0.   引言

填筑体压实质量控制是影响填方工程施工质量的关键因素。随着定位导航技术、传感器监测技术、物联网、云计算等信息科学技术的发展，连续压实控制技术在道路、大坝、机场等领域得到广泛应用^[1-5]。结合连续压实控制技术在实际工程的应用，国内外学者基于压实轮的振动特性提出了许多评价填筑体压实状态的连续压实指标，例如CMV（compaction meter value)^[6]、CCV(continuous compaction value）^[7]、CV（compaction value）^{[1, 8]}、VCV（vibratory compaction value）^[9-10]等。在采用连续压实控制技术对地基进行压实之前，需要通过填料的物理力学指标，例如压实度、孔隙比、地基系数K₃₀等，确定连续压实指标目标值。在压实过程中，通过连续压实指标实时监测值与连续压实指标目标值的比较判断碾压层物理力学状态达到规定的程度，从而实现压实质量实时控制。传统方法通常采用经验公式来定量地描述土性参数与连续压实指标之间的关系，并将经验公式所得连续压实指标目标值作为施工过程中的质量控制标准^{[7, 10-12]}。然而，采用传统经验公式确定目标值的方法，从数理统计的角度分析，试验监测点数量小，而且回归曲线只是一次抽样分析的结果，严重影响了回归模型参数与所得目标值的可信度；同时，因为每次试验选取的监测点位置具有随机性，那么由回归方程计算得到的连续压实指标目标值之间也存在一定的差异，从而增加了连续压实指标目标值的不确定性，影响了压实质量控制标准的可靠性，存在因无法有效保障填筑体压实质量而造成岩土工程灾害的危险。因此，对于这类确定连续压实指标目标值的方法，应基于统计学相关理论从经验公式置信带角度研究取值问题，从而制定更加合理、科学的施工标准。

目前，在将连续压实控制技术应用于实际工程时，国内外学者大多采用经验公式直接确定目标值，而关于经验公式置信带的相关研究很少。Mooney等^[7]在计算指标目标值时引入置信区间，从而增加了取值的可信度，但是该方法在计算过程中假设残差服从或者近似服从正态分布，从而使所得目标值置信区间过宽，造成过高估计，导致施工设计过于保守，故该方法具有一定局限性。如何在有限试验数据条件下，确定合理可靠的连续压实指标目标值，进而指导施工具有重要意义。

1979年，Efron^[13]提出了Bootstrap方法，该方法为小样本统计推断问题的解决提供了新的思路。随着计算机技术的发展，该方法在各领域中得到了快速发展与应用。Bootstrap已经广泛应用在机械、航空等领域^[14-17]。近年来，Bootstrap法也在岩土工程领域得到初步应用，具有较好的应用前景。谢桂华等^[18]基于Bootstrap法较好推断出沉降计算经验系数概率分布特征以及置信区间，并通过某客运专线实例证明该方法的合理性。Luo等^[19]基于Bootstrap法分析了土性参数变异性对支护开挖失效概率的影响。唐小松等^[20]基于Bootstrap法提出了一种根据有限数据将边坡可靠度指标表示为具有一定置信度水平的置信区间的方法。骆飞等^[21]、罗强等^[22]通过对小样本岩土参数的分析，表明Bootstrap法相比于常用的t分布法能收窄参数均值置信区间，所得标准值更加接近真值。

为了解决上述问题，本文提出了一种基于Bootstrap法的连续压实指标目标值计算方法，并通过现场试验数据对比分析了该方法与传统经验公式法、文献所用方法^[7]所得目标值的估计差异，探讨了试验数据相关性对Bootstrap法确定压实指标目标值的影响，从而验证了该方法计算压实指标目标值的可行性与有效性。

1.   传统经验公式法

随着连续压实控制技术在实际工程中的广泛应用，欧洲国家以及美国均颁布了相关的施工标准和规范。中国铁路总公司和交通运输部根据大量的工程经验也分别制定了相关规程^[11-12]，规程均指出：连续压实指标与常规质量验收指标之间的相关关系应采用线性回归模型确定，回归模型如下：

式中，x为常规质量验收指标值，y为连续压实指标监测值。

设有n（n≤30）组现场试验数据，通常采用最小二乘法拟合出具体的回归方程，如图 1所示，将参数a和b的估计值记作$\hat a$和$\hat b$。

图  1  传统质量验收指标与连续压实指标回归曲线

Figure  1.  Regression line of conventional quality acceptance index and continuous compaction index

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另外，规程规定在满足相关系数r大于0.7情况下，才能通过下式计算连续压实指标目标值[y]：

式中，[x]为施工设计规定的质量验收指标合格值。

目前，实际工程中所采用的压实质量控制方法为：在满足规程要求的情况下，经现场相关校验试验确定连续压实指标目标值，并用该目标值指导施工段的质量控制。当连续压实指标监测值小于目标值时认为不满足压实质量要求，反之认为满足压实质量要求。因此，连续压实指标目标值作为评判碾压层压实程度的重要指标，其可靠性是保障工程质量的基础。然而基于小样本试验数据采用式（2）确定目标值的方法存在不足：从概率统计角度，直接用式（2）来估值，其可信程度无法保证；从工程施工角度，采用式（2）所得目标值控制压实质量，存在施工质量隐患。

2.   基于Bootstrap法的目标值计算

2.1   构建回归模型置信带

为解决传统方法在计算连续压实指标目标值方面存在的缺陷，本文引入区间估计，即置信带估计的方法来确定压实指标目标值。选用该方法的意义在于，连续压实指标目标值的估计，虽然以式（1）为估值中心，但其仍旧存在可能波动的范围。为了确保由式（1）估计的回归曲线具有一定的置信度，需要构建回归曲线置信带，线性回归模型置信带可表示为

式中，1-$\alpha$表示置信度或置信水平，-${\eta _ - }$和${\eta _ + }$分别为置信带上下边界的比例系数，$\hat \sigma$为标准误差，其计算公式为

式中，r_i(i=1，2，3，…，n)为预测值与实际值的原始残差，计算公式为

同时，定义

那么，式（3）可以简化成

然而精确计算式（7）中的${\eta _ - }$和${\eta _ + }$通常是比较困难的，但是可以通过Bootstrap置信区间法得到。

2.2   Bootstrap法确定连续压实指标目标值

Bootstrap方法的核心是无需对参数分布类型进行假设，能够利用已有少量试验数据多次重复抽样，使小样本问题转化成大样本问题，在此基础上分析推断某种未知统计量参数的置信区间及其抽样分布^[13]，其具体步骤如下：

（1）利用最小二乘法拟合n组原始试验数据(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(x_n，y_n)，得到线性回归模型参数估计值$\hat a$和$\hat b$。

（2）由式（5）计算数据残差r_i（i=1，2，3，…，n），为保证残差具有恒定的方差，修定残差^[23]公式为

式中，$\bar x = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}$。最终形成初始残差样本Ε=(ε₁，ε₂，ε₃，…，ε_n)，其中${\varepsilon _i} = {e_i} - \bar e$，$\bar e = \sum\limits_{i = 1}^n {{e_i}}$。

（3）采用有放回再抽样的方式对初始残差样本E进行n次抽样，获得第一个残差Bootstrap样本Ε₁^*=(ε₁₁^*，ε₂₁^*，…，ε_n1^*)^T。

（4）将步骤（3）重复B次，得到能反映总体残差的B个Bootstrap样本，以n×B矩阵表示如下：

（5）根据Bootstrap样本E_j^*(j=1，2，3，…，B)，由下式得到新的n组数据(x_i, y_ij^*)(i=1，2，3，…，n)：

采用最小二乘法拟合新数据(x_i，y_ij^*)确定回归系数的Bootstrap估计值($\hat a_j^*$，$\hat b_j^*$)，然后根据n组新数据由式（4），（5）计算得到新的残差以及$\hat \sigma$的Bootstrap估计值$\hat \sigma _j^*$，同时定义

因此，由B组Bootstrap样本计算得到η(x)序列$\boldsymbol{\eta} = ({\eta _1}(\bar x), {\eta _2}(\bar x), \cdots , {\eta _B}(\bar x))$。

（6）确定比例系数的-η_-和η₊。考虑到百分位法在概率收敛性上存在缺陷，本文采用纠偏百分位法^{[13, 24]}降低区间估计结果的偏差。在计算过程中，若出现大部分Bootstrap估计量$\eta _j^*(\bar x)$大于（小于）${\hat \eta _j}(\bar x)$，则说明Bootstrap高估（低估）了${\hat \eta _j}(\bar x)$，必须纠正这一偏差。将序列$\boldsymbol{\eta}$中的元素进行升序排列，得到序列${\boldsymbol{\eta} ^*} = [\eta _1^*(\bar x), \eta _2^*(\bar x), \cdots , \eta _B^*(\bar x)]$。定义纠偏量b₀，其计算公式如下：

式中，${\mathit{\Phi } ^{ - 1}}$(•)为标准正态分布函数的反函数，$I(\eta _j^*(\bar x))$为示性函数，即

因此，可以构造出比例系数$\eta$的置信度为(1- $\alpha$)×100%的纠偏百分位法置信区间[${\kappa _{{p_1}}}$，${\kappa _{{p_2}}}$]，其中${p_1}$和${p_2}$均为[0, 1]内的小数，其计算公式分别为${p_1} =$ $\mathit{\Phi } ({z_{{\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}} + 2{b_0})$，${p_2} = \mathit{\Phi } ({z_{1 - {\alpha \mathord{\left/ {\vphantom {\alpha 2}} \right. } 2}}} + 2{b_0})$，z_α为标准正态分布数，$\alpha$为显著性水平，本文取0.05，${\kappa _{{p_1}}}$，${\kappa _{{p_2}}}$分别为${\boldsymbol{\eta} ^*}$的${p_1}$和${p_2}$分位数，即$- {\eta _ - } =$${\kappa _{{p_1}}}$，${\eta _ + } =$${\kappa _{{p_2}}}$。

（7）根据步骤（6）计算得到的置信区间[$- {\eta _ - }$，${\eta _ + }$]，确定回归曲线的(1-$\alpha$)×100%置信带，其上下边界方程表达式分别如下：

（8）由式（14）得到常规验收指标值[x]对应的连续压实指标目标值的置信度为(1-$\alpha$)×100%的置信区间[TV₁，TV₂]，其中TV₁和TV₂的计算公式如下：

根据上述步骤，绘制Bootstrap法计算连续压实指标目标值置信区间的原理图，如图 2所示。

图  2  Bootstrap法原理图

Figure  2.  Schematic diagram of Bootstrap method

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3.   实例验证

为了验证Bootstrap法计算连续压实指标目标值的可行性与有效性，本文以文献[7]中的现场试验数据为例进行分析。文中将压实区域南端2.4 m×30 m区域选为校验区域，并在校验区域内设置5个测量位置，每个位置沿着车轮宽度方向布置3个原位测量点，如图 3所示。分别在碾压1，2，3，4，8和12遍之后，采用触探法获得测量点干重度${\gamma _{\text{d}}}$，取每个测量位置处3个原位测量点测量值的平均值作为该位置的干重度${\gamma _{\text{d}}}$，并通过安装在机械上的CMV测量系统得到碾压轨迹上对应测量位置处的连续压实指标值（CMV），总共采集${\gamma _{\text{d}}}$和CMV样本30组，具体试验数据见表 1。

图  3  校验区域与压实区域^[7]

Figure  3.  Calibration and compaction areas

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表  1  现场试验数据

Table  1.  Test data

参数	${\gamma _{\text{d}}}$	CMV
试验数据	15.52 15.58 15.66 15.76 15.82 15.72 15.91 15.94 16.09 16.13 16.20 16.35 16.11 16.14 16.31 16.31 16.56 16.54 16.56 16.74 16.55 16.76 16.96 16.82 16.80 17.04 17.21 17.25 16.96 16.96	3.86 5.96 8.07 11.93 14.04 20.00 20.00 7.37 8.07 17.89 18.95 17.89 20.70 31.93 26.32 33.68 30.88 32.63 33.68 22.46 40.35 41.40 38.95 47.02 49.82 44.91 50.88 53.68 56.84 57.89
平均值	16.38	28.945
方差	0.2	260.361

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3.1   Bootstrap再抽样次数选择

实际工程中一般为了降低施工质量风险而附加一定的安全系数。针对本文所研究的连续压实指标而言，为了保障填筑体的压实质量，降低质量风险，提高可信度，本文取连续压实指标目标值的置信上限值TV₂为指标目标值。根据表 1中的数据，按照图 2所描述的求解连续压实指标目标值的方法，得到在置信度为95%情况下比例系数${\eta _ + }$随再抽样次数B的变化趋势，如图 4所示。

图  4  比例系数η₊随抽样次数B的变化趋势

Figure  4.  Scale factor vs. sampling numbers

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由图 4可知，图中曲线前部波动大，而当再抽样次数达到10000后，比例系数${\eta _ + }$基本保持一种较稳定的状态，表明此时的再抽样次数对比例系数取值影响较小，故确定再抽样次数B=10000，而且此再抽样次数对于目前计算机的计算速度而言比较合理。

3.2   结果分析

采用式（1）拟合表 1中的30组${\gamma _{\text{d}}}$和CMV的现场试验数据，得到${\gamma _{\text{d}}}$和CMV之间的回归方程：

式中，x为${\gamma _{\text{d}}}$的数据集合，y为CMV的数据集合。

由式（5），（8），（9），（16）得到初始残差样本E，经由放回再抽样10000次获得10000组残差的Bootstrap样本，组成矩阵$\boldsymbol{E}_{30 \times 10000}^*$，最后根据式（11）得到10000组比例系数η，图 5为比例系数$\eta$的频率分布直方图。另外，通过对分析例系数$\eta$的概率分布类型，经K-S检验和Q-Q图检验结果表明比例系数$\eta$近似服从正态分布N（-0.0051，0.192），分别如图 6，7所示。

图  5  比例系数频率分布直方图

Figure  5.  Histogram of frequency distribution of scale factor

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图  6  实际累积频率与理论累积频率对比

Figure  6.  Comparison between actual cumulative frequency and theoretical cumulative frequency

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图  7  Q-Q图

Figure  7.  Q-Q plot

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根据Bootstrap法得到的10000组比例系数η，采用纠偏百分位法确定比例系数η的置信度为95%的置信区间[-0.391，0.359]，并由式（4），（5），（16）计算出残差标准误差$\hat \sigma$=7.14，然后由式（14）得到上下限线方程y_up和y_down，其表达式分别如下：

文献[7]中的计算方法假设残差服从正态分布N(0，${\hat \sigma ^2}$)，根据假设条件确定置信带上下限线方程，其计算表达式见式（18）。针对表 1的现场试验数据，文献[7]取$\alpha$=0.2，然后得到置信带上下限线方程。

根据式（16）~（18）绘制本文计算所得回归曲线及其置信带和文献[7]的计算结果，如图 8所示。图 8中双点划线表示实现最佳拟合曲线，实线表示本文采用图 2中的方法确定的置信度为95%的回归曲线置信带上下边界，而虚线是文献[7]给出的置信度为80%的回归曲线置信带上下边界。通过对比3种方法得到的连续压实指标目标值可知：根据本文所得置信带计算任意x值所对应的估值y的置信区间明显更窄，即使本文所取置信度更高。对于给定的一个${\gamma _{\text{d}}}$，本文方法是对CMV均值的区间估计，该区间只包含由回归模型中的参数估计值与实际值存在差异而导致的误差。而文献[7]中描述的方法是对CMV个值的区间估计，该区间不仅包含上述误差，还包含被解释变量在模型可解释部分之外的随机误差项^[25-26]。此外，图 8中正方形代表常规方法确定的压实质量目标值，实心圆表示本文方法确定的目标值，三角形表示文献[7]所用方法确定的目标值，可以看出在相同的干重度下${\text{CMV}}_{三角形}$＞${\text{CMV}}_{实心圆}$＞${\text{CMV}}_{正方形}$。因此，本文所采用的的基于Bootstrap法计算压实指标目标值的方法不仅在一定程度上能够降低施工质量风险，而且避免了过盈估计，提高了质量控制的可靠性和压实工程的经济效益。

图  8  回归曲线及其置信带

Figure  8.  Regression line and confidence band

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图 6，7表明10000组比例系数$\eta$近似服从正态分布，确定其平均值u为-0.0051和标准误差SE为0.192，分别采用正态分布近似法以及纠偏百分位法得到${\eta _ + }$和$- {\eta _ - }$，计算结果见表 2。，

表  2  ${\eta _ + }$和$- {\eta _ - }$计算结果

Table  2.  Values of ${\eta _ + }$ and $- {\eta _ - }$

指标	正态分布近似法	纠偏百分位法
上限${\eta _ + }$	0.368	0.360
下限$- {\eta _ - }$	-0.378	-0.391

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通过表 2的计算结果可以得出，按照正态分布近似法与纠偏百分位法计算的$\eta$的置信度为95%的置信区间基本相近，因此在确定$\eta$上下限值时，如果施工要求不是很高则可以采用正态分布近似法替代纠偏百分位法，从而使比例系数$\eta$的区间估计过程更加简单。

通过式（3）和图 8，相比于常规的压实指标确定方法，Bootstrap法计算得到的目标值可以对压实质量风险进行补偿，补偿值Δy计算公式为

根据文献[7]中另一组现场试验数据^[7]，按照相同的步骤绘制回归曲线及其置信度为95%的置信带，如图 9所示。由试验数据确定图 9中干重度${\gamma _{\text{d}}}$与CMV的相关系数r为0.72，而图 8中两者的相关系数r为0.9。对比图 8，9，由于图 9中试验数据相关性更小，造成比例系数η₊和标准误差$\hat \sigma$均变大，从而导致计算得到的连续压实指标目标值的置信区间更宽，即具有更高的补偿值Δy。规程^[11-12]规定在进行现场校验试验时相关系数只需要满足r＞0.7就可以通过式（2）确定压实指标目标值，而且实际工程中的现场试验数据相关性普遍比较小，采用基于Bootstrap法确定的连续压实指标目标值置信区间较宽，补偿值较大。相比于传统经验公式确定的目标值，本文所提方法确定的目标值提高了压实质量控制的可信度与可靠性，保障了施工质量，可为实际工程中连续压实指标目标值的取值提供参考，因此采用本文所提出的方法计算连续压实指标目标值是十分有必要的。

图  9  回归曲线及其置信带

Figure  9.  Regression line and confidence band

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4.   结论

现场试验数据样本具有一定随机性且数量有限，采用传统经验公式法确定的连续压实指标目标值具有较低的可信度，无法保证填筑体的压实质量。基于上述问题，首次将统计学中的Bootstrap法应用到地基压实工程，提出了一种基于Bootstrap法的连续压实指标目标值计算方法，并通过现场试验数据对本文所提方法进行验证，得出以下3点结论。

（1）基于Bootstrap法确定的连续压实指标目标值具有明确的统计学概率意义，无需对参数的实际分布进行任何假设，能够利用已知有限个现场压实试验数据进行多次重复抽样，将小样本问题转化成大样本问题进行分析。

（2）与文献[7]中已有的目标值估计方法相比，根据本文所提方法得到的目标能够避免目标值估值过高，可以达到在保证压实质量的同时提高经济效益的目的。

（3）相比于常规的目标值计算方法，采用Bootstrap法得到的目标值具有更高的可信度和可靠性，同时可以对压实质量风险进行补偿，且补偿值随着试验数据相关性减小而增大，在试验数据相关性普遍较小的情况下降低了压实不足的风险，保障了施工质量。