0.   引言

近年来，以控制结构地震损失和减小结构地震风险为目的的新一代基于性能的地震工程（performance-based earthquake engineering, PBEE）成为土木工程领域的研究热潮，主要包含地震危险性分析、结构地震易损性分析以及地震灾害损失评估3大部分^[1]。其中，结构地震易损性分析是指结构在输入不同强度地震动作用下发生各级破坏的概率，整体反映了地震动强度与结构失效之间的关系。因此，预测结构的在多种地震强度下的安全性能，为结构的安全运营、加固维修提供科学合理的建议，在工程中具有重要应用价值。

增量动力分析方法（incremental dynamic analysis, IDA）是目前常用的评价结构抗震性能的研究方法之一，其计算结果是结构进行地震易损性分析的数据基础。众学者基于IDA方法对地下结构进行地震易损性分析和抗震性能评价，并取得一定的研究成果^[2-5]。由于IDA方法是将预先选定的一组地震动按比例缩放后进行大规模动力时程计算，大型地下结构与周围土体材料复杂的非线性力学特性及二者非线性相互接触行为，大大增加了计算收敛难度，使得IDA方法在地下结构易损性分析评价中效率较低。

由此，文献[6]将耐震时程分析法（endurance time analysis, ETA）引入到地下结构抗震性能评价领域并验证其有效性，该方法的核心思想是基于预先定义的反应谱构造一条随时间增加地震动强度不断增强的人工耐震加速度时程曲线（endurance time acceleration function, ETAF），对地下结构进行少数次耐震时程分析便可得到平均意义上结构由弹性进入塑性直至破坏的性能曲线，相当于IDA分析中多次调幅计算的结果，为地下结构抗震性能高效率评价提供了新思路。基于此，文献[7]以Ⅱ类、Ⅲ类工程场地中两层三跨地铁车站为原型，基于基岩场地地震动的均值反应谱构造了不同持时的耐震时程曲线，研究了持时大小对地下结构ETA结果的影响，并结合地震动能量指标给出了持时确定公式，为地下结构耐震时程分析法进一步应用提供了理论依据。

地震易损性分析能够预测结构在各级地震动强度激励下发生破坏的概率，多为基于IDA分析结果结合概率理论绘制易损性曲线，以此建立地震动强度与地下结构破坏失效之间的关系。由于耐震加速度时程曲线随着持时增加地震动强度不断增大，因此，通过几次耐震时程分析结果便可绘制易损性曲线，简便高效，对结构抗震性能评价具有重大意义。Rahimi等^[8]基于ETA法对钢框架结构进行完全倒塌性能水准下的地震易损性分析，与IDA方法结果相比较，二者所得破坏概率一致，ETA法计算工作量远小于IDA方法，大大提高了结构易损性分析效率；Tavazo等^[9]构造100条缩放的耐震时程曲线计算了框架结构在轻微破坏、中等破坏、严重破坏及倒塌4种性能水准下的易损性曲线，其分析结果与IDA易损性分析结果匹配良好；Aedebili等^[10]基于ETA方法对钢框架进行地震易损性分析，结果表明ETA能以较少次数的非线性分析得到结构在不同地震动强度水准下的抗震性能，且S_a(T₁)比PGA更适合作为易损性分析的地震动强度指标。国内学者也基于ETA法对桥梁、混凝土坝、厂房等结构进行了地震易损性分析^[11-13]。

然而，根据ETAF构造函数，如下式所示：

式中：a_g为构造的耐震时程曲线；T_max为反应谱最大周期；t_max为时程曲线的最大持时；S_a(T, t)为构造的ETAFs在0~t时刻内的实际加速度反应谱；S_aT(T, t)为构造ETAFs所基于的目标反应谱，通常为规范设计反应谱或者预先定义的地震动反应谱。由构造函数可知，基于相同目标反应谱所构造的一组耐震时程曲线在时域范围内地震动强度虽各不相同，但在频域范围内本质是相同的，不能充分反映输入地震动本身的离散特性。文献[10]研究结果也表明，ETA法能够以较高的精度评估结构平均意义上的抗震性能，但与IDA法相比，ETA法无法绘制不同分位值的性能曲线，即无法体现输入地震动的不确定性。

因此，本文在文献[6，7]的研究基础上，借鉴IDA方法中的分位数回归统计思想^[14-16]，分别基于所选地震动的16%，50%和84%的分位值反应谱，构造一系列在统计分析中具有不确定特性的耐震时程曲线，对文献[7]所建的Ⅲ类工程场地中的两层三跨地铁车站模型进行ETA快速易损性分析，其结果与IDA易损性分析结果相对比，验证ETA在地下结构易损性分析中的有效性，同时验证本文思路的准确性。

1.   地下结构地震易损性分析

1.1   地下结构IDA易损性分析流程

近年来，众研究者已将IDA方法应用到地下结构易损性分析评价中来，对其分析的计算步骤均有着详细的描述，本文将不再赘述，现总结如下：

（1）根据所需分析的问题建立合理的土-地下结构相互作用模型，并验证其有效性。

基于文献[7]中建立的Ⅲ类工程场地中两层三跨地铁车站作为研究对象进行深入研究，整体有限元模型如图 1所示，模型底部固定，采用基岩处一致激励，输入水平加速度时程曲线。模型先完成地应力平衡分析后，再进行非线性时程分析。地下结构、场地参数与建模流程详见文献[7]所述。

图  1  地铁车站二维整体有限元模型示意图

Figure  1.  2D finite element model for soil-underground structure

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（2）根据地下结构所在场地特性，选择一定数量的地震动，并按照一定的调幅原则进行缩放，得出一系列具有不同强度等级分布的地震动。

本文基于文献[7]根据剪切波速对场地的划分，在美国强震数据库中选择了15条基岩场地地震动（ground motion，GM），并根据相应的调幅原则对地震动进行缩放，缩放幅值为0.05g，缩放范围为0~0.8g，每条地震动共缩放16次，缩放后得到的一系列地震动由有限元模型底部垂直输入。所选基岩场地地震动加速度反应谱如图 2所示。

图  2  基岩场地地震动加速度反应谱(ξ=5%)

Figure  2.  Response spectra of acceleration of bedrock ground motions (ξ=5%)

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（3）选取合适的地下结构动力响应（dynamic measure, DM）作为输出，并选择适用于评价地下结构动力响应的地震动强度指标（intensity measure, IM）。

根据陈国兴等^[17]针对矩形多层多跨结构开展的大型振动台试验研究成果可知，车站中柱是结构抗震薄弱部位，且底层的中柱基底损伤较顶层中柱破坏更为严重；文献[18]对地下工程领域常用的22个地震动强度指标进行综合评价，研究结果表明以PGA为代表的加速度型地震动强度指标更适用于评价地铁车站在地震作用下的动力响应；文献[19]对两层三跨地铁车站进行IDA分析时，对比了非自由场不同埋深处的PGA与结构动力响应指标之间的离散性，结果表明地表处PGA的离散性小于基岩输入处的PGA。基于此，本文DM选择地下结构底层中柱的最大层间位移角（inter-story drift ratio, IDR）；IM选择非自由场中地表处的PGA。

（4）对地下结构进行性能水准（limit state, LS）划分，并给出不同性能水准下对应的地下结构动力响应。

基于杜修力等^[20]的研究成果，本文将地铁车站结构的性能水准划分为：①正常使用；②可以使用；③修复后使用；④不能使用，共4个等级。不同性能水准对应的层间位移角限值见表 1。

表  1  基于层间位移角的性能指标限值

Table  1.  Performance index system based on interstory drift ratio

指标	性能水准
	1	2	3	4
层间位移角	1/1223	1/343	1/161	1/105

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（5）进行大量的IDA分析计算，得到地下结构的地震响应超过各级性能水准$L{S_i}$所定义的结构动力响应的条件概率，即

由于结构地震易损性通常假设为服从双参数对数正态分布形式^[21]，则式（2）展开为

式中：${{x}_\mathrm{mi}}$表示任$\mathrm L{\mathrm S_i}$下地震动强度指标IM的中间临界值；${β_\mathrm{tot}}$为总的对数正态标准偏差。

1.2   地下结构IDA分析结果

本文对Ⅲ类工程场地中所建两层三跨地铁车站模型进行IDA计算，15条地震动经缩放后共计需要240次有限元非线性时程分析。以地表PGA为IM指标，Ⅲ类工程场地下地铁车站的IDA分析结果如图 3（a）所示，在地震动幅值较小时，各条IDA曲线之间密集度较高，随着输入地震动强度增加，结果之间的离散性也逐步变大，且IDA曲线与输入地震动有关，输入地震动之间的离散性造成了IDA曲线簇的离散性。单一的IDA曲线不足以准确地反映结构的抗震性能，为计算地下结构在各级性能水准下的变形能力，必须对多条地震动记录下的IDA结果作出合理的统计分析^[14-15]。对离散数据统计分析常用的是非参数方法中的分位数回归法^[16]，即假设所有的IDA曲线均服从正态分布，基于IM准则求出同一PGA下的结构动力响应的中值和自然对数标准偏差，分别用${{\text{μ }}_\mathrm{DM}}$和${{\text{σ }}_\mathrm{DM}}$表示，根据正态分布概率函数可知，以${{\text{μ }}_\mathrm{DM}}$，${{\text{μ }}_\mathrm{DM}} + {{\text{σ }}_\mathrm{DM}}$和${{\text{μ }}_\mathrm{DM}} - {{\text{σ }}_\mathrm{DM}}$为统计标准下的结构动力响应的超越概率分别约为50%，84%，16%。由此，可用这3条分位值曲线表示整个IDA曲线簇的均值性能以及离散性。本文IDA曲线簇的分位值结果如图 3（b）所示，在PGA值较小时，3条曲线的离散性较小，随着地震动的峰值增大其离散性逐渐变大。

图  3  地铁车站IDA分析结果

Figure  3.  IDA results of subway station

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1.3   地下结构IDA易损性曲线

由式（3）可知，${{x}_\mathrm{mi}}$和${\beta_\mathrm{tot}}$是绘制易损性曲线的重要参数，其中${\beta_\mathrm{tot}}$为总的对数偏差，主要考虑两个方面的不确定因素的影响，可由下式来描述：

式中：$\beta _\mathrm{DS}$考虑了结构损伤状态阈值定义影响的偏差，可取为0.4^[22]，$\beta _\mathrm D$表示是地震动强度指标与结构动力响应的在对数坐标系中的平均标准偏差。${{x}_\mathrm{mi}}$可将任一$\mathrm L{\mathrm S_i}$状态下的结构损伤指标代入IM与DM的对数线性关系式中计算。

将Ⅲ类工程场地中地铁车站IDA分析结果分别取对数后进行线性回归分析，如图 4所示，3种性能水准下对应的${{x}_\mathrm{mi}}$分别是0.228g，0.366g，0.479g，地下结构层间位移角与地表PGA数据组的平均标准偏差$\beta _\mathrm D$为0.431，可得${\beta _\mathrm{tot}}$为0.588。

图  4  地铁车站IDR-PGA线性回归

Figure  4.  Linear regression PGA for IDR of subway station based on IDA

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基于此，便可在相关数学软件中的标准正态函数绘制易损性曲线，如图 5所示，随着地震动强度逐渐增强，地下结构性能水准的失效概率逐渐趋于100%，当地表PGA为0.5g时，Ⅲ类工程场地中地铁车站3种性能水准的失效概率分别约为90.9%，70.2%和53.0%。

图  5  Ⅲ类场地中地铁车站易损性曲线

Figure  5.  Curves of seismic fragility of subway station in class Ⅲ site

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2.   地下结构ETA易损性分析

2.1   ETA分析离散性表达

由图 3中IDA分析结果可知，所选地震动之间的离散性，造成了IDA曲线簇之间的离散性，通常假设IDA曲线服从正态分布，利用分位数回归法计算出16%，50%和84% 3条分位值来表征IDA曲线簇的平均水平和离散性。然而，在ETA方法应用中，基于相同目标反应谱构造的人工耐震时程曲线之间，其加速度大小在时域内各不相同，但之间的频谱特性相同，无法体现输入地震动的不确定性，即无法有效计算易损性分析中的$\beta _\mathrm D$。因此，本文借鉴IDA方法中分位数回归法的思路，从构造ETAFs的目标反应谱入手，引入分位值概念，即以所选天然地震动反应谱的16%，50%，84%分位值来反映全部地震动的平均水平及离散性，并作为构造ETAFs的目标反应谱S_aC(T)，如图 6所示，分别构造3条人工耐震加速度时程曲线。

图  6  所选地震动反应谱的分位值

Figure  6.  Quantile values of response spectra of selected ground motions

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由文献[7]研究成果可知，在Ⅲ类场地中持时为39 s的ETA分析结果与IDA结果匹配较好，因此本文基于地震动反应谱的分位值分别构造3条持时为39 s的ETAFs。限于版面，仅选取各自其中一条作展示，如图 7所示，在全时程范围内，构造的ETAFs随着持时的增加地震动强度不断增大，PGA均在1.0g左右，ETAFs反应谱与目标谱之间拟合良好，表明生成的耐震时程曲线精度较好，且不同ETAFs之间频谱特性各不相同，充分体现了输入耐震时程曲线的离散性。

图  7  基于反应谱分位值构造的ETAFs

Figure  7.  ETAFs based on quantile values of response spectra of ground motions

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2.2   ETA分析离散性验证

本文基于所选天然地震动反应谱的分位值分别构造3条耐震时程曲线，对所建Ⅲ类工程场地中地铁车站有限元模型进行非线性时程分析，共进行9次ETA计算，提取计算过程中地表加速度时程与对应的底层中柱层间位移角的响应时程，根据对ETA分析结果的处理方法^[6]，分别以两者绝对值的累积最大值作为横、纵坐标，便可得到一次ETA计算后的结构阶梯型性能曲线，将得到的ETA阶梯型曲线作平滑处理，取3次计算的均值结果与IDA分位值结果进行对比，如图 8所示。IDA各分位值结果基本处于3次ETA分析结果的包络线内，各ETA分析结果均值与IDA分位值曲线趋势一致，基本吻合良好，且不同分位值结果存在明显的区别，表明本文基于地震动反应谱分位值构造具有一定离散性的ETAFs以此表达ETA结果不确定性的思路是正确的。

图  8  ETA分位值结果与IDA结果对比

Figure  8.  Comparison of quantile value results between ETA and IDA

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为更直观对比ETA性能曲线与IDA各分位值曲线的拟合情况，对二者曲线进行相同PGA坐标下各插值提取20组数据，以IDA数据点为横坐标，ETA数据点为纵坐标，绘制散点图并进行线性拟合和相关性评价^[6]。由图 9可知，ETA性能曲线与IDA各分位值结果线性拟合系数范围在0.93~0.97，决定系数R²均大于0.85，相关性分析数据结果表明，ETA各性能曲线与IDA各分位值结果之间具有较高的线性相关性。

图  9  ETA与IDA各分位值结果相关性

Figure  9.  Correlation of quantile value results between ETA and IDA

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2.3   ETA分析结果处理

在ETA分析中，构造的耐震时程曲线随着持时变化地震动强度不断增加，极大缩短了天然地震动调幅计算的时间。基于ETA方法进行地下结构易损性分析的流程与IDA易损性分析流程相似，在易损性曲线绘制的条件概率函数中，需要根据ETA结果计算各极限状态下地震动强度指标的中间临界值${{x}_\mathrm{mi}}$以及总的对数正态标准偏差${\beta _\mathrm{tot}}$。本文构造9条持时为39 s、时间间隔为0.01 s的耐震时程曲线进行非线性时程分析，每次分析得到的3900组IM-DM数据点构成了ETA阶梯型性能曲线，需进行简化处理。本文对ETA性能曲线进行插值，每条性能曲线取50组数据点便可满足较高的精度要求，离散后的ETA性能曲线簇如图 10所示。

图  10  地铁车站ETA分析结果

Figure  10.  ETA results of subway station

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对ETA性能曲线数据组在双对数坐标下进行线性回归分析，如图 11所示，9条ETA性能曲线共计提取450组数据点。根据结构“可以使用”、“修复后使用”以及“不可使用”性能水准下层间位移角的限值进行标定，可得Ⅲ类场地中各性能水准对应的${{x}_\mathrm{mi}}$值分别为0.229g，0.365g，0.476g，正态标准偏差β_D为0.468。通过对比基于ETA结果和IDA结果所得的${{x}_\mathrm{mi}}$值和β_D值，根据相同性能水准划分的${{x}_\mathrm{mi}}$值较为接近，但ETA结果的离散性β_D值略大于IDA结果计算的β_D。

图  11  地铁车站IDR-PGA线性回归

Figure  11.  Linear regression PGA for IDR of subway station based on ETA

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2.4   ETA易损性分析结果验证

基于ETA分析结果，以地表PGA为横坐标，以结构失效概率为纵坐标，绘制的Ⅲ类工程场地中地铁车站的易损性曲线如图 12（a）所示，其中β_D的值为0.468，${\beta _\mathrm{tot}}$计算为0.615，随着地表PGA强度逐渐增大，定义的地铁车站3种性能水准的失效概率逐渐增大并趋于100%，在相同地震动强度水准下，可以使用、修复后使用及不可使用的失效概率依次减小，同理依据易损性分析曲线可得地表PGA值为0.5g 3种性能水准的失效概率分别是89.8%，69.5%，53.1%，与IDA易损性分析结果较为接近。

图  12  ETA易损性分析结果验证

Figure  12.  Curves of seismic fragility obtained by ETA and IDA

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将ETA易损性分析结果与IDA易损性曲线对比，如图 12（b）所示，在Ⅲ类场地中，基于ETA绘制的各性能水准易损性曲线与IDA易损性曲线基本吻合，表明本文考虑输入地震动离散性的ETA易损性分析与IDA法计算结果相当。相比于IDA分析方法，ETA方法非线性时程分析的次数大幅减小，仅为IDA分析次数的4%；单次ETA分析的耗时也小于IDA分析的平均耗时；在后期数据处理中，一次ETA分析便可得到结构由弹性进入塑性直至破坏的性能曲线，大幅减少了后期数据处理的次数。因此，ETA方法极大提高了计算效率，可以作为地下结构易损性分析的一种快速高效的方法。

3.   结论

本文基于IDA方法中的分位数回归统计思想，以所选天然地震动的16%，50%和84%分位值反应谱作为目标反应谱，构造一系列在统计分析中具有不确定特性的耐震时程曲线进行ETA快速易损性分析并验证其有效性，得到以下3点结论。

（1）与传统IDA法相比，考虑输入耐震时程曲线离散性的ETA法能够以较少的非线性分析次数和较高的精度对地下结构进行易损性分析，极大提高了计算效率，可以作为一种地下结构易损性分析的高效率方法。

（2）基于地震动反应谱分位值构造的耐震时程曲线，其分析结果均值与IDA各分位值结果趋势一致且基本吻合良好，表明基于地震动反应谱分位值构造具有离散特性的耐震时程曲线进行ETA易损性分析的思路是准确的。

（3）在Ⅲ类场地中基于ETA结果绘制的地震易损性曲线与IDA地震易损性曲线基本一致，地表PGA值为0.5g时地下结构可以使用、修复后可使用以及不可使用3种性能水准的失效概率分别约为90%，70%和53%。