图 44给出了广吸力范围内吸力控制三轴剪切试验测得的压实粉质黏土（珍珠土）的应力应变关系。剪切时的吸力包括低吸力（150，250，450 kPa）和高吸力（3.29，7.48，21.8，38，149.5 MPa）。高吸力时的压实粉质黏土初始刚度明显大于低吸力的刚度，低吸力范围应力应变曲线随吸力而上升，而高吸力范围则不明显。
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图 44 广吸力范围压实粉质黏土应力应变关系($ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=200 kPa）[6]Figure 44. Stress-strain curves of compacted silty clay over a wide suction range图 45给出了广吸力范围内3种不同孔隙比压实粉质黏土的峰值强度随吸力的变化。从图 45可以看出，总的趋势是低吸力范围随吸力增大强度变大，至某一吸力后有所减小，较高吸力范围内强度随吸力基本不变，此现象随孔隙比减小而更明显。
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图 45 广吸力范围不同孔隙比压实粉质黏土的峰值强度（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=200 kPa）[6]Figure 45. Peak strengths of compacted pearl clay specimens with different void ratios over a wide suction range图 46给出了广吸力范围内吸力控制三轴剪切试验测得的初始干密度1.25 g/cm3压实南阳膨胀土的应力应变关系。剪切时吸力包括低吸力（0，200，400，800 kPa）和高吸力（3.29，38，367 MPa）。由图 46可以看出，高吸力时压实膨胀土的初始刚度明显大于低吸力的刚度，而本试样的干密度相对较小，在低吸力和不是很高吸力（3.29 MPa）剪切时呈应变硬化，而在高吸力剪切时存在峰值，即有剪切软化现象，而且吸力越高，剪切软化脆性现象越明显。
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图 46 广吸力范围压实南阳膨胀土的应力应变关系（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $ =100 kPa）[7]Figure 46. Stress-strain curves of Nanyang expansive soils over a wide suction range图 47给出了广吸力范围内3种不同孔隙比压实南阳膨胀土的峰值强度随吸力的变化。从图 47可以看出，广吸力范围内随吸力增大强度持续增大，高吸力时强度增大量非常大，此现象随干密度的增大而更明显。因此干燥南阳膨胀土本身强度是非常高的。
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图 47 广吸力范围不同孔隙比压实南阳膨胀土的峰值强度（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=100 kPa）[7]Figure 47. Peak strengths of compacted Nanyang expansive soil specimens with different dry densities over a wide suction range图 48表示广吸力范围内吸力控制三轴剪切试验测得的干密度1.42 g/cm3原状黄土的应力应变关系。剪切时的吸力包括低吸力（0，100，250，400，1200 kPa）和高吸力（3.29，38，367 MPa）。原状黄土的天然含水率为17%。由图 48可以看出，高吸力原状黄土的初始刚度随吸力而明显增大，低吸力剪切时呈应变硬化，而高吸力剪切时呈剪切硬软化现象。
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图 48 广吸力范围原状黄土的应力应变关系($ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=100 kPa)[33]Figure 48. Stress-strain curves of undisturbed loess over a wide suction range图 49给出了广吸力范围内不同净围压下原状黄土的峰值强度随吸力的变化趋势。从图 49可以看出，广吸力范围内随吸力增大峰值强度增大，高吸力时强度增大量非常大。
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图 49 广吸力范围内原状黄土的峰值强度[33]Figure 49. Peak strengths of undisturbed loess over a wide suction range图 50总结以上4种土和文献报道的试验结果。广吸力范围内随吸力变化趋势可分为以下三类：①对于砂、砂质粉土和粉土等，随着吸力增加，非饱和部分强度先增加，自某一吸力开始，非饱和部分强度随吸力增大而明显下降至某一常数或零；②对于黏质粉土、粉质黏土等，非饱和部分强度先增加，自某一吸力起强度有一些下降，随后稳定在某一数值；③对于黏土、膨胀土、原状黄土等，非饱和部分强度全吸力范围内随吸力一直增加。
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图 50 广吸力范围内各种土强度随吸力的变化趋势Figure 50. Variation in strength of unsaturated soils with suction over a wide suction range5. 广吸力下非饱和土强度预测
土体强度是土的重要力学特性参数，与地基承载力、侧向土压力和土边坡稳定等都有着密切的关系。若要通过试验获取广吸力范围内非饱和土的强度特性既耗时又困难。因此，广吸力范围内非饱和土强度预测的研究是非饱和土力学中重要课题。
在过去几十年里，各种非饱和土强度预测公式的验证一般采用低吸力范围内（0~500 kPa）的强度试验数据，如Fredlund等[34]、Chaney等[35]和Khalili等[36]。这些强度预测公式在高吸力范围内的预测效果不佳，过渡区的后半段和残余区的强度会被明显超估。表 2汇总结了常见的非饱和土强度计算公式。对于表 2中的强度公式按参数的确定方法可分成两类：预测型和拟合型，其主要差异在于后者的参数值需要根据实测的非饱和土强度反算确定，而预测型则根据饱和土强度指标和持水特性等确定参数值。下面用笔者课题组获得的广吸力范围内两种土（南阳膨胀土和粉质黏土）的试验结果，讨论各计算公式的适用性。
表 2 常用的非饱和土强度计算公式Table 2. Common equations for calculating strength of unsaturated soils类型 编号 文献来源 非饱和强度增强项τus 预测型 a Bishop等[37] $ s{S_{\text{r}}}\tan \varphi ' $ b Vanapalli等[38] $ s\frac{{{S_{\text{r}}} - {S_{{\text{re}}}}}}{{1 - {S_{{\text{re}}}}}}\tan \varphi ' $, Sre为残余吸力 c Khalili等[36] $ s{\left( {\frac{s}{{{s_{\text{a}}}}}} \right)^{ - 0.55}}\tan \varphi ' $, $ {s_{\text{a}}} $为进气值 d Tekinsoy等[39] $ ({s_{\text{a}}} + {p_{\text{a}}})\ln \left( {\frac{{s + {p_{\text{a}}}}}{{{p_{\text{a}}}}}} \right)\tan \varphi ' $, $ {p_{\text{a}}} $为标准大气压力 e Konrad等[40] $ s{S_{{\text{rc}}}}\tan \varphi ' $
$ {S_{{\text{rc}}}} = 1 - {(1 - {e^{ - {\mathit{\Lambda}} s}})^\alpha }, s > {s_{\text{a}}};{S_{{\text{ra}}}} = {S_{{\text{r}}0}}\left[ {1 - \frac{{\ln (s)}}{{\ln ({s_{\text{d}}})}}} \right] $
Λ，α和Sr0为持水曲线拟合参数f Zhou等[41] $ s{S_{{\text{rc}}}}\tan \varphi ' $
$ {S}_{\text{rc}}=\frac{C(s)-\alpha C(s)A(s)}{1-\alpha C(s)A(s)}，A(s)\text{=}1-\frac{\mathrm{ln}s}{\mathrm{ln}{s}_{\text{d}}}，C(s)\text{=}\frac{1}{2}\text{erfc}\left[\frac{\mathrm{ln}(s/{s}_{\text{m}})}{\sqrt{2}\xi }\right] $
ξ，sm和$ \alpha $为持水曲线拟合参数，$ {s_{\text{d}}} $为最大吸力值g Zhang等[42] $ {\sigma ^{\text{s}}}\tan \varphi ' $，$ {\sigma }^{\text{s}}={\sigma }_{\text{ads}}^{\text{s}}+{\sigma }_{\text{cap}}^{\text{s}}，{\sigma }_{\text{ads}}^{\text{s}}={f}_{\text{ads}}({S}_{\text{r}}){\sigma }_{\text{dry}}^{\text{s}}， $
$ \sigma _{{\text{cap}}}^{\text{s}} = - \frac{{{f_{{\text{cap}}}}({S_{\text{r}}})}}{{{\alpha ^{{\text{ss}}}}}}{S_{\text{r}}}{\left[ {{{({S_{\text{r}}})}^{{n^{{\text{ss}}}}/(1 - {n^{{\text{ss}}}})}} - 1} \right]^{1/{n^{{\text{ss}}}}}} $
$ \sigma _{{\text{dry}}}^{\text{s}} $为非饱和土最干状态时的吸应力；$ \beta $为反映吸附强度的参数；$ {f_{{\text{ads}}}}({S_{\text{r}}}) $和$ {f_{{\text{cap}}}}({S_{\text{r}}}) $分别为毛细和吸附的修正函数；$ {\alpha ^{ss}}, {n^{{\text{ss}}}} $为与毛细吸应力相关的拟合参数拟合型 h Vanapalli等[38] $ sS_{\text{r}}^k\tan \varphi ' $，k为拟合参数 i Alonso等[43] $ s\left\{ {\frac{{{S_{\text{r}}} - {S_{{\text{rm}}}}}}{{1 - {S_{{\text{rm}}}}}}{\text{ + }}\frac{1}{\eta }\ln [1 + \exp ( - \eta \frac{{{S_{\text{r}}} - {S_{{\text{rm}}}}}}{{1 - {S_{{\text{rm}}}}}})]} \right\}\tan \varphi ' $，η和Srm为拟合参数 j Rohm等[44]、
沈珠江[45]、
Sun等[30]单一参数的双曲线模型1：$ \frac{s}{{1{\text{ + }}\alpha s}}\tan \varphi ' $，$ \alpha $为拟合参数 k 缪林昌等[46] 单一参数的双曲线模型2：$ \frac{s}{{a + s(a - 1)/{p_{\text{a}}}}} $，a为拟合参数 l Jiang等[47]、
Vilar[48]双参数的双曲线模型：$ \frac{s}{{a + bs}}\tan \varphi ' $，a和b为拟合参数 注：s为吸力，单位kPa，Sr为饱和度，$ \varphi ' $为有效内摩擦角。 图 51给出了初始干密度1.5 g/cm3压实南阳膨胀土持水曲线与强度的实测[7]与预测或拟合结果。持水曲线拟合采用FX公式[20]，见图 51（a）。图 51（b），（c）给出利用表 2中强度公式对广吸力范围内膨胀土的强度（增长型）的预测结果。表 3给出南阳膨胀土的不同强度计算公式参数的取值。
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表 3 压实南阳膨胀土抗剪强度预测的参数Table 3. Values of parameters for calculating strength of compacted Nanyang expansive soils类型 编号 文献来源 参数 预测型 a Bishop等[37] a=67.5 kPa，m=0.47，n=0.91，
Sre=15%b Vanapalli等[38] a=67.5 kPa，m=0.47，n=0.91 c Khalili等[36] sa=30 kPa d Tekinsoy等[39] sa=30 kPa e Konrad等[40] Sr0=75%，Λ=0.0002，α=0.3，
$ {s_{\text{d}}} $=106 kPaf Zhou等[41] $ \alpha $=0.6，ξ=2.5，$ {s_{\text{m}}} $=900，$ {s_{\text{d}}} $=106 kPa g Zhang等[42] $ {S_{{\text{a}}\max }} = 18\% , \sigma _{{\text{dry}}}^{\text{s}} = 3600{\text{ kPa}}, {\text{ }}\beta {\text{ = 2}}, $
$ {\alpha ^{ss}} = 0.01, {\text{ }}{n^{{\text{ss}}}} = 1.35 $拟合型 h Vanapalli等[38] a=67.5 kPa，m=0.47，n=0.91，
k=1.75i Alonso等[43] a=67.5 kPa，m=0.47，n=0.91，
η=30，Srm=16%j Rohm等[44]、
沈珠江[45]、
Sun等[30]$ \alpha $=0.0003 kPa-1 k 缪林昌等[46] a=1.018 l Jiang等[47]、
Vilar[48]a=3.0，b=0.00027 kPa-1 （1）预测型公式：公式a（Bishop等[37]）可以预测广吸力范围内非饱和土的强度特性（图 51（b）中实线a），但是在过渡区后半段会出现明显的强度超估现象，此外在最干状态时，土体饱和度为零，非饱和强度增强项的预测值为零，这明显低估实测值。公式b（Vanapalli等[38]）利用有效饱和度替代有效应力参数χ，此类非饱和强度预测公式在高吸力范围内是不适用的，即当吸力值大于等于残余吸力值时，预测公式中的非饱和强度增强项为零，见图 51（b）中的实线b。从强度预测公式c（Khalili等[36]）和公式d（Tekinsoy等[39]）可以看出，两方程均为单调递增函数，故其预测方程无法准确模拟广吸力范围内膨胀土的强度特性（见图 52（b）），强度预测值受进气值影响较大。公式e（Konrad等[40]）和公式f（Zhou等[41]）均利用毛细饱和度代替有效应力参数χ，在低吸力范围内（吸力小于1.5 MPa）可以很好地预测压实南阳膨胀土强度的实测值，但是在过渡区后半段和残余区的强度预测出现明显的强度低估现象。公式g（Zhang等[42]）可以较好地预测广吸力范围内膨胀土增长型的强度特性，但需要通过试验确定的参数较多且较难准确获取，如非饱和土最干状态时的吸应力值$ \sigma _{{\text{dry}}}^{\text{s}} $和吸附强度的参数β。
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（2）拟合型公式：公式h（Vanapalli等[38]）和公式i（Alonso等[43]）在高吸力部分的预测结果与试验结果明显偏低。公式j（Rohm等[44]、沈珠江[45]、孙德安等[30]）是假定非饱和强度增强项随吸力呈双曲线型变化和从饱和过度到非饱和时该曲线呈连续光滑[30]（即图 50的线性区与非线性区过渡处强度增长曲线光滑、其切线倾角为$ \varphi ' $），据此得到单参数型的双曲线函数，可以拟合特定形式下的增长型强度值，但中低吸力范围预测值明显偏高。公式k（缪林昌等[46]）预测效果与公式j的效果差不多，但其在低吸力范围的预测值还是明显偏高；Jiang等[47]、Vilar[48]为双参数型的双曲线（公式l），因比公式j和k的单参数型双曲线的参数增加一个，拟合性增强，可以较好地拟合广吸力范围内非饱和压实南阳膨胀土增长型的强度。
图 52表示广吸力范围初始孔隙比为1.0压实珍珠土（粉质黏土）的持水曲线与强度的实测[6]与预测或拟合结果。持水曲线的拟合也采用FX公式[20]，见图 52（a）。图 52（b），（c）表示利用表 2中的预测型和拟合型强度公式对广吸力范围内压实珍珠土的强度（稳定型）进行计算。表 4给出初始孔隙比为1.0压实珍珠土的不同强度计算公式参数的取值。
表 4 压实珍珠黏土抗剪强度预测的参数Table 4. Values of parameters for calculating strength of unsaturated compacted pearl clay类型 编号 文献来源 参数 预测型 a Bishop等[37] a=247 kPa，m=1.77，n=1.1，Sre=7% b Vanapalli等[38] a=247 kPa，m=1.77，n=1.1 c Khalili等[36] sa=57 kPa d Tekinsoy等[39] sa=57 kPa e Konrad等[40] Sr0=20%, Λ=0.0015, α=0.75, sd=106 f Zhou等[41] α=0.15，ξ=1.4，sm=325，sd=106 g Zhang等[42] $ \begin{array}{l}{S}_{\text{ra}\mathrm{max}}=7\%，{\sigma }_{\text{dry}}^{\text{s}}=140\text{kPa}，\beta \text{=4}\\ {\alpha }^{\text{ss}}=0.007，{n}^{\text{ss}}=1.85\end{array} $ 拟合型 h Vanapalli等[38] a=247 kPa，m=1.77，n=1.1，k=1.45 i Alonso等[43] a=247 kPa，m=1.77，n=1.1，η=80，Srm=9% j Rohm等[44]、
沈珠江[45]、
Sun等[30]α=0.006 kPa-1 k 缪林昌等[46] a=1.37 l Jiang等[47]、
Vilar[48]a=0.4，b=0.006 kPa-1 （1）预测型公式：低吸范围内公式a（Bishop等[37]）的预测效果较好，但是在过渡区后半段会出现明显的超估现象，此外在最干状态时，因饱和度为零，非饱和强度增强项的预测值为零（图 52（b）中实线a）。当吸力值大于等于残余饱和度对应的吸力值时，公式b（Vanapalli等[38]）预测的非饱和强度增强项为零，此预测公式在高吸力范围内是不适用的，见图 52（b）中的实线b。从强度预测公式c（Khalili等[36]）和公式d（Tekinsoy等[39]）可以看出，两个方程均为单调递增函数，无法准确预测广吸力范围内稳定型的强度数据。在低吸力范围内（吸力小于1.5 MPa）公式e（Konrad等[40]）和公式f（Zhou等[41]）可以很好地预测粉质黏土的强度实测值，但是在过渡区后半段和残余区的强度预测出现明显的低估现象。公式g（Zhang等[42]）可以较好地预测广吸力范围内压实粉质黏土的强度趋势。
（2）拟合型公式：整体上公式h（Vanapalli等[38]）在高吸力部分的预测结果比试验结果明显偏低。在低吸力范围内公式i（Alonso等[43]）可以很好地预测粉质黏土的强度实测值，但是在高吸力下的强度预测出现明显的低估现象。公式j（Rohm等[44]、沈珠江[45]、孙德安等[30]）、k（缪林昌等[46]）和l（Jiang等[47]，Vilar[48]）均为双曲线函数，其强度预测值会随着吸力的增大而增大，无法准确预测广吸力范围内稳定型的强度特性（即强度先增加，自某一吸力，强度有一些下降至某一常数）。
6. 结论
（1）低吸力阶段非饱和土的持水和力学特性试验成功与否关键在于陶土板的正确认识和使用以及试样体积或水量的正确量测。
（2）应力状态和应力历史不是影响非饱和土持水特性的直接因素，而是通过孔隙状态影响的间接因素，故持水曲线的数学模型中不需要出现应力或应力历史量，只需孔隙的状态量，如孔隙比。
（3）非饱和土的水与力耦合特性主要表现在变形对持水特性和饱和度对力学特性的影响，可用耦合型弹塑性模型描述。耦合型本构模型除了可从已知净应力和吸力预测应变和饱和度外，还可以预测不排水条件下非饱和土的持水和力学性状。
（4）广吸力范围内当吸力大于某一值时不同干密度试样的含水率与吸力关系曲线基本一致，即含水率与吸力关系的持水曲线具有唯一性，据此持水特性可开发高吸力范围内常吸力的力学试验方法，如常含水率三轴试验即为常吸力三轴试验。
（5）全吸力范围内非饱和土强度随吸力变化趋势有峰值型、稳定型和增长型：无黏性土或少黏性土呈峰值型，粉质黏性土或黏质粉土呈稳定型，黏性土或胶结土大多呈增长型。
致谢: 感谢《岩土工程学报》编委会同行专家的信任，让我有幸成为今年黄文熙讲座的主讲人。文中的成果主要来自笔者与松岗元教授、姚仰平教授、盛岱超教授、徐永福教授、李洁教授和刘志彬副教授等以及笔者指导过的研究生崔红斌、张俊然、高游、牛庚、张舟、李旭昶和徐钱垒等的共同研究，在此表示衷心感谢。 -
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图 1 全吸力范围内上海黏土的持水曲线[1]
Figure 1. Water retention curve of Shanghai clay over a wide suction range
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图 4 吸力可控的非饱和土压缩仪[9]
Figure 4. Compression apparatus with suction-control for unsaturated soils
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图 6 进气值1500 kPa陶土板的析出气体标定[9]
Figure 6. Air diffusions of ceramic disc with entry value of 1500 kPa
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图 7 不同吸力下马里兰膨胀土的压缩曲线[10]
Figure 7. Compression curves of expansive soils at different suctions
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图 8 非饱和土三轴仪的底座与陶土板
Figure 8. Pedestal and ceramic disc of triaxial apparatus for unsaturated soils
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图 9 吸力可控可测非饱和土三轴仪[11]
Figure 9. Suction-controllable and measurable triaxial apparatus for unsaturated soils
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图 11 用体变管和三匝金属环测试样体积的三轴试验结果[11]
Figure 11. Triaxial test results from specimen volume measured by burette and three meters
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图 12 吸力控制和测量三轴试验的应力路径
Figure 12. Stress paths of suction-controlled/measured triaxial tests
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图 13 含不同应力比下湿化的三轴试验[11]
Figure 13. Triaxial tests with wetting at different stress ratios
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图 14 含不同净应力下湿化的等向压缩试验[14]
Figure 14. Isotropic compression tests with wetting at different net stresses
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图 17 湿化过程中试样的体变、含水率和饱和度[14]
Figure 17. Variation in volumetric strain, water content and degree of saturation during wetting
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图 21 用吸力可控三轴和真三轴仪进行的三轴压缩试验结果[17]
Figure 21. Results of suction-controllable triaxial and true triaxial tests
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图 22 p=98 kPa和s=59 kPa下的真三轴试验[17]
Figure 22. True triaxial tests along different stress paths (p=98 kPa and s=59 kPa)
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图 23 π面上非饱和土强度和扩展SMP准则的预测[16]
Figure 23. Strengths of unsaturated soils in π-plane and their prediction
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图 24 各向等压净应力20 kPa作用下吸力控制的干湿循环试验
Figure 24. Suction-controlled drying-wetting tests at isotropic net stress of 20 kPa
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图 25 不同初始含水率试样的三轴剪切试验(p=196 kPa，s=98 kPa)
Figure 25. Triaxial shear tests on unsaturated soil specimens with different water contents
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图 26 相同干密度而不同应力状态下持水曲线[14]
Figure 26. Water-retention curves of specimens with same dry density under different stress states
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图 28 等向压缩及三轴剪切试验得到的饱和度与孔隙比关系(s =147 kPa)[24]
Figure 28. Void ratio versus degree of saturation during isotropic loading and triaxial tests under suction of 147 kPa
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图 29 不同孔隙比下的持水曲线模型
Figure 29. Modelling of water-retention curve at different void ratios
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图 30 各向等压应力状态下的LC、SI、SD屈服线
Figure 30. Yield curves of LC, SI and SD under isotropic stress state
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图 32 $ {p}{'} $-$ q' $-$ s $空间屈服面
Figure 32. Yield surfaces in $ {p}{'} $-$ q' $-$ s $space
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图 33 等向应力下压缩和湿化试验结果与模型预测结果[24]
Figure 33. Isotropic compression and wetting tests and model predictions
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图 35 三轴剪切与湿化试验结果和模型预测结果[22]
Figure 35. Triaxial shear tests including wetting and model predictions
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图 36 不排水条件下各向等应力压缩试验结果与模型预测[31]
Figure 36. Undrained isotropic compression tests and model predictions
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图 37 不排水三轴剪切试验结果与模型预测[31]
Figure 37. Undrained triaxial shear tests and model predictions
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图 39 压实珍珠土的孔径与孔径分布密度关系曲线[6]
Figure 39. Relationship between pore-diameter and density of pore-size distribution of compacted pearl clay
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图 40 压实南阳膨胀土的持水曲线[7]
Figure 40. Water-retention curves of compacted Nanyang expansive soil
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图 42 广吸力范围内压实粉土的应力应变关系（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=100 kPa）
Figure 42. Stress-strain curves of compacted silt over a wide suction range
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图 43 广吸力范围压实粉土的峰值和残余强度（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=100 kPa）
Figure 43. Peak and residual strengths of compacted silt over a wide suction range
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图 44 广吸力范围压实粉质黏土应力应变关系($ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=200 kPa）[6]
Figure 44. Stress-strain curves of compacted silty clay over a wide suction range
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图 45 广吸力范围不同孔隙比压实粉质黏土的峰值强度（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=200 kPa）[6]
Figure 45. Peak strengths of compacted pearl clay specimens with different void ratios over a wide suction range
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图 46 广吸力范围压实南阳膨胀土的应力应变关系（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $ =100 kPa）[7]
Figure 46. Stress-strain curves of Nanyang expansive soils over a wide suction range
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图 47 广吸力范围不同孔隙比压实南阳膨胀土的峰值强度（$ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=100 kPa）[7]
Figure 47. Peak strengths of compacted Nanyang expansive soil specimens with different dry densities over a wide suction range
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图 48 广吸力范围原状黄土的应力应变关系($ {\sigma _{{\text{3n}}}} $=100 kPa)[33]
Figure 48. Stress-strain curves of undisturbed loess over a wide suction range
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图 49 广吸力范围内原状黄土的峰值强度[33]
Figure 49. Peak strengths of undisturbed loess over a wide suction range
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图 50 广吸力范围内各种土强度随吸力的变化趋势
Figure 50. Variation in strength of unsaturated soils with suction over a wide suction range
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表 1 陶土板的物理特性
Table 1 Physical propertie of ceramic disc
进气值/kPa 孔隙管直径/μm 饱和渗水系数/(cm·s-1) 孔隙率/% 50 6.0 3.11×10-5 50 100(高流量) 2.5 8.60×10-6 45 100(标准流量) 2.1 3.46×10-7 34 200 1.2 1.73×10-7 38 300 0.8 1.70×10-7 34 500 0.5 1.21×10-7 31 
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表 2 常用的非饱和土强度计算公式
Table 2 Common equations for calculating strength of unsaturated soils
类型 编号 文献来源 非饱和强度增强项τus 预测型 a Bishop等[37] $ s{S_{\text{r}}}\tan \varphi ' $ b Vanapalli等[38] $ s\frac{{{S_{\text{r}}} - {S_{{\text{re}}}}}}{{1 - {S_{{\text{re}}}}}}\tan \varphi ' $, Sre为残余吸力 c Khalili等[36] $ s{\left( {\frac{s}{{{s_{\text{a}}}}}} \right)^{ - 0.55}}\tan \varphi ' $, $ {s_{\text{a}}} $为进气值 d Tekinsoy等[39] $ ({s_{\text{a}}} + {p_{\text{a}}})\ln \left( {\frac{{s + {p_{\text{a}}}}}{{{p_{\text{a}}}}}} \right)\tan \varphi ' $, $ {p_{\text{a}}} $为标准大气压力 e Konrad等[40] $ s{S_{{\text{rc}}}}\tan \varphi ' $
$ {S_{{\text{rc}}}} = 1 - {(1 - {e^{ - {\mathit{\Lambda}} s}})^\alpha }, s > {s_{\text{a}}};{S_{{\text{ra}}}} = {S_{{\text{r}}0}}\left[ {1 - \frac{{\ln (s)}}{{\ln ({s_{\text{d}}})}}} \right] $
Λ，α和Sr0为持水曲线拟合参数f Zhou等[41] $ s{S_{{\text{rc}}}}\tan \varphi ' $
$ {S}_{\text{rc}}=\frac{C(s)-\alpha C(s)A(s)}{1-\alpha C(s)A(s)}，A(s)\text{=}1-\frac{\mathrm{ln}s}{\mathrm{ln}{s}_{\text{d}}}，C(s)\text{=}\frac{1}{2}\text{erfc}\left[\frac{\mathrm{ln}(s/{s}_{\text{m}})}{\sqrt{2}\xi }\right] $
ξ，sm和$ \alpha $为持水曲线拟合参数，$ {s_{\text{d}}} $为最大吸力值g Zhang等[42] $ {\sigma ^{\text{s}}}\tan \varphi ' $，$ {\sigma }^{\text{s}}={\sigma }_{\text{ads}}^{\text{s}}+{\sigma }_{\text{cap}}^{\text{s}}，{\sigma }_{\text{ads}}^{\text{s}}={f}_{\text{ads}}({S}_{\text{r}}){\sigma }_{\text{dry}}^{\text{s}}， $
$ \sigma _{{\text{cap}}}^{\text{s}} = - \frac{{{f_{{\text{cap}}}}({S_{\text{r}}})}}{{{\alpha ^{{\text{ss}}}}}}{S_{\text{r}}}{\left[ {{{({S_{\text{r}}})}^{{n^{{\text{ss}}}}/(1 - {n^{{\text{ss}}}})}} - 1} \right]^{1/{n^{{\text{ss}}}}}} $
$ \sigma _{{\text{dry}}}^{\text{s}} $为非饱和土最干状态时的吸应力；$ \beta $为反映吸附强度的参数；$ {f_{{\text{ads}}}}({S_{\text{r}}}) $和$ {f_{{\text{cap}}}}({S_{\text{r}}}) $分别为毛细和吸附的修正函数；$ {\alpha ^{ss}}, {n^{{\text{ss}}}} $为与毛细吸应力相关的拟合参数拟合型 h Vanapalli等[38] $ sS_{\text{r}}^k\tan \varphi ' $，k为拟合参数 i Alonso等[43] $ s\left\{ {\frac{{{S_{\text{r}}} - {S_{{\text{rm}}}}}}{{1 - {S_{{\text{rm}}}}}}{\text{ + }}\frac{1}{\eta }\ln [1 + \exp ( - \eta \frac{{{S_{\text{r}}} - {S_{{\text{rm}}}}}}{{1 - {S_{{\text{rm}}}}}})]} \right\}\tan \varphi ' $，η和Srm为拟合参数 j Rohm等[44]、
沈珠江[45]、
Sun等[30]单一参数的双曲线模型1：$ \frac{s}{{1{\text{ + }}\alpha s}}\tan \varphi ' $，$ \alpha $为拟合参数 k 缪林昌等[46] 单一参数的双曲线模型2：$ \frac{s}{{a + s(a - 1)/{p_{\text{a}}}}} $，a为拟合参数 l Jiang等[47]、
Vilar[48]双参数的双曲线模型：$ \frac{s}{{a + bs}}\tan \varphi ' $，a和b为拟合参数 注：s为吸力，单位kPa，Sr为饱和度，$ \varphi ' $为有效内摩擦角。
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表 3 压实南阳膨胀土抗剪强度预测的参数
Table 3 Values of parameters for calculating strength of compacted Nanyang expansive soils
类型 编号 文献来源 参数 预测型 a Bishop等[37] a=67.5 kPa，m=0.47，n=0.91，
Sre=15%b Vanapalli等[38] a=67.5 kPa，m=0.47，n=0.91 c Khalili等[36] sa=30 kPa d Tekinsoy等[39] sa=30 kPa e Konrad等[40] Sr0=75%，Λ=0.0002，α=0.3，
$ {s_{\text{d}}} $=106 kPaf Zhou等[41] $ \alpha $=0.6，ξ=2.5，$ {s_{\text{m}}} $=900，$ {s_{\text{d}}} $=106 kPa g Zhang等[42] $ {S_{{\text{a}}\max }} = 18\% , \sigma _{{\text{dry}}}^{\text{s}} = 3600{\text{ kPa}}, {\text{ }}\beta {\text{ = 2}}, $
$ {\alpha ^{ss}} = 0.01, {\text{ }}{n^{{\text{ss}}}} = 1.35 $拟合型 h Vanapalli等[38] a=67.5 kPa，m=0.47，n=0.91，
k=1.75i Alonso等[43] a=67.5 kPa，m=0.47，n=0.91，
η=30，Srm=16%j Rohm等[44]、
沈珠江[45]、
Sun等[30]$ \alpha $=0.0003 kPa-1 k 缪林昌等[46] a=1.018 l Jiang等[47]、
Vilar[48]a=3.0，b=0.00027 kPa-1
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表 4 压实珍珠黏土抗剪强度预测的参数
Table 4 Values of parameters for calculating strength of unsaturated compacted pearl clay
类型 编号 文献来源 参数 预测型 a Bishop等[37] a=247 kPa，m=1.77，n=1.1，Sre=7% b Vanapalli等[38] a=247 kPa，m=1.77，n=1.1 c Khalili等[36] sa=57 kPa d Tekinsoy等[39] sa=57 kPa e Konrad等[40] Sr0=20%, Λ=0.0015, α=0.75, sd=106 f Zhou等[41] α=0.15，ξ=1.4，sm=325，sd=106 g Zhang等[42] $ \begin{array}{l}{S}_{\text{ra}\mathrm{max}}=7\%，{\sigma }_{\text{dry}}^{\text{s}}=140\text{kPa}，\beta \text{=4}\\ {\alpha }^{\text{ss}}=0.007，{n}^{\text{ss}}=1.85\end{array} $ 拟合型 h Vanapalli等[38] a=247 kPa，m=1.77，n=1.1，k=1.45 i Alonso等[43] a=247 kPa，m=1.77，n=1.1，η=80，Srm=9% j Rohm等[44]、
沈珠江[45]、
Sun等[30]α=0.006 kPa-1 k 缪林昌等[46] a=1.37 l Jiang等[47]、
Vilar[48]a=0.4，b=0.006 kPa-1
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