0.   引言

离心超重力模型试验通过将模型置于高速旋转的离心机内,利用离心力模拟超重力,进而在缩尺模型上还原原型重力场,并以其缩尺、缩时、强化能量和加速相分离等特性,在岩土工程中得到广泛应用^[1-3]。随着离心机能力和试验技术的不断提高,离心模型试验被推广应用于爆炸、流滑等涉及物质高速运动的工程问题^[4-6]。然而,离心超重力作为一种模拟超重力,其特性与理想超重力存在哪些差异,离心模型试验的精度和适用性如何等问题日益引起关注。

离心机高速旋转产生离心加速度,其大小和方向随旋转半径变化,具有空间不均匀性,导致模型应力场与原型不一致。Taylor^[7]指出旋转半径为1.6 m时,宽400 mm模型箱的离心加速度沿环向最大可产生12.5%的偏差。王永志等^[8]系统分析了离心加速度不均匀性的影响因素和影响规律,指出模型高度和最大旋转半径之比小于0.3时,模型应力误差可控制在10%以内。Schofield^[9]针对水平场地指出,当模型2/3深度处的离心加速度与常重力加速度之比等于模型缩尺比时,模型与原型应力场间误差最小。陈从新^[10]采用圆弧滑动法分析边坡离心模型试验时发现,当边坡高度3/4处离心加速度与常重力加速度之比等于模型缩尺比时,边坡稳定安全系数误差最小。Tobita等^[11]对比了直线斜坡与曲面斜坡地震响应离心模型试验,指出考虑径向影响的弯曲地面模型获得的场地振动加速度、孔压和位移更为合理。

由于离心模型试验在旋转的模型箱中完成,模型物质运动的运动学和动力学特性也一直是人们关注的焦点。Schofield^[12]通过离心模型物质绝对运动和坐标变换获得了相对运动速度和加速度。Lei等^[13]考虑了离心机转臂轴向振动,基于运动学严格导出了离心模型中任意质点运动速度和加速度的数学表达式,指出离心机转轴方向是单向振动台理想振动方向,并指出Schofield^[12]推导时将旋转角度视为常量,结果物理含义存在混淆。Taylor^[7]指出离心模型试验精度受离心加速度非均匀性及科氏力的影响,离心模型物质相对运动速度与离心机转动线速度的比值小于0.05或大于2时,科氏力的影响可忽略。Schofield^[9]分析指出离心加速度100g,旋转半径为4 m,旋转平面内相对速度小于0.5 m/s时,科氏力对旋转平面运动的物体影响可忽略。另外模拟降雨过程,不少学者研究了离心模型试验中雨滴运动特性。张敏等^[14]忽略离心加速度分布的非均匀性和水平面内垂直转臂方向的相对速度分量对科氏力贡献,基于动力学分析了降雨模拟中的科氏效应。Caicedo等^[15]综合考虑蒸发、风阻等作用,建立了离心模型试验中雨滴运动数学模型,数值分析了雨滴下落轨迹的关键影响因素,并提出了试验标定方法。

此外,Suñol等^[16]开展了离心加速度为1g～20g范围内气泡形成和上浮的离心模型试验,发现气泡轨迹因科氏力而偏离,并在其后进一步研究中^[17],通过控制喷嘴到液体自由表面距离减少科氏力对轨迹的影响。Brannon等^[18]采用物质点法模拟地下爆炸离心模型试验,发现科氏力使得爆炸引起的物质运动具有明显的偏向性,并评估了常规相似律的适用性。Cabrera等^[19]基于离散单元法模拟旋转坐标系中颗粒流动,发现科氏加速度会引发多种次生效应（secondary effects）,常规的离心模型试验相似律只有在科氏力可以忽略时才成立。王巧莎^[20]通过数值计算模拟了离心加速度不均匀性和科氏力对波浪水槽造波性能的影响,提出了采用弧形波浪水槽以适应离心加速度环向分布特征。Loáiciga^[21]基于质点运动推导了考虑地球自转影响的达西定律表达式并对量级进行估算,指出旋转对地下水运动影响为地球重力的1/300。

综上可见,离心加速度的非均匀性和物质相对运动引起的科氏力作用对离心模型试验的影响已经引起学者的广泛关注。现有研究主要基于运动学分析试验模型的物质相对运动,定性分析科氏力的影响,或基于动力学和数值方法分析物质相对运动规律。本文基于运动学和动力学严格地推导运动坐标系中物质运动速度和加速度、质点相对运动控制方程的表达式,探索离心机模拟超重力的本质,分析离心力和科氏力耦合作用导致离心模型试验非惯性系效应的机制。

1.   运动坐标系中物质运动描述

本节首先基于运动与静止坐标系间的几何关系推导运动坐标系中物质运动的速度和加速度。

1.1   运动坐标系中矢量及其关于时间的导数

如图1所示在三维空间中建立静止坐标系$o\text{-}xyz$,运动坐标系$o^{\prime }\text{-}{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$相对于$o\text{-}xyz$运动,其平动速度为$V$,转动角速度为$\Omega$。记沿静止坐标系3个坐标方向$x,y,z$的单位向量分别为$i,j,k$,而沿运动坐标系3个坐标轴$x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$方向的单位向量为$i^{\prime },j^{\prime },k^{\prime }$。

图  1  静止坐标系$o\text{-}xyz$和运动坐标系$o^{\prime }\text{-}{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$

Figure  1.  Static and moving reference systems

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设$g$为空间任意矢量,在运动坐标系中表示为

式中,${g^{\prime }}_x$,${g^{\prime }}_y$和${g^{\prime }}_z$分别为矢量$g$在运动坐标系中的3个坐标分量。如没有特殊说明,下文采用类似的方法定义矢量的分量。定义

对式（1）求全微分可得

1.2   运动坐标系中物质运动描述

记静止坐标系原点$o$到运动坐标系原点$o^{\prime }$的位矢为$R_0$,到空间任一物质点P的位矢为$R$,运动坐标系原点$o^{\prime }$到该物质点的位矢为$r$,如图2所示,则

图  2  物质点运动示意图

Figure  2.  Schematic diagram of motion of a material point

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对式（4）关于时间$t$求全微分,利用式（3）可得该物质点的速度$v$：

式中$\frac{\text{d}{R}_0}{\text{d}t}\text{=}V$为运动坐标系平动速度；$v^{\prime }=\frac{{\text{d}}_{r}r}{\text{d}t}$为物质点在运动坐标系中的相对速度。于是,式（5）可进一步改写为

式（6）关于时间求全微分并结合式（3）可得物质点的加速度,化简可得

利用式（3）,有

将式（8）代入式（7）可得

由式（9）不难看出,任意质点的绝对加速度$a$由三部分构成：牵连加速度$\frac{{\text{d}}^2{R}_0}{\text{d}{t}^2}+\frac{\text{d}\Omega }{\text{d}t}\times r+\Omega \times (\Omega \times r)$,相对加速度$\frac{{\text{d}}_r{v}^{\prime }}{\text{d}t}$和科氏加速度$2\Omega \times v^{\prime }$。牵连加速度又分成三部分：运动坐标系平动引起的加速度$\frac{{\text{d}}^2{R}_0}{\text{d}{t}^2}$,运动坐标系转动引起的切向加速度$\frac{\text{d}\Omega }{\text{d}t}\times r$和向心加速度$\Omega \times (\Omega \times r)$。运动坐标系一般为非惯性系,当运动坐标系平动加速度、转动速度都恒为零时,运动坐标系退化为惯性系,绝对加速度和相对加速度相同。

2.   离心模型试验质点运动非惯性系效应

为简单起见,本文假定：①固定在地球表面的坐标系为惯性系；②被模拟的超重力场是均匀的,即超重力场强度大小和方向处处相同；③运动物体为刚体,且不考虑物体的转动,将物体质量$m$集中于物体的质心,并简化为质点。

2.1   非惯性系作用

根据Newton第二定律和式（9）可得

对于离心超重力模型试验,分别取静止和运动坐标系的原点位于离心机主轴和模型箱中心,两坐标系原点的连线矢量$R_0$垂直于离心机主轴,平行主轴旋转角速度矢量$\Omega$方向建立坐标轴$z$和$z^{\prime }$,沿$R_0$方向建立$x^{\prime }$坐标,如图3所示形成右手坐标系$o\text{-}xyz$和$o^{\prime }\text{-}{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$。

图  3  离心机坐标系

Figure  3.  Reference systems of centrifuge

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假定吊篮（模型箱）随转臂同步转动,且忽略转臂和吊篮的变形振动,即假定转臂和吊篮是刚性的,则有

将式（11）代入式（10）可得

当离心机转速变化可以忽略不计时,式（12）可简化为

离心模型试验的目的在于利用离心力模拟超重力,用模型箱内物质相对运动模拟（超）重力条件下物质的绝对运动。为此将相对运动控制方程式（13）改写成Newton第二定律相似的表达形式：

与惯性坐标系中Newton第二定律$m\frac{{\text{d}}^{2}R}{\text{d}{t}^2}=F$相比,式（14）具有下列特点：

（1）质点相对运动加速度不仅取决于外力F,而且受制于3项额外的作用力：①离心力均匀部分$-m\Omega \times (\Omega \times R_0)$,简称为均匀离心力；②离心非均匀部分$-m\Omega \times (\Omega \times r)$,简称为非均匀离心力；③科氏力$-2m\Omega \times \frac{{\text{d}}_{r}r}{\text{d}t}$。与外力和均匀离心力不同,非均匀离心力和科氏力分别与基本未知量$r$及其关于时间的偏导数有关,它们以不同的形式改变控制方程及其解的性质。

（2）离心力的物理意义是保持质点相对静止（即质点随模型箱同步运动）时的惯性力,而重力本质尚未有定论^[22-23]。在经典力学中,认为重力就是地球等星球对周边物质的万有引力场（忽略星球自转影响）。在广义相对论中,引力不是一种力而是时空弯曲的体现^[23]。本文研究内容仍在宏观低速范围内,故在经典力学范畴内进行探讨。故而离心力和重力的相同点在于均与质量（密度）成正比,均满足有势场的特性。两者的不同点在于：重力是真实存在的作用力,重力加速度是重力场强度的表征,而离心力是假想力,是离心加速度在力空间中的表征；重力是惯性空间中的有势场,而离心力是非惯性空间中的有势场；重力方向指向中心,离心力方向背离中心；虽然离心力场和重力场都具有非均匀性,但在试验模型和原型尺度内重力场的非均匀性通常可以忽略,但离心力场的非均匀性不可忽略。记地球表面重力场强度为$g$,任意重力场强度可表示为$Ng$。当$N=1$时,称为常重力；当$N<1$时,称为微重力；当$N>1$时,称为超重力。

（3）科氏力与物质相对运动速度有关,且不具备离心和有势场的特性。当离心机转速很快、物质相对运动较大时,科氏力的作用不可忽略。因此,将科氏力视为离心力的一个组成部分是不合适的。由于离心力和科氏力都是由于采用了非惯性参照系描述物质运动而引入的,本文将均匀离心力、非均匀离心力和科氏力统称为非惯性系作用,将非惯性系作用引起的响应统称为非惯性系效应。

由于科氏力和非均匀离心力是导致离心模型试验和原型试验结果差异的主要原因,本文重点分析科氏力和非均匀离心力引起的非惯性系效应。分别忽略科氏力、非均匀离心力,式（13）简化为

同时忽略科氏力和非均匀离心力,式（13）进一步简化为超重力试验理想的运动方程：

比较式（13）,（15）～（17）不难看出,非均匀离心力和科氏力对质点运动的影响并非荷载的简单线性叠加,而是通过改变质点相对运动控制方程的形式和性质实现相互耦合作用的。

2.2   物体运动解析解

在运动坐标系中展开式（13）,可得

当$F$为运动坐标系中与时间无关的常矢量时,不难求得式（18）的解析解：

式中,常数${\lambda }_i$（$i=1,2,3,\cdots ,6$）为待定常数。

设质点初始坐标为${x^{\prime }}_0$,${y^{\prime }}_0$和${z^{\prime }}_0$,初始速度为${v^{\prime }}_{x0}$,${v^{\prime }}_{y0}$和${v^{\prime }}_{z0}$。将初始条件代入式（19）可得

不失一般性,假定模型箱高度为$h$,为分析方便起见,定义如下无量纲量：

根据上述无量纲定义,无量纲时间$\tau$代表时间$t$内离心机转臂转过的角度（以弧度为单位）,$\xi$和$\eta$对应土工模型试验原型水平面内的两个正交方向,而$\zeta$对应原型的竖直方向,且以向上为正。需要特别指出的是,式（21d）$f_{\zeta }$中的-1代表均匀离心力。

为方便起见,表1给出了国内主要土工离心机的基本参数和主要物理量无量纲化的基准值。由表1不难看出,目前国内离心机的$\lambda$一般在4～5,无量纲局部坐标$\xi$,$\eta$,$\zeta$的绝对值最大值在0.1左右,试验条件下运动坐标系原点的线速度约为50～120 m/s。

表  1  国内主要离心机参数及无量纲基准值

Table  1.  Parameters and dimensionless reference values of main domestic centrifuges

单位与型号	$R_0$/m	$h$/m	$\lambda$	$\xi$,$\eta$,$\zeta$	${\Omega }^2{R}_0$/g	$\Omega R_0$/(m·s-1)
浙江大学 ZJU-400	4.5	1.0	4.5	-0.11~0.11	50	47.0
					100	66.4
					150	81.3
中国水利水电科学研究院LXJ-4-450	5.0	1.2	4.2	-0.12~0.12	100	70.0
					200	99.0
					300	121.2
香港科技大学GCF	4.2	1.0	4.2	-0.11~0.11	50	45.4
					100	64.2
					150	78.6
南京水利科学研究院NS-400	5.0	1.1	4.5	-0.11~0.11	50	49.5
					100	70.0
					200	99.0
成都理工大学TLJ-500	4.5	1.0	4.5	-0.11~0.11	50	47.0
					150	81.3
					250	105.0

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将式（20）代入式（19）并对其无量纲化,并利用无量纲定义（21）可得

式中,

其中,带下标0的无量纲量为相应无量纲的初始值,$T_i$(i=1,2,3,…,6)是时间$\tau$的无量纲函数,反映了初始位置、初始速度、作用力（包括均匀离心力）对质点运动的影响,其表达式如下：

不难证明,式（23）即为运动方程（17）的解析解,代表均匀离心力作用下质点的响应,通常是试验需要的结果,本文称之为“目标解”。而式（22）考虑了非均匀离心力和科氏力的耦合作用,给出的是试验过程中质点真实的运动轨迹,本文称之为“真实解”。式（24）代表质点相对运动轨迹真实解与目标解间的偏差。此外还可看出：①$\xi$方向（即竖直方向）质点运动轨迹没有偏差,不存在非惯性系效应；②当$\tau$较小时,式（25）中的每一项都是$\tau$的二阶及以上小量；③3种非惯性系作用、外力之间存在相互耦合作用；④可以证明,$T_3(\tau )$,$T_4(\tau )$,$T_5(\tau )$和$T_6(\tau )$破坏了模型试验的相似律,仅当质点运动时间$\tau$很小时,常规比尺关系才近似成立。

类似的,不难求得式（15）,（16）的解析解,同样可以表达成式（22）～（24）的形式,不同的是$T_i(\tau )$(i=1,2,3,…,6)表达式。对运动方程（15）有

对运动方程（16）有

3.   非惯性系效应影响因素分析

离心模型试验的非惯性系效应受离心机几何尺寸、转速、初始运动状态等因素影响,并且均匀离心力和科氏力对其影响程度不同。

3.1   离心模型试验加速度分布的非均匀性

当离心机匀速旋转时,质点均匀离心力、非均匀离心力和科氏力分别为$i^{\prime }m{\Omega }^2{R}_0$,$m{\Omega }^2(i^{\prime }{x}^{\prime }+j^{\prime }{y}^{\prime })$和$2m\Omega \text{(}{i}^{\prime }{v^{\prime }}_y-j^{\prime }{v^{\prime }}_x\text{)}$。为描述离心机模型箱离心加速度分布的非均匀性、非惯性系作用与质点相对运动速度间的相关性,定义以下变量：

式中,${v^{\prime }}_{xy}=\sqrt{{v^{\prime }}_x^2+{v^{\prime }}_y^2}$为质点相对运动速度在$o^{\prime }{x}^{\prime }{y}^{\prime }$平面内的投影。

由式（28a）,（28b）不难看出,模型箱内离心加速度分布的非均匀性与$\lambda$成反比,即离心机旋转半径越大（R₀越大）、模型（箱）越小（h越小）,加速度分布非均匀性越小。${\epsilon }_x$和${\epsilon }_y$绝对值大小分别与质点到运动坐标系原点（即模型箱中心点）的无量纲距离$\left|\overline{\zeta }-1/2\right|$和$\left|\overline{\eta }\right|$成正比。由于$\left|\overline{\zeta }-1/2\right|$和$\left|\overline{\eta }\right|$一般不超过0.5,因此有

目前国内土工离心机的$\lambda$值一般在5以内,${\epsilon }_x$和${\epsilon }_y$分别可达±10%,$\sqrt{{\epsilon }_x^2+{\epsilon }_y^2}$超过14%。

式（29）表明,质点相对运动速度相关性${\epsilon }_{\text{c}}$与质点水平面内相对线速度${v^{\prime }}_{xy}$成正比,与离心机转动引起的模型箱中心点$o^{\prime }$的线速度$\Omega R_0$成反比。图4给出了${v^{\prime }}_{xy}=1\text{ m/s}$时,${\epsilon }_{\text{c}}$随离心机旋转半径$R_0$和离心加速度${\Omega }^2{R}_0$的变化曲线。由图4可见,在一定均匀离心加速度条件下,离心机转臂越短,线速度$\Omega R_0$越小,科氏加速度引起的相对速度相关性越强,但当$R_0>2\text{ m}$,${\Omega }^2{R}_0>2000\text{g}$时,增大$R_0$和${\Omega }^2{R}_0$对${\epsilon }_{\text{c}}$的影响有限。随着物质相对运动${v^{\prime }}_{xy}$的增加,科氏加速度影响不可忽略。

图  4  ${v^{\prime }}_{xy}=1\text{ m/s}$时${\epsilon }_{\text{c}}$随旋转半径、离心加速度变化曲线

Figure  4.  Change of ${\epsilon }_{\text{c}}$ with rotation radius and centrifugal acceleration for ${v^{\prime }}_{xy}=1\text{ m/s}$

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3.2   非惯性系效应敏感性分析

式（24）反映了非均匀离心力和科氏力耦合作用引起的非惯性系效应。比较式（25a）～（25e）,（26a）～（26d）和（27a）～（27e）可以看出,不考虑科氏力作用时$\eta$和$\zeta$的解析表达式是解耦的,科氏力使得两者相互耦合,表现为$\eta$不仅与该方向的初始条件和作用力有关,还与$\zeta$方向的初始条件和作用力相关,而且$\eta$和$\zeta$间的互相关时间函数具有形式相同、符号相反的特征。此外,非均匀离心力和科氏力对运动轨迹的影响并非简单叠加,表现为式（25a）～（25e）,（26a）～（26d）,（27a）～（27e）的形式完全不同；均匀离心力也因与科氏力的耦合作用产生额外的非惯性系效应,表现为$\text{Δ}\eta \text{(}\tau \text{)}$和$\text{Δ}\zeta (\tau )$与$f_{\zeta }$相关。

由于$\xi$不受非惯性系作用影响,本节分析质点相对运动非惯性系效应时主要关注$\eta$和$\zeta$的响应,且假定${F^{\prime }}_x={F^{\prime }}_y=0$,即$f_{\eta }=0$,$f_{\zeta }=-1$。

根据无量纲式（21a）～（21e）,当均匀离心加速度和模型箱尺寸一定时,${\xi }_0$,${\eta }_0$和${\zeta }_0$与$R_0$成反比,${\alpha }_0$,${\beta }_0$,${\gamma }_0$和$\tau$与$\sqrt{R_0}$成反比,说明增大离心机的转臂半径有利于减少初始坐标、初始速度对非惯性系效应的影响。

为分析$T_i$对非惯性系效应的影响,记

显然,${\dot{T}}_i$和${\ddot{T}}_i$分别代表初始条件和均匀离心力$f_{\zeta }$对质点运动速度及加速度的影响。

图5给出了3种条件下$T_1$和${\ddot{T}}_5$的时程曲线,图中的精确解系同时考虑非均匀离心力和科氏力的解,即式（25a）～（25e）。由图5可以看出,$T_1$和${\ddot{T}}_5$的绝对值随时间快速增长,相对而言,科氏力对非惯性系效应的影响大于非均匀离心力,占主导地位。实际上,除$T_3$外,其他$T_i$也满足上述规律。

图  5  $T_{\text{1}}$及${\ddot{T}}_5$随$\tau$变化曲线

Figure  5.  Change of $T_{\text{1}}$, ${\ddot{T}}_5$ with $\tau$

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图6给出了$T_i$,${\dot{T}}_i$和${\ddot{T}}_i$ (i=1,2,3,…,6)的精确解随时间的变化曲线。由图不难看出,质点自由运动条件下$T_i$及其导数具有如下规律：①因初速度引起科氏加速度、初始位移引起非均匀加速度,导致${\ddot{T}}_2$和${\ddot{T}}_3$在$\tau \text{=}0$时刻非零,并随时间增长影响减少,除此以外,其他各量均随时间快速增长；②各初始条件和均匀离心力影响位移、速度和加速度的相对权重关系基本相似,即$T_2$及其导数大于$T_1$,$T_3$大于$T_4$,而$T_6$大于$T_5$；③$T_5$,$T_6$及其导数分别反映了均匀离心力（$f_{\zeta }=-1$）对质点运动坐标、速度和加速度沿$\eta$和$\zeta$方向分量的影响,图6（c）表明均匀离心加速度对质点加速度的影响达到与其自身相当量级。

图  6  $T_i$、${\dot{T}}_i$及${\ddot{T}}_i$随$\tau$变化曲线

Figure  6.  Change of $T_i$, ${\dot{T}}_i$ and ${\ddot{T}}_i$ with $\tau$

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4.   离心模型试验非惯性系效应实例分析

本节以超重力作用下具体离心模型试验为例,分析非惯性系效应对质点运动驱动力和运动过程影响。

4.1   质点运动驱动力非惯性系效应

以三向离心机机载振动台设计为原型,假定质点初始坐标为${x^{\prime }}_0$,${y^{\prime }}_0$和${z^{\prime }}_0$,记受到振动台作用产生的振幅、运动频率和相位分别为$A^{\prime }$,${\omega }^{\prime }$和${\phi }^{\prime }$,则质点3个方向的相对运动为

将式（32a）～（32c）代入式（22a）～（22c）,可得各方向驱动力：

式中,

由式（33a）～（33c）不难看出,垂直于离心机转轴的平面内的运动驱动力存在耦合作用。随着平面内一个方向运动频率的提高,该方向驱动力幅值快速增加,与此同时,降低对平面内另一方向驱动力的耦合影响。

4.2   质点运动轨迹非惯性系效应

为更直观地理解离心超重力作用下质点运动轨迹非惯性系效应,本节以降雨模拟试验中雨滴喷射和爆炸试验中土石颗粒抛射为原型进行定量分析。

根据表1,如没有特殊说明,本节$R_0$取4.5 m,$h$取1 m,均匀离心加速度取100g。由于均匀离心加速度远大于常重力加速度,忽略常重力加速度对质点运动轨迹的影响。为描述方便起见,称质点初始速度矢量与坐标轴$\zeta$正方向之间的夹角为发射角,记为$\varphi$；称质点初始速度在平面$\xi \eta$内的投影矢量与坐标轴$\eta$正方向的有向角为方向角,记为$\theta$。

图7给出了质点沿模型箱中心线（${\overline{\xi }}_0={\overline{\eta }}_0=0$）竖直向下（发射角$\varphi {\text{=180}}^{\circ }$）以不同初速度喷射时的运动轨迹,初始坐标分别位于模型箱顶部（${\overline{\zeta }}_0=1$）和中心（${\overline{\zeta }}_0=0.5$）。质点的目标运动轨迹为直线$\overline{\eta }=0$。由图7可以看出：①受科氏力和离心机大角度转动的共同影响,质点逆离心机转动方向“漂移”,漂移量随落距增大而加速增长；②初始速度越小,运动到一定$\overline{\zeta }$值所需要的时间越长,“漂移”量越大,“漂移”量随初速度增加而减少的速度呈明显变缓趋势；③受非均匀离心力影响,质点运动相同的$\overline{\zeta }$方向距离,初始位置位于模型箱顶部时的漂移量明显大于模型箱中间位置；④计算数据还表明,非均匀离心力和科氏力引起的非惯性系效应导致质点沿$\zeta$方向的运动速度略有减少,但此情形下的误差在可接受范围内。

图  7  ${\overline{\xi }}_0={\overline{\eta }}_0=0$,$\varphi {\text{=180}}^{\circ }$时质点运动轨迹

Figure  7.  Particle trajectory for ${\overline{\xi }}_0={\overline{\eta }}_0=0$ and $\varphi {\text{=180}}^{\circ }$

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图8给出了质点从模型箱顶部不同$\overline{\eta }$位置处以10 m/s的初始速度竖直向下（$\varphi$=180°）喷射时的运动轨迹。由图可以看出,不同${\overline{\eta }}_0$时的运动轨迹满足相似规律,随着${\overline{\eta }}_0$的增长,“漂移”程度有所降低,但不显著。

图  8  $\varphi {\text{=180}}^{\circ }$时${\overline{\eta }}_0$不同时质点运动轨迹

Figure  8.  Particle trajectory with different ${\overline{\eta }}_0$ for $\varphi {\text{=180}}^{\circ }$

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为分析斜向下喷射时质点运动轨迹的非惯性系效应,假定初始时刻质点速度大小为10 m/s,发射角$\varphi =$150°,方向角为$\theta$；初始坐标为$\overline{\xi }=0.2\cos \theta$,$\overline{\eta }=0.2\sin \theta$,$\overline{\zeta }=1$。图9给出了方向角$\theta$不同时质点的运动轨迹曲线,图10给出了方向角$\theta$不同时质点在平面$\overline{\zeta }$=0.8,0.6,0.4,0.2上落点连线的目标曲线和真实曲线对比图。

图  9  $\varphi$=180°时质点运动轨迹

Figure  9.  Particle trajectory for $\varphi$=180°

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图  10  不同高度$\overline{\zeta }$处质点坐标

Figure  10.  Particle coordinates for different $\overline{\zeta }$

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图9,10表明：①下落过程中,质点整体向坐标轴$\eta$反方向漂移,并呈随$\overline{\eta }$增大漂移减少的趋势,同图8表现的规律一致,不同的是,斜向下抛射时,质点同时沿坐标轴$\xi$方向运动,质点真实轨迹不再在同一个平面内,呈空间扭曲曲线；②初始时刻质点位于模型箱上顶面、且以顶面中心为圆心的圆上时,不同方向喷射的质点在同一$\overline{\zeta }$平面内的落点连线近似椭圆,$\overline{\xi }=0$为该椭圆的对称轴,但不存在关于$\overline{\eta }$等于常数的对称轴；③数值结果还表明,不同方向角喷射质点到达同一$\overline{\zeta }$平面所需时间并不相同,当-90°$<\theta <$ 90°时大于目标时间,当90°$<\theta <$270°时小于目标时间。

而对于抛射问题,图11给出了初始速度30 m/s,初始坐标$\overline{\xi }=0$,$\overline{\eta }\text{=}0$,$\overline{\zeta }\text{=}0.5$,发射角45°时不同方向角质点的运动轨迹。与图9不同,图11中质点的运动经历了上升和下降两个过程,科氏力的作用更为复杂,其真实运动轨迹与目标轨迹差异更加明显。在计算工况下,运动轨迹依然扭曲,不在一个平面内；当方向角-90°$<\theta <$90°时,真实抛射高度、抛射距离和历时均小于目标值；而当方向角90°$<\theta <$270°时,真实抛射高度、抛射距离和历时均大于目标值。

图  11  $\varphi$=45°时质点运动轨迹

Figure  11.  Particle trajectory for $\varphi$=45°

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图12则给出了初始速度20 m/s,初始坐标$\overline{\xi }=0$、$\overline{\eta }\text{=}0$、$\overline{\zeta }\text{=}0.5$,发射角$\varphi$分别为15°,30°和45°条件下,质点落回到$\overline{\zeta }\text{=}0.5$平面时的坐标位置。

图  12  不同发射角质点落地坐标

Figure  12.  Particle-landing coordinates for different launch angles

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图12表明,当发射角较小（15°）时,不同方向角质点落地（$\overline{\zeta }\text{=}0.5$）点连线近似成长椭圆形,与目标结果相比,连线整体向坐标轴$\overline{\eta }$正向偏移,有别于向下喷射的工况。随着发射角的增加,落地点连线由近似长椭圆变化为扁椭圆,且整体朝坐标轴$\overline{\eta }$负向偏移。从图12可以看出,在计算条件下,$\overline{\eta }=0.3$附近质点跌落撞击并堆积的几率远大于$\overline{\eta }<0$的区域。

5.   结论及展望

针对离心模型试验,本文基于运动学和动力学严格地推导了物质运动加速度表达式和质点运动控制方程,首次明确提出了物质相对运动的非惯性系效应,分析了离心模型试验非惯性系效应的因素敏感性,得出如下3点结论。

（1）重力是地球等星球对周边物质的万有引力场,重力加速度是场强度的表征；均匀离心力、非均匀离心力和科氏力等非惯性系作用的本质是非惯性坐标系中描述物质运动引入的牵连加速度和科氏加速度在力空间的表征,离心力的实质是保持物质相对静止时的惯性力,满足有势场的基本特性,而科氏力不具备有势场的特征。

（2）离心模型试验中,均匀离心力、非均匀离心力和科氏力各自以不同形式改变物质相对运动控制方程的特性,三者之间相互耦合,引起物质运动的非惯性系效应,影响模型试验相似律的适用性。比较而言,科氏力对非惯性系效应的影响大于非均匀离心力,提高离心机转臂长度有利于减少不利的物质运动非惯性系效应。

（3）自由运动质点响应的非惯性系效应显著,受质点初始坐标、初始速度等因素影响明显,均匀离心力通过$T_5(\tau )$和$T_6(\tau )$对质点运动产生的额外作用不可忽视,动力学问题的离心模型试验需要考虑非惯性系效应对试验结果的影响。

本文分析中忽略了真实重力、压力、摩擦力等外力作用。在未来工作中,将研究复杂试验环境下,离心超重力场和外力等因素对爆炸、滑坡等涉及物质高速运动的影响,建立非惯性系效应偏差修正准则,提出考虑非惯性系效应的试验技术。