0.   引言

岩体结构受地质作用和工程行为影响常形成削弱岩体整体强度的结构面，对岩体结构面力学特性和工程性质的研究一直是岩石力学领域的热点话题。在常见的工程地质灾害中，结构面的峰值剪切强度是最主要的控制性指标。研究表明，剪切性能主要受法向应力和粗糙度控制，同时对于非吻合结构面还受充填物力学性质和充填度的影响。因此研究的核心聚焦在表征粗糙度系数（JRC），Barton和Choubey基于视觉直观确定的标准轮廓线JRC值被国际岩石力学学会认定为标准方法^[1]，形式上，粗糙度系数是抗剪强度和法向应力的导出参数，即$f({\text{JRC}}) = ({\tau _{\text{f}}} - c)/{\sigma _{\text{n}}}$，实质上是对结构面抵抗剪切向相对位移的几何形貌特性的描述。对于前者，利用试验反算的办法获取精确JRC值是一种舍本逐末的思路^[2]，但能够为其他表征模型通过反算JRC建立对比验证标准，具有一定的实际价值。国内外学者通过定量表征与剪切行为相关的结构面形貌特征，从而建立十多套强度预测模型。二维层面，以结构面剖面轮廓线的几何特征为参数，发展出反映起伏高（RMS、CLA、MSV、SD_h）、起伏角（Z₂、Z₃、Z₄、SD_i）的统计参数^[3-5]，并通过积分和差值推广到三维。利用分形思想通过试验建立分形维数D值与JRC映射关系能够有效避免采样间距的不利影响，但受分形方法的多样缺乏统一性。为解决分形维数对尺寸效应的敏感性，易成^[6]提出了${R_{\text{d}}}$指标和形状因子$\lambda$的双参数模型。除此之外，唐志成等^[7]提出角粗糙度${\theta _R}$反映剖切轮廓线长度和角度对粗糙度的影响，孙辅庭^[8]基于分形截距${A_\theta } = \ln {\theta _0}$构造了引入平均抵抗角的参数SRI。上述二维表征本质上依旧属于JRC-JCS模型的推广，无法反映空间几何形貌。与二维向三维展拓的思路不同，Tang等^[9]通过改变光线照射结构面表面的角度得到一系列不同光亮面积的二值图像，经计算像素点数提出了光亮面积比BAP参数表征粗糙度。葛云峰等^[10]提出了引入能量原理的粗糙度表征思路，Chen等^[11]利用面积覆盖法提出了基于多重分形理论的粗糙度参数$\Delta \alpha$和$\Delta D$反映谱宽和广义阈值宽度。上述表征参数在理论上定义了结构面三维粗糙特性，但无法建立峰值抗剪强度模型。蔡毅等^[12]利用凸体微元迎剪向和水平向的投影面积比${I_{{\text{PAP}}}}$定义了反映潜在接触面积的粗糙度参数。Grasselli等^[13]在大量直剪试验的基础上，提出了耦合方位角信息的视倾角${\theta ^{\text{*}}}$概念，通过分布参数C和迎剪向凸体最大可能接触比${A_{{\theta ^{\text{*}}}}}$定义了粗糙度参数${\theta ^*}/C$，并建立了对应的峰值剪切强度预测模型，Tatone等^[14]进一步修正为${A_0}\theta _{\max }^{\text{*}}/$ ${\text{(}}C{\text{ + }}1{\text{)}}$，国内外学者由此发展出一系列强度预测模型，Grasselli粗糙度系统被认为是真正意义上的三维表征。

结构面的粗糙度是一个复杂的多元非线性特性，前述的表征无论是在二维还是三维层面都只反映了剖面轮廓线或者结构面表面微元凸体的某一特性，被广泛认可的Grasselli粗糙度系统实质上也是微元凸体起伏角特性在空间内面积分布的表征。Hong等^[15]报道了单一指标估算JRC值普遍偏低的现象。因此部分学者认为应当采用多指标表征结构面粗糙度，李化^[16]选取了12个相关指标、宋磊博^[17]提出了3指标联合粗糙度参数SC、李化等^[18]考虑起伏度和伸长率特征建立双参数模型，除此之外还有其他学者提出了不同的多参数表征方法^[19-21]。这些模型各指标之间存在信息重叠，指标系统中存在多个描述同一个几何性质的指标，各指标在描述结构面形貌几何性质时不具有独立性而表现为表述信息的重叠，并未完全抓住本质特征，且仅通过简单回归或拟合的方法无法解决非线性问题。

近些年，基于人工智能和深度学习的智能算法普遍应用在岩土工程领域^[22-23]，为解决复杂非线性问题提供了新思路，在结构面粗糙度表征方面，Wang等^[24]利用因子分析和支持向量机开展多参数分析提供了一个有益尝试。本文以前述的结构面粗糙度参数为基础，引入因子分析降维剥离重叠信息并建立粗糙度表征的RBF神经网络模型，通过样本数据和实证数据基于JRC标准值验证模型的有效性。

1.   因子分析

1.1   指标正向标准化

由多项不具有独立性的统计参数构成的指标系统，通过因子分析可以实现降维和公共因子的提取。为有效剥离逆向指标和量纲的不利影响并且尽可能多的保留原始信息，在分析过程中有必要将多项相关指标进行正向化和标准化，原理如下：

式中${x_{ij}}$为第i个指标的第j个原始参数；${\mu _i}$为第i个指标的平均参数；${S_i}$为第i个指标的标准差；${\sigma _i}$为第i个指标的方差；$X_{ij}^*$为指标${x_{ij}}$的标准化参数；$x_i^{\max }$为第i个指标中的最大值，即$x_i^{\max } = \max \left\{ {{x_{ij}}} \right\}$；$x_i^{\min }$为第i个指标中的最大值，即$x_i^{\max } = {\text{max}}\left\{ {{x_{ij}}} \right\}$；$X_{ij}^ +$为指标${x_{ij}}$的正向化参数；其中，i =1, 2, …, m，j=1, 2, …n。

1.2   公共因子的提取^[25]

将标准化后的指标系统定义为一个n维总体${\mathit{\boldsymbol{X}}^*}\text{=}（{X}_{1}^{*}, {X}_{2}^{*}, \cdots , {X}_{n}^{*}{）}^{\text{T}}$，且定义

均值为$\mathit{\boldsymbol{\mu }} = {{\rm{(}}{\mu _1}, {\mu _2}, \cdots , {\mu _{\rm{n}}}{\rm{)}}^{\rm{T}}}$；

协方差$\mathit{\boldsymbol{D}} = {({\sigma _{ij}})_{n \times n}}$；

相关系数$\mathit{\boldsymbol{R}} = {({\rho _{ij}})_{n \times n}}$；

其用于因子分析的统一形式表示为

式中，$\mathit{\boldsymbol{F}}$为公共因子矩阵$\mathit{\boldsymbol{F}} = {{\rm{(}}{F_1}, {F_2}, \cdots , {F_m}{\rm{)}}^{\rm{T}}}$，一般的$m = n$；$\mathit{\boldsymbol{\psi }}$为载荷矩阵$\mathit{\boldsymbol{\psi }} = {({\psi _{ij}})_{{\rm{n}} \times {\rm{m}}}}$；e为特殊因子向量$\mathit{\boldsymbol{e}} = {\left( {{e_1}{\rm{, }}{e_2}{\rm{, }} \cdots {\rm{, }}{e_m}} \right)^{\rm{T}}}$。

为降低运算的冗余度，通常可设定公因子和特殊因子具有独立性，且公因子具有标准统计量，因此对于式（3）做基本假设：

（1）对于公共因子设$D(\mathit{\boldsymbol{F}}) = {\mathit{\boldsymbol{E}}_{m \times m}}$；

（2）对于特殊因子设

（3）对于公因子和特殊因子设$\Upsilon (\mathit{\boldsymbol{F}}, \mathit{\boldsymbol{e}}) = 0$。

公因子提取的核心在于载荷矩阵的确定，主成分分析法（PCA）是应用范围最广的计算方法，其基本假设在于指标系统变量构成公因子的线性组合，以方差值作为权重，使得公因子能够尽可能的反映指标系统的原始参数的方差，并依次反映方差值的降序变化。计算方法如下：

（1）构造${\mathit{\boldsymbol{X}}^*}$的指标的系统矩阵

式中，$x_{ij}^* = \frac{{{x_{ij}} - {{\hat x}_i}}}{{{\sigma _i}}}$，${\widehat{x}}_{j}，\sigma$为指标系统中第i个指标的平均值和标准差。

（2）计算${\mathit{\boldsymbol{X}}^*}$的相关系数矩阵

（3）${\mathit{\boldsymbol{P}}^*}$的相似对角化

式中，${\mathit{\Phi }_{{\mathit{\boldsymbol{P}}^*}}}$为特征向量矩阵，${\mathit{\Lambda }_{{\mathit{\boldsymbol{P}}^*}}}$为特征值矩阵。

（4）计算载荷矩阵

（5）确定m值，设定贡献率为90%

（6）计算公共因子

2.   RBF神经网络

RBF（radialbasisfunction）是一种基于多变量差值径向基函数建立的神经网络结构（图 1），通过三层网格以此进行非线性向线性的跨层变换，有效提升学习效率的同时避免了局部极小的问题。与隐含层神经元数目随进程反馈而变化的算法相比，本文采用的确定神经元算法效率更高。

图  1  RBF神经网络结构

Figure  1.  Structure of RBF neural network

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算法的学习步骤如下：

（1）确定径向基函数中心

定义$\boldsymbol{X}^{*}$$\boldsymbol{Y}^{*}$分别为样本输入矩阵和输出矩阵。

$x_{ij}^*$为输入样本第i个指标的第j个样本；$x_{ij}^*$为输出样本第i个指标的第j个样本；m为训练样本数。径向基函数中心为

（2）确定隐含层阈值

式中，${b_{11}} = {b_{12}} = \cdots = {b_{1m}} = \frac{{0.8326}}{{s{p_{{\text{RBF}}}}}}$，$s{p_{{\text{RBF}}}}$为径向基函数的扩展速度。

（3）确定跨层权值和阈值

由式（14），（15）可计算隐含层的输出值：

式中，$\boldsymbol{X}_{\mathbf{i}}^{*}= {(x_{i1}^*, x_{i2}^*, \cdots , x_{i3}^*)^{\text{T}}}$为第i个指标的训练样本向量。

引入一个连接权值矩阵W

设输出层阈值为

经网络结构运算可得

解得

式中，（：, 1:m）表示取矩阵的所有行和1到m-1列，$(:{\text{ }}, m + 1)$表示取矩阵的所有行和第m列。

因子分析将输入的多个参数转化为两个公共因子，从而降低了输入端的维度，RBF本质是神经网络，输入端参数的减少将直接优化运行性能，同时经过因子分析后的参数具有了独立性，这对于神经网络的分析具有降低输入端模糊性的作用。

3.   粗糙度RBF复合参数模型

3.1   指标系统及样本集构建

RBF复合参数模型的本征目标是利用多个能够较好反映结构面某一特性的指标通过RBF神经网络结构预测JRC值（图 2）。

图  2  RBF复合参数模型预测JRC的流程图

Figure  2.  Flow chart of JRC predicted by RBF composite parameter model

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指标系统的构建需要做如下假定：

（1）指标系统应当符合Barton所建立的结构面粗糙度系数（JRC）的宏观物理定义。

（2）指标系统由表征单一物理几何特性的单参数组成，各构成指标可具有相关性。

（3）构成指标能够与JRC建立明确的数学关系。

（4）指标系统尽可能涵盖已知的全部特性表征参数。

国内外学者建立了十余个粗糙度的表征参数，通过前述约定，本文选取表征起伏高、起伏角的5个二维参数${R_{{\text{ave}}}}$，${\text{S}}{{\text{D}}_{\text{i}}}$，${\text{SF}}$，${i_{{\text{ave}}}}$，${Z_2}$构成指标系统，需要说明的是$SF$虽然形式上被认为是一个综合参数，但实质上可视为表征起伏高离散性特征的单一参数。同时为使指标系统能够在一定程度上反映更多的形貌特性，在5个二维参数之外增加一个反映视倾角空间分布的粗糙度指标$\theta _{\max }^*/(C + 1)$，事实上Grasselli所建立的粗糙度指标依旧是从二维出发向三维的展拓，实质上依旧是起伏角度的分布统计，但是由于对分布规律的处理考虑到了累积的特性，使得其二维和三维的转化依可以通过求导与积分实现，加之充分表达了剪切方向的调制，使得该指标具有了描述接触度的作用，这一点也将在下文加以讨论。因此在指标系统中选用$\theta _{\max }^*/(C + 1)$的二维定义，即

另一方面，为简化运算，注意到分布参数$C$的调控作用，可将式（21）进一步简化^[26]为

式中，C^*为相对分布参数，为方便书写将式（22）简化为$C_{{\text{2D}}}^*$。至此，构建了一个包含6个参数的结构面粗糙度指标系统并建立起与JRC的映射关系（表 1）。

表  1  RBF指标系统及JRC计算式

Table  1.  RBF index system and formulas for JRC

指标	定义式	JRC计算式
${\text{CLA}}$	$\frac{1}{N}\sum\nolimits_{i = 1}^{i = N} {\left| {{y_i}} \right|}$	$2.76 + 78.87{\text{CLA}}$
${\text{S}}{{\text{D}}_{\text{i}}}$	$\left\{\begin{array}{l} \arctan \left[\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{i=N-1}(\lambda)^{2}\right]^{1 / 2} \\ \lambda=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{x_{i+1}-x_{i}}-\tan i_{\text {ave }} \end{array}\right.$	$1.042{\text{S}}{{\text{D}}_{\text{i}}} - 4.733$
${\text{SF}}$	$\frac{1}{{N - 1}}{\sum\nolimits_{i = 1}^{i = N} {{\text{(}}y_{i + 1}^{} - y_i^{}{\text{)}}} ^2}$	$37.63 + 16.5\lg {\text{SF}}$
${R_{\text{p}}}$	$\frac{{\sum\nolimits_{i = 1}^{i = N - 1} {{{[{{({x_{i + 1}} - {x_i})}^2} + {{({y_{i + 1}} - {y_i})}^2}]}^{1/2}}} }}{{\sum\nolimits_{i = 1}^{i = N - 1} {({x_{i + 1}} - {x_i})} }}$	$229.44{R_{\text{p}}} - 226.94$
${Z_2}$	$\sqrt {\frac{1}{{N - 1}}\sum\nolimits_{i = 1}^{i = N - 1} {{{\left( {\frac{{{y_{i + 1}} - {y_i}}}{{{x_{i + 1}} - {x_i}}}} \right)}^2}} }$	$32.69 + 32.98\lg {Z_2}$
$C_{{\text{2D}}}^*$	$90{°}^{（\text{2D}）}/\text{(}{C}^{*}+1\text{)}$	$3.95{(C_{{\text{2D}}}^*)^{0.7}} - 7.98$

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对应于指标系统的样本集的数据获取是一个核心环节，样本集由学习样本和测试样本构成，为充分体现学习样本的代表性，同时间兼顾学习与测试的样本形式的一致性，将Barton等^[27]和Grasselli^[28]报道的113条（文献中的120条剖面轮廓线中，有6条的部分数据缺失，长度远小于70 mm）剖面轮廓线分为两部分，其中76条作为学习样本，37条作为测试样本。

需要说明的是，不同来源的剖面轮廓线长度略有差距，但由于均为实验室小尺度范围，未超过尺寸效应的敏感阈值^[29]。各轮廓线及与JRC的映射关系式的采样间距均为0.4 mm，同时JRC值均为实测值，由直剪试验结果反算得到。

3.2   样本数据因子分析

将建立的样本集数据经由标准正向化（1.1节）输出吧标准化样本。经由式（6）计算得到相关系数矩阵（表 2）。计算相关系数矩阵的特征值（式（8））分别为5.617，1.041，0.116，0.067，0.043，0.008，根据2.2节，因子分析的实质是方差贡献率定权的过程，在实际计算中，转化为相关系数矩阵特征值数值百分比的计算过程。如图 3所示，公共因子1和2的累计方差贡献率超过了预设的m=0.9，公共因子3~6的方差贡献率和累计方差贡献率都很低，因此可将公共因子1和2列为最终公共因子F₁，F₂。

表  2  相关系数矩阵

Table  2.  Matrices of correlation coefficient

指标	*SDi	*Rp	*Z2	*SF	*CLA	*C2D
*SDi	1
*Rp	0.953	1
*Z2	0.986	0.947	1
*SF	0.875	0.997	0.967	1
*CLA	0.742	0.756	0.856	0.84	1
*C2D	0.642	0.912	0.653	0.756	0.954	1

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图  3  公共因子的（累计）方差贡献率分布图

Figure  3.  Distribution of (cumulative) variance contribution rate of common factors

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事实上，对于公因子F₁，F₂还需要确定其对应的物理含义，这是进行RBF神经网络运算的首要前提，在SPASS分析软件中，通过旋转载荷矩阵将各载荷系数向0~1靠近，由此确定的载荷矩阵如表 3所示，这表明F₁在大比重上表征剖面轮廓线的起伏角特征，F₂在大比重上表征剖面轮廓线的起伏高特征。

表  3  旋转后的载荷系数

Table  3.  Load coefficients after rotation

指标	*Z2	*SDi	*Rp	*C2D	*SF	*CLA
F1	0.873	0.802	0.786	0.694	0.432	0.537
F2	0.462	0.411	0.364	0.679	0.927	0.934

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特别注意到SF在F₁~F₂因子的趋向中具有与表征起伏高的参数CLA同样的趋势，再一次表明前述“SF只是在形式上具有综合参数的意义，实质上反映的起伏高的特性”观点的正确性。计算结果显示引入的$C_{{\text{2D}}}^*$参数在F₁~F₂因子的趋向中表现出两方面的共性，有关分析在后文中讨论。

由表 3可得到因子模型。

${ }^{*} \boldsymbol{X}$对应表中的6个指标，$\xi ，\zeta$对应表中的荷载系数。在MATLAB中经由最小二乘求解上述超定方程（式（23））即可得到公因子F₁，F₂。

3.3   RBF多指标复合参数模型

利用MATLAB中的神经网络工具箱能够方便地创建RBF神经网络的学习和测试，将经由因子分析得出的公因子${F_1}$，${F_2}$作为输入参数，对应的实测JRC值作为输出值搭建RBF神经网络。特别的，由于RBF网络对隐含层神经元个数具有一定的敏感性，通常情况下RBF神经网络默认神经元的个数会随运行过程的迭代次数逐渐增多，与之相对应的阈值被不断重新赋值，由此带来的附加运算时间大幅增加。因此，本文将神经元个数固定，即为样本数量76，由此带来的系统误差将在下文中讨论。径向基函数的扩展速度需要通过预学习确定，判别标准为决定系数R²。由图 4可以看出径向基函数的扩展速度设置为0.3时，结构的性能最佳。

图  4  R²-Spread关系图

Figure  4.  Relationship between R² and spread

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基于上述设置和学习样本经RBF神经网络生成了一个JRC的预测模型，其与实测值的对比见图 5，均方差为0.03，最大相对误差为1.57，由此表明经由RBF神经网络构建的粗糙度复合参数模型较好的反映指标参数和JRC的映射关系。

图  5  基于学习样本JRC预测值与实测值的对比

Figure  5.  Comparison between predicted and measured values of JRC based on learning samples

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为进一步验证模型的准确性，利用测试样本输出JRC，并通过指标系统与JRC建立的映射关系反算单参数下同一样本的JRC值，与实测值做对比。如图 6所示，利用单参数反算得到的JRC值相较于实测值普遍偏差较大，且对于同样表征起伏角特征的参数，其反算值也有较大差距，这表明利用单一统计参数表达结构面粗糙度特征的路径是困难的。

图  6  基于测试样本RBF模型和单参数模型JRC预测值的对比

Figure  6.  Comparison of predicted values of JRC between RBF model and single-parameter model based on test samples

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4.   RBF多指标复合参数模型的试验验证

3.3节中分别利用学习样本和测试样本对RBF多指标复合参数模型作了两个维度的验证，一方面验证RBF神经网络自身的稳定性；另一方面验证了模型对于单条结构面剖面轮廓线的JRC值预测精度。但对于实际而言，结构面是一个三维的粗糙面，以此需要验证本文所建立的模型对于预测三维结构面粗糙度的适用性。通过岩石结构面直剪试验做进一步的直接验证。

4.1   试验设计

（1）获取结构面物理模型

人工取石经由巴西劈裂的方法生成不规则吻合结构面。岩石选取两种岩性4种类型的试样共计12组。岩石试样中，一种岩性为砂岩，取自辽宁营口大石桥市某岩质边坡，一种岩性为花岗岩，细分为蒙古黑、大帅红、芝麻白3种，其抗压强度不同，均产自辽宁。首先将试样加工为100 mm×100 mm×100 mm的立方体，注意保证相对面的平齐度以及棱线的垂度，为避免无法置入剪切盒以及剪切过程中由于发生剪胀引起的塞盒，试样裁切完成后应当适当打磨。在任意平面内确定中心线，并做标记作为巴西劈裂的施力指示。劈裂前应使用保鲜膜围裹试样以避免劈裂后试样上下盘分离坠落造成结构面的损坏。按要求依次安装试样、承压板、垫片和上下刀刃，注意试样的摆放位置务必要精准对其刀刃。劈裂过程以0.4 mm/min的位移加载速率完成结构面的生成，筛选基准面与水平面符合较好的结构面试样编号，形成样本，如图 7所示。劈裂过程中应当同时记录极限压力以计算抗拉强度。

图  7  经巴西劈裂产生的12组结构面样本

Figure  7.  12 groups of joint samples generated by Brazil splitting

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需要说明的是，各岩石式样结构面分为上下两盘，按所属岩性和岩石种类做如下命名：

式中，M为所属岩性，有两个定义：G为花岗岩英文首字母，S为砂岩英文首字母；N为岩石种类，针对同一岩性的岩石有3个定义：Q为蒙古黑所示青色的拼音首字母、H为大帅红所示红色的拼音首字母、B为芝麻白所示白色的拼音首字母；P为试样序号；X为结构面上下盘序号。

（2）获取结构面数字模型

对4种类型12组共计24个结构面进行三维扫描。扫描设备来自东北大学土木工程系虚拟仿真试验室的三维扫描仪，型号为VTOP 300T，采用结构光三维扫描原理，由一个数字光栅投射装置和两个工业摄像头（CCD）构成（图 8），其工作机制为将编码光栅条纹投影到物体表面，左右两个工业摄像机拍将摄到的条纹图像输入到计算机中，然后根据光栅前后的形状变化利用三角法精确计算出物体表面大量采样点的空间坐标，亦即点云模型。

图  8  实验室获取结构面三维形貌的采集设备

Figure  8.  Equipments of obtaining three-dimensional morphology of joints in laboratory

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将前述的12组共计24个岩石结构面试样按编号依次测量，形成点云数据，为同时兼顾点云模型的质量和规模，本文所测量的结构面沿不同方向测量拼接8~10次，点云规模在100~130万个点之间。由于扫描过程无法直接略去非结构面的其余平面，因此需要利用后处理软件通过拟合平面的方式提出所需的结构面模型；由于形貌测量过程中，工作环境不可避免的产生震动、光线和噪声影响，由此会导致结构面模型发生肉眼不可查的微小抖动，形成噪点，也需要通过后处理软件降噪；除此之外，测量过程中为保证结构面形貌的完整性，需要进行多次拼接测量，会使得部分点数据重叠，同时会有极特殊的盲区出现各次测量均无法测得的情况，以及不同采样间距间点云的稀疏和调整都需要后处理软件进一步优化和完善。

本文的后处理软件选用Geomagic Studio和Uni- graphics NX。Geomagic Studio可以实现结构面点云模型的去噪、采样间距调整、插值封装和点云稀疏，同时可以对数据坐标进行变换。Unigraphics NX可以实现结构面剖面轮廓线点云数据的提取。

（3）获取结构面近似三维预测和实测JRC值

以S-A₁号结构面，沿剪切方向以1.6 mm为间距提取62条剖面轮廓线（图 9），分别计算相关参数，按本所述的方法获取每条剖面轮廓线的RBF值，即JRC预测值，以平均值作为结构面的三维JRC预测值，与根据对应直剪试验值，经由式（24）反算出的JRC值对比验证。需要说明的是按上述方法获取的JRC实测值是三维值，本文在3 MPa法向压力下通过室内直剪试验测得其峰值剪切强度为3.4 MPa，利用式（24）反算出的JRC值为6.53，其中JCS和$\varphi$分别基于现场回弹试验和倾斜试验获取。

图  9  用于计算JRC值的剖面轮廓线提取

Figure  9.  Profile line extraction used to calculate JRC value

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4.2   试验结果：

利用上述的方法，以S~A₁号试样为例，分别计算62条剖面线各参数的JRC预测值（表 4），与经由直剪试验反算的JRC值相比，RBF模型反算的JRC值更为精确，误差仅为2.9%~7.86%。

表  4  基于不同方法测算的S~A₁号试样结构面JRC值

Table  4.  JRC values of S-A₁ joints measured by different methods

指标	最小值	最大值	平均值	实测值	相对误差/%
RBF	4.01	8.69	6.34	6.53	2.9~7.86
Z2	2.13	9.02	4.78	6.53	26.7~38.1
Rp	3.87	9.34	5.20	6.53	0.3~43.02
SDi	3.45	10.78	7.94	6.53	21.6~37

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利用同样的办法可以计算得到给结构面试样的预测相对误集中在3%~11%之间。差碍于篇幅，其余试样的具体计算结果不再赘述。

5.   讨论

5.1   $C_{{\text{2D}}}^*$参数的物理意义

引入的$90{°}^{（\text{2D}）}/({C}^{\text{*}}+1)$参数在因子分析的过程中对于提取的两个公共因子F₁，F₂同时具有较高的趋向性，表明该参数可以同时反映结构面粗糙表面的起伏高和起伏角两个特性，而事实上在三维层面$\theta _{\max }^*/(C + 1)$反映的是结构面表面凸体微元视倾角的分布，是一个表征迎剪向的起伏角面积分布的特征参数，但从三维退至二维，面积分布转化为了线分布，使得该指标同时具有了反映起伏高和起伏角的特性。进一步分析表 3中的数据，$90{°}^{（\text{2D}）}/({C}^{\text{*}}+1)$的载荷系数无论对于F₁还是F₂均非极大值或极小值（旋转后的载荷系数应当进一步向0~1趋近），处于中间值，这表明$90{°}^{（\text{2D}）}/({C}^{\text{*}}+1)$无论是表征起伏角还是起伏高都不是最佳参数。进一步注意到该参数是由Grasselli三维形貌参数系统构成，这一系统最重要的的表征特点是定义了接触度的概念，用最大潜在接触比表征，因此$90{°}^{（\text{2D}）}/({C}^{\text{*}}+1)$应当表达接触度的特征更为准确，这也解释了公共因子物理特性与指标特征类别重合的现象，有关接触度特征的研究有待进一步加深。

5.2   因子分析的适用性

通过因子分析，RBF神经网络在输入端用2个反映一定物理含义的公共因子代替由6个指标构成的指标系统，降低指标数量的同时也消除了量纲的负面影响，有效改善了RBF神经网络的性能，但因子分析的结果是否能够全面反映指标系统的特性需要进一步讨论。

一方面需要评估因子分析的结果对指标系统原始信息的表达程度。指标系统与JRC可以建立映射关系$X \to {\Omega _{{\text{JRC}}}}$，需要说明的是与表 1中的通过实证数据拟合得到的反算式相区别，这里的映射关系反映的是两空间的实质数学关系，不一定能够用简单的显式函数关系式表达。式（6）构造的相关系数矩阵实质上构造了正向标准化后的指标系统各样本值的方差，因此该矩阵的特征值的数值大小反映的是对方差向量的影响程度，即对方差的贡献量。方差反映某一指标在不同样本数据下的稳定程度，再数学表达上可以找到与指标参数值的正相关关系$\sigma \propto \Delta x$，由此建立下述映射关系：

该映射反映了指标系统的方差数据波动对JRC空间的影响程度，这一数学意义支持了引入因子分析的目的，即提取对JRC值影响程度较大的因子（物理属性）。因此，通过特征值占比反映的各因子对方差的贡献率能够衡量对原始信息的表达程度。根据图 4可知，F₁，F₂的方差贡献率为81.502%和15.098%，累计贡献率超过90%，表明因子分析对于结构粗糙表征指标的信息有较好的保留。

另一方面需要评估因子分析的结果是否符合一般公理，具体而言是提取的公因子是否能够正确反映原指标与JRC值的定性变化规律。为此需要对公因子与JRC值的变化趋势进行对比分析。将训练样本按JRC实测值升序排列，同时计算对应的公因子F₁，F₂，3组数据同时按升序排列后的样本序数绘制在同一图中。图 10直观显示了公共因子与JRC值具有相同的变化趋势，即符合“起伏角、起伏高越大，则对应结构面粗糙程度越大，JRC值也越高”的一般公理。

图  10  公共因子与JRC值趋势对比

Figure  10.  Comparison between common factor and JRC value trend

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另外本文的目的是通过多参数提升JRC值的预测精度，因此需要衡量因子分析对预测精度的影响。通过计算，未经因子分析得出的相对误差略高于经过因子分析得出的相对误差，高出相对误差为3%。

综上所述，因子分析应用于结构面粗糙度的分析重具有较高的适用性，虽然对于预测精度提升的贡献不明显，但能够有效改善神经网络结构的性能，加快运算速度。同时利用因子分析找到影响结构面粗糙度的关键性因素具有重要的理论意义。

5.3   误差分析

RBF复合参数模型的预测值无论是测试样本还是学习样本与实测值具有一定的误差。由4.2节可知因子分析过程并未大幅度影响预测误差。正向标准化的过程会产生系统性的数据信息缺失，可以通过数学计算严格量化。最不稳定的误差来源于架构RBF神经网络时固定隐含层神经元个数所引起的误差，但综合最终结预测结果来看，这种误差也是在精度允许范围内的。

6.   结论

（1）引入因子分析可有效降低指标系统的维度，同时可以大概率保留原始信息，对于处理结构面粗糙度表征的信息重叠问题具有较高的适用性，同时因子分析的结构也解释了SF和C_2D参数的表征含义。

（2）利用RBF神经网络结构对具有非线性特征的结构面粗糙度指标系统进行JRC值预测，形成的RBF复合参数模型充分反映了结构面起伏高、起伏角和接触度的性质，实证结果的相对误差缩小至11%以下，说明RBF复合参数模型预测JRC值是有效的。

（3）通过固定RBF神经网络隐含层神经元的数目可以有效提升结构的性能，缩短运算时间，由此带来的误差属于可接受的范围。

（4）与联合参数相比，本文建立的复合参数可以避免权重的赋值这一主观过程。

考虑到样本自身的不稳定性，对于RBF复合参数模型仍需要大量的基于实测结构面信息的学习样本，同时将真正三维的表征参数和二维参数统一值模型中需要进一步研究，接触度参数也值得进一步关注。