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双层非饱和土地基一维固结半解析解

李林忠, 秦爱芳, 江良华

李林忠, 秦爱芳, 江良华. 双层非饱和土地基一维固结半解析解[J]. 岩土工程学报, 2022, 44(2): 315-323. DOI: 10.11779/CJGE202202013
引用本文: 李林忠, 秦爱芳, 江良华. 双层非饱和土地基一维固结半解析解[J]. 岩土工程学报, 2022, 44(2): 315-323. DOI: 10.11779/CJGE202202013
LI Lin-zhong, QIN Ai-fang, JIANG Liang-hua. Semi-analytical solution to one-dimensional consolidation of double-layered unsaturated ground[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2022, 44(2): 315-323. DOI: 10.11779/CJGE202202013
Citation: LI Lin-zhong, QIN Ai-fang, JIANG Liang-hua. Semi-analytical solution to one-dimensional consolidation of double-layered unsaturated ground[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2022, 44(2): 315-323. DOI: 10.11779/CJGE202202013

双层非饱和土地基一维固结半解析解  English Version

基金项目: 

国家自然科学基金项目 42072292

详细信息
    作者简介:

    李林忠(1992—),男,博士研究生,主要从事土体固结方面的研究工作。E-mail: heartbeatsllz@163.com

    通讯作者:

    秦爱芳,E-mail: qinaifang@shu.edu.cn

  • 中图分类号: TU433

Semi-analytical solution to one-dimensional consolidation of double-layered unsaturated ground

  • 摘要: 基于Fredlund和Hasan的非饱和土一维固结理论,将非饱和地基假定为双层,引入层间渗流连续条件,得到双层非饱和土地基一维固结控制方程。采用Laplace变换将偏微分方程组转化为常微分方程组,求解得到双层非饱和土地基在单面、双面渗透边界条件下超孔隙压力和沉降在Laplace域内的解;并利用Crump数值方法实现Laplace逆变换,最终得到时间域内双层非饱和土地基一维固结的半解析解。通过与已有文献和有限差分解的结果比较,验证了所得半解析解的有效性。基于得到的解答,结合算例考察了不同层间渗透系数比下,双层非饱和土地基中超孔隙压力的分布规律;并通过参数分析讨论了土层厚度比和层间渗透系数比对双层非饱和土地基沉降的影响。
    Abstract: Combining the one-dimensional (1D) consolidation theory of unsaturated soils proposed by Fredlund and Hasan and the interfacial continuity conditions during the consolidation, the 1D consolidation model for a double-layered unsaturated ground is obtained in this study. The Laplace transformation is adopted to convert the partial differential equations into the ordinary ones, and the solutions to the excess pore pressures and settlements in the Laplace domain can be acquired. The semi-analytical solution to 1D consolidation of the double-layered unsaturated ground in the time domain is calculated after taking the inverse Laplace transformation by numerical Crump method. A comparison with the finite difference solution and the available analytical solution illustrates that the proposed solution is effective. Based on the proposed semi-analytical solution, the distribution of the excess pore pressures with ratio of various permeability coefficients in the two-layered unsaturated ground is studied, and the parametric studies are made to investigate the influences of the thickness ratio of the soil layer and the ratio of permeability coefficients on the settlement of the double-layered unsaturated ground.
  • 在截排减压抗浮系统中,位于止水帷幕内侧的减压井系统是主要的排水通道,确定井流量和止水帷幕内侧的水头分布是抗浮设计的关键一环,将为水泵及管路的设计以及验算底板配筋和裂缝宽度提供依据[1-2]。特别是对于采用了人工疏水层的地下结构,由于疏水层厚度和透水性较均匀,非常适合采用简化计算方法。然而,目前除了采用渗流分析之外,尚无实用的简化计算方法来确定多井系统流量和水头分布。

    对于多井系统的求解,在不存在隔水边界的条件下,相互干扰的井群在任意一点处的水位降深等于各单井在这一点的降深的叠加[3]。基于叠加原理,毛昶熙给出了任意布置的承压和无压井群在任意一点降深的解[4]。如果井群沿着闭合边界布置,井群区域的降水漏斗接近圆形,各井的影响半径接近相等,各单井的流量也近似相同,则可以得到将井群等效为圆环分布时的流量和降深结果[4-5]。近似计算时,常将沿任一封闭轮廓布置的井群虚拟为一个“大井”,井群轮廓以内的水位近似与“大井”水位相同,则井群流量可采用Dupuit公式表达,即“大井公式”[4]。当存在隔水边界且完全不透水时,任一点的水位降深可按镜像叠加法求解,即隔水边界可按照对称布置的两个抽水井来模拟,线源边界按照对称布置的一个抽水井和一个注水井来模拟。在基坑降水设计过程中,吴林高[6]采用该方法对止水帷幕内侧开始抽水至抽水稳定时的非稳定渗流过程进行了求解。

    然而,止水帷幕并不完全隔水,止水帷幕底部的绕渗问题是存在的,止水帷幕墙体本身的透水性也不能忽视,例如板桩接缝渗水、止水帷幕因施工缺陷渗水等[7]。在截排减压抗浮系统中,这些绕渗和墙体透水的流量是排水的主要来源。对于止水帷幕的绕渗和墙身透水问题,毛昶熙[4]给出了不考虑桩厚度和桩身透水性,只考虑桩底绕渗的单宽流量计算公式。王仁东[8]则考虑了止水帷幕厚度,采用保角变换法求出了桩底绕渗情况下的水头和流量解,并分析了不考虑止水帷幕厚度对结果的影响。胡瑶[9]则对考虑墙体透水时的镜像叠加法作了初步的近似计算和数值模拟研究。

    本文以止水帷幕内侧呈圆形(或等效为圆形)均匀布置的多井系统为研究对象,考虑止水帷幕的绕渗和墙身透水问题,提出止水帷幕内侧多井流量和水头分布的实用简化计算方法,并给出截排减压抗浮系统设计流程,为该方法推广应用扫清障碍。

    在抗浮计算和设计时,首先需要明确抗浮需求,即根据地下结构自身能提供的抗浮力及周边环境条件,为地下结构确定一个合理的上限水位,明确排水抗浮目标。

    当采用截排减压抗浮系统时,需要求解的几个问题是排水总流量、减压后底板下的水头分布以及减压井布置的数量、位置、井径和井口高程参数。

    为求解上述问题,以止水帷幕为界将渗流场分为内侧和外侧两部分(图1),两侧的总流量相同,在止水帷幕处再以恰当的形式联合起来。由于外侧渗流场较为简单,关键是要求解内侧渗流场。

    图  1  止水帷幕内外侧渗流场
    Figure  1.  Seepage fields inside and outside cut-off wall

    假定止水帷幕为圆形,减压井沿圆周均匀布置于其内侧。对于其它不规则多边形止水帷幕,可根据复变函数论中的Schwarz-Christoffel变换,将其共形映射为圆形[10],井点坐标及待求点坐标同理可映射到圆形渗流场中。当多边形等边时,这种映射关系可解析,不等边时需要采用数值法求解。

    设止水帷幕内侧半径为R,减压井数为n,单井流量为q,减压井所在圆周半径为r,两井间圆心角为2β,见图1。减压井半径为rw,井口高程为hw。外侧渗流场影响半径为R0,远场边界水头为H0

    根据对称性,只取两口减压井间的一半区域分析,即图2中的扇形域OM1M2,减压井位于M3,在OM2线上。假定止水帷幕内侧为等水头线,其水头可与止水帷幕外侧区域相联系(见下节内容)。这里等水头线假定并不完全合理,例如M1距离减压井比M2更远,其水头可能比M2点更高,但差距不大,且采用M1点作控制水头并不影响抗浮安全性。

    图  2  z平面
    Figure  2.  z plane

    (1)z平面映射到t平面

    要求解OM1M2区域的不规则渗流场,可先将其映射到一个规则平面,这里可用复变函数中的对数变换将扇形域共形映射(保角变换)到一个带形域[10],即将z平面映射到t平面,见图2,3

    图  3  t平面
    Figure  3.  t plane

    即作如下对数变换:

    t=C1lnz+C2 (1)

    z平面和t平面中,M1,M2点分别有:

    M1z=Re(11/n),t=iRβ=iRπ/n

    M2z=Re,t=0

    将其代入式(1)得C1=R,C2=Rln(eR)。即有

    t=RlnRez (2)

    (2)ζ平面映射到t平面

    继续将图4中的上半平面ζ平面映射到t平面,这里使用Schwarz-Christoffel变换[10]

    图  4  ζ平面
    Figure  4.  ζ plane
    t=C3dζζζ1+C4 (3)

    M1,M2点分别有:

    M1t=iRπ/n,ζ=0

    M2t=0,ζ=1

    将其代入式(3)得C3=R/n,C4=0。即有

    t=2Rnln(ζ+ζ1) (4)

    M3点有:t=Rln(R/r),ζ=α

    将其代入式(4)求得α=cosh2[nln(R/r)/2]

    将式(4)代入式(2)求得z平面和ζ平面的映射关系:

    ζ=14[(Re/z)n/2+(Re/z)n/2]2 (5)

    (3)ζ平面映射到ω平面

    建立图5所示的复势平面ω平面,并将ζ平面映射到ω平面,以建立z平面和复势平面ω的关系,这里继续采用Schwarz-Christoffel变换:

    图  5  ω平面
    Figure  5.  ω plane
    ω=C5dζζ12(ζ1)12(ζα)+C6 (6)

    图5qrM3点单井在单位厚度的出水量,qr=q/(KT),为研究区域OM1M2总流量的两倍,K,T分别为研究区域土层的渗透系数和厚度。

    M1,M2点分别有:

    M1ω=iqr2,ζ=0

    M2ω=0,ζ=1

    将其代入式(6)得C5=qr2πα(α1),C6=qr2π(ln2)

    即有

    ω=qr2πlnα1ζαζ1α1ζ+αζ1 (7)

    α=cosh2[nln(R/r)/2]及式(5)代入式(7)得

    ω=qr2πln(re/z)n1(R/r)n(Re/z)n (8)

    式(8)即为复势平面与原渗流场z平面的映射关系。

    (1)M1M2

    z=Reiθ (πβ)<θπ,代入式(8)得

    ω=qr2πn(πθ)i, (9)
    ψ=qr2πn(πθ)(0ψqr2) (10)

    上式表明,在M1M2段,势函数为常数0,流函数呈线性分布,与计算基本假定相符。

    (2)OM1

    z=seiπ(11/n) 0sR,代入式(8)得

    ω=qr2πln(s/R)n+(R/r)n1+(s/r)n+iqr2 (11)

    O点,令s0,有

    ω=qrn2πlnRr+iqr2 (12)

    由于M1处位势为0,上式表明O点位势高于(或水头低于)M1qrn2πlnRr

    (3)OM2

    z=se 0sR,代入式(8)得

    ω={qr2πln(R/r)n(s/R)n(s/r)n1             (r<s<R)qr2πln(R/r)n(s/R)n1(s/r)n+iqr2    (0<s<r)    (13)

    M3点,令s=r,可见势函数趋于正无穷,水头则趋于负无穷。

    (4)井边

    M3点附近,取井边附近的两点z1z2

    z1=(r+rw)e z2=(rrw)e } (14)

    代入式(8)得求得两点的势函数φ1,φ2

    φ1=qr2πln(R/r)n[(r+rw)/R]n[(r+rw)/r]n1φ2=qr2πln(R/r)n[(rrw)/R]n1[(rrw)/r]n} (15)

    rwr,则两点的势函数值可近似为

    φ1φ2φw=qr2πln2rsh[nln(R/r)]nrw (16)

    式中,φw为井边圆周势函数的近似值。对于不在OM2线上的其它井边圆周上各点,也有同样的特性,表明井边不同方位的水头近似为常值。

    (5)场地水头换算

    令场地水头为H,水头与势函数φ的关系为H=-φ,由于势函数零点位于圆弧M1M2上,现以井口高程hw为基点,根据势函数算得场地水头为

    H=φ+qr2πln2rsh[nln(R/r)]nrw+hw (17a)

    若抗浮设计时以OM1线上的水头值为设计依据,利用式(11),(17a)可得该线上距离圆心为s(0≤sR)的点的水头值为

    H=qr2πln2rsh[nln(R/r)][1+(s/r)n]nrw[(s/R)n+(R/r)n]+hw (17b)

    现设置不同条件,观察OM1线上的水头随井数量n的变化,令R=100 m,Q=300 m3/d,rw=0.5 m,T=0.5 m。这里T取0.5 m相当于设置一层人工疏水层。其它条件及OM1线水头分布见图6

    图  6  不同井数量nOM1的水头分布
    Figure  6.  Distribution hydraulic head of OM1 with different numbers of wells

    图6可以看到,当土层渗透系数较大时(本算例为7×10-3 cm/s,但一般可认为渗透系数约大于等于1×10-3 cm/s即为较大),设置较少数量的减压井就可以达到较好的降压效果(平均约为每万平方3~4口井),随着土层渗透系数的降低,要达到相同的降压效果减压井数量需要迅速增加;同时,当井数量达到一定值,如每万平方米10口井,再增加井数量减压效果亦不明显;当减压井适当靠近止水帷幕布置,减压范围较大,减压效果更明显。

    设止水帷幕内侧半径为R,外侧半径为Rd,内侧水头为HR,外侧水头为Hd;止水帷幕厚度为b,渗透系数为Kw;渗流场影响区半径为R0,影响区边缘水头为H0。减压井总流量Q=nq。总流量在止水帷幕外侧按轴对称均匀分布,向内侧的渗流及通过止水帷幕的水量按质量守恒也为Q。止水帷幕厚度b相对较小,在计算中可简化成有阻力的薄墙。

    止水帷幕外侧渗流场可分承压和潜水两种模式。取止水帷幕外侧单位宽度圆环流场分析,根据达西定律,对主要含水层为承压土层有(图7(a)):

    图  7  止水帷幕渗流形态
    Figure  7.  Seepage patterns of cut-off wall
    H0Hd=Q2πK0T0lnR0Rd, (18a)

    式中,K0为止水帷幕外侧承压强透水层的渗透系数,T0为承压强透水层的厚度。如有多层渗透系数相差不大的强透水层,可采用等效渗透系数。

    式(18a)也可写为

    H0Hd=QK0ξ1 ξ1=12πT0lnR0Rd } (18b)

    当止水帷幕外侧主要含水层为潜水层则有(图7(b)):

    H20H2d=QπK0lnR0Rd, (19a)

    式中,K0为止水帷幕外侧潜水层的渗透系数。该式设潜水层底面为水头基准面,若潜水层为多层土,则最下一层土的底面为基准面,若取其它基准面,且潜水层底面高程为z0,则式(19a)变为

    H0Hd=Q2πK0T0lnR0Rd (19b)

    式(19b)也可写为

    H0Hd=QK0ξ1 ξ1=12πT0lnR0Rd } (19c)
    T0=(h0+hd)/2h0=H0z0hd=Hdz0 } (19d)

    由于式(19d)中包含未知量Hd,使得后续计算需要迭代,即先赋予Hd一个略小于H0的初值代入式(19c),(19d)算得ξ1,并由后续算得流量Q,然后将Q值回代式(19c)求得Hd的新值,如此反复迭代3~4次即可达到较好的精度。

    止水帷幕处的渗流包含墙体透水和墙底绕渗两部分[11],设墙体透水总流量为Q1,墙底绕渗总流量为Q2,即有

    Q1+Q2=Q=nq (20)

    根据止水帷幕外侧渗流场的不同,可按两种模式计算。

    (1)承压模式

    当止水帷幕外侧渗流场为承压模式时(图7(a)),对于止水帷幕墙体透水部分,根据达西定律可以按以下近似公式计算:

    HdHR=Q12πRKwbT0/2+T/2 (21a)

    式(21a)也可写为

    Q1=(HdHR)2πRKwξa ξa=bT0/2+T/2 } (21b)

    对于止水帷幕墙底绕渗部分,可根据努麦诺夫提出的“局部水头损失的总和计算法”求得,具体过程可见文献[11,12],见下式:

    HdHR=Q22πRK1[bD+2π(T1DlnT1+DT1D+lnT21D2D2)] (22a)

    式中,K1为止水帷幕底部弱水层的渗透系数,D为止水帷幕底部弱水层的厚度,式(22a)也可写为

    Q2=(HdHR)2πRK1ξb ξb=bD+2π(T1DlnT1+DT1D+lnT21D2D2) } (22b)

    (2)潜水模式

    当止水帷幕外侧渗流场为潜水模式时(图7(b)),止水帷幕墙体透水部分的流量计算表达式与式(21b)相同,但ξa的形式有所不同,见下式:

    ξa=bHdz0+T (23)

    Hd值未知,也需要先赋予初值并迭代计算。对于止水帷幕墙底绕渗部分,其流量计算表达式与式(22b)相同,但ξb的内容有变化,见下式:

    ξb=bD+1π(T1DlnT1+DT1D+lnT21D2D2+T2DlnT2+DT2D+lnT22D2D2) (24)

    将式(21b),(22 b)相加并代入式(20)可得

    HdHR=Q2πRξs ξs=ξaξbKwξb+K1ξa } (25)

    在式(17a)中,令φ=0,qr=Q/(nKT),可得

    HRhw=Q2πnKTln2rsh[nln(R/r)]nrw (26a)

    或写为

    HRhw=QKξ2ξ2=12πnTln2rsh[nln(R/r)]nrw } (26b)

    将式(18b)或(19b)、(25)、(26b)相加可得

    H0hw=Q(ξ1K0+ξ2K+ξs2πR) (27)

    ξ1,ξ2,ξa,ξb均称为阻力系数,求得这4个系数即可由式(27)求得总流量Q,qr。并可由式(17b)求出特征点水头,作为地下结构抗浮设计的依据。这种以求阻力系数的方式联合求解止水帷幕内外侧渗流场的方法也叫阻力系数法。

    为验证本文简化算法,建立两个计算模型,分别采用有限元法和本文算法计算。模型1为承压模式,几何参数T=1 m,T0=4 m,T1=3 m,D=2.5 m,R=80 m,R0=200 m,r=65 m,rw=0.5 m,b=0.8 m,hw=0 m,H0=5.8 m,渗透系数K=5×10-2 cm/s,K0=5×10-2 cm/s,K1=5×10-4 cm/s,Kw=5×10-5 cm/s。模型2为潜水模式,模拟人工疏水层,几何参数T=0.5 m,T0=3 m,T1=7 m,T2=3.5 m,D=2.5 m,z0=3 m,R=80 m,R0=200 m,r=65 m,rw=0.5 m,b=0.8 m,hw=0 m,H0=5.8 m,渗透系数K=5×10-2 cm/s,K0=5×10-2 cm/s,K1=5×10-4 cm/s,Kw=5×10-5 cm/s。有限元模型采用华南理工大学岩土工程研究所开发的《多层透水地层渗流分析程序》建立,模型1中表层弱透水覆盖层渗透系数取为5×10-4 cm/s,将主要计算结果列于表1

    表  1  计算结果比较
    Table  1.  Comparison of calculated results
    n模型1模型2
    Q/(m3·d-1)Hd/mHR/m(M1)HR/m(M2)Q/(m3·d-1)Hd/mHR/m(M1)HR/m(M2)
    本文有限元本文有限元本文有限元本文有限元本文有限元本文有限元本文有限元本文有限元
    46065605.35.22.32.92.32.03923685.35.43.03.73.02.7
    87417175.24.91.51.71.51.55035045.15.22.12.12.12.1
    168238025.14.91.01.11.01.1574586551.41.51.41.5
    248508365.14.80.90.90.90.9597611551.21.31.21.3
    3328628515.14.80.80.80.80.860762754.91.11.21.11.2
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    表1来看,两种方法计算的总流量值Q十分接近,仅在井数量为4时差值略大;从有限元结果看到,M1点的水头在井数为4时比M2点高近1 m,随着井增多(两点与井点的间距差逐渐缩小)而趋近相同。这印证了本文算法基本假定的合理性,一般在2万多平方米的面积上布井数量必多于8口。随着井的增加,Hd值变化不大,表明外侧渗流场由于止水帷幕的存在而不受内侧布井方式的影响。

    图8OM1OM2线的水头分布结果(n=32与n=24时结果相比差距较小,故不显示)。可以看到,有限元结果始终比本文方法的计算结果略高,随着井数量的增加差值逐渐减小,两个模型分别从35 cm减小到7 cm和从43 cm减小到11 cm,这是由于有限元计算时考虑了井损的影响(井损系数0.1),这从有限元计算时井口位置的水头值始终无法归零可以看到。

    图  8  水头计算结果比较(OM1OM2
    Figure  8.  Comparison of calculated results of hydraulic head

    以文献[11]中5.3节的工程案例为例,场地表层粉质黏土为覆盖层,渗透系数为5.8×10-4 cm/s,止水帷幕外侧渗流场按承压模式考虑,确定几何参数T=1.6 m,T0=9.6 m,T1=5.7 m,D=3.7 m,R=69.3 m,R0=300 m,r=28.3 m,rw=1 m,b=0.774 m,hw=0.05 m,H0=9.5 m,渗透系数K=2.2×10-1cm/s,K0=2.2×10-1 cm/s,K1=2×10-4 cm/s,Kw=5×10-5 cm/s。求得场地总流量Q为1479 m3/d,止水帷幕内侧水头HR为0.87 m,实测总流量平均值为1563 m3/d,地下室侧墙周边平均水头值为1.7 m。这里总流量计算偏小是因为止水帷幕存在集中渗漏现象,计算水头偏低是由于板底砂层厚薄不均,地下室侧墙附近的板底砂层较薄甚至缺失。

    在排水减压抗浮设计时,为防止单井流量q(q=Q/n)过大引起井周土体颗粒启动流失而掏空底板下的土体,或流失的土颗粒在井壁沉积而产生淤堵,需要对井周水力坡降作如下限制:

    i=Q2nπrwKTicr (28)

    式中i为井周计算水力坡降;icr为井周土体(滤层以外)的临界水力坡降,对于级配连续的稳定土体可取0.4~0.5[13],对于级配不稳定的土体(管涌土)可取0.1~0.2[14]rw为井半径,当井壁外侧设置滤层时,应取至滤层外边缘。

    此外,为保证结构抗浮安全性,对底板水头值也要作一定限制,为与场地抗浮设防水位区分,这里采用抗浮控制水位Hc表示,并采用下式计算:

    HmaxκHc=G+FtAγw (29)

    式中G为结构自重及荷载;Ft为被动抗浮措施提供的抗浮力;A为结构底面积;γw为水的重度;Hc为抗浮控制水位;Hmax为结构底板下的水头最大值;κ为大于等于1的安全系数。

    在抗浮设计时,为达到较好的减压效果并兼顾经济性,可以对参数n,r,hw,rw进行调整。对一般工程而言,hw可取至底板顶面以下20~30 cm的位置为宜;若取至底板顶面以上时,减压井井盖需要采用繁琐的承压防水措施,因此hw的调整余地不大。参数rw对整个渗流场的影响也很有限。因此,可确定4个参数的调整优先级依次为n>r>hw>rw。至此,归纳全文,可以给出截排减压抗浮系统的设计流程,见图9

    图  9  截排减压抗浮设计流程
    Figure  9.  Anti-uplifting design process

    (1)对于圆形止水帷幕内均匀布置的多井系统,采用共形映射方法,可以方便求得止水帷幕内侧的水头分布。经计算,当采用渗透系数较大(约大于等于1×10-3 cm/s)的人工疏水层时,用较少的井数即可达到良好的降压效果,约为每万平方米3~4口。

    (2)采用阻力系数法,将止水帷幕内外侧渗流场串联起来,是求解多井系统总流量的关键。经算例验证,本文简化计算结果与有限元结果相比差值较小,且当井数较多时M1,M2点的水头趋近相同,与基本假定相符。

    (3)板底土层厚度和渗透性较均匀时,采用本文简化算法,仅需提供不多的几何参数,即可求得较精确的流量和水头结果,对采用人工疏水层的场地尤为适用。

    (4)在进行截排减压抗浮设计时,控制板底水头值和井周水力坡降是关键,为兼顾安全性和经济性,需要对参数n,r,hw,rw进行反复调整以达到最佳效果。

  • 图  1   双层非饱和土一维固结模型

    Figure  1.   1D consolidation model for double-layered unsaturated soils

    图  2   单面渗透边界下超孔隙压力等时线比较

    Figure  2.   Isochrone comparisons of excess pore pressures for single drainage

    图  3   双面渗透边界下超孔隙压力等时线比较

    Figure  3.   Isochrone comparisons of excess pore pressures for double drainage

    图  4   超孔隙气压分布曲线

    Figure  4.   Curves for distribution of excess pore-air pressure with depth

    图  5   超孔隙水压分布曲线

    Figure  5.   Curves for distribution of excess pore-water pressure with depth

    图  6   不同h1/H的沉降–时间曲线

    Figure  6.   Curves of settlement vs. time for different values of h1/H

    图  7   不同k(2)a/k(1)a的沉降–时间曲线

    Figure  7.   Curves of settlement vs. time for different values of k(2)a/k(1)a

    图  8   不同k(2)w/k(1)w的沉降–时间曲线

    Figure  8.   Curves of settlement vs. time for different values of k(2)w/k(1)w

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图(8)
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-01-26
  • 网络出版日期:  2022-09-22
  • 刊出日期:  2022-01-31

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