0.   引言

岩体中广泛存在的各种地质结构面，往往控制着岩体的力学强度、变形及稳定性。结构面发育情况下的岩体（尤其是硬岩）稳定问题，往往表现为结构面切割形成的局部块体失稳。这种失稳现象在水利水电、采矿、交通、能源等行业的岩石工程中屡见不鲜，在浅埋洞室与边坡工程中尤为突出。块体稳定分析有关方法包括：赤平投影法^[1-17]、“楔体分析法”^{[9-12, 18-20]}、块体理论^{[1, 7-8, 21]}以及离散元、DDA等非连续介质力学数值分析方法。

极射赤平投影（stereographic projection）主要用于分析面、线的产状、相互间的角距等几何关系，是一种简便、直观的定量图解法（如文献[1~8]），并在构造地质学、工程地质学、晶体学等学科中得到广泛的应用。常用的投影网有两种：一种是吴氏网（Wulff net），又称为等角距投影网，另一种是施密特网（Schmidt net），又称等面积投影网。

传统的赤平投影是半球投影（hemisphere projection），当采用北极点（或南极点）投影时，将空间平面与下半球面（或上半球面）的交线投影到赤道面上，或将线与下半球面（或上半球面）的交点投影到赤道面上，从而得到赤道圆（基圆）内的投影圆弧或投影点。本文称之为传统赤平投影。因最终的分析结果与极点位置无关，如同大多数文献，本文统一采用南极点投影进行分析。传统赤平投影被应用于多组结构面切割下能否在特定临空面上形成不稳定块体的判断中^{[4, 9-12]}：在基圆内，根据结构面交棱投影与临空面投影的相对位置关系，对块体或岩体结构是否稳定进行判断。

全空间赤平投影（whole-space stereographic projection）^{[1, 7-8]}采用等角距投影法，将面与整个球面的交线均投影到赤道面上，这样，面在基圆内的投影圆弧和基圆外的投影圆弧相连，从而得到完整的投影大圆；并对面上的半空间和面下的半空间也进行投影：采用南极点投影时，面上的半空间投影后位于投影圆内，面下的半空间投影后位于投影圆外。这样就实现了三维全空间的赤平投影。全空间赤平投影将整个三维空间投影到赤道面上，将复杂的三维空间问题转化为直观的二维判断问题，实现了“降维”分析。由于全空间赤平投影保证了三维空间和二维投影的拓扑关系一致性，从而保证了降维后分析结果的正确性。文献[22]将全空间赤平投影进行三维球体模型演示。全空间赤平投影在工程中得到较为广泛的研究和应用^[23-37]。

传统赤平投影和全空间赤平投影适用于硬岩边坡、洞室、坝基等工程中由结构面控制的块体稳定问题分析，且块体失稳总体表现为整体性的平行移动，不考虑块体倾倒、岩体开裂等变形破坏形式。由于要求块体整体表现为平行移动，因此赤平投影分析不适用于多个滑面（多于两个滑面）的块体。当存在高应力、岩性较软、岩体结构不是主要控制因素时，或需要考虑应力变化、变形开裂等因素时，需采用其它方法（如有限元、离散元等数值分析方法）进行分析。

1.   全空间赤平投影的基本概念和两个推理

事实上，全空间赤平投影需要熟悉的概念主要就两个：棱锥和可动性定理，并很容易直观理解。

棱锥（Pyramid），包括节理锥（joint pyramid，JP）、空间锥（space pyramid，SP）、开挖锥（excavation pyramid, EP）^{[1, 7-8]}。棱锥就是若干个（也可以是一个）平面围成的公共部分，仅由节理（在此等同于结构面）构成的锥叫节理锥。一个或多个平面构成的临空面，位于岩体一侧称为开挖锥，位于临空一侧称为空间锥（与开挖锥互为补集）。如图 1所示，节理锥包括“10”，“01”，“00”，“11”。其中，“0”表示面的上盘，“1”表示面的下盘，“10”即节理组1的下盘、节理组2的上盘构成的节理锥JP。左边墙的空间锥SP是该边墙右侧的半空间（此时构成空间锥的只有一个面），开挖锥EP是该边墙左侧的半空间（即岩体部分）。

图  1  棱锥的表示及不同临空面上出现的可动节理锥

Figure  1.  Diagram of pyramids and removable joint pyramids exposed on various free surfaces

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可动性定理（removability theorem）：当某个JP完全位于某临空面构成的SP内时，则该JP可以与该临空面形成可动块体。此例中，左边墙出现的JP10完全位于该边墙构成的SP内，JP10称为可动节理锥，与左边墙形成可动块体。同理，右边墙出现JP01形成的可动块体；顶拱出现JP11形成的可动块体；底板出现JP00形成的可动块体。

为了本文后续分析需要，在此给出全空间赤平投影的两个推理。

推理1：3组结构面加1个临空面的投影，总是只有一个节理锥JP完全位于临空面的面上，同时只有一个JP完全位于临空面的面下。其余6个JP的交棱跨过临空面的两侧，与临空面不能形成块体。换言之，对于任意的临空面，有且只有一个节理锥与之形成可动块体。

证明：3组结构面之间两两相交，共有3条交棱，从3个面的交点往交棱的两端延伸，每条交棱形成方向相反的两条射线。3个结构面形成JP时，每个JP由3条交棱分别取其中1条射线构成，因此共有2×2×2=8个JP。在不考虑交棱完全位于临空面内的极端情况下，每条交棱均穿越临空面，即每条交棱其中有一条射线位于临空面的面上，一条位于面下。这样，在8个JP中，只有一个JP均由3条位于临空面上方的射线构成，同时只有一个JP均由3条位于临空面下方的射线构成，其余6个JP跨过临空面的两侧。

推理2：如果一个大圆弧通过某两个面的交棱投影点，则该大圆弧必通过这两个面的交棱的另一个投影点。

证明：当两个面的交棱I正好位于某个面P内时，此时全空间赤平投影得到的交棱I的两个投影点必然都位于P的投影大圆弧上。

在边坡开挖面方位确定、洞轴线方位选择时，需要分析临空面产状连续变化时节理锥的变化规律，该推理可以让我们快速看出作图是否有误，可动节理锥判断是否正确，有无遗漏。

2.   工程地质手册中赤平投影分析存在的问题

工程地质手册^[11]中，对于人工坡面cs、天然坡面ns共同形成的临空面，分析了两组结构面J1，J2共同切割形成的边坡岩体结构稳定问题。共分为5种情况进行分析。判断的总体原则是：根据两组结构面的交棱投影点与坡面投影弧的相对位置关系，判断岩体结构是否稳定。当交棱投影点位于坡面投影弧的对侧时，认为是稳定的；当交棱投影点位于坡面投影弧的同侧时，认为是较不稳定或不稳定的。该判断原理与文献[2, 4]相似，理论依据不严格。

以手册^[11]中的情况5为例。根据该情况的赤平投影图（文献[11]中图 8-4-15（e））大致估计出结构面P1，P2的产状为210°∠50°和300°∠60°，人工坡面cs产状为230°∠70°，天然坡面ns产状为230°∠15°。只考虑重力作用。得到传统的基圆内赤平投影如图 2（a）所示，两个结构面P1，P2的交点M与边坡投影弧在同一侧，且M点位于天然坡面与人工坡面之间，说明结构面组合交线的倾向与坡面倾向一致，但倾角小于开挖坡角而大于天然坡角，属于不稳定结构。结构面与坡面关系如图 3（a）所示。

图  2  传统赤平投影和全空间赤平投影

Figure  2.  Traditional and whole-space stereographic projections

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图  3  不同节理锥与坡面形成的块体形态

Figure  3.  Morphologies of blocks formed by intersection of different joint pyramids and slope surfaces

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相应的全空间赤平投影如图 2（b）所示。其中“01”、“10”等为各JP的编号，编号下方给出了该JP在重力下的失稳模式，“1”为沿结构面P1的单面滑动；“12”为沿P1与P2交棱的双面滑动；“0”表示脱离岩体；“-1”表示稳定状态。失稳模式分析可通过适合编程的矢量运算法，也可以通过全空间赤平投影直接图解获得^{[7-8, 33]}。根据全空间赤平投影和可动性定理，节理锥JP00（图中阴影部分）完全位于人工坡面cs和自然坡面ns形成的空间锥内（cs圆内和ns圆内的并集），因此JP00和cs，ns可以形成可动块体，其失稳模式为双面滑动。结构面摩擦角均取35°且不考虑黏聚力时，节理锥的稳定系数（计算方法可参看文献[7, 8]）为0.864。

只改变面P2的倾向，如P2的倾向为180°时，投影如图 4（a）所示。此时基圆内的投影中，两个结构面投影弧的交点仍然位于cs和ns之间。根据手册^[11]判断得出边坡岩体结构仍然是不稳定的。然而，采用全空间赤平投影分析，此时节理锥JP01可以与两个坡面形成可动块体（如图 3（b）所示，注意此时P2的面下构成块体），其失稳模式为沿面P1和P2的双面滑动。结构面抗剪参数同上，得到稳定系数为1.286，因此岩体结构是稳定的。

图  4  改变面2的倾向后的全空间赤平投影

Figure  4.  Different whole-space stereographic projections by changing dip direction of plane 2

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面P2的倾向为160°时，得到的全空间赤平投影如图 4（b）所示，其中基圆内的投影与图 4（a）差别十分细微（按照传统赤平投影分析，这样的差别无法识别，也没有分析意义），两个结构面交棱的投影位置也没有什么变化。因两个结构面投影的交点仍然位于cs和ns之间，根据手册^[11]判断，边坡岩体结构还是不稳定的。然而，采用全空间赤平投影分析，此时节理锥JP01与两个坡面形成可动块体，其失稳模式发生改变，为沿面P1的单面滑动，稳定系数为0.587（单面滑动往往比双面滑动稳定系数小），其形态如图 3（c）所示。总之此时滑动模式和稳定系数与上述两种情形相比又发生显著改变。

上述分析表明：传统赤平投影法根据两个结构面的交棱与临空面的相对位置确定岩体结构是否稳定，这种判断存在明显不足。其原因是：两个面的交棱确定时，并不能确定结构面产状，换言之，构成节理锥（块体）的结构面产状显著不同时仍可以得到近似相同产状的交棱，并得到相同的判断结果。然而，因结构面产状可能显著不同，得到的块体形态特征可能存在显著差异，其滑动模式和稳定系数可能完全不同。采用全空间赤平投影分析可以准确地得到这些结果。

3.   边坡设计规范中传统赤平投影分析存在的问题

水利水电工程边坡设计规范^[12]的判断中，对于多组结构面，当“任意两组结构面大圆的交点落入图 5所示的滑动区，则应认为边坡可能失稳”。该判断及类似图形在不少中外文献[9, 10, 14, 15, 17, 18]中可以看到。图 5（规范^[12]中的图B.0.3）中的投影为等角度赤平投影（规范称之为大圆分析法）。由于滑动区位于临空面的同侧且倾角小于坡角，因此该判断的本质原理和工程地质手册^[11]相同。并且，规范^[12]还给出了基于极点分析法的判断方法，其含义与文献[6, 9]相似，同样存在判断不严格的问题，限于篇幅，本文不作讨论。

图  5  边坡失稳判别的赤平投影

Figure  5.  Stereographic projection used in judgment of slope stability

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规范^[12]给出的是“3组结构面加1个坡面”的分析问题，手册^[11]给出的是“2组结构面加2个坡面”的分析问题。3组结构面共有3条交棱，在基圆内出现3个投影点。根据上述判断，若某一个交棱的投影落在滑动区内，则认为边坡可能失稳。

3.1   稳定判断结果检验

设计一个算例。共有3组结构面，其中第1、2组结构面产状为350°∠72°和200°∠58°，第3组结构面倾角为65°，倾向发生变化。另外，坡面产状为230°∠55°，结构面的摩擦角均为35°且不考虑黏聚力，只考虑重力作用。

分析第3组结构面倾向发生0~360°变化，并取6个代表性情形进行分析。得到的全空间赤平投影如图 6所示，相应的块体形态如图 7所示，滑动模式及稳定系数如表 1所示。

图  6  第3组结构面倾向变化时的全空间赤平投影

Figure  6.  Variation of whole-space stereographic projection by changing dip direction of discontinuity set 3

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图  7  第3组结构面倾向变化时得到的块体形态

Figure  7.  Different morphologies of blocks by changing dip direction of discontinuity set 3

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表  1  第3组结构面P3倾向变化时可动节理锥及失稳模式变化

Table  1.  Variation of removable joint pyramids and failure modes by changing dip direction of discontinuity set 3

情形	面P3倾向	可动JP编号	失稳模式	稳定系数
1	40°	001	12	2.645
2	105°	001	12	2.645
3	190°	101	23	5.727
4	250°	000	12	2.645
5	285°	100	23	0.645
6	335°	100	23	1.494

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6种情形中，由于保持面P1和面P2的产状不变，其交棱投影点位置不变且总是位于滑动区内，按照规范^[12]的分析，这6种情形均为不稳定情形。然而，采用全空间赤平投影分析，得到块体的失稳模式和稳定系数发生复杂变化，块体形态也显示出复杂变化特点。

由此可知，对于块体稳定分析，仅仅采用交棱的投影位置进行分析是很不严格的。采用全空间投影可以正确地得到节理锥可动性和失稳模式，配合块体形态分析及稳定计算，可以完整地得到所需的多种结果，并相互校验结果的正确性。

3.2   摩擦圆问题

图 5中的摩擦圆，为根据结构面摩擦角大小进行绘制，为基圆的同心圆。只要交棱的倾角大于摩擦圆（且小于坡面倾角，并位于坡面同侧）时，则认为边坡可能失稳。

从上述分析结果可知，根据交棱是否位于滑动区判断块体是否滑动，其依据不严格。表 1结果表明，尽管交棱位于摩擦圆内的滑动区，但其稳定系数可能发生很大变化，有些情形稳定系数较小，有些却很大。其原因是：块体稳定系数不仅和交棱倾角有关，还受块体形态特征、失稳模式（单面滑动或双面滑动）等影响。根据结构面摩擦角与交棱倾角的相对大小，进行块体稳定性判断，这种做法难以成立。

4.   全空间赤平投影分析优势

（1）可动块体类型和失稳模式的准确判别

全空间赤平投影明确了块体可动性的概念，并给出了严格的可动性定理，从而得到不同临空面上的可动节理锥及可动块体。传统赤平投影没有明确块体是否可动，笼统而粗糙地给出块体稳定或岩体结构稳定的判断方法。

当主动力合力方向发生改变时，相应地各节理锥的失稳模式可能发生变化：单面滑动变为双面滑动，或变为脱离岩体或稳定状态。手册^[11]和规范^[12]中的判断无法考虑这一点。

当分析4组及以上结构面切割形成的块体问题时，全空间赤平投影因其理论基础的完备性，仍然可以给出准确的解答。

（2）揭露节理锥的连续变化特征，保证分析结果准确性

全空间赤平投影还可以揭露节理锥变化特点。上述6种情形中，面P3的倾向连续变化时，节理锥及块体形态也发生连续变化。例如，面P3的倾向从105°（情形2）向190°（情形3）连续增大时，图 7（b）的块体变得越来越尖细；当倾向约178.6°时，面P3的投影圆通过面P2与临空面的交棱的两个投影点（投影如图 8，根据推理2可知其正确性），此时块体消失；当倾向继续增大时，块体又出现，起初细长，随后过渡到图 7（c）的形态。

图  8  面P3通过面P2与临空面交棱时的投影

Figure  8.  Whole-space stereographic projection when face 3 passing through intersection line between face 2 and free surface

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并且，倾向在105°~190°连续变化时，块体失稳滑移面也发生变化，由P1和P2（P1/P2）构成的双面滑动，过渡到P2/P3构成的双面滑动。

（3）特殊投影形态及工程分析意义

全空间赤平投影图中，每个节理锥占据平面的上的一个区域。节理锥投影形态可能出现如下3种特殊情形：

a）当赤平投影中两个投影圆的交点靠近时，表示节理锥的两条交棱产状接近，此时块体形态显得扁平。如上述情形6（图 6（f）），节理锥JP100的P1/P2交点与P2/P3交点靠近，得到的块体扁平，如图 7（f）。

b）当节理锥的3个交点靠近时，表示节理锥的3条交棱产状接近，如图 6（c）中的节理锥JP010，相应的块体尖长。由于该节理锥不能与图中的临空面形成块体，为了显示该节理锥，将坡面倾向改为130°后，得到节理锥与坡面形成的块体如图 9所示。并且，全空间赤平投影分析表明该块体尽管是可动块体，但在重力作用下为稳定块体。

图  9  块体尖长插入坡内

Figure  9.  A sharp block penetrating into inner of slope

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c）当节理锥的某个交点靠近临空面投影圆时，块体细长且紧贴岩壁。如图 6（e）的投影图中，P2/P3的交点靠近坡面的投影圆，相应的块体形态如图 7（e）所示。

尽管这些形态特殊的块体可能为关键块体，但在工程支护中无需针对性分析，因此可以剔除，最后得到需要进行支护分析的关键块体，文献[33, 37]称之为“工程支护块体”。

（4）简单易用、适合推广

事实上，全空间赤平投影比传统赤平投影易于使用，并保证结果不出错。只要熟悉节理锥、空间锥的概念，直观地理解了可动性定理，就可以进行节理锥编号和可动块体分析。

5.   结论

半个多世纪以来，传统赤平投影在国内外得到广泛研究和应用。全空间赤平投影也已出现了40多年，尽管也得到广泛使用，但其使用者少得多。

（1）传统赤平投影根据结构面交棱与临空面的相对位置关系，对边坡块体和岩体结构是否稳定进行判断，但缺乏严格依据。其最主要原因是：两个面的交棱确定时，并不能确定结构面产状，得到的块体形态特征可能存在显著差异，其滑动模式和稳定状况可能大不相同。

（2）全空间赤平投影具有严格的理论基础，可以完整准确地识别出可动块体和失稳模式。对于4组及以上结构面切割形成的块体问题，以及当主动力合力方向发生改变时，均能得出正确的结果。

（3）在全空间赤平投影基础上，配合进行块体形态分析和块体稳定分析，可以得到工程分析所需的主要结果，并且各分析可相互校验，以保证结果的正确性。