水动力-应力-化学溶蚀耦合作用下劣化灰岩能量演化规律与损伤本构模型

杨忠平; 侯善萌; 张益铭; 高宇豪; 刘新荣

doi:10.11779/CJGE20231109

水动力-应力-化学溶蚀耦合作用下劣化灰岩能量演化规律与损伤本构模型 English Version

杨忠平^{1, 2, 3,},
侯善萌¹,
张益铭¹,
高宇豪¹,
刘新荣^{1, 2, 3}

1.
重庆大学土木工程学院, 重庆 400045
2.
重庆大学山地城镇建设与新技术教育部重点实验室, 重庆 400045
3.
重庆大学库区环境地质灾害防治国家地方联合工程研究中心, 重庆 400045

基金项目:

国家自然科学基金项目 42177125

国家自然科学基金项目 41972266

国家重点研发计划课题 2021YFB3901402

国家重点研发计划课题 2018YFC1504802

详细信息

作者简介:
杨忠平(1981—)，男，博士，教授，主要从事岩土工程、环境岩土等方面的教学与研究工作。E-mail：yang-zhp@163.com

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2023-11-15
- 网络出版日期: 2024-11-13
- 刊出日期: 2025-03-31

Energy evolution and constitutive model for damage of degraded limestone under coupling effects of hydrodynamic-stress-chemical corrosion

YANG Zhongping^{1, 2, 3,},
HOU Shanmeng¹,
ZHANG Yiming¹,
GAO Yuhao¹,
LIU Xinrong^{1, 2, 3}

1.
School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China
2.
Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area of Ministry of Education, Chongqing 400045, China
3.
National Joint Engineering Research Center of Geohazards Prevention in Reservoir Area, Chongqing 400045, China

摘要

摘要: 库水位常年周期性波动，导致消落带基岩处于水动力冲蚀的干湿循环状态，加之覆岩的自重作用，促使基岩强度的劣化。为研究水动力-应力-化学溶蚀耦合条件下岩体劣化规律，在现场调查基础上，开展了该耦合条件下灰岩试样劣化试验，阐明了此条件下灰岩能量演化规律并提出了损伤本构模型。结果表明：根据能率-位移曲线，将岩石破坏过程划分为易损区压密、微裂隙闭合、弹性变形、微裂隙扩展及峰后破坏5个阶段；随着劣化应力的增加，部分耗散能提前释放，耗散能与弹性能相等时的应变逐渐减小；随着干湿循环次数的增加，其破坏时总能量对应力的敏感性增强；揭示了水动力-应力-化学溶蚀耦合机理；提出了水动力-应力-化学溶蚀耦合作用下考虑压密阶段劣化灰岩的损伤本构模型，预测精度较高，可为库区灾害预测防治提供一定的理论指导。
- 水动力-应力-化学溶蚀耦合 /
- 单轴压缩 /
- 能量演化 /
- Weibull分布 /
- 本构模型
Abstract: The reservoir water level undergoes annual cyclical fluctuations, which leads to the state of hydrodynamic erosion of wetting-drying cycles of the bedrock in the hydro-fluctuation belt. In addition, the self-weight of the overlying rock mass also reduces the strength of the bedrock. To study the deterioration law of the rock mass under the coupling of hydrodynamic- stress-chemical corrosion, the degradation tests are conducted on limestone samples based on the field investigations. The law of energy evolution of limestone under the coupling of hydrodynamic-stress-chemical corrosion is elucidated, and the constitutive model for damage is proposed. The results show that according to the energy rate-strain curve, the rock failure process can be divided into five stages: compaction of vulnerable zone, microfracture closure, elastic deformation, microfracture extension, and post-peak failure. With the increase of the degradation stress, part of the dissipative energy is released in advance, and the strain at which the dissipated energy equals the elastic energy gradually decreases. The sensitivity of the total energy to the degradation stress increases with the increase of the wetting-drying cycles. The coupling mechanism of hydrodynamic-stress-chemical corrosion is revealed. The constitutive model for damage considering the deterioration of limestone at the compaction stage under the coupling of hydrodynamic-stress-chemical corrosion is proposed, which has higher prediction accuracy and can provide some theoretical guidance for disaster prediction and prevention in reservoir areas.
- hydrodynamic-stress-chemical corrosion coupling /
- uniaxial compression /
- energy evolution /
- Weibull distribution /
- constitutive model

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0. 引言

三峡库区自蓄水以来，由于其蓄水周期性调度，水位在高程145~175 m波动，水域两侧形成了高差30 m的水位波动带，即岸坡消落带^[1]。消落带基岩在干湿循环和水流冲刷作用下发生溶蚀冲蚀，导致矿物颗粒间的黏结作用弱化，促进了山体基岩节理裂隙发育扩展，形成溶蚀凹腔并剥落岩体表层；加之上覆岩体的自重作用，进一步加剧其物理力学性质的劣化^[2]，节理岩体损伤劣化很可能导致库岸边坡及危岩向不稳定的方向演化，使岸坡及危岩体的稳定性持续降低并诱发地质灾害，如2003年三峡库区秭归县千将坪滑坡^[3]、2008年巫峡龚家方崩塌^[4]均与岸坡消落带基岩劣化相关，因此，阐明岸坡消落带处基岩劣化规律具有重要意义。

水-岩相互作用是消落带岩体损伤劣化的主要诱因之一，岩体持续损伤使其具备典型的孕灾地质环境特征，如山体滑坡、危岩体崩塌、涌浪等地质灾害都与水-岩相互作用有关^[5-7]。大量研究表明，库区周期性水-岩相互作用会显著改变消落带处岩体的物理力学特性，使其黏聚力及内摩擦角降低、裂隙孔隙增多且孔径增大、节理显化与扩展，甚至孕育出新生结构面，进而导致消落带基岩失稳破坏^[8]。水-岩作用下岩石劣化的因素及机制非常复杂，其中水化学溶蚀是影响岩石失稳破坏的一个重要因素，随着水溶液浸泡时间的增加，岩石抗压强度、弹性模量及断裂韧度等参数会逐渐降低并且微观结构发生改变^[9]；不同pH的水溶液环境会对岩石内部矿物颗粒的应力状态产生影响，使岩体内部矿物处于反复“挤压-膨胀”的状态，进而对岩石强度造成不可逆的劣化损伤。而岩石损伤伴随其内部能量的积聚与耗散，其损伤破坏实质上是内部裂纹孔隙压密扩展过程中能量的相互转化^[10]，当岩体内部微元达到储能阈值时将会发生崩解破坏，导致库岸边坡及危岩体发生崩滑、涌浪等高能级工程灾害，产生巨大的生命财产安全隐患，研究岩石劣化损伤过程中能量演化规律可为岩爆、复杂应力状态下岩石的变形破坏提供一定的理论参考。在实际工程中，消落带岩体不仅受到水流冲刷、溶蚀等劣化作用，还受到来自上覆岩体的自重作用，处于水动力-应力-化学溶蚀（HSCC）多场耦合的状态。但多场耦合条件下对岩体劣化规律的研究较少。鉴于此，本文通过循环水泵形成具有一定流速的水流，模拟自然状态下的水动力冲刷；使用千斤顶施加轴力模拟覆岩的自重应力场；使用盐酸溶液模拟水化学溶蚀作用。据此，开展HSCC耦合作用下灰岩能量演化规律的探究，阐明多场耦合作用下劣化灰岩的能量演化规律，为复杂条件下消落带劣化岩体的能量演化提供参考。

岩石材料本构模型是评估其力学性能和变形性能最重要的工具之一，其研究对岩石结构的稳定性及可靠度的合理设计和精确评估具有重要意义。为表述岩石损伤变量和破坏的全过程，众多学者基于岩石压缩条件下的应力-应变响应，提出了以下研究方法：①基于连续介质损伤力学，从宏观角度建立损伤变量来描述岩石变形特性^[11]；②采用断层扫描技术，选取合适的值（如CT数）定义损伤变量^[12]；③采用基于统计学的强度理论，将岩体损伤视为一种分布函数建立岩石损伤本构模型^[13]。尽管以上研究加深了对岩石力学行为的理解，但大都对岩石压密阶段进行了简要假设，该假设对于在压密阶段呈现出明显非线性特征的岩石材料并不适用，因此在建立岩石损伤本构模型时应将岩石材料的非线性特征考虑在内。在考虑岩石材料压密阶段的非线性特征与岩石初始损伤的情况下，基于Lemaitre应变等价性假说、Weibull分布强度理论和M-C强度准则建立HSCC耦合条件下劣化灰岩强度损伤本构模型，并将试验曲线与理论曲线进行对比，验证该模型的可行性。研究成果对岸坡消落带基岩劣化规律和库区灾害预测防治具有一定的理论指导意义，有利于库区地灾防治工作。

1. 试验方法

1.1 模型概化

根据库区的地质背景，对消落带山体进行概化，如图 1所示。由受力分析可知消落带基岩受侧水压及上覆岩体自重应力作用，当库区达到最高水位175 m时，基岩所受最大水压约为0.2 MPa，但与上覆岩体自重应力相比，可忽略不计，即仅考虑消落带处的水动力冲蚀效应，将基岩进一步概化为水动力-应力耦合劣化模型。

图 1 水动力-应力耦合山体模型概化图

Figure 1. Generalization diagram of model for mountain under hydrodynamic-stress coupling

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1.2 试样制备

以中风化灰岩作为试验材料，其规格为D×H=50 mm×100 mm标准圆柱状试样。借助电子秤和游标卡尺测得标准灰岩试样的密度为2.92~2.94 g/cm³。灰岩主要矿物成分为方解石，含少量石英、生物碎屑、黏土矿物和氧化铁等金属矿物。对试件两端平行度及垂直度进行检查，均满足规范要求。

1.3 试验仪器与试验方案

为更好契合实际工程情况，自主研发了一种具有HSCC耦合功能的岩体劣化模拟试验系统及试验方法，如图 2所示。在饱和阶段，水流从进水口注入，在试验箱内流经试样后从出水口排出，以实现水流冲刷效果，使用便携式流速仪对箱内不同水面的流速进行测量，试样中部及底部流速分别为26，37 mm/s；同时，在试样上方放置钢质垫块及硅胶垫片，使试样受力具有弹性缓冲以减小各试件之间的受力误差。在试验箱底部放置千斤顶，与具有足够刚度的反力架构成应力施加装置，通过控制千斤顶对灰岩施加应力，同时在试验箱内部预制多个50 mm直径的圆形凹槽来固定试样，此阶段持续24 h；在风干阶段，利用水泵将箱内液体抽干，由于试样上方放置的铁块，为空气的流通创造了有利环境，利用鼓风机模拟自然风干，此阶段持续48 h。饱和与风干阶段相结合构成一个完整的干湿循环周期，期间持续利用千斤顶对试样施加应力，确保应力场持续耦合。

图 2 水动力-应力耦合试验装置

Figure 2. Test devices for hydrodynamic-stress coupling

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根据现场调查，库区基岩原位地应力约为2~6 MPa，鉴于此，设置3个应力水平以探讨轴向应力对灰岩劣化的影响，试验方案见表 1，每组设置4组平行试验。为加快岩石劣化进程，在饱和冲刷阶段，使用盐酸溶液加速岩样劣化，并于试验开始前开展相应的预试验，探讨pH对灰岩溶蚀的影响，共进行pH=2，3，4条件下的岩样劣化预试验，结果如图 3所示。pH=2灰岩底部伴有大面积溶蚀凹痕，化学侵蚀严重，劣化程度过大；pH=4灰岩较初始岩样无明显差异；pH=3灰岩强度及表观差异较为适中。根据先前研究，在pH低于5.5时，方解石的溶解速率具有pH与流速依赖性^[14]，并且为了加速灰岩劣化进程，最终确定pH=3为本试验化学溶蚀条件。

表 1 HSCC试验方案

Table 1. Test schemes of HSCC

序号	研究内容	加载方式	HSCC试验
序号	研究内容	加载方式	定量	变量
Ⅰ	各循环下灰岩劣化	单轴压缩	应力 (0，1，2 MPa)	n=5，10，15，20
Ⅱ	各应力下灰岩劣化	单轴压缩	循环次数 (5，10，15，20)	p=0，1，2 MPa

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图 3 pH=2，3，4情况下岩样劣化结果

Figure 3. Degradation results of samples at pH=2, 3, 4

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利用精度为0.1%F·S的JHBM-H1测力传感器监测耦合过程中灰岩试样所受应力，以便于对千斤顶及时调整，单个灰岩所受应力可为

π 。

$\sigma = \frac{F}{{n \cdot \mathtt{π} \cdot {r^2}}} 。$

(1)

式中： $\sigma$ 为单个灰岩所受应力（MPa）； $F$ 为千斤顶压力； $n$ 为灰岩试样个数； $r$ 为灰岩试样半径。

为探究轴力作用对岩石内部孔隙的影响规律，忽略由冲刷作用产生在岩石表面的开孔隙，加之CT扫描过程中的X射线源在穿过岩样时，光子平均量的升高导致的射束硬化^[15]，X射线串扰产生边缘伪影^[16]，上述情况都会造成图像表面异常，灰度值较低，边缘孔隙易被过度提取。运用Erosion命令将岩石外围缩小2个像素点，以有效避免边缘伪影，如图 4（b）中外侧蓝色圆环为伪影造成的过度分割。本文基于灰度值原理结合Interactive Thresholding算法对图像进行分割，阈值分割后的切片图像见图 4（c），最后运用Volume Fraction指令得出孔隙度，图像处理流程如图 4。

图 4 图像处理流程

Figure 4. Image processing process

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最后，将HSCC耦合劣化后的岩样在WDAJ-600电液伺服岩石剪切流变试验机上进行单轴压缩试验。WDAJ-600电液伺服试验机最大轴向荷载可达600 kN，示值相对误差在0.5%以内，满足试验要求。每次单轴压缩试验开始前，在岩石试样两端涂抹凡士林，以减少端部不平带来的试验误差，采用位移控制方式，加载速度为0.1 mm/min，直至试件破坏，具体试验流程如图 5所示。

图 5 HSCC耦合试验流程图

Figure 5. Flow chart of HSCC tests

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2. 试验结果及分析

2.1 岩石破坏过程能量分析原理

由能量守恒定律可知，系统输入的能量全部转化为岩体内部的弹性能、耗散能以及释放能，故劣化灰岩在单轴压缩过程中总能量为

。

$U = {U^{\text{e}}} + {U^{\text{r}}} + {U^{\text{d}}}。$

(2)

式中： $U$ 为单轴压缩过程中总能量； ${U^\text{e}}$ 为弹性能； ${U^r}$ 为总释放能； ${U^\text{d}}$ 为总耗散能（kJ/m³）。

由于试验期间室内温度变化很小，可认为岩石试样与外界不发生热交换，即 ${U^r} = 0$ 。故将式（2）化为

。

$U = {U^{{\text{ }}e}} + {U^{{\text{ }}d}}。$

(3)

单轴压缩下岩石单元弹性能与耗散能之间的关系如所示。面积 $U_i^\text{e}$ 为存储在岩石单元中可释放的弹性应变能， ${\varepsilon _e}$ 为弹性应变； $U_i^\text{d}$ 为单元出现损伤和塑性变形的耗散能， ${\varepsilon _{\text{d}}}$ 为塑性应变， ${E_i}$ 为灰岩试样卸载时的弹性模量。

图 6 单轴压缩试验下岩样能量转换示意图

Figure 6. Schematic diagram of energy conversion of rock samples under uniaxial compression test

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主应力空间中，岩体单元各部分吸收的总能量和弹性应变能为

$U = \int {{\sigma _1}\text{d}{\varepsilon _1} + } \int {{\sigma _2}\text{d}{\varepsilon _2} + } \int {{\sigma _3}\text{d}{\varepsilon _3}} \text{，}$

(4)

${U^\text{e}} = \frac{1}{2}{\sigma _1}\varepsilon _1^\text{e} + \frac{1}{2}{\sigma _2}\varepsilon _2^\text{e} + \frac{1}{2}{\sigma _3}\varepsilon _3^\text{e}。$

(5)

由胡克定律得

$\varepsilon _i^\text{e} = \frac{1}{{{E_i}}}[{\sigma _i} - {\nu _i}({\sigma _j} + {\sigma _k})]。$

(6)

因此，可将式（5）表示为

${U^{\text{e}}} = \frac{1}{{2{E_i}}}[\sigma _1^2 + \sigma _2^2 + \sigma _3^2 - 2{\nu _i}({\sigma _1}{\sigma _2} + {\sigma _2}{\sigma _3} + {\sigma _1}{\sigma _3})]。$

(7)

式中：σ₁， ${\sigma _2}$ ， ${\sigma _3}$ 分别为第一、二、三主应力； $\varepsilon _1^\text{e}$ ， $\varepsilon _2^\text{e}$ ， $\varepsilon_3^{\mathrm{e}}$ 分别为第一、二、三主应力对应的应变， ${\nu _i}$ ，E_i分别为泊松比和卸载时的弹性模量。为便于计算，弹性模量E₀和泊松比 $\nu$ 取值按峰值强度50%~60%的弹性段取值。

单轴压缩试验中，可将式（7）简化为

${U^\text{e}} = \frac{1}{{2{E_0}}}\sigma _1^2\text{，}$

(8)

${U^{\text{d}}} = U - {U^{\text{e}}} 。$

(9)

2.2 HSCC耦合作用下灰岩损伤破坏阶段分析

为探究不同应力下岩石内部能量转换规律，定义弹性能率为 $U{{\text{ }}^\text{e}}/U$ ，耗散能率 ${U^\text{d}}/U$ 。得到各应力下弹性能率及耗散能率随应变的规律如所示，其余工况结果类似。定义耗散能率首个峰值点对应易损区闭合应力 ${\sigma _\text{ci}}$ ，弹性能率与耗散能率相交时的应力对应弹性应力 ${\sigma _\text{cc}}$ ，曲线由线性段转为非线性段的拐点为损伤应力 ${\sigma _{{\text{cd}}}}$ ，弹性能率骤降点为峰值应力 ${\sigma _{{\text{cf}}}}$ 。由可知，耗散能率随轴向应变呈现急剧增大-线性减小-非线性减小-急剧增大的趋势。在弹性应力 ${\sigma _\text{ci}}$ 前，耗散能率随应变的增加呈现迅速增加的趋势；在 ${\sigma _\text{ci}}$ 点至 ${\sigma _{{\text{cd}}}}$ 之间，耗散能率随轴向应变的增大而减小；在达到峰值应力 ${\sigma _{{\text{cf}}}}$ 之后，耗散能率随轴向应变的增大而急剧增加^[17]。由能率-应变曲线，结合图（8）应变-能量曲线可知，岩石变形破坏过程经历了易损区压密、微裂隙闭合压密、线弹性变形、微裂隙扩展以及峰后破坏阶段。

图 7 5次循环作用下能率-应变曲线

Figure 7. Energy rate-strain curves under 5 cycles

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图 8 10次循环各劣化应力下应力-应变及能量-应变曲线

Figure 8. Stress-strain and energy strain curves under different axial forces for 10 cycles

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由还可注意到，随着应力增加，耗散能率与弹性能率相交点逐渐左移，耗散能率逐渐降低，归因于干湿循环过程中的岩石会产生微小孔隙，但产生的微小孔隙在应力作用下部分已被压缩，因此达到线弹性阶段所需的轴向应变较小，并且随着应力增加，损伤应变 ${\varepsilon _{cd}}$ 也逐渐减小，表明灰岩内部容易出现不可逆损伤。

2.3 劣化灰岩各能量特征分析

同等干湿循环次数下各应力作用的总能量、弹性应变能及耗散能随轴向应变之间的关系如图 9（a）~（c）所示。限于篇幅和图文简洁清晰，并为展示出较为明显的差异，在此仅展示了5，20次循环下的能量-应变曲线，其余试验结果类似。

图 9 5次及20次循环作用下能量图

Figure 9. Energy diagram under 5 cycles and 20 cycles

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由图 9可得，随着灰岩试件所受应力由0 MPa增加至2 MPa，岩石劣化程度加深，弹性模量下降明显，导致总能量增长速率变缓，但在较低轴压（1 MPa）及干湿循环次数（5次）下，岩石中的微孔隙被压密，导致化学溶液渗流的通道减少，水流对岩石的冲刷效果降低，劣化效应受到抑制，如图 10（e）所示；且轴压作用下的内部微孔隙还未发育，此时水化学溶液溶蚀冲刷劣化效应占主导地位，因此在较低轴压及干湿循环下，相较于无轴压试样，其总能量和弹性应变能差异并不大；随着干湿循环次数的增加及化学溶液持续冲刷，岩石表侧部分矿物颗粒被冲蚀流失，岩石骨架在轴力的作用下变得松散，颗粒与骨架胶结能力降低，岩石外部矿物颗粒在水流拖曳力作用下流失，冲刷劣化效果达到上限，如图 10（c），（f）；加之应力的持续耦合作用，促使灰岩试样内部微孔隙裂隙发育，进一步加快了耦合劣化效应，此时内部孔隙发育的劣化效应占主导地位，较大轴压下岩石试样孔隙发育及劣化程度高，总能量对应力的敏感性增强；而试样在低压卸载之后产生回弹，使得压密孔隙得以释放，孔隙度进一步增加，如图 10（g），（c）所示，但各干湿循环及轴压下孔隙发育及回弹幅度有所差异，干湿循环次数及轴压越大，孔隙度变化越大，表现在CT扫描结果中便是各工况下孔隙度不同，如图 11所示；宏观表现为强度及能量吸收降低，具体耦合示意图如图 10所示，各轴压下孔隙CT扫描结果如图 11所示。且由图 9（c）可知，随着岩石所受应力增加，在单轴压缩之前便有轻微损伤，导致部分较高轴力下耗散能提前释放，因此随着耦合作用持续进行，较高的干湿循环次数及轴压下，峰值耗散能逐渐降低。

图 10 HSCC耦合机理示意图

Figure 10. Mechanism diagram of coupling effects of HSCC

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图 11 10次循环下CT扫描结果

Figure 11. CT scanning results under 10 cycles

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结合图 3试验现象进行分析，可看出在流速较大（试验箱内底部）的冲刷条件下，灰岩试样的溶蚀现象明显，岩样表侧甚至出现颗粒剥落现象，并形成明显的溶蚀凹槽；而在流速较低的中上部位，溶蚀冲刷作用显著降低；且随着溶液酸性的增强，灰岩表面水-岩化学反应程度明显增强。归因于随着水-岩相互作用的进行，溶液环境趋于中性化，反应趋于平衡，其间生成的杂质及硅酸以沉淀的方式富集于岩样表面^[18]，导致水-岩接触率降低，阻碍进一步的化学溶蚀，而流动状态下的溶液会对表面颗粒产生拖曳力，对表面矿物持续进行冲刷剥蚀，加之酸性较强的环境也可抑制表面沉淀的生成，从而促进化学溶液与矿物颗粒的接触反应，因此在水流流速较大的部位及酸性强的溶液中，岩样溶蚀程度较大。

3. 劣化灰岩损伤本构模型

3.1 HSCC耦合下灰岩损伤模型

由HSCC耦合下灰岩应力-应变曲线可知，劣化灰岩达到峰值破坏后几乎没有残余强度，故本文基于Lemaitre应变等价性假设^[19]，考虑初始损伤变量，建立单轴压缩过程考虑初始压密阶段、忽略残余应力的劣化灰岩损伤模型：

$[\sigma ] = [C][\varepsilon ] = [{\sigma ^*}](1 - {D_1} - {D_2}) ({D_1} + {D_2} \leqslant 1) 。$

(10)

式中： $[{\sigma ^*}]$ 为有效应力矩阵； $[\sigma ]$ 名义应力矩阵； ${D_1}$ 为初始损伤变量；即劣化灰岩孔隙度值； ${D_2}$ 为后继损伤变量； $[C]$ 为材料弹性矩阵。

随着单轴压缩过程中荷载的持续增大，岩石内部微元体破坏的数量不断增多且随机分布，定义后继损伤变量 $D$ 为岩石内部破坏微元体数 ${N_\text{f}}$ 与微元总数 $N$ 之比，可得岩石损伤变量：

${D_2} = \frac{{{N_\text{f}}}}{N} = \frac{{\int_0^F {NP[x]\text{d}x} }}{N}。$

(11)

式中： $F$ 为岩石内部微元强度符合Weibull分布的随机分布变量； $P[x]$ 为岩石微元强度分布密度函数。

首先做出如下假定：①岩石材料在宏观上表现为各向同性；②微元破坏符合胡克定律；③岩石微元强度满足Weibull分布。其损伤概率分布函数为

$P[F] = \frac{m}{{{F_0}}}{\left( {\frac{F}{{{F_0}}}} \right)^{m - 1}}\exp \left[ { - {{\left( {\frac{F}{{{F_0}}}} \right)}^m}} \right]。$

(12)

结合式（11），（12）可得符合Weibull分布下岩石的损伤变量D₂：

${D}_{2}=\frac{N\left\{1-\mathrm{exp}\left[-{(F/{F}_{0})}^{m}\right]\right\}}{N}=1-\mathrm{exp}\left[-{(F/{F}_{0})}^{m}\right]。$

(13)

式中：m， ${F_0}$ 为岩石材料的Weibull分布参数。

将式（13）代入式（10）即可得到岩石在压缩过程中全过程模拟的统计损伤本构模型。此本构模型求解的关键在于损伤变量D₂的求取。M-C准则具有计算简便且适用于岩石类材料的特点，故本文中所有微元强度均采用M-C准则^[20]：

$F=f\left(\sigma^*\right)=\sigma_1^*-\tan ^2\left(45^{\circ}+\varphi / 2\right) \sigma_3^*,$

(14)

${\sigma }_{i}^{*}=\frac{{\sigma }_{i}}{(1-{D}_{1}-{D}_{2})}\text{ }（i=1,2,3）。$

(15)

式中： $\varphi$ 为内摩擦角(°)； $\sigma_1^*, \quad \sigma_2^*, \quad \sigma_3^*$ 为有效应力，名义应力分别为 $\sigma_1, \quad \sigma_2, \quad \sigma_3$ 。

结合式（14），（15）可得

$1 - {D_1} - {D_2} = \left[ {{\sigma _1} - {{\tan }^2}(45^\circ + \varphi /2){\sigma _3}} \right]/F。$

(16)

基于假设b，即内部微元符合广义胡克定律：

$\sigma _i^* = E{\varepsilon _i} + \mu (\sigma _j^* + \sigma _k^*)。$

(17)

式中： $\begin{array}{lll} \sigma_i^*, & \sigma_j^*, & \sigma_k^* \end{array}$ 分别为 $i,j,k$ 方向上的有效应力。

结合式(10)，(17)可得 $\sigma_1$ 对应的主应变 $\varepsilon_1$ ：

$1 - {D_1} - {D_2} = [{\sigma _1} - \mu ({\sigma _2} + {\sigma _3})]/E{\varepsilon _1}。$

(18)

结合式（16），（18）可得

$F = \frac{{E{\varepsilon _1}[{\sigma _1} - {{\tan }^2}(45^\circ + \varphi /2){\sigma _3}]}}{{{\sigma _1} - \mu ({\sigma _2} + {\sigma _3})}}。$

(19)

式中： $E$ 为岩石弹性模量（MPa）； $\mu$ 为泊松比。

将HSCC耦合作用下灰岩弹性模量进行拟合可得式（20），即可得到HSCC耦合作用下劣化灰岩微元强度符合Weibull分布的随机变量 $F(n,p)$ ：

$F(n,p) = \frac{{E(n,p) \cdot {\varepsilon _1}[{\sigma _1} - {{\tan }^2}(45^\circ + \varphi (n,p)/2){\sigma _3}]}}{{{\sigma _1} - \mu ({\sigma _2} + {\sigma _3})}}\text{，}$

(20)

$E(n,p) = {E_0}\left[ {1 - \ln (0.026n + 0.075p + 0.98)} \right]\text{，}$

(21)

$\varphi (n,p) = {\varphi _0}[1 - \ln (an + bp + c)]。$

(22)

式中： $E(n,p)，\phi (n,p)$ 分别为干湿循环次数为n，轴向应力为p时所对应的弹性模量（MPa）与内摩擦角(°)；E₀为灰岩初始弹性模量，为9250 MPa。

将式（19）代入式（13）可得

$\begin{aligned} & D_2=1-\exp \left[-\left(F(n, p) / F_0\right)^m\right] \\ & =1-\exp \left\{-\left(\frac{\left.E(n, p) \varepsilon_1\left[\sigma_1-\tan ^2\left(45^{\circ}+\varphi(n, p) / 2\right) \sigma_3\right)\right]}{F_0\left[\sigma_1-\mu\left(\sigma_2+\sigma_3\right)\right]}\right)^m\right\}。 \end{aligned}$

(23)

将式（23）代入式（10），可得基于Weibull分布的HSCC耦合作用后灰岩单轴压缩损伤本构模型：

$\begin{aligned} \sigma_1= & E(n, p) \varepsilon_1\left(1-D_1-D_2\right)=E(n, p) \varepsilon_1 ·\\ & \left(\exp \left[-\left(\frac{F(n, p)}{F_0}\right)^m\right]-D_1\right) \\ = & E_0[1-\ln (0.026 n+0.075 p+0.98)] \varepsilon_1 ·\\ & \left(\exp \left[-\left(\frac{F(n, p)}{F_0}\right)^m\right]-D_1\right)。 \end{aligned}$

(24)

由于岩石中存在天然的裂隙或者孔隙，应力-应变曲线在微裂隙压密阶段表现出明显的非线性特征，其斜率随应变的增加而增大。故在建立劣化灰岩损伤本构模型时应考虑压密段的影响。为便于计算，取压密段割线模量E_cs(n, p)代替E(n, p)进行压密段应力-应变曲线的描述。

令压密段最大应力 ${\sigma_\text{cs}}$ 与峰值应力 ${\sigma_\text{c}}$ 的比值为 $\alpha$ ，其对应的应变为 ${\varepsilon_\text{cs}}$ ；其割线模量E_cs(n, p)与弹性模量E(n, p)的比值为 $\beta$ ，则 ${\sigma_\text{cs}} = \alpha {\sigma _ \text{c}}$ ；E_cs(n, p)=βE(n, p)。将其代入式（20），(24)，可得到考虑压密段情况下劣化灰岩单轴压缩损伤本构模型：

（1）当 ${\varepsilon _1} \leqslant {\varepsilon _{1\text{cs}}}$ 时，

${F_\text{cs}}(n,p) = \alpha E(n,p){\varepsilon _1}\text{，}$

(25)

${\sigma _1} = \alpha E(n,p){\varepsilon _1}\exp \left[ { - {{\left( {\frac{{{F_\text{cs}}(n,p)}}{{{F_0}}}} \right)}^m}} \right] 。$

(26)

（2）当 ${\varepsilon _1} \geqslant {\varepsilon _{1\text{cs}}}$ 时，

${\sigma _1} = E(n,p) \cdot ({\varepsilon _1} - {\varepsilon _{1\text{cs}}})\exp \left[ { - {{\left( {\frac{{F(n,p)}}{{{F_0}}}} \right)}^m}} \right] + {\sigma _{1\text{cs}}}\text{，}$

(27)

$F(n,p) = E(n,p) \cdot ({\varepsilon _1} - {\varepsilon _{1\text{cs}}})\text{，}$

(28)

${\sigma _{1\text{cs}}} = \alpha E(n,p){\varepsilon _{1\text{cs}}}\exp \left[ { - {{\left( {\frac{{F(n,p)}}{{{F_0}}}} \right)}^m}} \right] = \beta {\sigma _{1\text{c}}} 。$

(29)

式中： ${\sigma _{1\text{cs}}}$ ， ${\varepsilon _{1\text{cs}}}$ 分别为压密段最大应力与应变。

式（25）~（29）即为基于Weibull分布，考虑压密段的HSCC耦合作用后劣化灰岩损伤本构模型。

3.2 模型参数确定

由HSCC耦合作用下岩石损伤强度模型可知，模型参数m， ${F_0}$ 的确定是模型求解的关键。本文采用峰值点法^[21]进行m， ${F_0}$ 的确定，其求解过程简便且物理意义明确。

根据应力-应变曲线可得以下几何特征：

${\left. {\frac{{\partial {\sigma _1}}}{{\partial {\varepsilon _1}}}} \right|_{{\sigma _1} = {\sigma _{1\text{c}}},{\varepsilon _1} = {\varepsilon _{1\text{c}}} = 0}} \text{，}$

(30)

${\left. {{\sigma _1}({\varepsilon _1})} \right|_{{\varepsilon _1} = {\varepsilon _{1\text{c}}}}} = {\sigma _{1\text{c}}}\text{，}$

(31)

${\left. {\frac{{\partial {\sigma _1}}}{{\partial {\varepsilon _1}}}} \right|_{{\varepsilon _1} = 0}} = {E_\text{cs}}(n,p) = \alpha E(n,p)。$

(32)

式中： ${\sigma _{1\text{c}}}$ ， ${\varepsilon _{1\text{c}}}$ 分别为灰岩的峰值应力和峰值应变。

根据特征a，由式（24）对 $\varepsilon_1$ 求偏导可得

$\partial {\sigma _1}/\partial {\varepsilon _1} = E(n,p) \cdot \exp [ - {(F(n,p)/{F_0})^m}] + E(n,p){\varepsilon _1} \cdot \\ \mathrm{exp}[-{(F(n,p)/{F}_{0})}^{m}]\cdot [-(mF{(n,p)}^{m-1}/{F}_{0}^{m})]\cdot E(n,p)\text{ }。$

(33)

令 $A = E(n,p)\exp [ - {(F(n,p)/{F_0})^m}] \ne 0$ ，式（33）可进一步化简为

$\partial {\sigma _1}/\partial {\varepsilon _1} = A + A[ - (mF{(n,p)^{m - 1}})/F_0^m] \cdot E(n,p)。$

(34)

令式（34）=0可得：

$1 + [ - (mF{(n,p)^{m - 1}}/F_0^m)] \cdot E(n,p) = 0。$

(35)

结合式（13），（18），（19），（28），（35），可得考虑压密段影响的情况下 ${F_0}$ 和m的值：

$m = \frac{1}{{\ln [E(n,p) \cdot ({\varepsilon _{1\text{c}}} - {\varepsilon _{1\text{cs}}})/({\sigma _{1\text{c}}} - {\sigma _{1\text{cs}}})]}}\text{，}$

(36)

${F_0} = F(n,p){m^{1/m}} = E(n,p) \cdot ({\varepsilon _{1\text{c}}} - {\varepsilon _{1\text{cs}}}){m^{1/m}}。$

(37)

3.3 预测模型验证

为验证本文所提出的HSCC耦合作用下的灰岩劣化强度预测模型的合理性与可行性，利用试验所测得的各参数与模型所得到的理论值进行对比。根据应力-应变曲线特征，压密段最大应力 ${\sigma_\text{cs}}$ 约为峰值应力 ${\sigma_\text{c}}$ 的10%~20%，故取α=10%~20%；压密段割线模量E_cs(n，p)约为弹性模量E(n，p)的50%，故取 $\beta$ =50%。根据拟合方法所得具体参数如表 2所示。

表 2 模型参数

Table 2. Model parameters

循环次数n	轴向应力/MPa	峰值强度/MPa	F₀/ MPa	m	弹性模量拟合值/MPa
5	0	86.26	88.09	37.79	8525
	1	86.07	82.33	36.35	7920
	2	81.74	77.87	33.61	7836
10	0	80.45	77.49	27.11	8043
	1	76.98	78.05	26.70	7150
	2	68.96	68.13	24.29	7034
15	0	74.90	78.65	25.94	6768
	1	65.57	67.70	25.73	6596
	2	58.80	48.37	11.04	6895
20	0	49.41	50.96	22.15	6223
	1	42.87	45.58	22.11	5607
	2	39.12	52.41	10.50	5256

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将中的参数代入式（25）~（29）可得到不同工况下劣化灰岩的应力-应变理论曲线并将其与试验曲线进行对比如所示，图例中的T表示室内试验所得曲线，以实线表示，F表示本构方程拟合所得曲线，以虚线表示。式中参数 ${F_0}$ 可解释为表征灰岩平均宏观强度的指标；参数m可解释为岩样脆性大小的指标，m越大，岩石脆性越大。

图 12 试验曲线与理论曲线对比

Figure 12. Comparison between test and theoretical results

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由图 12可看出，提出的HSCC耦合作用下的劣化灰岩本构模型的理论值与试验值拟合效果良好，能够较好地预测HSCC耦合作用下的劣化灰岩强度。

4. 结论

（1）随着劣化应力的增加，岩石峰值总能量与弹性应变能逐渐减小，且总能量与弹性应变能随应变的增长速率变缓，岩石的能量储存能力降低，总能量对应力的敏感性增强。

（2）根据能率-位移曲线，将劣化灰岩试样破

坏过程分为5个阶段：易损区压密、微裂隙闭合、弹性变形、微裂隙扩展及峰后破坏阶段。

（3）灰岩试样在HSCC耦合劣化过程中不断产生微小裂隙，部分耗散能提前释放，导致单轴压缩中灰岩耗散能率较低且达到线弹性阶段的位移提前，这在能率图中表现为耗散能与弹性能交点左移，且灰岩达到不可逆损伤的应变减小。

（4）在考虑岩石压密阶段非线性特征及初始损伤的情况下，基于Lemaitre应变等价性假说、Weibull分布强度理论和M-C强度准则，建立HSCC劣化灰岩本构模型并与试验值进行对比，拟合效果良好。

图 1 水动力-应力耦合山体模型概化图

Figure 1. Generalization diagram of model for mountain under hydrodynamic-stress coupling

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图 2 水动力-应力耦合试验装置

Figure 2. Test devices for hydrodynamic-stress coupling

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图 3 pH=2，3，4情况下岩样劣化结果

Figure 3. Degradation results of samples at pH=2, 3, 4

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图 4 图像处理流程

Figure 4. Image processing process

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图 5 HSCC耦合试验流程图

Figure 5. Flow chart of HSCC tests

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图 6 单轴压缩试验下岩样能量转换示意图

Figure 6. Schematic diagram of energy conversion of rock samples under uniaxial compression test

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图 7 5次循环作用下能率-应变曲线

Figure 7. Energy rate-strain curves under 5 cycles

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图 8 10次循环各劣化应力下应力-应变及能量-应变曲线

Figure 8. Stress-strain and energy strain curves under different axial forces for 10 cycles

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图 9 5次及20次循环作用下能量图

Figure 9. Energy diagram under 5 cycles and 20 cycles

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图 10 HSCC耦合机理示意图

Figure 10. Mechanism diagram of coupling effects of HSCC

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图 11 10次循环下CT扫描结果

Figure 11. CT scanning results under 10 cycles

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图 12 试验曲线与理论曲线对比

Figure 12. Comparison between test and theoretical results

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表 1 HSCC试验方案

Table 1 Test schemes of HSCC

序号	研究内容	加载方式	HSCC试验
序号	研究内容	加载方式	定量	变量
Ⅰ	各循环下灰岩劣化	单轴压缩	应力 (0，1，2 MPa)	n=5，10，15，20
Ⅱ	各应力下灰岩劣化	单轴压缩	循环次数 (5，10，15，20)	p=0，1，2 MPa

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表 2 模型参数

Table 2 Model parameters

循环次数n	轴向应力/MPa	峰值强度/MPa	F₀/ MPa	m	弹性模量拟合值/MPa
5	0	86.26	88.09	37.79	8525
	1	86.07	82.33	36.35	7920
	2	81.74	77.87	33.61	7836
10	0	80.45	77.49	27.11	8043
	1	76.98	78.05	26.70	7150
	2	68.96	68.13	24.29	7034
15	0	74.90	78.65	25.94	6768
	1	65.57	67.70	25.73	6596
	2	58.80	48.37	11.04	6895
20	0	49.41	50.96	22.15	6223
	1	42.87	45.58	22.11	5607
	2	39.12	52.41	10.50	5256

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