软土地区桩基横向抗力系数的精细化取值研究

张俊云; 张乐; 冯君

doi:10.11779/CJGE2021S2048

软土地区桩基横向抗力系数的精细化取值研究 English Version

西南交通大学土木工程学院,四川　成都　610031

基金项目:

四川省科技计划重点项目 2021YFS0321

详细信息

作者简介:
张俊云(1974— ),男,博士,副教授,主要从事土力学与基础工程方面的教学和科研。E-mail: zjy74@126.com

中图分类号: TU473.1
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出版历程
- 收稿日期: 2021-08-14
- 网络出版日期: 2022-12-05
- 刊出日期: 2021-10-31

Refined value of lateral resistance coefficient of pile foundation in soft soil areas

School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China

摘要

摘要: m法是横向受荷桩桩身变形和内力分析的一种常用方法。在没有试桩的条件下,m法中横向抗力系数的比例系数m值只能根据地基土的类型等从规范推荐的较大范围中取值,对工程经验依赖性强,具有较大的随机性。将沪通铁路沿线主要软土按压缩特性分为11亚类,通过有限元模拟分析了水平力H、泥面（桩顶）水平位移和土体压缩指数 $C_{c}$ 等对m值的影响作用；经统计分析建立了m值与 $Y_{0}$ , $C_{c}$ 间的拟合关系式,并以现场水平静载试验对其进行校核验证。结果表明：m值随H, $Y_{0}$ 和 $C_{c}$ 的增大而减小,且衰减速度不断减小；桩径D对m值有一定影响,现有桩径水平中D=1.25 m最佳；现场试验修正后的m值拟合关系计算可靠,且能依据土体变形参数精细化取值。
- 软土地区 /
- 桩基 /
- m值 /
- 精细化取值 /
- 拟合关系式
Abstract: The m method is a common method to analyze the deformation and internal force of laterally loaded piles. In the absence of test piles, the ratio coefficient m value of lateral resistance coefficient in the m method can only be taken from a wide range recommended by the relevant code according to the type of foundation soil, etc., highly dependent on engineering experience and random. Main soft soils along Shanghai-Nantong Railway are classified into 11 subcategories according to the compression characteristics. The influences of horizontal force H, horizontal displacement $Y_{0}$ of mud surface (pile top), pile diameter D and soil compression index $C_{c}$ on m value are analyzed through the numerical test method. The fitting relation between m and $C_{c}$ and the relation between m and $Y_{0}$ are established through statistical analysis, and are verified by the field horizontal static load tests. The results show that the m value decreases with H, $Y_{0}$ and $C_{c}$ , and the attenuation speed decreases continuously. D has a certain influence on the m value, corresponding to the best diameter of pile D=1.25 m. The fitting formula for m value corrected by the field tests is reliable and can be fine-tuned according to the deformation parameters of soils.
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- pile foundation /
- m value /
- refined value /
- fitting formula

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0. 引言

岩土材料的本构模型在有限元仿真当中扮演着核心角色,其合理性与否直接决定着有限元计算结果的精度。在传统岩土弹塑性模型中,塑性势函数通常表示为主应力或应力不变量的函数并结合正交流动法则确定塑性应变率的方向,这一过程隐含了塑性应变率与应力的共轴性假设。该假设与含主应力轴旋转加载条件下岩土材料的变形规律并不吻合^[1]。

主应力轴方向的改变会显著影响土体的变形特性,这一点早已被土力学的学者所认识到^[2-4]。众多研究者进行了大量试验,研究含主应力旋转条件下土体的变形规律,例如Miura等^[5]、Ishihara等^[6]的空心圆柱扭剪试验表明,主应力轴旋转条件下产生的塑性应变增量方向与应力方向明显不同。Gutierrez等^[7-8]对Toyoura砂进行的应力探测试验表明：即便在应力幅值保持不变的条件下,单纯的主应力方向改变也会引起砂土产生塑性变形,并且应力的方向通常滞后于塑性应变率的方向,但二者之间的非共轴程度随着应力比的增加而逐渐变弱。Li等^[9]开展的细观试验也证明了主应力旋转条件下颗粒材料的变形存在显著的非共轴性。传统的共轴弹塑性模型并不能描述这一现象。针对这一不足,国内外学者提出了多种新模型来模拟应力与塑性应变率之间的非共轴特点。其中一大类是建立在由Rudnicki等^[10]提出的屈服角点理论基础上。该理论认为非共轴塑性应变率是由屈服函数切线方向的应力率所引发的。基于该理论,Yang等^[11-13]分别结合Drucker-Prager模型和临界状态土力学模型CASM模拟了单剪试验中砂土的非共轴变形行为；罗强等^[14]在应变软化的Drucker-Prager模型中引入带角点结构的塑性流动理论,对密砂的单剪试验进行了模拟分析。但由于该理论早期定义的切线应力率是基于二维应力空间,并不适用于三维化的模型,国内学者钱建固等^[15]应用Gram-Schimidt张量正交化理论,发展了三维的非共轴塑性流动理论；李学丰等^[16]利用该方法建立了一个砂土的非共轴模型,但没有将其应用于工程分析；基于钱建固等的研究成果,陈洲泉等^[17-18]提出了一个能够计算定向剪切条件下非共轴变形的砂土模型,然而Dafalias等^[19]指出在该加载模式下是否应当考虑非共轴性仍是一个值得商榷的问题。Hashiguchi等^[20-22]发展了广义的非共轴塑性流动理论,建立了适用于黏土且能够考虑非共轴塑性变形的次加载面模型。此外,一些学者包括Gao等^[23]、Tian等^[24]从各向异性角度对砂土非共轴性进行了研究。

虽然目前为止已经建立了一些砂土的非共轴模型,但大多数文献中并未对传统弹塑性模型所隐含的共轴假设给出详细的论证,此外将建立的非共轴模型应用于工程分析的情况也并不多见。因此,笔者首先对传统弹塑性模型隐含的共轴性假设进行剖析,然后将Hashiguchi等^[20-22]发展的广义非共轴塑性理论引入Li等^[25]提出的砂土状态相关剪胀模型,建立砂土的非共轴本构模型；通过已有的砂土单剪试验数据检验模型的合理性,并利用所建模型对砂土地基的承载力问题进行分析,探究考虑非共轴塑性变形对计算结果的影响。

1. 共轴性假设剖析

1928年Mises通过类比弹性势的概念提出了塑性势的概念^[1],随后建立的德鲁克公设表明,屈服函数与塑性势函数等价；塑性应变率的方向必定沿着屈服面的法线方向,即正交流动法则,其数学表达式为

${\dot{ε}}^{p} = L \frac{\partial f}{\partial σ}$ ,

(1)

式中, ${\dot{ε}}^{p}$ 为塑性应变率张量, $σ$ 为应力张量, $f$ 为屈服函数, $L$ 为加载指标,由一致性条件确定。

传统的岩土弹塑性模型继承了这一正交流动法则,并且通常视土体为各向同性材料,将屈服函数与塑性势函数表示为应力不变量的函数。这种表示方式的便捷之处是只需在某一固定坐标系下建立土体的屈服规律和塑性流动规律,当坐标系发生改变时,建立的准则仍然适用,但却隐性地规定了塑性应变增量方向必须与应力方向共轴。为了对此进行更加清楚的说明,假设塑性势函数的一般形式为

$g = g (I_{1}, J_{2}, J_{3}, H)$ 。

(2)

式中 3个应力不变量分别为 $I_{1} = tr(σ)$ , $J_{2} = tr(s^{2})/2$ , $J_{3} = tr(s^{3})/3$ ； $H$ 为硬化变量； $s$ 为偏应力张量。由正交流动法则,塑性应变率张量 ${\dot{ε}}^{p}$ 可表示为

$\begin{matrix} {\dot{ε}}^{p} = L \frac{\partial g}{\partial σ} = L (\frac{\partial g}{\partial I_{1}} \frac{\partial I_{1}}{\partial σ} + \frac{\partial g}{\partial J_{2}} \frac{\partial J_{2}}{\partial σ} + \frac{\partial g}{\partial J_{3}} \frac{\partial J_{3}}{\partial σ}) \\ = L [(\frac{\partial g}{\partial I_{1}} - \frac{\partial g}{\partial J_{3}} \frac{2}{3} J_{2}) 1 + \frac{\partial g}{\partial J_{2}} s + \frac{\partial g}{\partial J_{3}} s^{2}] \\ = L (a_{1} 1 + a_{2} σ + a_{3} σ^{2}) \end{matrix}$ ,

(3)

式中, $1$ 为二阶单位张量,3个系数分别为 $a_{1} = \frac{\partial g}{\partial I_{1}} -$ $\frac{\partial g}{\partial J_{2}} \frac{I_{1}}{3} + \frac{\partial g}{\partial J_{3}} (\frac{I_{1}^{2}}{9} - \frac{2}{3} J_{2})$ , $a_{2} = \frac{\partial g}{\partial J_{2}} - \frac{\partial g}{\partial J_{3}} \frac{2}{3} I_{1}$ , $a_{3} = \frac{\partial g}{\partial J_{3}}$ 。

设 $n_{1}$ , $n_{2}$ , $n_{3}$ 分别为应力张量3个主方向上的单位基矢量,则必然存在某一单位正交张量 $Q$ 可以将应力张量 $σ$ 转化为主应力张量的形式,即

$Q \cdot σ \cdot Q^{T} = σ_{1} n_{1} \otimes n_{1} + σ_{2} n_{2} \otimes n_{2} + σ_{3} n_{3} \otimes n_{3}$ ,

(4)

式中, $σ_{1}$ , $σ_{2}$ , $σ_{3}$ 分别为应力张量的3个主值。将塑性应变率张量 ${\dot{ε}}^{p}$ 两侧点积张量 $Q$ ,并利用 $Q$ 的正交性质 $Q^{T} \cdot Q = 1$ ,则可得

$\begin{matrix} Q \cdot {\dot{ε}}^{p} \cdot Q^{T} = L Q \cdot (a_{1} 1 + a_{2} σ + a_{3} σ^{2}) \cdot Q^{T} \\ = L (a_{1} Q \cdot 1 \cdot Q^{T} + a_{2} Q \cdot σ \cdot Q^{T} + \\ a_{3} Q \cdot σ \cdot Q^{T} \cdot Q \cdot σ \cdot Q^{T}) \\ = {\dot{ε}}_{1}^{p} n_{1} \otimes n_{1} + {\dot{ε}}_{2}^{p} n_{2} \otimes n_{2} + {\dot{ε}}_{3}^{p} n_{3} \otimes n_{3} \end{matrix}$ ,

(5)

式中, ${\dot{ε}}_{i}^{p} = L (a_{1} + a_{2} σ_{i} + a_{3} σ_{i}^{2})$ , $(i = 1, 2, 3)$ 为塑性应变率张量的3个主值。式（5）表明,应力张量 $σ$ 与塑性应变率张量 ${\dot{ε}}^{p}$ 在同一组基矢量中化为主张量的形式,即二者有相同主方向,因此按照传统位势理论计算的塑性应变率张量 ${\dot{ε}}^{p}$ 总是与应力张量 $σ$ 共轴。

2. 砂土的三维非共轴本构模型

由于在非比例加载条件下会涉及到三维应力状态,需要将模型三维化^[19,26-27]。本文选择在偏平面上插入角隅函数的方法实现这一目的。

2.1 弹性部分

模型的剪切模量 $G$ 、体积模量 $K$ 都与砂土密度和平均应力 $p$ 有关,其表达式为

$G = G_{0} \frac{{(2.97 - e)}^{2}}{1 + e} \sqrt{p p_{a}}$ ,

(6)

$K = G \frac{2 (1 + ν)}{3 (1 - 2 ν)}$ ,

(7)

式中, $G_{0}$ 为材料常数, $e$ 为当前孔隙比, $p_{a}$ 为大气压力, $ν$ 为泊松比。

2.2 状态变量

模型的状态变量采用Been等^[28]提出的形式,其定义为相同压力下当前孔隙比与临界孔隙比的差值,即

$ψ = e - e_{c}$ ,

(8)

式中, $e_{c}$ 为临界孔隙比。对于砂土,Li等^[25]提出了一个适用范围较广的形式,其数学形式为

$e_{c} = e_{Γ} - λ_{c} {(p / p_{a})}^{ξ}$ ,

(9)

式中, $e_{Γ}$ , $λ_{c}$ 和 $ξ$ 为3个材料常数。

2.3 屈服函数与塑性模量

屈服函数采用广义Mohr-Coulomb形式,即

$f = q - M g (θ) p = 0$ 。

(10)

式中 $p = I_{1} / 3$ ； $q = \sqrt{3 J_{2}}$ ； $M$ 为硬化内变量；应力罗德角 $θ = \sin^{- 1} (3 \sqrt{3} J_{3} / 2 J_{2}^{3}) / 3$ ； $g (θ)$ 为引入的角隅函数,这里采用Li等^[29]建议的形式：

$g (θ) = \frac{\sqrt{{(1 + c^{2})}^{2} + 4 (1 - c^{2}) \sin 3 θ} - (1 + c^{2})}{2 (1 - c) \sin 3 θ}$ ,

(11)

式中, $c = M_{e} / M_{c}$ , $M_{e}$ , $M_{c}$ 分别为三轴拉伸与压缩条件下的应力比比值。

模型中定义了一个状态相关的塑性模量 $K_{p}$ ,可以表示为

$K_{p} = h G e^{n ψ} [\frac{M_{cs} g (θ) e^{- n ψ}}{η} - 1]$ 。

(12)

式中 $M_{cs}$ 为临界状态应力比；应力比 $η = q / q$ ； $n$ 为材料常数；Li等^[29]建议 $h$ 取为孔隙比的函数 $h = h_{1} - h_{2} e$ , $h_{1}$ , $h_{2}$ 为2个材料常数。

2.4 剪胀方程

剪胀方程表示为塑性体应变率 ${\dot{ε}}_{v}^{p}$ 与广义塑性剪应变率 ${\dot{ε}}_{q}^{p}$ 之比,具体形式为

$d = \frac{{\dot{ε}}_{v}^{p}}{{\dot{ε}}_{q}^{p}} = \frac{{\dot{ε}}_{v}^{p}}{L} = \frac{d_{0}}{M_{cs} g (θ)} [M_{cs} g (θ) e^{m ψ} - η]$ ,

(13)

式中, $d_{0}$ , $m$ 为2个材料常数。上述剪胀方程的等效势函数为

$g = q - \frac{d_{0} M_{cs} g (θ) p}{d_{0} - M_{cs} g (θ)} [1 - {(\frac{p}{p_{0}})}^{\frac{d_{0}}{M_{cs} g (θ)} - 1}]$ ,

(14)

式中, $p_{0}$ 为塑性势面与 $p$ 轴的交点。

2.5 硬化规律

根据式（10）,由一致性条件可得

$\dot{f} = \frac{\partial f}{\partial σ} : \dot{σ} + \frac{\partial f}{\partial Μ} \frac{\partial Μ}{\partial ε_{q}^{p}} {\dot{ε}}_{q}^{p} = 0$ ,

(15)

式中, $\dot{σ}$ 为应力率张量。根据塑性理论^[30]

${\dot{ε}}_{q}^{p} = L = \frac{1}{K_{p}} \frac{\partial f}{\partial σ} : \dot{σ}$ 。

(16)

结合式（12）,（15）,（16）,可得

$\frac{\partial Μ}{\partial ε_{q}^{p}} = \frac{h G e^{n ψ}}{g (θ) p} [\frac{M_{cs} g (θ) e^{- n ψ}}{η} - 1]$ 。

(17)

2.6 非共轴塑性应变率

与传统塑性理论不同,Rudnicki等^[10]提出的屈服角点理论将总塑性应变率分解为共轴塑性应变率和沿屈服函数切线方向的塑性应变率之和,则总应变率张量 $\dot{ε}$ 为

$\dot{ε} = {\dot{ε}}^{e} + {\dot{ε}}^{pc} + {\dot{ε}}^{pt}$ 。

(18)

式中 ${\dot{ε}}^{e}$ 为弹性应变率张量； ${\dot{ε}}^{pc}$ 为共轴塑性应变率张量,由传统塑性位势理论确定； ${\dot{ε}}^{pt}$ 为非共轴塑性应变率张量,Rudnicki等^[10]认为 ${\dot{ε}}^{pt}$ 与静水压力部分无关,其方向沿着屈服函数切线方向并与 $s$ 正交, ${\dot{ε}}^{pt}$ 的表达式为

${\dot{ε}}^{pt} = \frac{1}{H_{t}} (\dot{s} - \frac{s : \dot{s}}{s : s} s)$ ,

(19)

式中, $H_{t}$ 为非共轴塑性模量, $\dot{s}$ 为偏应力率张量。然而式（19）由于没有考虑第三应力不变量的影响,并不适用于一般化的三维模型。

Hashiguchi等^[20-22]发展了适用于三维应力空间的广义非共轴塑性流动理论,并假设非共轴塑性应变率张量与偏切线应力率张量之间为线性关系, ${\dot{ε}}^{pt}$ 可表示为

${\dot{ε}}^{pt} = T E_{e}^{- 1} : {\dot{s}}_{t}$ ,

(20)

式中, $T$ 为一个无量纲的标量系数, $E_{e}$ 为弹性刚度张量, ${\dot{s}}_{t}$ 为偏切线应力率张量,如图1所示。Gutierrez 等^[7-8]的研究表明,当应力比接近临界应力比时,非共轴现象逐渐减弱,因此通常情况下非共轴系数并不是一个常量。Hashiguchi等^[20-22]将非共轴系数表达为相似比的指数函数；Yang等^[11]建议将 $T$ 表示为广义塑性剪应变的指数函数,并指出这种表示形式可显著提高非共轴模型的收敛性。本文中, $T$ 取如下形式：

$T = T_{0} \exp (- χ ε_{q}^{p})$ ,

(21)

图 1 主应力空间内的偏切线应力率示意图

Figure 1. Deviatoric tangential stress rate illustrated in principal stress space

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式中, $T_{0}$ 为 $T$ 的初始值, $χ$ 为材料常数。

如图1所示,偏切线应力率张量 ${\dot{s}}_{t}$ 可以由下式计算：

${\dot{s}}_{t} = {\bar{Ι^{'}}}_{t} : \dot{σ} = \dot{s} - {\dot{s}}_{n}$ ,

(22a)

${\bar{Ι^{'}}}_{t} = {\bar{I}}^{'} - n \otimes n$ ,

(22b)

$n = (\bar{n} - \frac{1}{3} tr (\bar{n}) 1) / ‖ \bar{n} - \frac{1}{3} tr (\bar{n}) 1 ‖$ ,

(22c)

$\bar{n} = (\partial f / \partial σ) / ‖ (\partial f / \partial σ) ‖$ 。

(22d)

式中 $\bar{n}$ 为屈服面的外法线方向； $n$ 为偏法线方向； ${\dot{s}}_{n}$ 为偏法线应力率张量； ${\bar{I}}^{'}$ 为偏投影张量,其分量形式为 ${\bar{I}}^{'}_{i j k l} = (δ_{i k} δ_{j l} + δ_{i l} δ_{j k}) / 2 - δ_{i j} δ_{k l} / 3$ , $δ_{i j}$ 为Kronecker符号； ${\bar{Ι^{'}}}_{t}$ 为偏切线投影张量。结合式（16）,（18）,（20）,（22a）,总应变率张量可以表示为

$\dot{ε} = = (E_{e}^{- 1} + \frac{1}{K_{p}} \frac{\partial g}{\partial σ} \otimes \frac{\partial f}{\partial σ} + T E_{e}^{- 1} : {\bar{Ι}}^{'}_{t}) : \dot{σ}$ 。

(23)

对式（23）求逆可得非共轴弹塑性本构关系：

$\dot{σ} = E_{ep}^{nc} : \dot{ε} = [E_{e p} - \frac{T}{1 + T} {\bar{Ι}}^{'}_{t} : E_{e p}] : \dot{ε}$ ,

(24a)

$E_{e p} = E_{e} - \frac{E_{e} : \frac{\partial g}{\partial σ} \otimes \frac{\partial f}{\partial σ} : E_{e}}{K_{p} + \frac{\partial f}{\partial σ} : E_{e} : \frac{\partial g}{\partial σ}}$ ,

(24b)

式中, $E_{e p}$ 为共轴弹塑性刚度张量, $E_{ep}^{nc}$ 为非共轴弹塑性刚度张量。

3. 模型的验证

为展示考虑非共轴塑性应变的影响并验证模型的合理性,采用上述建立的砂土非共轴模型对Leighton-Buzzard砂的单剪试验进行模拟。单剪试验结果来自文献[31],与Li等^[25]模型相关的参数选择蔡正银等在文献[32]中给出的参数值, $χ$ 的值参考Yang等^[11]的研究取为20,由于单剪试验中,一般很难获得塑性应变增量的大小,因此 $T_{0}$ 的值通常需根据试验曲线拟合确定,具体参数见表1。蔡正银等^[32]用于确定试验参数的Leighton-Buzzard砂为粉细砂,其粒径范围为0.09～0.15 mm,颗粒相对密度为2.65,最大和最小干密度分别为1.59,1.32 g/cm³,对应的最大和最小孔隙比分别为 $e_{\max} = 1.0$ 和 $e_{\min} = 0.67$ ,而文献[31]的单剪试验中,Leighton-Buzzard砂的初始孔隙比 $e_{0}$ 分为0.53,0.64,0.75共3种,该砂的最大、最小孔隙比显然与文献[32]中的砂并不相同,因此对部分模型参数进行了调整,将 $e_{Γ} = 0.998$ , $n = 1.45$ , $M_{cs} = 1.185$ 分别调整为 $e_{Γ} = 0.908$ , $n = 1.15$ , $M_{cs} =$ $1.105$ 。调整该3个参数的主要原因是文献[31]中 $e_{0}$ 为0.53,0.64,0.75时,分别对应于密砂、中密砂、松砂,而按照文献[32]中提供的原始模型参数,这3种孔隙比都对应于密砂情况。通过调整 $e_{Γ}$ 可使砂在这3种初始孔隙比情况下的应力应变曲线与典型的密砂、中密砂、松砂的应力应变曲线相对应；由于峰值应力比对应于 $K_{p} = 0$ ,而 $K_{p}$ 对于参数 $n$ 是较为敏感的,因此调节参数 $n$ , $M_{cs}$ 以使预测的峰值应力比和临界应力比与试验数据基本一致。

表 1 Leighton-Buzzard砂的模型参数

Table 1. Model parameters of Leighton-Buzzard sand

弹性参数	临界状态参数	剪胀参数	非共轴参数
$G_{0} = 150$	$M_{cs} = 1.105$	$d_{0} = 0.52$	$T_{0} = 10$
$ν = 0.35$	$e_{Γ} = 0.908$	$m = 2.42$	$χ = 20$
	$λ = 0.0198$	$n = 1.15$
	$ξ = 0.68$	$h = 0.62$

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试验共分为3组,对应Leighton-Buzzard砂的初始孔隙比 $e_{0}$ 分别为0.53,0.64,0.75,静止侧压力系数 $K_{0} = 0.5$ ,竖向应力 $σ_{y} = 100 kPa$ 。试验过程中,水平应变 $ε_{x} = 0$ ,竖向应力 $σ_{y}$ 保持不变。加载过程中研究主应力方向偏转角 $α$ ,主塑性应变率方向偏转角 $β$ ,如图2所示,其中 $α$ 与 $β$ 的定义分别为

$\tan 2 α = \frac{2 τ_{x y}}{σ_{y} - σ_{x}}$ ,

(25a)

$\tan 2 β = \frac{2 {\dot{ε}}_{x y}^{p}}{{\dot{ε}}_{y}^{p} - {\dot{ε}}_{x}^{p}}$ ,

(25b)

图 2 单剪试验中的主应力方向和塑性应变率方向

Figure 2. Directions of principal stress and plastic strain rate in simple shear tests

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式中, $σ_{x}$ 为水平向应力, $τ_{x y}$ 为剪应力, ${\dot{ε}}_{x}^{p}$ , ${\dot{ε}}_{y}^{p}$ 分别为水平与竖直向塑性应变率, ${\dot{ε}}_{x y}^{p}$ 为塑性剪应变率。

图3为模拟结果与试验结果的对比。由图3（a）,（c）,（e）可以看出,在加载前期,非共轴项的影响较为显著,非共轴模型预测的归一化应力比小于共轴模型的预测值,随着剪应变的增加,非共轴项的影响逐渐减弱,当剪应变 $γ_{x y} > 0.05$ 后,非共轴模型与共轴模型预测的应力–应变曲线基本重合。由式（24）可知,由于非共轴模型比共轴模型多了非共轴塑性应变项,在相同的应力增量条件下,非共轴模型将计算出更大的应变增量,因此预测的应力–应变曲线初始斜率减小,表现出刚度降低,更接近试验结果。图3（a）,（c）,（e）中,共轴模型预测的峰值应力比分别为0.85,0.72,0.615,非共轴模型预测结果分别为0.84,0.71,0.61。考虑非共轴影响,峰值应力比会有所下降,减弱模型的软化效应,但是程度很小,因此考虑非共轴塑性应变基本不影响峰值应力比,也不改变最终的临界应力比,但会延缓峰值应力的出现。对不同密度砂土而言,非共轴塑性应变的影响并不存在明显的差异。由图3（b）,（d）,（f）可以发现,主应力方向与主塑性应变率方向从开始加载就存在偏离。在加载早期阶段,应力的方向落后于塑性应变率的方向,随着剪应变的增加,应力比接近临界应力比时,主应力方向与塑性应变率方向之间的差别消失。非共轴模型能够反映主应力与主塑性应变率之间的非共轴情况,而共轴模型不能模拟这一现象。

图 3 模型预测结果与试验结果的比较

Figure 3. Comparison between model predictions and experimental results

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4. 砂土地基承载力分析

为了分析非共轴塑性变形对于地基承载力的影响,笔者基于MATLAB软件开发了相关的有限元计算程序。隐式的回退Euler算法不适用于角点类的非共轴模型,程序中单元高斯积分点上的应力更新采用了显式向前的Euler积分算法。由于非共轴项的引入以及程序采用非对称的刚度矩阵进行计算,导致有限元分析不易收敛,因此计算过程将总位移荷载分为2000个较小的加载步施加到地基上。此外,在每一加载步中的整体平衡迭代部分,程序也采用了适当放松的收敛准则：当最大节点不平衡力与等效节点荷载的比值小于1%时即认为已经平衡,程序进入下一加载步的计算。

地基模型如图4所示,地基宽为60 m,深为20 m,顶部条形基础宽为10 m,假设为完全粗糙的刚性基础。模型共划分为1200个单元,单元类型为四边形等参单元。加载共分为3步,首先生成初始地应力场,然后在模型顶部施加一个20 kPa的均布压力,最后对刚性基础施加2 m向下的位移荷载。加载过程中固定底部边界位移及两侧边界的水平位移。地基材料为标准Toyoura砂,其平均粒径为0.24 mm,颗粒相对密度为2.64,最大和最小孔隙比分别为 $e_{\max} = 0.97$ 和 $e_{\min} = 0.63$ 。为简化计算,假设地基中的孔隙比均匀分布。将初始孔隙比分为 $e_{0} = 0.8$ 与 $e_{0} = 0.9$ 两种情况,对应的重度分别为14.6,13.8 ${kN/m}^{3}$ 。与Li等^[25]模型相关的参数取自文献[25], $χ$ 取与单剪试验模拟相同值, $T_{0}$ 分别取0.0,2.5,5.0三个值以研究其大小对计算结果的影响。具体材料参数见表2。

图 4 地基承载力问题计算模型

Figure 4. Schematic diagram of bearing capacity of strip foundation

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表 2 Toyoura砂的模型参数

Table 2. Model parameters of Toyoura sand

弹性参数	临界状态参数	剪胀参数	硬化参数	非共轴参数
$G_{0} = 125$	$M_{cs} = 1.25$	$d_{0} = 0.88$	$n = 1.1$	$T_{0} = (0.0,$ $2.5,$ $5.0)$
$ν = 0.05$	$e_{Γ} = 0.934$	$m = 3.5$	$h_{1} = 3.15$	$χ = 20$
	$λ = 0.019$		$h_{2} = 3.05$
	$ξ = 0.7$

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图5,6分别为孔隙比 $e_{0} = 0.8$ 时计算得到的位移–压力曲线与塑性剪应变云图；图7,8分别为孔隙比 $e_{0} = 0.9$ 时计算的位移–压力曲线与塑性剪应变云图。由图5,7可知,在加载的前、中期阶段,非共轴模型预测的基础压力小于共轴模型的预测结果,并且 $T_{0}$ 越大时,这种差异越明显,而在加载后期,差异逐渐减小,当竖向位移达到2 m时,差异基本消失。如图5所示,对于 $e_{0} = 0.8$ 的情况,共轴模型与非共轴模型预测的基础压力都出现了峰值,分别为3034 kPa（ $T_{0} =$ $0.0$ ）,2990 kPa（ $T_{0} = 2.5$ ）,2970 kPa（ $T_{0} = 5.0$ ）,峰值压力基本一致,因此,非共轴塑性应变基本不影响峰值基础压力的大小,但会延缓峰值基础压力的出现,这与前述单剪试验模拟所展示的规律是相似的。如图5中的 $A^{'}$ , $B^{'}$ 两点所示,非共轴模型（ $T_{0} = 5.0$ ）与共轴模型预测的基础压力差在竖向位移为0.63 m时最大,相差为620 kPa, $B^{'}$ 点压力值为 $A^{'}$ 点的74%；对于 $e_{0} = 0.9$ 的情况,如图7中的 $C^{'}$ , $D^{'}$ 两点所示,非共轴模型（ $T_{0} = 5.0$ ）与共轴模型预测值在竖向位移为0.626 m时相差最大,为305 kPa, $D^{'}$ 点压力值为 $C^{'}$ 点的76%,这一比例与 $e_{0} = 0.8$ 的情况非常接近,此外,两种不同密度情况下,非共轴塑性应变的影响都存在先增大后减小的趋势,因此,对不同密度的砂土地基,非共轴项的影响并不存在明显差异,这与不同初始孔隙比的砂土单剪试验模拟结果也是一致的。由图6（a）可知,基础竖向位移达到2 m时,共轴模型预测显示地基内已出现连续的滑动面,滑动边界附近土体全部处于塑性状态,说明地基稳定性已经丧失；图6（b）,（c）与图6（a）的对比表明考虑非共轴塑性应变会延缓极限状态的到来,但图6（b）中的塑性区略大于图6（c）,暗示出图6（b）会更早出现连续滑动面,表明 $T_{0}$ 越大,延缓趋势越明显。分析图8可知,随着 $T_{0}$ 的增大,模型预测的塑性区域存在减小趋势,但差异并不如图6所示明显。

图 5 基底平均反力与竖向位移关系曲线（e₀=0.8）

Figure 5. Curves of average reaction force versus vertical displacement of strip foundation

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图 6 最终的塑性剪应变云图（e₀=0.8）

Figure 6. Contours of final plastic shear strain

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图 7 基底平均反力与竖向位移关系曲线（e₀=0.9）

Figure 7. Curves of average reaction force versus vertical displacement of strip foundation

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图 8 最终的塑性剪应变云图（e₀=0.9）

Figure 8. Contours of final plastic shear strain

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整体来看,地基承载力问题的预测结果表现出单剪试验模拟结果相一致的规律,随着非共轴系数 $T_{0}$ 的增大,非共轴项对预测结果的影响也更加显著。

5. 结论

（1）剖析了传统弹塑性理论的局限性,指出了传统位势理论所隐含共轴假设的原因。

（2）通过在状态相关剪胀模型中引入Hashiguchi等发展的广义非共轴塑性流动理论,建立了砂土的非共轴模型。对砂土单剪试验的模拟表明,建立的模型能够合理预测主应力轴旋转过程中的塑性应变率与应力之间的非共轴现象；引入非共轴塑性应变项会降低模型的刚度,延缓峰值应力的出现,但不改变峰值应力比与临界应力比的大小；对不同初始孔隙比的砂土,非共轴塑性应变的影响并不存在明显的差异。

（3）基于MATLAB软件开发了相应的有限元程序,通过对砂土地基承载力的分析表明,考虑非共轴塑性应变后,地基整体刚度减小,预测的位移－压力曲线更加平缓,峰值基础压力的大小基本不受影响,但非共轴项会延缓峰值基础压力的出现。此外,非共轴项的影响规律也与砂的密度关系不大。总体来看,预测结果所展示的规律与单剪试验模拟结果是相似的。

图 1 地层概化

Figure 1. Stratigraphic generalization

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图 2 有限元模型

Figure 2. Finite element model

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图 3 土样压缩系数 $C_{c}$ 与压缩指数 $a_{v}$ 关系

Figure 3. Relationship between compression coefficient $C_{c}$ of soil samples and compression index $a_{v}$

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图 4 数值模拟结果(D=1.25 m)

Figure 4. Results of numerical simulation (D=1.25 m)

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图 5 桩径D与m值关系

Figure 5. Relationship between pile diameter D and m value

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图 6 压缩指数 $C_{c}$ 与m值关系

Figure 6. Relationship between compression index of soil $C_{c}$ and m value

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图 7 单桩水平静载现场试验

Figure 7. Horizontal static load field tests on single pile

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图 8 现场试验结果

Figure 8. Results of field tests

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图 9 土体压缩指数 $C_{c}$ 与m值关系

Figure 9. Relationship between compression index of soil $C_{c}$ and m value

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图 10 系数a, b与 $Y_{0}$ 关系

Figure 10. Relationship among coefficient a, b and $Y_{0}$

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图 11 m值拟合关系式修正

Figure 11. Correction of modified formula for m value

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图 12 m值拟合关系式验证

Figure 12. Verification of modified formula for m value

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表 1 沿线主要软土亚类划分

Table 1 Classification of main soft soil subclasses along line

材料编号	压缩系数 $a_{v}$ /MPa^-1	压缩指数 $C_{c}$	压缩参数λ	回弹参数k
Mat1	0.280	0.102	0.044	0.0044
Mat2	0.455	0.158	0.069	0.0069
Mat3	0.630	0.214	0.093	0.0093
Mat4	0.805	0.270	0.117	0.0117
Mat5	0.980	0.326	0.142	0.0142
Mat6	1.155	0.381	0.166	0.0166
Mat7	1.330	0.437	0.190	0.0190
Mat8	1.505	0.493	0.214	0.0214
Mat9	1.680	0.549	0.239	0.0239
Mat10	1.855	0.605	0.263	0.0263
Mat11	2.030	0.661	0.287	0.0287

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表 2 修正剑桥模型参数（软土）

Table 2 Material parameters for MCC (soft soil)

材料	重度 $γ$ /(kN·m^-3)	初始孔隙比 $e_{0}$	CSL斜率M	压缩参数 $λ$
黏土	18.5	1.07	0.566	0.044~0.287

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表 3 中砂与桩基物理力学参数

Table 3 Physico-mechanical parameters of medium sand and pile foundation

材料	重度 $γ$ /(kN·m^-3)	模量E/MPa	泊松比 $ν$	摩擦角 $φ$ /(°)
中砂	20.5	36	0.25	35
桩基	24.0	30000	0.20	—

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表 4 桩顶水平位移系数 $v_{y}$ 取值

Table 4 Values of coefficient of horizontal displacement of pile top $v_{y}$

$α h$	≥4.0	3.5	3.0	2.8	2.6	2.4
$v_{y}$	2.441	2.502	2.727	2.905	3.163	3.526

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