Lateral bearing characteristics of inclined pile-cap system installed in sandy ground
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摘要: 通过开展室内模型试验，研究了砂土中斜桩-承台系统的水平承载特性，重点分析了桩身倾角及桩身抗弯刚度两个因素对桩顶水平位移、桩身弯矩分布的影响。利用有限元方法开展了与模型试验相对应的三维有限元分析，两者所得结果的对比表明所采用的有限元分析方法能较好地反映斜桩在水平荷载下的受力和变形特性。为了更好地与工程实际相对应，基于上述数值分析方法开展了原型尺寸的数值参数分析，考虑了桩体的弹塑性力学特性，探究土体弹性模量、桩身刚度以及桩身长度对斜桩-承台系统水平承载能力的影响。计算结果表明，相较于改变桩身的抗弯刚度，土体弹性模量的变化对斜桩-承台系统水平承载能力的影响更为显著；当桩长小于25 m（25倍桩径）时，桩长的增加能较明显降低桩顶水平位移响应，当桩长超过该值时，斜桩水平承载能力的提升效率下降。此外，基于试验数据开展了多元回归分析，获得了斜桩-承台系统桩顶水平位移的半经验预测公式，该公式的预测值与试验实测值及数值参数分析计算值的吻合度均较高，具有良好的适用性，有望能为砂土中斜桩工程的设计和分析提供一定的参考依据。Abstract: The lateral bearing characteristics of inclined pile-cap systems installed in sandy soil are comprehensibly studied via a series of laboratory model tests, and the influences of inclination angle and flexural rigidity of pile on the lateral displacement at pile top and the distribution of pile bending moment are analyzed. Based on the model tests, a suite of three-dimensional finite element analyses are performed, and the favorable comparison of the test and numerical results convinces the capability of the adopted finite element analysis procedure in replicating the stress and deformation characteristics of the inclined piles in the model tests. Subsequently, a number of numerical parametric analyses based on the prototype models are implemented, accounting for the elastic-plastic mechanical properties of the pile, as well as the variations in elastic modulus of soil, flexural rigidity and length of the pile. The analysis results show that the variation in the elastic modulus of soil has a more significant effect on the lateral bearing capacity of the inclined pile-cap system than the change in pile flexural rigidity. When the pile length is less than 25 times the pile diameter(D), the increase of pile length can effectively reduce the lateral displacement response at the pile top. Otherwise, increasing the pile length has negligible effects on enhancing the lateral performance of the inclined pile-cap system. Furthermore, the multivariate regression analysis is performed based on the test data of lateral displacement at pile top, from which a semi-empirical equation can be derived. The performance of this semi-empirical equation is favorably examined by both the relevant experimental data and the numerical parametric analysis results, which likely provides a useful reference for the design and analysis of the inclined pile-cap system in sandy ground.
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0. 引言
在基坑、桥梁、输电塔等工程中[1-3]，为了更好地抵抗土体水平位移、风荷载、波浪荷载等水平作用，往往会考虑采用部分的斜桩作为支撑结构。相比于普通的竖直桩基础，斜桩的轴线与地平面之间存在着一定的夹角，桩周土体及桩端土体的应力分布呈现不均匀特征，导致斜桩的工作特性和内力分布规律与竖直桩相比更为复杂。
模型试验及现场试验常用来研究斜桩的承载变形性状。吕凡任[4]针对倾斜单桩和含斜桩群桩开展了模型试验及原型试验研究，发现水平荷载作用下斜桩组成的群桩较直桩群桩具有更好的承载能力。王新泉等[5]对桩身倾角为5°~15°的倾斜单桩开展了模型试验研究，发现了倾斜桩的水平位移会随着倾角的增加而增大。Sabbagh等[6]对砂土中直-直、斜-直、直-斜、斜-斜的承台双桩开展了一系列室内模型试验，探究了侧向土体运动作用下桩基的横向响应水平，试验结果表明斜-斜承台双桩对土体侧移的阻力更大，而直-直承台双桩所产生的阻力最小。Meyerhof等[7]、Zhang等[8]、Hazzar等[9]、Bajaj等[10]和Kong等[11]也各自通过开展水平受荷斜桩的模型或现场试验研究，探究了桩身倾角对其水平承载力的影响规律。
许多学者也建立了求解斜桩承载力的理论计算方法。基于Winkler梁模型，Rajashree等[12]利用弹性理论分析方法，计算出倾斜单桩水平位移的数值解。黄剑慧等[13]利用Mindlin弹性理论计算桩间土对斜桩轴向和横向位移的影响系数，由此推导出斜桩轴向和横向位移的计算公式。Ling等[14]在假定斜桩侧被动区为楔形模型的基础上，推导出一种适用于斜桩基础的初始弹性模量计算方法，并基于Reese等[15]所提出的直桩p-y关系模型建立了适用于砂土中斜桩的p-y关系模型。曹卫平等[16]建构了考虑上拔荷载效应的水平荷载作用下斜桩与周围土体之间的双曲线型p-y关系模型。另一方面，数值方法也被广泛应用于斜桩性状的分析中。樊文甫[17]采用有限元法对单斜桩及输电线塔基础群斜桩的水平承载变形性状进行了三维数值模拟，分析了桩身倾角、桩顶竖向荷载对斜桩桩身水平位移、桩身弯矩及剪力的影响。曹卫平和葛欣[18]利用有限元法探讨了正、负斜桩水平承载力的差异性。王恩钰等[19]采用有限差分法对倾斜角度为10°的倾斜桩的支护效果进行了分析。赵爽等[20]基于有限元法研究了砂土中水平受荷倾斜单桩的极限水平承载力。
综上可知，目前关于水平受荷斜桩的研究大多仅考虑倾斜单桩的水平承载特性，尚未充分考虑桩-土刚度比及大倾斜角度的影响，关于大角度斜桩-承台系统的水平承载特性尚未明确。为此，本文以砂土中斜桩-承台基础为研究对象，开展一系列的模型试验和数值分析研究，探究了水平荷载作用下斜桩-承台系统的承载特性，为相关斜桩的理论分析和参数设计提供一定的参考依据。
1. 试验概况
1.1 试验装置
为了尽可能降低模型箱边界效应对桩基系统的影响，模型箱在水平方向上的尺寸应远大于模型桩的截面尺寸。如图 1所示，所采用的模型箱的净空尺寸长宽高分别为2000，1000，1200 mm，模型箱骨架由钢板焊接而成，为了在试验过程中观测到土体的变形情况，在模型箱的正面边壁装配了厚度为12 mm的高强度透明有机玻璃，有机玻璃由若干颗铆钉固定与钢骨架之上。为满足水平加载条件，模型箱侧面装配有水平加载所用的定滑轮。
1.2 模型桩
本次试验采用了3种材料的模型桩，包括热轧H型钢、6061铝合金两种金属和非金属材料有机玻璃（PMMA），承台的尺寸为120 mm（长）×60 mm（宽）×20 mm（高）。考虑到桩基-承台系统沿加载方向呈几何对称结构，尽管对应的原型桩基为2×2群桩，本研究中仅需考虑1×2群桩。模型桩与承台呈不同的倾角连接成一个整体，为了便于后期对模型进行加载，在承台的顶面和侧面分别焊接了竖向及水平加载装置。在模型桩的外表面从桩顶至桩端共均匀布置了9组应变片，如图 2所示，应变片按50 mm间隔进行全桥布置，并对应变片表面和桩身涂抹环氧树脂保护层，相关实物图如图 3所示。模型桩尺寸如表 1所示。
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图 2 模型桩桩身应变片粘贴位置示意图Figure 2. Schematic diagram of model pile instrumented with full-bridge strain gauges表 1 模型桩的尺寸、力学参数表Table 1. Dimensions and mechanical parameters of model piles名称 弹性模量/GPa 密度/(kg·m-3) 外径/mm 内径/mm 有机玻璃 3.2 180 20 — 铝 71.0 2700 20 — 钢 210.0 7900 20 16 1.3 砂土的制备
本次试验所选用的砂为石英砂，对地基砂土开展了常规的试验测试，根据《土工试验方法标准：GB/T 50123—2019》[21]，测量得到本试验所采用地基砂土的各项基本物理指标。有效粒径d10 = 0.0825 mm，中值粒径d30 = 0.1088 mm，限定粒径d60 = 0.1663 mm。石英砂的最大干密度为1.83 g/cm3，最小干密度为1.521 g/cm3，不均匀系数Cu = 2.016，曲率系数Cc = 0.683，经筛分法后所得到的砂土级配曲线如图 4所示。对该石英砂进行常规三轴压缩试验，获取石英砂的内摩擦角φ为40.9°，弹性模量为63 MPa。
1.4 试验方案
将模型桩放置在模型箱内的预定位置，并采用分层铺砂的方式向模型箱内填筑试验砂土，每层铺设厚度为10 cm。沿一定高度将砂土落入模型箱中，每次填筑相同质量的砂土，以保证地基砂土的均匀性；对填筑的砂面进行均匀压实，每次持续约10 min，直至砂面达到预定高度。控制得到地基砂土的密度为1.763 g/cm3，相对密度为77%，属于高密砂。本文试验共包含3种不同材料的模型桩，共15组，模型桩桩身倾角分别为0°，10°，20°，30°和45°，试验方案如表 2所示。在模型试验开始前需要先对模型桩进行标定试验，确保模型桩的制作精度满足预期要求。
表 2 试验方案列表Table 2. Test schemes组号 材料 编号 桩身倾角/(°) 外径/mm 内径/mm M1 有机玻璃 P11 0 20 — P12 10 20 — P13 20 20 — P14 30 20 — P15 45 20 — M2 铝 P21 0 20 — P22 10 20 — P23 20 20 — P24 30 20 — P25 45 20 — M3 钢 P31 0 20 16 P32 10 20 16 P33 20 20 16 P34 30 20 16 P35 45 20 16 本试验的水平荷载采用分级加载的方式，每一级荷载至少持续10 min且百分表示数每分钟变化值小于0.01 mm时，对百分表进行读数，同时采集此刻的桩身应变读数。斜桩基础中正斜桩的承载特性较为关键，除另有说明外，后文中涉及的桩身内力（弯矩、剪力等）均对应的是正斜桩。
2. 试验结果分析
2.1 桩身倾角对桩顶水平位移的影响
图 5（a）~（c）分别给出了有机玻璃桩（P11~P15）、铝桩（P21~P25）、钢桩（P31~P35）的桩顶水平位移随水平荷载的变化曲线，其中桩身倾角分别为0°，10°，20°，30°和45°。
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图 5 不同桩身倾角下荷载-桩顶水平位移曲线Figure 5. Lateral load-displacement curves at pile top under different inclination angles of pile图 6给出水平荷载H = 224 N时桩顶水平位移随桩身倾斜度的变化图。
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图 6 桩顶水平位移随桩身倾角的变化图Figure 6. Variation of lateral displacement at pile top against inclination angle of pile从图 5，6可知，在相同水平荷载的作用下，随着模型桩倾角的增大，桩基抵抗水平位移的能力逐渐增强。以图 5（a）为例，当水平荷载H = 224 N时，倾角为0°（竖直桩）时有机玻璃桩的桩顶水平位移为2.980 mm，而倾角为10°，20°，30°，45°时桩顶水平位移依次为1.789，0.984，0.514，0.219 mm，较直桩分别降低了40.0%，67.0%，82.8%，92.7%。此外，随着桩顶水平荷载的增加，不同倾角桩顶位移差值也越来越大，说明桩基倾角的影响效应随着水平荷载的增大而增强。
根据建筑基桩检测规范[22]并考虑模型试验的具体情况，本文结合水平力-位移梯度（∆h/∆F）曲线及30 mm的水平位移限制（对应的模型尺度水平位移为0.6 mm）来综合确立桩基-承台系统的水平极限承载力。依据上述方法，获得了3种不同材料、不同倾角的桩基-承台系统的水平极限承载力，如表 3所示。
表 3 桩基-承台系统水平极限承载力Table 3. Lateral ultimate bearing capacities of pile-cap system材料 桩身倾角/(°) 水平极限承载力/N 建议水平极限承载力/N 位移梯度法 位移限制法 有机玻璃 0 45.5 96.5 45.5 10 71.0 122.0 71.0 20 96.5 173.0 96.5 30 122.0 — 122.0 45 173.0 — 173.0 铝 0 71 224 71 10 122 275 122 20 173 — 173 30 224 — 224 45 275 — 275 钢 0 173 275 173 10 224 377 224 20 377 479 377 30 428 530 428 45 479 — 479 2.2 桩身倾角对桩身弯矩的影响
图 7展示了最大水平荷载下（对应有机玻璃桩、铝桩和钢桩的水平荷载值分别为224，326，530 N）不同材质和倾角正斜桩桩身弯矩分布图。由图 7可知，不论是何种倾斜角度或桩身材质，在水平荷载的作用下，桩身弯矩主要分布在埋深0~15D（D为桩径）范围之内，桩身最大弯矩总是出现在距离桩顶约1/3桩长处。桩身弯矩会随着桩身倾角的增加而减小，说明桩身倾角的增加会提升桩身抵抗侧向变形的能力。
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图 7 不同桩身倾角下桩身弯矩分布曲线图Figure 7. Distributions of bending moment of pile under different inclination angles表 4所示为最大水平加载时不同桩身倾角下桩身最大弯矩的数值。以有机玻璃桩为例，直桩的最大弯矩为15.29 N·m，而倾角为10°，20°，30°，45°，斜桩的最大弯矩值为14.17，12.29，9.99，8.43 N·m；与直桩相比，倾角为10°，20°，30°，45°倾斜桩的最大弯矩值分别降低了7.3%，19.6%，34.7%，44.9%。
表 4 桩身倾斜角度对斜桩桩身最大弯矩的影响Table 4. Influence of inclination angle of pile on maximum bending moment编号 倾角/(°) 最大弯矩/(N·m) 相对直桩的减幅/% P11 0 15.29 — P12 10 14.17 7.3 P13 20 12.29 19.6 P14 30 9.99 34.7 P15 45 8.43 44.9 P21 0 22.70 — P22 10 19.80 12.8 P23 20 17.35 23.6 P24 30 15.67 30.9 P25 45 13.57 40.2 P31 0 37.94 — P32 10 35.84 5.5 P33 20 33.87 10.7 P34 30 32.59 14.1 P35 45 29.33 22.8 桩身弯矩对桩身位置进行求导（差分法）即可获得桩身剪力。图 8为H = 326 N时铝桩桩身剪力的分布图。由图 8可以看出，在浅层埋深范围内，斜桩及直桩剪力随着埋深增加而逐渐减小，直至约130 mm（6.5D）处剪力减小为0；之后，剪力改变方向并随着埋深增大而达到其反向最大值；此后，剪力逐渐减小, 并在埋深超过约350 mm（约17.5D）后保持为0。此外，随着桩身倾角越大，桩基的剪力越小；例如，桩身倾角从0°增加到45°, 埋深250 mm处铝桩剪力由反向157.4 N减小为反向74.8 N，减幅约为52.5%。本试验考虑的所有工况下，桩身剪力的分布特征基本一致，由于篇幅限制，文中后续桩身内力方面的内容仅介绍桩身弯矩。
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图 8 不同桩身倾角下铝桩桩身剪力分布曲线图Figure 8. Distributions of shear force for aluminum pile under.different inclination angles2.3 桩身抗弯刚度对桩顶水平位移的影响
为了分析桩身抗弯刚度对荷载-桩顶水平位移的影响，图 9对比了相同倾角条件下不同材质斜桩-承台系统的荷载-桩顶水平位移曲线图。图 10给出H = 224 N时桩顶水平位移随桩身抗弯刚度的变化图。可见，在相同水平荷载作用下，无论何种桩身倾角，随抗弯刚度的提升，桩顶水平位移均得到显著降低；此外，桩身抗弯刚度的影响程度随着桩身倾角的增加而逐渐减弱。
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图 9 不同桩身抗弯刚度下荷载-桩顶水平位移变化曲线图Figure 9. Lateral load-displacement curves of pile top under different flexural rigidities of pile![]()
图 10 桩顶水平位移随桩身抗弯刚度的变化图Figure 10. Variation of lateral displacement at pile top against flexural rigidity of pile2.4 桩身抗弯刚度对桩身弯矩的影响
为了更好地比较不同桩身抗弯刚度下斜桩-承台系统在水平荷载作用下的弯矩分布规律，图 11给出了水平荷载224 N作用下3种材料斜桩的弯矩分布图，对应的最大弯矩随桩身抗弯刚度的变化曲线如图 12所示。由图 11，12可知，与桩顶水平位移响应的趋势不同，随着桩身抗弯刚度的增加，同等水平荷载下桩身的弯矩响应呈微弱的增加趋势。这是由于抗弯刚度较大的桩体抵抗弯曲变形的能力较强，导致桩周土对桩身产生的抗力相对较小和桩身承担较大的弯矩。
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图 11 不同桩身抗弯刚度下斜桩桩身弯矩分布图Figure 11. Distributions of bending moment of pile under different.flexural rigidities![]()
图 12 桩身弯矩最大值随桩身抗弯刚度变化图Figure 12. Variation of maximum bending moment of pile against flexural rigidity2.5 斜桩-承台系统水平位移响应的多元回归分析
为较全面地评估桩身倾角、荷载水平和桩身刚度对桩顶水平位移的影响，有必要开展多元回归分析。为了消除回归分析结果对量纲的依赖性，将所考虑的变量转化成如下无量纲项：桩顶水平位移比为h/r；桩身倾角正切比为\$$ (1\text{+}\mathrm{tan}\theta )/\mathrm{tan}\varphi $；归一化水平荷载为$F{({l_{\text{p}}}\cos \theta )^3}/\left( {\sum {{E_{\text{p}}}{I_{\text{p}}}} \cdot r} \right)$；桩土弹性模量比为${E_{\text{p}}}/$ ${E_{\text{s}}}$；在上述无量纲项中，h为桩顶水平位移，r为斜桩外径，θ为桩身倾角，φ为土体内摩擦角，F为桩顶荷载，lp为桩身长度，∑EpIp为群桩桩身抗弯刚度之和，Es为土体弹性模量。
建立的半经验关系模型为
hr=α1⋅(1 + tanθtanφ)β1⋅(F(lpcosθ)3∑EpIp⋅r)γ1⋅[EpEs]δ1, (1) 式中，α1，β1，γ1，δ1为未知常量。
基于式（1）和试验实测数据，开展多元回归分析，可获得桩顶水平位移的半经验关系公式：
hr=3.057×10−5(1+tanθtanφ)−1.285(F(lpcosθ)3∑EpIp⋅r)1.678[EpEs]1.154。 (2) 如图 13所示，式（2）能较好地拟合试验实测数据，其最大预测误差小于24%。
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图 13 桩顶水平位移实测值与预测值对比图Figure 13. Measured versus predicted lateral displacements at pile top3. 数值分析方法
3.1 模型基本信息
如图 14所示，数值分析模型与试验模型保持一致。土体的水平尺寸为50D，参考文献[23]可知，该模型尺寸可足以避免边界效应对计算结果的影响。
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图 14 斜桩-承台-土系统的三维有限元模型图Figure 14. Finite element mesh of the inclined pile-cap-soil system除顶面设置为自由面外，其它面均约束其法向自由度。模型中的承台、桩和土体均采用实体单元模拟，共包括11760个实体六面体单元（C3D8R）。桩体和承台均采用各向同性线弹性模型，地基土采用Mohr-Coulomb屈服条件为破坏准则的理想弹塑性模型。桩-土接触界面的相互作用采用主从接触算法进行模拟，选择刚度较大的桩侧表面定义为主控面，土侧表面定义为从属面；桩-土接触界面间相对运动的跟踪算法选择小滑动算法。桩-土接触面间的法向相互作用采用“硬接触”模型，摩擦系数μ= tan(0.75φ)[24]；剪切应力传递模型采用“罚”型摩擦接触。承台和桩的计算参数如表 5所示，地基土的计算参数如表 6所示。
表 5 承台和桩的计算参数表Table 5. Computational parameters of caps and piles名称 弹性模量/GPa 密度/(kg·m-3) 泊松比 有机玻璃桩 3.2 180 0.3 铝桩及承台 71 2700 0.2 钢桩及承台 124 7900 0.2 表 6 地基土计算参数表Table 6. Computational parameters of foundation soil重度/(kN·m-3) 内摩擦角/(°) 弹性模量/MPa 泊松比 17.6 40.9 63 0.3 3.2 数值分析结果与室内试验结果的对比
图 15给出了模型试验与数值计算所得的桩顶水平位移及桩身弯矩分布曲线的对比图。由图 15可知，随着水平荷载的增大，数值分析结果与模型试验结果之间的差异性也缓慢增大，当水平荷载为326 N时，数值计算所得的水平位移约为0.44 mm，与试验值0.47 mm的偏差约为6%；水平荷载为224 N下桩身最大弯矩的实测值和计算值分别为17.34，18.21 N·m，两者误差小于5%。因此，尽管存在一定的误差，本文采用的数值分析方法能较好地重现现场实测的荷载-桩顶水平位移曲线，具有较高的可靠性。
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图 15 模型试验与数值计算所获桩基水平位移及弯矩对比图（倾角20°，铝桩）Figure 15. Comparison of measured and computed pile-top lateral displacements and bending moments of pile (inclination angle 20°, aluminum pile)4. 数值参数分析
4.1 模型基本信息
将第3节所述模型的几何尺寸放大50倍，探究原型尺寸下斜桩-承台系统的水平承载特性。桩身采用理想弹塑性模型来模拟，参考文献[25]和《混凝土结构设计规范：GB 50010—2010》[26]，选取其密度、弹性模量、等效屈服应力和泊松比分别为2400 kg/m3，3.15×104 MPa，15.3 MPa和0.2，其余参数与第3节一致。
4.2 桩身倾角的影响
图 16，17分别给出了水平荷载为3000 kN时不同桩身倾角桩身轴力及桩侧摩阻力的分布曲线图。
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图 16 不同桩身倾角下桩身轴力分布图Figure 16. Distributions of axial force of pile under different inclination angles![]()
图 17 不同桩身倾角下桩侧摩阻力分布图Figure 17. Distributions of skin friction of pile under different inclination angles如图 16所示，无竖向荷载时，正斜桩在水平荷载作用下为轴向受拉状态，轴力随着埋深或桩身倾角的增大而呈逐渐递减趋势。以平均摩阻力来表征水平荷载下桩侧摩阻力，如图 17所示，受水平荷载时，对于正斜桩而言，土体对桩身提供向下的负摩阻力，桩侧摩阻力呈现上部数值较小、下部数值较大的分布趋势，且随桩身倾角的增大而呈现出逐渐减小的趋势。以直桩和倾角为45°的斜桩为例，后者的最大轴力和最大桩侧摩阻力相对前者分别降低了约12.41%，15.56%。
4.3 竖向荷载的影响
结合前述室内模型试验结果及参考实际工程[27]中的应用情况，本文后续有限元分析中桩的倾角设定为20°。
图 18给出了不同竖向荷载作用下斜桩桩顶水平位移变化曲线图，图 19，20给出了水平荷载为3000 kN时不同竖向荷载作用下斜桩桩身轴力及桩侧摩阻力分布曲线图。如图 18所示，当竖向荷载分别为0，1000，2000，3000，4000 kN时，斜桩桩顶对应的最大水平位移分别为27.71，26.16，25.49，25.27，24.42 mm，后四者较不施加竖向荷载时的桩顶水平位移分别减小了约5.60%，8.03%，8.82%，11.88%。如图 19所示，随着竖向荷载的增大，桩身轴力呈现减小的趋势，且当竖向荷载的增大到一定程度时，正斜桩由受拉转变为受压状态。如图 20所示，竖向荷载的变化对桩身下部摩阻力的影响较上部的更大，桩侧摩阻力随竖向荷载的增大而呈现减小的趋势，并可出现摩阻力方向的逆转。由此可以看出，随着竖向荷载的增加，斜桩-承台系统的水平承载性能力得到了一定程度的提升。
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图 18 不同竖向荷载下水平荷载-桩顶位移曲线Figure 18. Lateral load versus pile-top displacement curves under different vertical loads![]()
图 19 不同竖向荷载下桩身轴力分布图Figure 19. Distributions of axial force of pile under different vertical loads![]()
图 20 不同竖向荷载下桩侧摩阻力分布图Figure 20. Distributions of skin friction of pile under different vertical loads4.4 土体弹性模量的影响
为了探究土体弹性模量对斜桩-承台系统承载特性的影响，分别考虑Es = 40，50，60 MPa 3组土体弹性模量。
图 21给出了不同土体弹性模量下斜桩-承台系统的桩顶水平位移随水平荷载的变化曲线图。由图 21可知，随着荷载水平的增加，斜桩-承台系统的桩顶水平位移呈非线性增大，且随着土体弹性模量的降低，桩顶水平位移逐渐增大，位移差异量也随荷载水平的增加而逐渐增大，当水平荷载达到4500 kN时，Es = 40，50，60 MPa所对应的桩顶水平位移分别约为28.75，25.18，22.71 mm，分别较Es = 40 MPa时减小了12.4%和21.0%。可见，桩侧土体弹性模量越大，对桩身侧向位移的约束越大，桩顶的水平位移会显现出较为明显的减小趋势。
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图 21 不同土体弹性模量下斜桩桩顶水平位移变化曲线Figure 21. Variation of lateral load against pile-top displacement for inclined pile-cap system under different elastic moduli of soil参考相关试验研究[28]，取桩顶水平位移达到30 mm时的水平荷载为桩基的水平极限承载力，则图 21中3种不同土体弹性模量下的斜桩水平极限承载力分别为4663.02，5057.32，5349.28 kN。
4.5 桩身刚度的影响
图 22给出了不同桩身抗弯刚度下斜桩-承台系统中桩顶水平位移随水平荷载的变化曲线图。在水平加载的初期阶段，3种工况下水平荷载-桩顶位移曲线的差异基本可以忽略，随着水平荷载继续增大至约900 kN时，3条曲线开始出现明显差异，且随着荷载的继续增大，3条曲线之间的差异性也越来越显著，当桩顶水平荷载F = 4500 kN时，EpIp = 1.55×106，3.43×106，1.07×107 kN·m2时斜桩水平位移分别为22.72，18.20，15.94 mm。可见，桩体的抗弯刚度增大，斜桩抵抗弯曲变形的能力得到增强；水平荷载越大，增大桩身抗弯刚度对减小桩顶的水平位移效果越明显。
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图 22 不同桩身抗弯刚度下斜桩桩顶水平位移曲线Figure 22. Variation of lateral load against pile-top displacement under different flexural rigidities of pile4.6 桩身长度的影响
图 23给出了不同桩身长度下斜桩-承台系统中桩顶水平位移随水平荷载的变化曲线。由图 23可以看出，随着桩身长度的增加，斜桩-承台系统的桩顶水平位移有所减小，当水平荷载加载到约2000 kN时，桩长为15，20 m时荷载-位移曲线相较于其它曲线的差异性趋于明显，且该差异性随着荷载水平的增加而增大。可见，随着桩身长度的增加，埋设于砂土中的斜桩-承台系统的水平刚度趋于增大，但当桩身长度超过25 m（25D）后，桩身长度的增加对斜桩-承台系统水平刚度的贡献趋于减弱。
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图 23 不同桩身长度下水平荷载-桩顶位移曲线Figure 23. Lateral load versus pile-top displacement curves under different pile lengths4.7 数值分析结果与半经验预测公式的对比
为了检验前述所获半经验公式的可靠性，将本节中考虑的相关参数代入该经验公式以获得一系列的关于桩顶水平位移的预测值，并将其与本节计算所得的桩顶水平位移数据进行对比。如图 24所示，尽管该半经验预测公式是基于试验数据的回归分析而获得，该公式的预测值与数值计算值的吻合度较高，最大误差小于28%。可见，本文回归分析所获的半经验预测公式具有良好的适用性，可以为砂土中斜桩工程的设计分析提供一定的参考依据。
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图 24 原型尺寸斜桩桩顶水平位移计算值与预测值的对比图Figure 24. Computed versus predicted lateral displacement at pile top for prototype inclined pile-cap-soil system5. 结论
通过开展室内模型试验研究，探究了砂土中水平受荷条件下斜桩-承台系统的承载变形特性，分析了桩身倾角、桩身刚度等因素对斜桩桩顶水平位移、桩身弯矩分布的影响。此外，基于试验结果验证的基础上，开展了全尺寸斜桩-承台系统的数值参数分析。得到以下3点结论。
（1）由模型试验结果可知：随着桩身倾角的增大，斜桩-承台系统的水平承载力逐渐提升，同等荷载条件下桩顶水平位移和桩身最大弯矩均呈减小趋势；桩身倾斜角度对其水平承载特性的影响程度随着水平荷载的增大和桩身抗弯刚度的提升分别呈增强和减弱趋势。
（2）数值计算结果表明，桩身倾角的变化对桩身轴力和桩侧摩阻力影响较为明显；随着竖向荷载的增加，斜桩-承台系统的抗水平变形能力得到了逐步提升；相较于桩身抗弯刚度的变化，土体弹性模量的变化对斜桩-承台系统水平承载能力的影响更为明显。土体弹性模量越大，对桩身侧向的约束越大，同等水平荷载下斜桩顶部的水平位移越小；当桩长小于25 m（25D）时，桩长的增加能有效提升斜桩抵抗水平变形的能力，而当桩身长度超过25 m（25D）时，桩身长度的增加对斜桩-承台系统水平刚度的贡献趋于减弱。
（3）基于试验数据和连续乘积幂函数关系，开展了多元回归分析，获得了可预测斜桩-承台系统桩顶水平位移的半经验关系公式，其预测值与试验数据及数值计算值的吻合度均较高，有望能为砂土中斜桩工程的理论分析和设计提供一定的参考依据。
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图 2 模型桩桩身应变片粘贴位置示意图
Figure 2. Schematic diagram of model pile instrumented with full-bridge strain gauges
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图 5 不同桩身倾角下荷载-桩顶水平位移曲线
Figure 5. Lateral load-displacement curves at pile top under different inclination angles of pile
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图 6 桩顶水平位移随桩身倾角的变化图
Figure 6. Variation of lateral displacement at pile top against inclination angle of pile
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图 7 不同桩身倾角下桩身弯矩分布曲线图
Figure 7. Distributions of bending moment of pile under different inclination angles
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图 8 不同桩身倾角下铝桩桩身剪力分布曲线图
Figure 8. Distributions of shear force for aluminum pile under.different inclination angles
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图 9 不同桩身抗弯刚度下荷载-桩顶水平位移变化曲线图
Figure 9. Lateral load-displacement curves of pile top under different flexural rigidities of pile
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图 10 桩顶水平位移随桩身抗弯刚度的变化图
Figure 10. Variation of lateral displacement at pile top against flexural rigidity of pile
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图 11 不同桩身抗弯刚度下斜桩桩身弯矩分布图
Figure 11. Distributions of bending moment of pile under different.flexural rigidities
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图 12 桩身弯矩最大值随桩身抗弯刚度变化图
Figure 12. Variation of maximum bending moment of pile against flexural rigidity
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图 13 桩顶水平位移实测值与预测值对比图
Figure 13. Measured versus predicted lateral displacements at pile top
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图 14 斜桩-承台-土系统的三维有限元模型图
Figure 14. Finite element mesh of the inclined pile-cap-soil system
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图 15 模型试验与数值计算所获桩基水平位移及弯矩对比图（倾角20°，铝桩）
Figure 15. Comparison of measured and computed pile-top lateral displacements and bending moments of pile (inclination angle 20°, aluminum pile)
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图 16 不同桩身倾角下桩身轴力分布图
Figure 16. Distributions of axial force of pile under different inclination angles
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图 17 不同桩身倾角下桩侧摩阻力分布图
Figure 17. Distributions of skin friction of pile under different inclination angles
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图 18 不同竖向荷载下水平荷载-桩顶位移曲线
Figure 18. Lateral load versus pile-top displacement curves under different vertical loads
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图 19 不同竖向荷载下桩身轴力分布图
Figure 19. Distributions of axial force of pile under different vertical loads
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图 20 不同竖向荷载下桩侧摩阻力分布图
Figure 20. Distributions of skin friction of pile under different vertical loads
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图 21 不同土体弹性模量下斜桩桩顶水平位移变化曲线
Figure 21. Variation of lateral load against pile-top displacement for inclined pile-cap system under different elastic moduli of soil
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图 22 不同桩身抗弯刚度下斜桩桩顶水平位移曲线
Figure 22. Variation of lateral load against pile-top displacement under different flexural rigidities of pile
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图 23 不同桩身长度下水平荷载-桩顶位移曲线
Figure 23. Lateral load versus pile-top displacement curves under different pile lengths
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图 24 原型尺寸斜桩桩顶水平位移计算值与预测值的对比图
Figure 24. Computed versus predicted lateral displacement at pile top for prototype inclined pile-cap-soil system
表 1 模型桩的尺寸、力学参数表
Table 1 Dimensions and mechanical parameters of model piles
名称 弹性模量/GPa 密度/(kg·m-3) 外径/mm 内径/mm 有机玻璃 3.2 180 20 — 铝 71.0 2700 20 — 钢 210.0 7900 20 16 
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表 2 试验方案列表
Table 2 Test schemes
组号 材料 编号 桩身倾角/(°) 外径/mm 内径/mm M1 有机玻璃 P11 0 20 — P12 10 20 — P13 20 20 — P14 30 20 — P15 45 20 — M2 铝 P21 0 20 — P22 10 20 — P23 20 20 — P24 30 20 — P25 45 20 — M3 钢 P31 0 20 16 P32 10 20 16 P33 20 20 16 P34 30 20 16 P35 45 20 16
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表 3 桩基-承台系统水平极限承载力
Table 3 Lateral ultimate bearing capacities of pile-cap system
材料 桩身倾角/(°) 水平极限承载力/N 建议水平极限承载力/N 位移梯度法 位移限制法 有机玻璃 0 45.5 96.5 45.5 10 71.0 122.0 71.0 20 96.5 173.0 96.5 30 122.0 — 122.0 45 173.0 — 173.0 铝 0 71 224 71 10 122 275 122 20 173 — 173 30 224 — 224 45 275 — 275 钢 0 173 275 173 10 224 377 224 20 377 479 377 30 428 530 428 45 479 — 479
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表 4 桩身倾斜角度对斜桩桩身最大弯矩的影响
Table 4 Influence of inclination angle of pile on maximum bending moment
编号 倾角/(°) 最大弯矩/(N·m) 相对直桩的减幅/% P11 0 15.29 — P12 10 14.17 7.3 P13 20 12.29 19.6 P14 30 9.99 34.7 P15 45 8.43 44.9 P21 0 22.70 — P22 10 19.80 12.8 P23 20 17.35 23.6 P24 30 15.67 30.9 P25 45 13.57 40.2 P31 0 37.94 — P32 10 35.84 5.5 P33 20 33.87 10.7 P34 30 32.59 14.1 P35 45 29.33 22.8
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表 5 承台和桩的计算参数表
Table 5 Computational parameters of caps and piles
名称 弹性模量/GPa 密度/(kg·m-3) 泊松比 有机玻璃桩 3.2 180 0.3 铝桩及承台 71 2700 0.2 钢桩及承台 124 7900 0.2
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表 6 地基土计算参数表
Table 6 Computational parameters of foundation soil
重度/(kN·m-3) 内摩擦角/(°) 弹性模量/MPa 泊松比 17.6 40.9 63 0.3
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