竖向动荷载作用下端承型群桩动力相互作用解析解

郑长杰; 崔亦秦; 丁选明; 栾鲁宝

doi:10.11779/CJGE202212005

竖向动荷载作用下端承型群桩动力相互作用解析解 English Version

郑长杰^{1, 2,},
崔亦秦^{1, 2},
丁选明^{3, 4},
栾鲁宝^5, ,

1.
福建工程学院土木工程学院, 福建福州 350118
2.
福建省土木工程新技术与信息化重点实验室, 福建福州 350118
3.
重庆大学土木工程学院, 重庆 400045
4.
山地城镇建设与新技术教育部重点实验室, 重庆 400045
5.
中国海洋大学工程学院, 山东青岛 266100

基金项目:

山地城镇建设与新技术教育部重点实验室开放基金项目 LNTCCMA-20210110

国家自然科学基金项目 52178318

国家自然科学基金项目 52008059

详细信息

作者简介:
郑长杰(1989—)，男，博士，教授，主要从事桩基动力学与岩土地震工程方面的研究工作。E-mail: zcj@fjut.edu.cn

通讯作者:
栾鲁宝, E-mail: luanlub@163.com

中图分类号: TU473
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出版历程
- 收稿日期: 2021-09-08
- 网络出版日期: 2022-12-13
- 刊出日期: 2022-11-30

Analytical solution for dynamic interaction of end-bearing pile groups subjected to vertical dynamic loads

ZHENG Chang-jie^{1, 2,},
CUI Yi-qin^{1, 2},
DING Xuan-ming^{3, 4},
LUAN Lu-bao^5, ,

1.
School of Civil Engineering, Fujian University of Technology, Fuzhou 350118, China
2.
Fujian Provincial Key Laboratory of Advanced Technology and Informatization in Civil Engineering, Fuzhou 350118, China
3.
School of Civil Engineering, Chonqing University, Chongqing 400045, China
4.
Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area, Ministry of Education, Chongqing 400045, China
5.
College of Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China

摘要

摘要: 基于平面应变假定，建立了考虑被动桩散射效应的桩–土–桩竖向耦合振动响应分析计算模型。依托该计算模型，首先求解土体控制方程，得到桩周土纵向位移表达式、桩周土纵向复阻抗以及土体位移衰减函数，然后基于严格的桩–土耦合作用，求解外荷载作用下的主动桩位移和由主动桩振动产生的被动桩位移，并求出由被动桩振动产生的主动桩位移，由此得到考虑被动桩散射效应的桩–桩动力相互作用因子。基于求得的修正桩–桩动力相互作用因子，建立考虑被动桩散射效应的群桩竖向动力刚度矩阵，结合桩帽性质及叠加原理，推导得到竖向动荷载作用下的群桩竖向动力响应解析解。基于所得解进行算例分析表明：退化解与已有文献解吻合很好，验证了解的合理性；被动桩的散射效应对小间距群桩的振动响应有不可忽视的影响；桩间距和桩长径比对桩–桩动力相互作用因子、群桩竖向动阻抗有显著影响。
- 群桩 /
- 散射效应 /
- 相互作用因子 /
- 动力响应 /
- 解析解
Abstract: An analytical model for pile-soil-vertical coupled vibration of the pile considering the scattering effects of the passive pile is proposed based on the classical plane strain assumption. The governing equation for the soil is solved to obtain the expressions for the vertical displacement and resistance of the soil and the attenuation function of the soil displacement. Based on rigorous pile-soil interaction, the pile-interaction factor of the pile considering the scattering effects of the passive pile is obtained by solving the displacement of the active pile under vertical excitation and the displacement of the passive pile caused by the vibration of the active pile, as well as the displacement of the active pile caused by the scattering waves of the passive pile. Based on the modified pile-pile interaction factor, a stiffness-matrix is then established to derive the vertical dynamic responses of the pile groups by considering the scattering effects of the passive pile. Then the analytical solution for the vertical dynamic impedance of the pile groups is derived by incorporating the property of pile cap and the superposition principle. Finally, some arithmetical cases are presented to conduct the numerical analysis. It is found that the degenerated solution for the present solution agrees well with the existing one. The scattering effects cannot be ignored for the pile groups with small pile spacing. The pile spacing and slenderness ratio have considerable effects on the pile-interaction factor of the pile and the vertical dynamic impedance of the pile groups.
- pile group /
- scattering effect /
- interaction factor /
- dynamic response /
- analytical solution

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0. 引言

随着“海洋强国”战略的不断推进，中国海洋工程建设正如火如荼地进行。“海洋强国”战略的实施必须依托大量的海洋基础设施建设，例如应用于跨海大桥、海上石油平台、海上风电等工程中的群桩基础。在进行群桩力学响应分析时，不仅需要考虑桩–土之间的相互作用，同时需要考虑桩–桩之间的耦合作用，承载机理复杂。

为了能够简单、有效地反应群桩和土体之间的相互作用，Poulos^[1]在充分考虑桩–土相互作用的基础上，提出叠加原理，得到了桩–桩相互作用的简化计算方法。该方法具有概念清晰、相互作用机理明确、计算简便等优点，在群桩计算中得到了广泛应用^[2-5]。Kaynia^[6]基于连续介质格林函数，分析了群桩的动力响应。随后，Dobry等^[7]忽略被动桩的衍射效应（即假定被动桩位移与桩周土位移相同），提出了一种计算桩–土–桩动力相互作用的简化Winkler计算模型，并基于叠加原理将该过程分为简单的3步：①通过解析法推导主动桩在外荷载作用下的位移W₁₁；②考虑桩–土连续性条件，推导桩周土的位移衰减函数；③假定被动桩位移W₂₁与桩周土位移相同，确定桩–桩动力相互作用因子α（α=W₂₁/W₁₁）。但由于桩–土刚度比较大，入射波将与被动桩产生相互作用，导致被动桩和桩周土位移不协调。为此，Mylonakis等^[8-9]对Dobry等^[7]的模型做了进一步完善：考虑被动桩与土体的动力相互作用，进而分析土层中群桩的动力响应。此后，国内外学者基于Winkler模型开展了大量的群桩动力响应研究工作^[10-13]，得到了许多有益结果。Winkler模型采用分离的弹簧和阻尼器模拟桩基和土体之间的相互作用，不能反应桩–土相互作用过程中应力波的传播规律，且参数选取缺乏相应的力学理论基础，工程应用以经验为主，具有不确定性。为此，刘林超等^[14-15]基于连续介质力学理论以及Novak平面应变模型，对饱和土中群桩竖向动力阻抗及桩–桩竖向动力相互作用进行系统研究，并验证了采用平面应变模型分析桩基动力响应的可靠性。史吏等^[16]、熊辉等^[17]基于桩–土动力相互作用，分别对饱和地基和层状地基中群桩的动力响应进行分析。Qu等^[18]在数值模拟的基础上通过建立群桩竖向动力相互作用解析模型，研究了倾斜地基中群桩的动力响应。Kaynia等^[19]、Radhima等^[20]基于桩–土–桩动力相互作用的原理，研究了群桩的动力响应问题。

以上研究成果适用于陆路桩间距较大的工况，而为了满足海上复杂多变的工作环境，海洋基础建设中常采用小间距群桩。API规范 ^[21]和DNV规范^[22]指出，在桩间距小于8倍桩基直径时，需要考虑桩基和桩基之间的相互作用。但上述研究仅考虑了桩–桩相互作用中主动桩对被动桩的影响，而忽略了被动桩对主动桩的散射效应。对于桩间距较大的群桩基础而言，可忽略该散射效应；但对于海洋工程中桩间距较小的群桩基础而言，主动桩振动引起被动桩振动，而被动桩的振动反过来又会造成主动桩的次生振动，即被动桩的存在对主动桩产生一定的散射效应。为此，本文考虑小间距群桩中被动桩的散射效应，基于连续介质理论和叠加原理^{[6, 23]}，建立考虑被动桩散射效应的桩–桩竖向动力相互作用理论计算模型，对传统桩–桩相互作用因子进行修正，并在此基础上推导群桩竖向动力复阻抗的解析表达式，以期探究被动桩散射效应对群桩竖向动力响应特性的影响。

1. 考虑被动桩散射效应的物理模型

1.1 群桩计算模型及基本假定

竖向动荷载作用下的群桩计算简图如图 1所示，桩基长度为H，直径为d（d=2R），桩身横截面积为A_p，弹性模量为E_p，桩身材料密度为ρ_p。桩基通过刚性承台连接，刚性承台上作用竖向简谐荷载P_Ge^iωt，其中ω为激振圆频率，i= $\sqrt { - 1}$ 。

图 1 群桩计算示意图

Figure 1. Conceptual model for pile groups

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本文在建立计算模型过程中采用如下假定：①桩土界面应力、位移连续，不考虑桩–土相对滑移^[24-25]；②桩周土为黏弹性介质，群桩基础置于刚性基岩上；③桩周土视为一系列相互独立的薄层，忽略土层之间的相互作用；④桩顶由无质量的刚性承台连接，不考虑承台与桩周土的相互作用。

1.2 考虑散射效应的物理模型

前人研究中仅考虑了主动桩对被动桩的影响，忽略了被动桩的散射效应，而实际上由被动桩产生的散射波将会改变原有的土体应力场，其作用机理如图 2所示。竖向动力荷载P₁作用于主动桩，产生竖向位移为W₁₁；主动桩振动产生的入射波传播至被动桩位置处，产生土体位移U₂₁，并与被动桩相互作用，使其产生位移W₂₁；被动桩振动在土体中产生散射波，传播至主动桩位置并与主动桩相互作用，产生竖向位移W₁₂。参考Dobry等^[7]的桩–桩相互作用模型，本文中考虑被动桩散射效应的桩–桩动力相互作用机理可描述如下：

图 2 桩–桩相互作用示意图

Figure 2. Schematic illustration of proposed model to account for pile-pile mutual interaction

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（1）采用解析方法推导主动桩在竖向动荷载作用下的位移W₁₁。

（2）桩周土在竖向动荷载作用下产生沿径向传播的入射波，其位移可表示为

${U_{21}} = \psi (S){W_{11}} \text{，}$

(1)

式中，ψ(S)为位移衰减函数，

$\psi (S) = \frac{{U(S)}}{{U(R)}} 。$

(2)

（3）被动桩表面没有外荷载作用，并在入射波作用下发生竖向振动，并产生散射波，散射波传播至主动桩位置，造成主动桩竖向振动。

（4）将主动桩外荷载作用下的竖向位移与被动桩散射效应产生的位移相叠加，得到桩基位移。

2. 控制方程及物理模型求解

2.1 桩周土阻抗

基于平面应变假定，忽略桩侧薄层土体的径向位移与竖向应力梯度，建立竖向动荷载作用下的土体控制方程：

$\frac{{{{\text{d}}^2}U}}{{{\text{d}}r}} + \frac{1}{r}\frac{{{\text{d}}U}}{{{\text{d}}r}} + \frac{{{\omega ^2}{\rho _{\text{s}}}}}{{G_{\text{s}}^{\text{*}}}}U = 0 \text{，}$

(3)

式中，U为桩周土的竖向位移，ρ_s为土体密度， $G_{\text{s}}^{\text{*}}$ 为土体复剪切模量， $G_{\text{s}}^{\text{*}} = {G_{\text{s}}}(1 + 2{\text{i}}{\beta _{\text{s}}})$ ，β_s为土体阻尼比。

容易得到式（3）的解为

$U = A{{\text{K}}_0}(qr) + B{{\text{I}}_0}(qr) \text{，}$

(4)

式中， $q = \sqrt {\frac{{ - {\rho _{\text{s}}}{\omega ^2}}}{{G_{\text{s}}^{\text{*}}}}}$ ，I₀()，K₀()分别为第一类和第二类修正贝塞尔函数，A，B为待定系数。

考虑无穷远处边界条件与桩–土交界处的位移连续条件：

${\left. U \right|_{r \to \infty }} = 0,{\text{ }}{\left. U \right|_{r = R}} = {W_{11}} \text{，}$

(5)

解得 $B=0，A=\frac{{W}_{11}}{{\text{K}}_{0}\text{(}qR\text{)}}$ ，即

$U = \frac{{{W_{11}}}}{{{{\text{K}}_0}(qR)}}{{\text{K}}_0}(qr) 。$

(6)

进一步可得距离主动桩位置S处，土体的位移衰减函数 $\psi {\text{(}}S{\text{)}}$ ：

$\psi {\text{(}}S{\text{)}} = \frac{{{{\text{K}}_0}{\text{(}}qS{\text{)}}}}{{{{\text{K}}_0}(qR)}} 。$

(7)

结合应力–应变关系可得桩周土体剪应力：

$\tau = G_{\text{s}}^{\text{*}}\frac{{{\text{d}}U}}{{{\text{d}}r}} = - \frac{{G_{\text{s}}^*q{W_{11}}}}{{{{\text{K}}_0}(qR)}}{{\text{K}}_1}(qr) 。$

(8)

由此可得桩周土对桩基的抗力为

$f = - 2{\text{π }}R{\left. \tau \right|_{r = R}} = {\alpha _{\text{f}}}{W_{11}} \text{，}$

(9)

式中， ${\alpha _{\text{f}}} = 2{\text{π }}R\frac{{G_{\text{s}}^{\text{*}}q{{\text{K}}_1}(qR)}}{{{{\text{K}}_0}(qR)}}$ 。

2.2 外荷载作用下主动桩位移

根据弹性动力学可建立主动桩在外荷载作用下的控制方程为

${E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\frac{{{{\text{d}}^2}{W_{11}}}}{{{\text{d}}{z^2}}} + m{\omega ^2}{W_{11}} - f = 0 \text{，}$

(10)

式中，m=ρ_pA_p。

将式（9）代入式（10）中可得

${E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\frac{{{{\text{d}}^2}{W_{11}}}}{{{\text{d}}{z^2}}} + (m{\omega ^2} - {\alpha _{\text{f}}}){W_{11}} = 0 。$

(11)

解得

${W_{11}} = {A_{11}}{{\text{e}}^{\xi z}} + {B_{11}}{{\text{e}}^{ - \xi z}} \text{，}$

(12)

式中， ${\xi ^2} = \frac{{{\alpha _{\text{f}}} - m{\omega ^2}}}{{{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}}}$ ，A₁₁，B₁₁为由边界条件确定的待定系数。

端承桩的桩顶与桩底边界条件为

$\left.\begin{array}{l} \left.\frac{\mathrm{d} W_{11}}{\mathrm{d} z}\right|_{z=0}=-\frac{P_1}{E_{\mathrm{p}} A_{\mathrm{p}}} ,\\ \left.W_{11}\right|_{z=H}=0, \end{array}\right\}$

(13)

式中，P₁为作用于主动桩的外荷载。

将桩基位移表达式（12）代入边界条件（13）中可得

${A_{11}} = - \frac{{{P_1}}}{{{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\xi (1 + {{\text{e}}^{2H\xi }})}} \text{，}$

(14)

${B_{11}} = \frac{{{{\text{e}}^{2H\xi }}{P_1}}}{{{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\xi (1 + {{\text{e}}^{2H\xi }})}} 。$

(15)

2.3 由主动桩振动引起的被动桩位移

将式（7），（12）代入式（1）中，得距离主动桩S位置处的土体位移 ${U_{21}}$ ：

${U_{21}} = \frac{{{{\text{K}}_0}(qS)}}{{{{\text{K}}_0}(qR)}}({A_{11}}{{\text{e}}^{\xi z}} + {B_{11}}{{\text{e}}^{ - \xi z}}) 。$

(16)

主动桩产生的入射波作用于被动桩，引起被动桩动力响应，此时被动桩控制方程可表述为

${E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\frac{{{{\text{d}}^2}{W_{21}}}}{{{\text{d}}{z^2}}} + m{\omega ^2}{W_{21}} - {\alpha _{\text{f}}}({W_{21}} - {U_{21}}) = 0 \text{，}$

(17)

解得

${W_{21}} = \frac{{{\alpha _{\text{f}}}\psi (S)}}{{2\xi {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}}}z( - {A_{11}}{{\text{e}}^{\xi z}} + {B_{11}}{{\text{e}}^{ - \xi z}}) + {A_{21}}{{\text{e}}^{\xi z}} + {B_{21}}{{\text{e}}^{ - \xi z}} 。$

(18)

根据被动桩边界条件：

$\left.\begin{array}{c} \left.\frac{\mathrm{d} W_{21}}{\mathrm{~d} z}\right|_{z=0}=0 ,\\ \left.W_{21}\right|_{z=H}=0, \end{array}\right\}$

(19)

解得被动桩控制方程待定系数为

${A_{21}} = {\alpha _{\text{f}}}\psi (S)\frac{{{A_{11}} - {B_{11}} - {B_{11}}\xi H + {A_{11}}\xi H{{\text{e}}^{2\xi H}}}}{{2{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}{\xi ^2}({{\text{e}}^{2\xi H}}{\text{ + }}1)}} \text{，}$

(20)

${B_{21}} = {\alpha _{\text{f}}}\psi (S)\frac{{{B_{11}}{{\text{e}}^{2\xi H}} + {A_{11}}\xi H{{\text{e}}^{2\xi H}} - {B_{11}}\xi H - {A_{11}}{{\text{e}}^{2\xi H}}}}{{2{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}{\xi ^2}({{\text{e}}^{2\xi H}}{\text{ + }}1)}} 。$

(21)

2.4 由被动桩散射效应引起的主动桩位移

考虑被动桩的散射效应，建立主动桩的控制方程为

${E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\frac{{{{\text{d}}^2}{W_{12}}}}{{{\text{d}}{z^2}}} + m{\omega ^2}{W_{12}} - {\alpha _{\text{f}}}({W_{12}} - {U_{12}}) = 0 \text{，}$

(22)

式中，

$\begin{aligned} U_{12}= & \psi(S) W_{21}=\psi(S)\left[\frac{\alpha_{\mathrm{f}} \psi(S)}{2 \xi E_{\mathrm{p}} A_{\mathrm{p}}} z\left(-A_{11} \mathrm{e}^{\xi z}+B_{11} \mathrm{e}^{-\xi z}\right)+\right. \\ & \left.A_{21} \mathrm{e}^{\xi z}+B_{21} \mathrm{e}^{-\xi z}\right] 。 \end{aligned}$

其解为

$\begin{aligned} W_{12}= & z\left[\frac{\alpha_{\mathrm{f}}^2 \psi(S)^2}{8 \xi^2 E_{\mathrm{p}}^2 A_{\mathrm{p}}^2} A_{11} z-\frac{\alpha_{\mathrm{f}} \psi(S)}{2 E_{\mathrm{p}} A_{\mathrm{p}} \xi} A_{21}-\frac{\alpha_{\mathrm{f}}^2 \psi(S)^2}{8 \xi^3 E_{\mathrm{p}}^2 A_{\mathrm{p}}^2} A_{11}\right] \mathrm{e}^{\xi z}+ \\ & z {\left[\frac{\alpha_{\mathrm{f}}^2 \psi(S)^2}{8 \xi^2 E_{\mathrm{p}}^2 A_{\mathrm{p}}^2} B_{11} z+\frac{\alpha_{\mathrm{f}} \psi(S)}{2 E_{\mathrm{p}} A_{\mathrm{p}} \xi} B_{21}+\frac{\alpha_{\mathrm{f}}^2 \psi(S)^2}{8 \xi^3 E_{\mathrm{p}}^2 A_{\mathrm{p}}^2} B_{11}\right] \mathrm{e}^{-\xi z}+} \\ & A_{12} \mathrm{e}^{\xi z}+B_{12} \mathrm{e}^{-\xi z}。 \end{aligned}$

(23)

此时主动桩仅考虑收到被动桩散射效应，根据叠加原理，其边界条件可表示为

$\left.\begin{array}{l} \left.\frac{\mathrm{d} W_{12}}{\mathrm{~d} z}\right|_{z=0}=0, \\ \left.W_{12}\right|_{z=H}=0 。 \end{array}\right\}$

(24)

将式（23）代入式（24）可得

${A_{12}} = - \frac{{{M_1} + {{\text{e}}^{H\xi }}{M_2}\xi }}{{\xi + \xi {{\text{e}}^{2H\xi }}}} \text{，}$

(25)

${B_{12}} = \frac{{{{\text{e}}^{H\xi }}({{\text{e}}^{H\xi }}{M_1} - {M_2}\xi )}}{{\xi + \xi {{\text{e}}^{2H\xi }}}} \text{，}$

(26)

式中，

${M_1} = \frac{{\psi {{(S)}^2}{\alpha _{\text{f}}}^2({B_{11}} - {A_{11}})}}{{8A_{\text{p}}^{\text{2}}E_{\text{p}}^{\text{2}}{\xi ^3}}} + \frac{{\psi (S){\alpha _{\text{f}}}({B_{21}} - {A_{21}})}}{{2{A_{\text{p}}}{E_{\text{p}}}\xi }} \text{，}$

$\begin{array}{l}\text{ }{M}_{2}=\text{ }H\left[\frac{{\alpha }_{\text{f}}^{2}\psi {\text{(}S\text{)}}^{2}}{8{\xi }^{2}{E}_{\text{p}}^{2}{A}_{\text{p}}^{\text{2}}}{A}_{11}H-\frac{{\alpha }_{\text{f}}\psi \text{(}S\text{)}}{2{E}_{\text{p}}{A}_{\text{p}}\xi }{A}_{21}-\frac{{\alpha }_{\text{f}}^{2}\psi {\text{(}S\text{)}}^{2}}{8{\xi }^{3}{E}_{\text{p}}^{\text{2}}{A}_{\text{p}}^{\text{2}}}{A}_{11}\right]{\text{e}}^{\xi H}+\\ \text{ }H\left[\frac{{\alpha }_{\text{f}}^{2}\psi {\text{(}S\text{)}}^{2}}{8{\xi }^{2}{E}_{\text{p}}^{\text{2}}{A}_{\text{p}}^{\text{2}}}{B}_{11}H+\frac{{\alpha }_{\text{f}}\psi \text{(}S\text{)}}{2{E}_{\text{p}}{A}_{\text{p}}\xi }{B}_{21}+\frac{{\alpha }_{\text{f}}^{2}\psi {\text{(}S\text{)}}^{2}}{8{\xi }^{3}{E}_{\text{p}}^{2}{A}_{\text{p}}^{\text{2}}}{B}_{11}\right]{\text{e}}^{-\xi H}。\end{array}$

2.5 考虑被动桩散射效应的桩–桩动力相互作用因子

Dobry等^[7]、Mylonakis等^[8]的模型假定在桩–土–桩相互作用过程中，土体中仅存在由主动桩振动而产生的应力场，并推导得主动桩和被动桩相互作用的表达式为

$\alpha = \frac{{{W_{21}}}}{{{W_{11}}}} 。$

(27)

该模型仅量化了主动桩振动对被动桩动力响应的影响。但是在群桩中桩与桩之间的作用是相互的，不仅存在主动桩对被动桩的影响，同时存在被动桩对主动桩的影响。在桩间距较大时，被动桩对主动桩的影响可忽略不计，但对于小间距群桩，被动桩的散射效应不可忽略。为了描述被动桩散射效应下桩–桩动力相互作用，本文中引入散射效应因子η：由被动桩散射效应导致的主动桩位移与主动桩在外荷载作用下的位移之比。散射效应因子的数学表达式为

$\eta = \frac{{{W_{12}}}}{{{W_{11}}}} 。$

(28)

利用散射效应因子可对Mylonakis等^[8]的桩–桩相互作用因子进行修正，以考虑被动桩的散射效应：

$\alpha = \frac{{{W_{21}}}}{{{W_{11}} - {W_{12}}}} = \frac{{{W_{21}}}}{{(1 - \eta ){W_{11}}}} 。$

(29)

3. 考虑被动桩散射效应的群桩动阻抗

考虑桩–桩相互作用，根据叠加原理，群桩中桩基i的总位移D_i可表示为

${D_i} = \left( {1 - \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^m {{\eta _{ij}}} } \right){W_i} + \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^m {{\alpha _{1,}}_{ij}} {W_j} \text{，}$

(30)

式中，η_ij为桩j对桩i的散射效应因子， ${\alpha _{1,}}_{ij}$ 为由Mylonakis等^[8]定义的桩–桩相互作用因子，W_i，W_j分别为i桩和j桩在荷载P_i和P_j作用下的位移。

对于m根相同的桩，桩基的位移可以用矩阵表为

$[\boldsymbol{D}]=[\boldsymbol{A}][\boldsymbol{P}] \text {, }$

(31)

式中， $\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{D} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll} D_1 & D_2 & \cdots & D_m \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \quad[\boldsymbol{P}]=\left[\begin{array}{llll} P_1 & P_2 & \cdots & P_m \end{array}\right]^{\mathrm{T}}$ ， $[\boldsymbol{A}]=\frac{1}{K}\left[\begin{array}{ccccc} 1-\sum\limits_{j=1, j \neq 1}^m \eta_{1 j} & \alpha_{1,12} & \alpha_{1,13} & \cdots & \alpha_{1,1 m} \\ \alpha_{1,21} & 1-\sum\limits_{j=1, j \neq 2}^m \eta_{2 j} & \alpha_{1,23} & \cdots & \alpha_{1,2 m} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \alpha_{1, m 1} & \alpha_{1, m 2} & & \cdots & 1-\sum\limits_{j=1, j \neq m}^m \eta_{m j} \end{array}\right] \text {, }$ K为单桩竖向动力复阻抗，考虑到群桩桩顶采用刚性承台连接，则有 ${D_1} = {D_2} = \cdots = {D_m} = {D_G}$ 。

由式（31）可得桩顶荷载为

$[\boldsymbol{P}]=[\boldsymbol{A}]^{-1}[\boldsymbol{D}] \text { 。 }$

(32)

根据荷载叠加原理可得：

${P_{\text{G}}}{{\text{e}}^{{\text{i}}\omega t}} = \sum\limits_{i = 1}^m {{P_i}} 。$

(33)

则群桩动力复阻抗可表示为

${K_{\text{G}}} = \frac{{{P_{\text{G}}}{{\text{e}}^{{\text{i}}\omega t}}}}{{{D_{\text{G}}}}} 。$

(34)

将式（34）转换为无量纲形式为

${K_{\text{G}}} = {E_{\text{P}}} \cdot d \cdot ({k_{\text{G}}} + {\text{i}}{c_{\text{G}}}) 。$

(35)

4. 算例分析

4.1 对比验证

为了验证理论模型的可靠性，依托重庆大学大比尺模型试验系统设计了竖向荷载作用下桩–土–桩动力相互作用的模型试验，试验布置如图 3所示。试验过程中的桩、土主要参数：E_p=32.5 GPa，土体弹性模量E_s=30 MPa，d=200 mm，H=1600 mm，土体泊松比v_s=0.25，β_s=0.05，ρ_p=2400 kg/m³，ρ_s=1800 kg/m³。将本文理论结果与试验结果进行对比，如图 4所示。从图中可以看出，本文得到的桩–桩动力相互作用因子与试验结果吻合较好，验证了本文解的可靠性。

图 3 模型试验仪器布置图

Figure 3. Arrangement of model and experimental equipments

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图 4 本文解析解与试验结果对比

Figure 4. Comparison between proposed solutions and model tests

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当桩间距足够大时，群桩中桩–桩之间的相互作用可以忽略，令S/d=100，本文群桩解即可退化至单桩解。图 5给出了本文退化解与Nogami等^[26]对比结果，对比中本文退化解计算参数参照Nogami等^[26]进行取值：桩–土弹性模量比E_p/E_s=124.4，桩长与桩径比H/d=37.5，桩身密度与土体密度比ρ_p/ρ_s=2.65，土体泊松比ν_s=0.4，土体阻尼比β_s=0.05，无量纲频率a₀=ωd/V_s，其中 ${V_s} = \sqrt {{G_s}/{\rho _s}}$ 。由图 5可见，两种解吻合很好，验证了本文解的合理性。

图 5 本文解与Nogami和Konagai解^[26]对比

Figure 5. Comparison of impedances of pile groups computed by proposed solution with those obtained by Nogami & Konagai^[26]

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为了进一步验证本文解的合理性并探究被动桩散射效应对群桩动力响应的影响，将本文所得的群桩动力相互作用因子与群桩复阻抗与Mylonakis等^[8]解进行对比，在对比中采用以下参数：E_p/E_s=1000，H/d=40，S/d=2，ρ_p/ρ_s=1.25，ν_s=0.4，β_s=0.05。

图 6给出了本文考虑被动桩散射效应时群桩动力相互作用因子与Mylonakis等^[8]计算模型的对比结果，由图 6可见，在小桩间距情况下，被动桩散射效应对桩–桩动力相互作用因子具有一定影响。在低频段（a₀ < 0.5）时，本文解的桩–桩动力相互作用因子实部大于Mylonakis和Gazetas解；而在高频段（a₀ > 0.5），本文所得结果则小于传统的计算结果。对于虚部，上述差异同样存在，而对应频率a₀则为0.8左右。

图 6 被动桩影响下桩–桩动力相互作用因子与Mylonakis等^[8]

解对比

Figure 6. Comparison of interaction factor computed by proposed solution with that by Mylonakis et al^[8]

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图 7通过与Mylonakis等^[8]模型对比，分析被动桩散射效应对群桩动力复阻抗的影响。由图可见，在小桩间距情况下，被动桩散射效应的影响较大，刚度实部普遍高于Mylonakis等^[8]解，而虚部正好相反。这表明在计算群桩动力复阻抗时，忽略被动桩散射效应会低估群桩复阻抗刚度而高估阻尼。

图 7 被动桩影响下群桩动力复阻抗与Mylonakis等^[8]解对比

Figure 7. Comparison of dynamic complex impedance computed by proposed solution with that by Mylonakis et al ^[8]

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4.2 参数分析

本节针对不同工况，研究桩间距与桩长径比对群桩动力相互作用因子与群桩刚度的影响。若无特殊说明，本节采用的计算参数：E_p/E_s=1000，H/d=40，S/d=2，ρ_p/ρ_s=1.25，ν_s=0.4，β_s=0.05。

图 8给出了考虑被动桩散射效应影响时桩间距对桩–桩相互作用因子的影响。由图 8可见，相互作用因子的实部和虚部随着频率的变化而呈现出一定的振荡特性，振荡幅值随着桩间距的增大而逐渐减小，说明桩和桩之间的相互作用在逐渐减弱，振荡频率随着桩间距的增大而逐渐减小。

图 8 桩间距对群桩相互作用因子影响

Figure 8. Variation of interaction factor with pile spacing

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图 9给出了考虑被动桩散射效应影响时桩长径比对桩–桩相互作用因子的影响。由图 9可见，在图示频率范围内，相互作用作用因子呈现出一定的振荡特性，振荡频率随长径比的增加而逐渐减小。在图示低频范围内（例如a₀ < 0.9），桩–桩相互作用因子实部随长径比的增大而逐渐增大，说明桩基越长，桩–桩相互作用越明显；在图 9所示高频范围内（例如a₀ > 1.5），桩–桩相互作用因子随着长径比的增大而逐渐减小。

图 9 长径比对群桩相互作用因子影响

Figure 9. Variation of interaction factor with slenderness ratio of pile

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图 10给出了考虑被动桩散射效应影响时桩间距对群桩动力复阻抗的影响。由图 10可见，在桩间距较小时（S/d=2），群桩刚度实部与虚部在频域范围内波动较大，表明被动桩散射效应明显；随着桩间距的增加，群桩动力复阻抗实部和虚部的振荡幅值与振荡频率逐渐减小，说明桩–桩相互作用随桩间距的增大而逐渐减弱。

图 10 桩间距对群桩动力复阻抗影响

Figure 10. Variation of dynamic complex impedance with pile spacing

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图 11给出了考虑被动桩散射效应影响时桩长径比对群桩动力复阻抗的影响。由图 11可见，随着频率的增加，群桩动力复阻抗的实部和虚部呈现出一定的振荡特性，振荡幅值随长径比的增加而增大，振荡频率随长径比增加而逐渐减小。同时注意到，随着长径比增大，复阻抗实部呈现减小的趋势，这是因为群桩置于刚性基岩之上，长径比越小的桩基，桩端阻力越大；随着长径比增大，桩–土系统的接触面积增大，导致能量耗散增多，复阻抗虚部增大。

图 11 长径比对群桩动力复阻抗影响

Figure 11. Variation of dynamic complex impedance with slenderness ratio of pile

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5. 结论

基于弹性动力学，建立了竖向动荷载作用下端承桩的动力响应计算模型；通过考虑被动桩振动产生的散射波，提出了桩–桩动力相互作用的散射效应因子，并对已有桩–土–桩动力相互作用因子进行修正；基于叠加原理，推导得到了小间距群桩的竖向动力响应解析解。将解析结果分别与模型试验和已有理论结果进行对比，验证了本文解的合理性，并通过算例分析，得到3点结论。

（1）当进行小间距群桩设计时，不可忽略被动桩的散射效应，其对群桩动力响应的影响具体表现：在低频段提高群桩的动刚度，且随频率具有振荡特性；在高频段降低群桩系统的阻尼。被动桩的散射效应对大间距群桩的动力响应影响不大。

（2）在桩间距较小时，桩和桩之间产生较强的耦合作用，表现为随着激振频率的升高，群桩动力刚度和阻尼振动幅值明显增大。

（3）长径比的增大将会增强小间距群桩中桩与桩之间的耦合作用，降低端承型群桩的整体刚度、增加桩–土系统的能量耗散。

图 1 群桩计算示意图

Figure 1. Conceptual model for pile groups

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图 2 桩–桩相互作用示意图

Figure 2. Schematic illustration of proposed model to account for pile-pile mutual interaction

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图 3 模型试验仪器布置图

Figure 3. Arrangement of model and experimental equipments

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图 4 本文解析解与试验结果对比

Figure 4. Comparison between proposed solutions and model tests

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图 5 本文解与Nogami和Konagai解^[26]对比

Figure 5. Comparison of impedances of pile groups computed by proposed solution with those obtained by Nogami & Konagai^[26]

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图 6 被动桩影响下桩–桩动力相互作用因子与Mylonakis等^[8]

解对比

Figure 6. Comparison of interaction factor computed by proposed solution with that by Mylonakis et al^[8]

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图 7 被动桩影响下群桩动力复阻抗与Mylonakis等^[8]解对比

Figure 7. Comparison of dynamic complex impedance computed by proposed solution with that by Mylonakis et al ^[8]

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图 8 桩间距对群桩相互作用因子影响

Figure 8. Variation of interaction factor with pile spacing

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图 9 长径比对群桩相互作用因子影响

Figure 9. Variation of interaction factor with slenderness ratio of pile

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图 10 桩间距对群桩动力复阻抗影响

Figure 10. Variation of dynamic complex impedance with pile spacing

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图 11 长径比对群桩动力复阻抗影响

Figure 11. Variation of dynamic complex impedance with slenderness ratio of pile

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