Simulation and parameter identification of groundwater flow model basedon PINNs algorithms
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摘要: 地下水渗流模型的渗流流速计算（正向求解）和渗流参数反演（反向求解）工程意义重要，但目前能同时解决两类问题的算法较少。针对该问题，引入了物理信息神经网络（PINNs）算法，并加入硬约束进行改进，在正向求解方面，分别建立了渗流方程与达西定律耦合的水头、流速同时求解方法（PINNs-H-I），以及先计算水头再通过自动微分求解流速的计算方法（PINNs-H-II）。对于反向求解，分别采用单（多）物理场神经网络模型的PINNs算法反演均质（非均质）渗流参数。通过算例分析表明，相比软约束PINNs算法，通过施加硬约束可同时改善正向求解和反向求解的性能，另外在正向渗流速度计算中PINNs-H-II方法具有更高的计算精度，同时单（多）物理场神经网络模型PINNs算法反演的均质（非均质）渗流参数与实际值符合较好。Abstract: The simulation of the Darcy velocity (forward problem) and the identification of seepage parameters (backward problem) in the groundwater flow model are of significance to practical projects, while at present, few algorithms can be used to simultaneously tackle these two problems. The physics-informed neural networks (PINNs) algorithms with the hard constraints are introduced for investigating these two problems at the same time. For the forward problem, two methods are established for deriving the Darcy velocity. One is to address the groundwater head and Darcy velocity concurrently by coupling the seepage flow equation with the Darcy's law (PINNs-H-I), and the other is to calculate the groundwater head first and then solve the Darcy velocity by automatic differentiation (PINNs-H-II). For the backward problem, the PINNs algorithms for the single and multi-physical field neural network models are used to identify the seepage parameters of homogeneous and non-homogeneous seepages, respectively. Furthermore, several examples are presented, and the results show that the hard-constraint PINNs algorithms exhibit better performances for the forward and backward problems compared with the soft-constraint ones. In addition, it is noted that PINNs-H-II possesses higher calculation accuracy, and both the PINNs algorithms for the single and multi-physical field neural network models can accurately identify the seepage parameters in the homogeneous and non-homogeneous seepage.
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0. 引言
砂土是最常见和最具代表性的颗粒岩土介质，具有承载能力高、压实性能好等优点，作为填筑材料被广泛应用于交通、水利、港口等岩土工程的建设中[1]。然而，高应力作用下砂土的物理及力学性质与一般应力状态时明显不同，在高土石坝底部、高层建筑物桩端地基会产生十分明显的颗粒破碎，致使其变形特性发生显著的变化[2]，最终威胁工程建设的安全。
自20世纪80年代以来，许多研究关注影响粒状土颗粒破碎的主要因素及其对土体渗透及力学特性产生的影响[3-6]。一些学者[7-8]通过试验结果建立了平均有效应力和颗粒破碎之间的数学表达式，提出了与应力有关的颗粒破碎模型；也有学者[9-10]使用应变描述加载过程中砂土颗粒破碎累积，在临界状态框架内，通过试验结果建立了塑性应变和颗粒破碎之间的数学表达式，提出了可考虑应变路径的颗粒破碎模型。Lade等[11]对坎布里砂进行了高围压下固结排水、不排水的三轴压缩与拉伸试验，发现了颗粒破碎与单位体积输入能量有良好的对应关系，提出了一种便于计算土体渗透系数的颗粒破碎因子，并用该因子建立了考虑耗能的颗粒破碎模型。由于Lade颗粒破碎模型在计算的过程中同时包含了应力和应变，具有不受具体应力路径影响的优点[12-14]，因此被广泛的应用于各类考虑颗粒破碎的本构模型之中[15-16]。随后Coop等[17]分别研究了颗粒破碎对土体临界状态线、临界状态内摩擦角、峰值内摩擦角及剪胀性和压缩性的影响。但在上述研究中多数以试样加载至破坏或临界状态时的颗粒破碎量进行分析，较少探讨具体应力路径下颗粒破碎的中间发展过程[18-20]，即无法真正体现颗粒破碎对加载过程中所关注的强度参数（如软化型材料的峰值强度）的影响。因此，有必要研究颗粒破碎过程的演化规律及其与土体力学特性的相关性。
目前，对砂土剪切过程中颗粒破碎的研究相对有限，现有研究者普遍针对钙质砂和堆石料[21-24]在一般应力条件下的颗粒破碎演化过程进行研究。基于上述材料在一般应力条件下建立的破碎理论能否适用于描述高应力条件下石英砂的颗粒破碎演化过程，需要进一步的试验验证。由于高应力三轴试验的条件较为严苛，针对高应力条件下石英砂颗粒破碎演化过程的试验成果较少，从而限制了高应力条件下石英砂颗粒破碎演化模型的理论研究。
因此，本文采用GDS高压三轴试验系统开展了高应力下石英砂三轴固结排水及固结不排水条件下的剪切试验，研究应力水平、轴向应变、排水条件对其颗粒破碎程度的影响；分析石英砂在试验剪切过程中的颗粒破碎演化规律；进一步探讨现有Hardin、Lade以及Wang等颗粒破碎模型的适用性，得到了采用上述颗粒破碎模型用于石英砂分析所需的材料参数。同时，分析了颗粒破碎对砂土强度的影响。
1. 试验材料与方法
1.1 三轴试验设备
本次研究采用英国GDS高压环境三轴试验系统（HPETTS），具体如图 1所示。试验系统主要由GDSLAB数据采集软件，通道数据采集板，压力/体积控制器，500 kN VIS荷载架和三轴压力室组成。其中，围压和反压体积控制器量程均为0~16 MPa，轴压的体积控制器量程为0~32 MPa。高压三轴试验系统的传感器及数据转换装置可自动采集偏应力q，有效轴压σ′1，有效围压σ′3，孔隙水压力u，试样的体积变形Δv和轴向应变ε1等试验数据。
1.2 土体材料
试验砂样采用ISO福建标准砂，将标准砂筛分成5种粒组，分别为d1（0.5~0.6 mm），d2（0.6~0.7 mm），d3（0.7~0.8 mm），d4（0.8~0.9 mm），d5（0.9~1 mm），随后按等比例原则配制成石英粗砂，并保证每个试样初始颗粒级配完全相同。土样的细观照片如图 2所示，砂样具体物理特性指标如表 1所示。
表 1 砂样物理特性指标Table 1. Physical characteristics of sand砂样 粒组/mm d50/mm emax emin Gs Dr/% 石英砂 0.5~1.0 0.75 0.78 0.55 2.65 75 1.3 试验方案
圆柱试样尺寸为Ø50 mm×100 mm，采用干砂法制备初始相对密实度Dr=75%的砂样。为使砂样达到完全饱和状态，对试样进行了3 h通气饱和，10 h水头饱和，并以50 kPa为增量，逐级施加反压至500 kPa进行反压饱和。为防止高压条件下橡皮膜被砂样棱角刺破，采用厚度为1 mm橡皮膜，具体制样方法可参考文献[5]。分别进行围压为2，4，6和8 MPa的三轴固结排水（CD）和固结不排水（CU）试验，试验中应变剪切速率为0.05%/min。为分析剪切过程中颗粒破碎变化情况，对各围压试验进行轴向应变ε1为5%，10%，15%，20%的平行试验，试验结束后进行颗粒筛分。共32组三轴试验。
2. 三轴试验结果
2.1 CD试验应力-应变-体变关系
图 3给出了砂土CD试验的偏应力-轴向应变关系曲线。由图 3可见，随着围压增加，偏应力增加，抗剪强度和初始模量增大。σ3=2 MPa时，q-ε1曲线表现为软化特征，偏应力在ε1接近6%时达到峰值，之后缓慢降低，在ε1=20%时仍未达到稳定的临界状态。σ3≥4 MPa时砂土q-ε1曲线均呈现不同程度的应变硬化现象，即随着轴向应变的增加，偏应力不断增加；围压越大，应力-应变曲线硬化现象越显著。
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图 3 不同围压下CD试验q-ε1关系曲线Figure 3. Relationship between q and ε1 under various confining stresses in CD triaxial tests图 4给出了不同围压下的体应变εv与轴向应变ε1关系曲线，剪缩为正，剪胀为负。可以看出，砂样在σ3=2 MPa时出现了二次相变，即试样体积先呈剪缩，然后出现剪胀，随着轴向应变继续增加，体积再次出现剪缩。两次相变点对应的轴向应变分别为2.5%和15.9%，在图中以小方框表示。当σ3 > 2 MPa时，砂样均表现为剪缩，即随着轴向应变的增加，试样的体积在不断缩小，且围压越大，剪缩现象越显著。
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图 4 不同围压下CD试验εv - ε1关系曲线Figure 4. Relationship between εv and ε1 with various confining stresses in CD triaxial tests图 5为不同围压下各终止应变试验的偏应力与平均有效应力之比q/p′与轴向应变ε1关系曲线。由图 5可见，同一围压下，不同终止应变的q/p′-ε1曲线差别较小，σ3=8 MPa的4条曲线在ε1=5%时的q/p′值极差最大，为14.7%，其次为σ3=2 MPa，ε1=5%时的极差，为13.5%，其它围压和应变时q/p′的极差在3%~9%。整体上各轴向应变点对应的q/p′的极差均小于15%，说明各相同围压下不同轴向应变终止点的CD试验重复性较好。对于下文破坏强度的确定，应变软化型曲线，由峰值点确定；应变硬化型曲线，按ε1=15%对应的值确定；并且取各重复试验的平均值。有效内摩擦角计算公式如下，其中η=q/p′。
φ′=arcsin(3η6+η)。 (1) ![]()
图 5 不同围压下CD试验q/p-ε1关系曲线Figure 5. Relationship between q/p and ε1 under various confining stresses in CD triaxial tests2.2 CU试验应力-应变-孔压关系
图 6给出了CU试验中偏应力-轴向应变关系曲线。由图 6可见，随着围压增加，偏应力提高，出现峰值点的应变逐渐提前，且随着轴向应变的增加，不同围压下的偏应力曲线均出现了应变软化现象。
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图 6 不同围压下CU试验q-ε1关系曲线Figure 6. Relationship between q and ε1 under various confining stresses in CU triaxial tests图 7给出了砂土CU试验的孔隙水压力-轴向应变关系曲线。由图 7可见，σ3=2 MPa时，剪切初期产生正孔隙水压力，在ε1=1%时达到最大值，之后开始降低，逐渐降为负值，在ε1=12.8%时达到负值最小，之后又开始升高。与CD试验相同，试验过程中出现两次相变点，图中以小方框表示。σ3＞2 MPa时，随着轴向应变的增加，孔隙水压力前期增长较快，剪切过程中始终为正，且围压越大，孔隙水压力值越高。在不同围压下，峰值偏应力后孔压逐渐趋于平缓，但仍呈缓慢增长趋势。
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图 7 CU试验不同围压下的u - ε1关系Figure 7. Relationship between u and ε1 under various confining stresses in CU triaxial tests图 8为CU试验不同围压下的有效应力路径，图中空心圆表示轴向应变为5%，10%，15%和20%的点，可见，不同围压下峰值强度点（q/qp′p′峰值）均能处于颗粒破碎量测点间，甚至与停止试验的轴向应变接近。
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图 8 CU试验不同围压下的应力路径Figure 8. Stress paths of CU tests under various confining stresses图 9为不同围压下各终止轴向应变CU试验的偏应力比q/p′-ε1关系曲线。σ3=4 MPa的4条曲线在ε1=5%时q/p′的极差最大，为9.2%，其它情况极差为1.2%~7.2%，表明各同围压下不同轴向应变终止点的CU试验的重复性较好。破坏强度按照上述方法由重复试验取平均值确定。
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图 9 不同围压下CU试验q/p′ - ε1关系曲线Figure 9. Relationship between q/p′ and ε1 under various confining stresses in CD triaxial tests2.3 颗粒破碎率
为了量化砂土在高应力作用下的颗粒破碎程度，本文采用了Hardin[8]提出的颗粒破碎率理论，如图 10所示。相对破碎率Br为
Br=BtBp=SASA + B。 (2) 式中：Bt为初始级配曲线和剪切后级配曲线围成的面积，Bp为初始级配曲线和粒径为0.074 mm的直线围成的面积。
通过筛分法分析得到三轴试验前后的石英砂颗粒粒径分布曲线。由于篇幅所限，此处仅列举了CD条件下围压水平分别为2，8 MPa以及CU条件下围压水平为8 MPa的数据曲线进行对比，具体如图 11所示。可以看出，不同的围压水平和排水条件等因素均会对石英砂的颗粒破碎规律产生一定的影响。
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图 11 三轴试验前后的颗粒级配曲线Figure 11. Grain-size distribution curves before and after triaxial tests基于上述这些颗粒级配曲线，采用Hardin提出的相对破碎率定义，即式（2），对砂土颗粒破碎程度进行相对破碎量化，进一步绘制了砂土在CD和CU试验中颗粒破碎率与轴向应变的关系曲线，如图 12所示，实心表示CD试验结果，空心表示CU试验结果。由图 12可见，随着轴向应变增加，颗粒破碎率增大。各围压下CU试验的颗粒破碎率介于CD试验σ3=2~4 MPa的破碎率之间。围压σ3=2 MPa时，CD与CU试验剪切过程中的颗粒破碎率相差较小；σ3 > 2 MPa后，随着轴向应变和围压的增大，CD与CU试验颗粒破碎率差别增加，CD试验的颗粒破碎率较CU试验明显提高。这主要是由于在CU试验中产生的正孔隙水压力降低了有效应力，从而抑制了颗粒破碎的产生；围压越高，正孔压越大，排水条件不同产生的颗粒破碎差异越大。
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图 12 CD和CU试验不同围压下的Br-ε1关系Figure 12. Relationship between Br and ε1 with various confining stresses in CD and CU triaxial tests3. 颗粒破碎模型适用性验证
当前常见模型主要有Hardin基于破碎应力提出的颗粒破碎模型[8]、Lade基于能量耗散提出的颗粒破碎模型[11]，以及Wang基于轴向应变关系提出的经验型颗粒破碎模型[25]。这些模型被广泛应用于堆石料和钙质砂的分析中，但对于能否适用于石英砂，相关模型参数如何选取，是否可以合理描述石英砂在高应力下的破碎演化过程却有待验证。
3.1 Hardin颗粒破碎模型
Hardin[8]将相对颗粒破碎率和应力联系起来，先用平均有效应力和剪应力计算出破碎应力，再由破碎应力计算出颗粒破碎率，形成了一个可以描述应力与颗粒破碎之间关系的双曲线颗粒破碎模型，
Br=(σ′b/σ′r)nb1+(σ′b/σ′r)nb， (3) σ′b=p′[1+2√23(q/p′)3]=p′(1+2√23η3)。 (4) 式中：σ′b为破碎有效应力；nb和σ′r为材料常数；q为剪应力；p′为平均有效应力；η=q/qp′p′为剪应力比。
式（3），（4）表明，在相同初始密实度的情况下，破碎有效应力越大，颗粒破碎率越高；在相同平均有效应力的条件下，η越大，砂土的颗粒破碎率越大。
为了方便获得材料参数nb和σ′r，可将式（3）进一步转换为如下形式：
[1/Br−1] = [σ′r/σ′b]nb。 (5) 由式（5）可知，在双对数坐标下[(1/Br)−1]与(1/σ′b)呈直线性关系。基于该模型转换形式，对本文试验数据进行拟合，如图 13所示，得材料参数nb= 1.03，σ′r=1204pa，pa为标准大气压，列于表 2。
表 2 颗粒破碎模型拟合参数Table 2. Model parameters for particle breakage modelHardin模型 Lade模型 Wang模型 nb 1.03 χW 5.19 c1 0.43 σ′r 1024 pa ζW 2.73 c2 0.38 — — kBr0 0.193 A 96.8 — — kBru 0.366 ¯¯Br 1 R2 0.551 R2 0.961 R2 0.997 基于上述所得模型参数，采用Hardin应力颗粒破碎模型对本文试验条件下的砂样颗粒破碎率进行预测，如图 14所示。可以看出，对于CD试验，模型值在ε1 < 10%情况下普遍高于试验值，随着轴向应变进一步增大，模型值又逐渐呈偏小趋势，两者吻合度较差；对于CU试验，模型值在ε1 < 10%情况下显著高于试验值，而随着轴向应变进一步增大，相对破碎率Br在达到峰值后不再增加，这也与试验值的持续增长明显不符。这说明Hardin颗粒破碎模型并不适用于描述石英砂的颗粒破碎演化过程。
3.2 Lade颗粒破碎模型
颗粒状材料在剪切过程中产生的颗粒破碎是由外力对材料不断做功产生的，因此颗粒破碎与输入功存在着良好的对应关系。Lade[11]采用单位体积输入功来表征剪切过程中颗粒破碎消耗能量的情况，颗粒破碎与单位体积输入功的关系如下：
Br = WχW+ζWW。 (6) 式中：W为单位体积输入功；χW和ζW为材料参数。其输入功计算方法为
ΔW=(σ′1−σ′3)Δε1+σ′3Δεv。 (7) 式中：σ′1和σ′3分别为有效轴压和有效围压；Δε1为轴向应变增量；Δεv为体应变增量。
进一步，将颗粒破碎率Br对单位体积输入功求导，可得W=0时的初始切线模量kBr0：
1χW=dBrdW=limW→01χW+ζWW≜kBr0。 (8) 当W趋于无穷的时候，通过对Br求极限，可得到该围压下最大的颗粒破碎率kBru：
1ζW=limW→∞WχW+ζWW≜kBru。 (9) 式中：kBr0与χW互为倒数；kBru与ζW互为倒数。
基于上述Lade颗粒破碎模型对本文试验数据进行拟合，可获得相对破碎率Br与输入能量W的关系曲线，如图 15所示。其中，材料参数χW和ζW分别为5.19和2.73，列于表 2。
将Lade颗粒破碎模型与本文试验数据进行对比，如图 16所示。可以看出，对于CD试验，模型值与试验值发展趋势相一致，且在数值上吻合较好。这说明Lade颗粒破碎模型对于排水条件下的石英砂颗粒破碎过程描述较为适用；而对于CU试验，模型值在ε1 < 10%情况下稍低于试验值，随着轴向应变进一步增大，模型值逐渐又呈偏高趋势。可见该模型对于不排水条件存在一定的误差，这主要与不排水条件下三轴试验通常假设体应变εv=0有关，即在不排水条件下忽略了体应变做功所致。
3.3 Wang颗粒破碎模型
Wang等[25]在针对钙质砂的研究中发现，对于围压不变的情况下，颗粒破碎与轴向应变间存在较好的双曲线特征，进而提出了一个经验型双曲线颗粒破碎模型：
Br = ε11/RB0+ε1/¯Br。 (9) 式中：ε1为轴向应变；¯Br为当前围压下产生的最大破碎率；RB0为ε1=0时颗粒破碎的初始增长速率。这两个物理量的表达式分别如下：
RB0=c1(σ′3/pa)c2， (10) ¯Br=σ′3Apa+σ′3¯¯Br。 (11) 式中：c1，c2为材料参数；pa为标准大气压；A为无量纲参数；¯¯Br为最终破碎率，表示在极高应力和极大应变加载共同作用后能产生颗粒破碎的最大值。对于Hardin颗粒破碎率，其认为砂土受到足够大的压力后，任何粒径的颗粒最终都会破碎成0.075 mm以下的粒径，即意味着¯¯Br=1。
基于试验数据，采用Wang颗粒破碎模型进行拟合，模型参数c1、c2和A分别为0.43，0.38，96.8，列于表 2。进一步采用Wang颗粒破碎模型对本文试验条件下的砂样颗粒破碎演化规律进行预测，如图 17所示。可以看出，无论是CD试验和CU试验，Wang提出的颗粒破碎模型值与试验值均吻合良好，该模型可准确描述高应力条件下石英砂在固结排水和固结不排水时的颗粒破碎变化过程。
4. 颗粒破碎对强度的影响
CD和CU试验在σ3=2 MPa时出现两次相变点。相变点处的强度与临界状态内摩擦角相当[26-27]，第一次相变点出现时的轴向应变较小，颗粒破碎量较小，因此可由该点的内摩擦角确定原始土样（颗粒未破碎）的临界状态内摩擦角φ′cv。根据式（1），CD和CU试验第一次相变点对应的有效内摩擦角分别为28.1°和28.3°，表明两种应力路径获得的φ′cv非常接近。随着轴向应变的增加，颗粒破碎率增加，颗粒破碎的逐步累积使得局部的剪缩超过剪胀，出现了二次相变点[28]。二次相变点处CD和CU试验的有效内摩擦角分别为30.6°和31°，由图 11颗粒破碎演化过程可见，CD和CU试验二次相变点处的相对颗粒破碎率Br分别为0.082和0.084，表明当颗粒破碎率相近时，CD和CU试验的有效内摩擦角亦接近。
图 18为不同围压下的有效破坏内摩擦φ′f及对应的相对颗粒破碎率Br的关系。由图 18可见，CD试验的破坏内摩擦角随着围压增加而减小，围压从2 MPa至8 MPa，φ′f降低了4.4°；而CU试验，围压从2 MPa至8 MPa，φ′f升高了2.9°，这可能与颗粒破碎有关。σ3= 2 MPa时CU与CD试验的颗粒破碎率接近，两者的φ′f基本相同；随着围压增加，两种应力路径下的颗粒破碎率差别明显，并且围压越大，Br的差别越大，CD和CU试验的有效破坏内摩擦角呈现出截然不同的变化规律。
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图 18 围压与有效破坏内摩擦角及对应的相对破碎率的关系Figure 18. Relationship among confining pressure, effective failure friction angle and corresponding relative breakage颗粒破碎对土体的强度有双重作用，一方面，颗粒破碎降低土体的剪胀性，对砂土强度起负作用；另一方面，颗粒破碎使得粒径范围更广、颗粒棱角更多，颗粒排列更紧密，自锁作用增加。由相对破碎率Br与φ′f的关系可见，一定量的颗粒破碎会增加砂土的强度，但当颗粒破碎率较大时，强度会降低。基于上述分析，颗粒破碎量很小或相同颗粒破碎量时，CU和CD试验的有效内摩擦角基本相同，假设CU、CD试验应力路径对土体强度无影响，则可由颗粒破碎率Br与φ′f变化的关系分析颗粒破碎率对强度的影响。当Br≤0.107时（CU试验σ3≤8 MPa）颗粒破碎对强度起提高作用，当Br≥0.13时（CD试验σ3≥4 MPa），颗粒破碎对土体强度起降低作用。因此，可初步判断高应力下颗粒破碎对强度起正向和负向作用的临界相对破碎率Br介于0.1~0.13。
5. 结论
本文对石英砂进行高应力三轴剪切试验，研究不同排水条件下剪切过程中颗粒破碎的演化规律及其对强度的影响，并探讨常用的3种颗粒破碎模型对高应力石英砂颗粒破碎描述的适用性，得到以下4点结论。
（1）基于高应力三轴剪切试验，获得了石英砂在剪切过程中的q-ε1曲线。对于CD试验，偏应力曲线在σ3=2 MPa时呈轻微软化趋势，随着围压逐步提高(σ3≥4 MPa)，曲线逐渐向硬化趋势转变，且围压越高，硬化趋势越明显；对于CU试验，偏应力曲线均呈软化趋势，且围压越高，偏应力峰值所对应的轴向应变越小。
（2）对于CD和CU试验，砂土颗粒破碎率Br随着围压和轴向应变增大而增大；但CD试验颗粒破碎率受围压和剪切过程的影响更明显，而CU试验的颗粒破碎率的变化相对较小，且普遍小于CD试验的颗粒破碎率，这主要是由于CU试验产生的孔隙水压力降低了有效应力，从而显著抑制了围压对颗粒破碎的影响。
（3）对于石英砂在高应力剪切过程中的颗粒破碎变化规律，Hardin颗粒破碎模型并不适用；Lade颗粒破碎模型对排水条件下破碎率变化描述较准确，但对于不排水条件存在一定误差；Wang颗粒破碎模型可很好地描述固结排水和固结不排水条件下的石英砂颗粒破碎率变化过程。本文在上述颗粒破碎模型适用性验证工作中所得模型参数可为其他学者开展石英砂颗粒破碎相关研究工作提供一定的借鉴和参考。
（4）颗粒破碎量很小及颗粒破碎率相同时，CD和CU试验两种应力路径下的有效内摩擦角基本相同；颗粒破碎对土体强度的影响有双重作用，一定量的颗粒破碎率会提高砂土强度，而颗粒破碎率继续增大则会降低土体强度，初步判定对强度起正向和负向作用的临界相对破碎率介于0.1~0.13。
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图 1 PINNs算法求解渗流流速示意图
Figure 1. Schematic diagram of PINNs algorithms for deriving Darcy velocity
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图 2 PINNs算法反演渗流参数示意图
Figure 2. Schematic diagram of PINNs algorithms for identifying seepage parameters
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图 3 不同位置y下，PINNs-H-II、PINNs-S-II、PINNs-H-I、PINNs-S-I和FEM所计算Vx的L2相对误差图
Figure 3. Relative errors of L2 given by PINNs-H-II, PINNs-S-II, PINNs-H-I, PINNs-S-I and FEM methods under different values of y
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图 4 PINNs-H-II求解均质渗流流速Vx的计算结果图
Figure 4. Values of Darcy velocity Vx of homogeneous seepage and absolute errors given by PINNs-H-II method
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图 5 均质情况下反演渗流参数随迭代步数变化情况
Figure 5. Variation of homogeneous seepage parameter with iteration step numbers in backward problem
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图 6 PINNs算法求解非均质渗流流速Vx与解析解的绝对误差云图
Figure 6. Absolute errors of Vx of non-homogeneous seepage given by PINNs-H-I and PINNs-H-II methods
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图 7 y=0时，PINNs-H-II和PINNs-S-II所计算的x与H的关系
Figure 7. Relationship between x and H via PINNs-H-II and PINNs-S-II methods at y=0
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图 8 非均质情况下渗流参数反演结果
Figure 8. Identified seepage parameters and corresponding absolute errors via soft- and hard-constraint PINNs in non-homogeneous seepage
表 1 算例所用的计算超参数
Table 1 Hyperparameters of PINNs algorithms used in all examples of Section 2
求解方法 NN(H或H，Vx) NN(K) 正向求解 2000 200 — 50×3 — 反向求解 400 200 400 100×6 60×6 注：NN表示神经网络隐藏层结构。 
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