Critical safe distance of shield tunnels crossing pile foundation of existing bridges at orthogonal side
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摘要: 为探究盾构隧道穿越既有桥梁桩基的安全施工距离,以正交侧穿施工为例,考虑桩基剪切效应的影响,利用Pasternak双参数地基模型,构建既有桥梁桩基与在建隧道中间土体水平位移的平衡微分方程,进而推导桩-隧中间土体的水平位移解析解。在此基础上,基于尖点突变理论确定桩-隧中间土体势函数的标准表达式及其系统突变失稳的充分必要条件,据此建立盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离计算方法,通过数值模拟和现场实测验证其工程适用性,并基于该方法分析盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离的主要影响因素。结果表明:临界安全距离与桥梁桩基桩径比之间近似为指数函数关系,且二者呈正相关;临界安全距离与盾构隧道深径比呈二次函数关系,随深径比增大,临界安全距离先增大后减小,且在盾构隧道深径比为8.1时达到最大值。理论值与数值模拟所得估测值拟合良好,且现场测量结果及相关规范也进一步验证了方法的工程适用性。本研究为类似隧道穿越工程设计和施工方案优化提供了理论依据。Abstract: In order to investigate the safe construction distance of shield tunnel crossing the pile foundation of the existing bridges, taking the crossing construction at the orthogonal side as an example and considering the influences of the pile shear effects, we use the Pasternak two-parameter foundation model to establish the equilibrium differential equations for the horizontal displacements of the soil in the middle of the pile foundation of the existing bridges and the tunnels under construction, and the analytical solutions for the horizontal displacements of the pile-tunnel intermediate soil are derived. Based on the cusp catastrophe theory, the standard expression for the potential function of the pile-tunnel intermediate soil and the sufficient and necessary conditions for its system to be suddenly destabilized are determined. Accordingly, the method for calculating the critical safe distance of the pile foundation of the existing bridges is established, and its engineering applicability is verified through the numerical simulations and field measurements. The method is used to analyze the main influencing factors for the critical safe distance of the pile foundation of an existing bridge. The results show that the critical safe distance is approximately an exponential function with the diameter ratio of the pile foundation of the bridge, and the two parameters are positively correlated, while it follows a quadratic function of the shield tunnel depth ratio, and first increasing and then decreasing as the depth ratio increases, and reaches the maximum value when the depth ratio of the shield tunnel is 8.1. The theoretical values obtained by the proposed method and the estimated ones by the numerical simulation are well fitted, and the measured results and the relevant specifications also further verify the engineering applicability of this method. The proposed method provides theoretical guidance for the rational development of the design and construction program of similar tunnel crossing projects.
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0. 引言
目前地铁在修建过程中遇到了诸多穿越既有建构筑物施工的复杂情形。由于盾构掘进过程对周围土体产生扰动并开挖土体导致地层损失,故在地铁隧道盾构穿越既有建构筑物施工过程中势必会引起既有建构筑物发生位移。考虑到铁路和公路作为一类特殊的构筑物,通常对其线路位移控制较为严格,尤其当隧道盾构穿越铁路和公路桥梁桩基施工时,需要格外关注其安全距离问题,以确保盾构穿越施工过程中邻近既有建构筑物的稳定性。
目前对于盾构施工安全距离问题的讨论主要集中于盾构隧道穿越岩溶区施工安全距离的分析[1-2],也有少部分关于盾构隧道涌水安全距离[3]和交叠隧道盾构施工安全距离的讨论[4],但对于现阶段常见的盾构隧道穿越桥梁桩基施工的安全距离研究则相对匮乏。与此同时,目前关于盾构隧道施工安全距离的计算方法已形成较为丰富的研究成果。Liu等[5]利用极限分析上限法,推导了掌子面前方溶洞与隧道临界安全距离的解析解。Lai等[6]选取岩体密度、隧道埋深和溶洞位置等10种安全距离影响因素作为参数指标,利用支持向量机法建立了隧道与溶洞安全距离的智能预测模型。Yang等[7]利用突变理论分析了岩溶区Hoek-Brown介质中隧道底板的坍塌形态,推导了脱落曲线、隧道底板半坍塌宽度以及坍塌厚度临界值和最大值的解析解。纵观上述研究成果,可将现阶段安全距离计算所涉及的主要理论归纳为极限分析上限定理、支持向量机原理和突变理论,其中突变理论是一种有效解决自然界中跳跃性变化现象的数学方法,相较于其他理论方法,突变理论只需基于合适的假设条件,通过系统内多个微分方程和一定数目的控制变量即可实现系统状态的准确预测[8],即突变理论可通过势函数和临界失稳状态的充分必要条件,确定盾构施工的临界安全距离,具有简单、高效的特点,且在工程中应用成熟。由此,考虑到目前关于盾构穿越既有桥梁桩基施工安全距离的相关研究较少的事实,根据盾构隧道侧穿邻近既有桥梁桩基的施工特点,该过程中系统内既有能量储存又有能量耗散[8],而当盾构隧道与邻近桩基间的地层土体在外力作用下发生失稳破坏而导致桩基结构失稳变形时,可将地层土体失稳破坏的过程认为是一种弹性能量的聚集——瞬间释放的过程[9],由此可将盾构隧道侧穿邻近既有桥梁桩基施工过程中隧道与邻近桩基中间土体稳定性视为一种非逆向且非线性的过程[10],故桩基与隧道中间土体因失稳而发生剪切破坏时的临界厚度即可定义为盾构隧道侧穿既有桥梁桩基施工的临界安全距离,因此可利用突变理论开展盾构隧道侧穿既有桥梁桩基临界安全距离的理论研究。
基于此,本文以盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基为例,假定桩基为考虑剪切效应的铁木辛柯梁,并假定桩基与隧道中间土体为作用在Pasternak双参数地基模型上的铁木辛柯梁(以下简称为桩-隧中间土体梁),求解其水平位移的函数表达式,并利用尖点突变理论,通过确定桩-隧中间土体梁的挠曲线方程的对应势函数标准表达式和系统临界失稳破坏充要条件,建立盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离的计算方法,通过与数值模拟所得估测值的对比分析,验证本文方法的合理性和精确性,并对盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基施工的临界安全距离的影响因素加以分析,为类似工程设计和施工提供理论指导。
1. 尖点突变理论基本原理
突变理论属于非线性理论模块中的一部分,主要包含分叉理论、奇异性理论和结构稳定性概念。按照几何形态,可将突变理论划分为折迭型突变、尖点型突变、燕尾型突变、蝴蝶型突变、双曲型脐点、椭圆型脐点和抛物型脐点等7种初等突变类型,其中尖点突变模型作为工程中常用的突变模型[11],与本文中桩-隧中间土体梁系统临界失稳破坏过程相契合,故可采用尖点突变理论进行分析,并根据强度折减原理,在坐标系中标出不同折减系数μ条件下桩-隧中间土体梁中心轴线的水平位移ω,利用4次项泰勒级数展开式拟合[12-13]:
ω(μ)=ξ0+ξ1μ+ξ2μ2+ξ3μ3+ξ4μ4。 (1) 式中:ξ1,ξ2,ξ3,ξ4为未知系数。
根据文献[12],令μ为z-y,y为ξ3/4ξ4,并代入式(1),经Tschirnhaus变换[13]后可得
V(z)=g0+g1z+g2z2+g4z4。 (2) 式中:
[g0g1g2g4]=[y4−y3y2−y1−4y33y2−2y106y2−3y10010000][ξ0ξ1ξ2ξ3ξ4]。 (3) 综上所述,考虑到尖点突变模型势函数中含有一个状态变量z和两个控制变量f,e,故由式(2)可进一步化简为尖点突变模型的标准势函数Φ(z):
Φ(z)=z4+fz2+ez+C。 (4) 式中:C为常数,对突变结果无影响,通常可省略;Φ(z),z,f,e可按照文献[12,13]中的方法求解。
由式(4)可得其相对应的平衡位置应满足
Φ′(z)=dΦ(z)dz = 4z3+2fz+e=0。 (5) 尖点突变模型在(z,f,e)空间中表现为一个曲面褶皱的突变流形,如图 1所示,位于褶皱曲面中叶的势函数取得极大值,平衡位置不稳定,但位于褶皱曲面上叶和下叶时所对应的平衡位置是稳定的,由此确定平衡曲面上存在竖直切线,且切线上各点的分布规律如下所示:
Φ″(z)=d2Φ(z)dz2=12z2+2f。 (6) 当式(6)等于0所对应的极值点附近的平衡位置数目存在差异时,即为突变点或奇异点。这些点的数学意义是函数式(6)所示抛物线的拐点,并在参数空间(z,f,e)中形成了图 1所示尖点突变模型的分叉集,则由文献[9,14]可知该分叉集的判别式为
8f3+27e2。 (7) 根据突变理论,当且仅当Δ=0时,系统临界平衡;当Δ > 0时,系统稳定;当Δ < 0时,系统失稳破坏。因此,
可利用尖点突变模型的系统稳定性判据来判断系统的稳定和失稳状态,如图 2所示。
2. 盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离计算方法建立
2.1 基本假设
以桥梁桩基入土段与地面交点为坐标原点,并以地面为x轴,以桩身中心轴线为z轴,构建全局坐标系,如图 3所示。地面无堆载,既有桥梁桩基竖直布置,且桩身完全埋入土中。桩身截面为圆形,桩身直径为t,入土段桩身长度为L,且桩基中心轴线与邻近盾构隧道中心线间距为s,桩基与隧道中间土体的弯矩和剪力分别为M,Q,且桩基与隧道中间土体的侧向反力和所受附加外荷载分别为p(z),q(z),后文将桩基与隧道中间土体统一简称为桩-隧中间土体。同时,邻近盾构隧道与既有桥梁桩基之间保持正交关系,且从桩基侧向穿过,隧道开挖半径和中心埋深分别为r,h,且隧道拱顶始终位于不低于桩端的地下区域。
图 3反映了桥梁桩基与邻近盾构隧道之间的位置关系和二者所处地层条件。由于本文中既有桥梁桩基桩身截面为圆形,即桩身为圆柱体,则在分析隧道盾构侧穿施工对邻近桩基的影响时,可参考文献[15~17]中的研究成果和处理方法,将桥梁桩基与盾构隧道中间土体近似视为长方体分布,则以图 3所示断面为横截面情况下,该长方体的宽为桩身直径t,高为入土段桩身长度L,且在盾构侧穿施工过程中桩基和隧道对中间土体的荷载作用于侧面,而未作用于正面,故长可根据桩-隧中间土体的假设条件和受力状态而设为单位长度,即可将桩-隧中间土体简化为单位宽度梁结构进行分析。
综上所述,对图 3中的既有桥梁桩基、邻近盾构隧道和桩-隧中间土体做出假设:①桥梁桩基假定为铁木辛柯梁,且考虑剪切效应的影响;②桥梁桩基与周围土体紧密接触,不考虑桥梁桩基与周围土体之间的滑移、摩擦等情形,且二者变形协调一致,即桩身水平位移与桩-隧中间土体水平位移相一致;③桩-土相互作用符合Pasternak双参数地基模型规律;④桥梁桩基为理想弹性体;⑤桩-隧中间土体为理想弹塑性体;⑥盾构隧道受地层损失影响而发生不均匀收敛变形;⑦桩-隧中间土体沿竖直方向假设为两端固支的铁木辛柯梁。
2.2 计算方法建立
由前述基本假设可知,本文计算方法适用于盾构正交侧穿邻近桩基施工的情形,且同一断面上的隧道中心线与桩身中轴线相互平行,盾构隧道沿深度方向的拱顶不低于桩端,且沿盾构掘进方向的隧道与桩身正交,开挖前的土体结构完整,地层中的土颗粒致密均匀,各向同性且无裂隙或缺陷。因此,根据既有桥梁桩基与邻近盾构隧道的位置关系,可得图 3中的局部坐标系x1O1z1与全局坐标系xOz之间满足
x1=x−s,z1=z。} (8) 式中:x1,z1分别为局部坐标系下任一点的水平坐标和竖直坐标;x,z分别为全局坐标系下任一点的水平坐标和竖直坐标;s为既有桥梁桩基中心轴线与邻近盾构隧道中心线间距。
根据文献[18],可利用Loganathan公式计算x1O1z1局部坐标系下隧道盾构施工引起的土体水平位移,则将式(8)代入后可得xOz全局坐标系下隧道盾构施工引起土体水平位移为
U(x,z)=ε0r2(s−x){1(x−s)2+(z−h)2+3−4vs(x−s)2+(z+h)2−4z(z+h)[(x−s)2+(z+h)2]2}exp[−1.38(x−s)2(h+r)2−0.69z2h2] 。 (9) 式中:U(x, z)为全局坐标系xOz中土体任一点的水平位移;ε0为地层土体损失率;r为既有桥梁桩基邻近盾构隧道开挖半径;h为盾构隧道中心埋深;vs为地层土体的泊松比。
又由于图 3中桩-隧中间土体符合Pasternak双参数地基模型条件下铁木辛柯梁的基本假设,故根据其受力情况,由文献[19,20]可得桩-隧中间土体的水平位移和转角的平衡微分方程分别为
p(z)tdz−q(z)tdz=dQ, (10) p(z)tdz22+Qdz−q(z)tdz22=dM。 (11) 式中:t为桥梁桩身直径。
综上所述,根据文献[21~23],可得作用于桩-隧中间土体的侧向反力p(z)和附加外荷载q(z):
p(z)=0.65Esω(z)t(1−v2s)12√Est4EpIp−tE2s(1−v2s)2.6Es(1+vs)12√Est4EpIpd2ω(z)dz2, (12) q(z)=0.65EsUzt(1−v2s)12√Est4EpIp−tE2s(1−v2s)2.6Es(1+vs)12√Est4EpIpd2Uzdz2。 (13) 式中:ω(z)为沿埋深方向桩-隧中间土体任一点的水平位移;Es为地基土体的压缩模量;Ep为桥梁桩基的弹性模量;Ip为桩身截面惯性矩,Ip=πt4/64。
又由文献[24,25]可知,桩-隧中间土体所受的弯矩M和剪力Q应满足
M=−(2s−t−2r)Est324dφ(z)dz, (14) Q=5Ept(2s−t−2r)24(1 + vp)dφ2(z)dz2。 (15) 式中:φ为桩-隧中间土体梁结构的转角;vp为桥梁桩基的泊松比。
将式(14),(15)代入式(10)~(13),并联立式(10)~(13),可得桩-隧中间土体在不同埋深处任一点水平位移ω(z)的微分方程,
6(1+vp)E2s+5(1+vs)(2s−t−2r)δEp5(1+vs)(2s−t−2r)δEp d4ω(z)dz4−[3.12(1+vp)1−v2s12√E13sE13pIpt8+6Esδt2(1+vs)]d2ω(z)(2s−t−2r)dz2+15.6ω(z)(1−v2s)(2s−t−2r)t312√Est4EpIp=24q(z)(2s−t−2r)Est2−24(1+vp)5(2s−t−2r)Ep d2q(z)dz2。 (16) 为便于求解式(16)中桩-隧中间土体沿埋深z轴方向上任一点的水平位移,可将附加外荷载按Fourier级数形式展开为
q(z) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {{a_n}\cos \left( {\frac{{2n{\mathtt{π}}z}}{L}} \right) + {b_n}\sin \left( {\frac{{2n{\mathtt{π}}z}}{L}} \right)} \right]} 。 (17) 式中:a0,an,bn均为Fourier系数,
\left.\begin{array}{l} a_0=\frac{2}{L} \int_0^L q(\eta) \mathrm{d} \eta, \\ a_n=\frac{2}{L} \int_0^L q(\eta) \cos \left(\frac{2 n \mathtt{π} \eta}{L}\right) \mathrm{d} \eta \quad(n=0,1,2, \cdots), \\ b_n=\frac{2}{L} \int_0^L q(\eta) \sin \left(\frac{2 n \mathtt{π} \eta}{L}\right) \mathrm{d} \eta \quad(n=1,2,3, \cdots) 。 \end{array}\right\} (18) 式中:η的取值范围为[0,L]。
联立式(16),(17),可得桩-隧中间土体水平位移ω(z),
\begin{aligned} & \omega(z)=\left[m_1 \cos \left(\lambda_2 z\right)+m_2 \sin \left(\lambda_2 z\right)\right] \exp \left(\lambda_1 z\right)+ \\ & {\left[m_3 \cos \left(\lambda_2 z\right)+m_4 \sin \left(\lambda_2 z\right)\right] \exp \left(-\lambda_1 z\right)+} \\ & \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[A_n \cos \left(\frac{2 n \mathtt{π} z}{L}\right)\right]+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[B_n \sin \left(\frac{2 n \mathtt{π} z}{L}\right)\right]+\frac{a_0}{2 \delta} 。 \end{aligned} (19) 式中:m1,m2,m3,m4均为常数,可根据桩-隧中间土体两端边界条件求解得到; {\lambda _1} , {\lambda _2} ,An,Bn均为系数
\begin{gathered} {\lambda _1} = \left\{ {\frac{{5(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}{{{\text{12(1 + }}{v_{\text{p}}}{\text{)}}E_{\text{s}}^2 + 10(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}} \right. \cdot \hfill \\ {\text{ }}\left[ {\frac{{3.12({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})}}{{(1 - v_{\text{s}}^{\text{2}})(2s - t - 2r)}}\sqrt[\begin{subarray}{l} 12 \\ \end{subarray} ]{{\frac{{E_{\text{s}}^{13}}}{{E_{\text{p}}^{{\text{13}}}{I_{\text{p}}}{t^8}}}}} + } \right. \hfill \\ {\text{ }}\frac{{6{E_{\text{s}}}}}{{(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {t^{\text{2}}}}} + \hfill \\ {\text{ }}\left[ {\frac{{3.12({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})}}{{(1 - v_{\text{s}}^{\text{2}})(2s - t - 2r)}}\sqrt[\begin{subarray}{l} 12 \\ \end{subarray} ]{{\frac{{E_{\text{s}}^{13}}}{{E_{\text{p}}^{{\text{13}}}{I_{\text{p}}}{t^8}}}}} + } \right. \hfill \\ {\text{ }}{\left( {\frac{{6{E_{\text{s}}}}}{{(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {t^{\text{2}}}}}} \right)^2} - \hfill \\ \\ \left( {\frac{{{\text{24}}({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})E_{\text{s}}^2 + 20(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}{{5(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r){E_{\text{p}}}}}} \right){\left. {\left. {^{\frac{1}{2}}} \right]} \right\}^{\frac{1}{2}}} \text{,} \end{gathered} (20a) \begin{gathered} {\lambda _2} = \left\{ {\frac{{5(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}{{{\text{12}}({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})E_{\text{s}}^2 + 10(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}} \right. \cdot \hfill \\ {\text{ }}\left[ {\frac{{3.12({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})}}{{(1 - v_{\text{s}}^{\text{2}})(2s - t - 2r)}}\sqrt[\begin{subarray}{l} 12 \\ \end{subarray} ]{{\frac{{E_{\text{s}}^{13}}}{{E_{\text{p}}^{{\text{13}}}{I_{\text{p}}}{t^8}}}}} + } \right. \hfill \\ {\text{ }}\frac{{6{E_{\text{s}}}}}{{(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {t^{\text{2}}}}} + \hfill \\ {\text{ }}\left[ {\frac{{3.12({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})}}{{(1 - v_{\text{s}}^{\text{2}})(2s - t - 2r)}}\sqrt[{12}]{{\frac{{E_{\text{s}}^{13}}}{{E_{\text{p}}^{{\text{13}}}{I_{\text{p}}}{t^8}}}}} + } \right. \hfill \\ {\text{ }}{\left( {\frac{{6{E_{\text{s}}}}}{{(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {t^{\text{2}}}}}} \right)^2} - \hfill \\ {\left. {\left. {{{\left( {\frac{{{\text{24}}({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})E_{\text{s}}^2 + 20(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}{{5(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r){E_{\text{p}}}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]} \right\}^{\frac{1}{2}}} \text{,} \end{gathered} (20b) \begin{gathered} {\overline \lambda _2} = i\left\{ {\frac{{5(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}{{{\text{12}}({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})E_{\text{s}}^2 + 10(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}} \right. \cdot \hfill \\ {\text{ }}\left[ {\frac{{3.12({\text{1 + }}{v_p})}}{{(1 - v_{\text{s}}^{\text{2}})(2s - t - 2r)}}\sqrt[\begin{subarray}{l} 12 \\ \end{subarray} ]{{\frac{{E_{\text{s}}^{13}}}{{E_{\text{p}}^{{\text{13}}}{I_{\text{p}}}{t^8}}}}} + } \right. \hfill \\ {\text{ }}\frac{{6{E_{\text{s}}}}}{{(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {t^{\text{2}}}}} + \hfill \\ {\text{ }}\left[ {\frac{{3.12({\text{1 + }}{v_p})}}{{(1 - v_{\text{s}}^{\text{2}})(2s - t - 2r)}}\sqrt[\begin{subarray}{l} 12 \\ \end{subarray} ]{{\frac{{E_{\text{s}}^{13}}}{{E_{\text{p}}^{{\text{13}}}{I_{\text{p}}}{t^8}}}}} + } \right. \hfill \\ {\text{ }}{\left( {\frac{{6{E_{\text{s}}}}}{{(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {t^{\text{2}}}}}} \right)^2} - \hfill \\ {\left. {\left. {{{\left( {\frac{{{\text{24}}({\text{1 + }}{v_{\text{p}}})E_{\text{s}}^2 + 20(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}}}{{5(1 + {v_{\text{s}}})(2s - t - 2r){E_{\text{p}}}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]} \right\}^{\frac{1}{2}}} 。 \end{gathered} (20c) \begin{array}{l} {A_\text{n}} = 6{a_\text{n}}/{E_ \text{s}}{t^2}\left\{ {24({\text{1 + }}{v_p})E_{\text{s}}^2 + 20(1 + {v_{\text{s}}})} \right. \cdot \hfill \\ \left[ {(2s - t - 2r)\delta {E_{\text{p}}}} \right]{n^4}{{\mathtt{π}}^4}/5(1 + {v_{\text{s}}})\delta {E_{\text{p}}}{L^4} + \hfill \\ \frac{3.12(\text{1+}{v}_{\text{p}}){n}^{2}{\mathtt{π}}^{2}}{(1-{v}_{\text{s}}^{\text{2}}){L}^{2}}\sqrt[\begin{array}{l}12\\ \end{array}]{\frac{{E}_{\text{s}}^{13}}{{E}_{\text{p}}^{\text{13}}{I}_{\text{p}}{t}^{8}}}+\frac{6{E}_{\text{s}}{n}^{2}{\mathtt{π}}^{2}}{(1+{v}_{\text{s}})\delta {t}^{\text{2}}{L}^{2}}+\frac{6\delta }{{E}_\text{s}{t}^{2}}\}。 \end{array} (20d) \begin{aligned} & B_{\mathrm{n}}=6 b_{\mathrm{n}} / E_{\mathrm{s}} t^2\left\{24\left(1+v_{\mathrm{p}}\right) E_{\mathrm{s}}^2+20\left(1+v_{\mathrm{s}}\right) .\right. \\ & {\left[(2 s-t-2 r) \delta E_{\mathrm{p}}\right] n^4 \mathtt{π}^4 / 5\left(1+v_{\mathrm{s}}\right) \delta E_{\mathrm{p}} L^4+} \\ & \left.\frac{3.12\left(1+v_{\mathrm{p}}\right) n^2 \mathtt{π}^2}{\left(1-v_{\mathrm{s}}^2\right) L^2} \sqrt[12]{\frac{E_{\mathrm{s}}^{13}}{E_{\mathrm{p}}^{13} I_{\mathrm{p}} t^8}}+\frac{6 E_{\mathrm{s}} n^2 \mathtt{π}^2}{\left(1+v_{\mathrm{s}}\right) \delta t^2 L^2}+\frac{6 \delta}{E_{\mathrm{s}} t^2}\right\} 。 \end{aligned} (20e) 综上所述,由铁木辛柯梁的基本原理可知,桩-隧中间土体的转角φ应满足
\begin{array}{l} \varphi (z) = \frac{{{\text{d}}\omega (z)}}{{{\text{d}}z}} = \left[ {{m_5}\cos ({\lambda _2}z) + {m_6}\sin ({\lambda _2}z)} \right]\exp ({\lambda _1}z) + \hfill \\ \left[ {{m_7}\cos ({\lambda _2}z) + {m_8}\sin ({\lambda _2}z)} \right]\exp ( - {\lambda _1}z) - \hfill \\ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{2n{\mathtt{π}}{A_\text{n}}}}{L}\sin \left( {\frac{{2n{\mathtt{π}}z}}{L}} \right)} \right]} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\frac{{2n{\mathtt{π}}{B_\text{n}}}}{L}\cos \left( {\frac{{2n{\mathtt{π}}z}}{L}} \right)} \right]} 。 \end{array} (21) 将式(19)、(21)代入式(14)、(15),可得作用于桩-隧中间土体的弯矩M和剪力Q,
\begin{aligned} & M(z)=-\frac{(2 s-t-2 r) E_{\mathrm{s}} t^3}{24}\left\{\left[m_9 \cos \left(\lambda_2 z\right)+m_{10} \sin \left(\lambda_2 z\right)\right] .\right. \\ & \exp \left(\lambda_1 z\right)+\left[m_{11} \cos \left(\lambda_2 z\right)+m_{12} \sin \left(\lambda_2 z\right)\right] \exp \left(-\lambda_1 z\right)- \\ & \left.\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{4 A_n n^2 \mathtt{π}^2}{L^2} \cos \left(\frac{2 n \mathtt{π} z}{L}\right)\right]-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{4 B_n n^2 \mathtt{π}^2}{L^2} \sin \left(\frac{2 n \mathtt{π} z}{L}\right)\right]\right\}, \end{aligned} (22) \begin{aligned} & Q(z)=\frac{5 E_{\mathrm{p}} t(2 s-t-2 r)}{24\left(1+v_{\mathrm{p}}\right)}\left\{\left[m_{13} \cos \left(\lambda_2 z\right)+m_{14} \sin \left(\lambda_2 z\right)\right] .\right. \\ & \exp \left(\lambda_1 z\right)+\left[m_{15} \cos \left(\lambda_2 z\right)+m_{16} \sin \left(\lambda_2 z\right)\right] \exp \left(-\lambda_1 z\right)+ \\ & \left.\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{8 A_n n^3 \mathtt{π}^3}{L^3} \sin \left(\frac{2 n \mathtt{π} z}{L}\right)\right]-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[\frac{8 B_n n^3 \mathtt{π}^3}{L^3} \cos \left(\frac{2 n \mathtt{π} z}{L}\right)\right]\right\} 。 \end{aligned} (23) 式中:m5,m6,…,m15,m16均为常数,且均可由m1,m2,m3,m4唯一表示。
又根据图 3所示某一断面上桩基与隧道所处地层条件及相对位置关系,以及桩-隧中间土体的受力状态,可将桩-隧中间土体简化为两端固支的单位宽度铁木辛柯梁结构进行分析,则此时该断面上的隧道中心线与桩身中轴线相互平行,且沿盾构掘进方向的隧道与桩身正交,故由图 3所示桩-隧中间土体的受力状态以及两端固支的单位宽度铁木辛柯梁结构的边界条件可得桩-隧中间土体两端位移和转角均为0,则将该边界条件依次代入式(19),(21),可得关于m1-m8的方程组:
\begin{aligned} \omega(0)= & m_1+m_3+\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n+\frac{a_0}{2 \delta}=0, \\ \omega(L)= & m_1 \cos \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)+m_2 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)+ \\ & m_3 \cos \left(\lambda_2 L\right) \cdot \exp \left(-\lambda_1 L\right)+m_4 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(-\lambda_1 L\right)+ \\ & \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n+\frac{a_0}{2 \delta}=0, \\ \varphi(0)= & m_5+m_7+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \mathtt{π} B_n}{L}=0, \\ \varphi(L)= & m_5 \cos \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)+m_6 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)+ \\ & m_7 \cos \left(\lambda_2 L\right) \cdot \exp \left(-\lambda_1 L\right)+m_8 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(-\lambda_1 L\right)+ \\ & \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \mathtt{π} B_n}{L}=0 。 \end{aligned} (24) 又根据式(21)为式(19)的一阶导数,可得两式中系数m5-m8与m1-m4之间满足下式所示的函数关系:
\left.\begin{array}{l} m_5=\lambda_2 m_2+\lambda_1 m_1, \\ m_6=\lambda_1 m_2-\lambda_2 m_1, \\ m_7=\lambda_2 m_4-\lambda_1 m_3, \\ m_8=-\lambda_2 m_3-\lambda_1 m_4 。 \end{array}\right\} (25) 将式(25)代入式(24),可得m1-m4分别为
\begin{aligned} m_1= & -\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n-\frac{a_0}{4 \delta}-\frac{1}{2 \lambda_1} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \mathtt{π} B_n}{L}- \\ & \frac{\lambda_2\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n+\frac{a_0}{2 \delta}\right)\left[\cos \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)-1\right]}{2 \lambda_1 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)} 。 \end{aligned} (26) \begin{aligned} m_2= & \frac{\left\{\lambda_1\left[\cos \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)-1\right]-\lambda_2 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)\right\}}{-\lambda_1 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)-\lambda_2\left[\cos \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)-1\right]} . \\ & \left\{-\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n-\frac{a_0}{4 \delta}-\frac{1}{2 \lambda_1} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \mathtt{π} B_n}{L}-\right. \\ & \left.\frac{\lambda_2\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n+\frac{a_0}{2 \delta}\right)\left[\cos \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)-1\right]}{2 \lambda_1 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)}\right\} 。 \end{aligned} (27) \begin{aligned} & m_3=-\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n-\frac{a_0}{4 \delta}+\frac{1}{2 \lambda_1} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \mathtt{π} B_n}{L}+ \\ & \frac{\lambda_2\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n+\frac{a_0}{2 \delta}\right)\left[\cos \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)-1\right]}{2 \lambda_1 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)} 。 \end{aligned} (28) \begin{aligned} & m_4=\frac{\left\{\frac{\lambda_2 \sin \left(\lambda_2 L\right)}{\exp \left(\lambda_1 L\right)}+\lambda_1\left[\frac{\cos \left(\lambda_2 L\right)}{\exp \left(\lambda_1 L\right)}-1\right]\right\}}{\lambda_2\left[\frac{\cos \left(\lambda_2 L\right)}{\exp \left(\lambda_1 L\right)}-1\right]-\frac{\lambda_1 \sin \left(\lambda_2 L\right)}{\exp \left(\lambda_1 L\right)}}· \\ & \left\{-\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n-\frac{a_0}{4 \delta}+\frac{1}{2 \lambda_1} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2 n \mathtt{π} B_n}{L}+\right. \\ & \left.\frac{\lambda_2\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n+\frac{a_0}{2 \delta}\right)\left[\cos \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)-1\right]}{2 \lambda_1 \sin \left(\lambda_2 L\right) \exp \left(\lambda_1 L\right)}\right\} 。 \end{aligned} (29) 将式(26)~(29)代入式(19),即可求得桩-隧中间土体沿埋深方向任一点的水平位移ω(z)。又由于已将桩-隧中间土体简化为两端固支单位宽度的梁结构,故可根据图 3所示桩-隧中间土体梁结构的受力情况,由文献[26,27]可将桩-隧中间土体的水平位移ω(z)进一步化简为
\omega (z) = \frac{W}{2}\left[ {1 - \cos \left( {\frac{{2\mathtt{π} z}}{L}} \right)} \right] 。 (30) 式中:W为桩-隧中间土体梁结构中点处的挠度;z为梁上任一点的埋深;L为桥梁桩身长度,详见图 3。
由文献[9]可知,桩-隧中间土体系统的总势能由梁结构的弯曲应变能、系统势能增加量以及土体所受外荷载做功共同构成,如下式所示:
\varPhi (z) = {U_1}(z) + {U_2}(z) - {T_1}(z) - {T_2}(z) - {T_3}(z) 。 (31) 式中:U1(z)为桩-隧中间土体梁结构的弯曲应变能;U2(z)为桩-隧中间土体梁体系势能的增量;T1(z)为弯矩做的功;T2(z)为桩-隧中间土体重力做的功;T3(z)为附加外荷载和桩基侧向反力做的功。
由弹性力学基本原理可知,桩-隧中间土体的弯曲应变能、系统势能增量、所受弯矩做功、重力做功、附加外荷载和桩基侧向反力做功之和,
{U_1}(z) = \frac{{{E_{\text{s}}}t{\varGamma ^3}}}{{24}}\left( {1 - \frac{{2{v^2}}}{{1 - v}}} \right)\int_0^L {\frac{{{\text{4}}{\mathtt{π} ^{\text{4}}}{W^{\text{2}}}}}{{{L^{\text{4}}}}}{{\cos }^{\text{2}}}\left( {\frac{{2\mathtt{π} z}}{L}} \right) \cdot } \\ \sqrt {1 + \frac{{{\mathtt{π} ^{\text{2}}}{W^{\text{2}}}}}{{{L^{\text{2}}}}}{{\sin }^{\text{2}}}\left( {\frac{{2\mathtt{π} z}}{L}} \right)} {\text{d}}z \text{,} (32) {U_{\text{2}}}(z){\text{ = }} - \int_0^L {\left[ {q(z) - p(z)} \right]\left[ {\frac{W}{2} - \frac{W}{2}\cos \left( {\frac{{2\mathtt{π} z}}{L}} \right)} \right]{\text{d}}z} \text{,} (33) {T_{\text{1}}}(z){\text{ = }}M\int_{\text{0}}^L {\frac{{\mathtt{π} W}}{L}\sin \left( {\frac{{2\mathtt{π} z}}{L}} \right){\text{d}}z} \text{,} (34) {T_{\text{2}}}(z){\text{ = }}\frac{N}{{\text{4}}}\int_{\text{0}}^L {\frac{{{\mathtt{π} ^{\text{2}}}{W^{\text{2}}}}}{{{L^{\text{2}}}}}{{\sin }^{\text{2}}}\left( {\frac{{2\mathtt{π} z}}{L}} \right){\text{d}}z} \text{,} (35) {T_{\text{3}}}(z) = \frac{1}{2}\int_0^L {\frac{{{\mathtt{π} ^{\text{2}}}{W^{\text{2}}}(L - z)\left[ {q(z) - p(z)} \right]}}{{{L^{\text{2}}}}}{{\sin }^{\text{2}}}\left( {\frac{{2\mathtt{π} z}}{L}} \right){\text{d}}z} 。 (36) 式中:N为桩-隧中间土体重力;Γ为盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基的安全距离,且Γ与s之间的函数关系为Γ=s-r-t/2。
综上所述,将式(32)~(36)代入式(31),可得桩-隧中间土体势函数的标准表达式为
\begin{aligned} & \Phi(z)=\frac{E_{\mathrm{s}} t \varGamma^3\left(1-\frac{2 v^2}{1-v}\right)}{24} . \\ & \int_0^L \frac{4 \mathtt{π}^4 W^2}{L^4} \cos ^2\left(\frac{2 \mathtt{π} z}{L}\right) \sqrt{1+\frac{\mathtt{π}^2 W^2}{L^2} \sin ^2\left(\frac{2 \mathtt{π} z}{L}\right)} \mathrm{d} z- \\ & \int_0^L[q(z)-p(z)]\left[\frac{W}{2}-\frac{W}{2} \cos \left(\frac{2 \mathtt{π} z}{L}\right)\right] \mathrm{d} z- \\ & M \int_0^L \frac{\mathtt{π} W}{L} \sin \left(\frac{2 \mathtt{π} z}{L}\right) \mathrm{d} z-\frac{N}{4} \int_0^L \frac{\mathtt{π}^2 W^2}{L^2} \sin ^2\left(\frac{2 \mathtt{π} z}{L}\right) \mathrm{d} z- \\ & \frac{1}{2} \int_0^L \frac{\mathtt{π}^2 W^2(L-z)[q(z)-p(z)]}{L^2} \sin ^2\left(\frac{2 \mathtt{π} z}{L}\right) \mathrm{d} z 。 \end{aligned} (37) 根据式(4)所示尖点突变理论势函数标准表达式中参数项最高幂次,将式(37)在z=0处按Taylor级数展开至第5阶,化简后可得
\varPhi (z) = \frac{{{W^4}}}{{3{L^5}}}\left( {\frac{{16{{\mathtt{π}}^8}{E_{\text{s}}}t{\varGamma ^3}(1 - v - 2{v^2})}}{{3(1 - v)}} - M{{\mathtt{π}}^4}L} \right){z^4} + \\ {\text{ }}\frac{{{W^2}}}{{3{L^2}}}\left\{ {\frac{{2{L^4}{{\mathtt{π}}^2}{E_{\text{s}}}t{\varGamma ^3}(3 - 4{{\mathtt{π}}^2})(1 - v - 2{v^2})}}{{(1 - v)}}} \right. \cdot \\ \left.2 \mathtt{π}^4 L^2[q(0)-p(0)]+3 M \mathtt{π}^2-4 L^6 \mathtt{π}^4 \varGamma N\right\} z^2+ \\ \frac{2L{\mathtt{π}}^{2}W\left[q(0)-p(0)\right]}{3}z\text{ }。 (38) 综上所述,由尖点突变理论势函数标准表达式(4)可知,式(38)中的状态变量W和控制变量f,e分别为
W = \sqrt[\begin{subarray}{l} 4 \\ \end{subarray} ]{{\frac{{3{L^5}}}{{4\left[ {\frac{{16{\mathtt{π} ^8}{E_s}t{\varGamma ^3}(1 - v - 2{v^2})}}{{3(1 - v)}} - M{\mathtt{π} ^4}L} \right]}}}} \text{,} (39) \begin{aligned} & f=\frac{4 L^4 \mathtt{π}^2 E_{\mathrm{s}} t \varGamma^3\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)}{(1-v)}+ \\ & 4 \mathtt{π}^4 L^2[q(0)-p(0)]+6 M \mathtt{π}^2-8 L^6 \mathtt{π}^4 \varGamma N / 3 L^2 . \\ & \sqrt{\frac{3 L^5}{4\left[\frac{16 \mathtt{π}^8 E_{\mathrm{s}} t \varGamma^3\left(1-v-2 v^2\right)}{3(1-v)}-M \mathtt{π}^4 L\right]}}。 \end{aligned} (40) e=\frac{2L{\mathtt{π} }^{2}\left[q(0)-p(0)\right]}{3}\sqrt[\begin{array}{l}4\\ \end{array}]{\frac{3{L}^{5}}{4\left[\frac{16{\mathtt{π} }^{8}{E}_{s}t{\varGamma }^{3}(1-v-2{v}^{2})}{3(1-v)}-M{\mathtt{π} }^{4}L\right]}}。 (41) 由于分叉集-尖点突变理论模型显示桩-隧中间土体梁结构体系的奇数点在控制变量(f,e)平面上,且仅当f≤0时才可使奇数点越过分叉集,由此可确定桩-隧中间土体梁结构发生突变的条件是f≤0,因此控制变量f,e满足式(7)所示的函数关系时,系统达到临界平衡状态。由此,可得既有桥梁桩基邻近隧道盾构施工过程中桩-隧中间土体的临界破坏条件为f≤0且8 {f^3} +27e2=0,并由该临界破坏条件进一步推导桩-隧中间土体梁结构系统突变失稳的充分必要条件为
\begin{aligned} & f=\frac{4 L^4 \mathtt{π}^2 E_{\mathrm{s}} t \varGamma^3\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)}{(1-v)}+ \\ & 4 \mathtt{π}^4 L^2[q(0)-p(0)]+6 M \mathtt{π}^2-8 L^6 \mathtt{π}^4 \varGamma N / 3 L^2 . \\ & \sqrt{\frac{3 L^5}{4\left[\frac{16 \mathtt{π}^8 E_{\mathrm{s}} t \varGamma^3\left(1-v-2 v^2\right)}{3(1-v)}-M \mathtt{π}^4 L\right]}} . \end{aligned} (42) 根据式(42)所示突变失稳充分必要条件,盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基的安全距离Γ应满足
\begin{aligned} \varGamma^3- & \frac{2 L^2 \mathtt{π}^2 N(1-v)}{E_{\mathrm{s}} t\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)} \varGamma+ \\ & \frac{(1-v)\left\{2 \mathtt{π}^2 L^2[q(0)-p(0)]+3 M\right\}}{2 L^4 E_{\mathrm{s}} t\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)} \leqslant 0 。 \end{aligned} (43) 综上所述,根据一元三次方程求根公式,由式(43)可得临界安全距离Γ'为
\begin{array}{l} & \varGamma^{\prime}=\left\{-\frac{(1-v)\left\{2 \mathtt{π}^2 L^2[q(0)-p(0)]+3 M\right\}}{4 L^4 E_{\mathrm{s}} t\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)}+\right. \\ & \left\{\left\{\frac{(1-v)\left\{2 \mathtt{π}^2 L^2[q(0)-p(0)]+3 M\right\}}{4 L^4 E_{\mathrm{s}} t\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)}\right\}^2-\right. \\ & {\left.\left.\left[\frac{2 L^2 \mathtt{π}^2 N(1-v)}{3 E_{\mathrm{s}} t\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)}\right]^3\right\}^{\frac{1}{2}}\right\}^{\frac{1}{3}}+} \\ & \left\{\frac{(1-v)\left\{2 \mathtt{π}^2 L^2[q(0)-p(0)]+3 M\right\}}{4 L^4 E_{\mathrm{s}} t\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)}-\right. \\ & \left\{\left\{\frac{(1-v)\left\{2 \mathtt{π}^2 L^2[q(0)-p(0)]+3 M\right\}}{4 L^4 E_{\mathrm{s}} t\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)}\right\}-\right. \left.\left.\left[\frac{2 L^2 \mathtt{π}^2 N(1-v)}{3 E_{\mathrm{s}} t\left(3-4 \mathtt{π}^2\right)\left(1-v-2 v^2\right)}\right]^3\right\}^{\frac{1}{2}}\right\}^{\frac{1}{3}}。\end{array} (44) 2.3 计算方法验证
(1)工程概况
南昌市轨道交通4号线起凤路站—七里站区间隧道采用盾构法施工。左,右线盾构隧道在ZDK43+486—ZDK43+530和YDK43+490—YDK43+532里程范围内正交侧穿青山路立交桥梁桩基。沿掘进方向,将左线隧道侧穿的前后两个桩基分别设为#1和#2,将右线隧道侧穿的前后两个桩基分别设为#3,#4,如图 4所示。侧穿处左线和右线隧道拱顶覆土厚度分别为21.3,15.5 m,左线和右线隧道中心线与青山路立交桥梁桩基中心轴线的水平间距分别约为7.2,6.5 m,且双线隧道中心水平间距约为21.1 m,沿掘进方向和垂直掘进方向同一平面内的相邻桥梁桩基中心轴线间距分别约为8.2,21.8 m。根据现场勘察资料可知地铁隧道盾构侧穿青山路立交桥梁桩基施工区域地层土体类型及其物理力学参数,如表 1所示。
表 1 各层岩土体物理力学参数Table 1. Physical and mechanical parameters of rock and soil layers岩土层名称 层厚/ m 天然重度γ / (kN∙m-3) 黏聚力c/kPa 内摩擦角φ / (°) 压缩模量Es / MPa 泊松比 \nu 杂填土 1.8 17.8 5.5 16.5 — — 粉质黏土 5.4 17.6 25.2 24.4 8.5 0.35 粗砂 3.2 20.2 0 22.3 12.6 0.29 砾砂 14.2 22.5 0 23.6 16.3 0.25 强风化泥质粉砂岩 2.6 23.2 10.2 20.2 22.5 0.21 中风化泥质粉砂岩 20.8 23.6 13.6 21.8 25.3 0.18 由现场施工资料可知,盾构隧道开挖半径r为3 m,沿掘进方向的左线和右线隧道各自盾构正交侧向先后穿越的2个既有公路桥梁桩基的桩长均为42 m,且桩身部分全部埋入土中,桥梁桩基模量Ec为30 GPa,桩身截面为圆形,直径为3 m。墩台近似为长方体,顶部形状为正方形,墩台高度及其顶部边长分别为3,6 m。盾构机在穿越段沿直线掘进,且盾构施工过程中隧道开挖引起的地层土体损失率ε0约为1%。
(2)合理性验证
本文依托上述工程,以桥梁桩基中心轴线与盾构隧道中心线间距s为单一变量,设置5组工况,如表 2所示,利用ABAQUS有限元软件中的C3D8R单元模拟管片、桩基和承台以确保模型网格划分质量和计算收敛性,采用摩擦接触连接各块管片,且将摩擦系数设为0.3,采用非线性连接单元模拟管片与围岩之间的相互作用,并对管片、桩基和承台依次采用强度等级为C50,C30和C30的钢筋混凝土材料,地层土体根据本文基本假设选用Elasticity本构模型,且将每次开挖量均设为模型中隧道总长度的1/10,采用生死单元法模拟盾构隧道开挖过程,分10次完成隧道开挖并贯通,由此建立不同工况下盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基施工模型,如图 5所示。
表 2 不同工况下数值模型参数统计表Table 2. Values of numerical model parameters under different working conditions工况 s1/m s2/m t/m L/m r/m h1/m h2/m 地层
参数① 6 5.3 3 42 3 24.3 18.5 同表 1 ② 7.2 6.5 ③ 8.4 7.7 ④ 9.6 8.9 ⑤ 10.8 10.1 由于本文所依托工程中#1和#2桩基与#3和#4桩基在同一断面上的水平距离较远,双线隧道中心间距也较远,且位于#1和#2桩基与#3和#4桩基之间的左线隧道明显靠近#1和#2桩基,而与#3和#4桩基相距较远,且#3和#4桩基明显靠近右线隧道,因此双线隧道之间的相互影响、#1和#2桩基与#3和#4桩基之间的相互影响和双线隧道对#1和#2桩基与#3和#4桩基的影响均较小,又由于#1和#2桩基、#3和#4桩基的各自连线方向均同盾构掘进方向平行,因此#1和#2桩基之间相互影响对#1和#2桩基横向水平位移、#3和#4桩基之间相互影响对#3和#4桩基横向水平位移的响应均较小,故可忽略本数值模型中双线隧道对桩基的相互影响以及桩基之间的相互影响,可采用该数值模型验证本文计算方法的合理性。基于此,根据《公路养护技术规范》(JTG H10—2009)和《城市桥梁养护技术规范》(CJJ 99—2003)中既有桥梁桩基墩台顶面水平位移容许值为5ρ0.5 mm(ρ为相邻墩台之间的最小跨径)的规定,确定本文所依托工程中桥梁墩台顶横向水平位移上限值为14.32 mm以判断盾构隧道侧穿施工的安全性,并据此估测侧穿施工过程中#1~#4桩基的临界安全距离,如表 3所示。
表 3 不同工况条件下1#~4#桩基安全距离的数值计算结果统计表Table 3. Statistics of numerical results of safe distance of pile foundations No.1~No.4 under different working conditions侧穿盾构隧道线路 桥梁桩基编号 墩台顶横向水平位移/ mm 桥梁桩基临界安全距离估测值/m s=(s1,s2)=(6 m,5.3 m) s=(s1,s2)=(7.2 m,6.5 m) s=(s1,s2)=(8.4 m,7.7 m) s=(s1,s2)=(9.6 m,8.9 m) s=(s1,s2)=(10.8 m,10.1 m) 左线 #1 13.2 11.9 11 9.5 7.6 6.0 #2 14.3 12.9 11.9 10.5 9.1 6.0 右线 #3 13.4 12.4 11.5 10 8.1 5.3 #4 14.8 13.4 12.4 11 9.5 5.3 由表 3可知,#1~#4既有桥梁桩基在盾构隧道正交侧穿施工影响下的临界安全距离估测值分别为6.0,6.0,5.3,5.3 m,由此将本文方法所得理论值与估测值进行对比分析,如图 6所示。由图 6可知,#1~#4桥梁桩基在盾构隧道正交侧穿施工影响下的临界安全距离理论值分别为5.78,5.78,5.44,5.44 m,其与数值模拟计算所得的估测值之间的误差分别仅为3.67%,3.67%,2.64%,2.64%,均远小于工程经验允许的20%误差限值,故有效验证了本文计算方法的合理性,且具有较高的计算精度。与此同时,为进一步检验本文计算方法的工程适用性,在工程现场对#1~#4桥梁桩基墩台顶布置变形测量所需的应变片,各测点的布设情况如图 7所示。
综上所述,将#1~#4桥梁桩基墩台顶各测点位置处的横向水平位移测量结果绘制于图 8,则由图 8可得#1~#4桥梁桩基墩台顶横向水平位移实测结果的平均值分别为11.30,12.20,11.38,11.94 mm,故根据《公路养护技术规范》(JTG H10—2009)和《城市桥梁养护技术规范》(CJJ 99—2003)中桥梁桩基墩台顶位移限值,可得
\begin{array}{l}{\varDelta }_{{}^{\text{#}}1墩台顶}\text{=11}\text{.30 mm < 14}\text{.32 mm}\text{,}\\ {\varDelta }_{{}^{\text{#}}2墩台顶}\text{=12}\text{.20 mm < 14}\text{.32 mm}\text{,}\\ {\varDelta }_{{}^{\text{#}}3墩台顶}\text{=11}\text{.38 mm < 14}\text{.32 mm}\text{,}\\ {\varDelta }_{{}^{\text{#}}4墩台顶}\text{=11}\text{.94 mm < 14}\text{.32 mm}。\end{array}\} (45) 由式(45)可知左线和右线隧道分别以s1=7.2 m和s2=6.5 m正交侧穿施工过程中,#1~#4桥梁桩基始终处于安全状态,表明了左线和右线盾构隧道正交侧穿施工间距s1=7.2 m和s2=6.5 m均处于安全距离范围内,故左线和右线盾构隧道分别正交侧穿#1,#2和#3、#4桥梁桩基施工的临界安全距离Γ'应满足:
\begin{array}{l}{{\varGamma }^{\prime }}_{{}^{\#}1{,}^{\#}2}\le {s}_{1}=7.2\text{ m}\text{,}\\ {{\varGamma }^{\prime }}_{{}^{\#}3{,}^{\#}4}\le {s}_{2}=6.5\text{ m}。\end{array}\} (46) 由图 6可知本文所依托实际工程中#1~#4桥梁桩基的临界安全距离理论值均满足式(46)中的量化关系,故进一步验证了本文计算方法的合理性,并具有良好的工程适用性,可为盾构隧道侧穿既有桥梁桩基施工提供合适的侧穿施工安全距离范围。
3. 主要影响因素分析
3.1 桥梁桩基桩径比L/t
基于本文依托工程,以左线盾构隧道为研究对象,综合采用控制变量法和无量纲参数分析法研究桥梁桩基桩径比L/t对临界安全距离的影响规律,依次选取L/t为20,16,14,12,8,4,并利用本文方法计算各组工况的临界安全距离,如图 9所示。
\varGamma ' = - 1.95684\exp \left( { - \frac{L}{{6.53864t}}} \right) - \\ 56.35037\mathrm{exp}\left(-\frac{L}{218.29192t}\right)+58.85855。 (47) 由图 9可知,盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离Γ'关于桥梁桩基桩径比L/t非线性曲线拟合结果近似为指数函数,如式(47)所示,可据此初步确定临界安全距离Γ'的大致范围。在桩径比L/t从4增加至20的过程中,临界安全距离Γ'也从2.47 m逐渐增加至7.35 m,故临界安全距离Γ'随桩径比L/t的增大而逐渐增大,二者呈正相关,但临界安全距离Γ'的增速却随桩径比L/t的增大出现逐渐减缓的趋势。与此同时,考虑到桩径比L/t越大,则桥梁桩基偏于细长状,此时所需的临界安全距离也偏大,而桩径比L/t越小,则对应的桥梁桩基偏于短粗状,此时所需的临界安全距离也偏小,由此可知细长状桩基相比短粗状桩基偏于不安全,也表明桥梁桩基桩径比L/t是盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离的主要影响因素之一,应根据桩长和桩基截面半径控制隧道盾构穿越桥梁桩基的安全距离,以保证工程安全。
3.2 盾构隧道深径比h/r
基于本文依托工程,考虑到隧道中心埋深h和开挖半径r对临界安全距离也存在影响,故综合采用控制变量法和无量纲参数分析法探明盾构隧道深径比h/r对临界安全距离的影响规律,依次选取h/r为2,4,6.17,7,8.1,10,13,并利用本文方法计算各组工况的临界安全距离,如图 10所示。
由图 10可知,盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离Γ'关于盾构隧道深径比h/r非线性曲线拟合结果近似为二次函数,如式(48)所示,可据此初步确定盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基施工时的临界安全距离Γ'的大致范围。盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离Γ'随盾构隧道深径比h/r的增大,先增大后减小,且这一过程中临界安全距离Γ'随深径比h/r增大的增速在逐渐减缓,而随深径比h/r减小的速率在逐渐加快。当深径比h/r从2增加至8.1时,临界安全距离Γ'从2.49 m逐渐增加至5.78 m,而当深径比h/r从8.1增加至13时,临界安全距离Γ'则从5.78 m逐渐减小至3.73 m,其关于深径比h/r的拟合曲线形状近似为山峰形,且在深径比h/r为8.1时,盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离达到最大值,此时Γ'为5.78 m。由此表明盾构隧道深径比h/r是盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离的主要影响因素之一,实际工程设计和施工中应合理制定盾构隧道中心埋深和开挖半径的参数取值,确保既有桥梁桩基与邻近在建隧道的中心间距处于安全距离区间,以减轻盾构侧穿施工过程对桥梁桩基造成的变形等不良影响。
\varGamma ' = - 0.08709{\left( {\frac{h}{r}} \right)^2} + \frac{{1.41905h}}{r} 。 (48) 4. 结论
本文基于尖点突变理论建立了盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离计算方法,推导了桩基剪切效应影响下盾构开挖引起桩-隧中间土体水平位移的解析式,分析了盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离的主要影响因素,得出4点结论。
(1)考虑了桥梁桩基剪切效应的影响,推导了桩-隧中间土体水平位移解析式,不仅适用于铁木辛柯梁,也适用于欧拉–伯努利梁,具有较广泛的适用性,同时更接近桥梁桩基的实际受力情形,在工程应用中具有一定的参考意义。
(2)通过工程应用验证了本文计算方法的工程适用性,该方法给出了桩-隧中间土体突变失稳的必要条件,可有效计算盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基施工时的临界安全距离,更好地满足工程设计及施工现场的计算需求,提升设计和施工质量。
(3)桥梁桩基桩径比L/t和盾构隧道深径比h/r均是盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基临界安全距离Γ'的主要影响因素,且Γ'与L/t之间近似为指数函数关系,随L/t的增大而逐渐增大,但增速却逐渐减缓;而Γ'与h/r之间近似为二次函数关系,随h/r的增大,先增大后减小,并在h/r=8.1时达到最大值。在实际工程中应根据既有桥梁桩基桩长L和桩径t,合理选定盾构隧道中心埋深h和开挖半径r,以保证盾构隧道穿越邻近桥梁桩基施工处于安全区间,减轻穿越施工造成的桥梁桩基变形影响。
(4)本文方法仅适用于盾构隧道正交侧穿既有桥梁桩基施工的临界安全距离计算,尚未考虑斜交侧穿、下穿等其他空间位置场景,且以地层参数的加权平均值代替桩周土体的分层特性,存在一定的计算误差,同时本文方法也未对多线隧道侧穿同一桩基施工情形做出具体分析,还应在后续研究中更多考虑上述因素的综合影响,以建立精度更高且适用范围更广的盾构隧道穿越既有桥梁桩基临界安全距离计算方法。
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表 1 各层岩土体物理力学参数
Table 1 Physical and mechanical parameters of rock and soil layers
岩土层名称 层厚/ m 天然重度γ / (kN∙m-3) 黏聚力c/kPa 内摩擦角φ / (°) 压缩模量Es / MPa 泊松比 杂填土 1.8 17.8 5.5 16.5 — — 粉质黏土 5.4 17.6 25.2 24.4 8.5 0.35 粗砂 3.2 20.2 0 22.3 12.6 0.29 砾砂 14.2 22.5 0 23.6 16.3 0.25 强风化泥质粉砂岩 2.6 23.2 10.2 20.2 22.5 0.21 中风化泥质粉砂岩 20.8 23.6 13.6 21.8 25.3 0.18 表 2 不同工况下数值模型参数统计表
Table 2 Values of numerical model parameters under different working conditions
工况 s1/m s2/m t/m L/m r/m h1/m h2/m 地层
参数① 6 5.3 3 42 3 24.3 18.5 同表 1 ② 7.2 6.5 ③ 8.4 7.7 ④ 9.6 8.9 ⑤ 10.8 10.1 表 3 不同工况条件下1#~4#桩基安全距离的数值计算结果统计表
Table 3 Statistics of numerical results of safe distance of pile foundations No.1~No.4 under different working conditions
侧穿盾构隧道线路 桥梁桩基编号 墩台顶横向水平位移/ mm 桥梁桩基临界安全距离估测值/m s=(s1,s2)=(6 m,5.3 m) s=(s1,s2)=(7.2 m,6.5 m) s=(s1,s2)=(8.4 m,7.7 m) s=(s1,s2)=(9.6 m,8.9 m) s=(s1,s2)=(10.8 m,10.1 m) 左线 #1 13.2 11.9 11 9.5 7.6 6.0 #2 14.3 12.9 11.9 10.5 9.1 6.0 右线 #3 13.4 12.4 11.5 10 8.1 5.3 #4 14.8 13.4 12.4 11 9.5 5.3 -
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